Приложение № 1 Задачи №16 ЕГЭ- 2016

Приложение № 1
Задачи №16 ЕГЭ- 2016
1. В равнобедренном треугольнике ABC AC – основание. На продолжении стороны
BC за точку B отмечена точка D так, что угол CAD равен углу ABD.
a) Докажите, что AB - биссектриса угла CAD.
b) Найдите длину отрезка AD, если боковая сторона треугольника ABC равна 5, а
его основание равно 6.
2. В треугольнике ABC на стороне BC выбрана точка K так, что CK: BK = 1:2. Точка
E – середина стороны AB. Отрезки CE и AK пересекаются в точке P.
a) Докажите, что треугольники BPC и APC имеют равные площади.
b) Найдите площадь треугольника ABP, если площадь треугольника ABC равна
120.
3. В равнобедренном треугольнике ABC (AB=BC) проведены высоты AK, BM,CP.
a) Докажите, что треугольник KMP – равнобедренный.
b) Найдите площадь треугольника ABC, если известно, что площадь треугольника
KMP равна 12, а косинус угла ABC равен 0,6.
4. Площадь треугольника ABC равна 72, а сумма длин сторон AC и BC равна 24.
a) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.
b) Найдите сторону квадрата, вписанного в треугольник ABC, если известно, что
две вершины этого квадрата лежат на стороне AB.
5. В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AM и CN.
a) Докажите, что углы ACB и MNB равны.
b) Вычислите длину стороны AC, если известно, что периметр треугольника ABC
равен 25 см, периметр треугольника BMN равен 15 см, а радиус окружности,
описанной около треугольника BMN равен 3 см.
6. В треугольнике ABC проведена биссектриса CM. Касательная к описанной
окружности треугольника ABC, проходящая через точку C, пересекает прямую AB
в точке P.
a) Докажите, что BC: AC = CP: AP.
b) Найдите длину отрезка CP, если известно, что AM =5, BM = 4.