А.Д.Мкртчянx - Сибирский федеральный университет

УДК 517.55
АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ ЧЕРЕЗ
ГРАНИЧНЫЕ ДУГИ ПУТЕМ ИНТЕРПОЛЯЦИИ
КОЭФФИЦИЕНТОВ МЕРОМОРФНЫМИ ФУНКЦИЯМИ
Мкртчян А. Д.
Научный руководитель д-р физ.-мат. наук Цих А. К.
Сибирский Федеральный Университет
Вопросы аналитического продолжения и нахождения сингулярных точек функции
имеют давнюю историю. Этими вопросами занимались многие известные математики,
такие как Карлсон, Полиа, Адамар и др.(см. например [1]). Есть разные подходы для
исследования таких проблем. В настоящей работе мы будем рассматривать вопрос
продолжения степенного ряда через границу круга сходимости. Дадим некоторые
определение.
Рассмотрим степенной ряд

f ( z)   f n z n
(1)
n 0
переменного z  , имеющий своей областью сходимости единичный круг
D : {z  C :| z | 1} .
Скажем, что целая функция  интерполирует коэффициенты ряда (1), если
 (n)  f n , n .
Напомним (см., например, [2]), что индикатор целой функции  определяется
пределом
h ( )  limsup
r 
ln |  (re i ) |
,
r
 .
Пусть   - сектор {z  re i  :|  |  } ,   [0,  ) , а через   обозначим открытую
дугу D1 \   .
Теорема(Arakelian) [3] Сумма ряда (1) аналитически продолжается в открытый
сектор
\  тогда и только тогда, когда существует интерполирующая
коэффициенты f n целая функция экспоненциального типа  ( z ) такая, что
h ( )   | sin  |
для
|  |

2
.
(2)
Как видно из формулировки, утверждение теоремы специализирует факт
продолжения f ( z ) через дугу   = D1 \   сразу в весь сектор. Свойство
продолжимости f ( z ) хотя бы в некоторую окрестность дуги   рассматривалось в
статье [4] (см. также [5]). В таких случаях говорят, что   является дугой
регулярности для ряда (1).
Теорема (Arakelian) [4] Открытая дуга   = D1 \   является дугой регулярности
для ряда (1) тогда и только тогда, когда существует целая функция экспоненциального
типа  , интерполирующая коэффициенты ряда:  (n)  f n , у которой индикатриса
роста h ( ) удовлетворяет условиям: h (0)  0 и
limsup
 0
h ( )
| |
 .
(3)
Разумеется неравенство (2) влечет неравенство (3) и это является следствием так
называемого свойства тригонометрической выпуклости индикатора целой функции.
Иногда целесообразно интерполировать коэффициенты ряда не целыми функциями а
мероморфными. В качестве таких интерполяционных функций берутся следующие:
p
 ( a j  b j )
 ( )   ( )
j 1
q
  (c k   d k )
(4)
k 1
где  ( ) целая функция, a j  0 , j=1,...,p, и
p
q
j 1
k 1
 a j  c k  0 .
q
p
k 1
j 1
Пусть l   | ck |   a j .
Теорема 1. Сумма ряда (1) аналитически продолжается в открытый сектор
\  если, существует интерполирующая коэффициенты f n мероморфная функция
 ( ) вида (4) такая, что индикатор целой функции
p
 ( )   ( )
a 
aj j
j 1
q
 ckck
k 1
Удовлетворяет условиям
1) h (0)  0 ,
 
 
2) max{h ( )  l , h ( )  l}   .
2
2
2
2
Теорема 2. Дуга   = D1 \   является дугой регулярности для ряда (1) если,
существует интерполирующая коэффициенты f n мероморфная функция  ( ) вида
(4) такая, что индикатор целой функции
p
 ( )   ( )
a 
aj j
j 1
q
 ckck
k 1
удовлетворяет условиям
1) h (0)  0 ,
2)
limsup
 0
h ( ) 
 l  .
| |
2
ЛИТЕРАТУРА
[1] Л. Бибербах, Аналитическое продолжение, Москва, Наука 1967.
[2] Л. И. Ронкин, Введение в теорию целых функций многих переменных. Москва,
Наука, 1971.
[3] Аракелян Н. У., Мартиросян В. А. Степенные ряды: аналитическое продолжение и
локализация особенностей. Ереван 1991.
[4] N. U. Arakelian, Approximation by entire functions and analytic continuation, 1992,
Progress in approximation theory (FL: Tampa, 1990); Computational Mathematical
Series, Vol. 19 (New York:Springer), pp. 295–313.
[5] N. Arakelian, W. Luh, and J. Mueller. On the localization of singularities of Lacunar
power series. Complex Variables and Elliptic Functions, 52(2007), no. 7, pp. 561-573