Диссертация (полная версия)

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК
ДАЛЬНЕВОСТОЧНОЕ ОТДЕЛЕНИЕ
ИНСТИТУТ АВТОМАТИКИ И ПРОЦЕССОВ УПРАВЛЕНИЯ
На правах рукописи
МАЗЕЛИС Андрей Львович
ПРЯМОЛИНЕЙНЫЕ ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ДВИЖЕНИЯ УПРУГОВЯЗКОПЛАСТИЧЕСКИХ СРЕД
01.02.04 – механика деформируемого твердого тела
Диссертация
на соискание ученой степени
кандидата физико-математических наук
Научный руководитель
чл.-корр. РАН, д.ф.-м.н.,
профессор Буренин А.А.
Владивосток – 2010
1
СОДЕРЖАНИЕ
Введение
Глава 1.
4
Основные соотношения теории больших упругопластических деформаций ……………………………………………….
18
1.1. Обратимые и необратимые деформации и уравнения их
переноса …………………………………………………………
19
1.2. Зависимость напряжений от деформаций в процессах
упругого
деформирования
и
процессах
разгруз-
29
ки………………...
1.3. Законы пластического течения …………………………….
33
1.4. Конкретизация модели ……………………………………… 36
Глава 2.
Продавливание упруговязкопластического материала
между жесткими коаксиальными цилиндрическими поверхностя-
44
ми…………………………………………………………….
2.1. Постановка задачи. Начальное упругое равновесие……….. 44
2.2. Деформирование при одностороннем пластическом
течении…….……………..……………………………………
48
2.3. Расчет процесса продавливания…………………………….. 54
2.4. Течение при постоянном перепаде давления………………. 60
2.5. Разгрузка среды……………………………………................. 65
Глава 3.
Вязкопластическое течение: развитие, торможение, остановка и полная разгрузка……………………………………….
72
3.1. Прямолинейное осесимметричное вязкопластическое течение упруговязкопластического материала между жесткими
коаксиальными цилиндрическими поверхностями…………….. 72
3.2. Прямолинейное осесимметричное вязкопластическое течение упруговязкопластического материала, ослабленного
85
2
слоем более податливого материала……………………………..
Заключение
120
Список литературы
122
3
Введение
При моделировании вязкопластических течений материалов используется, главным образом, представление Шведова – Бингама [4, 29, 42, 99, 109,
119]. Считается, что течение в точках тела возникает лишь в случае, когда
напряженное состояние в них достигает поверхности нагружения, а до этого
их окрестность не деформируется. Таким способом все тело в условиях
нагружения разбивается на области, где либо материал не деформируется и
покоится (застойные зоны), либо не деформируется, но движется (жесткие
ядра), либо интенсивно деформируется (течет). При этом границы этих областей продвигаются по материалу деформируемого тела, вовлекая в движение
новые частицы среды при развитии, или, останавливая их при торможении
течения. Построенная на основе подхода Шведова – Бингама теория оказывается существенно нелинейной, а подвижность границ областей течения еще
более усложняет необходимый для решения задач данного класса математический аппарат. Тем не менее, современная механика располагает достаточно
разработанным для этой цели математическим аппаратом. В этой связи,
прежде всего, следует отметить вариационный подход, разработанный П.П.
Мосоловым и В.П. Мясниковым [100, 101]. Интересен и перспективен эвристический метод расчета вязкопластических течений, предложенный А.В. Резуновым и А.Д. Чернышевым [125]. Такие методы, приспособленные для решения задач вязкопластического течения, в настоящее время можно отнести
к первым из ныне широко представленных в научной литературе методов вариационных неравенств. Отметим некоторые точные решения [4, 6, 30, 100,
110, 127, 128], полученные в теории вязкопластических материалов. Такие
точные решения можно получить только при существенных ограничениях на
геометрию течения, поэтому это, в основном, прямолинейные и вискозиметрические течения вязкопластических материалов.
Вязкопластические течения часто связывают с течениями неньютоновских жидкостей [4]. Но в рамках данной модели могут рассматриваться и
4
твердые деформируемые тела, в которых на стадии их пластического течения
существенно проявление вязких свойств [38, 43, 56, 60, 61, 72, 74, 75 , 76, 90,
156, 187, 206], могут также рассчитываться на прочность конструкционные
элементы [29, 40, 41, 46, 104-107, 110, 154, 155, 196, 207, 209]. Следовательно, модель является достаточно универсальной. Очевидно, что в областях
вязкопластического течения деформации необратимы и не могут считаться
малыми. Последнее не вызывает дополнительных математических трудностей, так как задача решается в скоростях, что является обычным для жесткопластического анализа. По иному складывается ситуация, если предположить, что в областях застойных зон и жестких ядер материал деформируется,
но только обратимо (упруго). В этом случае в зоне течения задача решается
снова в скоростях, но там где необратимые деформации отсутствуют или не
накапливаются, соответствующую краевую задачу приходится ставить в перемещениях (как в теории упругости). Тогда на упругопластической границе
обязаны быть равными не только напряжения и скорости, но и перемещения.
Вычисление же перемещений в областях пластического течения может оказаться самостоятельной и не простой задачей [44, 45, 49]. Более того, уровень
напряжений и их распределение по областям течений из-за учета упругих
свойств материала обязан зависеть от распределения и уровня обратимых
деформаций в этих же областях. В случае жесткопластических тел такие деформации отсутствуют, но как только учитываются упругие свойства, то и
напряженное состояние в материале, главным образом, будет задаваться
упругими (обратимыми) деформациями. Все это с неизбежностью приводит к
модели больших упругопластических деформаций, в которой при течении
среды учитываются ее вязкие свойства. Заметим, что до настоящего времени
такой общепризнанной теорией современная механика деформирования не
располагает. Отчего сложилась такая ситуация и каков выход из этой ситуации?
Заметим прежде, что поставленная задача учета упругих свойств материала застойных зон и жестких ядер подразумевает изначально использова5
ние теории пластического течения, а не деформационной теории пластичности. Уже математическая модель жесткопластического тела является моделью пластического течения. Деформационную теорию пластичности иногда
называют теорией упругопластических процессов. Основополагающая заслуга в формулировке основных подходов в построении такой теории принадлежит замечательному русскому механику Алексею Антоновичу Ильюшину
[51 – 54] и его ученикам [34, 55, 91, 92, 113]. Эта теория зарекомендовала себя положительно применительно ко многим прикладным расчетным проблемам. Иногда ее называют теорией малых упругопластических процессов, но,
несмотря на это, имеются удачные попытки обобщения ее на случай конечных необратимых деформаций [34, 97, 98, 113-115, 132, 134, 202, 203]. Особо
следует отметить монографию А.А. Поздеева, П.В. Трусова и Ю.И. Няшина
[114], которая является итогом объемного цикла исследований, посвященных
теории больших необратимых деформаций при малых обратимых. В своей
теоретической части в данной монографии обобщается теория упругопластических процессов А.А. Ильюшина на случай, когда пластические деформации нельзя считать малыми. В рамках такого подхода даются постановки
краевых задач термоупругопластичности, обсуждаются методы их решения,
представлены расчеты в ряде технологических задач. В основу расчетной методики положен метод Галёркина и соответствующие разрешающие конечноэлементные соотношения.
Основополагающие принципы построения теории пластического течения содержатся в [8 – 10, 13, 32, 33, 47, 50, 56, 58, 62, 116 – 123, 131, 133, 135138]. Здесь остановимся, главным образом, на случае, когда деформации, как
необратимые, так и обратимые является большими.
Принято считать, что первой публикацией, в которой обсуждается проблема больших упругопластических деформаций является монография Л.И.
Седова [129]. Разделение деформаций на необратимую и обратимую составляющие связывалось с представлением вектора перемещений частицы среды
в виде суммы обратимого (упругого) и вектора необратимого (пластическо6
го) перемещения. Отсюда суммой упругих и пластических деформаций представлялись полные деформации в теле. Легко показать, что такие представления геометрически несостоятельны. На это было обращено внимание сразу
после публикации монографии. Оказалось, что обобщение классических подходов теории идеальных упругопластических сред (тело Прандтля – Рейса)
на случай больших деформаций встречает принципиальные трудности. Причем эти трудности возникают уже в кинематике упругопластической среды.
Первой и основной из них оказывается само определение упругих и пластических деформаций. Построение математической модели теории течения
упругопластических материалов требует разделения полных деформаций в
каждой точке не составляющие: обратимую или упругую и необратимую,
иначе пластическую. Но если полные деформации поддаются опытному измерению, то упругие и пластические деформации экспериментально неизмеримы. Введение их в рассмотрение диктуется только нуждами в построении
теории и любое определение для них связано с произволом конструктора модели. Следствием этого является наблюдаемое многообразие в моделях
больших упругопластических деформаций и отсутствие общепринятых подходов в моделировании столь сложного механического процесса, каким является процесс интенсивного формоизменения материала при изготовлении изделий из него.
Но таким же следствием оказалось то, что до конца 1969 г. не существовало математической модели больших упругопластических деформаций,
построенной в рамках теории течения. Однако, конец прошлого века отметился тем, что редкий выпуск любого из основных журналов по механике обходился без представлений новых подходов в моделировании больших упругопластических деформаций. Отчего 1969 год является годом начала развития теории? Это оттого, что именно в 1969 году была опубликована статья Е.
Ли [177], в которой впервые была построена непротиворечивая кинематика
упругопластических материалов. Предложение Е. Ли заключалось в том,
чтобы представить градиент полной деформации в виде произведения:
7
F
r r  p

 Fe  Fp
r0  p r0
Здесь r0 , r – радиус-векторы начального и текущего положения точки
интенсивно (как обратимо, так и необратимо) деформируемой среды, p –
радиус-вектор этой же точки в состоянии полной разгрузки. Гипотеза существования такого состояния, не зависящего от того, результатом какого процесса активного деформирования было достигнуто актуальное (текущее) состояние и, главное, от условий реализации процесса разгрузки, является основополагающей. Приведенное выше соотношение иллюстрирует взаимно
однозначное соответствие между точками сплошной среды в ее актуальном
состоянии и состоянии, объявляемым в качестве разгрузочного. При этом последнее не уточняется, ведь после снятия внешнего воздействия на интенсивно и необратимо продеформированное тело, в нем остаются как необратимые, так и обратимые деформации, следствием которых являются остаточные напряжения. Только в сравнительно поздней работе А.Д. Чернышова
[140] находим, что в качестве такого разгрузочного состояния следует принять состояние, лишенное внутренних связей при предельном изменении тела. Вопрос о зависимости данного предельного состояния от пути разгрузки в
пространстве напряжений не обсуждается. Несмотря на имеющиеся противоречия, подход Е. Ли оказал значимое влияние на развитие теории, что было
связано с прозрачностью основных допущений, их относительной простотой
и соответствием представлениям классической теории, когда деформации
остаются малыми. Данный подход использовался в абсолютном большинстве
последующих публикаций, посвященных теории пластического течения при
больших деформациях [39, 75, 84, 85, 112, 139, 140, 149 – 153, 157, 162, 163,
174, 184 – 193, 200]. Так же как и у Е. Ли, в большинстве таких работ постулируемое разгрузочное состояние определяется с точностью до жёсткого
вращения, на котором возможно нарушение принципа индифферентности.
Часто не обсуждается, а иногда и нарушается принцип термодинамической
8
допустимости. Оказалось, что непосредственный перенос представлений Е.
Ли на случай анизотропии механических свойств деформируемой среды невозможен.
Недостатки в подходе Е. Ли и последователей по разделению полных
деформаций на обратимую и необратимую составляющие описал Р. Клифтон
[157]. Им было показано, что постулированное разгрузочное состояние необходимо зависит от пути разгрузки в пространстве напряжений, а напряжения
в областях, где необратимые деформации накоплены или изменяются, необходимо зависят от уровня таких деформаций и скоростей их изменения. В
качестве способа разделения деформаций на составляющие в [157] предложено разложение, отличающееся от разложения Е. Ли порядком сомножителей
F
 r p r ~ ~

 Fp  Fe .
 r0 r0 p
К недостатку данного разложения следует отнести показанную Р. Нахди [190] невозможность образовать в таком случае тензор необратимых деформаций так, чтобы он не менялся в процессе разгрузки. Но данное обстоятельство характерно и для кинематики Е. Ли [170].
Попытку исправить недостатки кинематики, основанной по гипотезе
существования единственно возможного разгрузочного состояния, предприняли А. Грин и Р. Нахди [163, 164]. Позднее Р. Нахди [190] было указано, что
в кинематике [163], призванной исправить недостатки кинематки Е. Ли [177
– 179], вводимые тензоры деформаций не определяются однозначно через
метрический тензор, что заставляет сомневаться в продуктивности теории,
построенной на основе заведомо сомнительного положения. Вводимое же в
[190] по примеру Л.И. Седова разделение перемещений на обратимую и необратимую составляющие привело к тому, что следующие при таком разделении тензоры деформаций оказались не инвариантными при жестких вращениях. Таким образом, исправление Р. Нахди привело к другим, не менее
нежелательным свойствам модели.
9
Еще одним недостатком моделей, построенных на основе кинематики
Е. Ли, является зависимость напряжений в пластически деформируемых телах от уровня и распределения необратимых деформаций. Конкретизировать
посредством опытов такую зависимость не представляется возможным, поэтому практическое использование модели для расчетов интенсивного деформирования проблематично. Заметим здесь, что классическая модель
упругопластической среды (тело Прандтля – Рейса) не содержит в себе других постоянных, кроме упругих модулей и предела текучести, и поэтому
удобна для практического использования.
Построения теории пластического течения чаще всего использует связь
тензора скоростей пластических деформаций с пластическим потенциалом, в
качестве которого выступает условие пластичности. Теперь, определив (разделив) обратимые и необратимые деформации, следует указать тензор скоростей изменения необратимых. В классической теории при малых деформациях такой проблемы не возникает. С этой целью достаточно вычислить полную производную по времени от тензора необратимых деформаций. Когда
же деформации большие, то для этой цели следует использовать объективную производную. Но объективная производная по времени не является
единственной, их бесконечно много. Наиболее часто используются производные Яумана, Олдройда, Коттера – Ривлина, Трусделла. Таким образом,
выбор производной не однозначен и диктуется, по существу, вкусом автора
создаваемой теории. Так В. Прагер считал [116 – 118], что для теории пластичности предпочтение следует отдать производной Яумана. Целый ряд авторов [77, 103] отдают предпочтение производной Коттера – Ривлина из-за
того, что данное дифференцирование связывает тензор деформаций Альманси с тензором скоростей деформаций Эйлера. В [4, 78, 124] предлагается использовать иные производные, но, главное, неоднозначность подобного выбора всегда присутствует. Великий Р. Хилл полагал [167, 168], что такой выбор не существенен, то есть может быть произвольным. В более поздних работах [148, 158, 159, 161 и др.] предлагается осуществлять данный выбор,
10
следуя данным специально для этого проведенных опытов. Очевидно, что в
таком случае будет отсутствовать полная уверенность, что «наилучшая» производная была использована и что выбранная в результате обработки экспериментов производная не приведет к противоречию с экспериментами для
иных видов деформаций.
В работе [75] Кондауров В.И. и в работе [68] Кондауров В.И. и Кукуджанов В.Н. обобщают кинематику Е. Ли на случай учета вязких свойств материалов в условиях их пластического течения. Им удается конкретизировать
модельные зависимости, изучить закономерности распространения волн
напряжений в рамках модели и предложить методы расчетов в нестационарных задачах механики деформирования [76, 81].
Обобщение кинематики Е. Ли на термоупругопластические среды проводилось в [139, 182 – 183], а в работе [195] на такие же материалы обобщается кинематика А. Грина и Р. Нахди. Несомненно, что имеющиеся в данных
подходах отмеченные недостатки не могут быть устранены добавлением еще
и температурных и реологических эффектов.
Результаты исследования Киевской школы механиков [84 – 89, 104 –
108] суммированы в монографии В.И. Левитаса [89]. Построенная в отмеченных работах кинематика больших упругопластических деформаций свободна
от неточностей предшественников, однако основополагающей гипотезой построений, по существу, остается предложение Е. Ли о существовании разгрузочного состояния. Для выполнения условия независимости обратимых деформаций от необратимых в процессах разгрузки оказались необходимыми
дополнительные ограничения. Существенное внимание в [89] уделяется проблеме «выбора» объективной производной по времени от тензоров деформаций. Один из параграфов [89] так и называется: «Постановка и решение задачи выбора объективной производной». Из-за того, что также как и у Е. Ли
разделение полных деформаций на обратимую и необратимую составляющие
производится алгебраически с использованием предположения о существовании единственного, соответствующего данному актуальному состоянию
11
разгрузочного состояния, проблема «выбора» объективной производной с
целью определения тензора скоростей необратимых деформаций возникает с
необходимостью. Теория пластического течения строится таким образом, что
напряжения в среде связываются как раз со скоростями пластических деформаций. Попытка обойти неоднозначность в таком выборе связана в [89] с
введением в рассмотрение новой объективной производной, названной В.И.
Левитосом R-производной. При помощи данной производной решается задача обобщения определяющих соотношений при исключенных конечных поворотах на общий случай. Таким способом предлагается строить теорию, исключая вращения при деформировании, и затем обобщать ее строго на случай конечных поворотов. В таком случае проблема неоднозначного выбора
объективной производной из общетеоретических проблем переносится в задачу конкретизации определяющих соотношений модели на уровне простых
нагружений. Известно, что последние задачи являются неполными и, следовательно, предложение В.И. Левитаса позволяет только «спрятать» проблему, а не дать ее полное разрешение.
В работах А.А. Рогового с учениками [80, 109, 126] в качестве разгрузочного состояния принимается то же, что и в [140]. Отмечается, что так же,
как и в разложении Е. Ли [177 – 179] и многочисленных последователей Е.
Ли [75, 140, 189 – 193, 209] разгрузочное состояние может не быть единственным, подчеркивается необоснованность принимаемого условия зануления неупругих конечных поворотов. Для целей уточнения кинематики больших упругопластических деформаций А.А. Роговой предлагает рассматривать процесс накопления деформаций в качестве последовательного наложения малых упругопластических деформаций на конечные. Это позволяет перенести все сложности, связанные с разделением полных деформаций на обратимую и необратимую составляющие, на уровень приращений деформаций. Для последних появляется возможность считать их малыми и в своей
сумме составляющими приращение полных деформаций. При этом считается, что упругие деформации не влияют на процесс накопления необратимых
12
деформаций в малом из промежуточной конфигурации. Отметим, что в общем случае это противоречит данным экспериментов. Таким образом, процесс деформирования по А.А. Роговому представляется в форме бесконечно
малых попеременных переходов из некоторой фиксированной конфигурации
до некоторой промежуточной, когда необратимые деформации накапливаются при неизменных напряжениях, соответствующих поверхности нагружения, а упругие деформации связываются с переходом из промежуточной
конфигурации в актуальную. В таком случае не возникает проблема выбора
объективной производной и имеется возможность в получении замкнутой
модели.
В.П. Мясников предложил общий подход к построению моделей больших упругопластических деформаций, основанный только на формализме
неравновесной термодинамики [103]. Объявляя обратимые и необратимые
деформации термодинамическими параметрами состояния, следует потребовать формулирования для них соответствующих уравнений изменения (переноса). Эти уравнения как раз обязаны связывать скорости составляющих деформаций с соответствующими тензорами деформаций, учитывать возможное взаимовлияние необратимых деформаций и обратимых и скоростей их
изменения и наоборот. Именно на этапе записи дифференциальных уравнений переноса определяется механический смысл источников в этих уравнениях и потоковых слагаемых.
При таком подходе оказывается, что способ разделения деформаций на
составляющие не принципиален, а является только способом задания потоков
в уравнениях изменения тензоров упругих и пластических деформаций. Проблема «выбора» объективной производной отсутствует, так как сами дифференциальные уравнения переноса для тензоров составляющих полных деформаций выполняют связующую роль между этими тензорами и тензорами
скоростей их изменения, которые в уравнениях переноса выполняют роль источников. Очевидно, что в таком случае основные допущения обязаны быть
сформулированы при записи уравнений переноса, то есть на таком уровне и
13
таким способом обязаны быть определены как обратимые, так и необратимые деформации. Таким образом, работой [103] В.П. Мясников указал механический и термодинамический смысл всех допущений, связанных с определениями модели упругопластической сплошной среды, определил место данных допущений при выписывании соотношений модели и, главное, показал,
что определение обратимых и необратимых деформаций следует задавать
дифференциальными уравнениями их изменения, а уже следствием этого
предстают и способ разделения полных деформаций на составляющие и необходимая объективная производная для связи тензоров со скоростями их
изменения. Это тем более важно, так как до сих пор публикуются статьи дискуссионного содержания об аддитивном и мультипликативном разделении
полных деформаций на обратимые и необратимые [112, 148, 150 – 152] и о
проблеме «выбора» объективных производных [152, 196, 208].
В замечательной работе Г.И. Быковцева и А.В. Шитикова [31] определение обратимых и необратимых деформаций основывается, по существу, на
постулировании для них дифференциальных уравнений их изменения. Пусть
данное обстоятельство в [31] прямо не декларируется, но оно находится как
раз в полном соответствии с формализмом неравновесной термодинамики
[103, 138]. В отличие от [103] в [31] конкретизируются и источники в данных
дифференциальных уравнениях, и потоковые слагаемые.
Авторы работ [14, 15] в качестве их цели обозначают возможность построения наиболее простых и конкретных математических моделей больших
упругопластических деформаций. Следуя формализму неравновесной термодинамики, обратимые и необратимые деформации определяются соответствующими уравнениями переноса. Полагается, что необратимые деформации в процессах разгрузки неизменны, а компоненты тензора необратимых
деформаций меняются так же, как и при жестком вращении тела. Для того
чтобы напряжения в среде определялись бы только уровнем и распределением обратимых деформаций, в [14, 15] вводится дополнительная гипотеза о
независимости термодинамических потенциалов (внутренняя энергия, сво14
бодная энергия) от необратимых деформаций. Предполагается, что последние определяют только диссипативный механизм деформирования. Следующее при таких допущениях разделение деформаций на обратимую и необратимую составляющие оказывается более сложным, чем в кинематике Е. Ли,
но в отличие от [103] вполне конкретным. Проблема же выбора объективной
производной разрешается на пути задания дифференциальных уравнений изменения тензоров обратимых и необратимых деформаций. В настоящей работе при записи модельных соотношений будем следовать этому же пути.
Описанный подход получил дальнейшее развитие. Так, впоследствии
математическая модель больших упругопластических деформаций, предложенная в [14, 15], Л.В. Ковтанюк была обобщена [67] на неизотермический
случай, а работой [72] Л.В. Ковтанюк и А.В. Шитиков обобщили данную модель на случай учета реологических эффектов. В [22] вязкость материала
учитывается только на стадии деформирования, предшествующей пластическому течению. Вариационные методы для построения моделей больших
упругопластических деформаций использовались в работах [77, 145, 160].
Когда математическая модель процесса дополняется постановками и
решениями в ее рамках краевых задач, тогда данную совокупность называют
теорией. Уже подчеркивалось, что математическая модель больших упругопластических деформаций, предложенная А.А. Бурениным и Л.В. Ковтанюк
[14, 15], является конкретной в том смысле, что не содержит новых постоянных материала, кроме упругих модулей и предела текучести. Это позволило в
рамках данной модели поставить и решить ряд краевых задач. Прежде всего,
следует отметить здесь решения одномерных задач о пластическом течении и
формировании полей остаточных напряжений в окрестностях неоднородностей упругопластического материала [16 – 19, 22, 63 – 66, 73]. Обнаруженный
эффект «приспособляемости» идеального упругопластического материала к
циклическим эксплуатационным нагрузкам по типу «нагрузка-разгрузка»
[17] заставил изучить реологические механизмы, ответственные за развитие
дефектов и их «залечивание» [22]. В цикле работ А.А. Буренина, Л.В. Ко15
втанюк и А.С. Устиновой [23, 25, 26, 28] изучались вискозиметрические течения упруговязкопластической среды. Заметим, что в этих работах использовалась та же математическая модель, что и в настоящей диссертации.
Именно обнаруженная возможность получить точные решения в задачах
прямолинейного вязкопластического течения с учетом упругих свойств материалов жестких ядер [21, 67, 69 – 71], чему посвящена настоящая работа,
позволила перенести методы решения задач на вискозиметрические течения.
Задача о чистом сдвиге упругопластической среды рассматривалась в
[196], в [208] рассмотрены задачи кручения стержней, в [175] получено точное решение в задачах равновесия полой толстостенной сферы под действием либо внешнего, либо внутреннего давления. Далее в простейших модельных задачах из-за их существенной нелинейности приходится обращаться к
численным методам. Среди таких методов наиболее популярным остается
метод конечных элементов [86, 105, 108, 161, 165].
Динамические задачи теории больших упругопластических деформаций рассматривались в [27, 74]. Оказалось, что движение среды за волной
разгрузки можно описать уравнением в перемещениях. Скорость распространения волны разгрузки по несжимаемой упругопластической среде совпадает
со скоростью распространения упругой эквиволюминальной волны. Для простейшего одномерного случая получено точное решение задачи.
Первая глава настоящей диссертационной работы является, по существу, вводной. В ней, следуя основным идеям [15, 72], выписываются основные соотношения модели больших упруговязкопластических деформаций.
Считается, что вязкие свойства среды проявляются только при ее пластическом течении.
Во второй главе поставлена и решена краевая задача в рамках данной
модели о продавливании на конечное расстояние упруговязкопластической
пробки, расположенной в зазоре между жесткими коаксиальными цилиндрическими поверхностями, за счет изменяющегося со временем перепада давления. Считается, что продавливание осуществляется за счет возникновения
16
вязкопластического течения в приграничных областях продавливаемой пробки. Первоначально решается упругая задача с определением места зарождения течения. Оказывается, что такое течение возникает в окрестности внутренней жесткой цилиндрической поверхности и развивается при росте перепада давления. При достижении данным перепадом некоторого нового критического значения вязкопластическая область начинает развиваться со стороны внешней жесткой поверхности, и пробка начинает движение как упругое ядро (аналог жесткого ядра в теории Шведова – Бингама). После некоторого такого продвижения перепад давления снижается и пробка останавливается. После полного снятия нагружающих усилий рассчитывается уровень и
распределение возникших остаточных напряжений. Вся серия описанных
краевых задач теории решается в квазистатической постановке, то есть силами инерции пренебрегается.
В третьей главе рассмотрены вполне аналогичные задачи. Теперь только упруговязкопластическая среда заполняет всю область между цилиндрическими поверхностями, а ее движение вызывается перемещением жестких
границ. Так же как и во второй главе рассмотрен последовательный ряд задач
от упругого равновесия к возникновению приграничного течения, развитию
последнего и торможения до полной остановки и разгрузки. Изучено влияние
присутствия в зазоре слоя с отличными от основного материала механическими свойствами. Рассмотрен случай, когда материал слоя является более
податливым по сравнению с основным материалом.
17
Глава 1. Большие деформации материалов в условиях их интенсивного формоизменения
Технологическая практика обработки материалов давлением на современном этапе ставит перед фундаментальной механикой деформирования
ряд задач, направленных на оптимизацию технологических режимов. Среди
таких задач присутствуют задачи, связанные с упругим откликом материала
при разгрузке (в процессах снятия технологической оснастки). Именно такое
упругое последействие ответственно за неконтролируемые и недопустимые
изменения в геометрических размерах готовых изделий, за формирующийся
недопустимый уровень остаточных напряжений в них, за разупрочнение (поврежденность) приповерхностных слоёв материалов изделий и др. Заметим,
что в настоящее время используемые расчетные методики процессов обработки металлов давлением основаны либо на теории идеального пластического течения, либо на теории упругопластических процессов. В первом случае сама конструкция математической модели исключает упругое последействие, так как обратимыми (упругими) деформациями пренебрегается. Вторая теория даже в случае ее опытно выверенной приспособленности к описанию процесса активного деформирования оказывается беспомощной для
адекватного модельного представления процесса разгрузки. Преимущество
теории течения материалов с пластическими (вязкопластическими) и упругими свойствами здесь очевидно, так как такая математическая модель по
своей сути предназначена для целей не только описания течений при активном формоизменении деформируемых тел, но и для поведения их в условиях
разгрузки. Однако воспользоваться классически вариантом теории (тело
Прандтля – Рейса) в рассматриваемом случае не представляется возможным,
поскольку основным допущением классических моделей является предположение о малости деформаций, в то время как в процессах интенсивного формоизменения (прокатка, волочение, штамповка и др.) они необходимы большие. Итак, для математического моделирования упругого отклика после вяз18
копластического течения следует воспользоваться теорией больших упруговязкопластических деформаций. Здесь будем опираться на модель, предложенную в [15], и на ее обобщение, описанное в [72]. Продиктовано это тем,
что данная модель согласована с общим формализмом неравновесной термодинамики, когда, объявляя обратимые (упругие) и необратимые (вязкопластические) деформации параметрами состояния среды, для них строятся соответствующие уравнения изменения (переноса). Иначе, разделение деформаций на обратимую и необратимую составляющие связывается с определением данных составляющих дифференциальными уравнениями их изменения. Основные принципы построения модели больших упругопластических
деформаций согласно формализму неравновесной термодинамики изложены
в статье В.П. Мясникова [103]. Другим обстоятельством, предопределившим
выбор, являлось свойство модели, заключающееся в неизменности необратимых деформаций в процессах разгрузки и в зависимости напряжений в
среде только от уровня и распределения обратимых деформаций. Отметим,
что такие свойства вполне аналогичны свойствам классической модели упругопластической среды типа Прандтля – Рейса и соответствуют принятым
представлениям об упругопластическом деформировании.
1.1.
Обратимые и необратимые деформации и уравнения их переноса
Формулировку основных соотношений модели больших упруговязкопластических деформаций проведем в настоящей главе, используя прямоугольную систему декартовых координат. В качестве независимых координат
будем использовать пространственные переменные Эйлера
xi (i  1, 2, 3) .
Таким образом, движение деформируемого континуума задается законом
i  i ( x1 , x2 , x3 , t ) .
Здесь
(1.1)
 i – начальные (материальные) координаты точки среды, кото-
рая в момент времени
t имеет координаты xi . Вводя вектор перемещений с
19
компонентами ui  xi  i , закон движения (1.1) можно записать в форме
ui  ui ( x1 , x2 , x3 , t ) .
Тензор с компонентами
i , j 
(1.2)
i
называют тензором дисторсии. То
x j
обстоятельство, что в прямоугольной декартовой системе девять величин
i, j
в своей совокупности образуют тензор, показано, например, в [36].
Уравнение изменения данного тензора следует из условия  i  const :
dai , j
dt
d


 
vj,
dt t x j
 ai , k vk , j  0,
vi 
ui ui
du

vm  i .
t xm
dt
(1.3)
Последним соотношением из (1.3) введен вектор скоростей точек среды с компонентами vi . Для тензора
ui , j 
ui
, называемого тензором граx j
диента перемещений, следует уравнение переноса в форме
dui , j
dt
 ui , k vk , j  vi , j .
(1.4)
Под индексом, стоящим после запятой, в дальнейшем, как и в (1.3),
принимаем дифференцирование по соответствующей пространственной координате, так что vi , j

vi
.
x j
В качестве тензора деформаций выбираем тензор деформаций Альманси, для компонент
d ij которого следует
d ij 
1
 ij  g ij   1 ui, j  u j,i  uk ,i uk , j  .
2
2
(1.5)
В (1.5)  ij – компоненты единичного тензора (составленного из симво-
20
gij   k ,i k , j – компоненты метрического тензора. Следуя
лов Кронекера),
(1.3) и (1.4), для тензора деформаций и метрического тензора можно получить уравнения переноса в виде
Dgij
Dt
Ddij
Dt

ddij
dt

dgij
dt
 gik vk , j  vk ,i g kj  0,
(1.6)
 dik vk , j  vk ,i d kj   ij ,
Когда все компоненты
 ij
2 ij  vi , j  v j ,i .
тензора скоростей деформации Эйлера рав-
ны нулю, то тело движется как жесткое целое (без изменения деформируемых состояний). Заметим, что при этом полная производная от компонент
тензора деформаций Альманси оказывается отличной от нуля
только производная
Ddij
Dt
 ddij


 0  и
 dt

равна нулю при неизменных деформациях. Диф-
ференциальный оператор, обозначенный символом
D
и представляемый
Dt
выражением, расположенным между знаками равенства в (1.6), называют
конвективной производной в смысле Коттера – Ривлина. В то время как тензор с компонентами
ddij
dt
не является объективным, то есть его компоненты
изменяются при повороте системы координат, то тензор с компонентами
Ddij
Dt
объективен, поэтому производные, сохраняющие при дифференциро-
вание объективность тензора, называют объективными производными. То
есть
Ddij
Dt
– объективная производная тензора деформаций Альманси в
смысле Коттера – Ривлина. Отметим для дальнейшего важное обстоятельство, состоящее в том, что объективных производных может быть бесконеч21
но много. Действительно, второе равенство из (1.6), используя разложение
тензора
на
симметричную
vi, j   ij  wij ,
dij
t

и
кососимметричную
составляющие
2wij  vi , j  v j ,i , можно переписать в форме
ddij
dt
 dik wkj  wkid kj   ij  dik  kj   kid kj .
(1.7)
Соотношения (1.7) показывают, что все выше приведенное оказывается
в силе, если в качестве скорости изменения тензора деформаций Альманси
считать все, что стоит справа от последнего знака равенства (не тензор скоростей деформаций Эйлера), а символом

обозначить иную, отличную от
t
Коттера – Ривлина, объективную производную. Данная производная называется объективной производной Яумана [117, 118]. Наряду с упомянутыми
употребляются иные объективные производные (Олдройда, Трусделла и др.),
но для дальнейшего важно, что их много и их выбор в рамках кинематики
сплошных сред произволен.
Отметим, что соотношения
ddij
dt
 dik vk , j  vk ,i d kj   ij ,
ddij
 dik wkj  wkid kj  ij ,
dt
ij   ij   ik d kj  dik  kj
(1.8)
следует воспринимать в качестве уравнений изменения тензора Альманси, в
котором тензоры
 ij
и
ij
играют роль источников деформаций в данных
уравнениях. При построении теории упругости, где кроме внутреннего термодинамического параметра состояния (температуры) имеется еще только
шесть компонент тензора деформаций
d ij , принимаемых в качестве пара-
метров состояния, зависимости (1.8) можно считать в качестве определения
тензора деформаций
d ij . Иная ситуация складывается при моделировании
упругопластического деформирования. Построение теории течения требует
разделения полных деформаций
d ij на обратимую и необратимую составля22
ющие и обе такие составляющие невозможно измерить в экспериментах.
Следовательно, данное разделение является условным; является произволом
исследователя, строящего математическую модель. Именно данное обстоятельство способствовало появлению широкого многообразия моделей больших упругопластических деформаций. При построении ассоциированной
теории течения используется тензор скоростей изменения необратимых (пластических) деформаций. Когда деформации малые, данный тензор вполне
определен дифференцированием по времени тензора малых деформаций. Если же деформации большие, то тензор скоростей их изменения должен являться источником в уравнениях их переноса. Уравнения переноса, как показывают равенства (1.8), могут записываться по-разному в зависимости от того, какую объективную производную по времени мы выбрали. Так возникает
проблема «выбора» [89] объективной производной; в единственной отечественной монографии, посвященной теории течения при больших деформациях [89] соответствующий параграф так и озаглавлен: «Проблема выбора
объективной производной…». Заметим далее, что присутствие необратимых
деформаций может влиять на скорость изменения обратимых и наоборот, то
есть в уравнениях переноса составляющих полных деформаций могут присутствовать потоковые слагаемые [103], отражающие подобное взаимовлияние.
Отмеченные трудности в записи уравнений изменения (переноса) для
тензоров обратимой и необратимой составляющих полных деформаций
обойдем так же, как это было сделано в [15].
Пусть тензор дисторсии имеет полярное разложение
i , j  Yik ( kj  ekj ), Yik  Yki1 , ekj  e jk
.
(1.9)
Данное разложение, как известно, единственно. С помощью тензора eij
попытаемся задать для метрического тензора
g ij следующее представление
gij   ik  eik  km  2 pkm  mj  emj .
23
(1.10)
Для алгебраического разбиения (1.10) тензора
g ij препятствий не воз-
никает; для этой цели достаточно считать в (1.10) тензор
pij симметричным
с компонентами
pij 
1
 ij  kikj  .
2
(1.11)
Подстановка (1.10) в первое равенство из (1.6) предоставляет возможность записать две дифференциальные зависимости
deij
dt
dpij
dt

 vi , j  bij  eik vk , j  bik ekj ,
1

bij  b ji   pik bkj  bki pkj ,
2
1 dkj
bij  ik
dt
(1.12)
.
Всегда ли возможно разделение одного уравнения переноса (1.6) метрического тензора
g ij на два уравнения изменения (1.12) тензоров eij и pij
? Это возможно, если только выполняется тензорное уравнение
bkt  tj  etj    kt  ekt b jt   kt  ekt vt , j  vt , k  tj  etj .
(1.13)
Требование (1.13) связано с необходимостью выполнить принятое
условие симметрии тензора eij . Только при выполнении (1.13) первое равенство из (1.12) будет согласовано с условием симметрии тензора
eij . Будем
рассматривать (1.13) в качестве уравнения для определения тензора bkt .
Предыдущее изложение будет непротиворечивым, если принять bkt в виде
[93, 94]
bij  rij   ik  eik mkj .
В (1.14)
(1.14)
mkj – компоненты симметричного, а во всем другом про-
извольного тензора. Тензор rij является кососимметричным с компонентами
24

rij  wij  A1  ik ekj  eik  kj B 2  B ik eksesj 

 eik eks sj   eik  ksest etj  eik eks st etj ,
A
1
1
 E2  E13  E3 , B  2  E1 ,
3
3
E1  ekk , E2  eij e ji , E3  eij e jk eki .
 8  8E1  3E12
Если произвольный тензор
(1.15)
mij положить тождественно равным нулю,
то в уравнении изменения тензора
pij из (1.12) исчезают источники и все
изменение компонент данного тензора сведется к случаю вращения системы
координат с угловой скоростью rm
1
  mij r ji . Уравнение переноса (1.12)
2
принимает вид
dpij
 rik pkj  pik rkj .
dt
Или, вводя объективную производную
Dpij
Dt

dpij
dt
(1.16)
D
по правилу
Dt
 rik pkj  pik rkj ,
(1.17)
будем иметь, что данная производная равна нулю всегда, если только
mij  0 в (1.14):
Dpij
Dt
 0.
(1.18)
Можно показать [67], что дифференциальное условие (1.18) эквивалентно следующему алгебраическому
pij  zki pkt0 ztj .
В (1.19)
(1.19)
pkt0 – значения компонент тензора pkt в состоянии, предва-
ряющем поворот тела как жесткого, осуществляемый с помощью ортого-
25
нального тензора
zij ( zki zkj  zik z jk   ij ) . Следовательно, условие (1.18)
означает неизменность тензора, когда его компоненты
pij изменяются так
же, как и в движениях тела как жесткого целого. В своей линейной части тензор поворота rij в (1.17) и (1.18) является чисто тензором поворота
wij , не-
линейная часть rij указывает на зависимость в уравнениях изменения тензора
pij (1.17) и (1.18) тензора поворота от тензора eij и тензора скоростей
деформаций Эйлера  ij . Таким образом, в случае
уравнения переноса для тензоров
deij
dt
  ij 
mij  0 имеем следующие
eij и pij :
1
rik ekj  eik rkj  vk ,iekj  eik vk , j ,
2
dpij
dt
 rik pkj  pik r jk .
(1.20)
(1.21)
Заметим, что ранее в [15] было показано, что при определении тензоров
eij и pij их уравнениями переноса (1.20) и (1.21) соответственно, значения
компонент этих тензоров определяются состоянием среды в конечной для
этого состояния конфигурации деформируемого тела и не зависит от пути в
пространстве деформаций, по которому приходим в это состояние. При этом
компоненты тензора
pij изменяются так же, как если бы тело не деформиро-
валось. Также свойства тензора
pij позволяют принять, что именно его сле-
дует назвать тензором необратимых (пластических) деформаций, а процесс
деформирования в условиях, когда
mij  0 , следует назвать процессом раз-
грузки.
Когда
mij  0 , тогда следуя выше изложенному, будем считать, что
осуществляется активное пластическое деформирование, при котором необратимые деформации накапливаются и
26
Dpij
Dt
 0.
Учитывая (1.14), уравнения изменения тензоров eij и
pij (1.12) можно
переписать в форме
1
eik mkj  mik ekj   pik rkj  mkj  
dt
2
 rik  mik  pkj  pik emk mmj  mim emk pkj ,
(1.22)
  ij  mij  rij  wij  eik vk , j  mkj  
dt
 mik  rik ekj  eim mmk ekj .
(1.23)
dpij
 mij 
deij
Заметим, что до настоящего времени введенный решением (1.14) уравнение (1.13) произвольный симметричный тензор
mij выступает в (1.22) в
качестве источника пластических деформаций. Однако называть его тензором скоростей пластических деформаций повременим в надежде, что удобнее будет ввести тензор скоростей необратимых деформаций при формулировке законов термодинамики для необратимого процесса пластического течения. Таким образом, кинематика деформирования оказалось у нас вполне
определенной только при обратимом деформировании, когда
процессах разгрузки, когда
pij  0 , или в
mij  0 . Процесс активного пластического тече-
ния оставляем кинематически неопределенным.
Разделение деформаций на обратимую и необратимую составляющие, как уже отмечалось, относится к основным гипотетическим проблемным вопросам при построении математической модели больших упругопластических деформаций. В классической теории считается, что тензор малых
деформаций является суммой своих упругой и пластической составляющих.
В.П. Мясников [103] предлагает использовать такое же разделение и в случае
больших деформаций, то есть считать, что тензор деформаций Альманси является суммой своих обратимой и необратимой составляющих. При этом
27
данные составляющие определяются формулированием для них соответствующих дифференциальных уравнений их изменения. Принятие аддитивного разделения полных деформаций на составляющие с необходимостью
приводит к взаимозависимости потоковых слагаемых для обратимых деформаций от необратимых и наоборот. Это означает, что даже в процессах разгрузки пластические деформации будут изменяться в зависимости от достигнутого разгрузочного уровня обратимых деформаций и от скоростей их изменения и, наоборот, для скорости изменения упругих деформаций характерным становится влияние уровня, распределения и скорости изменения необратимых деформаций. Сложность заключается еще и в том, что значимая
оценка такого взаимовлияния обязана закладываться в уравнения изменения
тензоров упругих и пластических деформаций при записи потоковых слагаемых, для чего окажется необходимой серия направленных высокоточных измерений в специально проведенных экспериментах.
Наиболее широко используемым для целей разделения полных деформаций на составляющие является предложение Ли [177], которое, казалось бы имеет ясный механический смысл. Заключается оно в том, что любой актуальной конфигурации интенсивно и необратимо продеформированного тела ставится в соответствие другая его конфигурация, называемая разгрузочной. Тогда однозначное соответствие недеформированного состояния
тела его разгрузочному состоянию объявляется в качестве необратимых деформаций, а сравнение разгрузочного состояния с актуальным задает обратимую составляющую полных деформаций. Можно показать, что в наших
обозначениях принятие предложения Ли сводится к соотношениям
gij   ik  2eik  kj  2 pkj ,
(1.24)
dij  eij  pij  2eik pkj .
Поменяв местами сомножители в первом соотношении (1.24), Клифтон
записал
gij   ik  2 pik  kj  2ekj ,
28
(1.25)
dij  pij  eij  2 pik ekj .
Следуя (1.24) и (1.25), отмечаем, что при использовании гипотезы Ли
осуществляется предельный переход к классическому разделению малых деформаций на упругие и пластические. При этом следует считать eij и
pij
компонентами упругих и пластических деформаций.
В рассматриваемом случае из (1.5) и (1.20) можно получить
1
d ij  eij  pij  eis esj  eik pkj  eik pkj  eik pksesj .
2
Если
(1.26)
pij – компоненты необратимых деформаций, то в качестве обра-
тимых следует принять
1
eij  eik ekj . В этом случае полные деформации
2
Альманси будут совпадать с обратимыми при равенстве нулю необратимых
 pij  0. Использование же тензора eij в дальнейшем окажется более удоб-
ным, поэтому иногда и данный тензор будем называть тензором обратимых
деформаций. Завершая данный параграф, еще раз подчеркнем, что кинематика активного процесса накопления необратимых деформаций задана здесь
только с точностью до произвольного симметричного тензора
mij . В опреде-
лении тензора обратимых деформаций (1.23) также входит этот до настоящего момента неизвестный тензор. И только в случае, когда необратимые деформации неизменны (компоненты данного тензора изменяются так же, как и
при жестком движении тела), что характерно для процессов разгрузки или
обратимого
mij  0 .
1.2.
деформирования,
подобная
неопределенность
отсутствует
Зависимость напряжений от деформаций в процессах упругого деформирования и процессах разгрузки
29
Рассмотрим первоначально процессы, когда необратимые деформации
в деформируемом теле не накапливаются. К таким процессам относятся процессы обратимого (упругого) деформирования и процессы разгрузки. В этом
случае
mij  0 и кинематика деформируемой среды вполне определена, а
уравнения изменения (переноса) для тензоров
eij и pij записываются в
форме (1.20) и (1.21).
Следуя закону сохранения энергии [128], запишем

Здесь
de
  ij  ij  q j , j  0 .
dt
(1.27)
 – плотность деформируемой среды, e – массовая плотность
распределения внутренней энергии,
Эйлера – Коши,
 ij
– компоненты тензора напряжений
q j – компоненты вектора теплового потока. Всюду в даль-
нейшем будем рассматривать только квазистатические (медленные) процессы, где силами инерции пренебрегается. Поэтому в качестве термодинамического потенциала оказывается удобнее использовать свободную энергию.
Если через
 обозначить массовую плотность распределения свободной
энергии, то
  e  sT .
(1.28)
Используя зависимость (1.28), где s – плотность распределения энтропии, а T – абсолютная температура, перейдем от независимых термодинамических параметров s , eij ,
pij e  es, eij , pij  к параметрам T , eij , pij
   T , eij , pij . Это позволяет переписать (1.27) в форме
  deij
 
 eij dt

 dpij  dT
ds
dT 

T  s


pij dt T dt
dt
dt 
(1.29)
  ij  ji  q j , j  0.
С целью исключения из (1.29) полных производных eij и
pij по вре-
мени воспользуемся уравнениями их изменения (1.20) и (1.21) соответствен30
но. В результате будем иметь


eij
1


  ji  eik  kj   kiekj  eik wkj  wkiekj  rik ekj  eik rkj  
2




rik pkj  pik rkj   T ds  q j , j   ij  ji  0.
pij
dt
Если теперь учесть связь между тензорами rij и
(1.30)
wij (1.15), то равен-
ство (1.30) можно будет переписать в форме

  
 


 ji   ij   

ekj  A1B 2  eik
esj 
eksesj  
eik
 eks


 eij eik






 A1B eik ekt
esj 
eksest etj   A1  eik eks
etnenj 

e

e

e



ts
ik
st
 eik
  
 


est etnenj    r ji  eik

ekj  pik


eks

e

e

p
 
kj
ik
kj


Параметры
 ij
и


ds
pkj   T  q j , j  0.
pik
dt

rij процесса деформирования независимы, поэтому
отсюда вытекает
 



1  2 

 ij   
 kj  ekj   A  B  eik
esj 
eksesj  
eik

  eks
 eik




 B eik ekt
esj 
eksest etj  
ets
eik





 eik eks
etnenj  eik
est etnenj ,
est
eks

 
 
eik

ekj  pik

pkj  0 ,
ekj eik
pkj pik
31
(1.31)
ds
 q j, j  0 .
dt
T
Если в первом равенстве из (1.31) учесть второе, то требование симметрии тензора напряжений позволят записать его в окончательной форме
 ij  

 kj  ekj .
eik
(1.32)
Таким образом, имеем полную аналогию с теорией упругости, когда
первое начало термодинамики приводит к формуле Мурнагана (аналог (1.32))
и к уравнению баланса энтропии (последнее соотношение из (1.31)). Заметим, что формула Мурнагана в нелинейной теории упругости [92, 93] записывается иначе, чем (1.32). Связано это с тем, что в теории упругости не рассматриваются необратимые деформации и для тензора Альманси тождественна зависимость
1
dij  eij  eik ekj .
2
(1.33)
Рассмотрим этот случай, который в наших предположениях реализуется при
pij  0 . Согласно (1.32) запишем
 ij  
 ddks
 tj  etj .
d ik dest
Учитывая, что из (1.33) непосредственно следует, что
ddks
  kt  ekt ,
dest
окончательно найдем
 ij  

 kj  2d kj .
dik
(1.34)
Последняя зависимость и есть известная в нелинейной теории упругости формула Мурнагана. Данная формула связывает напряжения с деформациями в случае отсутствия в среде необратимых деформаций
32
( pij  0) .
Когда это не так
( pij  0) , что характерно для процессов разгрузки или по-
вторного нагружения, то следует пользоваться формулой (1.32).
1.3.
Законы пластического течения
Пусть
mij  0 . В этом случае необратимые деформации могут накап-
ливаться в среде. В качестве уравнений изменения тензоров обратимых и необратимых деформации теперь следует использовать не зависимости (1.20) и
(1.21) как ранее, а уравнения переноса (1.22) и (1.23). Их подстановка в (1.29)
позволяет записать
ds
 q j , j  M ij m ji  D ,
dt
 


 1 
M ij   
 2eik
 eik
esj 

ekj 
 e

e

e

p
2

p
kj
ks
ij
ik
 ij
(1.35)
1



 
 eik
2
pkj 
pksesj  eik pks
.
2 pkj
pik
pik
psj 
T
Равенство (1.35) является локальным следствием закона сохранения
энергии, переписанным в форме уравнения баланса энтропии. В правой части
данного уравнения располагается источник энтропии, определенный необратимым процессом деформирования. В теории идеальной пластичности [33,
47, 56] такое производство энтропии называют диссипативной функций и задают зависимостью
D  M ij m ji   ij  jip .
Здесь
 ijp
(1.36)
– скорость пластических деформаций. Соотношение (1.36)
позволяет установить механический смысл до сих пор произвольного симметричного тензора
mij . Если, как и ранее, принять, что свободная энергия
33
является функцией только обратимых деформаций и температуры, то из
(1.35) следует
N ij  

 kj  2ekj  eksesj    ik  kj  ekj .
eik
(1.37)
Подстановка (1.32) в (1.36) позволяет получить окончательную зависимость
 ijp   ik  eik mkj .
(1.38)
Таким образом, введенный решением уравнения (1.13) произвольный симметричный тензор
mij , обретает, следуя (1.38), вполне определен-
ный механический смысл. Соотношение (1.14) с помощью (1.38) упрощается
bij  rij   ijp .
Уравнение переноса для тензора необратимых деформаций
(1.39)
pij (1.22)
теперь приобретает свою окончательную вполне определенную форму
Dpij
Dt

dpij
dt
 pis rsj  rsi psj   ijp  pis  sjp   sip psj .
(1.40)
С одной стороны на равенство (1.40) можно смотреть как на определение необратимых деформаций
pij , считая его в качестве сформулированного
уравнения изменения данного тензора. С другой стороны можно считать, что
зависимостью (1.40) вводится объективная производная, связывающая тензор
необратимых деформаций
pij с тензором  ijp скоростей их изменения. Заме-
тим, что в нашем случае (1.40) не есть предмет «выбора» [75, 89, 177], а следствие законов термодинамики.
Уравнение переноса для тензора
eij в обозначениях (1.40), следуя
(1.23), можно записать в виде
Deij
Dt
  ij   ijp 


1
( ik   ikp  zik )ekj  eik ( kj   kjp  zkj ) ,
2
zij  rij  wij .
34
(1.41)
К уравнениям переноса (1.40) и (1.41) пришли, таким образом, в результате некоторых тождественных преобразований, предположив, и это
главное, что компоненты
pij тензора необратимых деформаций в процессах
разгрузки обязаны меняться так же, как и при жестких (без деформирования)
движениях тела, а также, что производство энтропии в уравнении ее баланса
определяется классической зависимостью D   ij  ji . Возможен обратный
p
путь с постулирования уравнений переноса (1.40) и (1.41), но очевидно, что
заранее предвидеть следствия, к которым приведут только что сформулированные требования, было бы затруднительно.
Построение изотермической теории течения пластических сред связано
с предположением, что при напряжениях
условию

 ij , удовлетворяющих некоторому

f  ij ,  ijp ,  i  0
(1.42)
в пространстве напряжений, среда деформируется обратимо (упруго). Пластическое течение связывается с выходом напряженного состояния в точке
среду на поверхность нагружения f

p
ij ,  ij ,  i
  0 (  i - некоторые задава-
емые параметры истории деформирования). При этом активный процесс
накопления необратимых деформаций осуществляется при условии
 ijp  0
при
f d ij
 0.
 ij dt
Параметры истории задаются принятием для них кинетических уравнений вида
d i
 Aij  j .
dt
Одним же из основных постулатов теории идеальной пластичности является принцип максимума Мизеса

ij

  ij  ijp  0
35
(1.43)
В (1.43)
 ij
– любое статически допустимое напряжение, то есть напряже-
ние, удовлетворяющее условию


f  ij* ,  ijp ,  i  0.
Следствие принятия, по существу, термодинамического принципа максимума
(1.43) приводит к тому, что поверхность нагружения оказывается термодинамическим потенциалом [47] и выполняется ассоциированный закон пластического течения
 ijp  


f
,   ijp , pij ,  i  0 .
 ij
(1.44)
Можно убедиться, что выписанные в настоящем параграфе соотношения представляют собой замкнутую систему уравнений, если только термодинамический
потенциал
   eij , T 
и
пластический
потенциал
f  ij ,  ijp ,  i   0 будут заданы.
1.4.
Конкретизация модели
Конкретизация модельных соотношений, выписанных в предыдущих параграфах, связана, как только что отмечалось, с конкретизацией термодинамического потенциала, задающего консервативный механизм деформирования,
и заданием пластического потенциала, определяющего диссипативный механизм деформирования. Относительно термодинамического потенциала, в качестве которого была выбрана плотность распределения свободной энергии
 , ранее была выбрана гипотеза о его независимости от необратимых деформаций. Данная гипотеза принимается здесь не только из-за того, что в таких условиях соотношения модели приобретают наиболее простой вид, но и
для того, чтобы удовлетворить классическому требованию об определимости
напряжений в среде по уровню и распределению только обратимых деформаций.
36
Введем в рассмотрение упругий потенциал деформирования соотношением
W  0 (dij , T ) .
(1.45)
Когда в деформируемом поле необратимые деформации отсутствуют,
 0 – плотность среды в недеформированном состоянии,
данная функция, где
а
T  const – комнатная температура изотермического деформирования,
полностью определяет механические свойства деформируемой упруго (обратимо) среды. Напряжения в среде будут вычисляться формулой Мурнагана,
непосредственно следующей из (1.34)
 W
  2d kj , W  W (dij ) .
 0 dik kj
 ij 
Функция
(1.46)
W  W (dij ) задается в каждой точке деформируемой среды
шестью значениями
dij  d ji  своих аргументов. В случае изотропных ме-
ханических свойств среды число независимых аргументов рассматриваемой
функции сокращается до трех, в качестве которых выступают инварианты
тензора деформаций Альманси I1 , I 2 , I 3
I1  dii ,
I 2  dik d ki ,
I 3  dik d kjd ji .
(1.47)
Конкретный вид зависимости W  W  I1 , I 2 , I 3  можно установить
для каждого из испытуемых материалов только после серии специально поставленных экспериментов. Наиболее часто используется [37, 93] следующее
представление данной функции
W

2
I12  I 2  lI1I 2  mI13  nI3  ...
(1.48)
Правая часть в (1.48) есть не что иное, как разложение функции
W I1 , I 2 , I 3  в ряд Тейлора в окрестности свободного состояния с ограничением в таком ряду слагаемых до третьей степени включительно по компонентам тензора градиента перемещений
37
ui , j . Отсутствие в (1.48) слагаемого
с первой степенью I1 вытекает из требования об отсутствии напряжений в
среде при отсутствии деформаций. Чаще всего в (1.48) постоянные
отождествляются [94] с параметрами Ламе, а постоянные

и

l , m, n называют
упругими модулями третьего порядка [37] или коэффициентами Мурнагана
[94]. Последние, также как и параметры Ламе, экспериментально измерены
[94] для широкого класса материалов. Зависимостью (1.48) по существу задача определения экспериментальной функции W  W  I1 , I 2 , I 3  сводится к
определению по данным опытов постоянных
, , l , m, n . Напряжения в
среде при отсутствии в ней необратимых деформаций находятся согласно
формуле Мурнагана (1.46).
Когда в среде присутствуют необратимые деформации, то упругий потенциал
W  0 (eij , T ) является функцией обратимых деформаций eij , а
не полных
d ij . В этом случае по аналогии с (1.48) будем считать
W
L1  cii ,

2
L12  L2  lL1L2  mL13  nL3  ...
L2  cik cki ,
1
L3  cik ckjc ji , cij  eij  eik ekj ,
2
(1.49)
а напряжения в среде вычислять по формуле (1.32)
В настоящей диссертации будут рассматриваться квазистатические
движения несжимаемых упруговязкопластических сред. В таком случае формулы Мурнагана (1.32) и (1.46), как обычно [94], дополняются слагаемыми,
содержащими неизвестные функции p и p1 соответственно, добавочного
гидростатического давления
 ij   p ij 
W
 kj  2d kj  при pij  0 ,
dik
(1.50)
W

 kj  ekj  при pij  0 ,
eik
(1.51)
 ij   p1 ij 
38
W  W I1 , I 2  при pij  0 ; W  W L1 , L2  при pij  0 .
Условие несжимаемости
   0  const позволяет исключить из
числа независимых переменных функции W инвариант I 3 (при
инвариант обратимых деформаций L3 (при
pij  0 ) или
pij  0 ). Условие осуществимо-
сти движения среды, стесняемой жёсткими границами, при наложении жёсткой внутренней геометрической связи, каким является условие сохранения
объема (несжимаемость), накладывает [2, 94] дополнительные ограничения
на вид функции W  W  I1 , I 2  . Далее будут рассматриваться антиплоское
движение несжимаемой (и обратимой, и необратимой среды). В данном случае возможно использование следующей трехконстантной зависимости
W  W I1, I 2   2I1  I 2  bI12  b   I1I 2  I13  ... (1.52)
В (1.52)
 , b,  – постоянные материала. При этом константа 
отождествляется с модулем сдвига деформируемого материала и выбирается
согласно табличным данным сопротивления материалов или теории упругости. Постоянные
b,  – дополнительные постоянные, требующие своего
опытного определения.
Подстановка (1.52) в (1.50) приводит к следующей связи между напряжениями
 ij
и деформациями
в среде отсутствуют
 pij  0.
d ij в условиях, когда обратимые деформации


2
 ij   p  ij  2   (b   )d kk  b   d st dts  3d kk
dij 
 4(   b    d kk )dis d sj .
(1.53)
Заметим, что в (1.52) и, как следствие в (1.53), перед некоторыми слагаемыми поставлен знак «минус». Таким образом добиваемся того, чтобы все
три постоянные материала
 , b,  были положительными. Действительно,
для несжимаемой среды можно показать [14], что всегда I1  0 , а I 2  0 ,
что и приводит к тому, что
 , b,  из-за неотрицательности W I1 , I 2 
39
обязаны быть положительными.
Когда в процессах деформирования
pij изменяются, как в условиях ак-
 pij  0, тогда в (1.52) сле-
тивного нагружения, так и условиях разгрузки
дует вместо инвариантов I1 , I 2 тензора полных деформаций Альманси использовать инварианты L1 , L2 тензора обратимых деформаций . В соответствие с этим иначе запишется определяющая зависимость напряжений от деформаций:


2
 ij   p1 ij  2   (b   )сkk  b   сst сts  3сkk
сij 
 4(   b    сkk )сis сsj .
(1.54)
Заметим, что при стремлении пластических деформаций к нулю зависимости (1.53) и (1.54) совпадают.
Своей конкретизации требует и задание пластического потенциала
f  ij , pij , i . Наиболее просто это достигается в теории идеальной пластичности, когда поверхность нагружения свое положение в пространстве
напряжений. В этом случае пластический потенциал оказывается функций
только напряжений
 ij
от параметров истории
и не зависит и от пластических деформаций
i :
f  ij   0 .
pij , ни
(1.55)
Классическая теория идеальной пластичности чаще всего оперирует с
тремя конкретными функциями
f  ij  в (1.55):
1) Условие пластичности максимального касательного напряжения
max  i   j  2k ,
i  j.
(1.56)
2) Условие максимального приведенного напряжения
4
max  i    k .
3
3) Условие максимального октаэдрического напряжения
40
(1.57)
 ij ji  2k 2 .
В (1.56) – (1.58) обозначено:
ний
1
3
 ij ,    1   2   3 
 ij   ij  ij
i
(1.58)
– главные значения тензора напряже-
– среднее гидростатическое давление,
– компоненты тензора девиатора напряжений,
k
– предел
текучести для испытуемого материала. Условие пластического течения
(1.58), называемое еще и как условие Мизеса
3
[33, 47] в трехмерном пространстве главных
напряжений
 1,  2 ,  3 , представляет со-
бой круговую цилиндрическую поверхность
с образующей, параллельной гидростатиче-
1
2
Рис. 1
ской оси
1  2  3 .
поверхности
Сечением данной
девиаторной
1   2   3  0
плоскостью
является окружность (рис
1). Условие пластического течения (1.56) в
литературе называется условием Треска – Сен-Венана [33, 47]. Геометрической интерпретацией этого условия является призма, вписанная в цилиндр
Мизеса, или вписанный в окружность шестиугольник, расположенный в девиаторной плоскости (рис. 1), который также часто называют шестиугольником Треска. Наконец, условие (1.57) интерпретируется в девиаторной плоскости шестиугольником, описанным около круга Мизеса (рис.1) и в пространстве главных напряжений представляет собой наклонную призму, описанную около цилиндра (1.58). Данное условие называют в литературе условием пластического течения А.Ю. Ишлинского – Д.Д. Ивлева [47, 56]. Следствием (1.56) – (1.58) оказывается условие несжимаемости материала при его
пластическом течении. Если требуется модельно учесть необратимое изменение объема, то зависимости (1.56) – (1.58) следует дополнить соответствующими слагаемыми, например, для (1.58) можно записать
41
 ij ji  2k  q1 2
(1.59)
В (1.59) q1 – новая постоянная материала, определяющая свойства
данного материала необратимо изменять свой объем в процессе деформирования. Если (1.58) в пространстве главных напряжений задает цилиндр Мизеса, то (1.59) интерпретируется конусом с вершиной на гидростатической оси.
Данный конус называют конусом Мизеса – Шлейхера [54, 60]. По аналогии с
(1.59) условия пластичности необратимо сжимаемых материалов можно
представить в форме пирамид Кулона – Мора и Ишлинского – Ивлева соответственно
max  i   j  2(k  q2 ) ,
(1.60)
max  i    2(k  q3 ) .
(1.61)
В (1.60) и (1.61) q2 и q3 – новые постоянные материала, требующие
своего экспериментального измерения.
Уже отмечалось, что при деформировании любое твердое тело проявляет свои упругие, вязкие и пластические свойства. Свойство реальных материалов, связанное с их упругостью, определяет обратимую составляющую
процесса деформирования или, как говорят в неравновесной термодинамике,
консервативный механизм деформирования. Вязкие и пластические свойства
проявляются в процессе накопления необратимых деформаций – деформаций
ползучести и пластических деформациях соответственно. Но если пластические деформации растут только в условиях соответствия напряжений в некоторой области тела поверхности нагружения, то необратимые деформации
ползучести возникают как в областях пластического течения, так и в областях, где напряженные состояния еще не достигли поверхности нагружения.
В теории упругопластического тела деформациями ползучести, как правило,
пренебрегают [2, 35]. В теории течения неньютоновских (вязкопластических)
жидкостей в областях, где течение отсутствует, пренебрегается не только деформациями ползучести, но и упругими (обратимыми) деформациями. Одна42
ко в областях течения наряду с пластическими свойствами материалов учитывается их вязкость. Классическим примером этого является математическая модель Шведова – Бингама [4, 100 – 102, 110]. В нашем случае упругими свойствами пренебрегать не станем, но деформациями ползучести на стадии деформирования, предваряющей пластическое течение, будем так же,
как и в классических теориях, пренебрегать. Для того чтобы учесть вязкие
свойства материалов при их пластических течениях достаточно [43, 72] принять условие пластичности в форме
max  i   j  2k  2 max  kp
(1.62)
Здесь  – коэффициент вязкости.
Очевидно, что условие пластического течения (1.62) обобщает условие
пластичности Треска – Сен-Венана (1.56) на случай учета вязкости при пластическом течении. Совершенно аналогично [72] могут быть обобщены и
другие классические поверхности нагружения (1.57) и (1.58). Подчеркнем
еще раз, что принципиальное отличие рассматриваемой модели от модели
Шведова – Бингама будет заключаться теперь в том, что жесткие ядра и застойные зоны в рассматриваемом случае будут содержать в себе распределенные поля упругих деформаций и напряжений.
43
Глава 2. Продавливание упруговязкопластического материала
между жесткими коаксиальными цилиндрическими поверхностями
2.1.
Постановка задачи. Начальное упругое равновесие
Пусть упруговязкопластический материал, свойства которого описаны в модельных соотношениях первой главы, образует пробку высоты
l
между дву-
мя жесткими коаксиальными цилиндрическими поверхностями, которые в
используемой в дальнейшем цилиндрической системе координат
r ,  , z за-
r0  R  (рис. 2). Решение будем искать в классе функций u  u z r , t  и P  Pr , z, t  .
даются уравнениями r  r0 и r  R
Выясним условия, при которых созданием перепада давления на граничных поверхностях пробки
R
r0
z  ur , t  и
z  l  ur , t  ее можно будет продвигать вдоль цилиндрических поверхностей за счет пластического течения материала пробки в окрестностях этих поверхностей. Пусть на
жестких стенках выполняются условия прилипания материала
Рис. 2.
u R, t   u r0 , t   vR, t   vr0 , t   0 .
(2.1)
При выбранной кинематике движения компоненты тензора напряжений
 rr    ,  rz и  zz (их значения будут вычислены ниже) на обеих граничных поверхностях пробки не являются постоянными. Поэтому изменение перепада давления на граничных поверхностях зададим в виде
 zz r , u r t , t    pt ,
 zz r , l  u r t , t   0,
(2.2)
где r t  – переменная координата максимального перемещения граничных
точек пробки ur t   0 . Согласно второй зависимости (2.2) сопротивле44
ние продавливанию на свободном конце пробки z  l  u r , t  при r  r
предполагается отсутствующим. Его можно было бы считать заданной отличной от нуля постоянной величиной, принципиально задача от этого не
изменится. В остальных точках граничных поверхностей r  r напряжения в
любой момент времени вычисляются по найденному полю перемещений.
При увеличении со временем давления
pt  первоначально происхо-
дит только упругое деформирование. При достижении продавливающим
усилием значения p t0   p0 в окрестности внутренней жесткой стенки
r  r0 , как увидим, начинается пластическое течение. Таким образом, момент времени t  t0 является начальным для последующего процесса пластического течения. В дальнейшем примем t0  0 . Вычислим параметры
напряженно-деформированного состояния в этот момент времени.
Для отличных от нуля компонент тензора деформаций в рассматриваемом случае имеем
d rr  
1
u2 ,
2
1
d rz  u .
2
(2.3)
Воспользовавшись зависимостью (1.53), для компонент напряжений
найдем с точностью до слагаемых второго порядка малости по компонентам
тензора градиента перемещений
1
2
 rr      p  2   b   u2   s,
1
2
 zz   p  2   b   u2   s   u2 ,  rz  u.
Из уравнений равновесия
 rz , r   zz , z 
 rz
 rr , r   rz , z 
 rr   
0
(2.5)
r
следует, что s является только линейной функцией z : s  cz  a . Интегриr
 0,
(2.4)
руя первое уравнение равновесия, в рассматриваемом случае получаем
45
 rz
cr с
  1,
2 r
cr 2 c1
u
 ln r  d .
4 
Постоянные интегрирования с1 и
d
(2.6)
определим из условий прилипания
(2.1) на жестких стенках, постоянную a и давление p0 – из условий нагружения (2.2). В результате получим


R 2c ~ 2
u
r  1  2~
r2 ln ~
r ,
4


R 2c 2 ~ 2
s  c z  l  
r 1  2 ln ~
r   1 ,
4
p0  cl ,
~
r
r02  1
~
,
r  
R
2 ln ~
r0
r
~
r0  0 ,
R
(2.7)
r
~
r  .
R
Для вычисления постоянной с воспользуемся условием пластичности
(1.62), которое в нашем случае принимает форму

rr
  zz 2  4 rz2

r  r0
 4k 2 ,
(2.8)
или, в рассматриваемом приближении
 rz
r  r0
 k.
Окончательные зависимости для компонент напряжений имеют вид
~

R 2c 2  ~ 2
r4 ~ 2
 r  1  2  r 1  2 ln ~


 zz  cl  z  
r
 ,

~
4 
r

 rr   
(2.9)
Rc  ~ ~
r2 
2kR1
 r  , c  2
  s ,  rz 
.
2
~
~
~
2 
r 
r0  r
Согласно (2.9) данное напряженно-деформированное состояние выполняется при следующих значениях напряжений на граничных поверхностях:
на поверхности
z  u(r ) :
46
 rr
p02  2 2
r
2

 ,
  p0 
r

r

2
r
ln

2 
r
4l 

 zz
p02  r4
r
  r2  2r2 ln  ;
  p0 
r 
4l 2  r 2
на поверхности
z  l  u(r ) :
 rr
p02  2 2
r
2

 ,

r

r

2
r
ln


2
r 
4l 
 zz
p02  r4 2
r
  r  2r2 ln  .

r 
4l 2  r 2

3  105
2  105
105
0
 105
0.2
0.4
0.6
r*
0.8
r
Рис. 3. Распределение компонент напряжения  rr и  zz на поверхности
z  l  ur  в момент начала пластического течения на поверхности r  r0 .
Распределение компонент напряжения
(сплошная линия) и
 zz 
 zz



 здесь и далее  rr  rr



(штриховая линия)  на поверхности

R
r
k
r

z  l  u(r )  r   при  0,8 , 0  0,2 и  0,00621 приведено
l

l
l

на рис. 3.
47
Как только напряженное состояние материала будет удовлетворять зависимостям (2.9), от границы r  r0 начинает развиваться область пластического течения.
Для определения компонент упругих деформаций согласно (1.26) получим систему уравнений
2err  erz2  u2

2
2ezz  erz  0
2e  u
 rz
(2.10)
Таким образом, через найденное поле перемещений (6.9) упругие деформации выражаются зависимостями
 ~ ~ 2
r ~ ~
r*2 
2
~
 r r  1  2r* ln   r  ,
erz 
2 ~2  
~
~
R
r 
2 r0  r  
3
1
err   erz2 ,
ezz  erz2 .
2
2

2.2.
k

(2.11)
Деформирование при одностороннем пластическом течении
При дальнейшем росте нагружающего давления
p t   p0 развивающаяся
область необратимого деформирования будет занимать слой r0  r  r1 t 
между жесткой стенкой r  r0 и поверхностью
R
r1 (t )
r0
r  r1 t  , которая отделяет область вязкопластического течения от упругого ядра r1 t   r  R (рис.
4).
Такая ситуация
будет сохраняться до момента времени t1 , в который
появится и начнет свое развитие от граничной поверхности r  R новая область неРис. 4.
обратимого деформирования. Укажем параметры
48
напряженно-деформированного состояния материала в этот промежуток
времени.
Оставаясь в рамках квазистатического подхода (пренебрегая силами
инерции), из уравнений равновесия (2.5) найдем для области обратимого деформирования
st   ct z  at ,
 rz 
ct r c1 t 

,
2
r
R 2ct  ~ 2
c t 
u
r  1  1 ln ~
r,
4



(2.12)
R 2ct  ~ 2
c t 
v
r  1  1 ln ~
r.
4


В (2.12)

at  , ct  и c1 t  - неизвестные функции. При интегрирова-
нии уравнений равновесия учитывалось условие
u  R, t   0 .
В области пластического течения напряжения определяются зависимостью (1.54). Оставляя в ней согласно рассматриваемому приближению слагаемые до второго порядка только по компонентам erz , найдем
 rr   p1  2   2  b err  2bezz  erz2 ,
    p1  2   2berr  ezz   2erz2 ,
 zz   p1  2   2berr  2  b 
 rz  2erz .
ezz  erz2 ,
(2.13)
В силу непрерывности компонент упругих деформаций на границе
r  r1 t  зависимости (2.11) будут справедливы и в области вязкопластического течения. Таким образом, из (2.13) получим
 rr      p1  2    2  b erz2   s1 t ,
 zz   p1  2    2b   erz2   s1 t   4 erz2 ,
 rz  2erz .
(2.14)
С другой стороны, интегрированием уравнений равновесия можно полу49
чить
s1 t   mt z  nt ,
 rz 
mt r g t 

,
2
r
mt r g t 
erz 

.
4
4 r
(2.15)
Условия непрерывности напряжений на упругопластической границе
r  r1 t  заставляют считать
mt   ct  ,
nt   at  ,
g t   c1 t  ,
st   s1 t  .
Условие пластического течения (1.62) в рассматриваемом случае (
 rz  0,  rzp  0 ) запишется в форме



f  rz ,  rzp   rz2  k   rzp

2
 0.
(2.16)
Следуя ассоциированному закону пластического течения (1.44), из соотношения (2.16) найдем
 rz  k
 rzp

.
k   rzp
  rzp ,
(2.17)
Сравнение формул (2.16) и (2.17) позволяет вычислить скорость пластических деформаций
1  ct r
c t 

 rzp  
 1 k.
 2
r

(2.18)
Для компоненты d rz тензора полных деформаций Альманси и компонент тензора скоростей пластических деформаций из соотношений (1.26),
(1.15), (1.40) в рассматриваемом случае соответственно следует
d rz  erz  prz ,
 rzp 
 zzp 
ddrz d rz 1

 v ,
dt
t
2
dprz prz

,
dt
t
 rrp 
dpzz
 2 prz (rrz   rzp ) ,
dt
1
rzr  rrz  v ,
2
dprr
 2 prz (rzr   rzp ) ,
dt
 rrp   zzp  2 rzp erz .
50
(2.19)
Подстановка соотношений (2.15), (2.17) и (2.18) в соотношения (2.19), позволяет вычислить скорости точек и их перемещения в области вязкопластического течения
v
1

1 
ht , r , r0 , u   vt dt,

2
(2.20)
ct  2
r
ht , r , r0  
r  r02  2c1 t  ln .
2
r0
ht , r , r0  
2k
r  r0  


Условия равенства перемещений (2.12) и (2.20) и их производных
u и
u  v на упругопластической границе r  r1 t  приводят к соотношениям
1
1
2kt
r  r  ,
ht , r0 , R   h1 t , r1 , r0  
2

 1 0
1 
1
2k
ht , r0 , R   ht , r1 , r0   r1  r0  ,
2


c2 t r1 
2c3 t 
 2kt  0 , c2 t    ct dt , c3 t    c1t dt ,
r1
h1 t , r , r0  
Функция
(2.21)
c2 t  2
r
r  r02  2c3 t  ln .
2
r0


c2 t  , как и ct  задается условиями нагружения (2.2):
ct   l 1 pt . Для неизвестных функций c1 t  и c3 t  из соотношений
(2.21) получаем
  R 2ct 
c t  
r 
c1 t   ~ 
1 ~
r02  2  r12  r02  2r12 ln 1  
ln r0  4 
2 
r0 



2kt 
r 
 r0  r1  r1 ln 1  ,
 
r0  
(2.22)
1
c3 t   ktr1  c2 t r12 .
2
Из соотношений (2.21) и (2.22) следует дифференциальное уравнение, определяющее положение границы пластической области r  r1 t  ,
51
kr1  c1 t   ct r12 / 2
.
r1 
r1c2 t   kt
(2.23)
По найденной кинематике движения определим компоненты тензора
напряжений (зависимости справедливы как в упругой, так и в вязкопластической области)
 rr      st ,  zz
1  ct r c1 t  
  st   

 ,
 2
r 
2
1
2c t 


st   ct  z  l 
ht , r , R , r   1 .
2
ct 


(2.24)
На граничных поверхностях пробки для компонент напряжений получаем зависимости:
в упругой области
на поверхности
 rr    
 zz
pt   1

ht , r , r   l  ,

l  2

pt   1
 1  pt r c1 t  

ht , r , r   l    


 ;
l  2

2
l
r



2
на поверхности
 rr    
 zz
z  u r :
z  l  u r :
pt 
ht , r , r  ,
2 l
pt 
1  pt r c1 t  

ht , r , r    

 ;
2 l
  2l
r 
2
в области вязкопластического течения
на поверхности z  ur  :
52
 rr    
pt   1
 h1 t , r , r0   2kt r  r0   l 
l 
1
ht , r , r0   ht , r , R ,
2

pt   1

 h1 t , r , r0   2kt r  r0   l 
l 

 zz
1
ht , r , r0   ht , r , R   1   pt r  c1 t   ;

2
2l
r 
 
2
на поверхности z  l  u r  :
 rr    

 zz 
pt   1
 h1 t , r , r0   2kt r  r0  
l 
1
ht , r , r0   ht , r , R ,
2

pt   1
 h1 t , r , r0   2kt r  r0  
l 
1
ht , r , r0   ht , r , R   1   pt r  c1 t   .

2
2l
r 
 
2
Напряжение  rz определяется второй зависимостью из (2.12).
Полученное решение справедливо только до момента времени t1 , когда
в окрестности внешней граничной поверхности r  R выполнится условие
пластического течения
 rz R, t1   k , которое в используемых обозначени-
ях записывается в форме
1
kR  ct1 R 2  c1 t1  .
2
(2.25)
Соотношение (2.25) является, по существу, уравнением, определяющим
по задаваемому нагружению момент времени t1 .
Распределение компонент напряжений
53
 rr и  zz на поверхности
z  l  ur  приведено на рис. 5 в момент начала пластического течения на
поверхности r  R . Функция нагружения при этом полагалась линейной:
pt   p0 1  t ,   0 ,

 0,004 , тогда  1  t1  0,4987 .


3  105
0
 3  105
0.2
r1 (1 )
0.4
r* (1 )
0.6
0.8
r
Рис. 5. Распределение компонент напряжения  rr и  zz на поверхности
z  l  ur  в момент начала пластического течения на поверхности r  R .
2.3. Расчет процесса продавливания
Начиная с момента времени t , в деформируемом материале присутствуют
1
две области вязкопластического течения, ограниченные поверхностями
r0  r  r1 t  и r2 t   r  R . В области r1 t   r  r2 t  продавливаемый
материал остается в упругом состоянии (рис. 6). Параметры напряженнодеформированного состояния в этой области вычисляются вполне аналогично предыдущим зависимостям (2.12)
st   bt z  a1 t  ,  rz  s2 t , r  , s2 t , r  
bt r 2 b1 t 
u

ln r  d t  ,
4

bt r b1 t 

, (2.26)
2
r
v  u .
В области вязкопластического течения r0  r  r1 t  перемещения и
скорости точек вычисляются по тем же зависимостям (2.20), в которых
54
ct  , c1 t  , c2 t  , c3 t  сле-
функции времени
R
дует заменить их последующими значениями
r2 (t )
r1 (t )
bt , b1 t  , b2 t  , b3 t . В записи пластического потенциала в области r2 t   r  R следует
r0
учитывать, что
 rz  0 и  rzp  0 . Тогда
в
рассматриваемом случае согласно (1.44)
 rz  k
 rzp
.
 p
 rz  k
  rzp ,
(2.27)
Кинематика вязкопластического течения в рассматриваемой области
находится тем же способом, каким ранее были получены соотношения (2.20).
В результате для данной области найдем
v
u
1

1

H t , r , R  
H1 t , r , R  
2kt

H t , r , R  
H1 t , r , R  
2k

r  R  
r  R  
1 
H t , r , R ,
2
1
H t , r , R   f r  ,
2
bt  2
r
r  R 2  2b1 t  ln ,
2
R


(2.28)
b2 t  2
r
r  R 2  2b3 t  ln ,
2
R


b2 t    bt dt,
Произвольную функцию
b3 t    b1t dt .
f r  определим из условия совпадения пе-
ремещений в момент времени t  t1
1
2kt
f r    H1 t1, r , R   1 r  R  .


(2.29)
Условия непрерывности перемещений, скоростей, производных от перемещений по r на упругопластических границах r  r (t ) и r  r (t ) при1
2
водят к уравнениям
55
b2 t   c2 t1 r2  2b3 t   c3 t1   2k t  t1   0 ,
r2
bt r12 b1 t 
1
2kt
r1  r0   1 H t , r1, r0  ,

ln r1  d t   H1 t , r1 , r0  
4



2
bt r22 b1 t 
1
2kt
r  R  

ln r2  d t   H1 t , r2 , R  
4


 2

1
H t , r2 , R   f r2 ,
2
b2 t r1 
2b3 t 
 2kt  0 ,
r1
(2.30)
bt r12 b1 t 
1
2k
1 

ln r1  d t   H t , r1 , r0   r1  r0  
H t , r1 , r0 ,
4



2
bt r22 b1 t 
1
2k
1 

ln r2  d t   H t , r2 , R   r2  R  
H t , r2 , R .
4



2
Из уравнений (2.30) определим неизвестные функции b3 t  ,
d t  ,
b1 t  и запишем уравнения движения границ: дифференциальное для
r  r2 t  и алгебраическое для r  r1 t 
b2 t r12
b3 t   ktr1 
,
2
(2.31)
b2 t   2 2
r1  2kt 
r1  bt r02 b1 t 
2
 r1  r0  2r1 ln  
 r1  r0  r1 ln  
d t  

ln r0 ,
2 
r0   
r0  4

b1 t  
r1R 
  b2 t   2 2 2
2
2

r

r

r

R

2
r
ln
0
2
1
ln ~
r0  2  1
r2 r0 

r1R  R 2bt 
2kt 
2
~



r

r

R

r

r
ln

1

r

f
(
r
)
0
1
2
1
0
2 ,


 
r2 r0 
4


kr2  bt r22 / 2  b1t 
,
r2  
b2 t   c2 t1 r2  k t  t1 
56

kt
r1 

b2 t 
 kt  c2 t1   b2 t r22  2k t1  t r2  2c3 t1 

 
..




b
t
b
t
 2 
2
2
Функции a1 t  , bt   l
1
pt  и b2 t    bt dt определяются
условиями нагружения.
Таким образом, окончательное решение поставленной краевой задачи
теории упруговязкопластического деформирования связано с зависимостями:
в области упругого ядра r1 t   r  r2 t  :
u
b t  
r  2kt 
r 
1
 r1  r0  r1 ln 1 ,
H t , r , r0   2  r12  r02  2r12 ln 1  
2
2 
r0   
r0 
v
(2.32)
1 
1
2k
H t , r , R   H t , r2 , R   R  r2 ;
2


в областях вязкопластического течения:
r0  r  r1 t  :
1
2kt
r  r0 ,
H t , r , r0  

2

1
1 
2k
v  H t , r , r0 dt 
H t , r , r0   r  r0 ;

2

u
1
H1 t , r , r0 dt 
(2.33)
в области r2 t   r  R перемещение и скорость определяются зависимостями
(2.28).
Напряжения во всех трех областях определяются зависимостями
 rr      st  ,
 zz  st    1s22 t , r  ,
 rz  s2 t , r ,

1
b t  
r 
st   bt  z  l 
H t , r , r0   2  r12  r02  2r12 ln 1   (2.34)
2
2 
r0 


2kt 
r 
 r1  r0  r1 ln 1  ,
 
r0  
r  
2b1 t 
.
bt 
Из соотношений (2.34) определим компоненты напряжений на граничных
57
поверхностях.
В упругой области
на поверхности
 rr    
 zz 
z  u r  :
pt   1

H t , r , r   l ,

l  2

pt   1
 1
H t , r , r   l   s22 (t , r );

l  2
 
на поверхности
pt 
H t , r , r ,
2 l
pt 
1

H t , r , r   s22 t , r ;
2 l

 rr    
 zz
в области вязкопластического течения r0  r  r1 :
на поверхности
 rr    
 zz 
z  u r  :
pt   1
1
2kt
r1  r   l  ,
H t , r , r   H1 t , r , r1  

l  2



pt   1
1
2kt
r1  r   l   1 s22 t , r  ;
H t , r , r   H1 t , r , r1  

l  2


 
на поверхности
 rr    
 zz 
(2.35)
z  l  u r :
pt   1
1
2kt
r1  r  ,
H t , r , r   H1 t , r , r1  

l  2



pt   1
1
2kt
r1  r   1 s22 t , r  ;
H t , r , r   H1 t , r , r1  

l  2


 
в области вязкопластического течения r2  r  R :
на поверхности
z  u r  :
58
 rr    

1

pt   1
H t , r , R   H t , r , r0   2kt0 r  R   l 

l  2

H1t , r , R   H1 t , r1, r0   H1 t1, r , R   2kt r  R  r1  r0 ;

 zz 
pt   1
H t , r , R   H t , r , r0   2kt r  R  r1  r0  

l  2



1

H1 t , r , R   H1 t , r1, r0   H1 t1, r , R  
2kt0

r  R   l   1 s22 t , r ;
 
на поверхности
 rr    

1

1

z  l  u r :
pt   1
H t , r , R   H t , r , r0   2kt0 r  R  

l  2

H1t , r , R   H1 t , r1, r0   H1 t1, r , R   2kt r  R  r1  r0 ,

 zz 



pt   1
H t , r , R   H t , r , r0   2kt r  R  r1  r0  

l  2

H1 t , r , R   H1t , r1, r0   H1 t1, r , R   2kt0 r  R   1 s22 t , r .

Распределение напряжений на граничной поверхности
щий момент времени
 
z  u r  в теку-
 2  2,3 иллюстрирует рис. 7. Как видно на этом ри-
сунке, компоненты напряжения
 rr и  zz на граничных поверхностях с те-
чением времени становятся практически одинаковыми. Отличие заметно
только в области обратимого деформирования r1  2   r  r2  2  (рис. 8).
59
 rr
 zz
0.045
0.045
0.049
0.049
0.053
0.053
0.057
0.2
r1 ( 2 )
0.4
0.6
r2 ( 2 )
0.8
0.057
0.2
r1 ( 2 )
0.4
0.6
r2 ( 2 )
0.8
r
Рис. 7. Распределение напряжений на поверхности z  ur  .

0.0464
0.04644
0.04648
0.04652
r1 ( 2 ) 0.3
0.4
r* ( 2 ) 0.5
0 .6
r
r2 ( 2 )
Рис. 8. Распределение напряжений на поверхности z  ur 
в упругой области.
2.4. Течение при постоянном перепаде давления
Пусть, начиная с некоторого момента времени t 2 , нагружающее давление
становится постоянным
pt  t t 2  pt2   p1  const .
Для перемещений и скорости частиц упругого ядра в данном случае
получаем
b0 r 2 b1 t 
u

ln r  d t ,
4

60
(2.36)
v
b1 t 

ln r  d t ,
b0  
p1
.
l
В областях вязкопластического течения
r0  r  r1 t  :
1
2k
1 
v  G t , r , r0   r  r0  
G t , r , r0 ,


2
u
1

r  r0   b3 t  ln r  f1r ,
G1 t , r , r0  
2kt
G t , r , r0  
b0 2 2
r
r  r0  2b1 t  ln ,
2
r0



r0
(2.37)

G1 t , r , r0    G t , r , r0 dt 


b0t 2 2
r
r  r0  2b3 t  ln ;
2
r0
r2 t   r  R :
1 
G t , r , R ,


2
1
2kt
r  R   b3 t  ln r  f 2 r .
u  G1 t , r , R  



R
v
1
G t , r , R  
2k
r  R  
(2.38)
Произвольные функции f1 r  и f 2 r  определим из условия совпадения перемещений (2.33) и (2.37) и (2.28) и (2.38) в момент времени t  t 2 .
 b t   b0t2 b0  2 2
f1 r    2 2

 r  r0 ,
2

4



 b t   b0t2 b0  2
f 2 r    2 2

 r  R 2  f r .
2
4 





(2.39)
Условия непрерывности перемещений, скоростей и производных от
перемещений по
r на упругопластических границах r  r1 t  и r  r2 t 
служат определению неизвестных функций b3 t  ,
61
d t  и b1 t  , а так же да-
ют возможность записать уравнения изменения границ r1 t  и r2 t  . Все эти
функции определяются зависимостями (2.32), в которых функцию b2 t 
необходимо заменить функцией
b2 t2   b0 t2  t .
Такую же замену необходимо сделать в первой зависимости (2.32) для
перемещений в области упругого ядра, в зависимостях для напряжений (2.34)
и в выражениях для значений компонент напряжений на граничных поверхностях (2.35). Перемещения в областях вязкопластического течения находятся соотношениями (2.37) и (2.38) с учетом выражений (2.39). Кроме того, во
всех перечисленных соотношениях функции H и H1 необходимо заменить
их последующими значениями
G и G1 .
Для компонент упругих деформаций в любой точке среды, как и ранее,
получим зависимости
erz 
1  b0 r b1 t  
3 2


, err   erz ,
2  2
r 
2
1
ezz  erz2 .
2
(2.40)
Пластические деформации в конечный момент нагрузки t3  t 2
найдутся решением системы уравнений
 2erz2  prr  2erz prz  0.5u2

 p zz  2erz prz  0
e  p  0.5u
rz
 rz
(2.41)
Компонента prz пластических деформаций будет вычисляться зависимостями
в области r0  r  r1 t3  :
prz 
1  b0 r
t3  t2   b3 t3   kt3  b2 t3 r  ;

 2
r
2 
в области r2 t3   r  R :
62
(2.42)
prz 
1  b0 r
t3  t2   1 b3 t3   b3 t1  

 2
r
(2.43)
r

 k t3  t1   b2 t3   b2 t1 .
2

R / l  0 .8
r2  
0 .6
0 .4
r1  
r0 / l  0.2
0
1
1
2
2
3
3

Рис. 9. Развитие зон вязкопластического течения со временем.
Развитие зон вязкопластического течения со временем показано на рис.
9. Распределение компоненты напряжения
 rr на поверхности z  u r  при
не изменяющемся давлении pt2   p1 иллюстрирует рис. 10. В масштабе,
выбранном на рис. 10, отличие компоненты
 zz от  rr практически не за-
метно (как и на рис. 8). Отличие этих компонент в области обратимого деформирования показано на рис. 11.
Зависимость перемещения
u
u
от радиуса в момент времени  1 ,
l
соответствующий возникновению течения на поверхности
r  R , представ-
лена на рис. 12. На рис. 13 перемещения представлены в момент времени  2 ,
когда нагружающее давление становится постоянным (сплошная кривая) и в
некоторый текущий момент времени  3   2 (штриховая кривая).
63
 rr

0.04
0.04641
0.055
0.04644
0.07
0.04647
0.085
0.2
r1 ( 3 )
0 .4
0 .6
r2 ( 3 )
0.8
0.0465
0.3
Рис. 10. Распределение напряжения  rr
на поверхности z  ur  при
постоянном перепаде давления.
r1 ( 3 )
0.4
r* ( 3 )
0.5
0.6
r
r2 ( 3 )
Рис. 11. Распределение напряжений в
области упругого деформирования на
поверхности z  ur  при постоянном
перепаде давления.
u
0.0015
0.001
0.0005
0
0.2
r1 ( 1 )
0 .4
0.6
r
0.8
Рис. 12. Перемещение в момент времени  1 .
u
0.81
0.54
0.27
0
0.2
r1 ( 2 ) r1 ( 3 )
0 .4
r2 ( 3 )
0.6
r2 ( 2 )
0.8
r
Рис. 13. Перемещения в моменты времени  2 и  3 .
Зависимости скорости
v
v
от радиуса в моменты времени  1 ,  2
l
(сплошная кривая) и  3 (штриховая кривая) приведены на рис. 14 и 15 соот64
ветственно.
v
7.2  10
6
4.8  106
2.4  106
0
0.2
r1 ( 1 )
0 .4
0.6
r
0.8
Рис. 14. Скорость в момент времени  1 .
v
0.0015
0.001
0.0005
0
0.2
r1 ( 2 ) r1 ( 3 )
0 .4
r2 ( 3 )
0.6
r2 ( 2 )
0.8
r
Рис. 15. Скорости в моменты времени  2 и  3 .
2.5. Разгрузка среды
Пусть, начиная с момента времени t  t3 , нагружающее давление меняется
по закону
  0,
p (t )  p1 (1  t ) ,
0  t  1.
(2.44)
Аналогично предыдущим случаям интегрированием уравнений равновесия в
области, где пластические деформации отсутствуют, найдем
st   
pt 
z  qt ,
l
 rz  
pt r q1 t 

,
2l
r
pt r 2 q1 t 
u

ln r  q2 t .
4 l

65
(2.45)
В областях вязкопластического течения в процессе разгрузки компонента prz накопленных необратимых деформаций (2.42) и (2.43) не изменяется. Учитывая, что упругие деформации по известным напряжениям определяются зависимостью
erz 
1  pt r q1 t  


,
2 
2l
r 
из соотношения u  2erz  prz  , воспользовавшись условиями прилипания (2.1), для перемещений получим зависимости
в области r0  r  r1 :
 b t  t   b2 t2  pt   2 2
u 0 3 2

 r  r0 
2

4

l




(2.46)
q t   r 2kt
2
  b3 t3   1  ln  3 r  r0 ;
  r0 

в области r2  r  R :
 b t  t   b2 t2   b2 t1  pt   2
u  0 3 2

 r  R2 
2
4l 

q t   r 2k t3  t1 
2
r  R .
  b3 t3   b3 t1   1  ln 


R





(2.47)
Равенства перемещений (2.45) и (2.46) при r  r1 и (2.45) и (2.47) при
r  r2 позволяют найти неизвестные функции q1 t  и q2 t 
66
q2 t  
pt  2 q1 t 
b t  t   b2 t2  2 2
r0 
ln r0  0 3 2
r1  r0 
4l

2
2
r 2kt
 b3 t3  ln 1  3 r1  r0 ,

r0


q1 t    ln 1


2b3 t1 

ln

R  pt  2
2
r r
r0  R 2  b3 t3  ln 2 0 

r0  4l

R r1


(2.48)
r2 b0 t3  t2   b2 t2  2

r2  R 2  r12  r02 
R
2


b2 t1  2
2kt
2kt

r2  R 2  3 r2  R  r1  r0   1 r2  R .
2





Согласно зависимостям (2.45) и (2.48) компоненты напряжений
 rr и
 zz в процессе разгрузки изменяются согласно выражениям
 zz
1  pt r q1 t  
  rr   

 ,
  2l
r 
 rr    

2
pt  
pt  2 2 q1 t  r*
 z  l 
r0  r* 
ln 
l 
4l

r0


(2.49)

b0 t3  t2   b2 t2  2 2 2
r 2kt
r1  r0  b3 t3  ln 1  3 r1  r0 
2

r0




Тогда для распределений этих компонент на граничных поверхностях
получаем:
на поверхности
z  l  u r :
в упругой области
 rr    
pt   pt  2 2 q1 t  r 

r*  r 
ln  ;
l  4l

r* 


в области вязкопластического течения r0  r  r1 :
67
pt   pt  2 2 q1 t  r 2
r

r*  r 
ln  b3 t3  ln 
l  4l

r* 
r1

 rr    

b0 t3  t2   b2 t2  2 2 2kt3
r1  r ;
r  r1 
2





в области вязкопластического течения r2  r  R :
 rr    


(2.50)
pt   pt  2 2 2 2 q1 t  rr0

R  r  r0  r* 
ln


l  4l

r* R


b0 t3  t2   b2 t2  2
r  R 2  r12  r02 
2


rr 2
b2 t1  2
2
r
r  R 2  b3 t3 ln 0  b3 t1 ln 
2

r1R 
R



2kt3

на поверхности
r  R  r1  r0   2kt1 r  R   l ;


z  u r  :
 rr      rr  z  l  u (r )   pt  .
Компонента напряжений
 zz на обеих граничных поверхностях опре-
деляется второй зависимостью (2.49),  rz – вторым соотношением (2.45).
При полной разгрузке (при
pt   0 ) компоненты остаточных напря-
жений согласно выписанным соотношениям определяются зависимостями
 rr     0,
 rz
q
 1,
r
 zz
1 q12

,
 r2
q1  q1 t  1 .
Для компоненты d rz полных деформаций согласно (2.45) – (2.47) получаем
в упругой области
d rz 
1 q1
;
2 r
в области вязкопластического течения r0  r  r1 :
68
d rz 
b0 t3  t2   b2 t2 

 2b t  q  1 2kt
r  3 3  1  3 ;
 r 
 
в области вязкопластического течения r2  r  R :
d rz 
b0 t3  t2   b2 t2   b2 t1 

r
2k t3  t1 


q 1
2
  b3 t3   b3 t1   1  .
 r

Компонента деформаций
d rr  2d rz2 .
Остаточные пластические деформации в областях вязкопластического
течения определяются зависимостями (2.42) и (2.43).
u
u
0.81
0.774
0.54
0.773
0.27
0.772
 0
  0.5
0
0.2
r1
0 .4
0.6
r2
0.8
r
0.771
0.3
Рис. 16. Перемещение при полной
разгрузке.
  0.8
 1
r1
0.4
0.5
0.6
r
r2
Рис. 17. Изменение перемещений
в упругой области в процессе разгрузки.
Координата максимального перемещения r  r* в соотношениях (2.49)
и (2.50) до некоторого момента времени t  t* определяется зависимостью
r* 
2q1 t l
,
pt 
то есть ur*   0 . Начиная с момента времени t  t*
u  0 ни в одной
точке области, поэтому координата максимального перемещения равна r1 –
значению границы вязкопластической области в конечный момент нагрузки
(и разгрузки). При выбранных для численного решения значениях постоян-
69
ных
t*   *  0,85161631 .
 rz
 zz
5  105
0.02
4  105
0.01
 1
  0.8
  0.5
0
0.01
0.2
2  105
 0
r1
0 .4
0.6 r
2
0.8
0.2
r1
0 .4
0.6
r2
0.8
r
Рис. 19. Компонента напряжений  zz
в конечный момент разгрузки.
Рис. 18. Изменение компоненты
напряжений  rz при разгрузке.
 zz
0.003
0
  0.9
0.006
  0.8
0.012
  0. 5
0.018
0.2
r1
0 .4
0.6
r2
0.8
r
Рис. 20. Изменение компоненты напряжений  zz
на поверхности z  l  ur  при разгрузке.
Зависимость перемещений от радиуса при полной разгрузке приведена
на рис. 16. Отличие перемещений в конечный момент нагрузки (верхний
график на рис. 13) от перемещений, представленных на рис. 16 заметно только в упругой области. Изменение перемещений в процессе разгрузки в области обратимого деформирования иллюстрирует рис. 17. Изменение компоненты напряжения
та
 rz в процессе разгрузки показано на рис. 18. Компонен-
 zz остаточных напряжений приведена на рис. 19. Изменение компонен-
ты  zz в процессе разгрузки на поверхности
z  l  u r  иллюстрирует рис.
20. В масштабе, выбранном на данном рисунке, изменение компоненты
70
 rr на этой поверхности практически не отличается. Изменение и отличие
этих компонент в области обратимого деформирования показано на рис. 21.
 zz
2  10 6
  0. 7
 1
  0.8
106
  0.95
  0.9
0
 rr
0
  0.95
  0.9
 2  106
  0.8
  0.7
 4  106
0.3
0.4
0.5
r1
0.6
r2
r
Рис. 21. Изменение компонент напряжений  rr и  zz при разгрузке
на поверхности z  l  ur  в упругой области.
71
Глава 3. Вязкопластическое течение: развитие, торможение,
остановка и полная разгрузка
3.1. Прямолинейное осесимметричное вязкопластическое течение упруговязкопластического материала между жесткими коаксиальными цилиндрическими поверхностями
Постановка задачи. Упругое равновесие. Пусть несжимаемый упруговязкопластический материал находится между двумя жесткими коаксиальными
цилиндрическими поверхностями: неподвижной внешней поверхностью, радиус которой равен R , и внутренней радиусом r  r0 , которая движется
вдоль оси
z . Решение данной краевой задачи, как и задачи во второй главе,
ищется в цилиндрической системе координат r ,  , z в классе функций
u  u z r , t  , v  v z r , t . Граничными условиями задачи будут
u  R, t   v  R, t   0 ,  t ;
vr0 , t   t
при
t  0. (3.1)
Полагаем, что до момента времени t  t0  0 материал деформировался обратимо, а с этого момента времени в окрестности внутренней жесткой стенки начинается пластическое течение. Параметры упругого равновесного состояния, которое является начальным для последующего процесса необратимого деформирования, найдем, воспользовавшись зависимостями (2.3)
– (2.5). Как уже отмечалось, s является только линейной функцией
z:
s  сz  a0 . Однако теперь, для того чтобы напряжения  rr ,   и  zz
были конечными при
z   , необходимо положить с  0 . Тогда решение
упругой задачи получаем в виде
 rz
c
 1,
r
 rr     a0 ,
u  Ac1 ,
 zz
Ac1  
72
c1
c12
 a0  2 ,
r
r
ln .
 R
(3.2)
Для нахождения компоненты перемещения использовалось первое граничное условие (3.1). Для определения постоянной c1 воспользуемся условием пластичности (1.62), которое в нашем случае принимает форму
 rz
r  r0
 k .
(3.3)
Тогда c1   kr0 . Постоянная a0 влияет только на распределение компонентов нормальных напряжений (задаваемое обжатие слоя). Поэтому ее можно
считать как остающейся постоянной в процессе пластического течения, так и
изменяющейся со временем. Величина u 0 , на которую, таким образом, необходимо сдвинуть внутреннюю поверхность для начала на ней пластического
течения равна
u0 
k

r0 ln
R
.
r0
Компонента обратимых деформаций erz по найденному полу перемещений вычисляется соотношением
1
kr
erz  d rz  u   0 .
2
2 r
Для компонент обратимых деформаций err и e zz справедливы кинематические зависимости (2.11).
Вязкопластическое течение. Положим далее, что, начиная с момента времени
t  0 , внутренняя жесткая поверхность движется со скоростью v  t .
Развивающаяся область вязкопластического течения будет ограничена поверхностями r  r0 и r  r1 t  r0  r  r1 t  . В области r1 t   r  R
материал по-прежнему деформируется обратимо. То есть r1 t  является движущейся границей области развивающегося вязкопластического течения.
Рассчитаем параметры напряженно-деформированного состояния, соответствующего скорости
v  t1 t1  0  при r  r0 .
В области обратимого деформирования r1 t   r  R , интегрируя
73
уравнение равновесия (2.5) (квазистатическое приближение), как и ранее,
найдем
 rz 
с2
,
r
u (r , t1 )  A(c2 ),
v  0,
c2  c1 (t1 ) .
(3.4)
В области вязкопластического течения r0  r  r1 t  напряжения вычисляются зависимостями (2.14). Интегрируя уравнения равновесия и используя условие непрерывности компонент напряжений на упругопластической границе r  r1 t , получим, так же как во второй главе, что в области
вязкопластического течения для компонент напряжений выполняются те же
зависимости, что и в области обратимого деформирования.
Пластический потенциал в нашем случае может быть записан в форме
f ( rz ,  rzp )   rz2  (k   rzp ) 2  0 .
(3.5)
Тогда, согласно ассоциированному закону пластического течения
 rz  k
 rzp
.
 p
 rz  k
  rzp ,
(3.6)
Из соотношений (2.14) и (3.6) определим скорость пластических деформаций
 rzp   2  k  .
 r

1 с
(3.7)
Учитывая, что на упругопластической границе r  r1 t 
 rzp  0 , по-
лучим
r1  
с2
.
k
(3.8)
Из кинематических зависимостей (2.19) определим скорости точек в
области вязкопластического течения
v  Bc2 , r , r0   v ,
Bc2 , r , r0  
74

2
r
 c2 ln  k r  r0  . (3.9)

r0

Из условия равенства скоростей (3.4) и (3.9) на упругопластической
границе r  r1 t , получаем уравнение для определения значения r1 , соответствующего значению скорости
v  t1 на поверхности r  r0 .
Bc2 , r1, r0   v  0 .
(3.10)
Перемещение в области необратимого деформирования находится интегрированием (3.9) с точностью до произвольной функции
f r 
u  tBc2 , r , r0   vt  f r .
Функция
(3.11)
f r  должна быть такой, чтобы перемещения из (3.4) и (3.11)
и их производные
u были непрерывны при r  r1, а также, чтобы переме-
щения из (3.2) и (3.11) совпадали при
t  0 . Таким образом, получим
f r   Ac2  .
(3.12)
Окончательное решение задачи о вязкопластическом течении представляется зависимостями (3.4) и (3.8) в упругой области r1 t   r  R ,
(3.9), (3.11), (3.12) – в области вязкопластического течения r0  r  r1 t  .
Напряжения, а, следовательно, и обратимые деформации в области вязкопластического течения вычисляются по тем же зависимостям, что и в упругой
области. Необратимые деформации согласно системе (2.41) будут вычисляться зависимостями
prz 
kt  r1 
1  ,
 r
prr  2erz erz  prz  
pzz  2erz prz ,
erz  
75
kr1
.
2r
1
u2 ,
2
(3.13)
r1
1
R
0.8
0.6
0.4
r0
R
 0.2
0
0.25
0.5
0.75

1
Рис. 22. Развитие области вязкопластического течения
при увеличении скорости движения жесткой поверхности.
t 2
r1
Развитие области вязкопластического течения
от времени  
R
r0
при значениях постоянных
r0
 0.2;
R
k

 0.00621;
b
 r0
 20 .
 
(3.14)
приведено на рис. 22.
Торможение и разгрузочное состояние. Пусть, начиная с некоторого момента времени t  t1 , скорость движения внутренней поверхности r  r0
уменьшается, например, по закону
v  t1   t  t1 .
(3.15)


 1t1.


до нуля, то есть конечным моментом торможения является t k  
Рассмотрим изменение параметров напряженно-деформированного состояния в каждый момент времени t1
 t   tk .
Начиная с момента времени t  t1 , при неизменном напряжении
 rz 
 kr1
( r1 – координата границы области вязкопластического течения в
r
конечный момент нагружения t  t1 ) вязкопластическое течение будет про76
должаться в области r0  r  r2 t  . В области r2 (t )  r  r1 не изменяются
компоненты тензора необратимых деформаций, область r1  r  R является областью обратимого деформирования.
Согласно зависимостям (3.4) при неизменном напряжении
 rz компо-
ненты перемещения и скорости в упругой области не изменяются.
В
области
продолжающегося
вязкопластического
течения
r0  r  r2 t  компоненты тензоров пластических деформаций и скоростей
пластических деформаций по-прежнему определяются согласно соотношением (3.13) и (3.7), из которых найдем компоненты скорости и перемещения в
данной области
v  Bc2 , r , r0   t1   t  t1 ,
u
kr1

ln r 
2kt

(3.16)
r  r1 ln r   f1t .
В области r2 (t )  r  r1 компоненты тензора необратимых деформаций изменяются в каждой точке слоя согласно зависимостям (3.13) до того
момента времени, когда ее достигает поверхность r  r2 (t ) и далее перестают изменяться (не зависят от времени), являясь только функцией координаты
r . Учитывая неизменность напряжения  rz (упругой деформации erz )
в процессе торможения, компонента перемещения в данной области из условия u   2erz  prz  представляется в виде
u  f r   g t . То есть в
рассматриваемой области скорость не зависит от координаты
что в области обратимого деформирования
r . Учитывая,
v  0 , из условия непрерывности
скорости на поверхности r  r1 следует, что скорость будет равна нулю и во
всей области r2 (t )  r  r1 . Тогда из условия равенства скоростей на поверхности r  r2 (t ) получим уравнение движения данной поверхности
Bc2 , r2 , r0   t1   t  t1   0 .
77
(3.17)
Согласно зависимостям (3.13) и (3.17) определим компоненту тензора
пластических деформаций prz в области r2 (t )  r  r1 :

r
k  
r
 2k 
 r1 ln  r  r0  1  1  .
prz   t1   1 
      
r0
r
 
(3.18)
Тогда
u  2erz  prz  

2k     2 k 
r
r
kr
 t1  1   r1 ln  r  r0  1  1   1 . (3.19)

      
r0
  r  r
Интегрируя (3.19), определим перемещение
2


2k  k 
r
 
 r1 ln  r  r0   t1   1r1 ln r  r  
u

   
r0
 



kr
 1 ln r  f 2 t .
(3.20)

Функция f 2 t  находится из условия равенства перемещений (3.20) и
перемещений (3.4) в области обратимого деформирования при r  r1 . Окончательно компонента перемещения в области r2 (t )  r  r1 , таким образом,
представляется зависимостью
u


1
B 2 (c2 , r1 , r0 )  B 2 (c2 , r , r0 ) 
2
 
 t1   1 B (c2 , r , r1 )  Ac2 .
 
(3.21)
Из условия непрерывности перемещений (3.21) и (3.16) при r  r2
определим неизвестную функцию f1 t  и, следовательно, найдем перемещения в области вязкопластического течения
78


1
B 2 (c2 , r1 , r0 )  B 2 (c2 , r2 , r0 ) 
2
u
(3.22)
 
 t1   1 B (c2 , r2 , r1 )  Ac2   tB(c2 , r , r2 ).
 
Изменение границы r  r2 t  в процессе торможения показано на рис.
23. Как видно, в конечный момент торможения t  t k r2 совпадает с поверхностью r  r0 . Таким образом, компоненты тензора пластических деформаций будут неизменными во всей области r0  r  r1 .
r2
r1
R
0.8
R
0.6
0.4
r0
R
 0.2
0
1
1
2
3
k
4

Рис. 23. Изменение границы области вязкопластического течения
при уменьшении скорости движения жесткой поверхности.
При разгрузке, с уменьшением напряжения
 rz до нуля, компонента
тензора необратимых деформаций prz (3.18) не изменяется. Компоненты
prr , p zz данного тензора (как и компоненты тензора скоростей пластических деформаций
 rrp
и
 zzp ), согласно уравнением переноса
(1.16) изменя-
ются в соответствие с зависимостями (3.13) и (2.19). В конечный момент разгрузки
 rz
 0  компоненты перемещения, следуя соотношением (3.4) и
(3.21), определяются зависимостями:
в области обратимого деформирования r1  r  R
79
u  0;
в области с накопленными необратимыми деформациями r0  r  r1
u


1
 
B 2 (c2 , r1 , r0 )  B 2 (c2 , r , r0 )  t1   1 B(c2 , r , r1 ) .
2


u
0.2
0.15
0.1
0.05
0
r
0.2
0.4
0.6
0.8
1
R
Рис. 24. Распределение перемещений в моменты времени  1 ,   и  k .
Изменение перемещений в процессе деформирования представлено на
рис. 24. Сплошной линией показаны перемещения в конечный момент
  0.3997 , штриховой – в некоторый текущий момент торможения   0.6741, штрих-пунктирной – в конечный момент торможения
  3.5973 . Различие перемещений в конечный момент нагружения
нагрузки
(сплошная линия) и после разгрузки (штриховая линия) иллюстрирует рис.
25. В процессе торможения

выбирается равным 0.5 .

80
u
0.2
0.15
0.1
0.05
0
r
0.2
0.4
0.6
0.8
1
R
Рис. 25. Распределение перемещений в момент времени  k и после разгрузки.
Деформирование при движении внешнего цилиндра. Рассмотрим деформирование упруговязкопластического материала при движении внешнего жесткого цилиндра, в то время как внутренний цилиндр остается неподвижным:
u r0 , t   vr0 , t   0,
v  R , t   t .
(3.23)
Пластическое течение в данном случае также начинается в окрестности
внутренней жесткой стенки при выполнении условия пластичности (2.8).
Компоненты напряжения вычисляются по соотношениям (3.2). В момент
начала пластического течения c1  kr0 , a0 – значение компоненты напряжений
 rr на поверхности r  R . Параметр начала пластического течения
u 0 , таким образом, равен тому же значению, что и при движении внутренней
поверхности.
При дальнейшем увеличении скорости внешней поверхности область
вязкопластического течения, всюду в которой выполнены равенства (2.17),
определяется неравенствами r0  r  r1 (t ) , в области r1 (t )  r  R деформирование обратимо.
В области вязкопластического течения, аналогично зависимостям (3.7)
– (3.9), (3.11) – (3.13), используя граничные условия (3.23), найдем
b
1b

 rzp   1  k  , r1  1 , v  С b1, r , r0  ,
 r
k

81
u
kr1

ln
r
 tС b1, r , r0 ,
r0
С b1, r , r0  
prz 
kt  r1 
  1 ,
r 
(3.24)

2
r
 b1 ln  r  r0  .

r0

В области обратимого деформирования, используя равенство компонент перемещений на упругопластической границе r  r1 t  , получим
u
kr1

ln
r
 t С b1 , r1 , r0 ,
r0
v  t1 .
(3.25)
Используя условие непрерывности скоростей (3.24) и (3.25) на границе
области вязкопластического течения r  r1 t , получим, что, несмотря на то,
что компоненты скоростей и перемещений для случаев движения внутреннего и внешнего цилиндров различны, уравнение движения данной границы
(3.10) получается одинаковым для обоих случаев.
При торможении, когда скорость движения внешней поверхности
kr1
, получим, что в облаr
сти продолжающегося вязкопластического течения r0  r  r2 t  справедуменьшается согласно (3.23), а напряжение
 rz 
ливы зависимости (3.24).
В области обратимого деформирования r1  r  R
u
kr1

ln r  f 3 t ,
v  t1   t  t1  .
(3.26)
В области с не изменяющимися необратимыми деформациями
r2 (t )  r  r1, как ранее упоминалось, скорость не зависит от координаты r
, поэтому, учитывая равенство скорости на границе r  r1 , во всей области
v  t1   t  t1  .
(3.27)
Из условия равенства скоростей (3.24) и (3.27) при r  r2 следует
уравнение (3.17), то есть уравнение движения для поверхности r  r2 полу82
чается одинаковым для случаев движения внутреннего и внешнего цилиндров (как и для поверхности r  r1 ), несмотря на различие компонент скоростей и перемещений в рассмотренных случаях.
Учитывая (3.24) и (3.17), найдем компоненту
prz в области
r2 (t )  r  r1:
 r
k  
r
 2k 
 r1 ln  r  r0   1  1 .
prz   t1   1 
      
r0

  r
(3.28)
Тогда для перемещения в данной области получим
2
 
2k    
k 
r
 r ln  r  r0  
u
t   1r ln r  r  
  1   1
  1 r0
  (3.29)

kr
 1 ln r  f 4 t .

Неизвестные функции f 3 t  и f 4 t  определим из условий равенства
перемещений (3.24) и (3.29) при r  r2 и (3.26) и (3.29) при r  r1 . Таким
образом, окончательно для компонент перемещений получим
в области r2 (t )  r  r1
u


1
 
С 2 (b1, r2 , r0 )  С 2 (b1, r , r0 )  t1  1С (b1, r , r2 ) 
2
 
(3.29)
kr1 r
 tС (b1, r2 , r0 )  ln ;
 r0
в области r1  r  R
u


1
 
C 2 (b1, r2 , r0 )  C 2 (b1, r1, r0 )  t1   1C (b1, r1, r2 ) 
2
 
(3.30)
kr1 r
 tC (b1, r2 , r0 )  ln .
 r0
83
При разгрузке не изменяется компонента prz (3.28) необратимых деформаций. В конечный момент разгрузки в рассматриваемом случае для
компонент перемещений получим
в области обратимого деформирования r1  r  R
1 2
 
u  t1   1C (b1 , r1 , r0 ) 
C (b1 , r1 , r0 ) ;

2



u
0.2
0.15
0.1
0.05
0
r
0.2
0.4
0.6
0.8
1
R
Рис. 26. Распределение перемещений в моменты времени  1 ,   и  k .
в области с накопленными необратимыми деформациями r0  r  r1
1 2
 
u  t1   1C (b1 , r , r0 ) 
C (b1 , r , r0 ) .
2
 
Изменение перемещений в процессе деформирования показано на рис.
26, различие перемещений в конечный момент нагружения и после разгрузки
– на рис. 27.
84
0.2
u
0.15
0.1
0.05
0
0.2
r
0.4
0.6
0.8
1
R
Рис. 27. Распределение перемещений в момент времени  k и после разгрузки.
3.2. Прямолинейное осесимметричное вязкопластическое течение упруговязкопластического материала, ослабленного слоем более податливого
материала
Постановка задачи. Решение в областях обратимого деформирования и
в областях вязкопластического течения. Пусть теперь несжимаемый упруговязкопластический материал находится между двумя жесткими коаксиальными цилиндрическими поверхностями: неподвижной внутренней поверхностью, радиус которой равен r0 , и внешней радиусом r  R , которая движется вдоль оси
z . Полагаем, что в материале, составляющем слой r0  r  R с
пределом текучести k1 , расположен слой другого материала
r1  r0 ,
r1  r  r2
r2  R  с пределом текучести k 2 k 2  k1  (рис. 28). Граничны-
ми условиями задачи будут условия (3.23), компоненты напряжений так же,
как и в (3.2) определены с точностью до одной неизвестной постоянной.
85
R
r0
r1
r2
I
Обозначим ее через x , т.е. теперь
 rz 
x
.
r
Перемещение в областях обратимого деформиро-
II
III
вания находится по известным напряжениям интегрированием соотношения из (2.4). Компоненты
Рис. 28.
обратимых деформаций определяются решением
системы (2.10) и для них также справедливы кинематические зависимости из
(2.11).
Как и ранее, считаем, что, начиная с момента времени
t  0 , при раз-
вивающемся вязкопластическом течении внешняя жесткая поверхность движется со скоростью
v  t . Параметры напряженно-деформированного со

стояния, соответствующего скорости v  t при r  R , рассчитываются

в каждый момент времени t  0 (квазистатическое приближение).
В областях вязкопластического течения справедливы зависимости
(2.16) и (2.17). Компонента скорости пластической деформации
 rzp
опреде-
лена соотношением
 rzp    k  ,
r

1 x
текущее значение xi постоянной x находится из условия
(3.31)
 rzp  0
на упру-
гопластической границе внутри слоя. Учитывая (3.31) и кинематические зависимости (2.19), определяется скорость точек в областях вязкопластического течения.
Перемещения в областях необратимого деформирования находятся из
зависимости u  2erz  prz  .
Для нахождения постоянных и функций интегрирования, а также для
получения уравнений движения упруговязкопластических границ используются граничные условия (3.1) и условия равенства компонент перемещений и
86
скоростей на границах слоев r1 и r2 и на движущихся границах развивающихся областей вязкопластического течения.
Упругое равновесие и развивающееся вязкопластическое течение. В рассматриваемом случае вязкопластическое течение может начаться как на поверхности r  r1 , так и поверхности r  r0 при выполнении условия пластичности (1.62) в одной из форм
 rz
r r1
 k 2 ,  rz
r r0
 k1 .
(3.32)
Выберем размеры слоя таким образом, чтобы выполнялось неравенство
k 2  k1
r0
. Тогда пластическое течение начинается на границе слоя r  r1
r1
при выполнении первого условия (3.32) и x  k 2 r1 . Перемещение в областях
обратимого деформирования в момент начала пластического течения находится по формуле
u
причем
k2 r1

ln r  f t  ,
(3.33)
  1, или    2 соответственно в слоях с пределом текучести
k1 или k 2 . Воспользовавшись вначале условием прилипания материала
(3.23), а затем условиями совпадения перемещений на границах r  r1 и
r  r2 для нахождения f t  в каждой области, определим поле перемещений в момент начала пластического течения:
r0  r  r1 : u  N  x  , N  x  
x
1
r1  r  r2 : u  N1  x , N1  x  
r2  r  R : u  N 2  x  , N 2  x  
87
ln
x
1
r
;
r0
ln
x
1
r1 x
r
 ln ;
r0  2 r1
ln
rr1
x r2

ln .
r0 r2  2 r1
(3.34)
Таким образом, величина u 0 , на которую необходимо сдвинуть внешнюю поверхность для начала пластического течения на границе r  r1 согласно (3.34) равна u 0

k 2 r1
1
ln
Rr1 k 2 r1 r2

ln .
r0 r2  2
r1
Развивающаяся с момента времени
r0
r1
m r2
R
область вязкопластического течения будет ограничена
поверхностями
r1  r  mt 
I
t 0
r  r1
и
r  mt 
(рис. 29). Поле перемещений,
соответствующее скорости v1  t1 внешней
II
III
IV
жесткой цилиндрической поверхности, в областях обратимого деформирования I
Рис. 29.
r0  r  r 1 ,
III m  r  r2  , IV r2  r  R  определяется зависимостью (3.33) с разной
для каждой области функцией
f t . В области вязкопластического течения
согласно (3.31) найдем
 rzp 
1  x1
t x


  k2 , prz   1  k2 , x1  k2 m,
2  r
2  r


 rz 
x1
2k t
k m
, u  2 m ln r  r   2 ln r  g t ,
r
2
2
v
2k 2
2
(3.35)
m ln r  r   g t .
Воспользовавшись условиями равенства перемещений и скоростей на
границах r1 , m , r2 для определения неизвестных функций
f t  и g t  , по-
лучим зависимости:
в областях обратимого деформирования
I: u  N  x1  ,
v  0;
III: u  N1  x1   M  x1 , m, r1 t ,
88
v  M  x1 , m, r1  ,
(3.36)
M  x1, m, r1  

2
m
 x1 ln  k2 m  r1  ;
2 
r1

IV: u  N 2  x1   M  x1 , m, r1 t ,
v  t1 ;
в области вязкопластического течения II:
u  N  x1   M  x1 , r , r1 t ,
v  M  x1 , r , r1  .
В (3.36)  2 – коэффициент вязкости материала с пределом текучести k 2 .
Из условия равенства скоростей при r  r1
r0
r2 R получаем уравнение движения границы m :
rm
M  x1 , m, r1   t1 .
(3.37)
n 1
Полученное решение (3.36), (3.37) справед-
I
II
III
IV
V
ливо
в
любой
текущий
момент
времени
t1 : 0  t1  t1 . В момент времени t  t1 пластическое течение начинается на поверхности r  r0
Рис. 30.
при выполнении второго условия (3.32). Таким образом, с момента времени
t  t1 начинает развиваться еще одна область вязкопластического течения
r0  r  nt  , nt  – ее движущаяся граница (рис.30). Аналогично соотношениям (3.33) – (3.36) в промежуток времени t1  t 2  t 2 при скорости
v 2  t 2
внешней
жесткой
поверхности
rR
x


  rz  2 , x2  k2 m  k1n  получаем:
r


в областях обратимого деформирования
II: u  N  x2   t  t1 M 1  x2 , n, r0  , v  M 1  x2 , n, r0  ,

2
n
 x2 ln  k1 n  r0  ;
1 
r0

IV: u  N1  x2   t  t1 M 1  x2 , n, r0   tM  x2 , m, r1 ,
M1  x2 , n, r0  
v  M1  x2 , n, r0   M  x2 , m, r1  ;
89
(3.38)
V: u  N 2  x2   t  t1 M 1  x2 , n, r0   tM  x2 , m, r1  ,
v  M1  x2 , n, r0   M  x2 , m, r1  ;
в областях вязкопластического течения
I: u  N  x2   t  t1 M 1  x2 , r , r0  , v  M 1  x2 , r , r0  ,
prz 
k1 t  t1   n 
  1 ;
1  r 
III: u  N1  x2   t  t1 M 1  x2 , n, r0   tM  x2 , r , r1  ,
v  M 1  x2 , n, r0   M  x2 , r , r1 , prz 
Здесь
(3.39)
k 2t  m 
  1 .
2  r 
1 – коэффициент вязкости материала с пределом текучести k1 . Из
условия равенства скорости на внешней поверхности v 2  t 2 найдем уравнение движения поверхности n
M 1  x2 , n, r0   M  x2 , m, r1   t2 .
(3.40)
Уравнение движения границы m (3.37) изменяется и принимает вид
k 2 m  k1n .
(3.41)
Отметим, что условие (3.41) является следствием непрерывности всех
параметров рассматриваемого процесса деформирования на упруговязкопластических границах внутри слоев.
В момент времени t  t 2
R
граница m достигает поверхности слоя
r  r2 . Такое значение t 2 находится из уравнения
r2  m
r1
(3.40) при m  r2 . С этого момента в каждый мо-
n
мент времени t  t 3 из промежутка t 2  t 3  t 3
r0
вязкопластическое течение продолжается в слое
I
II
III
IV
Рис. 31.
r1  r  r2 и в области r0  r  n . Области
n  r  r1 и r2  r  R остаются областями обратимого деформирования (рис. 31). В любой мо90
мент
t  t3
времени
при
скорости
v3  t 3 поверхности
rR
x


  rz  3 , x3  k1n  имеем
r


в областях обратимого деформирования
II: u  N  x3   M 1  x3 , n, r0 t  t1 ,
v  M 1  x3 , n, r0 ;
IV: u  N 2  x3   M 1  x3 , n, r0 t  t1   M  x3 , r2 , r1 t ,
v  M1  x3 , n, r0   M  x3 , r2 , r1  ;
(3.42)
в областях вязкопластического течения
I:
u  N  x3   M 1  x3 , r , r0 t  t1 , v  M1  x3 , r , r0  ;
III: u  N1  x3   M 1  x3 , n, r0 t  t1   M  x3 , r , r2 t ,
v  M1  x3 , n, r0   M  x3 , r , r2  .
Из условия равенства скорости v3  t 3 при r  R получим уравнение движения границы и в рассматриваемый промежуток времени
M1  x3 , n, r0   M  x3 , r2 , r1   t3 .
(3.43)
Из уравнения (3.43) находится момент времени t  t3 , в который граница n совпадает с границей слоя r  r1 .
R
r2  m
r1  n
В промежуток времени t 3  t 4  t 4 с ростом
напряжения
r0
 rz 
x4
k1n  x4  k1r2  вязкоплаr
стическое течение продолжается в пределах слоев
I
r0  r  r1 , r1  r  r2 (рис. 32) без увеличения
II
III
размеров областей вязкопластического течения. Таким образом, согласно (3.42) в любой момент вре-
Рис. 32.
мени t  t 4 из рассматриваемого промежутка при
скорости внешней поверхности v4  t4 найдем перемещение и скорость в
каждой области:
91
в области обратимого деформирования III:
u  N  x4   M  x4 , r2 , r1 t  M 1  x4 , r1 , r0 t  t1  ,
v  M  x4 , r2 , r1   M 1  x4 , r1 , r0  ;
в областях вязкопластического течения
I: u  N  x4   M 1  x4 , r , r0 t  t1  , v  M 1  x4 , r , r0  ;
(3.44)
II: u  N1  x4   M  x4 , r , r1 t  M 1  x4 , r1 , r0 t  t1  ,
v  M  x4 , r , r1   M1  x4 , r1, r0  .
Увеличение напряжения в данный промежуток времени приведет к тому, что в момент времени t  t 4 на границе слоя r  r2 выполнится условие
пластичности в форме
 rz
r r2
 k1 .
(3.45)
Значение t 4 согласно (3.44) определим из уравнения
M 1  x4 , r1 , r0   M  x4 , r2 , r1   t4 ,
x4  k1r2 .
(3.46)
С этого момента времени от границы r  r2 начнет свое развитие ноR
r0
r1
r2
I
II
III
IV
Рис. 33.
l
вая
область
вязкопластического
течения
r2  r  l t  , где l t  – ее движущаяся граница
(рис. 33). В каждый момент времени t 5  t 4
x


  rz  5 , x5  k1l 
r


скоростей,
поля перемещений и
соответствующие
значению
v5  t 5 скорости движущейся жесткой по-
верхности r  R , определены соотношениями
в области обратимого деформирования IV
u  N 2  x5   M1  x5 , l , r2 t  t4   M  x5 , r2 , r1 t 
 M1  x5 , r1, r0 t  t1 ,
v  M1  x5 , l , r2   M  x5 , r2 , r1   M1  x5 , r1, r0 ;
92
в областях вязкопластического течения
I:
u  N  x5   M1  x5 , r , r0 t  t1 , v  M1  x5 , r , r0 ;
II: u  N1  x5   M  x5 , r , r1 t  M 1  x5 , r1 , r0 t  t1 ,
v  M  x5 , r , r1   M1  x5 , r1 , r0 ;
(3.47)
III: u  N 2  x5   M 1  x5 , r , r2 t  t4   M  x5 , r2 , r1 t 
 M 1  x5 , r1 , r0 t  t1 ,
v  M1  x5 , r , r2   M  x5 , r2 , r1   M1  x5 , r1 , r0 ,
prz 
k1 t  t4   l 
  1 .
1  r 
Из условия vr  R   v5  t5 получим уравнение движения поверхности
r l:
M1  x5 , l , r2   M  x5 , r2 , r1   M1  x5 , r1, r0   t5 .
(3.48)
Конечным моментом нагружения (моментом начала торможения) может быть выбран любой момент времени t 5  t 4 , в том числе и момент времени t 5 , когда
l
достигнет внешней поверхности. Рассмотрим даже более
общий случай t 5  t 5 , когда в материале остается область обратимого деформирования
l  r  R.
Компоненты тензора необратимых деформаций в областях вязкопластического течения определены соотношениями
I:
prz 
k1 t  t1   l 
  1 ;
1  r 
II:
prz 
t  k1l

  k2  ;
2  r

III:
prz 
(3.49)
k1 t  t4   l 
  1 .
1  r 
93
r2
m
R
0.75 R
0.7
0.65
0.6
r1
R
 0.55

1.5  10 4
1 10 4
0.5  104
0
Рис. 34. Развитие области вязкопластического течения
при увеличении скорости движения жесткой поверхности.
Компоненты p rr и p zz находятся по формулам (3.13). Характерный
график изменения границы области развивающегося вязкопластического течения представлен на рис. 34 (на рисунке поверхность
mt  ). Расчеты про-
водились для следующих размеров слоев и постоянных материалов
r0
 0.12,
R
k2
2
r1
r
k
 0.55, 2  0.75, 1  1.65 10 3 ,
R
R
1
 0.7 10 3 , b1 
0.0006
1 r0
 r
 382.8, b2  2 0  20.57.
1 
2 
r1
u
r2
R
R
0.0004
0.0002
0
0.12 0.2
r
0.4
0.6
0.8
1
R
Рис. 35. Распределение перемещений в моменты времени  0 ,  1 ' и  2 ' .
94
(3.50)
15
r1
u
r2
R
R
10
5
r
0
0.12 0.2
0.4
0.6
0.8
1
R
Рис. 36. Распределение перемещений в моменты времени  3 ' ,  4 ' и  5 .
Распределения перемещений в начальный момент развития вязкопластического течения
t  0 и в моменты времени t1 , t 2
показано на рис. 35. В
моменты времени t 3 , t 4 и в конечный момент нагружения t 5 - на рис. 36.
Торможение и разгрузочное состояние. Пусть теперь скорость движения
поверхности r  R уменьшается по закону (3.15), начиная с конечного момента нагружения t  t 5 , то есть конечным моментом торможения будет


t k    1t 5 . Так же, как в рассмотренной ранее задаче, изменение пара

метров напряженно-деформированного состояния будет определять в каждый момент времени t 5  t  t k .
l'
r
r1 2
r0
I
II
III
IV
V
l
R
Начиная с момента времени t  t5 , в промежуток времени t 5  t 6  t 6 при уменьшении
скорости внешней поверхности r  R по закону
(3.15) и ее значении в данный промежуток времени
v6  t5   t6  t5 
Рис. 37.
95
при
неизменном
напряжении
 rz 
x5
, x5  k1l ( l – значение границы области в конечный
r
момент нагружения) вязкопластическое течение продолжается в областях
r0  r  r1 , r1  r  r2 , r2  r  l  . Область l  r  R остается областью
обратимого деформирования; в области
l   r  l не изменяются компонен-
ты тензора необратимых деформаций (рис. 37).
В области вязкопластического течения I, учитывая соотношение из
(3.49) и условие прилипания (3.23), найдем, что перемещение и скорость
определяются формулами (3.47) для области I. Используя условия равенства
перемещений и скоростей на границах r2 и r1 , аналогично получим, что для
областей вязкопластического течения II и III справедливы зависимости (3.47)
для областей II и III.
В области IV, как ранее упоминалось, скорость не зависит от координаты
r . Учитывая, что в области обратимого деформирования V скорость равна
скорости движения внешней жесткой поверхности v6  t5   t6  t5 , из
условия равенства скоростей при
r l
получим, что в области IV скорость
также равна v  v6 . Приравнивая скорости в областях III и IV на движущейся границе
r  l  , получим уравнение движения данной поверхности
M1  x5 , l , r2   M  x5 , r2 , r1   M1  x5 , r1 , r0   v6 .
(3.51)
Уравнение (3.51) и формула в области III для компоненты необратимой
деформации (3.49) позволяют записать эту компоненту в области IV
prz 
k1  l 
1
1

  1 S  M1  x5 , r1, r0   M1  x5 , r , r2   t4 ,
1  r 



1
 
S    1t5  M  x5 , r2 , r1 .

 
(3.52)
По известным упругим и пластическим деформациям, используя равенство перемещений на границе r  r2 , в области IV получим
96
u  S  t4 M1  x5 , r , l  

1
M1  x5 , r , r2   M1  x5 , r1, r0 2 
2

 M1  x5 , l , r2   M1  x5 , r1, r0 2  tM  x5 , r2 , r1  
t  t1 M1  x5 , r1, r0   t  t4 M1  x5 , l , r2   N 2  x5 .
(3.53)
Тогда в области обратимого деформирования согласно (3.33) и условного равенства перемещений (3.33) и (3.53) при
u  S  t4 M1  x5 , l , l  
r l
найдем

1
M1  x5 , l , r2   M1 x5 , r1, r0 2 
2

 M1  x5 , l , r2   M1  x5 , r1, r0 2  tM  x5 , r2 , r1  
t  t1 M1  x5 , r1, r0   t  t4 M1 x5 , l , r2   N 2  x5 .
(3.54)
Найденное решение справедливо до момента времени t  t 6 , в который
поверхность
r  l  совпадает с поверхностью r  r2 , и компоненты тензора
необратимых деформаций (3.52) будут неизменными во всей области
r2  r  l . Значение t  t6 находится из уравнения (3.51) при l   r2 . В момент времени t  t6 в областях вязкопластического течения I и II справедливы те же зависимости (3.47), в областях r2  l   r  l и
l  r  R – выра-
жения (3.53), (3.54) при l   r2 .
l
r2
n'
r0
I
r1
II
III
IV
V
R
С момента времени t  t 6 от границы слоя
r  r1 движется поверхность r  n , которая
отделяет область продолжающегося вязкопластического течения
r0  r  n от области
n  r  r1 , в которой компоненты тензора необратимых деформаций не изменяются. Вязко-
Рис. 38.
пластическое течение продолжается и в области
97
r1  r  r2 ; в области r2  r  l компоненты тензора необратимых деформаций не изменяются; область
lrR
остается областью упругого де-
формирования (рис. 38).
Найдем напряженно-деформированное состояние в каждый момент
времени
t  t7
из
t 6  t 7  t 7 ,
интервала
когда
rR
при
v7  t 5   t 7  t 5  .
В области I, как и ранее, выполняются соотношения (3.47). Скорость в
областях IV и V v  v7 . В области продолжающегося вязкопластического
течения III, учитывая равенство скоростей при r  r2 , получим
v  M  x5 , r , r2   v7 .
Тогда для области II, в которой скорость не зависит от координаты, из
условия совпадения скоростей при r  r1 найдем
v  M  x5 , r1 , r2   v7 .
Условие равенства скоростей (3.47) и (3.55) на границе
ет записать уравнение движения поверхности
(3.55)
r  n позволя-
n
M1  x5 , n, r0   M  x5 , r1 , r2   v7 .
(3.56)
Из соотношений (3.56) и (3.49), как и ранее, определим компоненту необратимых деформаций p rz в области II
k1  l 
1

  1 S  M 1  x5 , r , r0   t1 .
1  r 


(3.57)
Используя (3.57) и условие равенства перемещений при
r  n , найдем
prz 
перемещения в области II


1
M12  x5 , r , r0   M12  x5 , n, r0  
2
(3.58)
 t  t1 M1  x5 , n, r0   N  x5 .
u  S  t1 M1  x5 , r , n 
98
Последовательно используя условия равенства перемещений на границах r1 , r2 и
III:
l
определим перемещения в остальных областях:
u  S  t1 M1  x5 , r1, n 


1
M12  x5 , r1, r0   M12  x5 , n, r0  
2
 t  t1 M1  x5 , n, r0   N1  x5   tM  x5 , r , r1 ;
IV:
u  S  t4 M1  x5 , r , r2   S  t1 M1  x5 , r1 , n 
 t  t1 M1  x5 , n, r0   N 2  x5   tM  x5 , r2 , r1  

V:

(3.59)

1
M1x5 , r , r2   M1 x5 , r1, r0 2  M12  x5 , n, r0  ;
2
u  S  t4 M1  x5 , l , r2   S  t1 M1  x5 , r1 , n 
 t  t1 M1  x5 , n, r0   N 2  x5   tM  x5 , r2 , r1  



1
M1x5 , l , r2   M1 x5 , r1, r0 2  M12 x5 , n, r0  .
2
В момент времени t  t 7 поверхность
r  n совпадает с поверхно-
стью r  r0 и компоненты тензора необратимых деформаций будут неизменными во всей области r0  r  r1 . Значение t 7 определятся из уравнения
(3.56) при n  r0 . В области с не изменяющимися пластическими деформациями r0  r  r1 в момент времени t 7 справедl
m'
r1
r2
r0
I
II
III
IV
V
Рис. 39
R
ливы зависимости (3.57), (3.58), где n  r0 , в области вязкопластического течения r1  r  r2 , в
области r2  r  l с не изменяющимися необратимыми деформациями и в области обратимого
деформирования выполняются соотношения (3.59)
при n  r0 .
99
С момента времени t 7 от границы r  r2 начинает развиваться область
m  r  r2 , в которой не изменяются пластические деформации. Единственной
областью
вязкопластического
течения
остается
область
r1  r  m (рис. 39).
Параметры напряженно-деформированного состояния определим в
каждый момент времени t 7  t8  t k при скорости внешней жесткой поверхности v8  t 5   t8  t 5  .
В области I, также как и в момент времени t  t 7 , согласно (3.55) и
(3.58) получим
1
M 12  x5 , r , r0   N  x5 ,
2
v  0.
u  S  t1 M 1  x5 , r , r0  
(3.60)
Скорость в области вязкопластического течения II, как и ранее, используя (3.31) и условие равенства скоростей при r  r1 , будет определяться соотношением
v  M  x5 , r , r1 .
(3.61)
В областях III, IV, V скорость точек среды равна скорости внешней
жесткой поверхности v8 . Из условия равенства скорости при
r  m получа-
m
M  x5 , m, r1   v8 .
ем уравнение изменения поверхности
(3.62)
Компонента p rz тензора пластических деформаций в области III согласно (3.49) и (3.62) будет равна
prz 

1  k1l
1
   
  k2    1t5  M  x5 , r , r1 .
2  r

   

(3.63)
В области вязкопластического течения II согласно (3.59) и условию непрерывности перемещений при r  r1 получим
100
u  S  t1 M1  x5 , r1, r0  
1
M12  x5 , r1, r0   N1  x5  
2
(3.64)
 tM  x5 , r , r1 .
Используя (3.63) и (3.64), определим перемещение в области III
u  S  t1 M 1  x5 , r1 , r0  


1
M 12  x5 , r , r1   M 12  x5 , m, r1  
2
(3.65)
1
 
   1t5 M  x5 , r , m 
M 12  x5 , r1 , r0   N1  x5   v8t.
2
 
Перемещения в областях IV и V найдем, последовательно используя
условия равенства перемещений при r  r2 и
IV:
u  S  t4 M1  x5 , r , r2  
r  l:


1
M12  x5 , r2 , r1   M12  x5 , m, r1  
2
 
   1t5 M  x5 , r2 , m  S  t1 M 1  x5 , r1 , r0   N 2  x5  
 

V:
1
M1x5 , r , r2   M1x5 , r1, r0 2  v8t.
2
u  S  t4 M1  x5 , l , r2  

(3.66)

1
M12  x5 , r2 , r1   M12  x5 , m, r1  
2
 
   1t5 M  x5 , r2 , m  S  t1 M 1  x5 , r1 , r0   N 2  x5  
 

1
M1x5 , l , r2   M1x5 , r1, r0 2  v8t.
2
В конечный момент торможения t  t k поверхность
r  m совпадает с
поверхностью r  r1 и далее компоненты тензора необратимых деформаций
не изменяется во всех областях. Поле перемещений в момент времени t  t k
в областях с не изменяющимися накопленными необратимыми деформация101
ми r0  r  r1 , r1  r  r2 , r2  r  l задается зависимостями (3.60), (3.65)
и (3.66) (IV) при m   r1 , в области обратимого деформирования
lrR
– (3.66) (V). Скорость во всех областях деформирования равна нулю.
В процессе разгрузки, когда  rz уменьшается до нуля, компоненты p rz
тензора необратимых деформаций (3.52), (3.57) и (3.63) не изменяются. Поле
перемещений в конечный момент разгрузки
 rz
 0 определяется соот-
ношениями
r0  r  r1 : u  S  t1 M1  x5 , r , r0  
1
M12  x5 , r , r0  ;
2


r1  r  r2 : u  S  t1 M1  x5 , r1 , r0     1t5 M  x5 , r , r1  


+


1
M12  x5 , r , r1   M12  x5 , r1, r0  ;
2
 
r2  r  l : u  S  t4 M 1  x5 , r , r2     1t5 M  x5 , r2 , r1  
 

l  r  R:



1
M1x5 , r , r2   M1x5 , r1, r0 2  M12 x5 , r2 , r1  
2
 S  t1 M1  x5 , r1, r0 ;
 
u  S  t4 M 1  x5 , l , r2     1t5 M  x5 , r2 , r1  
 


1
M1x5 , l , r2   M1x5 , r1, r0 2  M12 x5 , r2 , r1  
2
 S  t1 M1  x5 , r1, r0 ;
Характерный график изменения границы области вязкопластического
течения в процессе торможения приведён на рис. 40 (поверхность
r  l  ).
Изменение перемещений в процессе торможения показано на рис. 41.
Сплошной линией показаны перемещения в момент времени t 6 , штриховой –
102
в некоторый текущий момент t6  t7  t7 , штрих-пунктирной – в конечный
момент торможения t k .
l'
0.9
l
R
R
0.85
0.8
r2
R
0.75
90
5
90.1
90.2
90.3
6'

90.4
Рис. 40. Изменение границы области вязкопластического течения
при уменьшении скорости движения жесткой поверхности.
12
r1
u
R
r2
R
8
4
0
0.12 0.2
r
0.4
0.6
0.8
1
R
Рис. 41. Распределение перемещений в процессе торможения.
Случай движения внутренней поверхности. Пусть теперь движется внутренний цилиндр, а внешний остаётся неподвижным, то есть граничными
условиями задачи будут условия (3.1). В отличие о предыдущей задачи выбе-
r
рем размеры слоёв так, чтобы выполнялось неравенство k 2  k1 0 . В этом
r1
103
случае пластическое течение начнётся на внутренней границе r  r0 при
выполнении условия пластичности в форме
 rz
R
r1
r0
 k1 ,
r  r0
r2
когда  rz
III

(3.67)
x
 x  k1r0 .
r
В момент начала пластического течения пе-
II
I
ремещения в областях обратимого деформирования I и III (рис. 42) и находится по формуле
Рис. 42.
x
u
u
в области II
1
x
2
ln r  c ,
ln r  c1
(3.68)
Используя условие прилипания (3.1) и условия совпадения перемещений на границах r  r1 и r  r2 , определим перемещения в момент начала
пластического течения
I:
II:
u  T  x , T  x  
x
1
u  T1  x  , T1  x  
ln
x
1
III: u  T2  x  , T2  x  
r
;
R
ln
x
1
r2 x
r
 ln ;
R  2 r2
ln
(3.69)
rr2
x
r

ln 1 .
r1R  2 r2
Таким образом, перемещение внутреннего цилиндра для начала в его
kr
Rr k r
r
окрестности пластического течения равно u0  1 0 ln 1  1 0 ln 2 .
1
104
r0 r2
2
r1
С момента времени
R
t  0 развивающаяся область вязкопластического
течения занимает слой r0  r  mt  (рис. 43).
r2
r1
m
В областях обратимого деформирования I –
III аналогично зависимостям (3.69) найдём
r0
u  T  x1 ;
I:
IV
III
II
II:
u  T1  x1  ;
(3.70)
III: u  T2  x1  .
I
Скорость во всех трёх областях упругого деРис. 43.
формирования
v  0.
В области вязкопластического течения IV выполнено условие пластичности в форме:
 rz  k1  1 rzp .
(3.71)
Аналогично зависимостям (3.35) в данном случае для области IV
найдём:
 rzp 
1  x1
t x


  k1 , prz   1  k1 , x1  k1m,
1  r
1  r


 rz 
x1
2t
x
, u   x1 ln r  k1r   1 ln r  g t ,
r
1
1
v
2
1
(3.72)
 x1 ln r  k1r   g t .
Используя условия непрерывности перемещений на упругопластической границе r  m в области IV, найдём
u  T2  x1   M 2  x1 , r , m t ,
M 2  x1, r , m 
v  M 2  x1 , r , m  ,
(3.73)
2
r

x
ln
 k1 r  m .
 1
1 
m

Из условия равенства скорости внутренней поверхности v1  t1 и (3.73)
получим уравнение движения границы пластической области
105
r  mt :
M 2  x1 , r0 , m   t1 .
Полученное
решение
справедливо
в
(3.74)
любой
момент
времени
t1 : 0  t1  t1 . В момент времени t  t1 пластическое течение начинается на
поверхности r  r1 , при выполнении условия пластичности
 rz
r  r1
t1 
 k2 ,

2 
rk
k 
  k2 r1 ln 0 1  k1  r0  2 r1   .
1 
r1k2
k1  

С момента времени t  t1 в материале развивается еще одна область
вязкопластического течения r1  r  nt  (рис. 44).
В промежуток времени t1  t 2  t 2 при
r0
m
r1 n
V
IV
III
II
I
r2
R
скорости
v 2  t 2
поверхности
r  r0
x


  rz  2 , x2   k1m   k2 n  получим, что в
r


областях I и II справедливы зависимости (3.70). В
области вязкопластического течения III аналогично соотношениям (3.71) – (3.73) найдем
Рис. 44.
 rzp 
1  x2
t  t1  x2



k
,
p


  k2 ,
2
rz
2  r
2  r


u  T1  x2   t  t1 M 3  x2 , r , n , v  M 3  x2 , r , n ,
M 3  x2 , r , n  
(3.75)
2
r

 x2 ln  k2 r  n  .
2 
n

В области обратимого деформирования IV, используя условие непрерывности перемещений при r  r1 , получим
u  T2  x2   t  t1 M 3  x2 , r1 , n , v  M 3  x2 , r1 , n .
(3.76)
В области вязкопластического течения V согласно (3.72) и равенству
перемещений при r  m найдем
u  T2  x2   t  t1 M 3  x2 , r1 , n   tM 2  x2 , r , m ,
106
(3.77)
v  M 3  x2 , r1, n   M 2  x2 , r , m  .
Из закона движения поверхности r  r0 и (3.77) получим уравнение
для определения границ областей вязкопластического течения
r  mt  и
r  nt  :
v2  M 3  x2 , r1 , n   M 2  x2 , r0 , m , n 
k1
m.
k2
(3.78)
В момент времени t  t 2 граница r  n
R
r2  n
r1
m
r0
достигнет поверхности слоя r  r2 . Тогда в
промежуток времени t 2  t 3  t 3 областями
вязкопластического течения будут r0  r  m и
IV
III
II
слой
I
r1  r  r2 .
Области
m  r  r1
и
r2  r  R остаются областями упругого деформирования (рис. 45).
Рис. 45.
В любой момент времени t  t 3 аналогично предыдущим зависимостям определим поле перемещений и скоростей:
в области обратимого деформирования I по-прежнему выполняется
соотношение из (3.70).
В областях вязкопластического течения имеем:
II :
u  T1  x3   t  t1 M 3  x3 , r , r2  ,
v  M 3  x3 , r , r2 ;
IV:
u  T2  x3   t  t1 M 3  x3 , r1 , r2   tM 2  x3 , r , m  ,
(3.79)
v  M 3  x3 , r1, r2   M 2  x3 , r , m  .
В области обратимого деформирования III
u  T2  x3   t  t1 M 3  x3 , r1 , r2 ,
v  M 3  x3 , r1 , r2  .
(3.80)
Из условия равенства скорости в области IV (3.79) на поверхности
r  r0 v3  t 3 получим уравнение движения поверхности r  m в рассматриваемый промежуток времени
107
v3  M 3  x3 , r1, r2   M 2  x3 , r0 , m ,
x3  k1m.
При t  t3 граница m совпадает с границей слоя r  r1 . В промежуток
времени t 3  t 4  t 4 вязкопластическое течение продолжается в слоях
r0  r  r1 и r1  r  r2 без увеличения размеров данных областей. С роR
r1
r0
стом
r2
 rz 
напряжения
 k1r2  x4  k1m 
x4
,
r
в рассматриваемый интер-
вал времени (рис.46) для перемещений и скоро-
III
стей выполнены соотношения
II
В области I – первое соотношение (3.70).
I
В области вязкопластического течения II
u  (t  t1 ) M 3 ( x4 , r , r2 )  T1 ( x4 ),
Рис. 46.
v  M 3 ( x4 , r , r2 ) ;
В области вязкопластического течения III
u  tM 2 ( x4 , r , r1 )  (t  t1 ) M 3 ( x4 , r1 , r2 )  T2 ( x4 ),
v  M 2( x4 , r , r1 )  M 3 ( x4 , r1 , r2 ).
В момент времени t 4
t4  M 2 ( x4 , r0 , r1 )  M 3 ( x4 , r1 , r2 )
условие пластичности выполнится на границе слоя r  r2 в форме
 rz
R
r0
r1
IV
III
II
I
r2
r  r2
 k1
С момента времени t 4 начнет развитие но-
l
вая
область
вязкопластического
течения
r2  r  l (рис.47).
В
каждый
Рис. 47.
108
момент
времени
t5  t 4
x


  rz  5 , x5   k1l  поле перемещений и скоростей, соответствующее
r


скорости v5  t5 поверхности r  r0 , определено соотношениями:
в области обратимого деформирования I – (3.70);
в областях вязкопластического течения
II: u  (t  t4 ) M 2 ( x5 , r , l )  T ( x5 ), v  M 2( x5 , r , l ) ;
III: u  (t  t1 ) M 3 ( x5 , r , r2 )  (t  t4 ) M 2 ( x5 , r2 , l )  T1 ( x5 ),
v  M 2( x5 , r2 , l )  M 3 ( x5 , r , r2 ) ;
IV: u  (t  t1 ) M 3 ( x5 , r1 , r2 )  (t  t4 ) M 2 ( x5 , r2 , l ) 
 tM 2 ( x5 , r , r1 )  T2 ( x5 ) ,
v  M 3 ( x5 , r1 , r2 )  M 2 ( x5 , r2 , l )  M 2 ( x5 , r , r1 ).
(3.81)
Из (3.81) находим уравнение для определения положения границы области вязкопластического течения
r l
M 3 ( x5 , r1 , r2 )  M 2 ( x5 , r2 , l )  M 2 ( x5 , r0 , r1 )  v5 .
Компоненты необратимых деформаций в конечный момент нагружения
t  t5 имеют вид
в области II:
prz 
k1 t  t4   l 
1   ;
1  r 
в области III:
prz 
t  t1 
kl
 k2  1  ;
2 
r 
в области IV:
prz 
k1t  l 
1   .
1  r 
Изменение границы области вязкопластического течения
(3.82)
m(t ) пред-
ставлено на рис. 48. Как и в случае движения внешней жесткой поверхности,
графики изменения поверхностей
n(t ) и l (t ) качественно не отличаются. На
графиках представлены результаты для следующих постоянных
109
r0
 0.1,
R
k2
2
r1
r1
r
k
 0.8, 2  0.85, 1  1.65 10  3 ,
R
R
1
 0.7 10 3 , b1 
1 r0
 r
 100, b2  2 0  5.3.
1 
2 
m
R
 0.8 R
0.6
0.4
0.2
r0
R
 0.1
0
0
2
4
6

8
10
Рис. 48. Развитие области вязкопластического течения
при увеличении скорости движения жесткой поверхности.
Изменение перемещений в процессе нагружения показано на рис. 49 в
моменты времени
t  0 , t1 и t 2 ; на рис. 50 – в моменты времени t3 , t 4 и в
конечный момент нагружения t 5 .
r1
u
0.0008
r2
R
R
0.0006
0.0004
0.0002
0
0.1
r
0.2
0.4
0.6
0.8
1
R
Рис. 49. Распределение перемещений в моменты времени  0 ,  1 ' и  2 ' .
110
2
r1
u
R
r2
R
1.5
1
0.5
r
0
0.1
0.4
0.2
0.6
0.8
1
R
Рис. 50. Распределение перемещений в моменты времени  3 ' ,  4 ' и  5 .
Рассмотрим далее, как и в предыдущей задаче, процесс торможения
при уменьшении скорости внутренней поверхности по закону (3.15) при
x5
, x 5   k1l .
r
В промежуток времени t5  t6  t6 , когда в каждый момент времени
неизменном напряжении  rz
l'
r2
r1
r0
V
IV
III
II
I
Рис. 51.
l
R

t 6 v |r  r0  v6  t5   t6  t5  , вязкопластическое
течение
продолжается
в
областях
r0  r  r1, r1  r  r2 , r2  r  l  ; в области
l   r  l не изменяются компоненты тензора
необратимых деформаций; область l  r  R
остается областью обратимого деформирования
(рис. 51).
В области обратимого деформирования I, как и
ранее, найдем
u  T ( x5 ),
v  0.
(3.83)
В области с не изменяющимися необратимыми деформациями, как и
ранее, скорость не зависит от координаты
111
r , поэтому, учитывая равенство
скоростей на границе
r  l , получим, что скорость v  0 во всей области II.
В области вязкопластического течения III, используя равенство скоростей на
границе
r  l  , найдем
v  M 2 ( x5 , r , l ),
u
2k1 (t  t4 )
1
r  l ln r   k1l ln r  f .
1
(3.84)
В области вязкопластического течения IV получаем
v  M 3 ( x5 , r , r2 )  M 2 ( x5 , r2 , l ),
2(t  t1 )
k2r  k1l ln r   k1l ln r  f1;
u
2
(3.85)
2
В области вязкопластического течения V:
v  M 2 ( x5 , r , r1 )  M 3 ( x5 , r1 , r2 )  M 2 ( x5 , r2 , l ),
u
2k1t
1
r  l ln r   k1l ln r 
1
(3.86)
f2.
Используя условие для скорости при r  r0 , из (3.86) найдем уравнение изменения поверхности
r  l
M 2 ( x5 , r0 , r1 )  M 3 ( x5 , r1 , r2 )  M 2 ( x5 , r2 , l )  v6 .
(3.87)
Из уравнения (3.87) определим компоненту prz в области II c не изменяющимися накопленными необратимыми деформациями
prz 
k1  l 
1
1






1

S

M
x
,
r
,
r

M
x
,
r
,
r

t



4 ,
1  r  1  2 5 2 1  2 5 0

1


S1    1t5  M 3  x5 , r1 , r2 .



(3.88)
По известным упругим и найденным пластическим деформациям, используя условие непрерывности перемещений при
мещение в области II
112
r  l,
определим пере-
u  S1  t4 M 2  x5 , r , l  

1
M 2  x5 , r0 , r   M 2  x5 , r2 , r1 2 
2

(3.89)
 M 2  x5 , r0 , l   M 2  x5 , r2 , r1 2  T ( x5 ).
Определяя
f из условия равенства перемещений (3.84) и (3.89) при
r  l  , в области вязкопластического течения III получим
u  (t  t4 ) M 2  x5 , r , l   S1  t4 M 2  x5 , l , l  

1
M 2 ( x5 , r0 , l ) 
2

 M 2 ( x5 , r2 , r1 ) 2  M 2  x5 , r0 , l   M 2  x5 , r2 , r1 2  T ( x5 ). (3.90)
Из условия равенства перемещений (3.85) и (3.90) при r  r2 найдем
перемещения в области IV
u  ( t  t1 )M 3 ( x5 , r ,r 2 )  ( t  t 4 )M 2  x5 , r2 ,l  
 S1  t 4 M 2  x5 ,l ,l  

1
M 2 x5 , r0 ,l   M 2 x5 , r2 , r1 2 
2
(3.91)

 M 2 x5 , r0 ,l   M 2 x5 , r2 , r1 2 T 1( x5 ).
Используя условие непрерывности перемещений (3.86) и (3.91) при
r  r1 , определим перемещение в области вязкопластического течения V
u  tM 2 ( x5 , r , r1 )  (t  t1 ) M 3 ( x5 , r1,r 2 )  (t  t4 ) M 2  x5 , r2 , l  
 S1  t4 M 2  x5 , l , l  

1
M 2  x5 , r0 , l   M 2  x5 , r2 , r1 2 
2
(3.92)

 M 2  x5 , r0 , l   M 2  x5 , r2 , r1 2  T2 ( x5 ).
Полученное решение выполняется до момента времени t  t6 , когда
поверхность
r  l  совпадает с поверхностью r  r2 , и компоненты тензора
необратимых деформаций не изменяются в области r2  r  l . t  t6 является решением уравнения (3.87) при l   r2 . В областях вязкопластического
113
течения V и IV в данный момент времени выполняются зависимости (3.92) и
(3.91); в области II – (3.90); в области I – (3.83) при l   r2 .
l
R
r2
m'
r1
С момента времени t 6 от границы слоя r  r1
начинает движение поверхность
r  m , отделяю-
щая область продолжающегося вязкопластического
r0
течения r0  r  m от области m  r  r1 , в ко-
V
IV
III
II
I
торой перестают изменяться компоненты пластических деформаций (рис. 52).
Напряженно-деформированное состояние бу-
Рис. 52.
дем находить в каждый момент t  t7 из интервала
t6  t7  t7 при v |r  r0  v7  t5   t7  t5 . В области I справедливы
зависимости (3.83). В области с не изменяющимися пластическими деформациями II – соотношения (3.89). В области вязкопластического течения III, используя формулы (3.85) и условия равенства скоростей и перемещений при
r  r2 , получим
u  (t  t1 ) M 3 ( x5 , r ,r 2 )  S1  t4 M 2  x5 , r2 , l  

1
M 2  x5 , r0 , r2  
2

 M 2  x5 , r2 , r1 2  M 2  x5 , r0 , r1   M 2  x5 , r2 , l 2  T1 ( x5 ), (3.93)
v  M 3 ( x5 , r , r2 ).
Из (3.93) следует, что в области IV
v  M 3 ( x5 , r1 , r2 ).
(3.94)
В области вязкопластического течения V согласно (3.86) получаем
v  M 2 ( x5 , r , m)  M 3 ( x5 , r1 , r2 ).
Из (3.95) следует уравнение движения границы
(3.95)
m :
M 2 ( x5 , r0 , m)  M 3 ( x5 , r1 , r2 )  v7 .
(3.96)
Согласно (3.96) и (3.82) вычисляется компонента prz необратимых деформаций в области IV
114
prz 
k1 
1
 l 
 S1  M 2  x5 , r0 , r 1  .
1 

 r 
(3.97)
Используя (3.97) и условие непрерывности перемещений при r  r1 , в
области IV получим
u  (t  t1 ) M 3 ( x5 , r1,r 2 )  S1  t4 M 2  x5 , r2 , l   S1M 2 ( x5 , r , r1 ) 



(3.98)
1
M 22  x5 , r0 , r   M 2  x5 , r0 , r1   M 2  x5 , r2 , l 2  T2 ( x5 ).
2
В области вязкопластического течения V согласно (3.86) и (3.98) имеем
u  tM 3 ( x5 , r , m)  (t  t1 ) M 3 ( x5 , r1 ,r 2 )  S1  t4 M 2  x5 , r2 , l  



1
M 22  x5 , r0 , m  M 2  x5 , r0 , r1   M 2  x5 , r2 , l 2 
2
 S1M 2 ( x5 , m, r1 )  T2 ( x5 ).
В момент времени t  t 7 поверхность
(3.99)
r  m достигает внутренней
поверхности r  r0 . Значение t 7 находится из уравнения (3.96) при m  r0 .
В момент времени t 7 в областях I, II и III справедливы зависимости (3.83),
(3.89), (3.93), в области с не изменяющимися не-
r1
n'
l
r2
r0
V
IV
III
II
R
обратимыми деформациями
r0  r  r1 – (3.98)
при m  r0 .
С момента времени t  t7 от границы
r  r2 начинает движение граница r  n , отдеI
Рис. 53.
ляющая область продолжающегося вязкопластического течения r1  r  n от области с не изме-
няющимися необратимыми деформациями n  r  r2 (рис. 53).
В
каждый
момент
времени
t7  t8  tk
при
v |r  r0  v8  t5   t8  t5  получим, что в упругой области I выполня-
115
ются соотношения (3.83), в области с не изменяющимися необратимыми деформациями II – (3.89).
В области с не изменяющимися пластическими деформациями III ско-
v  0 . В области продолжающегося вязкопластического течения IV
рость
v  M 3( x5 , r , n )
u
2( t  t1 )
2
k2r  k1l ln r   k1l ln r  f .
(3.100)
2
Согласно (3.100) получаем уравнение движения границы области вязкопластического течения
n
M 3 ( x5 , r1 , n )  v8 .
(3.101)
Из (3.101) и (3.82) определим компоненту пластических деформаций
prz в области III
prz 
1
2
S1  t1  k2  k1l .

(3.102)
r 
Из (3.102) и условия непрерывности перемещений при r  r2 в области
III найдем
u



1
M 32  x5 , r1, r   M 32  x5 , r1, r2  
2

1
M 22  x5 , r0 , r1   M 2  x5 , r0 , r1   M 2  x5 , r2 , l 2 
2
 S1  t4 M 2  x5 , r2 , l   S1  t1 M 3  x5 , r , r2   T1 ( x5 ).

(3.103)
В области IV, используя условие непрерывности перемещений при
r  n , получим
u  (t  t1 ) M 3 ( x5 , r , n) 



1
M 32  x5 , r1 , n  M 32  x5 , r1 , r2  
2

1
M 22  x5 , r0 , r1   M 2  x5 , r0 , r1   M 2  x5 , r2 , l 2 
2
 S1  t4 M 2  x5 , r2 , l   S1  t1 M 3  x5 , n, r2   T1 ( x5 ).

116
(3.104)
В области с не изменяющимися необратимыми деформациями V из
условия непрерывности перемещений при r  r1 определим
u  (t  t1 ) M 3 ( x5 , r1 , n) 



1
M 32  x5 , r1 , n  M 32  x5 , r1 , r2  
2

1
M 22  x5 , r0 , r1   M 2  x5 , r0 , r1   M 2  x5 , r2 , l 2 
2
1

M 22  x5 , r0 , r   M 22  x5 , r0 , r1   S1M 2 ( x5 , r , r1 )
2
 S1  t4 M 2  x5 , r2 , l   S1  t1 M 3  x5 , n, r2   T2 ( x5 ).


(3.105)

В конечный момент торможения t  t k поверхность
r  n совпадает
с поверхностью r  r1 , и компоненты тензора необратимых деформаций перестают изменяться во всех областях. В момент времени t  t k поле перемещений задается зависимостями (3.105), (3.103), (3.89) и (3.83) при n  r1 .
Скорость равна нулю во всех областях деформирования.
При разгрузке с уменьшением напряжения
 rz до нуля компоненты
тензора пластических деформаций (3.88), (3.97), (3.102) не изменяются. В конечный момент разгрузки при
 rz  0 поле перемещений задается зависи-
мостями
l  r  R:
u  0;
r2  r  l :
u

1
M 2  x5 , r0 , r   M 2  x5 , r2 , r1 2 
2

 M 2  x5 , r0 , l   M 2  x5 , r2 , r1 2  S1  t4 M 2  x5 , r , l ;
u
r1  r  r2 :



1
M 32  x5 , r1, r   M 32  x5 , r1, r2  
2


1
M 22  x5 , r0 , r1   M 2  x5 , r0 , r1   M 2  x5 , r2 , l 2 
2
 S1  t4 M 2  x5 , r2 , l   S1  t1 M 3  x5 , r , r2 ;
117
u
r0  r  r1 :



1
M 22  x5 , r0 , r   M 22  x5 , r0 , r1  
2


1
1
M 22  x5 , r0 , r1   M 2  x5 , r0 , r1   M 2  x5 , r2 , l 2 
M 33  x5 , r1, r2 
2
2
 S1M 2 ( x5 , r , r1 )  S1  t4 M 2  x5 , r2 , l   S1  t1 M 3  x5 , r1 , r2 
График изменения границы области вязкопластического течения в про-
цессе торможения приведен на рис. 54. (поверхность
жения поверхностей
r  l  ). Графики дви-
r  m и r  n качественно не отличаются. Изменение
перемещений при торможении иллюстрирует рис. 55.
l'
0.92
l
R
R
0.9
0.88
0.86
r2
R
 0.85
16
5
16.02
16.04
16.06
6'

16.08
Рис. 54. Изменение границы области вязкопластического течения
при уменьшении скорости движения жесткой поверхности.
3
r1
u
r2
R
R
2
1
0
0.1
r
0.2
0.4
0.6
118
0.8
1
R
Рис. 55. Распределение перемещений в процессе торможения.
Во всех рассмотренных задачах поверхность, отделяющая область с не
изменяющимися пластическими деформациями от области продолжающегося вязкопластического течения, является поверхностью разрыва скоростей
необратимых деформаций. При торможении пластические деформации перестают изменяться сначала в области, в которой вязкопластическое течение
при нагружении началось последним. Если при нагружении развитие областей вязкопластического течения возможно сразу в двух слоях, то при торможении компоненты тензора необратимых деформаций могут не изменяться
только в одном слое.
119
Заключение
Впервые точное решение краевой задачи теории больших упругопластических деформаций было получено Л.В. Ковтанюк [69]. Именно данное
обстоятельство, по всей видимости, позволило академику Г.Г. Черному представить соответствующую работу для публикации в ДАН [69]. Настоящей
диссертацией представляются еще два точных решения, по своей постановке
обобщающие [69]. Представляется важным, что рассматривается не только
развитое или развивающееся вязкопластические течение с упругим продеформированным ядром, но и торможение его до остановки и последующей
полной разгрузки с вычислением остаточных деформаций и напряжений. Таким образом, решение каждой краевой задачи данного ряда служит начальным условием для постановки следующей задачи. И так до полного снятия
нагружающих усилий. При этом последующая краевая задача связана с возникновением и движением новой упругопластической границы. Условия
возникновения и закономерности продвижения подобных границ, которые
могут быть границами упругих ядер или застойных зон, следуют только в
процессе решения соответствующих краевых задач. Следует особо подчеркнуть важный постановочный факт, который необходимо учитывать при составлении алгоритмов расчетов, состоящий в том, что упругопластическая
граница, отделяющая область с накопленными необратимыми деформациями
от области вязкопластического течения, необходимо оказывается поверхностью разрывов скоростей необратимых деформаций. Такие поверхности разрывов возникают при торможении течения, когда новая упругопластическая
граница отделяется от существовавшей при остановке последней.
В качестве итога сформулируем основные результаты диссертации:
1. В рамках модели больших упруговязкопластических деформаций
проведена постановка и получено точное решение задачи о конечном продвижении упруговязкопластической пробки, расположенной между жесткими коаксиальными цилиндрическими поверхностями за счет изменяющегося
во времени перепада давления. Рассчитаны поля деформаций (как обратимых
120
и необратимых), напряжений и скоростей движения среды на всех стадиях
процесса, включающего развитие движения, последующее движение при постоянном перепаде давления, остановку и полную разгрузку при снятии перепада давления.
2. Указаны условия зарождения вязкопластических течений, закономерности возникновения и продвижения упругопластических границ, продвижения упругого ядра. Рассчитано итоговое поле остаточных напряжений
и деформаций.
3. Проведены расчеты в цикле краевых задач теории больших упруговязкопластических деформаций, связанных с прямолинейным движением материала между двумя жесткими коаксиальными цилиндрическими поверхностями, включающем зарождение вязкопластического течения, его развитие,
торможение до остановки и последующую разгрузку. Отдельно рассмотрен
случай присутствия в среде слоя более податливого материала.
4. Показано, что в случае однородности материала вязкопластическое
течение всегда начинается в окрестности внутренней жесткой цилиндрической поверхности, как при ее задаваемом движении, так и при задании движения внешней цилиндрической поверхности. Получена закономерность
продвижения упругопластической границы, как при развитии течения, так и
при его торможении. Показано, что в условиях торможения упругопластическая граница, отделяющая область продолжающегося вязкопластического течения от области, где накопленные необратимые деформации не изменяются,
оказывается поверхностью разрывов скоростей необратимых деформаций.
5. При наличии в материале более податливого слоя установлены критерии зарождения течения либо на границе слоя, либо на внутренней границе
основного материала. То же относится и к условиям остановки вязкопластического течения. Установлено, что вязкопластическое течение при его развитии может одновременно происходить и в слое, и в основном материале, но
при торможении данная ситуация невозможна, то есть вязкопластическое течение присутствует либо в слое, либо в основном материале.
121
Список литературы
1.
Аннин. Б.Д., Черепанов Г.П. Упруго-пластическая задача. Новосибирск:
Наука. 1983. 240 с
2.
Аннин Б.Д., Коробейников С.Н. Допустимые формы упругих законов
деформирования в определяющих соотношениях упругопластичности //
Сиб. журн. индустр. матем. 1998. Т 1, № 1. С. 21 – 34.
3.
Астапов В.Ф. Математическое моделирование экспериментов по конечному деформированию // Математическое моделирование и краевые задачи: Труды 8-й Научной межвузовской конференции. Самара: Изд-во
СамГТУ. 1998. С. 3 – 4.
4.
Астарита Дж., Маруччи Дж. Основы гидромеханики неньютоновских
жидкостей. М.: Мир. 1978. 309 с.
5.
Бажин А.А., Буренин А.А., Ковтанюк Л.В., Мурашкин Е.В. О возможном реологическом механизме повышения длительной прочности металлоизделий под действием интенсивных эксплуатационных нагрузок
по типу «нагрузка-разгрузка» // Вестник гос. Педагогического университета им. И.Я. Яковлева. 2007. № 3. С. 53 – 63.
6.
Бахшиян Ф.А. Вращение жесткого цилиндра в вязко-пластичной среде //
Прикл. механика и математика. 1948. Т. 12, вып. 6. С. 650 – 661.
7.
Белоносов С.М. Анализ начально-краевых задач теории линейной вязкоупругости // В сб. Прикл. задачи механики деформируемых сред. Владивосток. 1991. С. 21 – 39.
8.
Бердичевский В.Л., Седов Л.И. Динамическая теория непрерывно распределенных дислокаций. Связь с теорией пластичности // Прикл. математика и механика. 1967. Т. 31, № 6. С. 98 – 100.
9.
Бережной И.А., Ивлев Д.Д. Об определяющих неравенствах в теории
пластичности // Докл. АН СССР. 1976. Т. 227, № 4. С. 824 – 826.
122
10. Бережной И.А., Ивлев Д.Д. Об интегральных неравенствах теории упругопластического тела // Прикл. математика и механика. 1980. Т. 44, вып.
3. С. 540 – 549.
11. Бленд Д. Нелинейная динамическая теория упругости. М.: Мир. 1972.
183 с.
12. Бондарь В.Д. Осредненные повороты при конечной плоской деформации // Прикл. мех. и техн. физ. 2000. Т. 41, № 3. С. 187 – 196.
13. Бровко Г.Л. Об использовании различных мер напряжений, деформаций
и скоростей их изменения в технологических задачах пластичности //
Всесоюз. симпоз. “Вопросы теории пластичности в современной технологии”.: тез. докл.-М.: Изд-во МГУ. 1985. С. 17 – 18.
14. Буренин А.А., Ковтанюк Л.В. Об одном варианте несжимаемого упругопластического тела, допускающего большие деформации // Проблемы
естествознания и производства. Владивосток: Изд-во ДВГТУ. 1995. С. 5
– 9.
15. Буренин А.А., Быковцев Г.И., Ковтанюк Л.В. Об одной простой модели
для упругопластической среды при конечных деформациях // Докл. АН
СССР. 1996.Т. 347, № 2. С. 199 – 201.
16. Буренин А.А., Гончарова М.В., Ковтанюк Л.В. О пластическом течении
материала около сферического концентратора напряжений при конечных обратимых и необратимых деформациях // Изв. РАН. Механика
твердого тела. 1999. № 4. С. 150 – 156.
17. Буренин А.А., Ковтанюк Л.В., Полоник М.В. Возможность повторного
пластического течения при общей разгрузке упругопластической среды
// ДАН. 2000. Т. 375, № 6. С. 767 – 769.
18. Буренин А.А., Ковтанюк Л.В. Остаточные напряжения у цилиндрической полости в идеальной упругопластической среде // Проблемы механики неупругих деформаций. Сборник статей, посвященный 70-летию
Д.Д. Ивлева. Москва: Физматлит. 2001. С. 74 – 94.
123
19. Буренин А.А., Ковтанюк Л.В., Полоник М.В. Формирование одномерного поля остаточных напряжений в окрестности цилиндрического дефекта сплошности упругопластической среды // Прикл. математика и механика. 2003. Т. 67, вып. 2. С. 316 – 325.
20. Буренин А.А., Ковтанюк Л.В. К возможности установления упругопластического процесса по итоговому разгрузочному состоянию // Изв.
РАН. Механика твердого тела. 2006. № 3. С. 130 – 134.
21. Буренин А.А., Ковтанюк Л.В., Мазелис А.Л. Продавливание упруговязкопластического материала между жесткими коаксиальными цилиндрическими поверхностями // Прикл. математика и механика. 2006. Т. 70,
Вып. 3. С. 481 – 489.
22. Буренин А.А., Ковтанюк Л.В., Мурашкин Е.В. Об остаточных напряжениях в окрестности цилиндрического дефекта сплошности вязкоупругопластического материала // Прикл. механика и техн. физика. 2006. Т. 47.
№ 2. С. 110 – 119.
23. Буренин А.А., Ковтанюк Л.В., Устинова А.С. Вискозиметрическое течение упруговязкопластического материала между жесткими коаксиальными цилиндрическими поверхностями // Вестник гос. Педагогического
университета им. И.Я. Яковлева. 2007. № 1. С. 18 – 25.
24. Буренин А.А., Ковтанюк Л.В., Мазелис А.Л. Об учете упругих свойств
среды при её вязкопластическом течении в зазоре между коаксиальными
цилиндрическими поверхностями. Вестник Чувашского государственного педагогического университета имени И.Я. Яковлева. Серия: Механика предельного состояния №1(4) 2008. С. 70-79.
25. Буренин А.А., Ковтанюк Л.В., Устинова А.С. Об учете упругих свойств
неньютоновского материала при его вискозиметрическом течении //
ПМТФ. 2008. Т. 49, № 2. С. 143 – 151.
26. Буренин А.А., Ковтанюк Л.В., Устинова А.С. Большие деформации, вяз124
копластическое изотермическое течение и разгрузка материалов во вращающейся волоке // Прикладные задачи механики деформируемого
твердого тела и прогрессивные технологии в машиностроении. Сборник
статей. Вып. 3. Часть 1. Комсомольск-на-Амуре. 2009. С. 9 – 25.
27. Буренин А.А., Ковтанюк Л.В., Лушпей А.В.. Переходный процесс торможения прямолинейного вязкопластического течения при мгновенном
снятии нагружающих усилий // Прикладная математика и механика.
2009. Т. 73. Вып. 3. С. 494 – 500.
28. Буренин А.А., Устинова А.С. Развитие и торможение винтового вязкопластического течения с расчетом упругого отклика после остановки течения и разгрузки // Успехи механики сплошных сред: к 70-летию академика В.А. Левина: сб. научн. Тр. Владивосток: Дальнаука. 2009. С. 91
– 102.
29. Быковцев Г.И., Семыкина Т.Д. О вязкопластическом течении круглых
пластин и оболочек вращения // Изв. АН СССР. Механика и машиностроение. 1964. № 4. С. 68 – 76.
30. Быковцев Г.И., Чернышов А.Д. О вязкопластическом течении в некруговых цилиндрах при наличии перепада давления // ПМТФ. 1964. № 4. С.
94 – 96.
31. Быковцев Г.И., Шитиков А.В. Конечные деформации упругопластических сред // Докл. АН СССР. 1990. Т. 311, № 1. С. 59 – 62.
32. Быковцев Г.И., Лаврова Т.Б. Свойства сингулярных поверхностей
нагружения в пространстве деформаций // В кн. Прикл. задачи механики
деформируемых сред. Владивосток, ДВО АН СССР. 1991. С. 3 – 20.
33. Быковцев Г.И., Ивлев Д.Д. Теория пластичности. Владивосток: Дальнаука. 1998. 528 с.
34. Васин Р.А., Моссаковский П.А. Теория упругопластических процессов
при конечных деформациях: обобщение постулата изотропии // Совр.
125
пробл. мех.: Тез. докл. Юбил. науч. конф., посвящ. 40-летию Ин-та мех.
МГУ. 1999. С. 219 – 220.
35. Галин Л.А. Упруго-пластические задачи. М.: Наука. 1984. 232 с.
36. Годунов С.К. Элементы механики сплошных сред. М.: Наука. 1978. 304
с.
37. Гольденблат И.И. Нелинейные проблемы теории упругости. М.: Наука.
1969. 336 с.
38. Горелов В.И. Исследование влияний высоких давлений на механические
характеристики алюминиевых сплавов // Прикл. механика и техн. физика. 1984. № 5. С. 157 – 158.
39. Горовой В.А., Асатурян А.Ш. Теория пластичности пористых сред с конечными деформациями // Докл. АН УССР. Сер. А. 1981. № 5. С.39 – 42.
40. Ерхов М.И. Пластическое состояние оболочек, пластин и стержней из
идеально пластического материала // Изв. АН СССР. ОТН. Механика и
машиностроение. 1960. № 6.
41. Ерхов М.И. Теория идеально пластических тел и конструкций. М.:
Наука. 1978. 352 с.
42. Жуков А.М. Некоторые особенности поведения металлов при упругопластическом деформировании // Вопросы теории пластичности. М.:
Изд-во АН СССР. 1961. С. 30 – 57.
43. Знаменский В.А., Ивлев Д.Д. Об уравнениях вязкопластического тела
при кусочно-линейных потенциалах // Изв. АН СССР. ОТН. Механика и
машиностроение. 1963. № 6. С. 114 – 118.
44. Ивлев Д.Д. Об определении перемещений в задаче Л.А. Галина // Прикл.
математика и механика. 1957. Т. XXI, вып. 5.
45. Ивлев Д.Д. К определению перемещений в задаче Л.А. Галина // Прикл.
математика и механика. 1957. Т. XXIII, вып. 5.
126
46. Ивлев Д.Д. К теории предельного равновесия оболочек вращения при
кусочно-линейных условиях пластичности // Изв. АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение. 1962. № 6.
47. Ивлев Д.Д. Теория идеальной пластичности. М.: Наука. 1966. 232 с.
48. Ивлев Д.Д., Быковцев Г.И. Теория упрочняющегося пластического тела.
М.: Наука. 1971. 232 с.
49. Ивлев Д.Д. Об определении перемещений в упругопластических задачах
теории идеальной пластичности // В кн. Успехи механики деформируемых сред (к 100-летию со дня рождения академика Б.Г. Галеркина).
Москва. 1975. С. 236 – 240.
50. Ивлев Д.Д. Об общих уравнениях теории идеальной пластичности // В
сб. Проблемы механики сплошной среды. К 60-летию академика В.П.
Мясникова. Владивосток. 1996. С. 112 – 115.
51. Ильюшин А.А. Пластичность. М.; Л.: ГИТТЛ. 1948. 376 с.
52. Ильюшин А.А. Об основах общей математической теории пластичности
// Вопросы теории пластичности. М.: Изд-во АН УССР. 1961. С. 3 – 29.
53. Ильюшин А.А. О постулате пластичности // Прикл. математика и механика. 1961. Т. 25, вып. 3. С. 503 – 507.
54. Ильюшин А.А. Пластичность. М.: Изд-во АН СССР. 1963. 272 с.
55. Ильюшин А.А., Победря Б.Е. Основы математической теории термовязкоупругости. М.: Наука. 1970. 280 с.
56. Ишлинский А.Ю. Общая теория пластичности с линейным упрочнением
// Укр. мат. журн. 1954. Т. 6, вып. 3. С. 314 – 324.
57. Кадашевич Ю.И., Помыткин С.П. Определяющие соотношения эндохронной теории пластичности, учитывающей конечные деформации // 8й Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике. Аннотации докладов. Пермь: Изд-во Ин-та мех. сплош. сред УрО РАН. 2001.
С. 301.
127
58. Качанов Л.М. Основы теории пластичности. М.: Наука. 1969. 420 с.
59. Клюшников В.Д. Новые представления в пластичности и деформационная теория // Прикл. математика и механика. 1959. Т. 23, № 4. С. 722 –
731.
60. Клюшников В.Д. Математическая теория пластичности. М.: Изд-во
МГУ. 1979. 208 с.
61. Клюшников В.Д. О допустимых формах соотношений пластичности //
Докл. АН СССР. 1980. Т. 225, № 1. С. 57 – 59.
62. Клюшников В.Д. Возможности макроопыта и форма определяющих соотношений // Докл. АН СССР. 1982. Т. 262, № 3. С. 578 – 580.
63. Ковтанюк Л.В., Полоник М.В. О критерии возникновения пластического
течения около сферической каверны // Проблемы естествознания и производства (сб. тр. ДВГТУ. Вып. 119, сер.5.). Владивосток: Изд-во ДВГТУ. 1997. С. 19 – 23.
64. Ковтанюк Л.В., Полоник М.В. Задача Ламе о равновесии толстостенной
трубы, изготовленной из несжимаемого упругопластического материала
// В сб. Проблемы механики сплошной среды. Владивосток. 1998. С. 94 –
113.
65. Ковтанюк Л.В., Полоник М.В. Одномерное нестационарное пластическое течение в окрестности одиночного дефекта сплошности при повторяющихся нагружениях по типу «нагрузка-разгрузка» // Восьмой Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике. Аннотации
докладов. Екатеринбург: УрО РАН. 2001. С. 336.
66. Ковтанюк Л.В., Пикуль М.В. Особенности формирования поля остаточных напряжений в биметаллических толстостенных трубах при квазистационарном нагреве и последующем остывании // Сб. трудов международной школы-семинара «Современные проблемы механики и прикладной математики». Воронеж: ВГУ. 2003. С. 133 – 145.
128
67. Ковтанюк Л.В. Моделирование больших упругопластических деформаций в неизотермическом случае // Дальневосточный математический
журнал. Владивосток: Дальнаука. 2004. Т.5, №1. С. 107 – 117.
68. Ковтанюк Л.В. Об определении основных параметров одномерного
упругопластического процесса деформирования по опытным данным об
итоговых остаточных напряжениях // Сборник трудов международной
школы-семинара «Современные проблемы механики и прикладной математики». Воронеж: ВГУ. 2004. Ч. 1, т. 2. С. 286 – 288.
69. Ковтанюк Л.В. О продавливании упруговязкопластического материала
через жесткую круговую цилиндрическую матрицу // ДАН. 2005. т. 400,
№ 6. С. 764 – 767.
70. Ковтанюк Л.В., Мазелис А.Л. Процесс волочения упруговязкопластического материала между жесткими коаксиальными цилиндрическими поверхностями. Материалы Всероссийской конференции посвященной 70летию со дня рождения академика В.П. Мясникова, Фундаментальные и
прикладные вопросы механики ИАПУ ДВО РАН, 25 – 30 сентября 2006
г. Владивосток С. 67.
71. Ковтанюк Л.В. О конечном продвижении упруговязкопластической
пробки по цилиндрической трубе // Вестник Чувашского гос. Университета им. И.Я. Яковлева. Сборник, посвященный юбилею Ивлева Д.Д.
2006. № 1. С. 68 – 75.
72. Ковтанюк Л.В., Шитиков А.В. О теории больших упругопластических
деформаций материалов при учете температурных и реологических эффектов // Вестник ДВО РАН. 2006. № 4. С. 87 – 93.
73. Ковтанюк Л.В., Мурашкин Е.В.. Формирование полей остаточных
напряжений у одиночных сферических включений в идеальной упругопластической среде // Известия АН. Механика твердого тела. 2009. № 1.
С. 94 – 104.
129
74. Ковтанюк Л.В. О колебаниях тяжелого слоя, вызванных мгновенной
разгрузкой развития вязкопластического течения. В сборнике «Успехи
механики сплошных сред» к 70-летию академика В.А. Левина. Владивосток: Дальнаука. 2009. С. 322-330.
75. Кондауров В.И. Об уравнения упруговязкопластической среды с конечными деформациями // Журн. прикл. механики и технической физики.
1982. № 4. С. 133 – 139.
76. Кондауров В.И., Никитин Л.В. Распространение волн напряжений и некоторые дополнительные неравенства теории упруговязкопластических
сред с конечными деформациями // Изв. АН СССР. Механика твердого
тела. 1985. № 1. С. 128 – 133.
77. Коробейников С.Н. Модификация вариационного принципа Нола в теории конечных упруго-пластических деформаций // Динамика сплошной
среды: Сб. Науч. Тр. / Ин-т гидродинамики. АН СССР. Сиб. отд-ние.
Новосибирск. 1975. Вып. 22. С. 206 – 215.
78. Коробейнков С.Н. Нелинейное деформирование твердых тел. Новосибирск: Изд-во СО РАН. 2000. 262 с.
79. Кристенсен Р. Введение в теорию вязкоупругости. М: Мир. 1974. 338 с.
80. Кузнецова В.Г., Роговой А.А. Эффект учета слабой сжимаемости материала в упругих задачах с конечными деформациями // Изв. РАН. Механика твердого тела. 1999. № 4. С. 64 – 77.
81. Кукуджанов В.Н., Кондауров В.И. Численное решение неодномерных
задач динамики твердого деформируемого тела // Проблемы динамики
упруго-пластических сред. М.: Мир. 1975. С. 38 – 84.
82. Куликов В.С., Мардимасова Т.Н. Моделирование процессов образования
остаточных напряжений при сложном нагружении и упругопластической разгрузке // Вестник УГАТУ. 2002. Т. 3, № 2. С. 99 – 109.
83. Левин В.А., Зингерман К.М. О построении эффективных определяющих
соотношений для пористых упругих материалов при конечных деформациях и их наложении // Докл. РАН. 2002. Т. 382, № 4. С. 482 – 487.
130
84. Левитас В.И. О методе построения теории пластичности // Проблемы
прочности. 1980. № 4. С. 85 – 90.
85. Левитас В.И. К теории больших упругопластических деформаций //
Докл. АН УССР. Сер. А.-1983. № 11. С. 48 – 53.
86. Левитас В.И., Шестаков С.И., Душинская Г.В. Исследование несущей
способности элементов аппарата высокого давления цилиндрического
типа // Физика и техника высоких давлений. 1984. № 15. С. 43 – 46.
87. Левитас В.И. Определяющие уравнения в скоростях для изотропных и
анизотропных упругопластических материалов при конечных деформациях // Докл. Ан УССР. Сер. А. 1986. № 6. С. 35 – 38.
88. Левитас В.И. Теория больших упругопластических деформаций при высоком давлении // Проблемы прочности. 1986. № 8. С. 6 – 94.
89. Левитас В.И. Большие упругопластические деформации материалов при
высоком давлении. Киев.: Наукова думка. 1987. 232 с.
90. Леманн Т. О теории неизотермических упругопластических и упруговязкопластических деформаций // Проблемы теории пластичности. М.:
Мир. 1976. С. 69 – 90.
91. Ленский В.С. Гипотеза локальной определенности в теории пластичности // Изв. АН СССР. Отд. техн. наук. Сер. Механика и машиностроение.
1962. № 5. С. 154 – 158.
92. Ленский В.С. Современные вопросы и задачи пластичности в теоретическом и прикладном аспектах // Упругость и неупругость. 1978. вып. 5. С.
65 – 96.
93. Лурье А.И. Дифференцирование по тензорному аргументу // В сб. Вопросы математической физики. Л.: Наука. 1976. С. 48 – 57.
94. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука. 1980. 512 с.
131
95. Мазелис А.Л. О волочении упругопластического материала сквозь жесткую матрицу, составленную из двух концентрических цилиндров // Тезисы докладов Дальневосточной конференции студентов, аспирантов и
молодых ученых по математическому моделированию, 22-24 ноября
2004 г., Владивосток: ИПМ ДВО РАН, 2004. С. 36 – 37.
96. Мазелис А.Л. Изучение свойств упругопластического материала при
продавливании между двух коаксиальных цилиндрических поверхностей. Тезисы докладов XXX Дальневосточная математическая школасеминар им. академика Е.В. Золотова, 21-27 августа, 2005, Хабаровск:
ДВГУПС, 2005. С. 91-92.
97. Маркин А.А., Оленич С.И. О связи между процессом внешнего нагружения и его образами в пространстве Ильюшина при конечных деформациях // Проблемы прочности. 1999. № 2. С. 85 – 93.
98. Маркин А.А. Термомеханика процессов конечного деформирования // 8
Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике. Аннотации докладов. Пермь: Изд-во Ин-та мех. сплош. сред УрО РАН. 2001.
С. 418 – 419.
99. Маркин А.А., Соколова М.Ю. Термомеханические модели необратимого
конечного деформирования анизотропных тел // Проблемы прочности.
2002. № 6. С. 5 – 13.
100. Мосолов П.П., Мясников В.П. Вариационные методы в теории течений
жестко-вязкопластических сред. М.: Изд-во МГУ. 1971. 163 с.
101. Мосолов П.П., Мясников В.П. Механика жесткопластических сред. М.:
Наука. 1981. 208 с.
102. Мясников В.П. Некоторые точные решения для прямолинейных движений вязкопластической среды // ПМТФ. 1961. № 2. С. 79 – 86.
103. Мясников В.П. Уравнения движения упругопластических материалов
при больших деформациях // Вестн. ДВО РАН. 1996. № 4. С. 8 – 13.
132
104. Новиков Н.В., Левитас В.И., Лещук А.А. Численное моделирование зон
стабильности материалов в рабочем объеме АВД // Сверхтвердые материалы. 1984. № 4. С. 3 – 8.
105. Новиков Н.В., Левитас В.И., Шестаков С.И. Исследование напряженного
состояния силовых элементов аппаратов высокого давления // Проблемы
прочности. 1984. № 11. С. 43 – 48.
106. Новиков Н.В., Левитас В.И. Моделирование термопластического течения материалов в аппаратах высокого давления // Вестн. АН УССР.
1985. № 8. С. 7 – 17.
107. Новиков Н.В., Левитас В.И., Полотняк С.Б., Золотарев Р.А. Напряженнодеформированное состояние элементов АВД с алмазными наковальнями
// Влияние высоких давлений на структуру и свойства сверхтвердых материалов. Киев: ИСМ АН УССР. 1985. С. 65 – 70.
108. Новиков Н.В., Левитас В.И., Розенберг О.А. Об экспериментальном подтверждении усиленного постулата идеальной пластичности при квазимонотонном нагружении // Докл. АН УССР. Сер. А. 1985. № 8. С. 31 –
34.
109. Новокшанов Р.С., Роговой А.А. О построении эволюционных определяющих соотношений для конечных деформаций // Изв. РАН. Механика
твердого тела. 2002. № 4. С. 77 – 95.
110. Огибалов П.М., Мирзаджанзаде А.Х. Нестационарные движения вязкопластических сред. М: Изд-во Московского университета. 1970. 415 с.
111. Пальмов В.А. Колебания упругопластических тел. М.: Наука. 1976. 328
с.
112. Пальмов В.А., Штайн Е. Разложение конечной упругопластической деформации на упругую и пластическую составляющие // Мат. Моделиров. систем и процессов. 2001. № 9. С. 109 – 126.
113. Победря Б.Е. Понятие простого процесса при конечных деформациях //
Прочность и пластичность. М.: Наука. 1971. С. 129 – 135.
133
114. Поздеев А.А., Няшин Ю.И., Трусов П.В. Остаточные напряжения: теория и приложения // М.: Наука. 1982. 112 с.
115. Поздеев А.А., Трусов П.В., Няшин Ю.И. Большие упругопластические
деформации: теория, алгоритмы, приложения. М.: Наука. 1986. 232 с.
116. Прагер В., Ходж Ф.Г. Теория идеально пластических тел. М.: Изд-во
иностр. лит. 1956 г. 398 с.
117. Прагер В. Элементарный анализ скорости изменения напряжений // Механика, сб. перев. иностр. статей. 1960. № 3. С. 69 – 74.
118. Прагер В. Конечные пластические деформации // Реология/ под ред. Эйриха. М. Изд-во иностр. лит. 1962. С. 86 – 126.
119. Прагер В. Введение в механику сплошных сред. М.: Изд-во иностр. лит.
1963. 312 с.
120. Пэжина П. Основные вопросы вязко-пластичности. М.: Мир. 1968. 176 с.
121. Пэжина П., Савчук А. Проблемы термопластичности // Проблемы теории пластичности и ползучести. М.: Мир. 1979. С. 94 – 202.
122. Работнов Ю.Н. Ползучесть элементов конструкций. М.: Наука. 1966. 752
с.
123. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука.
1979. 744 с.
124. Работягов Д.Д. Механика материалов при больших деформациях. Кишинев: Штиинца. 1975. 168 с.
125. Резунов А.В., Чернышев А.Д. Задача о чистом сдвиге вязкопластического материала между двумя цилиндрическими поверхностями // Механика деформируемого твердого тела. Межвузовский сборник.
Куйбышев: Изд-во Волжская коммуна. 1975. С.32-36.
134
126. Роговой А.А. Определяющие соотношения для конечных упругонеупругих деформаций // Прикл. мех. и техн. физ. 2005. Т. 46, № 5. С.
138 – 149.
127. Сафрончик А.И. Вращение цилиндра с переменной скоростью в вязкопластичной среде // Прикл. матем. и механика. 1959. Т. 23, вып. 6. С. 998
– 1014.
128. Сафрончик А.И. Неустановившееся течение вязко-пластичного материала в круглой трубе // Прикл. математика и механика. 1960. Т. 24, вып. 1.
129. Седов Л.И. Введение в механику сплошной среды. М.: Физматгиз. 1962.
284 с.
130. Соколовский В.В. Теория пластичности. М.: Высш. шк. 1969. 608 с.
131. Толоконников Л.А. Механика деформируемого твердого тела. М.: высш.
шк. 1979. 318 с.
132. Толоконников О.Л., Маркин А.А., Астапов В.Ф. Свойства материалов
при конечном пластическом деформировании // Прочность материалов и
элементов конструкций при сложном напряженном состоянии: тез. докл.
Киев. 1984. Ч.2. С. 57 – 58.
133. Томас Т. Пластическое течение и разрушение в твердых телах. М.: Мир,
1964. 308 с.
134. Трусов П.В. О построении образа процесса нагружения и методе корректирующего анализа при исследовании больших пластических деформаций // Пермь. 1984. 23 с. Деп.в ВИНИТИ, № 5939.-84 Деп.
135. Фрейденталь А., Гейрингер Х. Математические теории неупругой
сплошной среды. М.: Изд-во иностр. лит. 1962. 432 с.
136. Хаар А., Карман Т. К теории напряженных состояний в пластических и
сыпучих средах // Теория пластичности. М.: Изд-во иностр. лит. 1948. С.
41 – 56.
137. Хилл Р. Математическая теория пластичности. М.: Мир. 1956. 407 с.
135
138. Циглер Г. Экстремальные принципы термодинамики необратимых процессов и механики сплошной среды. М.: Мир. 1966. 135 с.
139. Чернышов А.Д. Модель термопластического тела при конечных деформациях // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1980. № 1. С. 110 –
115.
140. Чернышов А.Д. Определяющие уравнения для упругопластического тела при конечных деформациях // Изв. РАН. Механика твердого тела.
2000. № 1. С. 120 – 128.
141. Шевченко Ю.Н. Термопластичность при переменных нагружениях. Киев: Наук. Думка. 1970. 288 с.
142. Шевченко Ю.Н., Терехов Р.Г. Физические уравнения термовязкопластичности. Киев: Наук. думка. 1982. 240 с.
143. Шевченко Ю.Н., Тормахов Н.Н. Постулат изотропии для конечных деформаций // Прикл. мех. (Киев). 1999. Т. 35, № 1. С. 14 – 27.
144. Шестериков С.А. К построению теории идеально пластического тела //
Прикл. математика и механика. 1960. Т. 24, вып. 3. С. 412 – 415.
145. Шитиков А.В. О вариационном принципе построения уравнений упругопластичности при конечных деформациях // Прикл. математика и механика. 1995. Т. 59, № 1. С. 158 – 161.
146. Эглит М.Э. О тензорных характеристиках конечных деформаций // Прикладная математика и механика. 1960. Т. 24, вып. 5. С. 947 – 950.
147. Alturi N. On constitutive relations at the finite strain: hypoelasticity and elastoplasticity with isotropic or kinematic hardening // Comput. Mech. and Eng.
1984. 43, № 2. P. 137 – 171.
148. Bazant Zdenek P. Finite strain generalisation of smallstrain constitutive relations for any finite strain tensor and additive volumetric-deviatoric split // Int.
J. Solids and Struct. 33, 20 – 22. P. 2959 – 2968.
136
149. Bergander H. Finite plastic constitutive laws for finite deformations // Acta
mech. 1995. 109, № 1 – 4. P. 79 – 99.
150. Bertram A. Intrinsische Beachreibung finiter plastischer Deformationen //
Math. Forschungsinst., Oberwolfach, 1994. № 33. C.2.
151. Bertram A., Kraska M. Beschreibung finiter plastuscher Deformationen von
Einkristallen mittels materieller Isomorphismen // Z. angew. Math. und Mech.
1995. 75, Suppl. № 1. C. 179 – 180.
152. Bertram A., Kraska M // Description of the finite plastic deformations in single crystals by material isomorphism // IUTAM Symp. Anisotropy. Inhomogen. and Non-linear. Solid Mech.: 1995. C. 77 – 90.
153. Bingham E.C. Fluidity and plasticity Mc. N.Y.: Crow-Hill. 1922. № 4. P. 215
– 218.
154. Bruhns O.T. Grosse plastische Formanderungen // Mitt. Inst. Mech. / RuhrUniv. Bochum. 1991. № 78. C. 1 – 149.
155. Bruhns Otto.T. A consistent description of finite elastoplastisity // 20 th International Congress of Theoretical and Applied Mechanics, Chicago. 2000. P.
31.
156. Burenin A.A., Kovtanyuk L.V. To the Construction of the Elastic-Plastic Medium Model under Finite deformations // Mathematical Modelling and Cryptography. Pacific international conference. Vladivostok. 1995. P. 25.
157. Clifton R.J. On the equivalence of F  F and
J. Appl. Mech. 1972. 39. P. 287 – 289.
p
e
F e  F p // Trans. ASME.:
158. Dafalias Y.F. Corotational rates for kinematic hardening at large plastic deformations // Trans. ASME.: J. Appl. Mech. 1983. 50, № 3. P. 561 – 565.
159. Dafalias Y.F. The plastic spin concept and a simple illustration of its role in
finite plastic transformations // Mech. Mater. 1984. 3, № 3. P. 223 – 233.
137
160. Eve R.A., Reddy B.D. The variational formulation and solution of problems
of finite-strain elastoplasticity based on the use of a dissipation function // Int.
J. Numer. Mech. Eng. 1994. 37, № 10. P. 1673 – 1695.
161. Fressengeas C., Molinary A. Models d ecrouissage: cinematique en grande
deformation // C.r. Acad. sci. Paris. Ser. 11. 1983. 287. P. 39 – 96.
162. Freund L.B. Constitutive equations for elastic-plastic materials at finite strain
// Int. J. Solids and Struct. 1970. 6, № 8. P. 1193 – 1209.
163. Green A.E., Naghdi P.M. A general theory at an elastic-plastic continuum //
Arch. Ration Mech. and Anal. 1965. 18, № 4. P. 251 – 281.
164. Green A.E., Naghdi P.M. Some remarks on elastic-plastic deformation at finite strain // Int. J. Eng. Sci. 1971. 9, № 12. P. 1219 – 1229.
165. Guo Z., Watanabe O. Effects of hypoelastic model and plastic hardening jn
numerical simulation. (Shear deformation of 2-dimensional plane block) //
Trans. Jap. Soc. Mech. Eng. A. 1993. 59, № 562. P. 1458 – 1466.
166. Hackenberg H. Large deformation finite element analysis with inelastic constitutive models including damage // P. Comput. Mech. 1995. 16, № 5. P. 315
– 327.
167. Hill R. On constitutive inequalities for simple materials // J. Mech. and Phys.
Solids.1968. 16, № 4. P. 229 – 242.
168. Hill R. Some basic principles in the mechanics of solids without a natural
time // J. Mech. and Phys. Solids. 1959. № 3. P. 75 – 93.
169. Hu Ping, Lian Jianshe, Li Junxing. Quasi-flow theory of elastic-plastic finite
deformation // Acta mech. sin. 1994. 26, № 3. P. 275 – 283.
170. Hu P., Lian J., Liu Y.Q., Li Y.X. A quasi-flow corner theory of elastic-plastic
finite deformation // Int. J. Solids and Struct. 1998. 35, № 15. P. 1827 – 1845.
171. Ibrahimbegovic A., Chorfi Lotfi. Covariant principal axis formulation of associated coupled thermoplastisity at finite strains its numerical implementation // Int. J. Solids and Struct. 2002. 39, № 2. P. 499 – 528.
138
172. Ibrahimbegovic A., Gharzeddine F. Covariant theory of finite deformation
plasticity in principal axes // 19th Int. Congr. Theor. and Appl. Mech., Kyoto,
Aug. 25-31, 1996: Abstr.-Kyoto, 1996. P. 76.
173. Kovtanyuk L.V., Goncharova M.V. The finite deformation of elastic-plastic
medium in the vicinity of spherical cavity in comprehensive compression
conditions // Second International Students Congress of the Asia-Pacific Region Countries, Far-Eastern Technical University. Vladivostok, Russia. 1997.
P. 77.
174. Kratochvil J. Finite-strain theory of inelastic behaviour of crystalline solids //
Foundations of plasticity // Ed. A. Sawczuk.-Leiden: Noordhoff, 1973. P. 401
– 415.
175. Kumar Das Tapan, Sengupta P.R. Problem of expansion of a spherical cavity
at the centre of a non-homogeneous sphere of ductile metal under the action
of international and external pressures // Proc. Indian Nat. Sci. acad. A. 1991.
57, № 4. P. 497 – 516.
176. Le K.C., Stumpf H. Finite elastoplasticity with microstructure // Mitt. Inst.
Mech. Ruhr-Univ., Bochum. 1994. № 92. P. 1 – 77.
177. Lee E.H. Elastic-plastic deformation at finite strains // Trans ASME: J. Appl.
Mech. 1969. 36, № 1. P. 1 – 6.
178. Lee E.H., Mallett R.L. Stress analysis for anisotropic hardening in finite deformation plasticity // Trans. ASME: J. Appl. Mech. 1983. 50, № 3. P. 554 –
560.
179. Lee E.H., McMeeking R.M. Concerning elastic and plastic components of deformation // Int. J. Solids and Struct. 1980. 16, № 8. P. 715 – 721.
180. Levitas V.I. On the theory of large elastoplastic deformations // Mitt. Inst.
Mech. Ruhr.-Univ., Bochum, 1994. № 93. P. 34 – 37.
181. Loret B. On the effects of plastic rotation in the finite deformation of anisotropic elastoplastic materials // Mech. Mater. 1983. № 2. P. 278 – 304.
139
182. Lu S.C.H., Pister K.S. Decomposition of deformation and representation of
the free energy function for isotropic thermoelastic solids // Int. J. Solids and
Struct. 1975. 11, № 7 – 8. P. 927 – 934.
183. Lubarda V.A. Elastoplastic constitutive analysis with the yield surface in
strain space // J. Mech. and Phys. Solids. 1994. 42, № 6. P. 931 – 952.
184. Lubarda V.A., Benson D.J. On the partitioning of the rate of deformation gradient in phenomenological plasticity // Int. J. Solids and struct. 2001. 38, №
38 – 39. P. 6805 – 6814.
185. Lubarda V.A., Lee E.H. A correct definition elastic and plastic deformation
and its computational significance // Trans. ASME: J. Appl. Mech. 1981. 48,
№ 1. P. 35 – 40.
186. Lubarda V.A., Shin C.F. Plastic spin and related issues in phenomenological
plasticity // Trans. ASME: J. Appl. Mech. 1994. 61, № 3. P. 524 – 529.
187. Mandel J. Equations constitutives et directeurs dans les milieux plastiques et
viscoplastiques // Int. J. Solids and struct. 1973. 9, № 6. P. 725 – 740.
188. Mazelis A.L. About drawing elastoplastic material through the rigid matrix
consist of two concentric cylinders. Sixth International Young Scholars’ Forum of the Asia – Pacific Region Countries, 27 – 30 September, 2005, Vladivostok, Russia : [proceedings]. Part 1. Vladivostok : FENTU, 2005. P. 134135
189. Miehe Christian. A constitutive frame of elastoplastisity at large strains based
on the notion of a plastic metric // Int. J. Solids and struct. 1998. 35, № 30. P.
3859 – 3897.
190. Naghdi P.M. Recent development in finite deformation plasticity // Plasticity
Today: Modeling, Methods and Applications: London. 1985. P. 75 – 83.
191. Nemat-Nasser S. Decomposition of strain measures and their rates in finite
deformation elastoplasticity // Int. J. Solids and struct. 1979. 15, № 2. P. 155 –
166.
140
192. Nemat-Nasser S. Micromechanicaly Based Finite Plasticity // Plasticity Today: Modeling, Methods and Applications: London. 1985. P. 85 – 95.
193. Nemat-Nasser S. On finite deformation elasto-plasticity // Int. J. Solids and
struct. 1982. 18, № 10. P. 857 – 872.
194. Nicholson David W. Finite strain thermoplastisity theory with kinematic
hardening // 4th Int. Conf. Constitut. Laws Eng. Mater., Troy, N. Y. 1999. P.
176 – 179.
195. Paglietti A. Universal deformations of thermoelastic-plastic materials // Arch.
mech. stosow. 1975. 27, № 5/6. P. 773 – 789.
196. Rubin M. An alternative formulation of constitutive equations for an elastically isotropic elastic-plastic material // 18th Int. Congr. Theor. and Appl. Mech.,
Haifa, Aug. 22-28, 1992. Haifa, 1992. P.125.
197. Schieck B., Stumpf H. The appropriate corotational rate, exact formula for
plastic spin and constitutive model for finite elastoplasticity // Int. J. Solids
and struct. 1995. 32, № 24. P. 3643 – 3667.
198. Show M.C. Strain hardening of large plastic strain // Numer. Mech. Form.
Processes. Swansea. 1982. P. 471 – 479.
199. Sidoroff F. Incremental constitutive equation for large strain elasto-plasticity
// Int. J. Eng. Sci. 1982. 20, № 1. P. 19 – 26.
200. Sidoroff F. The geometrical concept of intermediate configuration and elasticplastic finite strain // Arch. Mech. Stosow. 1973. 25, № 2. P. 299 – 308.
201. Sidoroff F., Dogui A. Some issues about anisotropic elastic-plastic models at
finite strain // Int. J. Solids and Struct. 2001. 38, № 52 P. 9569 – 9578.
202. Song Fan, Sun Yi, Wang Duo // A geometrical model for finite elastic-plastic
deformation // Lixue xuebao=Acta mech. sin. 1999. 31, № 2. P. 208 – 212.
203. Trusov P., Nyashin Y. On the constitutive Ilushin s theory relations for the
case of large deformations. Pt.I. // J. Theor. and Appl. Mech.1992. 23, № 3. P.
65 – 74.
141
204. Trusov P., Nyashin Y. On the constitutive Ilushin’s theory relations II // J.
Theor. and Appl. Mech. 1992. 23, № 4. P. 63 – 86.
205. Unterschiedliche Zugange zur finiten Plastizitat (Различные подходы к конечной пластичности) // Mitt. Inst. Mech. Ruhr-Univ., Bochum. 1998. №
114. P. 7 – 10.
206. Valanis K.C. A theory of viscoplasticity without a yield surface // Arch.
Mech. Stosow. 1971. 23, № 4. P. 517 – 551.
207. Viem N.H. Constitutive equations for finite deformations of elestic-plastic
metallic solids with included anisotropy // Arch. Mech. 1992. 44, № 5 – 6. P.
585 – 594.
208. Watanabe O. Plastic spin and rotational hardening of yeld surface in constitutive equation for large plastic strain // Trans. Jan. Soc. Mech. Eng. A. 1993.
59, № 568. P. 2984 – 2992.
209. Xia Z., Ellyin F. A finite elastoplastic constitutive formulation with new co-
rotational stress-rate and strain-hardening rule // Trans. ASME: J. Appl.
Mech. 1995. 62, № 3. P. 733 – 739.
142