Как можно измерить общественное благосостояние

Как можно измерить общественное благосостояние?
Излишек потребителя в ящике Эджуорта1
С.А. Москальонов
(Ульяновский государственный университет)
Целью исследования2 является анализ приложения концепции Маршаллианского излишка потребителя к измерению индивидуального и общественного
благосостояния в экономике ящика Эджуорта с нетривиальными предпочтениями, в том числе численный анализ примеров с неидентичными предпочтениями
Кобба-Дугласа. Мы демонстрируем, на известных экономических примерах, при
каких условиях и в каких границах критерий Маршаллианского излишка потребителя может корректно использоваться для оценки изменения индивидуального
и общественного благосостояния.
Коды JEL: D12, D51
1. Введение
В большинстве существующих учебников и прикладных работ по микроэкономике
Маршаллианский излишек потребителя корректно применяется как интеграл или область
слева от Вальрасовской кривой спроса3 при наличии квазилинейных предпочтений потребителя. Квазилинейные предпочтения потребителя означают, что спрос на все блага, кроме товара-измерителя (чья цена должна быть в общем равновесии нормализована к единице), не зависит от дохода потребителя4, что является, очевидно, крайне сильным и совершенно нереалистичным предположением. Означает ли данный широко известный
факт, что существующая микроэкономическая теория, преподаваемая в большинстве российских вузов на вводном или промежуточном уровне, является лженаукой, а Маршаллианский излишек потребителя – фантастической концепцией? Означает ли это, что излишек потребителя является «бесполезной игрушкой», useless toy, по известному выражению Пола Самуэльсона, так что существующие учебники по микроэкономике следует
просто выкинуть как бесполезную кучу макулатуры? Есть ли в продукте фантазии запад-
Автор глубоко признателен Р. Эриксону за подробные критические советы, способствовавшие существенному улучшению работы, В.М. Полтеровичу и Д. Джу за полезные рекомендации по первоначальным версиям проекта, а также А. Савватееву, К. Сонину, С. Ковалёву, и другим участникам VIII Международной
конференции ГУ-ВШЭ в Москве, семинаров EERC в Москве и Киеве за ценные дискуссии и замечания. Автор также благодарит Консорциум Экономических Исследований и Образования (гранты № R03-1421, R040251), ФНП (контракт № 18), РГНФ (региональный грант № 06-02-21202а/В) за финансовую поддержку
данного исследования и связанных с ним проектов анализа абстрактной экономики обмена.
2
Более полные версии данной работы (в том числе анализ более абстрактной экономики обмена) в ближайшее время будут доступны на сайтах www.eerc.ru и www.ssrn.com
3
Определения Вальрасовской и Хиксианской функций спроса см. Mas-Colell, Whinston and Green (1995).
4
Конечно, за исключением начального интервала изменения дохода от нуля до порогового значения, соответствующего угловому оптимуму в задаче максимизации полезности потребителя.
1
ных экономистов, изобретших эту забавную «вещицу»5, элемент реальности, кроме очевидного элемента фантастики?
В обширной экономической литературе6 по проблеме излишка потребителя мы видим в основном лишь сплошной поток критики в адрес этой концепции, значительно
сузивший возможности его прямого теоретического и практического применения. Например, Chipman and Moore (1976) утверждали, что излишек потребителя должен быть независим от траектории, чтобы служить специфической кардинальной мерой благосостояния.
Поскольку излишек потребителя определён ими как линейный интеграл7, значение этого
интеграла обычно зависит от пути интегрирования и, в результате, по их мнению, излишек потребителя может быть корректной мерой индивидуальной полезности только для
специфических типов потребительских предпочтений: квазилинейных или гомотетичных.
Именно для этих предпочтений ИП не зависит от траектории: если мы идём от некоторой
первоначальной экономической ситуации (набора) с заданным набором цен и дохода к
другой ситуации и затем в конечном итоге ситуация в экономике возвращается в первоначальную точку, то излишек потребителя (или его изменение8) по такой замкнутой траектории в квазилинейном случае равен нулю, что в принципе и должно наблюдаться в общем случае, если мы требуем применимости ИП на любой возможной траектории экономики. Другое направление критики в адрес теории Маршалловского излишка потребителя
состояло в том, что в общем случае предельная полезность дохода не является постоянной и даже не может быть постоянной для любых вариаций в ценах и доходе (что было
показано в Samuelson (1942)). Из уравнений Антонелли (Antonelli’ (1886)) или тождества
Роя тогда вытекало, что излишек потребителя в общем случае не может быть точной мерой изменения в полезности потребителя.
Аналогичная ситуация складывается и для общественного излишка потребителя.
Rader (1976), Slivinski’ (1987) и Blackorby and Donaldson’ (1999) фактически воспроизвели
классические результаты Chipman and Moore (1976) в рамках анализа агрегированного излишка потребителя; все эти работы также предполагали, что ИП должен быть независим
от траектории и не рассматривали ограничения в пространстве допустимых траекторий,
Маршаллианский излишек изобрёл, как известно, Dupuit (1969, перепечатано), а своё название он получил
от А. Маршалла, широко популяризовавшего эту концепцию. Blackorby and Donaldson (1999) назвали его
излишком Дюпюи-Маршалла.
6
Общее число публикаций в реферируемых западных журналах по проблеме излишка потребителя достигает примерно 200. В 1985 г. их уже было 181 по подсчётам Suzumura (1985).
7
Линейный интеграл в западной математической науке – это обычно интеграл по кусочно-линейной траектории. В российской математической науке вместо линейного интеграла используется более широкое понятие криволинейного интеграла второго рода.
8
В нашей ординалистской теории Маршаллианского излишка потребителя нет разницы, называть формулу
ИП, см. ниже, излишком или изменением излишка. Такая разница имеет смысл лишь в строгом кардинализме, признающем существование лишь единственной функции полезности для заданного отношения предпочтения.
5
как мы сделали в нашем исследовании. Результаты этих статей похожи: везде утверждается, что излишек потребителя может корректно измерять изменение уровня общественного
благосостояния только в том случае, если предпочтения каждого человека квазилинейны
по отношению к одному и тому же товару-измерителю, или в случае идентичных гомотетичных предпочтений. Другими словами, только в случае так называемых предпочтений
типа Гормана агрегированный излишек потребителя в этих работах имеет смысл как индикатор общественного благосостояния – в случае существования нормативного репрезентативного потребителя. Ситуация абсолютно аналогична для Хиксианского ИП, определённого в Chipman and Moore (1980) как линейный интеграл или в Mishan (1971, 1972),
Dasgupta and Pearce (1972) как сумма компенсирующих вариаций. Для агрегированного
ИП, определённого как сумма компенсирующих или эквивалентных вариаций, в ящике
Эджуорта или в экономике обмена возникает знаменитый парадокс Бодвэя (Boadway,
1974)9.
В отличие от всех этих сугубо отрицательных результатов наше исследование позволило получить корректно индивидуальный и общественный Маршаллианский излишек
потребителя (в виде криволинейного интеграла второго рода) в рамках общего равновесия
- простой экономики обмена - для нетривиальных, не квазилинейных, и не идентичных
гомотетичных предпочтений10. Частичное решение проблемы зависимости ИП траектории
было найдено нами самостоятельно как для индивидуального, так и для общественного
излишка потребителя, но мы не можем, конечно, игнорировать тот факт, что первоначальное решение задачи исключительно для индивидуального излишка потребителя и в
условиях частичного равновесия было дано в практически неизвестных на Западе работах
Zajac (1979) и Stahl (1980, 1983)11,а предвосхищено в Burns (1973).
Наше исследование вводит монотонный критерий совокупного Маршаллианского
излишка потребителя (монотонный CS-критерий) и утилитаристский критерий общественного благосостояния на примере ящике Эджуорта. Данный критерий, конечно, не
порождает отношение полного предпорядка на ящике Эджуорта, но порождает отношения
Парадокс Бодвэя означает, что сумма компенсирующих или эквивалентных вариаций, рассчитанная для
двух аллокаций на контрактной кривой, не может служить мерой потенциального улучшения по Парето,
поскольку в общем случае она не равна нулю, а может быть больше нуля: т.е. положительная сумма CV не
является достаточным условием для потенциального улучшения по Парето. Каждая корректная мера общественного благосостояния должна быть равна нулю вдоль контрактной кривой, так как невозможно достичь
потенциального улучшения по Парето, лишь перемещаясь по контрактной кривой. Наша Маршаллианская
мера общественного излишка потребителя в точности удовлетворяет этому требованию.
10
Разумеется, в силу невозможности полного агрегирования предпочтений даже в простом ящике Эджуорта,
наш Маршаллианский излишек также страдает от парадокса, похожего на парадокс Бодвэя, но имеющего
несколько иную форму. Более подробно см. анализ на www.eerc.ru.
11
В широко известном на Западе Palgrave Dictionary of Economics (1986), в обзорной статье Takayama об
излишке потребителя, нет даже ссылок на работы Zajac (1979) и Stahl (1980, 1983), то есть во многом решение этой проблемы на Западе не известно, или, скорее, малоизвестно!
9
полного предпорядка на каждом из соответствующих подмножеств сравнимых по этому
критерию состояний в ящике Эджуорта: верхнем, нижнем подмножестве ящика, и на контрактной кривой. Таким образом, наша работа представляет анализ более общей ситуации, чем проанализированный в работах Slivinski (1987) и Blackorby and Donaldson’ (1999)
случай, где рассмотрен только независимый от траектории общественный излишек потребителя12.
2. Модель и результаты расчётов
В экономике ящика Эджуорта H  2 потребителя, пронумерованных h  1, 2 и
N  2 потребительских товара, индексируемых i  1, 2 . Вектор совокупных запасов товаров имеет вид:  (t )
0 , в численных расчётах 1 ;2    20;15 . Вектор валового спроса
или потребления агента h в точке или состоянии t обозначается c h (t ) , распределение или
аллокация товаров – это вектор c(t )  (c1 (t ), c 2 (t )) и вектор совокупного потребления имеет вид c (t ) : h1 ch (t ) . В модели рассматриваются только допустимые аллокации. Каж2
дый потребитель h  1, 2 обладает C 2 - дифференцируемой квазивогнутой функцией полезности u h (c h ) , предельные полезности положительны, по крайней мере, во внутренней
области (interior) ящика Эджуорта. В численных расчётах используются функции КоббаДугласа:
u1  (c11 )1/ 2 (c12 )1/ 2
(1)
u 2  (c12 )3 / 4 (c22 )1/ 4
(2)
Вектор резервных цен потребителей обозначается p(t ) 
 p , p  ;  p , p   0 ,
1
1
1
2
2
1
2
2
p11 и p12 -
резервные цены потребителей для первого товара и p12 , p22 - резервные цены для второго
товара. В данной работе мы обобщаем модель резервной цены и излишка потребителя,
представленную в Varian (1992, 1996) для специального случая квазилинейных предпочтений. Второй товар является измерителем (numeraire): p2  p12  p22  1 . Резервные цены
являются функциями от распределения товаров и определяются через предельные нормы
замещения: p11 (c)   MRS 1 (c1 )  MU11 (c1 ) / MU 21 (c1 ) для первого агента, и для второго p12 (c)   MRS 2 (c 2 )  MU12 (c 2 ) / MU 22 (c 2 ) . В работе мы фиксируем предпочтения потребителей, сосредотачивая внимание только на изменениях в распределениях товаров между
агентами. Траектория (или путь интегрирования) - это формально (кусочно) гладкая па-
Маршаллианский излишек общества вдоль монотонной траектории является некоторым обобщением известного подхода Bruce and Harris (1982).
12
раметризация  : 0,1  S , где S есть множество всех возможных в модели социальных
состояний (то есть допустимых аллокаций с). Другими словами, траектория в нашей модели – это просто (векторно-значная) кусочно-гладкая функция c   (t ) , или просто c (t ) ,
определённая на интервале 0,1 . Траектория c   (t ) соединяет два социальных состояния или распределения c и c , если  (0)  c и  (1)  c  , мы обозначаем такую траекторию
как  (c, c ) . Для заданной экономики ящика Эджуорта с установленными совокупными
запасами траектория имеют простую интерпретацию. Её геометрическое изображение некоторый линейный сегмент (линия) или некоторая кривая в заданном ящике Эджуорта.
Для произвольной экономики, траектория – это просто произвольная непрерывная последовательность допустимых распределений.
Определение. Процесс (траектория процесса) Эджуорта13 или траектория добровольного обмена - любая траектория в заданной экономике ящика Эджуорта с неубывающей полезностью каждого потребителя по траектории: u h (t ) / t  0 t  0,1 , 
h=1,2.
Определим далее (фактический) коэффициент перераспределения (реаллокации) для
первого потребителя r11 (t ) : c21 (c11 (t )) / c11 (t )
рого потребителя: r12 (t ) : c22 (c12 (t )) / c12 (t )
вдольc ( t )
вдольc ( t )
   c12 (t ) / t  /  c11 (t ) / t  и для вто-
   c22 (t ) / t  /  c12 (t ) / t  .
В заданном ящике Эджуорта, эти коэффициенты реаллокации идентичны:
r11 (t )  r12 (t )  r1 (t ) , и вдоль траектории процесса Эджуорта они представляют собой фак-
тическое отношение (цену) обмена двух товаров.
Определение. Меновая цена (стоимость) первого товара p1e (t ) - это коэффициент реаллокации r1 (t ) вдоль заданной траектории процесса Эджуорта.
Эта меновая стоимость или цена первого товара изменяется в общем случае вдоль
траектории Эджуорта, кроме особого случая, когда траектория является Маршаллианская
траекторией, которая проходит вдоль Вальрасовской бюджетной линии; см. ниже.
Определение. Пусть первый потребитель является чистым покупателем первого
товара. Обратная Маршаллианская функция валового спроса (на первый товар) этого
потребителя – это расширенная функция p11 (c11 (t ))  p11 (c11 (t ); c21 (c11 (t ))) резервной цены
первого потребителя, определенная для заданной траектории процесса Эджуорта c (t ) .
13
Сравните с различными определениями в Uzawa (1962), см. также Negishi (1962).
Маршаллианская обратная функция валового предложения второго потребителя – это
расширенная функция pˆ12 (c11 (t ))  p12 (cˆ12 (c11 (t )); cˆ22 (c11 (t ))) резервной цены второго потребителя (являющегося чистым продавцом первого товара), выраженная как функция от потребления первым потребителем первого товара вдоль заданной траектории процесса
Эджуорта c (t ) .
По аналогии мы можем определить обратную Маршаллианскую функцию валового
спроса второго потребителя или обратную Маршаллианскую функцию валового предложения первого потребителя, если чистый продавец и чистый покупатель меняются местами. Геометрически эти функции являются ничем иным, как кривыми предельных оценок
(marginal valuation curves), введённых в Hicks (1943), см. ниже. Функции типа ci1 (c11 (t )) ,
cˆi2 (c11 (t )) получаются из уравнений, задающих траекторию c (t ) , подробнее см. полный ва-
риант на www.eerc.ru.
Для заданного уровня полезности u h , для траектории Эджуорта c h (t ) , определенной вдоль кривой безразличия для потребителя h, соответствующей u h , Хиксианская
функция валового спроса для потребителя h определяется следующим образом:
z h ( p e (t ), u h )  Arg min  p e (t )c h : u h (c h )  u h   c h (t ) . Здесь меновая стоимость первого
ch
товара есть вектор p e (t )  ( p1e (t ),1) .
В каждой точке t траектории вдоль кривой безразличия потребителя h имеет место
тождество:
p1h (c1h (t ))  p1h (c1h (t ); c2h (c1h (t )))  ( z1h ) 1 (c1h (t ), u h (c1h (t ), c2h (c1h (t )))  p1e (t )
где p1e (t )  ( z1h ) 1 (c1h (t ), u h (c1h (t ), c2h (c1h (t )))) есть просто расширенная обратная Хиксианская
функция валового спроса p1e (t )  ( z h ) 1 (c h (t ), u h ) (на первый товар) для потребителя h.
Словами: обратная Маршаллианская функция валового спроса, определенная для траектории c h (t ) вдоль кривой безразличия потребителя h, соответствующей u h , совпадает с
расширенной обратной Хиксианской функцией валового спроса для потребителя h. Или:
графики Хиксианского и Маршаллианского спроса потребителя совпадают, если траектория идёт вдоль кривой безразличия этого потребителя. Тождество вытекает просто из того
факта, что вдоль кривой безразличия потребителя его резервная цена первого товара тождественно равна той рыночной цене обмена, при которой минимизируются общие затраты
этого потребителя.
Определение. Предположим, что в экономике задаётся Вальрасовская цена p(t) и
пусть начальное распределение запасов потребителя h есть  h  1h ;  2h  . Тогда Вальрасовская функция валового спроса для потребителя h определяется следующим образом:
g h ( p(t ),  h )  Arg max u h (c h ) : p(t )c h  p(t ) h 
ch
Геометрически, например, для наших предпочтений Кобба-Дугласа, эти три основных графика: Маршаллианского, Хиксианского и Вальрасовского спроса существенно отличаются (если только траектория не проходит вдоль кривой безразличия потребителя).
Лишь для квазилинейных предпочтений они совпадают.
Рассмотрим направленную непрерывную (кусочно) гладкую кривую (или линию или
последовательность линейных сегментов) c (t ) на интервале состояний 0,1 . Маршаллианский излишек для потребителя h можно определить с помощью аппарата криволинейных интегралов 2-го рода следующим способом:
1
CS h (0,1)  p h (1)c h (1)  p h (0)c h (0)   c1h (t )
0
p1h (t )
dt
t
(3)
c1h (t )
2
  p (t )
dt  c2h (1)  c2h (0)  i 1  pih (c h (t ))dcih  CS h ( (c, c ),
t
0
 ( c , c )
1
h
1
где c   (0), c    (1) . Здесь резервные цены рассматриваются как косвенные функции от
t, поскольку потребление зависит от t. Эти соотношения могут быть получены при помощи
интегрирования
по
частям
и
из
тождества:
( p h (t )c h (t )) / t  p h (t )c h (t ) / t  c h (t )p h (t ) / t .
Мы покажем ниже в работе, что Маршаллианский излишек (3) геометрически есть
область (площадь) между Маршаллианским графиком спроса и кривой или линией реаллокации (или меновой стоимости).
Суммируя по двум потребителям, мы можем определить теперь совокупный общественный (или агрегированный) излишек потребителя:
1
CS (0,1)  p1 (1)c1 (1)  p 2 (1)c 2 (1)  p1 (0)c1 (0)  p 2 (0)c 2 (0)   c11 (t )
0
1
  p11 (t )
0
1
p11 (t )
p 2 (t )
dt   c12 (t ) 1 dt
t
t
0
1
c11 (t )
c 2 (t )
dt   p12 (t ) 1
 c2 (1)  c2 (0)
t
t
0
 CS ( (c, c))  CS 1 ( (c, c ))  CS 2 ( (c, c ))
(4)
Обратите внимание, что индивидуальный излишек не является в общем случае
функцией полезности, и социальный излишек не является функцией общественного благосостояния. В общем случае, как и для наших предпочтений Кобба-Дугласа, величина излишка зависит от траектории, так что ее значение между начальным и конечным распределением не равно всегда изменению в какой-либо заданной функции общественного благосостояния Бергсона-Самуэльсона. Единственное исключение – трактовка излишка потребителя вдоль конкретной заданной (монотонной) траектории. Параметризация
c   (t ) называется монотонной траекторией для общества (соотв. монотонной траекто-
рией для потребителя h), если предельный социальный Маршаллианский излишек
CS (t ) / t (соотв. предельный индивидуальный Маршаллианский излишек CS h (t ) / t )
имеет постоянный знак вдоль интервала 0,1 . Именно на таких монотонных и кусочномонотонных14 траекториях и строится наш Маршаллианский излишек потребителя.
Используя тот факт, что совокупное потребление в ящике Эджуорта фиксировано и
коэффициенты реаллокации равны друг другу, мы получаем новое выражение для общественного излишка:
c11 (t )
CS (0,1)    p (t )  p (t ) 
dt
t
0
1
1
1
1
   p12 (t )  p11 (t ) 
0
2
1
1
1
c12 (t )
c1 (t )
c 2 (t )
dt    p11 (t )  r11 (t )  1 dt    p12 (t )  r12 (t )  1 dt
t
t
t
0
0
 CS 1 (0,1)  CS 2 (0,1)
Пример расчёта излишка на траектории Эджуорта.
Определение. Маршаллианская траектория15 c (t ) - это траектория процесса
Эджуорта, начинающаяся в некотором субоптимальном распределении c (0) и заканчивающаяся в конечном распределении c (1) , которое является Вальрасовским равновесным
распределением для аллокации c (0) , с меновой стоимостью или ценой, равной в каждой
точке этой траектории Вальрасовской цене равновесия p1 для начального распределения
c (0) .
Кусочно-монотонная траектория означает, что знак предельного Маршаллианского излишка на одних интервалах всегда один, а на других интервалах траектории предельный излишек равен нулю.
15
В литературе, так называемый количественный tatonnement называют иногда Маршаллианской динамикой
после работы Мarshall (1920), см. Mas-Colell, Whinston and Green (1995, p. 625).
14
Мы начинаем движение с начального распределения (запасов) в правом нижнем углу
ящика Эджуорта:  c1 (0), c 2 (0)     20, 0  ,  0,15   и перемещаемся в конечное состояние Вальрасовское
равновесное
распределение
 c (1), c (1)    10,11.25 , 10,3.75  .
1
2
на
контрактной
кривой:
Вдоль этой Маршаллианской траектории, меновая
стоимость или пропорция обмена равна резервным ценам потребителей или цене равновесия Вальраса в конечном распределении: p1e (t )  p11 (1)  p12 (1) в каждой точке t: это означает, что траектория идёт вдоль Вальрасовской бюджетной линии (см. графики в полной
версии работы на www.eerc.ru). Траектория определяется следующим образом:
c11 (t )  20  10t ; c12 (t )  11.25t ; c12 (t )  10t ; c22 (t )  15  11.25t . Легко показать, что:
c12 (t ) 11.25t
p (t )  1 
c1 (t ) 20  10t
1
1
p12 (t ) 
Легко
также
проверить,
3c22 (t ) 45  33.75t

10t
c12 (t )
что
p1e (t )  p11 (1)  p12 (1)  1.125 .
Или,
иначе:
p11e  (c12 (t ) / t ) /(c11 (t ) / t )  11.25 /10  1.125 . Можно показать, что полезность каждого
потребителя растёт монотонно вдоль данной траектории. Таким образом, критерий Парето
должен показать рост уровня совокупного общественного благосостояния вдоль траектории. Чтобы показать, что критерий CS также удовлетворяет критерию Парето по этой траектории, возьмём предельный общественный излишек:
c 2 (t )
CS (t )
22.5t 2  112.5t  90
  p12 (t )  p11 (t )  1

 0 для t  0,1
t
t
t (2  t )
и он является положительной величиной для t  0,1 . Предельный общественный излишек равен  в начале траектории, когда t  0 ; затем постепенно уменьшается, чтобы
стать равным нулю в t  1 , т.е. в Вальрасовском равновесном распределении; но каждый
раз он является положительной величиной по траектории (кроме конечного распределения). Это означает, что CS удовлетворяет строгому критерию Парето по траектории.
Траектория является монотонной для каждого потребителя и для общества. Если мы движемся дальше равновесного по Вальрасу распределения вдоль бюджетной линии с t  1 ,
предельный общественный излишек становится отрицательным: совокупное общественное благосостояние и излишек общества здесь монотонно уменьшаются после того, как
мы пересекаем контрактную кривую в точке Вальрасовского равновесия и движемся далее
от контрактной кривой. Таким образом, общественный излишек достигает максимума
(вдоль траектории) на Вальрасовском равновесном распределении. Это - вариант первой
фундаментальной теоремы благосостояния в рамках подхода общественного излишка для
неквазилинейных предпочтений.
Вычисляем величины общественного и индивидуального излишков, но рассчитываем их, начиная с точки c12  2 или от t  0.2 ; (потому что общественный излишек (и излишек второго потребителя) от c12  0 или от t  0 бесконечно большой, построение всех
функций pˆ 11 () , p12 () показано в полной версии на www.eerc.ru):
1
CS (0.2,1) 
p
2
1
(c12 (t ))  pˆ11 (c12 (t )) 
0.2
c12 (t )
dt  41.19  0
t
Видно, что общественный излишек положителен, потому что траектория проходит
ниже контрактной кривой и движется налево. Теперь вычислим излишек первого потребителя, который в этом случае является излишком продавца:
CS (0.2,1) 
1
c12 (1)
  pˆ
1e
1
(c12 )  pˆ11 (c12 )  dc12  4.77  0
c12 (0.2)
Благосостояние первого потребителя увеличилось по траектории, как показывает его
излишек. Излишек второго потребителя есть излишек покупателя:
CS 2 (0.2,1) 
c12 (1)
  p (c )  p
2
1
2
1
2e
1
(c12 )  dc12  36.42  0
c12 (0.2)
Итак, благосостояние второго потребителя также увеличилось по траектории. Легко
продемонстрировать, что: CS (0.2;1)  CS 1 (0.2;1)  CS 2 (0.2;1) . На следующем рисунке мы
представляем все три определённых нами выше функции спроса для нашего примера
Маршаллианской траектории. Хиксианская функция валового спроса определена здесь
для кривой безразличия второго потребителя, проходящей через Вальрасовское равновесное распределение. Вальрасовская функция спроса определена для начального распределения
 c (0), c
1
2
(0)     20, 0  ,  0,15   . Графики, напоминающие наш, но без всякого мате-
матического обоснования и исследования Маршаллианского излишка потребителя, можно
найти в Mueller (1989, p. 30) и Buchanan and Stubblebine (1962), где области под кривыми
MRS определялись в частичном равновесии как меры изменения полезности агентов в демонстрации действия теоремы Коуза16.
p12 (c12 )
19.125
Маршаллианский
спрос
C
pˆ11 (c12 )
Хиксианский
спрос
Вальрасовский
спрос
A
1.125
D
B
2E
10
20
c12
Мы видим, что три графика спроса существенно отличаются друг от друга, и наш Маршаллианский излишек общества – площадь «треугольника» BCE, ограниченная сверху
обратной Маршаллианской функцией спроса17 p12 (c12 ) , снизу обратной Маршаллианской
функцией предложения pˆ11 (c12 ) – есть интеграл от Маршаллианского, но не Хиксианского,
и не Вальрасовского, графиков спроса и предложения. И в целом предложенный нами
Маршаллианский излишек не совпадает с Хиксианским излишком как интегралом от Хиксианской кривой спроса, и конечно не равен мере изменения области (area variation measure, см. Mas-Colell, Whinston and Green 1995, p. 89). Площадь области BDC показывает излишек чистого покупателя первого товара (это второй потребитель в нашей модели), площадь области BDE показывает излишек чистого продавца первого товара вдоль нашей
траектории. Их сумма в точности равна излишку общества BCE. Таким образом, наш
Маршаллианский излишек общества и потребителей геометрически напоминает стандартный график из учебника микроэкономики, но всё-таки существенно отличается и по
построению, и по своим свойствам.
Buchanan and Stubblebine (1962) ссылаются на кривые предельных оценок, введённые в Hicks (1943). Ради
справедливости необходимо указать, что D. Mueller, со ссылкой на Buchanan and Stubblebine (1962), требовал для случая наших неквазилинейных предпочтений, чтобы эти функции или графики MRS были заменены на графики Хиксианского (компенсированного) спроса (то есть решение в их работах существенно отличается от нашего).
17
Эту кривую Hicks (1943) и назвал кривой предельных оценок. Но он не догадался, что излишек потребителя в точности, а не приближённо (как предложенные им 4 излишка), является интегралом от этой кривой!
16
Литература
1.
Blackorby C. and D. Donaldson (1999), “Market Demand Curves and Dupuit-Marshall Con-
sumers’ Surpluses: a General Equilibrium Analysis”, Mathematical Social Sciences, 37, pp. 139-163.
2.
Boadway R. W. (1974), “The Welfare Foundations of Cost-Benefit Analysis”, Economic Jour-
nal, 84, pp. 926-939.
3.
Bruce N. and R. Harris (1982), “Cost-Benefit Criteria and the Compensation Principle in Eval-
uating Small Projects”, Journal of Political Economy, 4, pp. 755-776.
4.
Burns M.E. (1973), “A Note on the Concept and Measure of Consumer’s Surplus”, American
Economic Review, 63, pp. 335-344.
5.
Buchanan J.M. and W.C. Stubblebine (1962), “Externality”, Economica, 29, pp. 371-384.
6.
Chipman J. S. and J. Moore (1976), “The Scope of Consumer’ Surplus Arguments”, In A.M.
Tang et. al. eds., Evolution, Welfare and Time in Economics: Essays in Honor of Nikolas ReorgescuRoegen. Lexington: Health-Lexington Books, pp. 69-123.
7.
Chipman J. S. and J. Moore (1980), “Compensating Variation, Consumer’s Surplus, and Wel-
fare”, The American Economic Review, 70(5), pp. 933-949.
8.
Dupuit J. (1969), “On the Measurement of the Utility of Public Works”, in Kenneth Arrow and
Tibor Scitovsky, eds., Readings in Welfare Economics, Homewood, pp. 255-283.
9.
Hicks J. (1943), “The Four Consumers’ Surpluses”, Review of Economic Studies, 11(1), pp. 31-
41.
10.
Mas-Colell A., M. Whinston and J. Green (1995), Microeconomic Theory. Oxford, New York:
Oxford University Press.
11.
Mueller D. (1989), Public Choice II. A revised edition of Public Choice. New York: Cambridge
University Press.
12.
Rader T. (1976), “Equivalence of Consumer Surplus, the Divisia Index of Output, and Eisen-
berg’s Addilog Social Utility”, Journal of Economic Theory, 13, pp. 58-66.
13.
Samuelson P. A. (1942), “Constancy of the Marginal Utility of Income”, in Oscar Lange et al.,
eds., Studies in Mathematical Economics and Econometrics, In Memory of Henry Schultz, Chicago, 1942,
pp. 75-91.
14.
Slivinski A. (1987), “The Normative Characterization of Aggregate Consumers’ Surplus
Measures”, International Economic Review, 28, pp. 559-581.
15.
Stahl D.O. (1983), “A Note on the Consumer Surplus Path-of-Integration Problem”, Economica,
50, pp. 95-98.
16.
613.
Takayama A. (1986), “Consumer’ surplus”, in New Palgrave Dictionary of Economics, pp. 607-
17.
Varian H.R. (1996), Intermediate Microeconomics. A Modern Approach. 4th edition. New York:
W.W. Norton  Company.
18.
Zajac E.E. (1979), “Dupuit-Marshall Consumers’ Surplus, Utility, and Revealed Preference”,
Journal of Economic Theory, 20, pp. 260-270.