Построение

Банк задач по теме:
«Окружность»
Найдите радиус окружности, вписанной в квадрат ABCD, считая стороны
квадратных клеток равными
.
Найдите радиус R окружности, описанной около треугольника ABC, если
стороны квадратных клеток равны 1. В ответе укажите
.
В четырехугольник ABCD вписана окружность,
,
. Найдите четвертую сторону четырехугольника.
и
Три стороны описанного около окружности четырехугольника относятся (в
последовательном порядке) как
. Найдите большую сторону этого
четырехугольника, если известно, что его периметр равен 32.
Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания
одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 5 и 3, считая от
вершины, противолежащей основанию. Найдите периметр треугольника.
Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 3 и 5.
Найдите среднюю линию трапеции.
Боковая сторона равнобедренной трапеции равна ее меньшему основанию,
угол при основании равен
, большее основание равно 12. Найдите радиус
описанной окружности этой трапеции.
Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 6. Радиус описанной
окружности равен 5.
Найдите высоту трапеции.
Сторона AB треугольника ABC равна 1. Противолежащий ей угол C равен
. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
2
Одна сторона треугольника равна радиусу описанной окружности. Найдите
угол треугольника, противолежащий этой стороне. Ответ дайте в градусах.
Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен
Найдите сторону этого треугольника.
.
Найдите радиус окружности, вписанной в квадрат со стороной 4.
В треугольнике ABC
, угол C равен
. Радиус описанной
окружности этого треугольника равен 5. Найдите AC.
Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 1, угол при вершине,
противолежащей основанию, равен
. Найдите диаметр описанной
окружности этого треугольника.
Радиус окружности, описанной около правильного треугольника, равен 3.
Найдите высоту этого треугольника.
Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 12. Найдите радиус
описанной окружности этого треугольника.
Найдите величину угла ABC. Ответ дайте в градусах.
Угол ACO равен
. Его сторона CA касается окружности. Найдите
градусную величину большей дуги AD окружности, заключенной внутри этого
угла. Ответ дайте в градусах.
3
Найдите угол ACB, если вписанные углы ADB и DAE опираются на дуги
окружности, градусные величины которых равны соответственно
и
Ответ дайте в градусах.
.
Касательные CA и CB к окружности образуют угол ACB, равный
.
Найдите величину меньшей дуги AB, стягиваемой точками касания. Ответ
дайте в градусах.
Найдите угол ACO, если его сторона CA касается окружности, O — центр
окружности, а дуга меньшая дуга окружности AB, заключенная внутри этого
угла, равна
. Ответ дайте в градусах.
Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен
ABD равен
. Найдите угол CAD. Ответ дайте в градусах.
, угол
Хорда AB стягивает дугу окружности в
. Найдите угол ABC между этой
хордой и касательной к окружности, проведенной через точку B. Ответ дайте в
градусах.
Стороны четырехугольника ABCD AB, BC, CD и AD стягивают дуги
описанной окружности, градусные величины которых равны соответственно
,
,
,
. Найдите угол B этого четырехугольника. Ответ дайте в
градусах.
Центральный угол на
больше острого вписанного угла, опирающегося на
ту же дугу окружности. Найдите вписанный угол. Ответ дайте в градусах.
Дуга окружности AC, не содержащая точки B, составляет
. А дуга
окружности BC, не содержащая точки A, составляет
. Найдите вписанный
угол ACB. Ответ дайте в градусах.
4
Хорда AB делит окружность на две части, градусные величины которых
относятся как
. Под каким углом видна эта хорда из точки C,
принадлежащей меньшей дуге окружности? Ответ дайте в градусах.
Найдите хорду, на которую опирается угол
радиуса 1.
, вписанный в окружность
Чему равен острый вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу
окружности? Ответ дайте в градусах.
ПОСТРОЕНИЕ КАСАТЕЛЬНОЙ К ОКРУЖНОСТИ.
Возможны три случая:
а) точка А лежит на окружности;
б) точка С лежит вне круга;
в) точка В лежит в круге.
Случай а) Задача имеет единственное решение.
Построение касательной к окружности w (O,R) в точке A
принадлежащей окружности.
Касательная к точке, лежащей на окружности (рис. 1, а). Касательная к
окружности должна быть перпендикулярна радиусу, проведенному через
точку касания. Поэтому проводят радиус ОА и в точке А строят
перпендикуляр к ОА. Прямая ВС — искомая касательная. На рисунке
показано построение касательной к окружности с помощью чертежной
линейки и угольника.
5
Касательная к окружности может быть построена и другим способом
(рис.1,6). Через центр окружности О и заданную точку А проводят прямую и
на ее продолжении откладывают отрезок АВ, равный радиусу. Через точку. А
строят прямую DC, перпендикулярную прямой ОВ, она и будет касательной
к окружности в точке А.
Случай
б)
Более содержательной и поучительной задачей является построение к
окружности w (А,R) касательной, проходящей через точку С, не
принадлежащую
ей.
Задача имеет два решения.
Способ1
1. Строим серединный перпендикуляр к отрезку АС.
2. Находим середину отрезка АС (точка D).
3. Строим окружность с центром в точке D и радиусом AD.
4. Находим точки пересечения окружностей E и F.
5. Строим прямые CF и EF. Это искомые касательные.
Способ 2
Касательную из точки А к окружности можно провести следующим
образом:
1. На отрезке ОА как на диаметре строят окружность радиуса R=0,5[OA];
2. Точки 1 и 2 пересечения полученной окружности с заданной определяют
положение точек касания;
6
3. Отрезки [1A] и [2A] определяют положение касательных t1 и t2
проведенных из точки А к окружности.
Случай в). Задача не имеет решений.
Задача 1. ПОСТРОЕНИЕ ОТРЕЗКА, ЧЕТВЁРТОГО ПРОПОРЦИОНАЛЬНОГО К
ТРЁМ ДАННЫМ ОТРЕЗКАМ.
Дано: а, б, с – отрезки.
Построить: отрезок х такой, чтобы а:б=с:х.
Построение: Берём произвольную точку О и проводим окружности (О; а) и
(О; б). Из произвольной точи А на окружности (О; а) описываем (А; с) и
отмечаем точку В пересечения её с окружностью (О; а). Если теперь две
окружности (А; d) и (В; d) произвольного радиуса d>| а –б |, пересекающие
(О; б) в точках А1 и В1, то отрезок х=| А1 В1| - искомый.
Доказательство: треугольник АОА1 подобен треугольнику ВОВ1 (по
трём сторонам), поэтому АОА1= ВОВ1 и АОВ=А1 ОВ1. Равнобедренные
треугольники АОВ и А1 ОВ1 подобны следовательно,
а : б = с : |А1В1|.
Приведённое построение возможно, при с<2а. При c>=2а и б<2а строим
отрезок, четвёртый пропорциональный к отрезкам а, с и б; в противном
случае (с>=2а и б>=2а) сначала строим отрезок na, при этом n берём таким,
7
чтобы c<2па* (или б < 2па). Строим отрезок у, четвёртый пропорциональный
к отрезкам па, б и с. Если теперь построить отрезок х = п у, то получим
четвёртый пропорциональный отрезкам а, б и с.
Задача 2. РАЗДЕЛЕНИЕ ДУГИ АВ ОКРУЖНОСТИ (О,r) ПОПОЛАМ.
Можно предположить, что центр О окружности известен.
Построение: Пологая а =|АВ|, проводим окружности (O ,a), (А,r) и (В,r); в
пересечении получим точки С и D. В пересечении окружностей (С,|СВ|) и
(D,|AD|) получим точку Е. Если теперь начертить окружности (С, |ОЕ|), то в
пересечении их получим точки Х и Х1. Точка Х делит пополам дугу АВ ,
точка Х1 делит пополам дугу , дополняющую первую до полной окружности.
(В том случае, когда окружность(О,r) начерчена, из двух окружностей (С,
|ОЕ|) и(D,|ОЕ|) можно описывать только одну, которая а пересечении с
окружностью (О,r) определит точки Х и Х1 ). В геометрии циркуля прямую
линию принято считать построенной, как только определены две её точки.
Задача 3. На прямой, заданной точками А и В, построить одну или
несколько точек.
Построение. Берём вне прямой АВ произвольную точку С и строим
относительно прямой АВ симметричную ей точку С1. Проводим окружности
(А, /АС/) И (В, /ВС/), которые пересекутся в точке С1.
моньловзиорП
П моснидор r проводим окружности (С, r) и (С1, r), в пересечении которых
получим точки Х и Х1, лежащие на данной прямой АВ. Изменяя величину
радиуса r, можно построить сколько угодно точек данной прямой: Х', Х' 1 и
т.д.
8
Доказательство. Точка С1 симметрична точке С, поэтому прямая АВ
проходит через середину отрезка С С1 и (АВ) ┴[C С1]? Поэтому прямая АВ
является множеством всех точек, равноотстоящих от точек С и С1. В силу
построения /СХ/ = / С1Х/ = r и /СХ1/ = / С1 Х1/ = r, следовательно, Х
принадлежит АВ и Х1 принадлежит АВ.
Вторая и третья операции циркулем выполняются непосредственно.
Рассмотрим доказательство 4 -5 основных операций.
Задача 4. Построить точки пересечения окружности (О, r) и прямой,
заданной двумя точками А и В.
Построение в случае, когда центр О не лежит на данной прямой АВ.
Строим точку О1, симметричную центру О данной окружности
относительно данной прямой АВ (задача 1). Проводим окружность (О1, r)
которая перечёт данную окружность в искомых точках Х и Y.
Доказательство. В предыдущей задаче было показано, что точки Х иY
лежат на прямой АВ, однако эти точки принадлежат и заданной окружности
(О, r), следовательно, {X’Y}= (О, r)∩(АВ).
Построение в случае, когда центр О данной окружности лежит на
прямой АВ.
9
Произвольным радиусом d проводим окружность (А, d) так, чтобы она
пересекалась с данной окружностью в двух точках С и D. Делим дуги СD
данной окружности (О, r) пополам. Точки Х и Y – искомые.
Задача 3. Построить точку Х пересечения двух прямых АВ и СD, каждая
из которых задана двумя точками.
Построение. Строим точки С1
и D1, симметричные соответственно
точкам С и D относительно данной прямой АВ. Проводим окружности (D1,
/CC1/) и (С, / СD/) и обозначаем через Е точку их пересечения. Строим
отрезок х, четвёртый пропорциональный к отрезкам DE, DD1, CD. В
пересечении окружностей (D, x) и (D1, х) получим искомую точку Х.
Доказательство. Так как точка С1 симметрична точке С, а точка D1
симметрична точке D, то, очевидно, мы найдём точку пересечения данных
прямых, если построим точку пересечения прямых СD и C1D1 .
Фигура С C1D1 Е – параллелограмм, следовательно, точки D, D1 , Е лежат
на одной прямой ((DE) ‫(׀׀‬СС1), ((D D1) ‫(׀׀‬СС1)). Треугольники CDE и XDD1
подобны, поэтому / DE/ : /DD1/ = / СE/ : / D1Х/, но /CE/ = /CD/ =/C1D1/
Отрезок х = D1Х является четвёртым пропорциональным к отрезкам DE,
DD1, CD.
Таким образом, было показано выполнение основных операций с
помощью одного только циркуля.
10
Допустим теперь, что некоторую задачу на построение, разрешимую
циркулем и линейкой, требуется решить только циркулем. Представим себе
эту задачу решённой циркулем и линейкой; в результате решение задачи
сведётся к выполнению некоторой конечной последовательности пяти
основных операций. Приведённый метод решения геометрических задач на
построение
одним циркулем приводит к весьма сложным и громоздким
построениям, но всё же он показывает справедливость основной теоремы
циркуля.
Задача №5
Построить прямую, перпендикулярную к заданному отрезку AB и
проходящую через один из его концов.
Дано: [AB]
Построить: (AE)
[AB].
Построение:
Проводим окружность (B,[AB]), берем на ней произвольную точку С
и описываем окружность (С,[AС]). Пусть D – точка пересечения этих
окружностей. Если теперь провести третью окружность (А,[AD]) до
пересечения ее с окружностью (С,[AС]) в точке Е, то получим (AE)
[AB], т.е. (AE) – искомая прямая.
Доказательство:
Отрезок АС соединяет центры окружностей (А,[AD]) и (С,[AС]) , DE
– их общая хорда. Значит, (AC)
ADE – равнобедренный).
[DE] и CAD = CAE ( треугольник
Задача №6
Построить отрезок, в n раз меньший данного отрезка АВ.
Дано: [AB] и n N.
11
Построить: [AX], [AX] =
[AB].
Построение:
Строим отрезок [AC] = n *[AB]. Проводим затем окружности
(А,[AС]), (С,[AС]) и (С, а), которые пересекутся в точках D и E. Если
теперь провести окружности (D, a) и (С,[DE]), то в пересечении их
получим точку Х, для которой [AX] = [AB].
Доказательство:
Точка Х лежит на прямой АВ, так как [AC] [DE] и [CX] [DE]
(фигура CEDX – параллелограмм). Из подобия равнобедренных
треугольников ACD и ADX получим [AX] =
[AB].
Задача №7
Разделить отрезок АВ на три равные части.
Дано: [AB].
Построить: [AX] [XY]
X
[AB] и Y
[YB],
[AB].
Построение:
Строим на прямой АВ точки C и D так, чтобы [CA] = [AB] = [BD].
Проводим окружности (С,[СB]), (С,[СD]), (D,[AD]) и (D,[CD]), в
пересечении которых получим точки Е, Е1,F и F1. В пересечении
окружностей (E,[СE]) и (E1,[СE1]), (F,[DF]) и (F1,[DF1]) определим
искомые точки X и Y, делящие отрезок АВ на три равные части.
Доказательство:
Из подобия равнобедренных треугольников CEX и CDE следует: [CX]
: [CE] = [CE] : [DC]. Принимая во внимание, что [CE] = 2[AB] и [CD] =
3[AB], получим [CX] = [AB], следовательно, [AX] = [AB].
12
Задача №8
Построить центр начерченной окружности.
Дано: окружность .
Построить: Х – центр окружности.
Построение:
Берём на данной окружности точку А и произвольным радиусом d
проводим окружность (А, d), в пересечении получим точки B и D. На
окружности (А, d) определяем точку С, диаметрально противоположную
точке В. Проводим, далее, окружности (С,[СD]) и (А,[СD]) и обозначаем
через Е точку их пересечения. И, наконец, описываем окружность
(Е,[СD]), которая пересечет окружность (А, d) в точке М. Отрезок ВМ
равен радиусу данной окружности. Окружности (В,[ВМ]) и (А,[ВМ])
определят искомый центр начерченной окружности.
Доказательство:
Равнобедренные треугольники ACE и AEM конгруэнтны,
следовательно EAM = ACE.
Далее, BAE = ACE + AEC (
BAE – внешний угол треугольника
ACE), и, с другой стороны, BAE =
BAM + EAM. Отсюда BAM = AEC.
Таким образом, равнобедренные треугольники ABM и ACE подобны,
следовательно, [BM] : [AB] = [AC] : [CE] или [BX] : [AB] = [AC] : [CD].
Из последнего соотношения следует, что равнобедренные
треугольники ABX и ACD подобны, значит,
BAX = ACD =
BAD = DAX; последние два равенства следуют из
того, что BAD = ADC + ACD =
2ACD = 2BAX .
На основании BAD = DAX заключаем, что равнобедренные
треугольники BX и ADX конгруэнтны, следовательно, [BX] = [AX] =
[DX].
Точка X – искомый центр окружности.
13
14