Вариант 1-4 - Школа 26 Иркутск

Пояснения
Ключ PDF-версия
Вариант 1 № 39410
1. B 1 № 287940. Укажите наименьшее из следующих чисел:
1)
Ответы
2)
3)
4)
Решение.
Число больше 1. Числа 0,7;
сравнения дробей
меньше, чем 1. Сравним эти дроби:
и
Таким образом, верный ответ указан под номером 1.
2. A 1 № 53. На координатной прямой отмечены числа и :
Какое из следующих утверждений неверно?
1)
2)
3)
4)
Решение.
Заметим, что
и
— верно.
1)
— неверно.
2)
3)
4)
, и проверим все варианты ответа:
— верно, поскольку каждое слагаемое отрицательно.
— верно, поскольку
Неверным является утверждение 2.
Примечание.
,а
по правилу
Нетрудно заметить, что справедливы равенства:
и
3. A 2 № 137280. Найдите значение выражения
при
.
1) −125
2) 125
3)
4)
Решение.
Упростим выражение используя формулы
,
и
:
Подставим значение :
О т в е т : 2.
4. B 2 № 311350. Решите систему уравнений
Решение.
Решим систему методом подстановки:
Ответ:
5. B 3 № 112. Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые
их задают.
1)
2)
3)
4)
Ответ укажите в виде последовательности цифр без пробелов и запятых в указанном
порядке.
А Б В
Решение.
Определим вид графика каждой из функций:
1)
уравнение гиперболы.
уравнение параболы, ветви которой направленны вверх.
2)
3)
уравнение прямой.
4)
уравнение параболы, ветви которой направленны вниз.
Найдём для каждого графика функцию: A — 3, B — 1, C — 4.
О т в е т : 314.
6. B 4 № 35. Дана арифметическая прогрессия:
её членов.
Решение.
Найдите сумму первых десяти
Определим разность арифметической прогрессии:
Сумма первых k-ых членов может быть найдена по формуле
Необходимо найти
, имеем:
О т в е т : 50.
7. B 5 № 311467. Упростите выражение
ответе запишите полученное число.
Решение.
и найдите его значение при
Упростим выражение:
При
Ответ: 16.
, значение полученного выражения равно 16.
.В
8. A 3 № 311397. На каком рисунке изображено множество решений неравен-
ства
1)
2)
3)
4)
Решение.
Решим неравенство:
Множество решений неравенства изображено на рис. 4.
Правильный ответ указан под номером 4.
9. B 6 № 193.
Найдите угол АDС равнобедренной трапеции
ABCD, если диагональ АС образует с основанием ВС и боковой стороной АВ углы, равные
30° и 50° соответственно.
Решение.
Т. к. в треугольнике сумма всех углов равна 180°, то угол ABC равен 180° − 30° − 50° =
100°. В равнобедренной трапеции углы BAD и ABC — односторонние, значит, угол ADC
равен 180° − 100° = 80°.
О т в е т : 80.
10. B 7 № 311483.
Точки
и
делят окружность на две дуги,
длины которых относятся как 9 : 11. Найдите величину центрального угла, опирающегося
на меньшую из дуг. Ответ дайте в градусах.
Решение.
Дуги окружности относятся как 9 : 11, что в сумме дает 20 частей.
Длина меньшей дуги составляет
от всей окружности. Имеем:
.
Так как угол AOB-центральный, то он равен той дуге на которую он опирается. Таким образом,
.
11. B 8 № 311399. В треугольнике
угол
равен 90°,
. Найди-
те
.
Решение.
Так как треугольник ABC - прямоугольный, то
12. B 9 № 92.
изображённого на рисунке.
Решение.
. Имеем:
Найдите тангенс угла B треугольника ABC,
Тангенс угла в прямоугольном треугольнике — отношение противолежащего катета к
прилежащему:
О т в е т : 3,5.
13. B 10 № 311959. Укажите номера верных утверждений.
1) В любую равнобедренную трапецию можно вписать окружность.
2) Диагональ параллелограмма делит его углы пополам.
3) Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.
Если утверждений несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания.
Решение.
Утверждение (2) неверно: диагональ параллелограмма делит его углы пополам только в
том случае, когда параллелограмм является ромбом. Утверждение (1) неверно, так как не
в любую равнобедренную трапецию можно вписать окружность.
Утверждение (3) верно.
О т в е т : 3.
14. A 4 № 311423. На схеме зала кинотеатра отмечены разной штриховкой места с различной стоимостью билетов, а черным закрашены забронированные места на некоторый
сеанс.
Сколько рублей заплатят за 5 билетов на этот сеанс пятеро друзей, если они хотят сидеть
на одном ряду и выбирают самый дешевый вариант?
1) 1300
2) 1250
3) 1350
4) 1500
Решение.
Рядов, где есть 5 незанятых мест по 250 рублей, не осталось. Во втором ряду есть 4 места
по 250 рублей и одно за 300 рублей; стоимость билетов на эти места составит 250 · 4 + 300
= 1300 рублей.
Правильный ответ указан под номером 1.
15. B 11 № 42. На графике изображена зависимость атмосферного давления (в миллиметрах ртутного столба) от высоты над уровнем моря (в километрах). На какой высоте (в км)
летит воздушный шар, если барометр, находящийся в корзине шара, показывает давление
540 миллиметров ртутного столба?
Решение.
Из графика видно, что воздушный шар находится на высоте 2,5 км.
О т в е т : 2,5.
16. B 12 № 311917. На многопредметной олимпиаде всех участников получили дипломы,
остальных участников были награждены похвальными грамотами, а остальные 144 человека получили сертификаты об участии. Сколько человек участвовало в олимпиаде?
Решение.
Все участвовавшие в олимпиаде делятся на три группы: участники, получившие дипломы,
участники, получившие сертефикаты, участники, получившие похвальные грамоты. Известно что всех участников получили дипломы, следовательно, оставшаяся часть составила от общего числа участников. Из участников, получивших дипломы,
участников
были награждены похвальными грамотами, оставшиеся
ловека. Пусть x — общее число участников, тогда:
участников составили 144 че-
Тем самым, в олимпиаде участвовал 231 учащийся.
О т в е т : 231.
17. B 13 № 96.
От столба к дому натянут провод длиной 10 м,
который закреплён на стене дома на высоте 3 м от земли (см. рисунок). Вычислите высоту
столба, если расстояние от дома до столба равно 8 м.
Решение.
Искомую сторону обозначим за . Проведём отрезок, параллельный горизонтальной прямой, как показано на рисунке;
— катет получившегося
прямоугольного треугольника. По теореме Пифагора, катет ищется следующим образом:
Найдём искомую сторону:
О т в е т : 9.
18. B 14 № 311906. В математические кружки города ходят школьники 5–8 классов. Распределение участников математических кружков представлено в круговой диаграмме.
Какое утверждение относительно участников кружков верно, если всего их посещают 354
школьника?
1) в кружки не ходят пятиклассники
2) восьмиклассников ходит больше, чем семиклассников
3) больше половины участников кружков учатся не в седьмом классе
4) шестиклассников меньше 88 человек
Решение.
Проанализируем каждое утверждение.
Утверждение 1) неверно: пятиклассники занимаются в кружках.
Утверждение 2) не верно: семиклассников больше, чем восьмиклассников.
Утверждение 3) верно: семиклассников меньше половины всех учащихся, значит, не семиклассников больше половины всех учащихся.
Утверждение 4) неверно. Шестиклассников больше четверти всех учащихся, т. е. больше
354 : 4 = 88,5 человек.
Таким образом, верно третье утверждение.
19. B 15 № 132746. В среднем на 50 карманных фонариков приходится два неисправных.
Найдите вероятность купить работающий фонарик.
В ответе укажите результат, округленный до сотых.
Решение.
На каждые 50 карманных фонариков приходится 2 неисправных, всего их 52. Вероятность
купить исправный фонарик будет равна доле исправных фонариков на каждые 52 фонарика, то есть
О т в е т : 0,96.
20. B 16 № 311542. Чтобы перевести значение температуры по шкале Цельсия (t °C) в
шкалу Фаренгейта ( °F) пользуются формулой
, где — градусы Цельсия,
— градусы Фаренгейта. Какая температура (в градусах) по шкале Фаренгейта соответствует 20° по шкале Цельсия?
Решение.
Подставим значение температуры в формулу :
О т в е т : 68.
21. C 1 № 311256. Решите неравенство
Решение.
Первая скобка отрицательна в силу цепочки неравенств
При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.
Имеем:
Ответ:
22. C 2 № 311660. Пристани и расположены на реке, скорость течения которой на этом
участке равна 4 км/ч. Лодка проходит от до и обратно без остановок со средней скоростью 6 км/ч. Найдите собственную скорость лодки.
Решение.
Пусть км/ч — собственная скорость лодки. Тогда скорость движения по течению равна
км/ч, а скорость движения против течения равна
км/ч. Обозначаем расстояние
между пристанями. Время, затраченное на весь путь, равно
.
По условию средняя скорость равна 6 км/ч, а весь путь равен
. Следовательно,
Решим это уравнение:
Получаем:
или
лодки равна 8 км/ч.
. Корень −2 не является решением задачи. Значит, скорость
Ответ: 8 км/ч.
23. C 3 № 311547. Найдите наименьшее значение выражения и значения x и y, при которых оно достигается
Решение.
Сумма
принимает наименьшее значение, равное 0, только в
том случае, когда обе слагаемых одновременно равны 0. Получаем систему уравнений
Решим её:
Ответ: 0; (-2;1).
24. C 4 № 311651. В треугольнике
угол равен 56°, угол равен 64°,
дите радиус описанной около этого треугольника окружности.
Решение.
. Най-
Угол
треугольника
равен
равен
= 180° −
−
= 60°. Радиус описанной окружности
.
Ответ: 3.
25. C 5 № 311258.
ны две равные хорды
и
жите, что
и
равны.
Решение.
В окружности с центром
. На эти хорды опущены перпендикуляры
и
проведе. Дока-
Проведем ОK, ON, ON, OM - радиусы. Треугольники KOL и MON равны по трем сторонам, тогда высоты OH и OS также равны как элементы равных треугольников. Что и требовалось доказать.
26. C 6 № 311713. В треугольнике
биссектриса угла делит высоту, проведённую из
вершины , в отношении
, считая от точки . Найдите радиус окружности, описанной около треугольника
, если
.
Решение.
проведённая из угла
треугольника
Обозначим
высоту, проведённую из вершины . Биссектриса,
, делит высоту в отношении, равному отношению
и
. Значит
, поэтому
окружности равен 13.
. По теореме синусов радиус описанной около
Ответ: 13.
Вариант 2
Пояснения
Ответы
Ключ PDF-версия
Вариант № 39411
1. B 1 № 311904. Запишите номера верных равенств.
Номера запишите в порядке возрастания без пробелов, запятых и других дополнительных
символов.
1)
2)
3)
Решение.
4)
Вычислим левую часть каждого равенства и сравним с правой частью:
Таким образом, правильный ответ указан под номерами 2 и 3.
Ответ: 23.
2. A 1 № 205772. О числах и известно, что
верно?
1)
2)
3)
4)
Решение.
. Какое из следующих неравенств не-
Проверим все варианты ответа:
1)
— верно,
2)
— верно,
3)
— верно,
4)
— неверно.
Неверным является неравенство 4.
3. A 2 № 137270. Расположите в порядке возрастания числа:
;
; 6.
1)
2)
3)
4)
Решение.
Возведём каждое из чисел в квадрат:
Сравним квадраты заданных чисел:
Следовательно,
Правильный ответ указан под номером 2.
4. B 2 № 189. Найдите корни уравнения
.
Если корней несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания.
Решение.
По теореме, обратной теореме Виета, сумма корней равна −3, а их произведение равно
−18.
Тем самым это числа −6 и 3.
О т в е т : -6; 3.
5. B 3 № 311328. Укажите соответствие между графиками функций и формулами, которые
их задают.
1)
2)
3)
4)
Ответ укажите в виде последовательности цифр без пробелов и запятых в указанном
порядке
А Б В
Решение.
Определим вид графика каждой из функций:
1)
в точке 1.
уравнение прямой, которая пересекает ось абсцисс в точке 0,75 ; ось ординат
2)
в точке 7.
уравнение прямой, которая пересекает ось абсцисс в точке −0,75 ; ось ординат
3)
уравнение степенной функции с положительным дробным показателем. В
точке 1 значение функции равно 0.
4)
уравнение параболы, которая пересекает ось абсцисс в точках 0 и -5.
Таким образом, искомое соответствие: A — 2, Б — 4, В — 3.
Ответ: 243.
6.@@@ B 4 № 311353. Геометрическая прогрессия
члена
Решение.
задана формулой
- го
. Укажите четвертый член этой прогрессии.
По формуле n-го члена геометрической прогрессии имеем:
О т в е т : −54.
7. B 5 № 311450. Упростите выражение
при
Решение.
. В ответе запишите найденное значение.
Упростим выражение:
Найдем его значение при
:
и найдите его значение
Ответ: 6.
8. A 3 № 311417. Решите неравенство
1)
.
2)
3)
4)
Решение.
Решим неравенство:
Правильный ответ указан под номером 4.
9. B 6 № 132777. Сумма двух углов равнобедренной трапеции равна
ший угол трапеции. Ответ дайте в градусах.
Решение.
. Найдите мень-
Так как трапеция является равнобедренной, то углы при основании равны
трапеции параллельны, таким образом, так как сумма смежных углов равна
угол равен
. Основания
меньший
10. B 7 № 311386.
диаметры. Центральный угол
дайте в градусах.
Решение.
и
—
. Ответ
В окружности с центром
равен 112°. Найдите вписанный угол
Так как угол AOD - центральный, то по свойству центрального угла дуга
. Дуга
так как AC - диаметр, тогда дуга
. Угол DOC - центральный, таким образoм,
по свойству центрального угла. Углы AOB и COD равны
как вертикальные. Так как
является центральным, а
- вписанным и они опираются на одну дугу, то по свойству вписанного угла
.
11. B 8 № 169879. Одна из сторон параллелограмма равна 12, другая равна 5, а косинус
одного из углов равен
Решение.
. Найдите площадь параллелограмма.
Площадь параллелограмма равна произведению сторон на синус угла между ними. Cинус
угла найдем из основного тригонометрического тождества:
Таким образом,
О т в е т : 20.
12. B 9 № 311958.
На рисунке изображён прямоугольный треугольник. Найдите длину медианы треугольника, проведённую из вершины прямого угла.
Решение.
Введем обозначения как показано на рисунке и проведём медиану треугольника AH. В
прямоугольном треугольнике ABC длины катетов равны 3 и 4, поэтому гипотенуза равна
В прямоугольном треугольнике медиана равна половине гипотенузы,
т. е. 5 : 2 = 2,5.
О т в е т : 2,5.
13. B 10 № 169922. Какие из следующих утверждений верны?
1) Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду окружности, равны.
2) Если радиусы двух окружностей равны 5 и 7, а расстояние между их центрами равно 3,
то эти окружности не имеют общих точек.
3) Если радиус окружности равен 3, а расстояние от центра окружности до прямой равно
2, то эти прямая и окружность пересекаются.
4) Если вписанный угол равен
равна
.
, то дуга окружности, на которую опирается этот угол,
Если утверждений несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания.
Решение.
Проверим каждое из утверждений.
1) «Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду окружности, равны.» — неверно, вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу окружности, равны.
2) «Если радиусы двух окружностей равны 5 и 7, а расстояние между их центрами равно
3, то эти окружности не имеют общих точек.» — неверно, окружности имеют две общие
точки.
3) «Если радиус окружности равен 3, а расстояние от центра окружности до прямой равно
2, то эти прямая и окружность пересекаются.» — верно, если расстояние от центра окружности до прямой меньше
радиуса, то прямая и окружность имеют две общие точки.
4) «Если вписанный угол равен
, то дуга окружности, на которую опирается этот угол,
равна
.» — верно, вписанный угол измеряется половиной дуги,на которую он опирается.
14. A 4 № 311433. Студентка Цветкова выезжает из Наро-Фоминска в Москву на занятия в
университет. Занятия начинаются в 9:00. В таблице приведено расписание утренних электропоездов от станции Нара до Киевского вокзала в Москве.
Путь от вокзала
до университета занимает 45 минут. Укажите время отправления от станции Нара самого
позднего из электропоездов, которые подходят студентке.
1) 6:17
2) 6:29
3) 6:35
4) 7:05
Решение.
Студентка должна приехать в Москву на поезде в 08:15. Поэтому подходят поезда с отправлением: в 6:17, в 6:29 и в 6:35. Поезд с самым поздним отправлением отходит в 6:35.
Правильный ответ указан под номером 3.
15. B 11 № 311484. На рисунке показано, как изменялась температура воздуха на протяжении одних суток. По горизонтали указано время суток, по вертикали — значение температуры в градусах Цельсия. Найдите разность между наибольшим и наименьшим значением
температуры в первой половине этих суток. Ответ дайте в градусах Цельсия.
Решение.
По графику видно, что наибольшая температура была равна 16°С, а наименьшая 7°С.
Таким образом, разность температур равна: 16 − 7 = 9.
Ответ: 9.
16. B 12 № 137245. Сберегательный банк начисляет на срочный вклад 20% годовых.
Вкладчик положил на счет 800 р. Какая сумма будет на этом счете через год, если никаких
операций со счетом проводиться не будет?
Решение.
Через год вкладчик получит 20 % дохода, что составит
руб.
Таким образом, через год на счете будет:
руб.
О т в е т : 960.
17. B 13 № 132759. Какой угол (в градусах) описывает минутная стрелка за 10 мин?
Решение.
Циферблат разбит на 12 круговых сектора. Между минутной и часовой стрелкой входит 2
сектора. Имеем:
О т в е т : 60.
18. B 14 № 311916. На диаграмме показано количество SMS, присланных слушателями за
каждый час четырёхчасового эфира программы по заявкам на радио. Определите, на
сколько больше сообщений было прислано за последние два часа программы по сравнению с первыми двумя часами этой программы.
Решение.
Последние два часа программы — это 3-й и 4-й часы. За это время было прислано
25 + 40 = 65 сообщений. За первые два часа эфира слушатели прислали 20 + 30 = 50 сооб-
щений. Таким образом, за последние два часа программы было прислано на 65 − 50 = 15
сообщений больше, чем за первые два часа.
О т в е т : 15.
19. B 15 № 132740. У бабушки 20 чашек: 5 с красными цветами, остальные с синими. Бабушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность того, что это
будет чашка с синими цветами.
Решение.
Вероятность того, что чай нальют в чашку с синими цветами равна отношению количества чашек с синими цветами к общему количеству чашек. Всего чашек с синими цветами:
Поэтому искомая вероятность
О т в е т : 0,75.
20. B 16 № 311691. Период колебания математического маятника (в секундах) приближенно можно вычислить по формуле
, где — длина нити (в метрах). Пользуясь
этой формулой, найдите длину нити маятника (в метрах), период колебаний которого составляет 3 секунды.
Решение.
Подставим в формулу значение :
О т в е т : 2,25.
21. C 1 № 311255. Упростите выражение
Решение.
Имеем:
Ответ:
22. C 2 № 311659. Пристани и расположены на реке, скорость течения которой на этом
участке равна 3 км/ч. Лодка проходит туда и обратно без остановок со средней скоростью
8 км/ч. Найдите собственную скорость лодки.
Решение.
Пусть км/ч — собственная скорость лодки. Тогда скорость движения по течению равна
км/ч, а скорость движения против течения равна
км/ч. Обозначим расстояние
между пристанями. Время, затраченное на весь путь, равно
.
По условию средняя скорость равна 8 км/ч, а весь путь равен
. Следовательно,
.
Решим это уравнение:
Получаем:
или
лодки равна 9 км/ч.
. Корень −1 не является решением задачи. Значит, скорость
Ответ: 9 км/ч.
23. C 3 № 153. Постройте график функции
и определите, при каких значениях прямая
имеет с графиком ровно одну общую точку.
Решение.
При
имеем:
Поэтому график заданной функции представляет собой гиперболу, с выколотой точкой (0,5; -2). Прямая
будет иметь с графиком одну общую точку, если пройдёт через выколотую точку. Тогда
и уравнение прямой примет вид:
24. C 4 № 311249. Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 18, а периметр равен
56.
Найдите площадь трапеции.
Решение.
Трапеция равнобедренная, значит,
и
Тогда,
Ответ:
25. C 5 № 311573. В параллелограмме
что
подобен
Решение.
проведены высоты
и
. Докажите,
.
В треугольниках
и
имеем
как противоположные углы параллелограмма,
как прямые углы, значит треугольники подобны по первому признаку подобия треугольников.
26. C 6 № 130. Из вершины прямого угла C треугольника ABC проведена высота CP. Радиус окружности, вписанной в треугольник BCP, равен 8, тангенс угла BAC равен . Найдите радиус вписанной окружности треугольника ABC.
Решение.
Угол BAC равен углу BCP так как
и
. Так как тангенс это отношение противолежащего катета к прилежащему, имеем:
Тогда BP=4x, PC=3x, а гипотенуза BC=5x по теореме Пифагора. Площадь треугольника равна произведению половины его периметра на
радиус вписанной окружности, но площадь прямоугольного треугольника равна половине
произведения катетов, имеем:
Таким образом, BP=16, PC=12, а BC=20. Так как
реме Пифагора.
то AC=15, а AB=25 по тео-
В треугольнике ABC площадь равна произведению половины его периметра на радиус
вписанной в него окружности, но площадь прямоугольного треугольника равна половине
произведения катетов, имеем:
О т в е т : r=5
Вариант 3
Пояснения
Ответы
Ключ PDF-версия
Вариант № 39412
1. B 1 № 287945. Найдите значение выражения
Решение.
.
Умножим числитель и знаменатель на 10:
Ответ: 1,5.
2. A 1 № 311424. Одна из точек, отмеченных на координатной прямой, соответствует
числу
. Какая это точка?
1) M
2) N
3) P
4) Q
Решение.
Чтобы ответить на вопрос, возведём в квадрат числа
5, 6, 7:
Число 37 лежит между 36 и 49 и ближе всех находится к числу 36. Значит,
ствует точке P.
соответ-
Правильный ответ указан под номером 3.
3. A 2 № 137275. Какое из следующих выражений равно
?
1)
2)
3)
4)
Решение.
При делении степеней с одинаковыми основаниями их показатели вычитаются. Таким образом, правильный ответ под номером 1.
4. B 2 № 311443. Решите уравнение
Решение.
.
Последовательно получаем:
О т в е т : 2,5.
5. B 3 № 193087. График какой из приведенных ниже функций изображен на рисунке?
1)
2)
3)
4)
Решение.
Ветви изображённой на рисунке параболы направленны вверх, а абсцисса вершины отрицательна. Этим условиям соответствует вариант 3.
Графику соответствует вариант под номером 3.
6. @@@@B 4 № 137295. Последовательность задана формулой
следующих чисел не является членом этой последовательности?
1)
Решение.
2)
3)
4)
Рассмотрим несколько первых членов последовательности, начиная с
. Какое из
Тем самым, число
не является членом этой последовательности.
О т в е т : 3.
7. B 5 № 311758. Найдите значение выражения
Решение.
при
Упростим выражение:
Подставим в полученное выражение значение
Ответ: 1.
8. A 3 № 311312. Решите неравенство
1)
2)
3)
4)
Решение.
.
Решим данное неравенство:
. Произведение двух сомножителей будет больше нуля, если его
сомножители имеют одинаковый знак.
В данном случае это выполняется при следующих значениях :
1)
;
2)
;
Решением неравенства будет являться объединение этих промежутков:
, что соответствует первому варианту ответа.
Ответ: 1
9. B 6 № 311476. Углы, отмеченные на рисунке одной дугой, равны. Найдите угол
.
Ответ дайте в градусах.
Решение.
Углы 1 и 2 равны как вертикальные. Таким образом,
Ответ: 40.
10. B 7 № 142.
В окружности с центром в точке О проведены диаметры AD и BC, угол OCD равен 30°. Найдите величину угла OAB.
Решение.
Рассмотрим треугольники COD и AOB: они равны по двум сторонам и углу между ними.
Мало того, треугольники равнобедренные; значит, можно сделать вывод, что угол OCD и
OAB равны.
О т в е т : 30.
11. B 8 № 169873. Периметр ромба равен 24, а косинус одного из углов равен
дите площадь ромба.
Решение.
. Най-
Периметр ромба равен сумме длин всех его сторон. Так как все стороны равны, сторона
ромба равна 6. Площадь ромба равна произведению сторон на синус угла между ними.
Синус угла найдем из основного тригонометрического тождества:
Таким образом,
О т в е т : 12.
12. B 9 № 311491. Найдите тангенс угла
треугольника
, изображённого на рисун-
ке.
Решение.
Треугольник ABC - прямоугольный. Таким образом,
Ответ: 0,4.
13. B 10 № 119. Укажите номера верных утверждений.
1) Биссектриса равнобедренного треугольника, проведённая из вершины, противолежащей основанию, делит основание на две равные части.
2) В любом прямоугольнике диагонали взаимно перпендикулярны.
3) Для точки, лежащей на окружности, расстояние до центра окружности равно радиусу.
Если утверждений несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания.
Решение.
Проверим каждое из утверждений:
1) «Биссектриса равнобедренного треугольника, проведённая из вершины, противолежащей основанию, делит основание на две равные части» — верно, по свойству равнобедренного треугольника.
2) «В любом прямоугольнике диагонали взаимно перпендикулярны» — неверно, это
утверждение подходит исключительно для ромба, а не для прямоугольника.
3) «Для точки, лежащей на окружности, расстояние до центра окружности равно радиусу»
— верно, т. к. окружность — множество точек, равноудаленных от одной(центра окружности).
О т в е т : 1; 3.
14. A 4 № 311436. В таблице даны рекомендуемые суточные нормы потребления (в
г/сутки) жиров, белков и углеводов детьми от 1 года до 14 лет и взрослыми.
Какой вывод о суточном потреблении жиров женщиной можно сделать, если по
подсчётам диетолога в среднем за сутки она потребляет 55 г жиров?
1) Потребление в норме.
2) Потребление выше рекомендуемой нормы.
3) Потребление ниже рекомендуемой нормы.
4) В таблице недостаточно данных.
Решение.
Суточная норма жиров женщины лежит в пределах 60−102 г. Потребление 55 г жиров в
сутки ниже нормы.
Правильный ответ указан под номером 3.
15. B 11 № 172. На рисунке изображён график изменения атмосферного давления в городе
Энске за три дня. По горизонтали указаны дни недели и время, по вертикали — значения
атмосферного давления в миллиметрах ртутного столба. Укажите значение атмосферного
давления во вторник в 6 часов утра.
Решение.
Из графика видно, что значение давления во вторник в 6:00 равно 758 мм рт. ст.
О т в е т : 758.
16. B 12 № 199. Блюдце, которое стоило 40 рублей, продаётся с 10%-й скидкой. При покупке 10 таких блюдец покупатель отдал кассиру 500 рублей. Сколько рублей сдачи он
должен получить?
Решение.
Стоимость одного блюдца равна 40 − 0,1 · 40 = 36 руб. Десять таких блюдец стоят
36 · 10 = 360. Значит, сдача с 500 рублей составит 140 рублей.
О т в е т : 140.
17. B 13 № 311323.
Определите, сколько необходимо
закупить пленки
для гидроизоляции садовой дорожки, изображенной на рисунке,
если её ширина везде одинакова.
Решение.
Разделим фигуру,изображенную на картинке на 3 прямоугольника. Имеем:
Найдем площадь прямоугольника:
Найдем площадь второго прямоугольника:
Найдем площадь третьего прямоугольника:
Сложим все площади:
Таким образом, потребуется закупить
пленки.
18. B 14 № 311314. 156 учащимся восьмых классов некоторой школы была предложена
контрольная работа по алгебре из 5 заданий. По результатам составили таблицу, в которой
указали число учащихся, выполнивших одно, два три и т.д. заданий:
Сколько человек получили оценку выше «3», если критерии выставления оценок определялись по таблице?
Решение.
По таблице мы видим, что оценку выше «3» получают учащиеся, выполнившие более трех
заданий.
Таким образом оценку выше «3» получили 12+37=49 учащихся.
Ответ: 49.
19. B 15 № 311359. В денежно-вещевой лотерее на 100 000 билетов разыгрывается 1300
вещевых и 850 денежных выигрышей. Какова вероятность получить вещевой выигрыш?
Решение.
Вероятность получить вещевой выигрыш равна отношению количества вещевых выйграшей к общему количеству выйгрышей
20. B 16 № 311530. Площадь трапеции
можно вычислить по форму-
ле
, где
— основания трапеции, — высота (в метрах). Пользуясь этой
формулой, найдите высоту , если основания трапеции равны
и
, а её площадь
.
Решение.
Выразим высоту трапеции из формулы площади:
Подставляя, получаем:
О т в е т : 4.
Приведём другое решение.
Подставим в формулу известные значения величин:
21. C 1 № 311236. Разложите на множители:
.
Решение.
Имеем:
Ответ:
.
22. C 2 № 100. На пост главы администрации города претендовало три кандидата: Андреев, Борисов, Васильев. Во время выборов за Васильева было отдано в 1,5 раза больше голосов, чем за Андреева, а за Борисова — в 4 раза больше, чем за Андреева и Васильева
вместе. Сколько процентов голосов было отдано за победителя?
Решение.
Очевидно. что победителем на выборах окажется Борисов. Пусть количество голосов, отданных за Борисова, равно . Тогда за Андреева и Васильева вместе отдали . Процент
голосов, отданных за Борисова
.
О т в е т : 80.
23. C 3 № 311571. Постройте график функции
и найдите все значения ,
при которых прямая
имеет с графиком данной функции ровно одну общую точку.
Решение.
Найдём область определения функции:
Значит, функция определена при
Поскольку
принимает вид
и
.
.
, получаем, что на области определения функция
.
График изображён на рисунке.
мая
имеет с графиком данной функции ровно одну общую точку при
Ответ:
Пря.
.
24. C 4 № 180.
Прямая AD, перпендикулярная медиане ВМ
треугольника АВС, делит её пополам. Найдите сторону АС, если сторона АВ равна 4.
Решение.
Так как высота AD, проведенная к медиане BM делит ее пополам, то треугольник ABM
является равнобедренным, поэтому AB=AM=4. Так как BM- медиана, то AM=MC, таким
образом, AC=2AM=8.
О т в е т : AC=8.
25. C 5 № 311667. Три стороны параллелограмма равны. Докажите, что отрезок с концами
в серединах противоположных сторон параллелограмма равен четверти его периметра.
Решение.
В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому если равны три стороны,
то все стороны этого параллелограмма равны, значит, это ромб. Отрезок с концами в серединах противоположных сторон параллелограмма равен его стороне, значит, его длина
равна четверти периметра параллелограмма.
26. C 6 № 311664. Диагонали четырёхугольника
, вершины которого расположены
на окружности, пересекаются в точке . Известно, что
= 74°,
= 102°,
= 112°. Найдите
.
Решение.
Пусть
.
= 180° − 112° = 68°;
;
= 102° − x;
+ 102° − x = 68°; x =
= 74°;
+ 34°.
= x;
= 74° − x; 2x = 108°, x = 54°.
Ответ: 54°.
Вариант 4
Пояснения
Ответы
Ключ PDF-версия
4 Вариант № 39413
1. B 1 № 58. Найдите значение выражения
Решение.
Сократим:
О т в е т : 2,25.
2. A 1 № 311420. Какое из следующих чисел заключено между числами
1) 0,1
2) 0,2
3) 0,3
4) 0,4
Решение.
Заметим, что
0,2 лежит между ними.
а
и
?
Из предположенных вариантов ответа только число
Правильный указан под номером 2.
3. A 2 № 311750. Укажите наибольшее из следующих чисел:
1)
2)
3)
4)
Решение.
Чтобы ответить на вопрос, возведём в квадрат числа
Поскольку
число 5.
имеем:
Таким образом, наибольшее
Правильный ответ указан под номером 3.
4. B 2 № 311405. Найдите корни уравнения
.
Если корней несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания.
Решение.
Решим уравнение:
О т в е т : −0,2; 0,2.
5. B 3 № 193097. На одном из рисунков изображена парабола. Укажите номер этого рисунка.
1)
2)
3)
4)
Решение.
Парабола изображена на рисунке 1.
Правильный ответ указан под номером 1.
6. B 4 № 137305. Арифметическая прогрессия задана условиями:
Какое из данных чисел является членом этой прогрессии?
1) 80
Решение.
2) 56
3) 48
,
.
4) 32
Найдем разность арифметической прогрессии:
Зная разность и первый член арифметической прогрессии, решим уравнение относительно
, подставив данные в формулу для нахождения n-го члена:
Таким образом, число 48 является членом прогрессии. Правильный ответ указан под номером 3.
О т в е т : 3.
7. B 5 № 311453. Упростите выражение
и найдите его значение
при
. В ответе запишите найденное значение.
Решение.
Упростим выражение:
При
, значение полученного выражения равно 26:5 = 5,2.
Ответ: 5,2.
8. A 3 № 311397. На каком рисунке изображено множество решений неравен-
ства
1)
2)
3)
4)
Решение.
Решим неравенство:
Множество решений неравенства изображено на рис. 4.
Правильный ответ указан под номером 4.
9. B 6 № 311476. Углы, отмеченные на рисунке одной дугой, равны. Найдите угол
.
Ответ дайте в градусах.
Решение.
Углы 1 и 2 равны как вертикальные. Таким образом,
Ответ: 40.
10. B 7 № 311386.
диаметры. Центральный угол
дайте в градусах.
Решение.
В окружности с центром
равен 112°. Найдите вписанный угол
и
—
. Ответ
Так как угол AOD - центральный, то по свойству центрального угла дуга
. Дуга
так как AC - диаметр, тогда дуга
. Угол DOC - центральный, таким образoм,
по свойству центрального угла. Углы AOB и COD равны
как вертикальные. Так как
является центральным, а
- вписанным и они опира-
ются на одну дугу, то по свойству вписанного угла
11. B 8 № 311498. В треугольнике
угол
.
прямой,
. Найди-
те
.
Решение.
Треугольник ABC - прямоугольный. Таким образом,
Ответ: 20.
12. B 9 № 311344.
зуя рисунок, найдите
Решение.
Так как
На рисунке изображена трапеция
.
— прямоугольный треугольник, то
Вычислим по теореме Пифагора длину гипотенузы
:
. Исполь-
Тогда
Ответ: 0,8.
13. B 10 № 169922. Какие из следующих утверждений верны?
1) Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду окружности, равны.
2) Если радиусы двух окружностей равны 5 и 7, а расстояние между их центрами равно 3,
то эти окружности не имеют общих точек.
3) Если радиус окружности равен 3, а расстояние от центра окружности до прямой равно
2, то эти прямая и окружность пересекаются.
4) Если вписанный угол равен
равна
.
, то дуга окружности, на которую опирается этот угол,
Если утверждений несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания.
Решение.
Проверим каждое из утверждений.
1) «Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду окружности, равны.» — неверно, вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу окружности, равны.
2) «Если радиусы двух окружностей равны 5 и 7, а расстояние между их центрами равно
3, то эти окружности не имеют общих точек.» — неверно, окружности имеют две общие
точки.
3) «Если радиус окружности равен 3, а расстояние от центра окружности до прямой равно
2, то эти прямая и окружность пересекаются.» — верно, если расстояние от центра окружности до прямой меньше
радиуса, то прямая и окружность имеют две общие точки.
4) «Если вписанный угол равен
, то дуга окружности, на которую опирается этот угол,
равна
.» — верно, вписанный угол измеряется половиной дуги,на которую он опирается.
14. A 4 № 311435. В таблице даны рекомендуемые суточные нормы потребления (в
г/сутки) жиров, белков и углеводов детьми от 1 года до 14 лет и взрослыми.
Какой вывод о суточном потреблении жиров 10-летней девочкой можно сделать, если по
подсчётам диетолога в среднем за сутки она потребляет 102 г жиров?
1) Потребление в норме.
2) Потребление выше рекомендуемой нормы.
3) Потребление ниже рекомендуемой нормы.
4) В таблице недостаточно данных.
Решение.
Суточная норма жиров десятилетней девочки лежит в пределах 40−97 г. Потребление 102
г жиров в сутки превышает норму.
Правильный ответ указан под номером 2.
15. B 11 № 311389. На графике показан процесс разогрева двигателя легкового автомобиля. На оси абсцисс откладывается время в минутах, прошедшее от запуска двигателя, на
оси ординат — температура двигателя в градусах Цельсия. Определите по графику, сколь-
ко минут двигатель нагревался до температуры 50 °C с момента запуска двигателя.
Решение.
По графику видно, что двигатель нагревался до температуры 50 °C в течение трёх минут.
Ответ: 3.
16. B 12 № 137259. Товар на распродаже уценили на 20%, при этом он стал стоить 680 р.
Сколько рублей стоил товар до распродажи?
Решение.
Новая цена составляет 80 % от старой цены. Поэтому она составляла 680 : 0,8 = 850 руб.
Ответ: 850.
---------Дублирует задание 137246.
17. B 13 № 132755. В 60 м одна от другой растут две сосны. Высота одной 31 м, а другой –
6 м. Найдите расстояние (в метрах) между их верхушками.
Решение.
Две сосны образуют прямоугольную трапецию. Боковая сторона не перпендикулярная основаниям является расстоянием между верхушками. Найдем это расстояние по теореме
Пифагора:
О т в е т : 65.
18. B 14 № 57. На диаграмме представлено распределение количества пользователей некоторой социальной сети по странам мира. Всего в этой социальной сети 9 млн пользовате-
лей.
ний неверно?
Какое из следующих утвержде-
1) Пользователей из России больше, чем пользователей с Украины.
2) Пользователей из Белоруссии больше, чем пользователей из Швеции.
3) Больше трети пользователей сети — из Украины.
4) Пользователей из России больше 4 миллионов.
В ответ запишите номер этого утверждения.
Решение.
Проанализируем все утверждения.
1) Пользователей из России больше всех, тем самым, их больше чем пользователей из
Украины.
2) Сектор «Беларусь» занимает большую площадь диаграммы, чем сектор «Другие страны», а т. к. «Швеция» включена в «Другие страны» пользователей из Беларуси больше
чем пользователей из Швеции.
3) Сектор в треть диаграммы имеет угол 360° : 3 = 120°. Угол сектора «Украина» меньше
90°, следовательно, меньше трети пользователей сети из Украины.
4) Пользователей из России больше половины всех пользователей, значит, больше 9 : 2 =
4,5 млн, а значит, больше 4 миллионов.
О т в е т : 3.
19. B 15 № 311767. Стас, Денис, Костя, Маша, Дима бросили жребий — кому начинать
игру. Найдите вероятность того, что начинать игру должна будет девочка.
Решение.
Вероятность события равна отношению количества благоприятных случаев к количеству
всех случаев. Среди пяти детей одна девочка. Поэтому веротясноть равна
Ответ: 0,2.
20. B 16 № 202. В фирме «Эх, прокачу!» стоимость поездки на такси (в рублях) рассчитывается по формуле
, где — длительность поездки, выраженная в минутах
. Пользуясь этой формулой, рассчитайте стоимость 8-минутной поездки.
Решение.
Подставим в формулу значение переменной :
О т в е т : 183.
21. C 1 № 311594. Решите уравнение:
Решение.
Перенесем все члены уравнения в левую часть и вынесем
за скобки:
или
Решая квадратное уравнение, находим:
или
Ответ:
22. C 2 № 311922. Расстояние от города до посёлка равно 120 км. Из города в посёлок выехал автобус. Через час после этого вслед за ним выехал автомобиль, скорость которого на
10 км/ч больше скорости автобуса. Найдите скорость автобуса (в км/ч), если известно, что
в пути он сделал остановку на 24 минуты, а в посёлок автомобиль и автобус прибыли одновременно.
Решение.
Пусть скорость автобуса x км/ч. Тогда с учётом остановки он находился в пути
часов. Скорость автомобиля x +10 км/ч, следовательно, он находился в пути
часов.
Поскольку автомобиль выехал из города на час позже, а в посёлок автомобиль и автобус
приехали одновременно, получаем уравнение
Решим уравнение:
Отбрасывая постороннее решение –50, получаем, что скорость автобуса равна 40 км/ч.
О т в е т : 40 км/ч.
23. C 3 № 49. Постройте график функции
и определите, при каких значениях параметра прямая
имеет с графиком ровно одну общую точку.
Решение.
Разложим числитель дроби на множители:
При
и
функция принимает вид:
,
её график — парабола c выколотыми точками
и
.
Прямая
имеет с графиком ровно одну общую точку либо тогда, когда проходит через
вершину параболы, либо тогда, когда пересекает параболу в двух точках, одна из которых
— выколотая. Вершина параболы имеет координаты
.
Поэтому
,
или
.
24. C 4 № 311648. На сторонах угла
, равного 20°, и на его биссектрисе отложены
равные отрезки
и
. Определите величину угла
.
Решение.
Имеем
ный,
поэтому
= (180° − 10°) : 2 = 85°;
;
= 2 · 85° = 170°.
= 20° : 2 = 10°;
равнобедренпо двум сторонам и углу между ними,
Ответ: 170°.
25. C 5 № 311969. Окружность касается стороны AB треугольника ABC, у которого ∠C =
90°, и продолжений его сторон AC и BC за точки A и B соответственно. Докажите, что периметр треугольника ABC равен диаметру этой окружности.
Решение.
Пусть O — центр окружности, d — её диаметр, а M, N и K — точки касания окружности с
прямыми AC, AB и BC соответственно. Радиус OM перпендикулярен AC, а OK перпендикулярен BC. Следовательно, в четырёхугольнике OMCK имеем ∠C = ∠M = ∠K = 90°, а значит, OMCK — прямоугольник. Поскольку OM = OK, прямоугольник OMCK — квадрат.
Следовательно,
Отрезки касательных, проведённых из одной точки к окружности, равны: AM = AN,
BN = BK и CM = CK. Периметр треугольника ABC равен
P = AB + BC + AC = AC + AN + BN + BC =
= AC + AM + BK + BC = MC + CK = 2MC = d.
26. C 6 № 311704. Длина катета
прямоугольного треугольника
равна 3 см. Окружность с диаметром
пересекает гипотенузу
в точке . Найдите площадь треугольника
, если известно, что
.
Решение.
Пусть
см,
Поэтому гипотенуза
см и
см.
см. По теореме Пифагора:
.
По теореме о секущей и касательной
.
Следовательно,
Тогда
, откуда
.
.
Следовательно, площадь треугольника равна
.
Ответ:
.