ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЯЗКО-УПРУГОЙ ЭВОЛЮЦИИ НАПРЯЖЕНИЙ В СИСТЕМАХ ВКЛЮЧЕНИЕ-МИНЕРАЛ-ХОЗЯИН

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЯЗКО-УПРУГОЙ ЭВОЛЮЦИИ
НАПРЯЖЕНИЙ В СИСТЕМАХ ВКЛЮЧЕНИЕ-МИНЕРАЛ-ХОЗЯИН
В.П.Жуков1, А.В.Корсаков2
1
Институт вычислительных технологий СО РАН, Новосибирск
2
Институт геологии и минералогии им. В.С. Соболева, Новосибирск
THE NUMERICAL MODELLING OF VISCOELASTIC EVOLUTION OF THE
STRESS IN INCLUSION–HOST SYSTEMS
V.P. Zhukov1, A.V. Korsakov2
1
Institute of Computational Technologies SB RAS, Novosibirsk
2
Institute of Geology and Mineralogy SB RAS, Novosibirsk
A viscoelastic model was applied for reconstruction of the P-T history of coesite-quartz inclusion in garnet using the
residual pressure distribution. The possibility of phase transition coesite  quartz and relaxation of the shear stresses
are taken into account. The cases of inclusion and the host are concentric spheres (1-D) and parallelepipeds (3-D) are
considered. The equations are solved numerically. In 3-D case the finite-difference code with shifted grids was used.
The equations, which are of elliptic type were solved by splitting method. The model had shown, that coesite-quartzgarnet system firstly suffer the nearly isothermal decompression from 6 GPa (the depths about 150 km) to 1 GPa (40
km) at high temperature (about 1300 K) and than it is simultaneously cooled and exhumed to ambient conditions.
Введение
Информация о пути тела на плоскости давление-температура (P-T-диаграмме) блока
горных пород необходима для объяснении процессов горообразования. Поскольку давление
является известной функцией расстояния от поверхности Земли, то задача о восстановлении
траектории блока сводится к задаче о восстановлении его P-T-пути. Знание траектории
движения блока горных пород способствует установлению закономерностей возникновения
и распространения очагов землетрясений [1], а также способствует выявлению областей
алмазоносных пород.
Для реконструкции P-T-траекторий традиционно используется измерения остаточных
напряжений во включения одних минералов в других, находящихся при комнатных условиях
[2-6]. Предыдущие исследования использовали модели, основанные на уравнениях теории
упругости (elastic model) [6,7]. Причем эти модели были направлены на поиск
аналитического решения, в сферически симметричном случае которые оказываются
громоздкими даже в случае простейших систем включение--минерал-хозяин, состоящих из
двух минералов. Дополнительные сложности привносит попытка учета термодинамической
возможности фазового перехода. В работах [8-10] использовалась численная модель,
позволяющая рассчитывать распределение механических напряжений в системах, состоящих
из произвольного количества слоев различных минералов, учитывающая термодинамической
возможности фазового перехода. Существенным недостатком эластичных моделей является
значительные расхождения в вычисленном по этой модели и измеренном методами КРспектроскопии [8-10] распределении остаточного давления в трехслойных системах. Для
устранения этих недостатков упругой модели необходимо использовать модель,
учитывающую возможность релаксационных процессов, которые ранее обсуждались лишь
на качественном уровне [8,11].
Постановка задачи
Предполагая, что характерный размер включения составляет десятки микрон, а время
интересующих нас геологических процессов сотни тысяч и более лет будем описывать нашу
систему простейшими уравнениями вязко-упругой среды пренебрегая инерционными
членами и полагая температуру T постоянной по объему
 ik
 0 ,     P  2 s
xk
P   K (u  3 (T )  P0 / K0 )
s
t
su  u

s
r

su
t
(1)
(2)
(3)
1  u u
1
u



 u  , 
2

x
3
  x



(4)
t  0 : u  0 , s  0 .
Здесь u - компонента вектора смещения, P - давление,  - коэффициент
линейного расширения (с учетом фазового перехода), K и  – модули упругости и сдвига,
K 0 - модули упругости в начальный момент времени,  r - время релаксации. Граничные
условия соответствуют внешнему давлению по нормали n :   n   Pout n . Данные о
значениях различных коэффициентов взяты из работ [12,13]
Для решения поставленной задачи в были созданы одномерный, отвечающий
сферической симметрии (отлична от нуля только радиальная компонента смещения) и
трехмерный (в декартовой геометрии) коды. При этом в одномерном случае учитывалась
скорость границы раздела фаз (скорость роста каймы кварца вокруг включения коэсита).
Численное решение
Для решения одномерной задачи расчетная область разбивалась на отрезки. На i -ом
отрезке
полагалось,
что
компонента
смещения
ur  Ar  B / r 2 ,
соответственно
surr  2 B / r 2 , srr  2b / r 2 . Здесь A, B, b - коэффициенты, зависящие от времени и
номера отрезка. Заметим, что при постоянных на каждом отрезке значениях K ,  , r , 
такие зависимости являются точными. Производные по времени в (3) заменялись конечными
разностями. Получаемая система линейных уравнений решается без труда.
В трехмерном случае для наиболее естественной и компактной аппроксимации
пространственных производных различные величины вычислялись на сдвинутых сетках: u x
вычислялась в точках i, j  1/ 2, k  1/ 2 , u y - в точках i  1/ 2, j, k  1/ 2 , u z - в точках
i  1/ 2, j  1/ 2, k ,  , K ,  ,  , s - в точках i  1/ 2, j  1/ 2, k  1/ 2 ,  xy , sxy - в точках
i, j, k  1/ 2 ,  xz , sxz - в точках i, j  1/ 2, k ,  yz , s yz - в точках i  1/ 2, j, k . Для
аппроксимации недиагональных компонент
  необходимо вычислять значение  ,
например, в точках i, j, k  1/ 2 . Не вдаваясь в подробности, скажем, что в интересующем на
случае разрывных коэффициентов значение это лучше сделать с помощью формулы
(  )i , j 1/ 2,k 1/ 2 
2i 1/ 2, j 1/ 2,k 1/ 2 i 1/ 2, j 1/ 2,k 1/ 2
i 1/ 2, j 1/ 2,k 1/ 2  i 1/ 2, j 1/ 2,k 1/ 2
2(  )i , j 1/ 2,k 1/ 2 (  )i , j 1/ 2,k 1/ 2
(  )i , j ,k 1/ 2 
(  )i , j 1/ 2,k 1/ 2  (  )i , j 1/ 2,k 1/ 2
,
Возникающие при решении поставленной задачи уравнения эллиптического типа
решались методом установления. При этом на каждом шаге итераций использовалась схема
стабилизирующей поправки. Расщепление производилось по направлениям.
Результаты расчетов
Рассмотрим включение коэсита в гранате. Данные измерений показывают, что
типичной является ситуация, когда включение диаметром 40 мкм окружено каймой кварца,
являющегося фазовой разновидностью коэсита, толщиной 1-3 мкм. При этом давление в
коэсите постоянно и  1.8 ГПа, среднее давление в оболочке кварца ~ 1.2 ГПа, давление в
гранате непосредственно вблизи включения существенно меньше 1 ГПа.
При расчётах в рамках одномерной (включение имеет форму шара) предполагалось, что
система первоначально находится при температуре T0 и внешнем давлении P0 ,
соответствующих поле стабильности коэсита (большие глубины >120 км и давления >4 ГПа),
затем за время t1 давление и температура изменялась линейно со временем до значений
P1 , T1 , а затем за время t2 - до комнатных значений. Было проведено большое количество
расчетов с различными параметрами пути и различными значениями времени релаксации,
которое известно с точностью до 2-х порядков. Несмотря на эту неопределенность, модель
дает весьма определенный Р-Т путь, обеспечивающий соответствие распределения
остаточного давления измеряемому. Оказывается, что стартуя с глубин около 150 км
(давление ~6 ГПа, температура ~1300 К) порода претерпевает декомпрессию при сохранении
высокой температуры до давления ~1 ГПа, а затем происходит одновременное снижение
температуры и давления вплоть до 298К и 10-5 ГПа. Время пути составляет миллионы лет.
Расчеты 3-х мерной модели не выявили принципиальных отличий от одномерного случая.
Измерение распределения остаточного давления включения алмаза в гранате, в отличие
от включений коэсита-кварца, дает менее определенную картину. Давление в алмазе может
существенно зависеть от координаты и различаться в разных включениях в пределах одного
и того образца от 0 до 1.5 ГПа. Распределение давления зависит также от формы алмаза.
Существенным отличием системы алмаз-гранат от системы коэсит-кварц-гранат является
очень большое время релаксации сдвиговых напряжений в алмазе. Попытки подобрать путь
на P-T диаграмме дающий остаточное давление, соответствующее измеряемому в
одномерном случае приводят к заключению о невозможности реконструкции P-T пути. Посуществу можно только сказать, что непосредственно перед тем, как попасть на поверхность
Земли система находилась в области высоких температур и малых давлений. Используемая
модель не может дать ответа на вопрос о времени пути (например, случай времен ~ 0.03 млн.
лет не имеет кардинальных различий в остаточном давления в алмазе по сравнению со
случаем времен ~ 3 млн. лет). Можно утверждать, что путь не может пролегать в области
низких температур и высоких давлений. Также путь не может проходить в области
температур >1600 К, т.к. в этом случае начинается графитизация алмаза. Расчет по 3-мерной
модели показал существенную зависимость распределения остаточного давления в алмазе от
формы алмаза. В случае сферического включения давление в алмазе постоянно (это точное
следствие одномерной модели). В случае куба давление в центре алмаза оказывается
минимальным и нарастает к периферии. Причем, максимум давления достигается в
вершинах куба. Изменение давления в пределах алмаза может быть сравнимо с самим
давлением.
Выводы
В работе описаны методы численного решения уравнений вязкоупругой среды
применительно к описанию эволюции систем включение-минерал-хозяин в 3-мерном
(декартовом) и одномерном (сферически симметричном) случаях. Показано, что вязкоупругая модель может успешно использоваться для реконструкции пути горной породы на PT диаграмме по распределению остаточного давления в системах включение-минералхозяин. При этом включения коэсита в гранате обладают несравнимо большей
информативностью, чем включения алмаза.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского Фонда Фундаментальных
Исследований (10-05-00616-а).
Список литературы
1.
Добрецов Н.Л., Кирдяшкин А.Г., Кирдяшкин А.А. Глубинная геодинамика. 2-е изд. доп.
и перераб. Новосибирск: Издательство СО РАН, филиал "ГЕО", 2001.
2.
Parkinson C.D. Coesite inclusions and prograde compositional zonation of garnet in
whiteschist of the {HP-UHPM} Kokchetav massif, Kazakhstan: a record of progressive {UHP}
metamorphism. 2000. Vol.~52. P.~215-233.
3.
Sobolev N.V., Fursenko B.A., Goryainov S.V. et~al. Fossilized high-pressure from the earths
deep interior - the coesite-in-diamond barometer//Proceedings of the National Academy of Sciences
of the United States of America. 2000. Vol.~97. no. 22. P. 11875-11879.
4.
Ye K., Liou J.B., Cong B., Maruyama S. Overpressures induced by coesite-quartz transition
in zircon //American Mineralogist. 2001. Vol.~86. P. 1151-1155.
5.
Korsakov A.V., Hutsebaut D., Theunissen K. et~al. Raman mapping of coesite inclusions in
garnet from the Kokchetav Massif (Northern Kazakhstan)//Spectrochimica Acta Part A. 2007. Vol.
68. P. 1046-1052.
6.
Nishiyama T. Kinetic modeling of the coesite-quartz transition in an elastic field and its
implication for the exhumation of ultrahigh-pressure metamorphic rocks//The Island Arc. 1998.
Vol. 7. P. 70-81.
7.
Zhang~Y. Mechanical and phase equilibria in inclusion-host systems//Earth and Planetary
Science Letters. 1998. Vol. 157. P. 209-222.
8.
Korsakov A.V., Zhukov V.P., Vandenabeele P. Raman-based geobarometry of ultra-high
pressure metamorphic rocks: an application, problems and perspective//Analytical and Bioanalytical
Chemistry. 2010. P. 397:2739-2752.
9.
Korsakov A.V., De Gussem K., Zhukov V.P. et~al. Aragonite-Calcite-Dolomite Relationships
in UHPM polycrystalline carbonate inclusions from the Kokchetav Massif, Northern Kazakhstan//
European Journal of Mineralogy. 2009. Vol. 21. P. 1301-1311.
10. Korsakov A.V., Perraki M., Zhukov V.P. et~al. Is quartz a potential indicator of ultrahighpressure metamorphism? LaserRaman spectroscopy of quartz inclusions in ultrahigh-pressure
garnets//European Journal of Mineralogy. 2009. Vol. 21. P. 1313-1323.
11. Cayzer N.J., Odake S., Harte B., Kagi H. Plastic deformation of lower mantle diamonds by
inclusion phase transformations//European Journal of Mineralogy. 2008. Vol. 20. P. 333-339.
12. Holland T., Powell R. An enlarged and updated internally consistent thermodynamic dataset
with uncertainties and correlations: the system K2O-Na2O-CaO-MgO-MnO-FeO-Fe2O3-Al2O$_3$TiO2-SiO2-C-H2-O2//Journal of Metamorphic Geology. 1990. Vol. 8. P. 89-124.
13. Katayama I., Karato S.-I. Effects of water and iron content on the rheological contrast
between garnet and olivine//Physics of the Earth and Planetary Interiors. 2008. Vol. 166. Pp. 57-66.