PHILOSOPHICAL TRUTH IN MATHEMATICAL TERMS AND LITERATURE ANALOGIES

PHILOSOPHICAL TRUTH IN MATHEMATICAL TERMS
AND LITERATURE ANALOGIES
In this post-modern time, it seems that no scholar in Europe supports what is
called “Enlightenment Project” with its naïve objectivism and Correspondence
Theory of Truth1, – though not being really hostile, just strongly skeptical about it.
No old-fasioned “classical” academical texts; only His Majesty Discourse as chain
of interpretations and re-interpretations. What was called objectivity “proved to
be” inter-subjectivity; what was called Object (in Latin and German and Russian
tradition) now is related to as a phenomenon; what was called Subject either is
looked upon as Cartesian “cogito” or disappeares at all; what was called Truth
turned to be either method of demonstration (by positivists) or the author’s
sincerity (by existentialists); what was called Essence is now merely a joke.
Alternatively, we speak about Sense, Meaning, and Value.
Leaving value alone, it seems necessary to underline that the classical Theory
of Knowledge, be it materialistic (‘Locke’s paradigm’) or idealistic (‘Cartesian
paradigm’), is pressed out nowadays by the so-called /relativistic/ “Theory of
Understanding” with its crucial notions of Dialogue, Communication, and
Interpretation instead of Subject-Object dilemma, Private Language, and
Cognition. The latter syntagmatic axis is looked upon by postmodernists as some
archaic gnoseological “Robinsonade”.
Within this abstract, it is offered to return to classics and to define Truth with
the help of accurate science and great literature.
I argue that human consciousness, including both awareness and judgement, is
always aimed at some object, and this intention has different directions of fit (“one
way – but many roads”), most simply described as AC/DC. (Alternative current
means here the process of learning using signs; Direct current is a word for
perception or also intuition, which
1
is prior to signification lift and seems
Truth – [ME trouthe, fr. OE trēowth, fidelity; akin to OE trēowe, faithful]; True – [ME trewe, fr. OE
trēowe, faithful; akin to OHG gitriuwi, faithful; Skt dāruna, hard; dāru, wood]; Tree – [ME, fr. OE trēow; akin to
ON trē, tree, Gk drys, Skt dāru, wood]… Webster’s Seventh New Collegiate Dictionary. Springfield, Mass., USA.
immediate).
The world being absolute object can be regarded both as “given” and “taken”;
it’s like in marital embrace, where when you give, you take; so “more objectivity”
always means “more subjectivity”. Every concrete object of cognition can be seen
as reconstructed and/or constructed in the mind. Human agent, the knower, is
seeking for true knowledge, and the operation can be graphically or metaphorically
described as the movement of a fan around some thing, axis or even point. It
actually is a process of approximation...
The object can be metaphysically reconstructed as a multitude of parts and
elements and points and their relationship; human knowledge, which can be true or
false, is ideal “obtaining”, or presentation, of the object in the form of different
images, abstractions, and symbols; truth is an idea of adequate knowledge; it can
be modelled as a finite goal of cognition, absolute as a steady point with most
certain meaning (or even number, and that is 0,693...). “But is it true?
Notwithstanding, we doubt it!”
But what is truth?
There is ancient irony in the question; as if thousands of years we’ve been
asking: Does there exist such thing as Absolute Truth (which I doubt since I put
the question), whereas I’m (absolutely) sure in existence of such a thing as
Relative Truth – since it is evident?
But reallistically speaking, truth is an abstract image, isolating one
characteristics of right (adequate) knowledge: to be “pünktlich”, accurate, precise
reflection of an object of learning. This accurate knowledge is a result of
intellectual work, striving to harmonize the ideal reflection and its referent, to
adjust the gnoseological image to the original outer thing or quality or relation. So
it is right to speak of true (or false) knowledge, coinciding and “agreeing” and
coordinating and corresponding and conjoining and becoming congruent and
uniting with its target object.
Which unity of course we traditionally call Truth in the great and primordeal
meaning of a word.
There are philosophers who think that truth is part of Being (like Heidegger
and other ontologists), and others like myself attributing it to knowledge only, so
we believe in the Universe without the Knower there is no such thing or
characteristics as truth. Some philosophers, in turn, think of truth as something
characterizing only Speech, – sentences or propositions (mostly logicians; Thomas
Hobbes, too).
The key words to explain true knowledge are: similarity; “adaequatio”;
“ordo et coherentia”. Order was longly viewed as proprium of quality (for ex., by
Boetius: “due to it we attest things as similar or non-similar to the other”). In
ontology, consciousness is defined as genetically ideal=non-material. In
gnoseological aspect, cognition is seen as genetically true. Truth is ideal mental
image, and it possesses all qualities of the kind: presentation and objectiveness.
Specific definitive characteristics of such image is its ability to present and transfer
“ordo et coherentia” of essential qualities and relations of the object reflected.
Now to the “number of truth”. To obtain it we should make use of
mathematical theory of rows, or series, of numbers, U1, U2, U3,… Un,… They are
summed up as follows:
S1 = U1
S2 = U1+U2
S3 = U1+U2+U3
Sn = U1+U2+U3+… Un
If the series is unlimited by some finite number, it has got no definite general
sum Sn. Then the row is divergent, or dispersing, like in 1 + 2 + 3 + 4 + … + n +…
Here S1 = 1, S2 = 3, S3 = 6, … Sn = n(n+1)/2, …
If Sn is a limited finite number, the series is concentrating, or meeting; e.g.,
1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + … + (1/2)n+1 + … – is not dispersing, but meeting and
concentrating on one certain number:
S1 = 1, S2 = 11/2, S3 = 13/4, … Sn = 2·(1/2)n-1, … here limSn = 2 (by n → ∞); it
might be reconed as a target or rather Aristotelian “telos” of the whole series.
If the series has no limit at all it is called indefinite: e.g.,1 – 1 + 1 – 1… + (–
1)n+1 + …
The utmost judgement runs as follows.
The series in which the general member Un → 0 can both disperse and meet
(concentrate):
 the normal row: 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + … (1/2)n–1 + … – is concentrating;
 the harmonious row: 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 +… – is dispersing
though its general member Un → 0;
S2 = 1 + 1/2 = 3·1/2,
S4 = S2 + (1/3 + 1/4) > 3·1/2 + (1/4 + 1/4) = 4·1/2,
S8 = S4 + (1/5 + 1/6 + 1/7 +1/8) > 4·1/2 + (1/8 +1/8 +1/8 +1/8 ) = 5·1/2,
S16 = S8 + (1/9 + 1/10 + … + 1/16) > 6·1/2 etc.
 but: the derivative row obtained from harmonious row by changing the sign
of even numbers from plus to minus: 1 – 1/2 + 1/3 – 1/4 + 1/5 – 1/6 + 1/7 – … – is
concentrating (!) This very series of numbers depicts the “fan-like” movement of
approximation, or adjustment, to a certain target point (“telos”). And its Sum is
0,693...
S1 = 1, S2 = 1/2, S3 = 5/6, S4 = 7/12, S5 = 47/60, S6 = 37/60...
S
0______________________S2_____S4__S6_____↓_____S5___S3___1
0,1…
0,5
0,6
0,693…
0,8 0,9
Every even number S2, S4, S6... moves right and every odd number S1, S3, S5...
moves left, and in the end they meet in the certain S-point. Bingo. The goal. The
absolute true knowledge about concrete object found.
We should remember though, that point S2n and point S2n+1 infinitely come
close together: S2n+1 – S2n = 1/2n+1 → 0 by n → ∞. The process of cognition is
really endless... But the model itself of seeking and finding the target-object seems
most valid. And this can be presented as PHILOSOPHICAL TRUTH IN
MATHEMATICAL TERMS.
Now to PHILOSOPHICAL TRUTH IN LITERATURE ANALOGIES.
One of the most sophisticated and intricate writers of the XX century Gorge
Luis Borjes in his famous postmodern work “Fictious Stories. Tløn, Ukbar, Orbis
Tertius” created the planet (Tløn by name) where reality and probability exchange
places. But the main metaphor of the story, analogous, say, to opera glasses, can
serve as interpretation of our model of truth-approximation, both as process and
result.
“Many centuries of idealism didn’t fail to influence reality. In most ancient
regions of Tløn cases of lost things reduplication are not rare. Two people are
looking for the /lost/ pencil; the first of them finds it and says nothing; the second
man finds another pencil, no less real but better fit for his expectations. These
secondary objects are called hrønirs.
Curious fact: in hrønirs of second and third degree, i.e. in hrønirs derived
from other hrønirs, – intensive distortion of the base hrønir is noted; hrønirs of the
fifth degree are nearly similar to it; hrønirs of the ninth degree one can easily mix
up with the second; and in hrønirs of eleventh degree one can observe the
perfection of siluette missing by the base hrønir. The process is periodic: hrønir of
the twelvth degree demonstrates change for the worse”. Thus we find in the
eleventh hrønir the very “eidos” of the pencil, as we could put it according to
Plato’s terminology and metaphysics. Next degrees worsen it and bring it back to
the base rough thing.
Opera glasses precisely pointed at the object at one other small turn begin to
drive off from the true image, the picture blurs, diffuses and becomes vague... The
purity of eidos vanishes, the line becomes the stripe, the field, the sea... The border
fades down, the limits languish, the terms melt, and from the strongly fixed point
as true as truth and as steady as the Polar star we swim away through the mist of
eternity to the fogs of infinity.
But then, the pendulum always sways back...
Closer and closer to the crucial point; and, getting there, we say: this I know
for certain. This is Truth.
Что есть истина?
(расширенное изложение)
Георг Вильгельм Фридрих Гегель, величайший авторитет в философии и науке,
и не только своего времени, в одной из речей произнес:
«…В самой Германии до начала ее возрождения мысль стала столь плоской,
что считалось доказанным, что познание истины невозможно, что мы не можем
познать природу бога и того, что есть истинного и абсолютного в природе и в духе;
утверждалось также, что познанию доступно или лишь отрицательное, лишь сам тот
факт, что ничто истинное не доступно познанию (преимуществом быть доступным
познанию пользуется одно лишь ложное, временное и преходящее), или же лишь
внешнее, следовательно, все то, что, собственно говоря, и есть ложное, временное и
преходящее… Представители этой точки зрения пошли так же далеко, как Пилат,
римский проконсул, который, услышав из уст Христа слово истина, ответил
вопросом: что есть истина? – вопросом, имевшим тот смысл, что он, Пилат, решил
эту проблему и знает, что не существует познания истины. Таким образом, то, что
искони считалось наиболее недостойным и презренным – отказ от познания истины,
– возведено нашим временем в высший триумф духа». Произнося эту филиппику,
Гегель все же надеялся, что дерзновение свободной мысли, – а философия есть,
может быть, единственное пространство свободы, – как и вера в могущество разума,
все еще вменяются человеку, причастному культуре. «…Здоровое еще сердце
дерзает желать истины, а философия живет в царстве истины, строит его, и,
занимаясь ее изучением, мы становимся причастными этому царству…». (Речь
Гегеля, произнесенная им при открытии чтений в Берлине 22 октября 1818г. С.с. 8183). Вслед за ним многие из нас по-прежнему верят, что потребность познания
истины, величия, Абсолюта есть самая серьезная потребность рода homo sapiens.
Гегель видел в ней отличие духовной природы от природы «лишь чувствующей и
наслаждающейся» и полагал, что она образует глубочайшую сущность духа, мало
того – она в себе, т.е. потенциально, составляет всеобщую потребность. Ощущая
эти идеи как свои собственные, кровнородственные, я много лет провела, будучи
убежденным человеком свободной мысли и законченным материалистом, в
Казанской Духовной Семинарии, читая логику и преподавая английский язык.
Понятно, что по идейным соображениям мне не доверили бы – и не доверили –
читать самое философию. Однако на фоне кризиса разума, науки, рациональности и
засилья релятивизма я чувствовала определенный духовный комфорт среди людей,
не открещивающихся от таких словосочетаний, как Абсолютная Истина. В такой
мере мне, материалисту, по пути и с законодателем объективного идеализма
Гегелем, и с крупным богословом конца ХХ-начала XXI в.в. о. Игорем Цветковым.
На этом же пути и талантливые современные поэты и писатели, мои друзья –
Искандер Абдуллин, Артем Скворцов, Денис Осокин, – и молоденький мулла Аланхазрет. По этому пути я стараюсь вести и своих лучших учеников, их имена широкая
читающая публика очень скоро узнает. Что я говорю им, трактуя об истине?
Примерно следующее.
Заметим, что и богослов, и атеист, и материалист, и идеалист, и человек науки,
и человек искусства согласен, что истина должна как-то совпасть с реальностью или
хотя бы приблизиться к ней.
Первые ограничения.
1. Истина может пониматься как предикат бытия (а не познания, знания,
сознания). Так понимает ее, например, Хайдеггер. (Выводы его кажутся мне – и
являются – уводящими от истины как человеческого измерения представления к
онтологизированной истине, вообще покидающей сферу субъективного, и
толкующими истину как несокрытость и непотаенность сущего.) Так понимает
истину теология, такое значение подсказывает и само русское слово
(истинный=естенный). И Демокрит. В каком-то особом смысле и сам Гегель…
Иногда истина понимается и как синоним бытия, «действительность». Истина – «то,
как оно есть на самом деле» и «то, как оно должно быть в совершенном виде».
Последнее влечет за собой платонизм.
Истинная любовь.
Истинное золото.
Истинный философ.
«Поистине, это так». По истине. (Ср.: «в самом деле…» В самóм!)
Истинное золото=подлинное золото, настоящее золото, реальное золото
2. Истина может пониматься как предикат знания (в гносеологическом смысле
противостоящего бытию). Иногда и как синоним (со)знания. Тогда в совершенном,
собственном виде истина существует только в сфере формальной логики: в
(аподиктическом, атрибутивном=ассерторическом, экзистенциальном) суждении.
(Так – фикция Аристотеля «козлоолень» … существует? Или не существует?) Если
мы приписываем субъекту суждения некий предикат, и он у него действительно есть,
суждение истинно, а если предиката у субъекта в действительности нет, – суждение
ложно. И наоборот, если мы указываем на отсутствие признака, и он у предмета на
самом деле отсутствует, суждение истинное, а если наличествует, – ложное.
Понимаемая как предикат сознания (или познания), но в свернутом,
неэксплицированном виде истина существует в/для наивной материалистической
психологии. Еще раньше установка возникла в материалистической гносеологии: это
известный, старый принцип отражения объекта в сознании (в сознании вообще, а не
только в суждении, т.е. в знании).
3. Истина может пониматься и как предикат речи, и притом у философов
самых разных мастей. (У Гоббса это свойство именно речи: истина – свойство не
вещей, а рассуждений о них. У позитивистов это предикат высказывания. Лидер
одного из направлений логической семантики Альфред Тарски утверждал: истина –
это выполнимость условий формально-логической проверки высказываний. Юрген
Хабермас, классик рационалистического направления ХХ века, приходит к
определенной дискурсной теории истины, то есть рациональности, беспрепятственно
утверждающейся в процессе дискуссии. См., например, комментарий в: Soziologie.
Mikl-Horke Gertruda. 1989. S. 286.).
4. Гегель – философ абсолютного идеализма, и у него основания бытия и
основания познания тождественны, но совпадение их происходит в идее. У Гегеля в
«Науке логики» читаем: «Обыкновенно мы называем истиной согласие предмета с
нашим представлением. Мы имеем при этом в качестве предпосылки предмет,
которому должно соответствовать наше представление о нем. В философском
смысле, напротив, истина в своем абстрактном выражении вообще означает согласие
некоторого содержания с самим собой». (§24 с. 126-127).
«Под истиной понимают прежде всего то, что я знаю, как нечто существует.
Это, однако, истина лишь по отношению к сознанию, или формальная истина, это –
голая правильность. Истина же в глубоком смысле состоит, напротив, в том, что
объективность тождественна с понятием. Об этом-то более глубоком смысле истины
идет речь, когда говорят об истинном государстве или об истинном произведении
искусства. Эти предметы истинны, когда они суть то, чем они должны быть, т.е.
когда их реальность соответствует их понятию». (С. 401 §213).
«Лишь понятие есть истина и, говоря более точно, лишь оно есть истина
бытия и сущности, которые, фиксированные в их изолированной
самостоятельности, должны, следовательно, вместе с тем рассматриваться как
неистинные; бытие должно рассматриваться как неистинное потому, что оно пока
есть лишь непосредственное, а сущность – потому, что она пока есть лишь
опосредованное. (С. 213 §83).
Первые предпочтения.
Берем второе, занимая ту позицию, что истина есть характеристика знания о
мире, а не самого мира, то есть отграничиваемся, отмежевываемся от позиции
онтологизирования истины. А поскольку субстанция языка – смысл,
отмежевываемся на время и от третьей позиции.
Оговариваемся: вся гносеология – колоссальная абстракция, удвоение мира на
субъект и объект, S –– O, наблюдателя и наблюдаемое. Основа главных допущений
гносеологии – качественное различие материальной и идеальной реальности. Пусть у
них один (действительно один!) материальный субстрат, Универсум, – качественное
различие этим не упраздняется.
Аргумент в пользу нашего предпочтения второй позиции: интуитивно
понимаемая, стихийно постулируемая всеми науками познаваемость мира опирается
на признание конгруэнтности сознания и бытия. Поэтому-то объект познаваем сам
из себя, как беспечно полагает любая, особенно так называемая точная наука.
Вопрос о познаваемости мира не может не только быть грамотно сформулирован или
грамотно поставлен под сомнение, но и вообще не может возникнуть при первой
позиции: ОН МОЖЕТ БЫТЬ ТОЛЬКО СРАЗУ РЕШЕН: истина есть
бытие=совершенное=всё.
Подчеркнем еще раз: только философия сомневается в познаваемости мира.
Наука, по определению, есть то, что исходит из признания принципиальной
возможности объяснения объекта из него самого.
Справедливости ради, покажем, на чем, в частности, основано
онтологизирование истины.
Ощущение осмысленности бытия, присущности истины объекту в качестве его
эйдоса, природы или сущности, которую сознание и должно в открытии усвоить и
присвоить, – истины как «непотаенности» и (непредсказуемой) способности давать
себя («данность»), открывать себя, – вот основа подобной онтологизации. На факте
системности, упорядоченности мира зиждется убеждение в том, что каждый объект
имманентно «что-то значит», несет значение, имеет смысл независимо от наличия
или отсутствия познающего. Подмечая повторяемость, закономерность в мире
объектов (причем, по Ф. Бэкону, человек склонен видеть в мире больше порядка, чем
там действительно имеется), человек полагает, что НАШЕЛ смысл, почерпнул его и
сделал своим достоянием, причастившись бытию. Присвоил. Присвоил самым
надежным образом: поглотил.
Не возражая против данного основания, а, напротив, ассимилируя, включая его
в свою гносеологию, подчеркнем, что это фундаментальное родство (истинного)
со/знания и (подлинного) бытия, а именно, упорядоченность, морфизм, мерность и
вытекающее (и втекающее) свойство п о д о б и я объектов одного другому,
безразлично, идет ли речь о материальном или идеальном мире, не позволяют
различить, отличить истину от не-истины, знание – от не-знания.
Итак, еще раз решительно берем второе.
С точки зрения эпистемологии «истина» есть изолирующая абстракция, то есть
некоторое свойство, воплощенное в понятии, в интервале которого мы начинаем
оперировать с отвлеченной от своего субстрата акциденцией как с субстанцией. Того
же ранга понятия «красота», «доброта», «грамотность», «электропроводность»…
«Красота правит миром», например. Строго говоря, следовало бы привлечь для
объяснений не понятие «истина», а понятие «истинность», еще точнее – «истинное»
[нечто]. Однако в отношении термина «истина» традиция словоупотребления столь
древняя и почтенная, что ни отменить, ни даже поправить ее каким-то образом ни у
кого не поднимется голос., тем более, что в этом и нет необходимости. Итак:
Истина –– (минимум) –– предикат знания,
(максимум) –– предикат сознания,
(оптимум) –– синоним сознания.
Иначе сознание в целом неистинно, неверно, ложно, и мир принципиально
непознаваем, и взаимопонимание, отсюда, принципиально невозможно.
А это слишком ужасно.
А ужас – категория эстетическая. Экзистенциальный ужас остановит процесс
любого познания, кроме скептического и… герменевтического.
Примирительным «заходом», по принципу комплементарности, была бы
мозаика: «в одном смысле…», «в другом смысле…».
В узком (формально-логическом) смысле истина – предикат суждения,
существующего в языковой форме.
В широком (гносеологическом) смысле истина – предикат сознания в целом.
Сознание в целом истинно, т.е. в состоянии отразить мир адекватно. Истинны не
только суждения, но и понятия, не только логические, но и чувственные формы
познания.
В расширительном экстрасмысле истина – другое слово для сознания (как при
первой позиции Истина – другое слово для Бытия).
Теперь, попытавшись разобраться в качествах истины и подтвердив, что она
должна как-то приближаться к реальности и в перспективе совпасть с ней,
попробуем подобраться к ней с количественной стороны. Я усматриваю такую
возможность в применении математического учения о рядах, причем наибольшее
значение имеют понятия «сходимости» – приближения к… и «гармонического
ряда». (Более грубой аналогией является «военный» пример наведения снаряда на
цель и так называемая пристрелочная вилка: «недолет–перелет–цель»). Используем
специальную литературу. М.Я. Выгодский. Справочник по высшей математике.
М.: Наука, 1977. § 368.
Пусть дана последовательность чисел U1, U2, U3,… Un,…
Будем складывать их в данном порядке.
S1 = U1 – первая частичная сумма ряда
S2 = U1+U2 – вторая частичная сумма ряда
S3 = U1+U2+U3 – третья частичная сумма ряда
Sn = U1+U2+U3+… Un – частичная сумма ряда
Процесс составления этой последовательности обозначается первым
выражением и называется бесконечным рядом или, короче, рядом. U1, U2, U3…, Un –
члены ряда. Un – общий член ряда.
<!Это очень важно для теории познания, логики, семиотики. Фактически
здесь просто описывается так называемое обобщение семантического треугольника –
«треугольника Фреге» – путем сближения сторон! Но это так, в скобках.–Э.Т.>
Ряд называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм
имеет конечный предел. Этот предел называется суммой сходящегося ряда. Ряд
1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + … + (1/2)n+1 + … – сходящийся, ибо последовательность
S1 = 1, S2 = 11/2, S3 = 13/4, … Sn = 2-(1/2)n-1, … имеет предел, равный 2:
limSn = 2 (сумма ряда) при n →∞
Если последовательность частичных сумм не имеет конечного предела, то ряд
называется расходящимся. Расходящийся ряд не имеет суммы (в установленном
смысле). Ряд 1 + 2 + 3 + 4 + … + n +… – расходящийся, ибо последовательность его
частичных сумм S1 = 1, S2 = 3, S3 = 6, … Sn = n(n+1)/2, … имеет бесконечный предел.
Когда последовательность не имеет никакого предела, расходящийся ряд
называется неопределенным: 1 – 1 + 1 – 1… + (–1)n+1 + …
Необходимое (но недостаточное) условие сходимости ряда:
ряд U1 + U2 + U3 … + Un + … может сходиться лишь в том случае, когда
член Un – (общий член ряда) – стремится к нулю: lim Un = 0 при n →∞
Если общий член Un не стремится к нулю, то ряд расходится:
ряд 1 – 1 + 1 – 1 +… заведомо расходится (?), ибо общий член не стремится к
нулю и вообще не имеет предела.
Однако, с моей точки зрения, предельно важно следующее обстоятельство:
ряд, у которого общий член стремится к нулю, может расходиться, а может и
сходиться. Примеры:

нормальный ряд: 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + … (1/2)n–1 + … – сходится

гармонический ряд****: 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + … – расходится, хотя его
общий член стремится к нулю; но:

ряд, получаемый из гармонического: 1 – 1/2 + 1/3 – 1/4 + 1/5 – 1/6 + 1/7 – …
– сходится (!)
Даём разъяснения. Т. наз. гармонический ряд 1+ 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 +…
расходится, хотя его общий член стремится к нулю. См.:
S2 = 1 + 1/2 = 3·1/2,
Термин связан с математикой Пифагора и его учением о мировой гармонии, или «музыке сфер». Струна
при делении её на 2, 3, 4, … равные части дает звуки, гармонирующие с основным тоном.
****
S4 = S2 + (1/3 + 1/4) > 3·1/2 + (1/4 + 1/4) = 4·1/2,
S8 = S4 + (1/5 + 1/6 + 1/7 +1/8) > 4·1/2 + (1/8 +1/8 +1/8 +1/8 ) = 5·1/2,
S16 = S8 + (1/9 + 1/10 + … + 1/16) > 61/2 и т.д.
Мы видим, что частичная сумма неограниченно возрастает, т.е. ряд
расходится.
NB
1
1
1
1
Ряд 1– /2 + /3 – /4 + /5 – …, (сумма 0,693… при S999, S1000), получаемый из
гармонического путем перемены знака у членов с четными номерами, сходится. Он
сходится! «Отойти, чтобы вернее попасть!»–Э.Т. Докажем это.
1– 1/2 + 1/3 – 1/4 + 1/5 – 1/6 …
Отметим на числовой оси точки, представляющие частичные суммы S1 = 1, S2
1
= /2, S3 = 5/6, S4 = 7/12, S5 = 47/60, S6 = 37/60.
S
0________________________S2_____S4__S6_____↓_____S5___S3__________1
0,1…
0,5
0,6
0,693…
0,8
0,9
Каждая из «нечетных» точек S1, S3, S5 оказывается левее предыдущей, а
каждая из «четных» точек S2, S4, S6 – правее предыдущей, т.е. четные и нечетные
точки движутся навстречу друг другу. Точки S2n, S2n+1 сближаются неограниченно:
разность S2n+1 – S2n = 1/2n+1 стремится к нулю при n →∞. Значит, как четные, так и
нечетные точки стремятся к некоторой точке S (нечетные – справа, четные – слева).
Следовательно, ряд имеет пределом число S , т.е. сходится. Прозаический символ S
здесь – знак для истины, познавательной цели, достижение коей, как свидетельствует
математика, вполне возможно.
Такова наша математическая модель познания истины.
Общеизвестно, но мы напомним читателю: философия и математика
являются двумя колоссальными абстракциями от природы, одинаковой, предельной,
высоты; однако математику интересует количественный, а философию качественный
аспект. И в этом ее родство с художественным изображением, искусством,
литературой по преимуществу. Великая поэзия, зачастую опережая научные
построения, открывает законы истинного познания, музыкальные произведения,
подобные симфониям Малера, выражают целостное философское мировоззрение
гения, религиозная проповедь Оккама фиксирует тончайшую логику истины…
Приведем следующий пример из художественного текста. В нем речь идет о
вымышленной планете под названием Тлён, на которой действительность и
возможность меняются местами; но главное не это: блестящий писатель ХХ века
объясняет, как именно «наводится театральный бинокль» на интересующий нас
объект; как именно происходит схождение гармонического ряда, то есть
приближение к истине.
Хорхе Луис Борхес. Вымышленные истории. Тлён, Укбар, Орбис Терциус.
Соч. в 3-х т. Т.1. «Многие века идеализма не преминули повлиять на реальность. В
самых древних областях Тлёна нередки случаи удвоения потерянных предметов. Два
человека ищут карандаш; первый находит и ничего не говорит; второй находит
другой карандаш, не менее реальный, но более соответствующий его ожиданиям.
Эти вторичные предметы называются «хрёнирами». (С. 308).
Любопытный факт: в «хрёнирах» второй и третьей степени – то есть в
«хрёнирах», производных от другого «хрёна», и «хрёнирах», производных от
«хрёна» «хрёна», – отмечается усиление искажений исходного «хрёна»; «хрёниры»
пятой степени почти подобны ему; «хрёниры» девятой степени можно спутать со
второй; а в «хрёнирах» одиннадцатой степени наблюдается чистота линий, которой
нет у оригиналов. Процесс тут периодический: в «хрёне» двенадцатой степени уже
наблюдается ухудшение. (С.308-309)».
Бинокль, тщательно наведенный на объект, еще при одном маленьком
повороте верньера начинает отходить от истины, изображение расплывается…
Чистота линии эйдоса, «хрёнира одиннадцатой степени», пропадает, линия
становится полем, становится морем… Граница исчезает, тает определенность
объекта, из точки «икс», с таким трудом зафиксированной, мы снова уходим в
туманы бесконечности. Такова наша литературная модель познания истины.
А наше философское определение еще предстоит построить. Вместо
строгости математики в нем должна быть такая же неумолимая строгость логики;
вместо поэзии Борхеса или потускневших метафор вроде «соответствие»,
«совпадение» «согласование» [знания и действительности] – смысловая
категориальная насыщенность теории символов и знаков. И обязательно должна
сохраниться высота абстракций Гегеля. Однако желание мое таково: не отказываясь
от принципа единства оснований бытия и оснований познания, построить
безупречную материалистическую дефиницию истины. Что пока никому не было
под силу, поскольку традиционный рационализм сопрягается с идеализмом, как и
традиционная метафизика, а традиционный материализм слишком прочно связан с
достижениями частных наук и зависит от их взлетов и падений. Все же подобный
интеллектуальный шаг мы с моими учениками сделать вполне способны.
Да будет так.