НИС 1 и 2 сем.quantum-algebras

Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины НИС «Quantum Algebras » для направления
010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и 010100.68 «Математика» подготовки магистра
Правительство Российской Федерации
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
"Национальный исследовательский университет
"Высшая школа экономики"
Факультет Математики
Программа дисциплины НИС «Quantum Algebras»
для направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра
и направления 010100.68 «Математика» подготовки магистра
Автор программы:
Такебе Такаши, PhD, ttakebe@hse.ru
Кувабара Тоширо, PhD, toshiro.kuwa@gmail.com
Рекомендована секцией УМС по математике «___»____________ 2012 г.
Председатель С.М. Хорошкин
Утверждена УС факультета математики
«___»_____________2012 г.
Ученый секретарь Ю.М. Бурман_____________________
Москва, 2012
Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями
университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины НИС «Quantum Algebras » для направления
010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и 010100.68 «Математика» подготовки магистра
1
Область применения и нормативные ссылки
Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к
знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности.
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных
ассистентов и студентов направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра, направления
010100.68 «Математика» подготовки магистра.
Программа разработана в соответствии с:
 ГОС ВПО;
 Образовательными программами: 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и
010100.68 «Математика» подготовки магистра.
 Рабочими учебными планами университета: по направлению 010100.62 «Математика»
подготовки бакалавра и по направлению 010100.68 «Математика» подготовки магистра,
специализации Математика, утвержденными в 2012 г.
2
Цели освоения дисциплины
Целями освоения дисциплины НИС «Quantum Algebras» являются: освоение студентами
основных знаний теории представлений некоммутативных алгебр и методов приложений основных
фактов в алгебре и алгебраической комбинаторике в теорию представлений квантовых групп.
Выработка навыков научного общения на английском языке.
3
Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения
дисциплины
В результате освоения дисциплины студент должен:
 Знать основные понятия квантовых алгебр, некоммутативных алгебр недавно введённых
для того, чтобы выяснить симметрии интегрируемых систем в математической физике.
 Уметь понимать алгебро-комбинаторные аспекты теории представлений квантовых
алгебр: интегрируемые представления и представления со старшим весом, кристальные
базисы, соответствие квантовых алгебр к их классическим пределам.
 Иметь навыки научных дискуссий по алгебре и математической физике на английском
языке.
4
Место дисциплины в структуре образовательной программы
Настоящая дисциплина относится к циклу дисциплин теоретического обучения и блоку
дисциплин по выбору.
…
Изучение данной дисциплины базируется на следующих дисциплинах:
 Алгебра, 1 курс,
 Алгебра, 2 курс.
Студентам рекомендуется ознакомиться со следующими дисциплинами:
 Группы и Алгебры Ли, 3 курс
 Basic Representation Theory, магистратура 1 курс.
Но знания этих двух дисциплин не необходимы.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины НИС «Quantum Algebras » для направления
010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и 010100.68 «Математика» подготовки магистра
Для освоения учебной дисциплины, студенты должны владеть следующими знаниями и
компетенциями:
 Линейная алгебра; Джордановы стандартные формы матриц, разложение в собственные
пространства, бесконечномерные линейные пространства,
 Основные знания алгебры; алгебры и их модули, точная последовательность,
симметрические группы, поле рациональных функций.

5
Тематический план учебной дисциплины
№
1
2
3
1
2
3
6
Хотя понятие квантовых алгебр основано на их классические соответствующие им
объекты как простые алгебры Ли и симметрические группы, знание о них не требуется.
Всего
часов
Название раздела
1 семестр
Квантовые обёртывающие алгебры для sl2
Квантовые обёртывающие алгебры
Кристальные базисы
2 семестр
Пространства Фока
Алгебра Каца-Муди
Алгебра Гекке-Ивахори
Итого:
180
180
360
Аудиторные часы
СамостояПрактиче
тельная
Лекци Семин
ские
работа
и
ары
занятия
32
12
10
10
40
10
15
15
72
148
140
288
Формы контроля знаний студентов
Тип
контроля
Текущий
(неделя)
Промежуточный
Итоговый
Форма
контроля
Домашнее
задание
Зачет
1
Экзамен
1 год
2 3
8
4
8
1
2 год
2 3
Параметры **
4
письменный экзамен
90 мин
V
V
2 домашних задания
6.1
Критерии оценки знаний, навыков
Домашние задания проверяют степень владения теоретическим материалом, а также
корректность и строгость математических рассуждений.
Оценки по всем формам текущего контроля выставляются по 10-ти балльной шкале.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины НИС «Quantum Algebras » для направления
010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и 010100.68 «Математика» подготовки магистра
6.2
Порядок формирования оценок по дисциплине
Результирующая оценка за текущий контроль учитывает результаты студента по текущему
контролю следующим образом:
Отекущий = Осам. работа
Преподаватель оценивает самостоятельную работу студентов: правильность выполнения
домашних работ, задания для которых выдаются на семинарских занятиях, правильность решения
задач на семинаре. Оценки за самостоятельную работу студента преподаватель выставляет в
рабочую ведомость. Накопленная оценка - Осам. работа определяется перед промежуточным
(итоговым) контролем.
Результирующая оценка за промежуточный (итоговый) контроль складывается из результатов
накопленной результирующей оценки за текущий контроль, удельный вес которой составляет k1 =
0,5 и оценки за экзамен/зачет, удельный вес k2 = 0,5.
О промежуточный/итоговый = 0,5 * Отекущий + 0,5 * Оэачёт/экзамен
Способ округления накопленной оценки промежуточного (итогового) контроля в форме
зачета/экзамена в пользу студента.
Студент может получить возможность пересдать низкие результаты за текущий контроль.
В диплом ставится оценка за итоговый контроль, которая является результирующей оценкой
по учебной дисциплине.
7
Содержание дисциплины
1. Раздел 1. Квантовая обёртывающая алгебра алгебры sl2: Определение квантовой
обёртывающей алгебры sl2. Порождающие элементы Шевалле. Структура Uq(sl2) как алгебра
Хопфа. Треугольное разложение Uq(sl2). Неприводимые конечномерные представления
Uq(sl2). Тензорные произведения представлений. Представления со старшим весом Uq(sl2).
Модуль Верма Uq(sl2). Полная приводимость конечномерных представлений. Элемент
Казимира Uq(sl2). Литература: [A], [HK].
2. Раздел 2. Квантовая обёртывающая алгебра: Определение и основные свойства квантовых
обертывающих алгебр. Соотношения Серра. Структура квантовых обёртывающих алгебр как
алгебры Хопфа. Треугольное разложение квантовых обёртывающих алгебр. Представления
со старшим весом квантовых обёртывающих алгебр. Интегрируемые представления
квантовых обёртывающих алгебр. Полная приводимость интегрируемых представлений.
Классический предел. История квантовых алгебр. Литература: [A], [HK]. Квантовые
обёртывающие алгебры называются и квантовыми группами.
3. Раздел 3. Кристальные базисы: Понятие кристальных базисов. Существование кристальных
базисов
интегрируемых
представлений.
Единственность
кристальных
базисов.
Комбинаторные свойства кристальных базисов и представлений. Формула Клебша-Гордона.
Правило тензорного произведения кристальных базисов. Канонические базисы.
Существование канонических базисов. Единственность канонических базисов. Литературы:
[A], [HK].
4. Раздел 4. Пространства Фока: Квантовые аффинные алгебры. Определение пространств
Фока. Диаграмма Юнга. Реализация Хаяши. Кристальные базисы неприводимых
интегрируемых представлений квантовых аффинных алгебр. Теорема Мисры-Мивы.
Литература: [A].
5. Раздел 5. Алгебры Каца-Муди: Определение и основные структуры алгебр Каца-Муди.
Обобщённая матрица Картана. Система корней. Симметризируемые алгебры Каца-Муди и
их билинейная форма. Простые алгебры Ли и аффинные алгебры Ли. Группы Вейля
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины НИС «Quantum Algebras » для направления
010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и 010100.68 «Математика» подготовки магистра
ассоциированные с алгебрами Каца-Муди. Представления со старшим весом алгебр КацаМуди. Интегрируемые представления Каца-Муди. Формула для характера Вейля-Каца.
Полная приводимость интегрируемых представлений. Литература: [K].
6. Раздел 6. Алгебры Ивахори-Гекке: Определение и основная структура алгебр Ивахори-Гекке
типа А. Порядок Брюа. Многочлен Каждана-Лустига. Клеточные алгебры и клеточные
модули. Модули Шпехта и неприводимые представления алгебр Ивахори-Гекке. Элементы
Юси-Мафи. Функтор i-ограничения и функтор i-индукции. Теория ЛЛТА (Ласку-ЛеклеркТибон-Арики). Правило модулярных ветвлений. Литература: [A], [GJ], [X].
8
Образовательные технологии
В рамках семинара предусмотрены мастер-классы экспертов в различных разделах теории
представлений квантовых алгебр. Предусмотрены научные и научно-популярные доклады
студентов, научные дискуссии, в том числе, на английском языке.
9
9.1
Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента
Тематика заданий текущего контроля
Примерные вопросы/ задания для домашнего задания:
1. Доказать, что конкретно данная матрица является R-матрицей, то есть, удовлетворяет
уравнению Янга-Бакстера.
2. Доказать, что конкретно данное отображение является представлением квантовой
алгебры (например, Uq(sl2)).
Вопросы для оценки качества освоения дисциплины
Примерный перечень вопросов к зачету (экзамену) по всему курсу или к каждому
промежуточному и итоговому контролю для самопроверки студентов.
1. Определить соотношения Шевалле и корневых подпространства квантовой
обёртывающей алгебры соответствующей данной обобщённой матрицы Картана.
2. Нарисовать кристальный граф данного представления квантовой алгебры.
9.2
10 Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
10.1 Базовый учебник
Нет. Должны быть обеспечены ридеры.
10.2 Основная литература
[A] S. Ariki, Representations of Quantum Algebras and Combinatorics of Young Tableaux,
University Lecture Series 26, Amer. Math. Soc., 2002.
[HK] J. Hong and S. Kang, Introduction to Quantum Groups and Crystal Bases,
Graduate Studies in Mathematics 42, Amer. Math. Soc., 2002.
10.3 Дополнительная литература
[GJ] M. Geck, N. Jacon, Representations of Hecke Algebras at Roots of Unity, Algebra and
Applications 15, Springer-Verlag, 2011.
[K] V. Kac, Infinite dimensional Lie algebras (third edition), Cambridge University Press, 1990.
[L] G. Lusztig, Introduction to Quantum Groups (second edition), Birkh¨auser Boston, 1994.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины НИС «Quantum Algebras » для направления
010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и 010100.68 «Математика» подготовки магистра
[X] Changchang Xi, Cellular algebras, Advanced School and Conference on Representation Theory
and Related Topics, International Centre for Theoretical Physics, 2006
10.4 Справочники, словари, энциклопедии
http://www.wikipedia.org,
article: Quantum group, Crystal base, Hopf algebra, Representation theory, Lie algebra, Universal
enveloping algebra, Lie algebra representation, Root system,
Semisimple Lie algebra, Kac-Moody algebra, affine Lie algebra, Weyl group, Symmetric
group, Young tableau, Iwahori-Hecke algebra.
10.5 Программные средства
Специальные программные средства не предусмотрены.
Однако система Wolfram
Mathematica, установленная на факультетских компьютерах, может оказаться полезной при
проведении математических экспериментов с теорией представлений квантовых алгебр.
10.6 Дистанционная поддержка дисциплины
Специальные дистанционные ресурсы не предусмотрены. Однако должна быть обеспечена
возможность дистанционных консультаций и получений записок лекции по электронной почте.
11 Материально-техническое обеспечение дисциплины
Для проведения семинаров не используется специальное оборудование, кроме, возможно,
компьютерного проектора и системы видеозаписи учебных занятий.