Асимптоты амеб комплексных кривыхx

Асимптоты амеб комплексных кривых
Введение
Понятие амебы комплексной поверхности возникло для визуального
упрощения поверхности в 1994 году, оно было введено в известной
монографии И. Гельфанда, М. Капранова и А. Зелевинского «Дискриминанты, результанты и многомерные детерминанты». Со временем
обнаружилось, что теория амеб представляет собой эффективный аппарат для изучения распределения нулей полинома Лорана. Первые результаты об амебах были получены в статьях М. Форсберга, М. Пассаре - А. Циха и Г. Михалкина в 2000 г. Сравнительно недавно (2008 г.)
Е. Лейнартасом М.Пассаре и А. Цихом теория амеб была применена к
исследованию асимптотик многомерных разностных уравнений, играющих важную роль в теории обработки цифровых сигналов.
1. Графики тропических полиномов
1.1
Тропическое сложение и умножение
Определим операции тропического сложения и умножения следующим образом:
𝑥 ⊕ 𝑦 = 𝑚𝑎𝑥{𝑥, 𝑦}, 𝑥 ⊙ 𝑦 = 𝑥 + 𝑦.
Согласно этому определению, тропическая сумма двух чисел — это их максимум, а тропическое умножение двух чисел — их обычная сумма. Тропические операции удовлетворяют аксиомам полукольца.
Действительно, поскольку тропическое умножение определяется как обычное сложение, все аксиомы группы для тропического умножения выполняются.
1.2
Тропические полиномы
Пусть 𝑥1 , 𝑥2 , . . . , 𝑥𝑛 являются переменными, принимающими значения в тропическом полукольце.
Определение 1. Тропический моном есть тропическое произведение коэффициента и тропических степеней переменных
𝑎𝑖
⊙ 𝑥 ⊙𝑖 = 𝑎𝑖1…𝑖𝑛 ⊙ 𝑥1 ⊙𝑖1 … ⊙ 𝑥𝑛 ⊙𝑖𝑛 , где 𝑎𝑖1…𝑖𝑛 ∈ 𝑅,𝑖𝑘 ∈ 𝑍, 𝑘 = 1, . . . , 𝑛
Таким образом с точки зрения классической математики тропические мономы это в точности линейные функции с целыми коэффициентами при 𝑥𝑖 .
Определение 2. Тропический полином — это конечная линейная тропическая комбинация тропических мономов.
Тропический полином представляет функцию 𝑅𝑛 → 𝑅. С точки зрения классической арифметики эта функция есть максимум конечного числа линейных
функций, а именно
𝑝(𝑥1 , . . . , 𝑥𝑛 ) = max{𝑎𝑖 𝑘 +< 𝑥, 𝑖𝑘 >}, где 𝑥 = (𝑥1 , . . . , 𝑥𝑛 ); 𝑖𝑘 = (𝑖1 𝑘 , . . . , 𝑖𝑛 𝑘 ).
(1)
Утверждение 1. Тропический многочлен 𝑛 переменных 𝑥1 , . . . , 𝑥𝑛 является в
точности кусочно-линейной вогнутой функцией на R𝑛 с целыми коэффициентами.
Каждую тропическую полиномиальную функцию можно представить в виде
тропического полинома различными способами. Т.о. каждый тропический
полином может быть заменен эквивалентным тропическим полиномом, представляющим ту же самую функцию.
1.3
Графики тропических полиномиальных функций
Рассмотрим сначала построение графика тропического кубического многочлена одной переменной
𝑝𝑡 (𝑥) = 𝑎 ⊙ 𝑥 3 ⊕ 𝑏 ⊙ 𝑥 2 ⊕ 𝑐 ⊙ 𝑥 ⊕ 𝑑.
Напомним, что 𝑝𝑡 (𝑥) есть максимум четырех линейных функций
𝑦 = 3𝑥 + 𝑎, 𝑦 = 2𝑥 + 𝑏, 𝑦 = 𝑐 + 𝑥, 𝑦 = 𝑑.
График этого многочлена изображен на рисунке 1.
Рисунок 1: График тропического кубического многочлена одной переменной.
Определение 3. Тропической гиперповерхностью 𝑉 (𝑝𝑡) называется множество всех точек 𝑥 ∈ R𝑛, в которых максимум достигается одновременно не
менее, чем на двух линейных функциях, задающих тропическую функцию
𝑝𝑡 (𝑥).
Иными словами, точка 𝑥 ∈ 𝑅𝑛 принадлежит 𝑉(𝑝𝑡 ) тогда и только тогда, когда 𝑝 не линейна в этой точке. Рассмотрим теперь случай 𝑛 = 2. Тропический
полином в этом случае будет иметь вид:
𝑝
𝑝(𝑥, 𝑦) = ⨁ ∑𝑘=1 𝑎𝑖𝑗 ⊙ 𝑥 ⊙ 𝑖 𝑘 ⊙ 𝑦 ⊙ 𝑗𝑘 .
(1)
Соответствующая многочлену (1) тропическая гиперповерхность называется
плоской тропической кривой. Следующее предложение определяет характерные особенности такой тропической кривой.
Предложение 1. Кривая 𝑉(𝑝𝑡 ) — это конечный граф, который вложен в
плоскость 𝑅2 . Он имеет ограниченные и неограниченные грани, углы наклона всех граней рациональные.
Пусть 𝑝𝑡 — произвольный тропический многочлен от 𝑥 и 𝑦, рассмотрим все
слагаемые 𝑎𝑖𝑗 ⊙ 𝑥 ⊙𝑖 ⊙ 𝑦 ⊙𝑗 содержащиеся в 𝑝𝑡 . В классической арифметике
каждое слагаемое представляет линейную функцию от 𝑥 и 𝑦 𝑎𝑖𝑗 + 𝑖𝑥 + 𝑗𝑦,
тропическая функция 𝑝𝑡 ∶ 𝑅2 → 𝑅 данной точке ставит в соответствие максимум этих линейных функций.
Заметим, что приведенный выше способ построения кривой достаточно трудоемкий. Часто встречаются системы с пустым множеством решений.
Для 𝑛 = 2 существует более рациональный способ построения графика, основанный на подразбиении многоугольника Ньютона, описанный в [11].
1.4
Построение тропической кривой по подразбиению многоугольника Ньютона
Определение 4. Многоугольником Ньютона Δ𝑝 тропического многочлена
𝑝𝑡 (𝑥, 𝑦) называется выпуклая оболочка всех показателей (𝑖, 𝑗) мономов
𝑥 𝑖 𝑦 𝑗 входящих в 𝑝𝑡 (𝑥, 𝑦).
Поставим в соответствие каждому члену 𝑎𝑖𝑗 ⊙ 𝑥 𝑖 𝑦 𝑗 из 𝑝𝑡 (𝑥, 𝑦) в соответствие точку (𝑖, 𝑗, 𝑎𝑖𝑗 ) в 𝑅 3 . Построим выпуклую оболочку всех точек (𝑖, 𝑗, 𝑎𝑖𝑗 )
и рассмотрим проекцию: 𝜋 ∶ 𝑅3 → 𝑅2 ∶ (𝑖, 𝑗, 𝑎𝑖𝑗 ) → (𝑖, 𝑗).
Эта проекция и есть многоугольник Ньютона вместе с его подразбиением Δ𝑝.
Теорема 1. Тропическая кривая 𝑉 (𝑝𝑡 ) двойственна подразбиению многоугольника Ньютона Δ𝑝, а именно лучи кривой ортогональны сторонам многоугольника, а внутренние отрезки кривой, отрезкам подразбиения многоугольника Ньютона.
Пример 1. Полином первой степени 𝑝_𝑡 (𝑥, 𝑦) = 𝐴 ⊙ 𝑥 ⊕ 𝐵 ⊙ 𝑦 ⊕ 𝐶, его
многоугольник Ньютона не имеет подразбиений. (См. рис. 2).
Рисунок 2: Подразбиение Δ𝑝, кривая 𝑉(𝑝𝑡 ) и график для 𝑝𝑡 (𝑥, 𝑦) = 𝐴 ⊙
𝑥 ⊕ 𝐵 ⊙ 𝑦 ⊕ 𝐶
Подразбиение возможно, когда Δ𝑝 содержит целые точки, отличные от вершин.
2. Амебы комплексных алгебраических гиперповерхностей и их
спайны
2.1
Структура амебы комплексной алгебраической поверхности
Рассмотрим полином Лорана
𝛼
𝛼
𝑓(𝑧) = 𝛴𝛼∈𝐴 𝑐𝛼 𝑧 𝛼 = 𝛴𝑐𝛼1...𝛼т 𝑧1 1 · . . .· 𝑧𝑛 𝑛
(2)
где 𝑐𝛼 ≠ 0, для 𝛼 ∈ 𝐴 ⊂ 𝑍 𝑛 , причем 𝐴 — конечное множество.
Определение 5. Амеба 𝐴𝑓 — это образ комплексной алгебраической гиперповерхности при логарифмическом отображении
𝐿𝑜𝑔 ∶ 𝑇 𝑛 → 𝑅, (𝑧1 , . . . , 𝑧𝑛 ) → (𝑙𝑜𝑔 |𝑧1 |, . . . , 𝑙𝑜𝑔 |𝑧𝑛 |).
Термин амеба был предложен Гельфандом, Капрановым и Зелевинским в их
монографии «Дискриминанты, результанты и многомерные детерминанты»[1]. Примеры амеб в 𝑅𝑛 изображены на рисунке 3. Для 𝑛 = 2 полином (2)
𝑗
будет иметь вид 𝑓(𝑧) = 𝛴𝑖,𝑗 𝑐𝑖𝑗 𝑧1𝑖 𝑧2 .
Множество нулей 𝑓(𝑧) в 𝑇 2 в этом случае называется кривой в 𝑇 2 .
Отметим, что множество 𝑉 замкнуто, а 𝐿𝑜𝑔 является собственным отображением, поскольку прообразом каждой точки амебы является компактное множество — тор.
Рисунок 3: Примеры амеб комплексных кривых в 𝑅2
Пусть 𝐸 — связная компонента дополнения 𝑅 𝑛 /𝒜𝑓 .
Определение 6. Конус рецессии выпуклого множества 𝐸 — это наибольший
конус, который можно поместить в 𝐸 некоторым сдвигом.
Определение 7. Двойственным конусом для 𝑣 ∈ 𝑅𝑛 ∩ 𝛥𝑓 называется множество 𝑐𝑣𝜈 = {𝑠 ∈ 𝑅𝑛 ∶< 𝑠, 𝑣 >= max < 𝑠, 𝛼 >}.
𝛼∈𝛥𝑓
Связь между комбинаторикой многогранника Ньютона Δ𝑓 полинома Лорана
𝑓 и структурой дополнения 𝑅𝑛/𝒜𝑓 , амебы этого полинома описана в статье
[2]. Ключевой является следующая
Теорема 2. О структуре амебы [2].
Пусть 𝑉 = {𝑓(𝑧) = 0} — гиперповерхность. Тогда на множестве компоненте
связности дополнения 𝑅𝑛/𝒜𝑓 существует инъективная функция порядка
𝜈 ∶ {𝐸} → 𝑍𝑛 ∩ 𝛥𝑓
такая, что двойственный конус 𝐶𝑣𝑣 (𝐸) к многограннику Ньютона есть конус
рецессии компоненты 𝐸. Целочисленный вектор 𝜈(𝐸) называется порядком
компоненты 𝐸.
Согласно этой теореме, существует взаимно-однозначное соответствие между связными компонентами 𝐸𝜈 дополнения к 𝒜𝑓 и целочисленными векторами 𝜈 ∈ 𝛥𝑓 . В общем случае имеет место
Следствие 1. Число компонент 𝑅𝑛/𝒜𝑓 не меньше числа вершин Δ𝑓 и не
больше числа целых точек Δ𝑓 : #𝑣𝑒𝑟𝑡𝛥𝑓 ≤ #{𝐸} ≤ #{𝑅𝑛 ∩ 𝛥𝑓}.
Таким образом, многогранник Ньютона Δ𝑓 в некоторой мере отражает структуру амебы 𝒜𝑓 гиперповерхности, определяемой нулями 𝑓 в торе 𝑇 𝑛 .
Инструментом, позволяющим понять, какие конкретно компоненты дополнения присутствуют у 𝒜𝑓 для данного фиксированного 𝑓, является функция
Йенссена-Ронкина и тесно связанное с ней понятие спайна амебы.
2.2 Спайн амебы и его связь с тропической гиперповерхностью
С каждой амебой 𝒜𝑓 ассоциируются две вещественные гиперповерхности,
лежащие в 𝒜𝑓 , называющиеся спайн амебы и контур амебы. В нашей работе
нас будет интересовать только спайн амебы.
Пусть 𝐴′ ⊂ 𝑅𝑛 ∩ 𝛥𝑓 состоит из таких векторов 𝛼, для которых амеба 𝒜𝑓
определяется полиномом (2), имеет компоненты дополнения 𝐸𝛼 порядка 𝛼.
Заметим, что согласно Лемме 1, множество 𝐴′ обязательно содержит все
вершины многогранника Ньютона Δ𝑓 .
𝑁𝑓 (𝑥) =
1
2𝜋𝑖 𝑛
∫𝐿𝑜𝑔−1(𝑥) log |𝑓(𝑧)𝑧𝛼 |
𝑑𝑧1 ∧ ...∧𝑑𝑧𝑛
𝑧1 · ...· 𝑧𝑛
, где 𝑥 ∈ 𝐸𝛼 .
Если 𝛼 — вершина многогранника Ньютона Δ𝑓 , то
𝑎𝛼 = 𝑙𝑜𝑔 |𝑐𝛼 |,
(3)
но в общем случае 𝑎𝛼 сложным образом зависит от коэффициентов {𝑐𝛼 } полинома 𝑓.
Рассмотрим кусочно-линейную функцию 𝑆𝑓 ∶ 𝑅𝑛 → 𝑅, действующую по правилу
𝑆𝑓 (𝑥) = max′ {< 𝛼, 𝑥 > +𝑎𝛼 }
𝛼∈𝐴
(4)
где 𝑎𝛼 находятся по формулам (3) и (4).
Определение 8. Множество точек 𝑥 ∈ 𝑅𝑛 , в которых 𝑆𝑓 (𝑥) негладкая, называется спайном амебы 𝒜𝑓 .
Поскольку 𝑆𝑓 (𝑥) — кусочно-линейная функция, определение 2.5, эквивалентно тому, максимум в 2.4 достигается одновременно хотя бы для двух
функций {< 𝛼, 𝑥 > +𝑎𝛼 }.
Теорема 3. Спайн амебы 𝒜𝑓 есть ее строгий деформационный ретракт.
Поскольку многочлен, определяющий спайн амебы 𝒜𝑓 задается как максимум линейных функций, с целыми коэффициентами, согласно Утверждению
1, он представляет собой тропический полином 𝑆𝑓 (𝑥) = ⨁
𝛼∈𝐴′
𝑎𝛼 ⊙ 𝑥 ⊙𝛼 .
Поэтому спайн амебы можно интерпретировать как тропическую гиперповерхность и использовать для его исследования и построения все средства
тропической алгебраической геометрии.
Так в случае 𝑛 = 2 спайн амебы есть тропическая кривая в 𝑅2 , состоящая из
лучей и отрезков прямых. Предсказать форму этой кривой возможно, владея
информацией о подразбиении многоугольника Ньютона. Однако для это
необходимо знать коэффициенты 𝑎𝛼 тропического полинома 𝑆𝑓 (𝑥), в общем
случае связанного с коэффициентами исходного полинома Лoрана 𝑓 соотношениями (2). Вычисление этих коэффициентов представляет собой достаточно сложную задачу.
Остановимся подробнее на природе коэффициентов 𝑎𝛼 тропического полинома 𝑆𝑓 . Для этого рассмотрим сначала функцию Йенссена-Ронкина
𝑁𝑓 (𝑥) =
1
(2𝜋𝑖)𝑛
∫𝐿𝑜𝑔−1(𝑥) 𝑙𝑜𝑔 |𝑓(𝑧)
𝑑𝑧
𝑧
|,
(5)
где 𝑓(𝑧) — полином Лорана 2.1; 𝑥 ∈ 𝑅𝑛 .
Теорема 4. Ронкин,Форсберг, Пассаре, Цих [2]
Функция Йенсена-Ронкина выпуклая, линейная на каждой связной компоненте 𝐸 ⊂ 𝑅𝑛 /𝒜𝑓 = 𝒜𝑓 и 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑁𝑓 (𝑥)|𝐸 = 𝜈(𝐸) - порядку компоненты 𝐸.
Пусть 𝐸 = 𝐸𝛼 — связная компонента порядка 𝛼 дополнения к амебе 𝒜𝑓
Определение 9. Если 𝐸𝛼 = 𝐸𝛼 (𝑓) ≠ ∅, то
𝛷𝛼 (𝑓) = ∫
𝑙𝑜𝑔 |
𝐿𝑜𝑔−1 (𝑥)
𝑓(𝑧) 𝑑𝑧
|
𝑧𝛼 𝑧
Эта функция зависит от коэффициентов полинома 𝑓(𝑧), определяющего амебу 𝒜𝑓 . Важность 𝛷𝛼 (𝑓) состоит в том, что для 𝑁𝑓 (𝑥) справедлива формула
𝑁𝑓 (𝑥)|𝐸𝛼 =< 𝛼, 𝑥 > +𝑅𝑒𝛷𝛼 (𝑓). Заметим, что
𝑆𝑓 (𝑥)– max′ {𝑁𝑓 (𝑥)|𝐸𝛼} = max′ {< 𝛼, 𝑥 > +𝑅𝑒𝛷𝛼 (𝑓)}
𝛼∈𝐴
𝛼∈𝐴
Таким образом, коэффициенты 𝑎𝛼 полинома 𝑆𝑓 , определяющего спайн,
находятся как 𝑅𝑒𝛷𝛼 (𝑓).
Пример 3. Классическим и самым простым примером является амеба комплексной прямой, определяемая нулями полинома 𝑓(𝑧) = 𝑎𝑧 + 𝑏𝑤 + 𝑐.
Многоугольник Ньютона Δ𝑓 в этом случае не содержит иных целых точек,
кроме вершин (это треугольник с вершинами (0, 0), (0, 1), (1,0)), поэтому, согласно Следствию 1, у 𝒜𝑓 будет всего 3 компоненты дополнения
𝐸00 , 𝐸10 , 𝐸01 . Из соображения тропической геометрии спайн амебы —
трехрожник.
Пример 4. Пусть 𝑓(𝑧) = 1 + 𝑧 + 𝑤 +
𝑧2
6
+
𝑤2
6
. Кривая 𝑉 = {𝑓(𝑧) = 0}, ее
амеба и спайн рассматривались в статье [9]. Полином 𝑆𝑓 для этого случая будет иметь вид:
𝑆𝑓 = 𝑚𝑎𝑥{0; 𝑎(1,0) + 𝑥1 ; 𝑎(0,1) + 𝑥2 ; −𝑙𝑛 6 + 2𝑥1 ; −𝑙𝑛 6 + 2𝑥2 },
где 𝑎(1,0) = 𝑎(0,1) = 𝑙𝑛(3 − √3). Амеба кривой и ее спайн изображены
на рисунке 5.
Рисунок 5: Δ𝑓 , амеба и спайн кривой, определяемой полиномом 𝑓(𝑧) = 1 +
𝑧+𝑤+
𝑧2
6
+
𝑤2
6
3. Асимптоты амебы комплексной кривой и ее спайн
3.1
Метод нахождения асимптот амебы комплексной кривой
Как уже отмечалось в п.2.2. части 2, спайн амебы является, с одной стороны,
ее строгим деформационным ретрактом, с другой стороны — это тропическая кривая со всеми присущими ей свойствами. Однако этой информации
недостаточно, чтобы точно найти асимптоты амебы 𝒜𝑓 .
Опишем метод нахождения асимптот 𝒜𝑓 как образов асимптотических линий
к кривой 𝑉 = {𝑧 ∈ 𝑇 2 ∶ 𝑓(𝑧) = 0} при отображении
𝐿𝑜𝑔 ∶ (𝑧1 , 𝑧2 ) → (𝑙𝑜𝑔 |𝑧1 |, 𝑙𝑜𝑔 |𝑧2 |)
Определение 10. Опорной функцией полинома Лорана 𝑓 вида 2.1 называется
функция 𝐻Δ𝑓 (𝑎) на двойственном пространстве, определенная формулой
𝐻𝛥𝑓 (𝑎) ∶= max{< 𝑥, 𝑎 >}, где < 𝑥, 𝑎 >= 𝑥1 𝑎1 + . . . + 𝑥𝑛 𝑎𝑛 .
𝑥∈𝛥𝑓
Определение 11. Срезкой 𝑓𝑎 (𝑧) полинома Лорана 𝑓(𝑧) = ∑𝛼∈𝐴 𝑐𝛼 𝑧 𝛼
в направлении вектора 𝑎 ∈ 𝑅∗𝑛 называется сумма 𝑓(𝑧) = ∑𝛼∈𝛥𝑎 𝑐𝛼 𝑧 𝛼
где Δ𝑎 — опорная грань Δ𝑓 в направлении вектора 𝑎 (т.е. грань многогранника, на которой < 𝑥, 𝑎 >= 𝐻𝛥𝑓 (𝑎)).
Определение 12. Кривая 𝐺 ⊂ 𝑇 𝑛 , определенная как
𝐺 = {𝑧 = 𝑏 · 𝑡 𝛼 = (𝑏1 𝑡 𝛼1 , . . . , 𝑏𝑛 · 𝑡 𝛼𝑛 )}, 𝑎 ∈ 𝑅𝑛 , 𝑡 ∈ 𝑇 𝑛
где вектор 𝑏𝑡 𝑎 = (𝑏1 𝑡 𝛼1 , . . . , 𝑏𝑛 · 𝑡 𝛼𝑛 ), называется мономиальной или однопарметрической кривой.
Определение 13. Однопараметрическая 𝜗 является асимптотической линией
для 𝑉 = {𝑧 ∈ 𝑇𝑛 ∶ 𝑓(𝑧) = 0}, если при 𝑡 → ∞ главный член
многочлена 𝑓(𝑏𝑡 𝑎 ) обращается в нуль в пределе.
Теорема 6. Однопараметрическая кривая 𝐺 является асимптотической линией для кривой
𝑉 = {𝑧 ∈ 𝑇𝑛 ∶ 𝑓(𝑧) = 0},
если при 𝑡 → ∞ главный член многочлена 𝑓(𝑏𝑡 𝑎 ) обращается в нуль в пределе.
Теорема 6 дает способ нахождения уравнений асимптотических линий к кривой 𝑉 = {𝑓(𝑧) = 0}. В целом метод нахождения асимптот 𝒜𝑓заключается в
следующем:
1) Находятся вектора 𝑎, являющиеся нормалями к сторонам Δ𝑓 ;
2) Находится срезка 𝑓𝑎 (𝑧) полинома 𝑓(𝑧) в направлении вектора 𝑎;
3) Находятся уравнения асимптотических линий к 𝑉 из равенства 𝑓𝑎 (𝑏) = 0;
4) Находятся образы полученных линий при отображении 𝐿𝑜𝑔.
Полученные прямые и будут являться асимптотами амебы 𝒜𝑓 , причем лучи
спайна амебы 𝒜𝑓 будут лежать на этих асимптотах.
3.2
Солидность амебы минимального полинома
Определение 14. Амебы 𝒜𝑓 называется солидной, если число связных компонент дополнения {𝐸} дополнения 𝑅𝑛 /𝒜𝑓 минимально.
Определение 15. Полином (2) называется минимальным (максимально разреженным), если 𝑐𝛼 ≠ 0 только для 𝛼 = (𝛼1 , . . . , 𝛼𝑛 ), соответствующих вершинам многогранника Ньютона Δ𝑓 .
В статье М. Пассаре и Г. Рульгардта [8], а затем в статье М. Пассаре и А.К.
Циха [9] был поставлен вопрос: любой ли минимальный полином имеет солидную амебу? В 2008 г. М. Ниссе была предпринята попытка доказать гипотезу о том, что амеба любого минимального полинома солидна.
Покажем, что это утверждение верно для 𝑛 = 2 и случая, когда многоугольник Δ𝑓 не имеет внутренних точек. Более точно справедлива следующая
Теорема 7. Пусть 𝑉 = {𝑓(𝑧1 , 𝑧2 ) = 0, 𝑧 ∈ 𝑇 𝑛 } определяется минимальным
полиномом, многоугольник Ньютона которого не содержит внутренних точек. Тогда амеба 𝒜𝑓 кривой 𝑉 солидна.
3.3
Спайн амебы кривой второго порядка с максимально открытыми компонентами
В некоторых задачах возникает необходимость рассматривать амебы, которые имеют максимальное число связных компонент в дополнении (см.,
например, [18]) Мы ограничимся рассмотрением случая 𝑛 = 2 и кривой
𝑓(𝑧1, 𝑧2) = 𝐴𝑧12 + 𝐵𝑧22 + 𝐶𝑧1 𝑧2 + 𝐷𝑧1 + 𝐸𝑧2 + 𝐹.
(6)
Если у амебы 𝒜𝑓 , определяемой полиномом (6) открыты все компоненты дополнения 𝐸𝛼 , то она имеет вид, изображенный на рисунке 6
Рисунок 6: Δ𝑓 , амеба и спайн 𝑆𝐴𝑓 кривой, определяемой полиномом
𝑓(𝑧1, 𝑧2) = 𝐴𝑧12 + 𝐵𝑧22 + 𝐶𝑧1 𝑧2 + 𝐷𝑧1 + 𝐸𝑧2 + 𝐹
(3.4).
Теорема 8. Пусть 𝑓(𝑧1, 𝑧2) имеет вид 3.4 где 𝐴,𝐵,𝐶,𝐷,𝐸, 𝐹 — комплексные
числа, причем 𝐴, 𝐵, 𝐹 не равны нулю. Тогда тропический полином 𝑆𝑓 , определяющий спайн амебы, имеет вид:
𝑆𝐴𝑓 = 𝑚𝑎𝑥{𝑙𝑛 |𝐴| + 2𝑥, 𝑙𝑛 |𝐵| + 2𝑦, 𝑓, 𝑥 + 𝛽1, 𝑦 + 𝛽2, 𝑥 + 𝑦 + 𝛽3}
где 𝛽1 = ln | √𝐷2
2𝐴𝐹
−4𝐴𝐹−𝐷
|; 𝛽2 = ln | √𝐸2
2𝐵𝐹
−4𝐵𝐹−𝐸
|; 𝛽3 = ln |
4𝐴𝐵𝐹
(√𝐷 2 −4𝐴𝐹−𝐷)(√𝐸 2 −4𝐵𝐹−𝐸)
|.
При этом, если срезки 𝑓𝑎 (𝑧) в направлении всех векторов 𝑎 нормали к сторонам 𝛥𝑎 многоугольника Ньютона Δ𝑓 не имеют равных по модулю корней, то
#{𝐸𝛼} = #{𝛥𝑓 ∩ 𝑍2}.
Список литературы:
1. Gelfand, I.M. Discriminants, resultants and multidimensional determinants/I.M. Gelfand, M.M. Kapranov, A.V. Zelevinski. - Boston: Birkhauser
Boston 1994.
2. Forsberg, M. Laurent determinants and arrangements of hyperplane amoebas
/ M. Forsberg, M. Passare, A. Tsikh // Adv.in Math. - V.151 — 2000 – C.5470.
3. Forsberg, M. Multiple Laurent series and polynomial amoebas/ M.
Forsberg,H. Rulg˚ard//Actes des rencontres d’analyse complex, Atlantique,.Editions de l’actualit.e scientifique, Pointon-Charentes 2001. - C. 123130.
4. Maclagan, D. Introduction to Tropical Geometry/ Diane Maclagan, Bernd
Sturmfels;под общей редакцией D. Maclagan. Warwik.: Uniersity of
Warwick - 2009. - C. 202.
5. Maeda, T Amoebas and instantons / T. Maeda, T. Nakatsu //Архив электронных препринтов - http://arxiv.org/math.ph/0601233 v.3,2000.
6. Michalkin, G. Real algebraic curves, moment map and amoebas/G.
Michalkin// Ann. of Math 151 - 2000 - C.309-326.
7. Nisse, M. Maximally sparse polynomials have solid amoebas// M.
Nisse//Архив
электронных
препринтов
http://arXiv.org/math.AG/0704.2216v2,2008.
8. Passare M. Amoebas, Monge-Ampere measures and triangulation of the
Newton Polytope/ M.Passare, H. Rullg˚ard// Duke Math. 121 - 2004 - C.
481 – 507.
9. Passare, M. Amoebas: their spines and their contours./M. Passare, A.
Tsikh// Contemporary Math.- Vol. 377 - 2005 - C. 275-288.
10. Richter-Gebert, J. First steps in tropical geometry/ J. Richter-Gebert , B.
Strumfels, T. Theobald// Idempotent mathematics mathematical physics,
Contemp.Math, 377. - 2005. - C. 289-317.
11. Speyer, D. Tropical mathematics/D. Speyer, B. Sturmfels//Архив электронных препринтов - http:// arXiv:math.CO/0408099, 2004
12. Theobald, T. Computing amoebas/ T. Theobald Experimental Math. №11 2002 - C. 513-526.
13. Viro, O Dequantization of real algebraic geometry on a logarithmic paper
/O. Viro// Proceedings of the European Congress of Mathematicians, 2000.
14. Viro, O What is an amoeba?/O. Viro// Notices Amerc. Math. Soc. №49 2002
15. Знаменская, О.В. Классические и неархимедовы амебы в вопросах
расширения полей/ O.B. Знаменская// //Архив электронных препринтов - http.//arXiv.org/math.RA./0709.4119v1 - 2007. - C. 88-91.
16. Знаменская, О.В.Тропическая алгебраическая геометрия.Лучшие лекции 2006 года / O.B. Знаменская,A.K.Цих - Красноярск: Издательство
Красноярского краевого фонда науки, 2007.
17. Лактионов, С.А. Построение графиков в пакете Maple /С.А.Лактионов,
М.И.Журавлева, С.Ф.Гаврикова; под общ. ред. C. А. Лактионов. - Новокузнецк, СибГИУ, 2012. - C. 40
18. Лейнартас, Е.K Многомерные версии теоремы Пуанкаре для разностных уравнений/Е.K. Лейнартас, М. Пассаре, А.К. Цих// Матем. cборник 199 №10,2008. - С. 88-104.
19. Шабат, Б.В. Введение в комплексный анализ/ Шабат Б.В. М.: Наука,
1985.- C. 464.