ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО НАУКЕ И ИННОВАЦИЯМ » УДК 517.518+514.765+514.86+51-72+539.3

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО НАУКЕ И ИННОВАЦИЯМ УДК 517.518+514.765+514.86+51-72+539.3 Госрегистрация: № Инв. №: Наименование НИР: «Методы метрической геометрии и анализа на неголономных многообразиях в задачах механики сплошных сред» Наименование этапа: Этап №3 Шифр: НК-408П/67 Институт математики им. С.Л.Соболева СО РАН Новосибирск – 2011 1 Содержание Введение 3 Аннотированная справка по этапу №1 4 Аннотированная справка по этапу №2 9 1 Аналитический отчет о проведении теоретических и (или) экспериментальных исследований 13 1.1 Условие поливыпуклости Болла и уравнения нелинейной теории упругости 13 1.2 Уравнение Бюргерса в механике сплошных сред и неголономных многообразиях 32 1.3 Энтропийные решения в теории упругости 34 1.4 Теория дифференциальных форм в категории римановых и субримановых многообразий 45 1.5 Геометрический анализ на (некоммутативных) группах Ли 49 1.6 Исследование регулярности решений дифференциальных урав- нений, в частности, субэллиптических уравнений в геометрии векторных полей 65 2 Отчет по обобщению и оценке результатов исследований 74 2.1 Модели, методы, программы и (или) алгоритмы, позволяющие увеличить объем знаний для более глубокого понимания изучаемого предмета исследования новых явлений, механизмов или закономерностей 74 2.2 Рекомендации по возможности использования результатов НИР в реальном секторе экономики 82 3 Публикации результатов НИР 8 4 Заключение 109 5 Список литературы 111 2 Введение Ниже мы приводим научный отчет по НИР «Методы метрической геометрии и анализа на неголономных многообразиях в задачах механики сплошных сред», выполненной в рамках этапа № 3, государственный контракт от 11 ноября 2009 г., №П2224, шифр НК-408П/67. НИР выполнялась в рамках программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 гг. Основу коллектива составили ученики и коллеги д. ф.-м. н., профессора С. К. Водопьянова. Целью отчетного, заключительного периода НИР являлась разработка подходов и методов комплексного применения различных методов математического анализа в задачах механики сплошных сред, а также теории, лежащей в основе этих методов, и на их основе – подготовка высококвалифицированных специалистов, формирование и развитие научноисследовательского коллектива, специализирующегося в области геометрического анализа и математических методов в физике. За отчетный период был охвачен широкий круг научных вопросов по смежным вопросам теории упругости, анализа, геометрии и уравнений в частных производных. Получены новые результаты, которые были успешно внедрены согласно условиям государственного контракта, в образовательный процесс. Коллектив успешно выполнил основные задачи, сформулированные в Календарном плане отчетного этапа. В этом плане технического задания по проекту мы заявили следующие взаимосвязанные темы. 1 Условие поливыпуклости Болла и уравнения нелинейной теории упругости. 2 Уравнение Бюргерса в механике сплошных сред и неголономных многообразиях. 3 Энтропийные решения в теории упругости. 4 Теория дифференциальных форм в категории римановых субримановых многообразий. 5 Геометрический анализ на (некоммутативных) группах Ли. 3 и 6 Исследование регулярности решений дифференциальных уравнений, в частности, субэллиптических уравнений в геометрии векторных полей. Ниже, согласно вышеперечисленным темам, мы изложим аналитический обзор проблематики и результаты, полученные за отчетный период, а также кратко перечислим результаты, полученные на предыдущих этапах НИР (в аннотированных справках). 4 Аннотированная справка по этапу №1 1. Условие поливыпуклости Болла и уравнения нелинейной теории упругости. Решена задача о приведении конечными деформациями поливыпуклым в уравнений теории упругости с лагранжевых потенциалом к переменных каноническому с общим термодинамически согласованному представлению С.К. Годунова. Показано, что широкий класс упругих потенциалов можно приближать с произвольной точностью квазиизометрическими потенциалами, так что решение задач стационарной теории упругости существует и является квазиизометрическим отображением. При этом, в отличие от классических результатов Дж. Бола, не требуется вводить в упругий потенциал зависимость от матрицы кофакторов матрицы предварительные деформаций при Якоби численные упругой эксперименты несогласованных деформации. по начальных Проведены вычислению полях упругих напряжений. Исследована возможность приближения квазиизометрических отображений кусочно-аффинными гомеоморфизмами. В частности, показано, что такое приближение возможно, если двумерное квазиизометрическое отображение принадлежит некоторому подклассу отображений ПРВ (представимых разностью выпуклых функций). 2. Уравнение Бюргерса в механике сплошных сред и неголономных многообразиях. Изучены и доложены на научном семинаре диссертации D. Vittone и F. Bigolin’а (2008 г.), в которых излагается недавно обнаруженная неожиданная связь между уравнением Бюргерса (простейший закон сохранения) и регулярными параметризациями поверхностей на группе Гейзенберга. Эта связь открывает новые перспективы исследований как для теории законов сохранения, так и для теории поверхностей в неголономных многообразиях. Мы планируем детально изучить применение теории поверхностей в субримановых пространствах в теории законов сохранения, 5 а именно, обобщая результаты работ Vittone и Bigolin’а, проанализировать, какие дополнительные свойства законов сохранения, полезные для построения их строгой математической теории, позволяет получить обнаруженная связь. В частности, планируется выяснить область применимости метода параметризации поверхностей в других неголономных пространствах к задачам нелинейной теории упругости и пластичности и других систем уравнений, включающих в себя законы сохранения. 3. Энтропийные решения в теории упругости. Исследование направлено на решение актуальных проблем анализа и нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными. Доказана в многомерном случае изэнтропичность непрерывных обобщенных решений некоторых систем квазилинейных дифференциальных уравнений с частными производными. С помощью этого результата планируется получить ряд других результатов в анализе, в частности, выяснить строение множества значений градиента C1гладких функций в многомерном случае. 4. Теория дифференциальных форм в категории римановых и субримановых многообразий. 4.1. Введены новые классы соболевских гомеоморфизмов, обратные к которым также являются соболевскими. Новый класс гомеоморфизмов содержит в качестве подкласса отображения с конечным искажением. 4.2. Получены необходимые и достаточные условия для ограниченности (и изоморфного соответствия) оператора суперпозиции пространств Соболева, заданных на римановых многообразиях одинаковой размерности, индуцируемого измеримым отображением. Данные условия эквивалентны ограниченному изменению длины кривой, заданной на одном многообразии, при перенесении на другое, то есть оценке близости геометрий двух римановых многообразий. 4.3. Получены неравенства типа Соболева дифференциальных форм. 6 и типа Пуанкаре для 5. Геометрический анализ на (некоммутативных) группах Ли. 5.1. Доказана формула площади для липшицевых (относительно субримановых метрик) отображений пространств Карно – Каратеодори (или многообразий Карно). В частности, получено аналитическое выражение для субриманова якобиана (через субриманов дифференциал). Также используется удобная для вычислений квазиметрика, свойства которой значительно упрощают исследования липшицевых (в субримановом смысле) поверхностей. Заметим, что ранее, с помощью стандартной схемы формула площади была получена независимо V. Magnani и S. D. Pauls’ом для липшицевых отображений групп Карно, то есть, для более частного случая. При этом явное аналитическое выражение для якобиана получено не было. Предложенная схема доказательства является принципиально новой даже для классического случая отображения евклидовых пространств. 5.2. На топологическом пространстве растяжения можно определить как непрерывные однопараметрические семейства стягивающих гомеоморфизмов, заданных в окрестности каждой точки. Мы доказали, что, при определенных дополнительных условиях, растяжения позволяют ввести в окрестности каждой точки локальную группу, которая локально изоморфно нильпотентной градуированной группе Ли. Более того, если на пространстве задана (квази)метрическая структура, определенным образом согласованная с растяжениями, то полученную группу можно рассматривать как касательный конус к соответствующему (квази)метрическому пространству. Исследование мотивировано изучением метрических свойств пространств Карно – Каратеодори. 5.3. Исследуется отображений аппроксимативная пространств аппроксимативная дифференцируемость Карно-Каратеодори. дифференцируемость почти измеримых Доказано, всюду что эквивалентна аппроксимативной дифференцируемости вдоль базисных горизонтальных 7 векторных полей почти всюду. Полученные результаты обобщают теоремы Степанова (1923 и 1925 года), Уитни (1951 года) и Водопьянова (2000 года). 5.4. Доказано существование ограниченных равномерных областей в метрике Карно - Каратеодори на группе Энгеля. 5.5. Исследуется жесткость изометрий на первой группе Гейзенберга. Доказано, что всякая квазиизометрия области Джона близка к некоторой изометрии на всей области определения. Найдена асимптотически точная оценка близости в равномерной норме. 6. Исследование регулярности решений дифференциальных уравнений, в частности, субэллиптических уравнений в геометрии векторных полей. 6.1. Рассмотрены субэллиптические системы в трехмерном случае. Получены оценки норм Бесова слабых решений таких систем, сходные с классическими оценками Шаудера. Доказано несколько вспомогательных утверждений относящихся к теории функциональных пространств. Полученные оценки могут быть использованы для построения метода решения некоторых краевых задач. Показано, что исследуемые системы описывают важные в приложениях модели теории упругости. 6.2. Проведено предварительное исследование некоторых модельных пространств Карно – Каратеодори для последующего описания на этих пространствах групп конформных и изометрических преобразований. 6.3. Исследуются свойства решений одного класса квазилинейных уравнений субэллиптического типа. Изучена литература по данному вопросу и выявлены приоритетные направления развития. 8 Аннотированная справка по этапу №2 1. Условие поливыпуклости Болла и уравнения нелинейной теории упругости. В ходе выполнения проекта было впервые построено каноническое термодинамически согласованное представление уравнений нелинейной теории упругости в эйлеровых переменных для общей поливыпуклой внутренней энергии; было доказано, что систему уравнений нелинейной теории упругости можно регуляризовать таким образом, чтобы ее решение было не просто соболевским гомеоморфизмом, но и квазиизометрическим отображением, причем постоянные квазиизометрии можно подобрать так, чтобы приблизить внутреннюю энергию упругого материала с произвольной точностью; была доказана теорема существования для регуляризованной задачи; для вариационного метода построения мерозначных энтропийных решений уравнений нелинейной теории упругости был предложен и исследован дискретный вариационный принцип, практически для всех известных поливыпуклых упругих потенциалов и для их квазиизометрических регуляризаций была доказана сходимость градиентного метода к стационарной точке функционала. 2. Уравнение Бюргерса в механике сплошных сред и неголономных многообразиях. Основным примером неголономных многообразий, играющих важную роль в механике сплошных сред, являются многообразия Карно. На данном этапе, целью являлось исследование геометрических и аналитических свойств множеств уровня контактных отображений многообразий Карно, в частности, изучение их характеристических точек. Доказано, что для контактных отображений многообразий Карно субриманова мера Хаусдорфа характеристических точек на почти каждом множестве уровня равна нулю. В качестве приложения выведена формула коплощади. 9 3. Энтропийные решения в теории упругости. Исследование направлено на решение актуальных проблем анализа и нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными. Доказана в плоском случае изэнтропичность непрерывных обобщенных решений некоторых систем квазилинейных дифференциальных уравнений с частными производными. Полученные результаты связаны с теорией отображений с ограниченным (конечным) искажением и с теорией квазивыпуклых множеств и функций. 4. Теория дифференциальных форм в категории римановых и субримановых многообразий. 4.1. Для гомеоморфизмов некоторых классов Соболева с первыми обобщенными производными найдено оптимальное условие на искажающую функцию, содержащее в себе и условия регулярности для обратного отображения (т. е. принадлежность обратного классу Соболева и некоторые условия на его функцию искажения). 4.2. Получены необходимые и достаточные условия для ограниченности (и изоморфности) оператора суперпозиции соболевских пространств с первыми обобщенными производными, индуцируемого измеримым отображением римановых многообразий. Если индуцированный отображением оператор суперпозиции – изоморфизм пространств Соболева, то отображение отличается от квазиизометрического гомеоморфизма лишь на множестве нулевой меры. 5. Геометрический анализ на (некоммутативных) группах Ли. 5.1. Для класса достаточно гладких векторных полей найдены необходимые и достаточные условия для того, чтобы анизотропные метрические функции были действительно квазиметриками в области определения векторных полей. Исследована асимптотика этих метрических 10 функций. На примере системы векторных полей X1=(1,0,0,xy), X2= (0,1,0,xy), X3=(0,0,1,0), X4=(0,0,0,1) изучена взаимосвязь между тем фактом, что анизотропная метрическая функция, индуцированная этими векторными полями, удовлетворяет обобщенному неравенству треугольника в выделенной точке g, и корректностью определения нильпотентного касательного конуса по значениям функций в точке g из таблицы коммутаторов этих векторных полей. Разработан аксиоматический подход к теории локальных 5.2. касательных конусов регулярных пространств Карно—Каратеодори, основанный на рассмотрении абстрактных (квази)метрических пространств с растяжениями, а также концепция дифференцируемости отображений между такими пространствами. Доказано, что касательный конус к (квази)метрическому пространству представляет собой нильпотентную градуированную группу. 5.3. Исследована алгебраическая структура касательного конуса в нерегулярной точке к многообразию Карно в условиях, когда порождающие пространство векторные поля имеют размерность 2M, где M—глубина многообразия Карно. 6. Исследование регулярности решений дифференциальных уравнений, в частности, субэллиптических уравнений в геометрии векторных полей. 6.1 Получены новые априорные оценки решений субэллиптических уравнений. Доказаны теоремы вложения и интерполяционные оценки для пространств Бесова, определяемых в терминах разностей вдоль траекторий левоинвариантных и правоинвариантных векторных полей на группе Гейзенберга. Построен новый метод нахождения решений задачи Неймана для субэллиптических уравнений в подходящих функциональных пространствах. Даны два новых определения классов Соболева для функций, 11 заданных в области евклидова пространства, со значениями в группе невырожденных матриц. Доказана их эквивалентность. 6.2 На общих группах Карно установлены интегральные представления типа Соболева. На областях Джона групп Карно доказаны коэрцитивные оценки для однородных дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами и с конечномерным ядром, неравенства Пуанкаре и теоремы вложения Соболева функциональных пространств. В теоремах вложения приведены явные оценки на нормы операторов вложения в зависимости от области Джона. Операторы вложения исследованы на вполне непрерывность. 12 1 Аналитический отчет о проведении теоретических и экспериментальных исследований 1.1 Условие поливыпуклости Болла и уравнения нелинейной теории упругости В дальнейшем при записи уравнений используется соглашение о суммировании по повторяющимся индексам, а использование переменной в качестве нижнего индекса означает дифференцирование по этой переменной. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений первого порядка (1) где , Говорят, что у системы уравнений (1) существует энтропийная пара (см, например, (Кружков, 1970), если можно найти выпуклую функцию и функции такие, что , Энтропийным решением системы уравнений (1) называют функцию , для которой выполнено дифференциальное неравенство (2) Решение системы (1), для которого (2) является равенством, называется изэнтропийным решением. 13 В работах С.К. Годунова был предложен способ выбора вектора переменных и специальных потенциалов , , с использованием которых многие системы уравнений математической физики можно привести к следующему каноническому виду. (3) где функция является строго выпуклой, а производную по обозначает частную . При этом энтропийные решения системы уравнений (3) удовлетворяют неравенству (4) которое становится равенством на гладких решениях. Недивергентная запись системы уравнений (3) выглядит следующим образом (5) Система уравнений является (5) симметрической и гиперболической по Фридрихсу, поскольку матрица является положительно определенной, а матрицы Рассмотрим потенциалы симметрической и являются симметрическими. специального вида, допускающие следующее представление (6) 14 где для поле функции составляют бездивергентное векторное , для которого справедлив закон сохранения (7) Обозначим через следующую неполную производную по (8) В качестве обобщенной канонической системы возьмем систему уравнений (9) которая дополняется энтропийным неравенством (10) переходящим в равенство на гладких решениях. Стоит заметить что дополнительный закон сохранения (7) является следствием выполнения равенств (9), т.е. необходимо искать такое обобщенное решение (9), что если условие бездивергентности (7) выполнено в начальный момент времени, то оно будет справедливо и при Очевидно, что функции . можно выносить из под знака производных в уравнении (9). Так что для системы (9) недивергентное представление выглядит как 15 (11) где неполные производные являются симметрическими, поскольку Как каноническое представление Годунова, так и его обобщение (9) строятся при помощи преобразования Лежандра, так что применительно к системе (1) должны выполняться следующие соотношения (12) Таким образом, если удается найти набор потенциалов , для которого выполнены равенства (12), то система уравнений (9) совпадает с исходной системой (1), что оправдывает произвол использования неполной производной в определении обобщенной канонической формы записи (9). Покажем, что из факта существования канонического представления (9) следует возможность симметризации и для исходной системы уравнений. Недивергентная запись системы (1) выглядит так (13) где неполная производная задается как Таким образом, система уравнений (13) симметризуется, если ее умножить слева на симметрическую положительно определенную матрицу . Пусть - лагранжевы координаты , 16 - эйлеровы координаты материальной точки. Отображение упругого тела. Матрица Якоби отображения . Обозначим - компоненты через задает деформацию обозначается через упругий вектора скорости. потенциал, Систему а , где через уравнений нелинейной акустики можно записать как систему уравнений первого порядка а в качестве энтропийной функции выбрать полную энергию где - начальная плотность, которую будем полагать постоянной. Как известно, полученную систему можно формально симметризовать, но для реальных материалов она не будет гиперболической по Фридрихсу, поскольку функция , как правило, является невыпуклой функцией своих аргументов. Однако, если величину неизвестную величину, то рассматривать как новую можно записать как выпуклую функцию. При этом расширенная система уравнений теории упругости выглядит так (14) 17 где роль энтропии играет полная энергия . Для описания процессов в металлах при высоких давлениях в работе (Годунов, Пешков, 2008) был предложен упругий потенциал, который можно представить в виде суммы ``газовой'' составляющей и ``упругой'' составляющей. ``Газовая'' составляющая выводится из предположения, что среда удовлетворяет так называемому ``двучленному'' уравнению состояния (Годунов, 1976), что позволяет получить следующее выражение для внутренней энергии в единице объема (Годунов, Пешков, 2008) (15) -энтропийная функция, заданная как - удельная теплоемкость при постоянном объеме, а где обозначает удельный объем, и Поскольку потенциал не учитывает касательные напряжения в среде, в (Годунов, Пешков, 2008) было предложено добавить к нему ``упругую'' составляющую, которую можно рассматривать как меру касательных напряжений (16) 18 где обозначает -е сингулярное значение матрицы . Для того, чтобы добиться поливыпуклости суммарного упругого потенциала, в работе (Годунов, Пешков, 2008) пришлось сделать предположение об ограниченности искажения формы, т.е. об ограниченности сверху величин для произвольных . В ходе выполнения данного проекта, в 2009- 2010 гг. была предложена мера касательных напряжений в среде, которая удовлетворяет условию поливыпуклости, и аппроксимирует (16): (17) При этом удалось показать, что в квадратичном приближении функции и совпадают, и остаются близки при достаточно сильных сжатиях и расширениях материала. Итоговый упругий потенциал можно записать следующим образом (18) Функция обладает следующими свойствами: является выпуклой функцией своих аргументов; есть функция главных инвариантов матрицы Поскольку справедливо неравенство ; , то потенциал можно использовать для получения канонической системы уравнений Годунова. Таким образом, небольшая модификация упругого потенциала из работы (Годунов, Пешков, 2008) позволила добиться его выпуклости по всей совокупности аргументов. Ниже показано, что использование подобного 19 приближения позволяет резко уменьшить вычислительные затраты на наиболее сложном этапе реализации схемы Годунова для уравнений теории упругости - на этапе реализации распада разрыва. Для упрощения сравнения с работой (Годунов, Пешков, 2008), будем полагать, что процесс деформации является адиабатическим, т.е. , а роль негэнтропии играет полная энергия. Как известно, при реализации схем, основанных на распаде разрыва, ключевым этапом является решение линеаризованных одномерных нестационарных задач гиперболического типа с использованием инваринтов Римана. При этом необходимо симметризовать систему (13), как указано выше, и решать спектральные задачи, которые необходимы для построения инвариантов Римана. Рассмотрим одномерную гиперболическую задачу (19) Где в качестве переменной Вектор переменных матрица выбирается, скажем ,а составлен из . При этом не является симметричной, но симметризуется, если умножить ее слева на матрицу , где роль негэнтропии играет полная энергия. Таким образом, вместо системы (19) можно получить систему (20) где . Для упругих потенциалов общего вида эти матрицы выписаны в работе (Годунов, Пешков, 2008). 20 Если сделать замену переменных , где - ортогональная матрица, составленная из собственных векторов симметричной матрицы , то можно получить систему скалярных уравнений (21) где - диагональная матрица. Величины Римановы инварианты, а - это - это характеристические скорости, которые можно интерпретировать как скорости распространения звуковых волн в среде. Построение представления (21) в работе (Годунов, Пешков, 2008) с использованием внутренней энергии сингулярного разложения матрицы вида (16) требует построения . При этом была выписаны в явном виде собственные значения и собственные вектора матрицы , что потребовало использования системы символьных вычислений MAPLE. Итоговые расчетные формулы оказались громоздкими.Выпишем матрицы весьма сложными и для потенциала (18). Поскольку в данном случае в качестве неизвестных можно ограничиться величинами , т.е. первым столбцом матрицы , то сокращения выкладок можно полагать, что размерность этих матриц равна . Таким образом их можно записать в блочном виде где обозначает единичную матрицу размера . Очевидно, что вычисления собственных значений и собственных векторов для данного 21 пучка матриц является тривиальной задачей, а полученные формулы имеют простой вид. Также очень просто строится диагонализация в случае, когда рассматривается недивергентное представление в двойственных переменных. В работе (Годунов, Пешков, 2008) вместо единичной матрицы необходимо использовать общую симметричную положительно определенную матрицу. Таким образом, использование приближения (18) позволяет избежать вычисления сингулярного разложения, и практически на порядок уменьшает вычислительные затраты на диагонализацию по сравнению с первоначальной аппроксимацией внутренней энергии упругого материала. Решение вариационных задач теории упругости с конечными деформациями на основе метода проекции градиента в трехмерных областях, являющихся изоповерхностями функций, представимых в виде разности выпуклых Задание областей сложной формы как изоповерхностей некоторой скалярной функции, поведение которой напоминает функцию расстояния от границы со знаком, геометрического является мощным и эффективным моделирования. Неявные функции методом можно строить, используя поверхностную триангуляцию, облако точек, набор плоских сечений, ``суп'', состоящий из несвязанных ребер и граней. Все эти способы можно комбинировать между собой и с аналитически заданными примитивами посредством булевых операций. Рассмотрим ограниченную область граница . Будем предполагать, что является липшицевой и кусочно-регулярной, причем окрестность каждой точки границы в некоторой системе координат можно представить как график функции, представимой в виде разности выпуклых функций. 22 Пусть задана некоторая функция точках области выполнено Предполагается, что такая, что во внутренних , а в дополнении области справедливо функция непрерывна по липшицу, представима в виде разности выпуклых функций, является кусочно-гладкой, и ее производные вдоль некоторого невырожденного векторного поля, транверсального к слое около что существует , существуют и не равны нулю в некотором конечном . Слой определяется следующим образом: предполагается некоторая постоянная объединение всех шаров радиуса такая, что с центрами, лежащими на содержит . Далее для краткости будем называть такую область неявной областью. Рассмотрим метод решения уравнений нелинейной теории упругости, в котором упругая деформация строится как отображение некоторой заданной области в лагранжевых координатах на неявную область в эйлеровых координатах. По существу, этот же метод используется для построения расчетных сеток, поскольку построенная упругая деформация отображает декартову сеть в лагранжевых переменных на криволинейную сеть в эйлеровых переменных. При этом возникает задача минимизации внутренней энергии с учетом граничных условий проскальзывания на неявной границе. Для решения задачи минимизации используется итерационный метод, который можно отнести к классу методов проекции градиента. Пусть в многогранной области состоящее из построено тетраэдральное разбиение тетраэдров, с граничными. Обозначим через вершинами, из которых вершины разбиения , 23 , являются , и пусть на каждом тетраэдре введена локальная нумерация вершин , , . Для каждого тетраэдра этого разбиения можно ввести понятие , целевого тетраэдра, который в равносторонний. Обозначим через данной , , , работе выбирается как вершины целевого тетраэдра . Составим матрицы и . Предполагается, что столбцы этих матриц составляют правую тройку в , т.е. и . Объем тетраэдров задаетcя следующими известными формулами Матрица Якоби записывается как Будем искать афинного отображения . отображение, доставляющее минимимум следующему функционалу, который можно рассматривать как аппроксимацию запасенной энергии упругой деформации (22) Здесь - внутренняя энергия деформации. Численный эксперименты с построением трехмерных отображений проводились с внутренней энергией следующего вида (23) Где член вида 24 (24) представляет собой ``упругий'' вклад в энергию деформации от сдвиговых деформаций, а также играет роль меры искажения формы. При этом весовой коэффициент играет роль модуля сдвига. Член вида (25) представляет собой обезразмеренную газодинамическую часть внутренней энергии. Его можно интерпретировать как меру искажения объема. Весовой коэффициент играет роль модуля всестороннего сжатия. В практических расчетах выбиралось значение . Будем рассматривать два типа граничных условий. Первый - это граничное условие Дирихле, когда граничная вершина фиксирована. Второй важный случай - это граничные условия проскальзывания, когда точка в процессе оптимизации сетки может двигаться по поверхности Будем предполагать, что вектор определен. Если же функция является дифференцируемой в классическом смысле в точке не , для приближенного вычисления градиента можно использовать касательный конус к в данной точке, который всегда существует. Множество направлений вектора градиента выбирается из условий ортогональности обобщенным опорным плоскостям в вершине конуса. На практике приближенное значение градиента получается при помощи простейших конечных разностей. 25 Таким образом, далее предполагается, что в точке векторы , , касательных к границе области равенство можно вычислить , для которых справедливо . Тогда уравнение стационарноcти функционала в вершине можно записать так: (26) (27) Эта система состоит из уравнений, и им соответствуют которых составлен вектор Пусть переменных, из . обозначает приращение в точке . Линеаризуя уравнение (27), получаем следующее уравнение для Таким образом, если лежит на границе области , то можно представить как линейную комбинацию векторов ,и : (28) где - произвольные коэффициенты. Иными словами, равенство (28) означает, что допустимо движение граничных узлов только вдоль касательной плоскости к границе. Предположим, что Обозначим через не лежит в точности на границе области. оператор проецирования на границу, который возвращает 26 граничную вершину на поверхность при помощи следующего простого итерационного алгоритма (29) Здесь параметр когда обозначает номер локальной итерации. В случае, является линейной функцией, а релаксационный параметр задается равенством плоскость , формула (29) задает нормальный проектор на . В общем случае итерации (29) нужно повторять до тех пор, пока уклонение точки от не будет превышать порога . На практике это сводится к проверке справедливости неравенства (30) где величину Градиент можно рассматривать как погрешность задания геометрии. функции . Матрица Гессе , причем матрица блочной строки и составлен функции из -мерных составляется из векторов матриц помещается на место пересечения -й -го блочного столбца. Метода Ньютона - Рафсона для нахождения стационарной точки сеточного функционала без учета проскальзывания можно записать следующим образом: (31) 27 (32) Обозначим через матрицу размера которой являются векторы , первыми двумя столбцами , вычисленные в точке равен нулю. Если же индекс , а последний столбец , то положим . Для того, чтобы включить условие проскальзывания в итерационную схему (31), (32), умножим равенство (31) слева на и учтем тот факт, что при удовлетворяет равенству (28), т.е. так что в линейной системе (31) в качестве неизвестного вектора вместо можно брать двумерный приращений, равный . вектор при Используя . Обозначим и равный введенные обозначения, через при можно итерационный метод нахождения стационарной точки функции вектор , так что записать . (33) (34) Равенство (34) можно записать как 28 где оператор формуле проекции на границу области совпадает с введенным в (29). Итерационный параметр находится в результате приближенного решения одномерной задачи минимизации Для решения этой одномерной задачи используется простейший метод деления пополам. Использование известной схемы Армийо для решения этой задачи остается под вопросом, поскольку функция является барьерной, т.е. не является липшицевой. Для того, чтобы из общих формул (33) получить метод, аналогичный известному итерационному барьерному методу Иваненко-Чарахчьяна, 1988, нужно положить при . При этом для нахождения решать независимые линейные системы размерности нужно в скользящих точках и размерности в остальных точках сетки. Для того, чтобы из (33) получить неявный метод, предложенный в (Гаранжа, 2000), в матрицах надо отбросить все внедиагональные члены. В этом случае линейная система (33) распадется на системы относительно векторов независимых линейных , которые получаются из при помощи равенств Вариационный метод можно использовать и в том случае, когда алгебраический объем некоторых тетраэдров в начальной сетке равен нулю или отрицателен. При наличии подобных ``вывернутых'' тетраэдров оказался эффективным метод распутывания сеток, предложенный в работе (Гаранжа, Капорин, 1999) . Идея этого метода основана на том, что детерминант знаменателе формулы (23) заменяется на величину 29 в При этом исправление сетки достигается за счет продолжения по параметру от больших значений до нуля. Построение начальной допустимой деформации играет большую роль в сложных прикладных задачах, для которых невозможно построить допустимое начальное приближение аналитически или вручную. Численные эксперименты показали, что в тех случаях, когда задача построения начальной деформации является достаточно жесткой ввиду сложной геометрии области, а число элементов в сетке достаточно велико, явные методы градиентного спуска оказываются неспособны эту задачу решить. С другой стороны, неявные методы достаточно эффективны и позволяют строить допустимую упругую деформацию, стартуя с произвольного начально приближения. Их основным недостатком является является использование большого объема оперативной памяти, что препятствует их применению в случае весьма подробных трехмерных сеток. Рис. 1 30 Рис.2. Нулевая изоповерхность и образы нескольких декартовых координатных плоскостей при упругой деформации. На рис.2. показан пример, в котором неявная функция со знаком строится по поверхностной триангуляции (так называмой STL модели). В данном примере строится упругая деформация конечного кругового цилиндра на неявную область, причем нижнее основание цилиндра отображается на тело сложной формы, которое задано указанной выше неявной функцией, верхнее основание отображается на поверхность кругового параболоида, а боковая сторона цилиндра отображается на 31 плоскую область, гомеоморфную кольцу. Особенно сложной с геометрической точки зрения оказалась конфигурация, показанная справа. Число степеней свободы в этом примере около 1.2 миллиона, причем для аппроксимация упругой деформации на гексаэдральных сетках приходится разбивать каждый гексаэдр на некоторое количество тетраэдров, что позволяет использовать описанную выше схему оптимизации. Полное количество тетраэдров в этой задаче - около 10 миллионов. При этом для использования адресуемой неявного 32-х метода разрядной оптимизации архитектурой оперативной процессора памяти, оказывается недостаточно, поскольку в матрице линейной системы и в ее неполной факторизации оказывается достаточно много ненулевых элементов. Таким образом, в результате пришлось использовать гибридную схему, в которой метод спуска основан на решении системы линейных алгебраических уравнений на каждом шаге с помощью метода сопряженных градиентов без использования предобусловливания. При этом нет необходимости решать линейные системы с высокой точностью. Вполне достаточным оказалось уменьшение начальной невязки в 100 раз. Оказалось, что подобная схема сохраняет надежность неявных методов, требуя существенно меньше памяти. В приведенном тестовом примере упругая деформация не имеет физического смысла и использовалась как средство для автоматического построения высококачественных трехмерных расчетных сеток для инженерных моделей. 1.2 Уравнение Бюргерса в механике сплошных сред и неголономных многообразиях Исследованы свойства поверхностей уровня непрерывно горизонтально дифференцируемых (hc-дифференцируемых) отображений из пространства Карно — Каратеодори M такого, что dim HgM = dim TgM – 1 = N в каждой точке g M, в евклидово пространство размерности N. Данная работа является подготовительной к общей проблеме описания спрямляемых 32 многообразий на пространствах Карно — Каратеодори. Её результаты обобщают некоторые результаты работ [1] и [2], в которых исследованы поверхности уровня hc-дифференцируемых отображений f : H1 → R2. Также, как и в предыдущих работах, описана геометрия поверхности уровня hc-дифференцируемого отображения, дифференциал которого имеет максимальный ранг: Теорема 1. Пусть отображение f : M → RN hc-дифференцируемо и его дифференциал имеет максимальный ранг. Тогда для каждой точки g f-1(0) найдётся окрестность U(g) такая, что f-1(0)  U(g) есть образ простой жордановой кривой и имеет топологическую размерность 1. Кроме того, изучены метрические свойства таких поверхностей уровня. Доказана следующая Теорема 2. Пусть отображение f : M → RN hc-дифференцируемо и его дифференциал имеет максимальный ранг. Тогда его поверхность уровня f-1(0) локально является образом простой кривой : [0,1] → M и в субримановой метрике имеет хаусдорфову размерность dimH ([0,1]) = 2. При этом длина кривой может быть найдена как H2() = lim||||→0 k=1..n d((ak-1), (ak))2, где = {0 = a0 < a1 < … < an = 1} и |||| = maxk=1..n |ak – ak-1|. Кроме того, если частные производные отображения f гёльдеровы, то поверхность уровня f-1(0) является 2-регулярной по Альфорсу, её длина конечна, положительна и равна пределу H2() = lim||||→0 k=1..n d((ak-1), (ak))2. В случае, когда область определения является нильпотентной группой (группой Карно), удаётся выразить длину кривой явно в виде интеграла 33 Римана — Стилтьеса. Пусть группа Карно G = {(x1,…,xN,z) RN+1} моделируется алгеброй Ли, имеющей базис Xi = xi + k=1..N ckixk z, i=1,…,N, Z = z, cij = -cji, I,j=1,…,N. Тогда верна следующая Теорема 3. Пусть f : G → RN — hc-дифференцируемое отображение с дифференциалом максимального ранга и f(0) = 0. Тогда в некоторой окрестности нуля f-1(0) есть образ простой кривой : [0,1] → G, и длина кривой может быть найдена, как предел H2() =  dz + lim||||→0 i,j=1..N cij xj dxi. Если к тому же частные производные отображения f гёльдеровы, то длина кривой  положительна, конечна и равна H2() =  dz + i,j=1..N cij  xj dxi, где все интегралы понимаются в смысле интеграла Стилтьеса. 1.3 Энтропийные решения в теории упругости М.В. Коробковым были проведены исследования изэнтропических решений квазилинейных систем уравнений с частными производными. Кроме того, им был прочитан годовой курс дифференциальных уравнений для студентов физического факультета НГУ. Анализ требований гладкости в классических теоремах нередко служит плодотворным источником идей для современной математики, порождая подчас магистральные направления ее развития. Приведем два ярких примера. Согласно классической теореме Лиувилля, если f:Rn является конформным отображением класса C3 области Rn, то f представляет собой сужение на  некоторого мёбиусова преобразования. Стремление 34 максимально ослабить требования гладкости в этой теореме привело Ю. Г. Решетняка к следующему замечательному результату (см. [5], [6]): всякое f:Rn, отображение принадлежащее соболевскому 1;n классу Wloc (,Rn) и удовлетворяющее дифференциальному соотношению Dv(x)R+SO(n) для почти всех x (35) является либо постоянным отображением, либо сужением на  некоторого мёбиусова отображения. Здесь символом Df(x) обозначается обобщенный дифференциал, а символом SO(n), как и принято, обозначается множество ортогональных матриц с определителем 1, соответственно символом R+SO(n) обозначено множество матриц вида A, где 0, ASO(n). Отметим, что условия гладкости в теореме Решетняка были еще более ослаблены Т. Иванцом и Г. Мартином в статье [Error! Reference source not found.], где они для случая четных размерностей n=2l доказали справедливость 1;l процитированного результата в предположении fWloc(,Rn). (Данный порядок интегрирования является точным, при p<n/2 в работе [Error! source not found.] Reference 1;p предъявлен контрпример непостоянного Wloc (,Rn)-решения соотношения (35), которое не является мёбиусовым.) Конечно, такое усиление потребовало привлечения новых методов, таких, как теория Ходжа для дифференциальных форм с интегрируемыми коэффициентами, которая была развита в работе [4]. Ю. Г. Решетняк получил также глубокие результаты об устойчивости в теореме Лиувилля, более точно, об устойчивости класса конформных (мёбиусовых) отображений в классе отображений с ограниченным искажением [5]. Класс этих отображений, являющихся неоднолистным аналогом квазиконформных отображений, также был введен Ю. Г. Решетняком, который установил и их основные нетривиальные 35 свойства, такие как открытость, изолированность и т. д., см. [6]. Отображения с ограниченным искажением быстро стали чрезвычайно популярным объектом исследования не только отечественных, но и зарубежных математиков (назвавших такие отображения квазирегулярными, см., например, отображений с монографию [7]). ограниченным В свою очередь, искажением нашли методы теории многочисленные приложения в геометрической теории функций, теории нелинейных уравнений с частными производными, механике сплошной среды и пр. (см., например, монографию [8]). Наиболее сильным и красивым достижением в теории отображений с ограниченным искажением за последние два десятилетия, является, по-видимому, результат К. Астала [9], [10], [11] об искажении площадей плоскими квазиконформными отображениями, с помощью которого был решен ряд долго стоящих проблем (см., например, [12]). В последние годы стала развиваться также теория отображений с конечным искажением (см., например, [13], [14]), которая берет начало от красивого результата С. К. Водопьянова и В. М. Гольдштейна [15] (см. также [16]) о непрерывности и монотонности таких отображений. Этими же авторами установлена глубокая связь между квазиконформными отображениями и изоморфизмами соболевских пространств (см. [16]). Тематика, о которой шла речь, имеет важные приложения не только в анализе, но и в геометрии. Так, квазиконформные отображения имеют глубокую связь с построенными Ю. Г. Решетняком изотермическими системами координат в двумерных пространствах Александрова ограниченной кривизны1 [17]. Из более современных работ, связывающих квазиконформный анализ и геометрию, отметим уже упомянутую статью [4], посвященную квазиконформным структурам на многообразиях. Еще одним примером, когда изучение требований гладкости в классической теореме жесткости порождает целые направления в геометрии и в анализе, является следующая теорема (связанная с именами Д. Гильберта 1 За это открытие Ю. Г. Решетняк удостоился премии РАН им. Н. А. Лобачевского. 36 и С. Кон-Фоссена): Если f:SnRn+1 есть C2-гладкое изометрическое погружение n-мерной сферы Sn единичного радиуса, то множество f(Sn) конгруэнтно Sn. (По поводу распространения этой теоремы на случай 1 изометрических погружений класса C см. работу Ю. Ф. Борисова [18].)  Поскольку в определении изометрического погружения участвуют лишь первые производные, естественно было предположить, что процитированная теорема останется верной и для C1-гладких отображений. Однако эта долго стоявшая гипотеза была опровергнута Дж. Нэшом [19] и Н. Кейпером [20], которые доказали, что для любого >0 существует C1-гладкое изометрическое вложение сферы Sn в шар радиуса  пространства Rn+1. Более точно, Дж. Нэш и Н. Кейпер установили, что всякое C1-гладкое локально L-липшицево погружение (вложение) f:VRk n-мерного риманова пространства V с n<k и L<1 можно аппроксимировать в C-норме последовательностью C1-гладких изометрических погружений (вложений). Методы построения таких «патологических» погружений (вложений) были затем развиты М. Громовым [21], который назвал их «выпуклым интегрированием» (см. также [Error! Reference source not found.]). В последние десятилетия метод выпуклого интегрирования наиболее активно использовался в анализе для построения нетривиальных липшицевых решений v:RnRm дифференциальных соотношений вида Dv(x)K для п.в. x, где K — заданное компактное подмножество (36) пространства Rmn вещественных mn матриц, а  есть область в Rn. (Напомним, что в силу теоремы Степанова-Радемахера дифференциал Dv(x) произвольного липшицева отображения v:Rm определен для почти всех всех x.) 37 Вместе с отысканием точных решений соотношения (36) важную роль играет нахождение так называемых аппроксимационных решений, т. е. последовательностей v липшицевых функций таких, что sup|Dv|L ()<, dist(Dv(x),K)0 для п.в. x.  (37) Будем говорить, что дифференциальное соотношение (36) имеет только тривиальные точные решения, если каждая липшицева функция v:Rm, удовлетворяющая (36), является аффинной. Аналогично будем говорить, что соотношение (36) имеет только тривиальные аппроксимационные решения, если для каждой последовательности липшицевых функций v:Rm, удовлетворяющих (37), найдется матрица AK и подпоследовательность v ,  такие, что Dv A п.в. в . Сформулированные задачи являются  интересными даже для конечных множеств K (так называемая проблема kградиентов), причем их сложность и богатство вариантов быстро возрастает вместе с мощностью K. Приведем несколько характерных примеров (их подробное обсуждение можно найти, например, в [22]). 1. Простейший случай — когда K состоит из двух элементов, K={A,B}. Тогда если rank(AB)2, то соотношение (36) имеет только тривиальные (аппроксимационные и точные) решения [23Error! Reference source not found. ] (доказательство этого факта опирается на теорему Ю. Г. Решетняка [6] о слабой сходимости якобианов). Если же rank(AB)=1, то можно построить не аффинное точное решение v соотношения (36). 2. Пусть K={A1,A2,A3} и предположим, что rank(AiAj)2 при ij. Тогда соотношение (36) имеет только тривиальные (аппроксимационные и точные) решения [24] (доказательство существенно опирается на результаты Ю. Г. Решетняка [6] по теории отображений с ограниченным искажением). 38 3. Пусть K={A1,A2,A3,A4} и предположим, что rank(AiAj)2 Соотношение (Error! Reference source not found.) при ij. снова имеет лишь тривиальные точные решения [25] (авторы [25] также довольно искусно применяют результаты Ю. Г. Решетняка [6]). Однако здесь уже могут быть нетривиальные аппроксимационные решения. В работе [26] установлено Предложение 1. Рассмотрим диагональные 22 матрицы A1=A3=diag(1,3) A2=A4=diag(3,1) и положим K={A1,A2,A3,A4}. Тогда существует удовлетворяющая (37) последовательность липшицевых отображений v, таких, что v⇉0 на . Используя данную конфигурацию из четырех матриц (которая теперь носит название конфигурация Тартара), С. Мюллер и Вл. Шверак [27], [28Error! Reference source not found.] построили неожиданный пример эллиптического уравнения со всюду нерегулярным решением. А именно, ими был доказан следующий результат. Теорема 2. Существует гладкая строго квазивыпуклая2 функция :R22R с |D2|const в R2 такая, что уравнение D(w)=0 имеет слабое , которое не является C1-гладким ни в каком решение w:RW1;() открытом подмножестве . Этот результат был высоко оценен математическим сообществом: С. Мюллер и Вл. Шверак были председателями секции на Международном математическом конгрессе в Берлине в 1998 г., которая была посвящена развиваемой ими теории. 4. Проблема пяти градиентов. Используя метод выпуклого интегрирования и альтернативный подход, связанный с теоремой Бэра о 2 Введение в теорию квазивыпуклых множеств и функций см., например, в [22]. 39 категориях, Д. Прайс (D. Preiss) и Б. Кирхейм недавно доказали ([29, Глава 4], см. также [30]), что при n,m2 существует K={A1,A2,A3,A4,A5}Rmn, такое, что rank(AiAj)2 множество при ij, но в то же время соотношение (36) имеет нетривиальные (неаффинные) решения. 5. Пусть K=SO(n) («проблема одного кольца», или «one-well problem»). Тогда соотношение (36) имеет лишь тривиальные (асимптотические и точные) решения — это легко выводится из результатов Ю. Г. Решетняка [5], [Error! Reference source not found.]. 6. Пусть K=k;i=1SO(2)Ai , detAi>0 («проблема k-колец»). Тогда, если F,GK rank(FG)1, то соотношение (36) имеет лишь тривиальные (асимптотические и точные) решения [31]. Вопрос о том, верно ли аналогичное утверждение для K=k;i=1SO(n)Ai при размерности n3, является открытым даже в случае k=2. Более полный обзор результатов о липшицевых решениях соотношения (31) сделан в относительно недавней работе [32]. Из последних достижений в данной тематике, не вошедших в [32], упомянем красивые результаты, полученные венгерским математиком Л. Секельхиди с соавторами [33], [34] для случая размерностей n=m=2. В частности, в работе [33] доказано, что rank-1 выпуклая оболочка множества значений градиента всякого липшицева отображения v:R2R2 является связным множеством (определение rank-1 выпуклой оболочки см., например, в [22]). При доказательстве результатов в работе [33] используются как классические результаты Ю. Г. Решетняка [6], так и новый элегантный метод разделяющих квазиконформных кривых, разработанный Л. Секельхиди. В настоящей диссертации вопрос о решениях дифференциального соотношения (36) исследуется в классической постановке — для C1-гладких функций. Опишем, наконец, один из тех феноменов жесткости, которые изучается в данной работе. Известен классический результат, что если C240 гладкая функция v=v(x,t), определенная в области R2, удовлетворяет дифференциальному уравнению гамильтонова типа vt=(vx) в , (38) где :RR — C1-гладкая функция, то через каждую точку z проходит прямая линия (характеристика), на которой градиент Dvconst (см., например, [35, §55]). Поскольку в уравнении (38) участвуют только первые производные функции v, естественно возникает вопрос, сохранится ли указанное свойство, отображения v и, если предполагать соответственно, лишь только C1-гладкость лишь непрерывность функции ? Стремление к наиболее естественной постановке вопроса приводит нас к следующей более общей проблеме. Проблема 1. Пусть C1-гладкая функция v:R области R2 обладает свойством IntDv()=, (39) где символом Int обозначена внутренность множества. Будет ли тогда выполнено следующее утверждение: существует не более чем счетное множество E такое, что для каждой точки z, удовлетворяющей условию Dv(z)∉E, (40) найдется прямая линия L, zL, такая, что Dvconst на компоненте связности множества L, содержащей точку z? (Отметим, что не более чем счетное исключительное множество E появляется уже в C2-гладком случае, поэтому такая формулировка естественна.) На примере процитированных выше результатов мы видим, как драматически может меняться ситуация с решениями дифференциальных соотношений при уменьшении гладкости. Поэтому интуитивно складывается ощущение, что ответ в Проблеме , 41 вообще говоря, должен быть отрицательный. Это ощущение владело и западными специалистами. Приведем один характерный пример. В недавней работе [36] Я. Колар и Я. Кристенсен пытались доказать (усиливая результаты своих предшественников), что непостоянная C1-гладкая функция v:R2R с компактным носителем обладает свойством Dv(R2)=ClIntDv(R2) , где символом Cl обозначено замыкание множества. Это свойство, очевидно, является тривиальным следствием положительного ответа на вопрос в Проблеме . Но авторы [36] даже и не пытаются ставить такую проблему, а свой результат они доказывают только при дополнительных предположениях на модуль непрерывности градиента Dv (типа гельдеровости). Видимо, тут сказалось то обстоятельство, что Я. Кристенсен, работая в Оксфорде в тесном контакте с упомянутыми Дж. Боллом и Б. Кирхеймом, хорошо знал те осложнения, которые может приносить уменьшение гладкости на единицу. Упомянутое ощущение до некоторой степени довлело и над его чешским соавтором Я. Коларом, и над некоторыми другими чешскими математиками (например, на конференции 35th Winter School in Abstract Analysis 2007 в Лоте над Рохановым, Чехия, М. Зеленый (M. Zeleny) в личной беседе с автором настоящей диссертации поведал о бывшем у него убеждении, что для общего случая C1-гладких функций результат Колара – Кристенсена неверен, и он некоторое время пытался даже построить соответствующий контрпример). На примере приведенного результата Я. Колара и Я. Кристенсена видно, что решение Проблемы 1 помогает получить информацию о множестве значений градиента функции v. Возникает Проблема 2. Каким условиям должно удовлетворять множество KRmn, чтобы дифференциальное соотношение Dv(x)K для всех x имело нетривиальные C1-гладкие решения v:RnRm? 42 (41) М.В. Коробковым установлено (см. [37]), что ответ в Проблеме 1 оказался все-таки положительным. С помощью этого результата в ходе данного проекта удалось существенно продвинуться в решении трудной Проблемы 2. При этом большую роль играют методы теории изэнтропических решений квазилинейных уравнений с частными производными. В теории квазилинейных уравнений законов сохранения фундаментальную роль играет понятие энтропийного решения. Это понятие появилось после пионерской работы Хопфа в работах С.Н. Кружкова [38], [39]. На базе этого фундаментального понятия С.Н. Кружкову удалось построить общую теорию глобальной разрешимости для некоторых важных классов дифференциальных уравнений. Теория энтропийных решений вошла уже в разряд мировой классики. Отталкиваясь от понятия энтропийного решения, ученик С.Н. Кружкова профессор Панов Е.Ю. ввел в своей кандидатской диссертации (1991) новое понятие изэнтропического решения. Говоря упрощенно, определение изентропического решения получается из определения энтропийного решения, если в последнем знак неравенства заменить знаком равенства. Первыми статьями, в которых обсуждалась теория изентропических решений, были совместные работы М.В. Коробкова и Е.Ю. Панова [40], [41]. Оказалось, что с помощью теории изэнтропических решений и других современных методов можно решить некоторые давно стоявшие проблемы. Например, М.В. Коробков совместно с Пановым Е.Ю. [41] нашли необходимые и достаточные условия на непрерывную функцию  с тем, чтобы Гамильтона-Якоби на плоскости vt=(vx) имело нетривиальные (т.е. неаффинные) C1-гладкие решения. В последнем уравнении производные vt, vx лишь непрерывны и, как может показаться сначала, это соотношение не может дать ничего больше естественного свойства непрерывности функции . Однако, согласно неожиданному результату М.В. Коробкова и Е.Ю. Панова, функция  должна удовлетворять достаточно жестким 43 аналитическим условиям, в частности,  должна быть дважды дифференцируема почти всюду. Этот результаты соприкасаются с указанным выше направлением исследований дифференциальных соотношений вида (41). Развитию этих результатов была посвящена серия работ [37], [42], [43]. В работе [37] М.В. Коробков исследовал более сложную проблему: случай произвольной C1-гладкой функции v двух переменных, у которой внутренность множества значений градиента пуста. В этом случае он установил, что множество значений градиента функции v локально представляет собой кривую, которая имеет в каждой точке касательные в некотором слабом смысле, и направление этих слабых касательных меняется как функция ограниченной вариации. В то же время удалось [43] построить C1-гладкую функцию двух переменных, у которой множество значений градиента является дугой, не имеющей касательной (в обычном смысле) ни в одной точке. Указанные результаты нашли применение в геометрии. А именно, оказалось, что график функции v, о которой шла речь выше, представляет собой нормальную развертывающуюся поверхность [37]. Вообще, вопрос о том, каким условиям должно удовлетворять множество K, чтобы оно было образом градиента C1-гладкой функции, привлекает внимание многих зарубежных исследователей. Отметим сравнительно уже упомянутую статью [KolarKristensen05], в которой доказано, что если множество K является образом градиента K=v(R2) некоторой функции vC1;0(R2), vconst, и если выполнены некоторые дополнительные условия (гельдеровость v и т.п.), то множество K является замыканием своей внутренности. Вопрос о том, будет ли это утверждение верным, если мы отбросим упомянутые дополнительные условия типа гельдеровости v, несколько лет оставался нерешенным. Положительный ответ на этот вопрос был получен в работе М.В. Коробкова [37]. 44 Отметим также работы [44], [45], в которых изучались геометрические свойства образов производных дифференцируемых (негладких) функций в многомерном случае изучались ранее. Подводя некоторый итог, можно сказать, что теория изентропических решений д.у. для случая функций двух переменных в значительной степени уже построена, и найдены ее обильные приложения в анализе и геометрии. Однако для случае функций многих переменных в теории изентропических решений сделаны лишь первые штрихи (см., например, [41]). Принципиальные открытые вопросы начинаются здесь уже на уровне определений. Например, до сих пор неясно, верно ли, что всякое непрерывное обобщенное решение соответствующего квазилинейного уравнения является его изентропическим решением? Не вызывает сомнений, что ответы на подобные вопросы позволят получить ряд новых тонких результатов не только в теории д.у., но и в анализе. Указанный ниже результат М.В. Коробкова является важным шагом в данном направлении. 1.4 Теория дифференциальных форм в категории римановых и субримановых многообразий 1.4.1 Дифференциальной формой степени k на гладком многообразии X называется произвольное локально-интегрируемое сечение над X расслоения внешней степени кокасательного расслоения T'X. Две формы на X одинаковы, если они совпадают на X почти всюду. Дифференциальная форма ω степени k на X обобщенно дифференцируема, если существует такая дифференциальная форма θ степени k+1 на X, что для каждой гладкой формы φ, носитель которой компактен, не пересекается с краем многообразия X и содержится в ориентируемой области выполнено равенство 45 , Этим равенством форма θ определяется однозначно. Форма θ называется дифференциалом dω формы ω. Предположим теперь, что на X задана гладкая риманова метрика. Эта метрика порождает в каждом слое расслоения скалярное произведение. Поэтому для каждой формы ω почти всюду на X определена функция |ω(x)|. Положим Здесь и в дальнейшем означает меру на X, порожденную римановой метрикой многообразия X. Пространство которых состоит из дифференциальных форм ω степени k, для , а пространство Пространство . является банаховым относительно . Отметим, что пространства нормы и совпадают. Лемма 1 ([46]). Если риманово многообразие D полно относительно метрики плотны в , то гладкие на D формы, имеющие компактный носитель, при . Пусть X – k-мерное гладкое ориентируемое многообразие без края конечного объема, – единичный шар в , . Пространство образовано k-формами, модуль которых интегрируем в степени p, а модуль дифференциала в степени q. 46 В следующем утверждении для дифференциальных форм установлен аналог аналог теоремы вложения Соболева о вложении пространства Соболева в пространство суммируемых функций. Теорема 1. Пусть ω – гладкая форма с компактным носителем на D, . Тогда существует константа C, зависящая только от X, m, p, q, такая, что выполнено неравенство Если форма , то в силу леммы 1 существует такая последовательность гладких k-форм с компактными носителями , что Это свойство позволяет определить интеграл Пусть есть другая последовательность гладких форм с компактными носителями , что Тогда Таким образом, для любой формы определен интеграл 47 , для почти всех Для того, чтобы выяснить, для каких слоев определен воспользуемся фундаментальной теоремой Лебега ([47]) и определением интеграла для случая q>m (см., например, [46]). Тогда получаем следующее: Пусть – n-мерное многообразие с краем гладкое компактное ориентируемое , совпадающим с теоретико-множественная границей X, край обладает индуцированной ориентацией. В силу того, что пространства и совпадают, интеграл определен выше. Пусть и выполнено условие существования : В следующей теореме описаны условия, при выполнении которых справедлива формула Стокса для суммируемых форм, имеющих слабый суммируемый дифференциал. Теорема 3. Для описанного выше многообразия X, и формы справедлива формула Теорема 4. Для каждого 1≤ q<m, q≤p существует постоянная C, зависящая только от X, m, k, p, q, такая, что для всех Bm(R)Rm и для всех Wkp,q(XBm(R)) выполнено неравенство 48 где ,и 1.4.2 . Цель исследования – изучение нового класса отображений, который можно рассматривать, естественным образом обобщающий класс отображений с ограниченным искажением. Новый класс отображений служит новым средством для классификации римановых многообразий. 1.5 Геометрический анализ на (некоммутативных) группах Ли 1.5.1 В рамках анонсированных на данный этап задач были проведены следующие теоретические исследования. 1) Для одной системы векторных полей изучена зависимость между их областью определения, константой в обобщенном неравенстве треугольника и показателями анизотропности квазиметрики. Для этих целей было введено понятие обобщенного неравенства треугольника в точке, и найдены условия для его выполнения. В некоторой области O, принадлежащей евклидовому пространству R N рассмотрим набор Cr- гладких базисных векторных полей X1,…,XN, т. е. набор таких векторных полей, значения которых в каждой точке g, принадлежащей O, образуют базис касательного пространства TgO. Векторные поля X1,…,XN некоммутирующие, т.е. всюду в O имеет место следующая таблица коммутаторов [Xk,Xl]=∑j=1N CkljXj, Cklj  Cr-1(O), 49 (42) где функции Ckljне равны нулю тождественно. Для каждого положительного N-мерного вектора α=(α1,...,αN), где координаты вектора α упорядочены по возрастанию и больше либо равны 1, определим на области O квазиметрику dα (анизотропную метрику) следующим образом dα (u,v)=max{|ai|1/αi, i=1,...,N}, где в силу известных теорем v=exp(a1X1+...aNXN)(u), ai=const; о диффеоморфности (43) экспоненциального отображения такие константы ai существуют и единственны, величины 1/αi играют роль показателей анизотропности метрики dα вдоль направлений Xi. Напомним, см., например, [48] что неотрицательная функция d, определенная на A×A, где A─ некоторое множество, называется квазиметрикой, если: 1) величина d(u,v) больше либо равна 0 (аксиома неотрицательности); d(u,v)=0 тогда и только тогда, когда u=v (аксиома тождества); 2) d(u,v)≤ c1d(v,u) для некоторой константы c1, не зависящей от выбора u,v; в случае, когда c1=1, говорят, что d удовлетворяет аксиоме симметричности; 3) d(u,v) ≤ c2 (d(u,w)+d(w,v)) для некоторой константы c2, не зависящей от выбора u,v,w (обобщенное неравенство треугольника). В случае, когда c1= c2=1, функцию d называют метрикой. В предыдущий отчетный период нами были найдены необходимые и достаточные условия в терминах таблицы (0.1) и соотношений между компонентами вектора α для того, чтобы метрическая функция dα являла собой квазиметрику. За отчетный период для квазиметрик вида (0.2), индуцированных базисными векторными полями X1=(1,0,0,xy),X2= (0,1,0,xy), X3=(0,0,1,0), X4=(0,0,0,1) , изучена взаимосвязь между их областью определения, константой в обобщенном неравенстве треугольника и показателями анизотропности квазиметрики. Для этих целей нами введено следующее понятие. Неотрицательная функция f, определенная на A×A, удовлетворяет обобщенному неравенству треугольника в точке u, если найдется константа Qu(f) такая, что для всех точек g,v, принадлежащих 50 множеству A, выполняется f(u,v)≤ Qu (f(u,g)+ f(g,v)). Нами рассмотрены следующие квазимертики d1(u,v)=max{|ai|}, d2(u,v)=max{|a1|, |a2|, |a3|1/2, |a3|1/2}, d3(u,v)=max{|a1|, |a2|, |a3|1/2, |a3|1/3}, индуцированные векторными полями X1,X2, X3, X4, введенными выше, по правилу (43). Утверждение 1. 10 В точках u=(x,x,t,z) функция Qu(d3) ограничена некоторой константой Q, на множестве R4\ {(x,x,t,z)} функция Qu(d3) равна бесконечности; 20 функции d1, d2 удовлетворяют обобщенному неравенству треугольника на каждой ограниченной области O из R4. Результат утверждения 1 проанализирован с точки зрения существования так называемого нильпотентного касательного конуса. А именно, рассмотрим таблицу (0.1) для векторных полей X1,X2, X3, X4 в точке (0,0,0.0). Нетрудно проверить, что в этом случае Cklj=0 для всех i,j,k. Заметим, что каноническая алгебра Ли со структурными константами, тождественно равными 0, − стандартное евклидово пространство R4. Тогда в точке 0=(0,0,0,0), принадлежащей области определения векторных полей X1,X2, X3, X4 , мы можем формально определить нильпотентный касательный конус с векторным полям X1,X2, X3, X4 как группу Ли G, соответствующую векторным полям (Θ0)*ei, i=1,2,3,4, где ei − стандартные евклидовы орты пространства R4, Θ0 − экспоненциальное отображение, индуцированное векторными полями X1,X2, X3, X4, с центром в точке 0. Однако векторные поля (Δ1/ε0)*εdeg XiXi не сходятся к векторным полям (Θ0)*ei, i=1,2,3,4, при ε→0, где Δt0 = Θ0 ◦δt◦ Θ0, δt(a,b,x,y)=(tdegX1a, tdegX2b, tdegX3x, tdegX4y), deg X1=degX2=1, deg X3=2, deg X4=3, хотя имеет место следующее Утверждение 2. (Δ1/ε0)*εdeg XiXi (uε)= Xi (u), где uε= Θ0(εdegX1a, εdegX2b, εdegX3x, εdegX4y), u= Θ0(a,b,x,y)  Box3(0, ε0)={u R4 | d3(0,u)<ε0}. При этом имеет место следующее Утверждение 3. Если deg X1=degX2=1, deg X3=deg X4=2, то при ε→0 мы имеем на множестве Box2(0, ε0)={u R4 | d2(0,u)<ε0} следующие равномерные сходимости (Δ1/ε0)*εdeg XiXi (uε)→(Θ0)*ei (u), i=1,2,3,4, u= Θ0(a,b,x,y)  Box2(0, ε0), [(Δ1/ε0)*εdeg XiXi ,(Δ1/ε0)*εdeg XjXj ]→0, 51 2) Для 2-ступенчатых групп Карно доказано, что их шары в метрике Карно − Каратеодори удовлетворяют условию внутреннего cc-однородного конуса. Области, удовлетворяющие условию конуса, важны в теории пространств Соболева в теоремах вложения и интегральных представлениях типа Соболева через интегралы от самой функции и всех ее производных данного порядка. Области, удовлетворяющие условиям внутреннего и внешнего конусов, а также их обобщения (NTA-области, введенные Джерисоном и Кенигом [49]) играют важную роль в гармоническом анализе на евклидовых пространствах. Понятие однородного конуса в метрике Карно−Каратеодори (cc-однородный конус) одними из первых ввели Л. Капонья и Н. Гарофало [50] в 1995-1998 гг. в работах, связанных с граничным поведением решений субэллиптических уравнений на пространствах Карно−Каратеодори [51]. Примером таковых пространств являются группы Карно [52], в частности, группы Гейзенберга, снабженные метрикой Карно−Каратеодори. Отметим, что в работах [50] на двуступенчатых группах Карно был построен достаточно широкий класс ограниченных областей, удовлетворяющих условию однородного конуса; таковыми, в частности, являются области с C1,1- гладкой в обычном смысле границей. Существенным при построении таких примеров является то, что интегральные линии левоинвариантных векторных полей двуступенчатых групп Карно − обычные прямые линии. Однако данный факт не имеет места для групп Карно ступеней выше, чем 2, поэтому исследование ограниченных областей с гладкой границей на предмет их принадлежности классу областей, удовлетворяющих затруднительно. условию внутреннего однородного конуса Поэтому актуален поиск областей, удовлетворяющих условию cc-внутреннего однородного конуса, в классе областей с негладкой границей, тем не менее удовлетворяющих хорошими с точки зрения внутренней геометрии группы Карно метрическими свойствами. Таковыми 52 областями являются, например, шары в метрике Карно − Каратеодори группы Карно. Такую задачу мы решаем для 2-ступенчатых группалгебр Карно (каноническая реализация групп Карно). 2-ступенчатую группалгебру Карно G мы можем рассматривать как евклидово пространство RN с системой координат (x1,….xN) =x и следующей групповой операцией a·x=a+x+1/2 [a,x]=La(x) − левый сдвиг x на элемент a, коммутатор [a,x] (44) определяется при помощи следующей формальной таблицы [ek,el]=∑j=1N Ckljej, где ei deg ek =deg el=1, deg ej=2, Cklj =const, (45) − базисные орты евклидова пространства RN, разделенные на два непересекающихся множества E1, E2; орты ek, принадлежащие Ei, имеют степень deg ek =i, и все константы Cklj из (0.4), для которых k+l>2, равны нулю. Будем считать, что первые N1 ортов образуют E1, остальные образуют E2. Стандартным образом, используя (0.3), определяются левоинвариантные базисные векторные поля X1,…,XN. Пусть V1 − векторное подрасслоение касательного расслоения, натянутое на первые N1 векторные поля Xi, V2 − векторное подрасслоение касательного расслоения, натянутое на оставшиеся векторные поля. Из определения 2-ступенчатой группалгебры Карно вытекает, что V2=[V1, V1]. Векторные поля, принадлежащие V1, называются горизонтальными. Единица группалгебры G совпадает с точкой 0 (начало координат евклидова пространства RN), для каждого u G мы имеем u-1=-u. Параметризованная абсолютно непрерывная кривая γ(s), где s принадлежит отрезку [0,s0], называется горизонтальной, если для почти всех s ее касательный вектор в точке s принадлежит векторному пространству V1(γ(s)). Длина параметризованной горизонтальной кривой γ(s) определяется при помощи формы скалярного произведения, индуцированной векторными полями X1,…,XN, стандартным образом. По теореме Рашевского — Чоу любые две точки группалгебры Карн мы можем соединить абсолютно непрерывной параметризованной горизонтальной кривой конечной длины. Метрика Карно — Каратеодори dcc определяется на G как 53 dcc(u,v)=inf l(γ), где γ−горизонтальная абсолютно непрерывная кривая, соединяющая точки u,v. На метрическом пространстве (G, dcc) действует однопараметрическая группа растяжений δt , t>0, по правилу δt(x)=δt(x1,….xN)=(tdeg e1 x1,…., tdeg eN xN). Метрика dcc инвариантна относительно левых сдвигов и действия группы растяжений, т. е. dcc (Lau, Lav)=dcc (u,v), dcc (δtu, δtv)=t dcc (u,v). Открытые шары в метрике dcc с центром в точке u радиуса R мы будем обозначать символом Bcc(u, R) (СС-шары). Множество C(u,h,r) назовем ccоднородным конусом с вершиной в точке u, высотой h, радиусом r, если C(u,h,r) представляет собой объединение параметризованных кривых вида uδt(x), где x принадлежит некоторому cc-шару Bcc (y,r), а u не принадлежит Bcc (y,r). Говорим, что ограниченная область D удовлетворяет условию ccвнутреннего cc-однородного конуса, если найдется константа K>0 такая, что для каждой точки u∂D найдется cc-однородный конус C(u,h,r) cl D, h=h(u), r=r(u), такой, что K-1< h(u)<K, K-1< r(u)<K, где константа K не зависит от u. Доказательство выполнения условия внутреннего cc-однородного конуса для cc-шаров 2-ступенчатых группалгебр Карно базируется на следующих фактах: C∞-гладкость cc-кратчайших 2-ступенчатых группалгебр Карно и некоторых равномерных оценках производной произвольной ccкратчайшей 2-ступенчатой группалгебры Карно. Методы получения таких оценок основаны на детальном изучении cc-кратчайших как экстремалей соответствующей неголономной вариационной задачи. 1.5.2 Цель исследования – получение тонких свойств экстремальных поверхностей на неголономных структурах: в субримановой и сублоренцевой геометрии. Известно, что экстремальные поверхности важны для решения многих прикладных и теоретических задач. Минимальные (или, в более общем случае, экстремальные) поверхности – естественные обобщения геодезических. В евклидовых пространствах минимальные поверхности играют одну из основных ролей, так как они 54 часто возникают в природе: простейшим примером минимальной поверхности является мыльная пленка. В неголономной геометрии вопрос об их регулярности является одним из наиболее трудных и важных. В настоящее время исследованы только частные случаи неголономных минимальных поверхностей Н. Гарофало, его коллегами и учениками. Приложения минимальных поверхностей к построению моделей визуализации описаны в [53]-[55]. Доказано, что принципы, по которым человеческий мозг достраивает изображения, основаны на отсутствующую свойствах часть минимальных черно-белого поверхностей двуступенчатых пространств Карно – Каратеодори. Так как важно построение моделей визуализации для цветных изображений, то необходимо исследовать тонкие свойства минимальных поверхностей в пространствах Карно – Каратеодори глубины больше двух. Кроме того, свойства неголономных минимальных поверхностей полезны в физике и гравитации: например, при изучении черных дыр. В более общей ситуации, т. е., в сублоренцевой геометрии, остаются открытыми вопросы даже о базовых свойствах экстремальных (максимальных) поверхностей. Сублоренцева геометрия – “субриманово обобщение” геометрии Минковского (см., например, [56]), и сейчас она существенно менее исследована, чем упомянутые выше субриманова геометрия и геометрия Минковского. Иногда некоторые классы максимальных поверхностей интерпретируются как вселенные. Согласно гипотезе Нильсена (см. [57]), решения уравнения тяготения Эйнштейна физически содержательны тогда и только тогда, когда они реализуемы в виде поверхностей нулевой средней кривизны (т. е., максимальных поверхностей). Изучение максимальных поверхностей может выявить новые (даже для случая геометрии Минковского) свойства и приложения. Сказанное выше мотивирует иследование экстремальных поверхностей в субримановой и сублоренцевой геометрии. Один из полученных результатов в этом направлении – вывод необходимых условий на экстремальность поверхности. Нами введено 55 адекватное понятие кривизны поверхности, представляющей собой график липшицева относительно субримановых метрик отображения классов неголономных структур (точнее, структур, допускающих представление в виде двух пересекающихся в одной точке подмногообразий, «образующих» все многообразие), и показано, что если поверхность экстремальная, то ее средняя кривизна равна нулю. Отметим, что для решения задачи введено также новое понятие вариации отображения. Дело в том, что на субримановых структурах складывать точки мы не можем, поэтому невозможно напрямую определить вариацию вида f  g . Но в силу того, что на этих структурах существуют неголономные растяжения, то есть возможность «притянуть» одну точку к другой сколь угодно близко. Иными  словами, возможно сжать одну точку относительно другой. Для евклидовых пространств такое действие соответствует рассмотрению отображения f  (g  f ). При изучении свойств поверхностей на структурах важно знание и  тонких свойств этих структур. В ходе проекта получены новые тонкие результаты по локальной геометрии многообразий Карно в условиях минимальной гладкости базисных векторных полей: представление базисных полей через поля, определяющие локальную группу Карно, теорема Громова о сходимости масштабированных базисных векторных полей к нильпотентизированным, локальная аппроксимационная теорема для метрик Карно – Каратеодори, теорема Митчелла и др. Остановимся на некоторых результатах более подробно. Определение 1. Фиксируем связное риманово гладкое многообразие M размерности N. M называется многообразие Карно, если в касательном расслоении TM фиксировано подрасслоение HM, и существует набор dim HxM=dim H1<…<dim Hi<…<dim HM=N, 1<i<M, такой, что для каждой точки p  M существует окрестность U  M с набором C1, -гладких векторных полей X1,…,XN таких, что во всех точках v  U:   базис TvM;  1) X1(v),…,XN(v) образуют  56 2) Hi(v)= span{X1(v),…,Xdim Hi(v)} – подпространство TvM размерности dim Hi; 3) [Xi,Xj](v)= c (v)X k (v) , где степень deg Xk определяется как ijk k:degX k deg X i deg X j min{m|Xk Hm}; 4) фактор-отображение [. ,.]0:H1  Hj/Hj-1  Hj+1/Hj, H0={0}, индуцированное  скобками Ли, является эпиморфизмом для всех 1  j<M. Определение  2. Пусть N v  exp(  v i X i )(u) ,  N  (v)  exp(  u deg X i v i X i )(u) . i1 компактной   0. Тогда   Теорема  и i1 Громова окрестности (случай C1, -гладких имеем U M  ^ векторных равномерную полей). В сходимость ^ Du [ deg X i X i ]  X iu , i=1,...N, к полям {X iu }Ni1, образующим нильпотентную  градуированну алгебру Ли.   Теорема Громова следует из следующего свойства базисных векторных полей. Теорема (представление базисных векторных полей; C1, -гладкий случай). Пусть U  M – компактная окрестность, u,v  U , и риманово  N расстояние между u и v сравнимо с . Тогда X i   aij X j , где aij  ij  L(U) ,   i1 если deg Xi=deg Xj; aij  L(U) , если deg Xi>deg Xj, и aij  K(U)  если deg Xi<deg Xj.   deg X j deg X i   M degX j , Определение 3. Кривая  :[0,1]  M называется горизонтальной, если     (t)  H1, (t ) M для почти всех t  [0,1]. Расстояние Карно – Каратеодори dcc между точками x и  y определяется как точная нижняя грань длин   горизонтальных кривых, соединяющих x и y. Расстояние Карно – Каратеодори dccu в локальной группе Карно в точке u определяется аналогично.  57 Локальная аппроксимационная теорема (случай C1, -гладких векторных полей). В компактной окрестности U  M имеем равномерную оценку 1 | d (v,w)  dcc (v,w) | O( u cc Теорема   M  ) . Здесь точки v и w принадлежат шару B(u,) . Митчелла  C1, -гладких (случай векторных полей). Касательный конус в точке u к многообразию Карно  M – локальная группа  ^ Карно, определяемая векторными полями {X iu}Ni1.  1.5.3 Приведем сначала классическое определение субримановых пространств, которые естественным образом возникают в моделях неголономной и квантовой механики, нейробиологии, в теории оптимального управления, субэллиптических уравнений и т.д. Определение 1. Субримановым пространством M называется связное гладкое риманово многообразие с заданными на нем гладкими векторными полями X1,… ,Xm, которые горизонтальными всеми своими коммутаторами вплоть до некоторого конечного порядка M порождают все касательное пространство M в каждой точке (условие Хёрмандера). Число M называется глубиной субриманова пространства. Определение 2. Точка u многообразия M регулярной, если существует некоторая ее окрестность, в которой размерности всех Hk (подрасслоения, натянутые на коммутаторы порядка k-1 горизонтальных полей) постоянны, иначе точка называется нерегулярной. Случай нерегулярных точек существенно отличается от случая точек регулярных. Бурное развитие субримановой геометрии и ее приложений привело к необходимости выработки более общих постановок задач и новых методов для их решения. Основными направлениями обобщения при этом являются снижение гладкости порождающих пространство векторных полей и ослабление условия Хёрмандера о 58 порождении всего касательного пространства коммутаторами горизонтальных векторных полей (например, такая ситуация возникает в нелинейной теории оптимального управления [58]). Мы работаем со следующим определением. Определение 3. Пусть на связном гладком многообразии M задано произвольное число векторных полей X1,X2,…,Xq гладкости порядка 2M+1 на области U многообразия M, которым присвоены некоторые формальные степени deg(Xi)=di, 1<d_1<d_2<…<d_q< M. При этом коммутатору X_I=[Xi1,[…,[Xi(k-1),Xik] присваивается степень, равная однородному порядку: degX_I=|I|_h=di1+…+dik. Предполагается, что span{X_I(v):|I|_h≤M}=Tv M. Многообразие M с введенной структурой будем называть пространством Карно--- Каратеодори. В случае, когда естественное отображение, индуцированное скобкой Ли, является эпиморфизмом, M называется многообразием Карно. Одна из важных особенностей при таком определении состоит в том, что, варьируя значения степеней нерегулярных точек di, можно на менять пространстве. соотношение Для избежания регулярных и громоздкости обозначений, сформулируем все результаты для основного модельного случая, когда d1=1, dq=M. Основная трудность при работе с пространствами Карно -- Каратеодори состоит в том, что внутренней субримановой метрики dc, определяемой в классическом случае как точная нижняя грань всех горизонтальных кривых, соединяющих данные точки, при этом может не существовать. Мы работаем со следующей квазиметрикой (т.е., неравенство треугольника выполнено лишь в обобщенном смысле, с некоторой константой), введенной в [59] для удобства вычислений. 59 Аналогично классическому случаю [60]-[62] строятся аппроксимации X_Iû векторных полей X_I в точке u из M, которые образуют нильпотентную градуированную алгебру Ли и таковы, что X_I=X_Iû+R_I, где R_I имеют больший порядок малости (с учетом весовой структуры). Определим квазиметрику ρû по аналогии с ρ при помощи полей X_Iû. Основные результаты данной работы составляют следующие две теоремы. Теорема (локальная аппроксимационная теорема для квазиметрик). Для произвольной точки u  U и точек v,w U таких, что ρ(u,v)=O(),ρ(u,w)=O(), справедлива оценка Теорема (о касательном конусе для квазиметрик) Квазиметрическое пространство (U, ρû) является касательным конусом к квазиметрическому пространству (U, ρ). Касательный конус имеет алгебраическую структуру однородного пространства. Определение касательного конуса к квазиметрическому пространству введено С. В. Селивановой на предыдущих этапах проекта и представляет собой естественное (но не прямолинейное) обобщение теории Громова для метрических пространств. В случае многообразий Карно нами доказан аналог классической теоремы Рашевского—Чоу, и также доказаны локальная аппроксимационная теорема и теорема о касательном конусе. Доказательства по существу основываются на результатах для случая регулярных точек [64],[65], а также на синтезе и обобщении методов работ [59-64]. Кроме того, получен ряд новых свойств изучаемых квазиметрик. 1.5.4. В теории упругости исследуется следующий вопрос: что мы можем сказать о глобальной деформации твердого тела при условии, что локальные деформации малы? Известно, что если тензор деформации нулевой почти всюду в U, то f — движение при условии достаточной 60 регулярности. Если же деформации малы в каком-нибудь смысле на U, то каково глобальное отличие f от движения на всей области? Если глобальное отличие также мало, то это свойство называют геометрической жесткостью или устойчивостью изометрий. Если f — гомеоморфизм, для которого тензор деформации мал, то f будет локально билипшицевым (см., например, [66]). Это приводит к естественной интерпретации деформации как билипшицевых отображении. В 1961 году Ф. Джон [67] исследовал этот вопрос в более общей постановке: а именно, он рассмотрел отображение f :U → Rn, где U — открытое множество в Rn, n>1, и показал, что для локально (1 + ε)-билипшицевого отображения f, где ε < 1, существует движение φ такое, что ∥Df − Dφ∥p,U≤C1pε|U|1/p и sup{|f(x)−φ(x)|: x∈U}≤C2 diam(U)ε. Ф. Джон доказал второе соотношение для области U специальной природы, называемой сейчас областью Джона, а первое — на кубах. Позже Ю. Г. Решетняк [66] другим методом установил оба эти соотношения на областях Джона без ограничения на ε. Квазиконформный анализ в субримановой геометрии стал предметом интенсивного исследования после того, как были установлены связь квазиконформных отображений и функциональных классов на однородных группах, а также жесткость типа Мостова гиперболических пространственных форм. Проблема устойчивости изометрий в субримановом случае исследовалась только на группах Гейзенберга Hn в работе Водопьянова С.К. и Исангуловой Д.В. [68]. Они установили количественную теорему устойчивости изометрий на группах Гейзенберга: всякая (1+ε)- квазиизометрия области Джона группы Гейзенберга Hn, n > 1, близка к некоторой изометрии с порядком близости ε1/2+ε в равномерной норме и с порядком близости ε в норме Соболева Lp1. Также были приведены примеры, демонстрирующие асимптотическую точность полученных результатов. 61 Цель нашего исследования – доказать количественную жесткость изометрий на группе Карно глубины 3. Самой простой трехступенчатой группой Карно является группа джетов J2(R,R) (или группа Энгеля), которую мы и изучили. Элементы группы джетов J2(R,R) можно рассматривать в виде точек из R4 = {x=(x1, x2, x3, x4)} со следующей групповой операцией (x1, x2, x3, x4)·(y1, y2, y3, y4) =(x1+y1,x2+y2, x3+y3+x1y2, x4+y4+ x1y3+x12y2/2). Очевидно, 0=(0,0,0,0) – единица группы и x-1=(-x1,-x2,-x3+x1x2,-x4+x1x3-x12x2/2). Левоинвариантные векторные поля X1=∂1, X2=∂2+x1∂3+x12∂4/2, X3=∂3+x1∂4, X4=∂4 порождают алгебру Ли. При этом выполняются следующие коммутационные соотношения: [X1,X2] = X3, [X1,X3] = X4, [X2,X3]=[X1,X4]=[X2,X4]=[X3,X4]= 0. Векторные поля X1, X2 образуют горизонтальное подрасслоение H касательного расслоения. H и все коммутаторы полей из H образуют все касательное расслоение. Метрика Карно – Каратеодори d задается как инфимум длин всех горизонтальных кривых соединяющих две точки (напомним, что кусочно-гладкая кривая называется горизонтальной, если ее касательный вектор лежит в горизонтальном подрасслоении H почти всюду). Размерность по Хаусдорфу относительно метрики Карно – Каратеодори равна 7. Растяжение δs, s > 0, действует на группе J2(R,R) по правилу δs(x1, x2, x3, x4)= (sx1, sx2, s2x3, s3x4) и является гомоморфизмом группы. Мера Лебега на R4 является биинвариантной мерой Хаара. Пусть Ω — область в J2(R,R). Пространство Соболева Wq1(Ω), 1≤q≤∞, состоит из функций f : Ω → R, имеющих обобщенные производные X1f и X2f, и конечную норму ∥f|Wq1(Ω)||=∥f∥q,Ω+∥∇Lf∥q,Ω, где ∇Lf=(X1f,X2f) — субградиент функции f. Отображение принадлежит f:Ω→J2(R,R) Wq1(Ω,J2(R,R)), если выполнены следующие условия: 62 классу Соболева (A) Для всякого y∈J2(R,R) функция [f]y:x∈Ω→d(f(x),y) принадлежит классу Wq1(Ω); (B) Семейство функций {∇L[f]y} имеет мажоранту, принадлежащую Lq,loc(Ω), т. е. существует функция g∈Lq,loc(Ω), не зависящая от y, такая, что |∇L[f]y(x)|≤g(x) для почти всех x∈Ω. Если f – отображение класса Соболева, то базисные вектора X1(x), X2(x) горизонтального подпространства переходят Hx в векторы (X1f)(x), (X2f)(x)∈Hf(x) для почти всех x. То есть почти всюду выполняются так называемые слабые условия контактности: X1f2= X1f3= X1f4=0, X2f3= f1 X2f2, X2f4= f12 X2f2/2. Таким образом, определено отображение Dhf(x) = {Xifj(x)}i,j=1,2: Hx → Hf(x) горизонтальных подрасслоений, называемое аппроксимативным горизонтальным дифференциалом. В свою очередь, Dhf почти всюду определяет сохраняющий градуировку гомоморфизм алгебр Ли Df [Vod]. Определитель матрицы Df(x) называется (формальным) якобианом отображения f и обозначается символом J(x,f). Пусть U — открытое множество на группе джетов J2(R,R), а f:U→ J2(R,R) — непостоянное отображение класса Соболева W1q,loc(U,J2(R,R)). Отображение f принадлежит классу QI(L,U), L≥1 (является L- квазиизометрией), если J(x,f) не меняет знак на U и L−1|ξ|≤|Dhf(x)ξ|≤L|ξ| для всех векторов ξ∈Hx в почти всех точках x∈U. Если f ∈ QI(1,U), то отображение f будет изометрией на U. 1-квазиконформные отображения группы джетов описаны в работе [69]. Отсюда легко получить описание изометрий. Лемма (описание изометрий). Всякое изометрическое отображение группы джетов J2(R,R) является композицией отображений: 1(x1, x2, x3, x4)=(-x1, x2, -x3, x4) – отражение, 2(x1, x2, x3, x4)=(-x1, -x2, x3, -x4) – переворот, πa(x)=a·x, a∈J2(R,R), — левый сдвиг. 63 следующих трех Также как и в евклидовом случае Dhφ — постоянное отображение для всякой изометрии φ. Мы доказываем жесткость изометрий на области Джона. Область Ω⊂ J2(R,R) называется областью Джона J(α,β), 0<α≤β, если существует выделенная точка y∈Ω такая, что каждая точка x∈Ω может быть соединена с y спрямляемой кривой γ:[0,l]→Ω, параметризованной длиной дуги так, что γ(0)=x, γ(l)=y, l≤β, и dist(γ(s),∂Ω)≥αs/l для всех s∈[0,l]. Очевидно, что B(y,α)⊂Ω⊂B(y,β). Основной результат сформулирован в следующей теореме. Теорема (количественная жесткость изометрий). Пусть U — область Джона на группе джетов J2(R,R) с внутренним радиусом α и внешним радиусом β. Тогда для любого f ∈ QI(1+ε,U), существует изометрия θ, для которой sup{d(f(x),θ(x)) : x∈U} ≤ N1(β2/α)(ε1/3+ε) и  | D f ( x)  D  ( x) |   8    dx  2 | U | . U exp  h N2 h      Постоянные N1 и N2 не зависят от области U и отображения f. Растяжение δ1+ε показывает асимптотическую точность порядка близости в теореме. Метод доказательства теоремы так же, как и в [66], основан на линеаризации тензора дифференциального напряжения оператора на первого группе порядка джетов с в виде постоянными коэффициентами, ядро которого «почти» совпадает с алгеброй Ли группы изометрий. Пусть U — область на группе джетов J2(R,R). Однородный дифференциальный оператор Q действует на отображение u: U → R2 следующим образом: 64  1 Dh u  ( Dh u ) t  Qu  2  X 1u 2   ,  где Dhu={Xiuj}i,j=1,2. Лемма. Ядро оператора Q в классе Соболева W1p,loc(U,J2(R,R)), p>1, конечномерно: u∈kerQ тогда и только тогда, когда u=c, где c∈R2. Далее мы используем коэрцитивные оценки для оператора Q из работы [70] и получаем оценку на близость дифференциалов в интегральной норме. Поскольку дифференциал изометрии является постоянной матрицей, мы получаем, что дифференциал квазиизометрии принадлежит классу BMO, для которого известна экспоненциальная интегрируемость. Жесткость в равномерной норме с порядком близости ε1/3 получается из следующей леммы. Лемма. Пусть ||Dhf-I||p,B(0,1)<ε|B(0,1)|1/p, где B(0,1) – шар с центром в 0 радиуса 1. Тогда d(f(x),x)<C(ε1/3+ε) для всех x∈B(0,1/2). 1.6 Исследование регулярности решений дифференциальных уравнений, в частности, субэллиптических уравнений в геометрии векторных полей Известно, что теория эллиптических уравнений является одной из основных областей теории уравнений в частных производных и имеет многочисленные важные приложения. В частности, применительно к механике сплошных сред, такие уравнения описывают стационарные модели теории упругости, гидродинамики, теплопроводности и др. Линейное эллиптическое уравнение второго порядка характеризуется тем, что квадратичная форма при частных производных второго порядка в таком уравнении строго положительно определена. Последнее означает, что в рассматриваемом уравнении сумма слагаемых, содержащих частные производные второго порядка искомой функции, может быть записана как 65 n  Aij ( x ) i , j 1  2u , где n - число независимых переменных, для любого x  ( x1,..., xn ) xi x j матрица симметрическая положительно и определена, соответствующая т. е. A( x)(v, w)  квадратичная n  A ( x )v w i , j 1 ij i j форма удовлетворяет неравенству A( x )(v, v )  0 для любого не равного нулю вектора v . Последнее неравенство эквивалентно тому, что собственные значения матрицы A( x ) больше нуля. Можно также рассмотреть случай, когда соответствующая квадратичная форма неотрицательно определена, т. е. A( x )(v, v )  0 для любого v . Тогда рассматриваемое уравнение будет иметь параболический тип, если A( x ) имеет единственное нулевое собственное значение, причем собственные вектора vi ( x ) , отвечающие i  1,..., n  1 , положительным собственным значениям интегрируемое касательное подрасслоение. Последнее означает, что существуют многообразия размерности n  1 такие, что касательное пространство к этому многообразию в точке x совпадает с линейной оболочкой векторов vi ( x ) . Это определение можно обобщить на случай, когда матрица A( x ) имеет k линейно независимых собственных векторов, отвечающих нулевому собственному значению, предполагая, что k не зависит от x собственным значениям, и, что (n  k ) -мерное подрасслоение, соответствующее векторам, отвечающим интегрируемо. Такие положительным уравнения также собственным можно называть параболическими. Уравнение имеет субэллиптический тип, если, напротив, собственные вектора vi ( x ) , порождают отвечающие вполне положительным неинтегрируемое собственным касательное значениям, подрасслоение V ( x ) (обычно предполагается, что размерность V ( x ) не зависит от точки x ). Иначе говоря, если минимальным многообразием, касательное пространство к которому содержит это подрасслоение является все пространство Rn . 66 Параболические и субэллиптические уравнения возникают при описании моделей статистической физики, а также применительно к некоторым другим вопросам. В частности к другим статистическим задачам, а также при описании упругих деформаций некоторых композиционных материалов. При этом, несмотря на то, что они возникают в связи со схожими приложениями, свойства решений параболических и субэллиптических уравнений значительно различаются. Свойства решений субэллиптических уравнений более сходны со свойствами решений эллиптических уравнений. Теории эллиптических и субэллиптических уравнений имеют много общего. А именно, в постановках корректных краевых задач, доказательстве априорных оценок, исследовании регулярности решений уравнений, методах построения решений краевых задач, а также методах численного приближения решений различных задач для таких уравнений. Основные различия состоят в том, в каких функциональных классах отыскиваются решения, соответственно, доказываются априорные оценки и в терминах каких норм какие дискретные пространства используются в численных методах для построения решений таких уравнений. Если для классические эллиптических уравнений, функциональные как пространства правило, используются Гельдера, Соболева, Никольского, Бесова [71] и др., то для субэллиптических уравнений используются их аналоги, содержащие информацию об уравнении. Функция принадлежит классическому пространству Соболева W p1 , если она имеет обобщенные производные порядка 1 во всех направлениях, суммируемые в степени p . Решения субэллиптических уравнений ищут в пространстве функций, имеющих суммируемые в степени p обобщенные производные, только в направлениях, определяемых собственными векторами матрицы коэффициентов уравнения при старших производных A , соответствующих положительным собственным значениям. 67 Нормы этих функциональных пространств не эквивалентны. Однако, многие их свойства сходны. Так для «неклассических» пространств Соболева выполняются теоремы вложения [72] аналогичные классическим теоремам вложения Соболева. Также как пространства Соболева для субэллиптической ситуации можно приспособить специальные пространства Гельдера, Никольского, Бесова и др. Для этого при определении упомянутых пространств следует рассматривать разности не вдоль всех направлений, а только вдоль интегральных линий векторных полей vi ( x ) , соответствующих положительным собственным значениям матрицы A( x ) . Отметим, что в силу перечисленных выше условий, любые две точки можно соединить такой линией. Теория эллиптических уравнений развивается относительно давно и занимает важное место в теории уравнений в частных производных, см., например [73]. Интенсивное развитие теории субэллиптических уравнений началось относительно недавно и продолжается в настоящее время. В этой области работает много математиков, в их числе G. B. Folland, E. M. Stein, L. Capogna, N. Garofallo, D. Jerison, B. Franchi, D. Danielli, D.-M. Nhieu, D. Geller., A. Sanches-Calle, С. К. Водопьянов и др., см., например, [74]. Пионерские работы в этой, а также в смежной области связанной с изучением ультрапараболических уравнений принадлежат А. Н. Колмогорову [75], Л. Хермандеру, О. А. Олейник [76] и Е. В. Радкевичу. Л. Хермандер впервые рассмотрел специальные пространства Соболева для вывода априорных оценок решений таких уравнений [77]. Интерес к собственно субэллиптическим уравнениям возник после работы Г. Б. Фолланда 1973 г. [78], в которой он построил фундаментальное решение для одного субэллиптического линейного оператора, и последующего цикла его работ, продолжавших это исследование. 68 Современное развитие теории субэллиптических уравнений связано, с одной стороны, с многочисленными приложениями, с другой стороны, с появлением подходящего математического аппарата, в частности, с развитием теории функциональных пространств. Участники проекта продолжительное время работают в области теории функций, теории пространств Соболева, в том числе пространств Соболева, возникающих при изучении субэллиптических уравнений. В рамках этих исследований, выведены интегральные представления типа Соболева на группах Карно, доказаны коэрцитивные оценки [78], изучены многие другие вопросы о поведении функций упомянутых специальных классов Соболева. Также участники работали в области теории квазиконформных в смысле специальной метрики субэллиптическим отображений, уравнениям имеющей аналогично отношение тому, как к теория квазиконформных в смысле евклидовой метрики отображений связана с теорией эллиптических уравнений. Отметим связь теории субэллиптических уравнений с теорией конечномерных групп Ли. Субэллиптические уравнения с достаточно гладкими коэффициентами можно записать в виде  a ( x ) X X u( x )   b ( x ) X u( x )  c( x )u( x )  d ( x )  0, ij i j i, j i i i где квадратичная форма, соответствующая матрице aij ( x ) положительно определена; число m векторных полей n переменного x , система векторных полей условиям Хермандера. Xi меньше размерности X i : i  1,..., m удовлетворяет А именно, для любого целого неотрицательного числа l линейная оболочка этой системы векторных полей вместе с их коммутаторами порядка не выше l образует касательное подрасслоение некоторой фиксированной размерности, т.е. для любой точки x размерность пространства натянутого на вектора X i ( x ), [ X i , X i ]( x ), …, [...[ X i , X i ],..., X i ]( x ) не 1 69 2 1 2 l зависит от точки x , и для некоторого достаточно большого l эта размерность равна n . Отметим, что мы отождествляем векторные поля с операторами дифференцирования вдоль этих векторных полей. В важном частном случае X i : i  1,..., m представляет из себя набор векторных полей, порождающих вместе со своими коммутаторами алгебру Ли левоинвариантных полей некоторой стратифицированной нильпотентной группы Ли с носителем в Rn . В этом случае X i u представляет из себя не только производную функции u вдоль векторного поля X i , но и производную в смысле групповой операции, соответствующую однопараметрической подгруппе рассматриваемой группы (аналог частной производной). Описанный класс субэллиптических уравнений удобен тем, что для операторов вида m X X u i 1 i i можно построить фундаментальное решение. Т. е. указать ядро, групповая свертка с которым произвольной достаточно гладкой функции f будет являться решением уравнения m X X u  f . i 1 i i Под групповой сверткой (левой) ядра K с функцией f подразумевается функция K * f ( x )   K ( y ) f ( xy )d  ( y ) , где xy обозначает произведение в смысле рассматриваемой групповой операции, мера  инвариантна относительно левых и правых сдвигов на группе. Известно, что произвольный набор векторных полей, удовлетворяющих условиям Хермандера можно локально приблизить векторными полями, порождающими алгебру Ли некоторой конечномерной группы Ли. Этот прием позволяет строить функцию Грина для любого линейного однородного субэллиптического оператора второго порядка с достаточно гладкими коэффициентами. Как уже отмечалось, теории эллиптических и субэллиптических уравнений имеют много общего. Это означает, что многие идеи, методы и 70 подходы, применяемые в теории эллиптических уравнений можно адаптировать для исследования задач теории субэллиптических уравнений. Однако в некоторых случаях на этом пути возникают значительные сложности. Известно, что оценки Шаудера играют важную роль в теории эллиптических уравнений. Они позволяют эффективно находить решения линейных эллиптических уравнений с переменными коэффициентами методом продолжения по параметру. Кроме того, они позволяют доказывать существование решения задачи Дирихле для квазилинейных эллиптических уравнений, используя принцип Лере-Шаудера. Попытки адаптировать доказательство Шаудера для получения априорных оценок решений субэллиптических уравнений встречают на своем пути ряд трудностей как аналитического, так и геометрического характера. Поэтому участник проекта Н. Н. Романовский доказал оценки сходные с оценками Шаудера, но сформулированные не в терминах пространств Гельдера, а в терминах пространств Бесова. Это позволило избежать существенных трудностей, связанных с различными геометрическими аспектами. Кроме того, это позволило применить идеи, идущие от работ С. Л. Соболева, С. М. Никольского, О. В. Бесова, A. Johnsson, H. A. Wallin [80], легко адаптируемые для изучения свойств решений субэллиптических уравнений. Мы рассматриваем модельный случай субэллиптических уравнений: n =3, векторные поля X 1  (1,0,2 x2 ) , X 2  (0,1, 2 x1 ) порождают алгебру Ли группы Гейзенберга. Наряду с векторными полями Xˆ 1  (1,0, 2 x2 ) , Xˆ 2  (0,1,2 x1 ) , X1 , X2 перестановочные мы рассматриваем поля с полями X1 , удовлетворяющие аналогичным коммутационным соотношениям. 71 X2 и Векторные поля X 1 и X 2 левоинвариантны относительно операции на группе Гейзенберга, в то время как поля X̂1 и X̂ 2 правоинвариантны относительно этой групповой операции. Будем называть систему векторных полей X̂1 , X̂ 2 сопряженной системе полей X 1 , X 2 . Отметим, что если рассмотреть векторные поля e1  (1,0,0) , e2  (0,1,0) , e3  (0,0,1) (соответствующее им уравнение будет эллиптическим, а не субэллиптическим), то сопряженная система будет состоять из тех же векторных полей e1 , e2 , e3 . Рассмотрим разности вдоль направлений Xˆ i производных первого порядка вдоль векторных полей X j от некоторой функции. С помощью этих разностей определим стандартным образом пространства Бесова. В терминах норм таких пространств Бесова мы получаем априорные оценки норм решений субэллиптических уравнений. То, что мы учитываем дифференциальные характеристики рассматриваемых функций как вдоль направлений векторных полей Xˆ i , так и вдоль направлений полей X j , дает ряд преимуществ при выводе априорных оценок. Во-первых, правоинвариантность векторных полей Xˆ i позволяет получать оценки норм сингулярных интегральных операторов в смысле пространств Бесова, определяемых через разности вдоль этих векторных полей. Во-вторых, в силу перестановочности векторных полей Xˆ i и X j , для всякой L -гармонической функции u (т.е. для всякого решения уравнения X 12u  X 22u  0 ) разности функции вдоль полей u Xˆ i также будут L - гармоническими функциями. Мы получили оценку нормы решения субэллиптического уравнения через нормы коэффициентов и норму правой части уравнения, а также через 72 норму характеризующую поведение рассматриваемого решения вблизи границы. Эта оценка позволяет построить метод нахождения решений задачи Нейман для линейных субэллиптических уравнений с переменными коэффициентами. В качестве вспомогательного результата мы доказали теоремы вложения и интерполяционные неравенства для рассматриваемых пространств Бесова. Доказательства этих утверждений опираются на использование интегральных представлений через разности вдоль интегральных линий векторных полей X i , аналогичные представлениям через производные вдоль векторных полей X i , выведенные в работе участника проекта [79]. Такие представления могут быть выведены также с помощью техники О. В. Бесова, см. [71], используя переход к специальной системе координат на группе Гейзенберга, см. [79], аналогичной сферической системе координат. Кроме того, нами было начато исследование в области теории общих пространств Соболева. Было сформулировано определение пространств Соболева, состоящих из функций, заданных на произвольном метрическом пространстве с борелевской мерой. Это определение является более общим, чем известные ранее определения, в которых, как правило, налагаются условия на связь меры и метрики, например, условие удвоения. Более того, мы доказали компактность вложения таких пространств W p1 в Lq , где q зависит от p и некоторых геометрических свойств рассматриваемого пространства, а также свойств рассматриваемой на этом пространстве меры. Мы доказали новый критерий компактности семейства функций из Lq , заданных на вполне ограниченной области произвольного сепарабельного метрического пространства. 73 2 Отчет по обобщению и оценке результатов исследований 2.1 Модели, методы, программы и алгоритмы, позволяющие увеличить объем знаний для более глубокого понимания изучаемого предмета исследования новых явлений, механизмов или закономерностей В 2010 г. М.В. Коробковым доказано, что если кривая :RR22 обладает свойством: det((s)(t))0 для всех st, то любое решение u=u(x,y)C(), R2, системы (11(u))y(12(u))x=0, (46) (21(u))y(22(u))x=0, (47) понимаемой в смысле теории обобщенных функций (распределений по Шварцу), является иэнтропическим. Это означает, что для любого kR функции max(u,k) и min(u,k) также являются обобщенным решением той же системы (46). Метод доказательства основан на применении результатов из теории функций с конечным искажением (см. работу [81]) и теории квазивыпуклых множеств и функций (см., в частности, работу [82] ). Из этой теоремы вытекает множество следствий и приложений. Можно вывести, например, что для указанного решения u множество значений u) имеет нулевую меру Лебега. Далее, если кривая удовлетворяет более сильному условию det((s)(t))>c|(s)(t)|2 для всех st, то не существует непостоянных решений системы (46)-(47) и т.д. Указанный результат также позволяет сформулировать необходимые и достаточные условия на квазиконформную кривую, чтобы она была множеством значений градиента C1-гладкой функции из R2 в R2. Указанные выше результаты М.В. Коробкова нашли важное приложение в геометрии. Далее в этом пункте приводятся результаты из статьи [83]. 74 Как и принято, символом v обозначается матрица дифференциала Error! отображения v=(v1,,vm):RnRm Областью мы называем открытое связное множество. Всюду в дальнейшем Int E — внутренность множества E, E — граница множества E, meas E — мера Лебега множества E (в пространстве соответствующей размерности). Некоторые другие обозначения будут вводиться по ходу работы. Теорема 1.1. Пусть v:R — C1-гладкая функция на области R2. Предположим, что Intv()=. (48) Тогда measv()=0. Теорема 1.1 является прямым следствием следующих двух результатов. Теорема 1.2. Пусть v:R — C1-гладкая функция на области R2. Предположим, что выполнено равенство (3). Тогда график функции v является нормальной развертывающейся поверхностью. Напомним, что C1-гладкое многообразие SR3 называется нормальной развертывающейся поверхностью [84] (см. также [85]), если через каждую точку x0S проходит прямолинейный отрезок IS (точка x0 является внутренней точкой отрезка I) такой, что касательная плоскость к поверхности S стационарна вдоль I. Такие поверхности называют иногда торсами (см., например, [86]), а соответствующий отрезок I называется прямолинейной образующей. Известно (см., например, [85, глава 4, §3.2]), что если точка x0 нормальной развертывающейся поверхности S не имеет окрестности, в которой S представляет собой плоскую область, то проходящая через эту точку прямолинейная образующая единственна, и никакая другая точка этой прямолинейной образующей не имеет такой окрестности, причем эта прямолинейная образующая продолжается до границы поверхности. 75 Теорема 1.3. Сферическое изображение всякой C1-гладкой нормальной развертывающейся поверхности в R3 имеет площадь (двумерную меру Лебега) ноль. Напомним, что сферическим изображением поверхности S называется множество {n(x)|xS}, где символом n(x) обозначается единичный вектор нормали к поверхности S в точке x. Из Теорем 1.1–1.3 и классических результатов А.В. Погорелова (см. [87, глава 9]) непосредственно вытекают следующие утверждения. Следствие 1.4. Пусть сферическое изображение C1-гладкой поверхности в R3 не имеет внутренних точек. Тогда эта поверхность является поверхностью нулевой внешней кривизны в смысле Погорелова. Следствие 1.5. Всякая C1-гладкая нормальная развертывающаяся поверхность в R3 является поверхностью нулевой внешней кривизны в смысле Погорелова. Последнее утверждение дает ответ на вопрос, поставленный С.З. Шефелем (см. [88, Замечание 2]). Для теории отображений с конечным искажением существенным является следующий результата Теорема 2.1. Пусть KR22 — компактное множество топологической размерности не выше 1. Предположим, что существует число >0 такое, что A,BK |AB|2det(AB). Тогда для каждого липшицева отображения f:R2 области R2, удовлетворяющего условию f(x)K для почти всех (п.в.) x, справедливо тождество fconst. 76 Многие частные случаи Теоремы 2.1 (например, когда K=SO(2) или K есть отрезок) хорошо известны (см., например, [89]). Равномерную ограниченность отношений нельзя заменить их конечностью, как показывает следующий простой Пример 2.2. Рассмотрим отображение Error!, где ={(x,y)|y<x<0}. Элементарная проверка показывает, что K=Cl f() есть компактное множество с топологической размерностью 1 (оно является гладкой дугой), и det(AB)>0 для любой пары A,BK, AB. За последний год М.В. Коробковым получен ряд фундаментальных результатов по математической гидродинамике (см. [90], [91]). Далее в этом пункте излагаются основные результаты работы [91]. Всюду в дальнейшем будем предполагать, что R2 есть ограниченная область (открытое связное множество) с липшицевой границей. Символами Ē, E обозначается замыкание и граница множества E соответственно. Рассмотрим уравнения Эйлера в : (49) Здесь v=(v1,v2)W1;2(,R2) , pW1;q() для всех q[1,2). Хорошо известно, что если выполнено хотя бы одно из следующих двух условий (i) область  односвязна; (ii) для любой компоненты связности i границы  справедливо равенство Error! (здесь символом n обозначен вектор внешней нормали), то существует непрерывная функция :R, W2;2() (v2,v1) такая, что . Обозначим Error!. В силу сделанных предположений Error! для всех q[1,2). 77 Теорема 1 (Закон Бернулли). Пусть функции v, p суть решения уравнений Эйлера (Error! Reference source not found.), причем выполнено хотя бы одно из условий (i) или (ii). Тогда для любого связного множества K такого, что |K=const, справедливо утверждение |K=const, (50) при этом последнее равенство справедливо H1-почти всюду (п.в.). Здесь и далее связность понимается в смысле понятий общей топологии, символом |K обозначается сужение функции  на множество K, а символ H1 означает 1-меру Хаусдорфа: H1(F)=lim0+H1;(F) , где Error!. Замечание 1. В связи с формулировкой Теоремы 1 отметим, что по классическим теоремам о следах для каждой функции fW1;1() значения f(x) «хорошо определены» для H1-п.в. точек x. Поэтому на всем протяжении настоящей статьи мы считаем, что функция  и др. определены на замыкании . Функцию  обычно называют функцией тока, ее линии уровня называются линиями тока, а функция  называется напором. Тогда закон Бернулли можно переформулировать следующим образом: напор постоянен вдоль каждой линии тока. Прямым вычислением устанавливается, что (v2xv1y)(v2,v1)=(). Из этого тождества мгновенно вытекает классическая формулировка закона Бернулли в гладком случае. Частные случаи Теоремы 1 известны и в негладком случае (см., например, Теорему 2.2 из [92]), однако они требовали всякий раз отдельного, подчас довольно трудоемкого, доказательства. Доказательство Теоремы 1 в статье [91] основано на использовании следующих, недавно полученных, результатов. 78 Теорема A ([93]) Пусть fW2;1() f1(y) . Тогда для почти всех yR прообраз состоит из конечного семейства непересекающихся C1-гладких кривых Sj, j=1,…,N(y). Каждая кривая Sj либо гомеоморфна окружности, либо представляет собой простую (без самопересечений) дугу с концами на  (в последнем случае дуга Sj трансверсальна ). Более того, касательный вектор к каждой кривой Sj является абсолютно непрерывной функцией. Теорема B ([93]) Пусть fW2;1() . Тогда для каждого >0 существует открытое множество VR и функция gC1(R2) такие, что H1(V)< , и при f(x)∉V функция f дифференцируема в точке x с производной f(x), причем справедливы соотношения f(x)=g(x), f(x)=g(x)0. Теорема C ([93]) Пусть fW2;1() . Тогда для каждого >0 существует >0 такое, что для любого множества U если H1;(U)< , то H1(f(U))< Во всех сформулированных теоремах и в последующем при работе с соболевскими функциями мы предполагаем, что выбираются их наилучшие представители. Эти теоремы fW2;1() раскрывают неожиданный парадокс. Хотя функция может не иметь никакой классической гладкости (в частности, она может не быть даже C1-гладкой, тем не менее, ее почти все ее линии уровня имеют классическую fW2;1() C1-гладкость. В этом смысле, функция ведет себя лучше, чем C1-гладкие функции из примера Уитни. 79 Методы наших исследований основаны на разложениях типа Кэмпбелла − Хаусдорфа для базисных векторных полей различной степени гладкости, теории неголономного вариационного исчисления, а также геометрической теории отображений в субримановой геометрии. Используемые нами методы являются развитием методов и подходов, разработанных в 2007 – 2011 гг С.К. Водопьяновым и М.Б. Кармановой [96][102] для исследования субримановых структур. Основная идея этих подходов – непосредственное рассмотрение метрических объектов, “прямое” изучение их свойств без применения как методов, имеющих “сложную” структуру, так и требующих от объекта изучения таких свойств, как достаточно большая гладкость, невырожденность и т. д. (примером таких методов является применение известной формулы Бейкера – Кэмпбелла – Хаусдорфа), а также труднопроверяемых свойств. Такой принцип выбора методов исследования делает понимание получаемых результатов более доступным, в частности, для аспирантов и студентов, так как не требует изначального знания большого количества дополнительного материала, выходящего за рамки программы обучения в вузах. Кроме того, так как методы используют минимальное количество свойств изучаемых структур, то они позволяют получать существенно более тонкие результаты сравнительно с классическими для общеизвестных ситуаций. Рассмотрены субэллиптические уравнения вида 2 2 2  ( X  a ( x) X u( x)  X (b ( x)u( x)))   X i 1 i j 1 ij j i i V трехмерного X 2u ( x )  i 1 f ( x) , i i пространства, u u ( x )  2 x1 ( x) . x2 x3 80 где x есть X 1u( x )  точка области u u ( x )  2 x2 ( x) , x1 x3 Нетрудно видеть, что векторные поля, соответствующие дифференциальным операторам первого порядка X 1 и X 2 , удовлетворяют условия Хермандера. Более того, известно, что они порождают алгебру Ли группы Гейзенберга H 1 . Эти векторные поля являются левоинвариантными относительно групповой операции H1. Пусть u u Xˆ 1u( x )  ( x )  2 x2 ( x) , x1 x3 u u Xˆ 2u( x )  ( x )  2 x1 ( x) . x2 x3 Нетрудно видеть, что поля Xˆ i правоинвариантны относительно групповой операции H 1 , кроме того, они перестановочны с полями X j . Известно, что пространство Бесова определяется в терминах разностей. В данном случае разности берутся только вдоль интегральных линий векторных полей Xˆ i , при этом в соответствующую норму Бесова входят L p нормы подходящих разностных отношений. Пространство BX 1,p s (V ) состоит из функций, чьи первые производные вдоль векторных полей X 1 и X 2 принадлежат BX p0,s (V ) . Такая норма характеризует поведение функции u вблизи границы. Мы предполагаем, что область V ограничена и имеет гладкую границу. Доказанные оценки позволяют построить метод нахождения решений задачи Неймана для рассматриваемых уравнений. Полученные оценки верны для более широкого класса коэффициентов (с меньшим условие регулярности) чем классические оценки Шаудера. Они также как оценки Шаудера могут быть использованы для построения решений краевых задач методом продолжения по параметру. Рассмотрен только модельный трехмерный случай. Однако он наиболее часто встречается в приложениях. С нашей точки зрения, доказательство аналогичных неравенств в многомерном случае не потребует новых идей. Хотя, возможно, оно потребует более громоздких вычислений. Было начато исследование о возможности применения теории субэллиптических уравнений для изучения физических моделей деформации 81 композиционных материалов. Частично цели в этом направлении достигнуты. Было начато исследование о возможности построения теории пространств Соболева для функций со значениями в группе невырожденных матриц, а также других обобщений пространств Соболева, с целью применить соответствующий аналитический аппарат для исследования важных нелинейных задач механики сплошных сред и дифференциальной геометрии. Даны основополагающие определения, проверена их корректность, эквивалентность некоторых определений. Исследования этих вопросов находятся на начальном этапе, но с теоретической точки зрения они являются многообещающими. 2.2 Рекомендации по возможности использования результатов НИР в реальном секторе экономики Полученные в рамках НИР результаты по локальной структуре пространств Карно-Каратеодори их их приложения к теории оптимального управления могут быть применены для построения и анализа моделей фондовых рынков, а также для создания программных продуктов с алгоритмами планировании движения для различных механических систем. 3 Публикации результатов НИР 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 Заключение В ходе третьего этапа НИР «Методы метрической геометрии и анализа на неголономных многообразиях в задачах механики сплошных сред» коллектив под руководством д. ф.-м.н. профессора С. К. Водопьянова спешно выполнил все анонсированные задачи. Получены новые теоретические результаты в области метрической геометрии, теории соболевских гомеоморфизмов и квазиизометрических отображений, теории энтропийных и изэнтропийных решений, а также геометрического анализа на некоммутативных группах Ли и более общих пространствах Карно—Каратеодори. Полученные результаты применены для теоретического исследования и численного решения трехмерных нестационарных задач нелинейной теории упругости и пластичности, теории оптимального управления для неголономных систем, а также других задач механики сплошных сред. Отметим некоторые наиболее важные результаты. Факты, обобщение классических фактов гладкого анализа (таких, как теорема Морса-Сарда) на случай соболевских пространств, нашли применение в математической гидродинамике. В частности, доказан аналог закона Бернулли для соболеских решений уравнений Эйлера. Тем самым выкован новый тонкий инструмент исследований, что открывает новые перспективы. Получены новые результаты о свойствах нового класса отображений римановых пространств, основным из которых является емкостная оценка для образа конденсатора. Этот класс отображений является естественным обобщением класса отображений с ограниченным искажением. Для нового класса доказано следующее обобщение теоремы Лиувилля: если существует отображение данного класса двух римановых многообразий, то образ является параболическим многообразием, если только таковым является 96 прообраз. Как квалифицирующее средство римановых многообразий этот результат имеет такую интерпретацию: если образ – гиперболическое многообразие, а прообраз параболическое, то не существует отображения нового класса из одного многообразия в другое. Впервые исследована проблема жесткости изометрий на трехступенчатой группе Карно – группе джетов J2(R,R). Получена количественная жесткость изометрий на областях Джона группы джетов J2(R,R) в равномерной норме и в норме Соболева. Получены новые результаты как о тонких свойствах многообразий Карно, так и о свойствах классов поверхностей на них, разработаны новые методы исследования и новые подходы. Они будут обобщены использованы в дальнейшем для выявления существенно новых свойств субримановых и сублоренцевых структур, а также для исследования и решения адаптированных классических задач на неголономный случай. В частности, они важны для развития теории геометрического (оптимального) контроля на неголономных структруах, которая имеет огромное значение при решении важных прикладных задач физики (процесс диффузии, изучение черных дыр), квантового контроля (имеющего приложения в изучении ядерного магнитного резонанса и в медицине), экономики (финансы, теория биржевых котировок, в ценовые задачи, стохастические модели волатильности европейских фондовых рынков, в математические модели для облигаций и процентных ставок), нейробиологии (моделирование работы человеческого головного мозга, в частности, задачи визуализации), роботехники (отыскание траекторий, соединяющих две конфигурации системы, задача о машине с прицепами, движение космических аппаратов), и др. Результаты и методы могут быть использованы при подготовке спецкурсов для студентов и аспирантов. Проведенные исполнителями НИР исследования опубликованы в ведущих российских и зарубежных журналах и доложены на всероссийских и международных конференциях. 97 Список литературы [1] G. P. Leonardi, V. Magnani, Intersections of intrinsic submanifolds in the Heisenberg group // Preprint, 2010. arXiv:1009.5302v1 [2] A. Kozhevnikov, Rugosité des lignes de niveau des applications différentiables sur le groupe d'Heisenberg // Ecole Polytechnique, Palaiseau, France. Preprint, 2011. [3] Iwaniec T., Martin G. Quasiregular mappings in even dimensions // Acta Math. 1993. V. 170, 1. P. 29–81. [4] Donaldson S. K., Sullivan D. P. Quasiconformal 4-manifolds // Acta Math. 1989. V. 163, 3-4. P. 181–252. [5] Решетняк Ю. Г. Теоремы устойчивости в геометрии и анализе. // Новосибирск: Изд-во Института математики СО РАН, 1996. [6] Решетняк Ю. Г. Пространственные отображения с ограниченным искажением // Новосибирск: «Наука», 1982. [7] Rickman S. Quasiregular mappings. // Vol. 26 of Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Results in Mathematics and Related Areas (3)]. Berlin: Springer-Verlag, 1993. [8] Iwaniec T., Martin G. Geometric function theory and nonlinear analysis. Oxford Mathematical Monographs. // New York: The Clarendon Press Oxford University Press, 2001. [9] Astala K. Area distortion of quasiconformal mappings // Acta Math. 1994. V. 173. P. 37-60. [10] Astala K. Analytic aspects of quasiconformality. In Proceedings of the International Congress of Mathematicians (Berlin, 1998). V. II // Doc. Math. 1998. Extra Vol. II. P. 617-626. [11] Astala K., Clop A., Mateu J., Orobitg J., Uriarte-Tuero I. Distortion of Hausdorff measures and improved Painleve removability for quasiregular mappings // Duke Math. J. 2008. V. 141, 3. P. 539-571. 98 [12] Astala K., Iwaniec T., Saksman E. Beltrami operators in the plane // Duke Math. J. 2001. V. 107, 1. P. 27-56. [13] Iwaniec T., Koskela P., Onninen J. Mappings of finite distortion: monotonicity and continuity // Invent. Math. 2001. V. 144, P. 507-531. [14] Astala K., Iwaniec T., Martin G., Onninen J. Extremal mappings of finite distortion // Proc. London Math. Soc. (3). 2005. V. 91, 3. P. 655-702. [15] Водопьянов С. К., Гольдштейн В. М. Квазиконформные отображения и пространства функций с первыми обобщенными производными // Сиб. мат. журн. 1976. Т. 17, 3. С. 515-531. [16] Гольдштейн В. М., Решетняк Ю. Г. Введение в теорию функций с обобщенными производными и квазиконформные отображения // М.: «Наука», 1983. [17] Решетняк Ю. Г. Двумерные многообразия ограниченной кривизны // Геометрия-4: Нерегулярная риманова геометрия. – М., 1989. – С. 8-189. (Итоги науки и техники. Соврем. пробл. математики. Фундам. направления; Т. 70). [18] Борисов Ю. Ф. 1 Ca-изометрические погружения римановых пространств // Доклады АН. 1965. T. 163. С. 11-13. [19] Nash J. C1 isometric imbeddings // Ann. of Math. 1954. V. 60. P. 383-396. [20] Kuiper N. H. On C1-isometric imbeddings. I // Nederl. Akad. Wetensch. Proc. Ser. A. 1955. V. 58. P. 545–556. [21] Громов М. Дифференциальные соотношения с частными производными // М.: «Мир», 1990. [22] Müller S. Variational Models for Microstructure and Phase Transitions // Leipzig: Max-Planck-Institute for Mathematics in the Sciences, 1998. (Lecture Notes, 2. http://www.mis.mpg.de/jump/publications.html). [23] Ball J. M., James R. D. Fine phase mixtures as minimizers of energy // Arch. Rat. Mech. Anal. 1987. V. 100. P. 13-52. 99 [24] Šverák V. On regularity for the Monge-Ampere equation // Preprint, HeriotWatt University, 1991. [25] Chlebik M., Kirchheim B. Rigidity for the four gradient problem. // Leipzig: Max-Planck-Institute for Mathematics in the Sciences. 2000. Preprint 35. http://www.mis.mpg.de/jump/publications.html [26] Tartar L. Some remarks on separately convex functions. In Microstructure and phase transitions. // IMA Vol. Appl. Math. 54, Springer, 1993. P. 191-204. [27] Müller S., Šverák V. Unexpected Solutions of First and Second Order Partial Differential Equations. In Proceedings of the International Congress of Mathematicians (Berlin, 1998). V. II // Doc. Math. 1998. Extra Vol. II. P. 691702. [28] Müller S., Šverák V. Convex integration for Lipschitz mappings and counterexamples to regularity // Ann. of Math. (2). 2003. V. 157, 3. P. 715-742. [29] Kirchheim B. Rigidity and Geometry of Microstructures. Habilitation thesis //University of Leipzig, 2003. [30] Kirchheim B. Deformations with finitely many gradients and stability of quasiconvex hulls // C. R. Acad. Sci. Paris Ser. I Math. 2001. V. 332, 3. P. 289294. [31] Šverák V. On the problem of two wells in Microstructure and phase transitions // IMA Vol. Appl. Math. 54. Springer. 1993. P. 183-189. [32] Kirchheim B., Müller S., Šverák V. Studying nonlinear PDE by geometry in matrix space. In Geometric analysis and Nonlinear partial differential equations. // Springer-Verlag. 2003. P. 347-395. [33] Kirchheim B., Székelyhidi L. On the gradient set of Lipschitz maps //Preprint 16, MPI-MIS. 2007. [34] Faraco D., Székelyhidi L. Tartar’s conjecture and localization of quasiconvex hulls in R2ґ2 // Preprint 60, MPI-MIS. 2006. [35] Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнени // М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1949. 100 [36] Kolar J., Kristensen J. Gradient Ranges of Bumps on the Plane // Proceedings of the AMS. 2005. V. 133, 5. P. 1699-1706. [37] Коробков М.В. Свойства C^1-гладких функций, множество значений градиента которых является нигде не плотным множеством // Сиб. мат. журн. 2007. Т.48, No.6. С.1272-1284. [38] Кружков С.Н. Обобщенные решения задачи Коши в целом для нелинейных уравнений первого порядка // ДАН СССР. 1969. Т.187. No1. С.29-32. [39] Кружков С.Н. Квазилинейные уравнения первого порядка со многими независимыми переменными // Матем.сборник. 1970. Т.81. No2. С.228-255. [40]. Коробков М.В., Панов Е.Ю. К теории изэнтропических решений квазилинейных законов сохранения // Современная математика и ее приложения. 2005. Т.33. С.69-78. [41] Коробков М.В., Панов Е.Ю. Об изэнтропических решениях квазилинейных уравнений первого порядка // Матем. сборник. 2006. Т.197. No.5. С.99-124. [42] Коробков М.В. Об одном аналоге теоремы Сарда для C^1-гладких функций двух переменных // Сиб. мат. журн. 2006. Т.47, No.5. С.1083-1091. [43] Коробков М.В. Пример C^1-гладкой функции, множество значений градиента которой является дугой, не имеющей касательной ни в одной точке // Сиб. мат. журн. 2008. T. 49, No. 1. С. 134-144. [44] Mal'y J. The Darboux property for gradients // Real Anal. Exchange. 1996/97. V.22. No1. P.167--173 [45] Коробков М.В. Об одном обобщении теоремы Дарбу на многомерный случай // Сибирский мат. журн. 2000. Т.41. No1. С.118-133. [46] Гольдштейн В.М., Кузьминов В.И., Шведов И.А. Интегральное представление интеграла дифференциальной формы // Функциональный 101 анализ и математическая физика. Новосибирск: Ин-т математики СО АН СССР, 1985. С. 53-87. [47] Стейн И.М. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций // – М.: Мир, 1973, 344 с. [48] Aimar H., Forzani L., Toledano R. Balls and quasi-metrics: a space of homogeneous type modelling the real analysis related to the Monge-Ampere equations // Journ of Fourier Ann. And Appl. 1998. V. 4, N 4-5. P.377−381. [49] Jerison D., Kenig C. Boundary behavior of harmonic functions in non-tangentially accessible domain // Adv. Math.- 1982.- V. 47, N 1.- P. 80─147. [50] Capogna L., Garofalo N. Boundary behavior of non-negative solutions of subelliptic equations in NTA-domains for Carnot-Caratheodory metrics // Fourier Anal. Appl.- 1998.- V.4, N 4.- P. 403─432. [51] Gromov M. Carnot-Caratheodory spaces seen from within // Sub-Reimannian geometry.- 1996.- Basel: Birkhauser.- P. 79─323. [52] Bonfiglioli A., Lanconelli E., Uguzzoni F. Stratified Lie Groups and Potential Theory for their Sub-Laplacian // - Berlin, Heidelberg : Springer—Verlag, 2007. [53] G. Citti, A. Sarti. A cortical based model of perceptual completion in the rototranslation space // Lecture Notes of Seminario Interdisciplinare di Matematica 3 (2004), 145 – 161. [54] R.K. Hladky, S.D. Pauls Minimal surfaces in the roto-translation group with applicationsto a neuro-biological image completion model // arXiv:math.DG/0509636, 27 Sep. 2005. [55] J. Petitot Neurogéométrie de la vision. Modèles mathématiques et physiques des architectures fonctionelles // Les Éditions de l'École Polytechnique, 2008. [56] В.М. Миклюков, А.А. Клячин, В.А. Клячин Максимальные поверхности в пространстве-времени Минковского // Изд-во ВолГУ, 2011. [57] B. Nielsen Minimal immersion, Einstein’s equations and Mach’s principle // J. Geom. Phys., Vol. 4, 1987, P. 1 – 20. 102 [58] Coron J.-M. Stabilization of controllable systems // Sub-Riemannian Geometry, Progress in Math. Birkhauser. 1996. V. 144. P. 365--388. [59] Nagel A., Stein E.M., Wainger S. Balls and metrics defined by vector fields I: Basic properties // Acta Math. 1985. V. 155. P. 103--147. [60] H. Hermes. Nilpotent and high-order approximations of vector field systems // SIAM Review. 1991. V. 33. P. 238--264. [61] Rotshild L.P., Stein E.M. Hypoelliptic differential operators and nilpotent groups // Acta Math. 1976. V. 137. P. 247--320. [62] Bellaiche A The tangent space in sub-Riemannian geometry // SubRiemannian geometry. Birkh\"auser, Basel. 1996. V. 144. P.1--78. [63] Gromov M. Carno--Caratheodory spaces seen from within // Sub-riemannian Geometry, Progress in Mathematics. Birckhauser. 1996. V.144. 79--323. [64] Karmanova M., Vodopyanov S. Geometry of Carno-Caratheodory spaces, differentiability, coarea and area formulas // Analysis and Mathematical Physics. Trends in Mathematics, Birckhauser. 2009. P.233--335. [65] Водопьянов С. К., Карманова М. Б. Локальная аппроксимационная теорема на многообразиях Карно в условиях минимальной гладкости векторных полей // Докл. Акад. Наук. 2009. Т. 427, № 3. С. 305--311. [66] Решетняк Ю.Г. Теоремы устойчивости в геометрии и анализе // Новосибирск: Изд-во ИМ СО РАН, 1996. [67] John F. Rotations and strains // Comm Pure Appl. Math. 1961. V. 14. P. 391– 413. [68] Водопьянов С.К., Исангулова Д.В. Точные оценки геометрической жесткости изометрий на группах Гейзенберга // ДАН 2008, Т. 420, N 5, С. 583-588. [69] Warhurst B. Jet Spaces and Nonrigid Carnot Groups // Doct. Thesis. The University of New South Wales, 2005. [70] Isangulova D. V., Vodopyanov S. K. Coercive estimates and integral representation formulas on Carnot groups // Eurasian Math. J. 2010, V. 1, N 3. P. 58-96. 103 [71] Бесов О. В., Ильин В. П., Никольский С. М. Интегральные представления функций и теоремы вложения // М.: Наука, 1975. [72] Jerison D. The Poincare inequality for vector fields satisfying Hormander's condition // Duke Math. J. 1986. V. 53, N. 2. P. 503-523. [73] Гилбарг Д., Трудингер Н. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка (пер. с англ.).// М: Наука, 1989. [74] Bonfiglioli A., Lanconelli E. Uguzzoni F. Stratified Lie groups and potential theory for their sub-laplacians // Springer, 2007. 802 P. [75] Колмогоров А. Н. // Zufallige Bewegungen. Ann. of Math. 1934. V. 35, N. 2. P. 116-117. [76] Олейник О. А. О линейных уравнениях второго порядка с неотрицательной характеристической формой // Мат. сб. 1966. Т. 69, N. 1. С. 111-140. [77] Hormander L. Hypoelliptic second-order di_erential equations // Acta Math. 1967. V. 119. P. 147-171. [78] Folland G. B. A fundamental solution for a subelliptic operator // Bull. Amer. Math. Soc. 1973. V. 79, N. 2. P. 373-376. [79] Романовский Н. Н. Интегральные представления и теоремы вложения для функций, заданных на группах Гейзенберга Hn. // Алгебра и анализ. 2004. Т. 16, N. 2. С. 82-120. [80] Johnsson A., Wallin H. A. Whitney extension theorem in Lp and Besov spaces // Ann. Inst. Fourier. 1978. V. 28. P. 139-192. [81] Iwaniec T., Koskela P., Onninen J. Mappings of finite distortion: monotonicity and continuity // Invent. Math. 2001. V. 144, P. 507-531. [82] Šverák V. On Tartar’s conjecture // Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire. 1993. V. 10, No. 4. P. 405–412 [83] Коробков М. В. Свойства C^1-гладких функций, множество значений градиента которых топологически одномерно // Доклады РАН, 2010, том 430, № 1, с. 18–20. 104 [84] Шефель С.З. C1-гладкие изометрические погружения // Сиб. мат. журн. 1974. Т. 15, No. 6. С. 1372–1393. [85] Бураго Ю.Д. Геометрия поверхностей в евклидовых пространствах // Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. М.: ВИНИТИ, 1989. С. 5–97. (Итоги науки и техники. Т. 48. Геометрия-3). [86] Сабитов И.Х. Обобщение теоремы Погорелова-Стокера о полных развертывающихся поверхностях // Фундаментальная и прикладная математика. 2006. Т. 12, No. 1. С. 247–252. [87] Погорелов А. В. Внешняя геометрия выпуклых поверхностей. // М.: «Наука», 1969. [88] Шефель С.З. C1-гладкие поверхности ограниченной внешней положительной кривизны // Сиб. мат. журн. 1975. Т. 16, No. 5. С. 1122– 1123. [89] Muller S. Variational Models for Microstructure and Phase Transitions // Max-Plank-Institut fur Mathematik in den Naturwissenschaften, Leipzig (1998) (Lecture Notes, No2.) [90] Mikhail V. Korobkov, Konstantin Pileckas and Remigio Russo. On the flux problem in the theory of steady Navier–Stokes equations with nonhomogeneous boundary conditions // arXiv:1009.4024v1, [math-ph], 21 Sep 2010. [92] Amick Ch.J. Existence of solutions of nonhomogeneous steady Navier-Stokes Equations // Indiana U. Math. J. Vol. 33, No. 6. 1984. P. 817–830. [93] J. Bourgain, M.V. Korobkov and J. Kristensen. On the Morse– Sard property and level sets of Sobolev and BV functions // arXiv:1007.4408v1,[math.AP], 26 July 2010 [94] Karmanova M., Vodopyanov S. Geometry of Carnot-Caratheodory spaces, differentiability, area and coarea formulas // In: Analysis and Mathematical Physics, Trends in Mathematics, Verlag Basel/Switzerland: Birkhauser. 2009. P. 233-335. 105 [95] Водопьянов С.К., Карманова М.Б. Локальная геометрия многообразий Карно в условиях минимальной гладкости // Докл. АН, 2007. Т. 413, № 3. С. 305-311. [96] Водопьянов С.К., Карманова М.Б. Локальная аппроксимационная теорема на многообразиях Карно в условиях минимальной гладкости // Докл. АН, 2009. Т. 427, No 3. С. 731-736. [97] Karmanova M., Vodopyanov S. An Area Formula for Contact $C^1$Mappings of Carnot Manifolds // Complex Variables and Elliptic Equations. 2010. V. 55, Issue I-III. P. 317-329. [98] Водопьянов С.К., Карманова М.Б. Формула коплощади для гладких контактных отображений многообразий Карно // Докл. АН, 2007. Т. 417, № 5. С. 583-588. [99] Водопьянов С.К., Карманова М.Б. Формула площади для C1-гладких контактных отображений многообразий Карно // Докл. АН, 2008. Т. 422, № 1. С. 15-20. [100] Карманова М.Б. Новый подход к исследованию геометрии пространств Карно-Каратеодори // Докл. АН, 2010. Т. 434, No. 3. С. 309-314. [101] Карманова М.Б. Формула площади для липшицевых отображений пространств Карно – Каратеодори // Докл. АН, 2008. Т. 423, № 5. С. 603608. [102] Карманова М.Б. Характеристическое множество гладких контактных отображений пространств Карно-Каратеодори // Докл. АН, 2009. Т. 425, № 3. С. 314-319. 106

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО НАУКЕ И ИННОВАЦИЯМ » УДК 517.518+514.765+514.86+51-72+539.3

Products

Support

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО НАУКЕ И ИННОВАЦИЯМ » УДК 517.518+514.765+514.86+51-72+539.3

Add this document to collection(s)

Add this document to saved

Suggest us how to improve StudyLib