cкачать описание

Современный математический подход к проблемам фундаментальной физики
Фундаментальная научная проблема
Построение математического аппарата, служащего эффективным инструментом создания
и исследования космологических моделей эволюции Вселенной, основанных на данных
современных наблюдений.
Актуальность и современное состояние исследований по данной научной
проблеме
Дифференциальные уравнения являются эффективным средством описания и изучения
разнообразных процессов в физике, технике, химии, биологии и экономике, а также
важнейшей областью исследования, приводящей к развитию большинства отраслей
математики. Функциональный анализ, линейная алгебра, численный анализ и многие
разделы геометрии обязаны своим возникновением потребностям совершенствования
теории дифференциальных уравнений. В частности, теория непрерывных групп,
объединившая методы алгебры, анализа и геометрии и ставшая одним из краеугольных
камней современной математики, была создана Софусом Ли для унификации методов
интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений как обобщение теории
Абеля - Галуа решения алгебраических уравнений. Непрерывные группы, названные
Пуанкаре группами Ли, оказали глубокое влияние на многие области математики и
физики, такие как теория гравитации, гидродинамика, квантовая механика, теория
управления и другие. Основой применения групп Ли для изучении дифференциальных
уравнений является конструкция группы симметрии. В настоящее время имеется большое
количество книг, детально описывающих этот подход, см. [141, 37, 15, 9, 35, 61, 106, 41,
191]. В рамках классической теории Ли группа симметрии дифференциальных уравнений
состоит из тех невырожденных (обратимых) замен его независимых и зависимых
переменных и порожденных ими преобразований производных, которые переводят
совокупность решений этого уравнения в себя. Это условие дает сложные нелинейные
уравнения на функции, задающие эти преобразования {определяющие уравнения или
уравнения Ли). Фундаментальное открытие Ли состояло в том, что в случае непрерывных
групп преобразований эти нелинейные уравнения можно заменить на более простые
условия, перейдя от преобразований, близких к тождественному, к порождающим их
векторным полям {инфинитезимальным генераторам), то есть, на современном языке,
перейдя от группы Ли к ее алгебре Ли. Коэффициенты инфинитезимальных генераторов
удовлетворяют переопределенной системе линейных уравнений в частных производных
{инфинитезимальные определяющие уравнения). Анализ этой системы и ее
интегрирование позволяет в большинстве случаев найти инфинитезимальные генераторы
группы симметрии явно, хотя, например, в случае одного обыкновенного уравнения
первого порядка задача явного вычисления инфинитезимальных генераторов равносильна
задаче нахождения его общего решения, что не всегда возможно (см., например, [188, Ch.
VI]).__
Знание группы симметрии дифференциального уравнения позволяет явно находить
решения этого уравнения, инвариантные относительно различных подгрупп этой группы,
а также строить новые решения из уже известных. В случае обыкновенных
дифференциальных уравнений знание однопараметрической группы симметрии позволяет
понизить порядок уравнения на единицу. Как показал Ли, этот подход позволяет
унифицировать
различные
частные
приемы
интегрирования
обыкновенных
дифференциальных уравнений. Для уравнений в частных производных функции,
задающие решения, инвариантные относительно подгрупп группы симметрии,
удовлетворяют редуцированным уравнениям, содержащим, как правило, меньшее число
переменных, что упрощает задачу их анализа и решения. Многие модели математической
физики описываются дифференциальными уравнениями, содержащими числовые
параметры или произвольные функции, присутствие которых либо отражает неполноту
информации о модели, либо вызвано требованием расширить область ее применения.
Поэтому возникает задача классификации таких совокупностей дифференциальных
уравнений и выбора уравнений с наиболее богатой математической структурой, например,
таких уравнений, для которых можно построить большое количество точных решений.
Методы теории групп Ли оказываются действенными в решении таких задач. К этому
кругу вопросов примыкает проблема эквивалентности дифференциальных уравнений —
задача нахождения необходимых и достаточных условий, при которых два данных
дифференциальных уравнения связаны некоторой заменой переменных. Изоморфизм
групп симметрии дает необходимое условие эквивалентности, в то время как достаточное
условие формулируется в терминах дифференциальных инвариантов — функций от
переменнных уравнения и их производных, не меняющихся при преобразованиях,
входящих в группу симметрии. Инфинитезимальный метод С. Ли позволяет находить
дифференциальные инварианты групп симметрии, если явно известны ее
инфинитезимальные генераторы. Для этого требуется проинтегрировать еще одну
переопределенную систему уравнений в частных производных, [37, §24], [35, §2.5], [172,
Ch. 5]. Зачастую эта система оказывается весьма сложной, что вызывает значительные
трудности в применении инфинитезимального подхода к нахождению дифференциальных
инвариантов и решению проблемы эквивалентности для дифференциальных уравнений.
За последние сорок лет важные обобщения методов классической теории Ли групп
симметрии дифференциальных уравнений были разработаны в связи с развитием метода
обратной задачи рассеяния [59, 12] и связанных с ним концепций высших симметрии [8,
203] (называемых также обобщенными, [35], или преобразованиями Ли-Бэклунда, [15]) и
высших законов сохранения. Последовательная геометрическая формулировка метода
обратной задачи рассеяния, а также связанных с ней представлений нулевой кривизны,
структур продолжений Уолквиста-Эстабрука, преобразований Бэклунда, операторов
рекурсии, нелокальных симметрий и нелокальных законов сохранения, основана на
концепции дифференциального накрытия бесконечного продолжения дифференциального
уравнения [133, 134]. Существование дифференциального накрытия для данного
дифференциального уравнения позволяет применять разнообразные методы для его
исследования и получать значительную информацию о его решениях [59, 169, 104, 12, 43,
17, 127, 10, 1, 4, 128, 11, 184, 20]. Поэтому проблема нахождения накрытия для данного
дифференциального уравнения является весьма важной. В случае уравнений с двумя
независимыми переменными имеется хорошо разработанный подход к этой проблеме,
предложенный Уолквистом и Эстабруком в [204] и развитый в работах [95, 90, 133, 109,
134, 190, 149, 116]. Для дифференциальных уравнений с тремя и более независимыми
переменными проблема нахождения условий существования дифференциальных
накрытий является гораздо более сложной, [22, 23, 167, 168, 198, 54, 170, 107, 108, 182,
181]. Как показано в работе [148], для большинства таких уравнений накрытия являются
бесконечномерными.
Поэтому
проблема
существования
накрытия
для
дифференциального уравнения оказывается тесно связанной с бесконечномерными
группами Ли (или псевдогруппами Ли). Основы теории бесконечных непрерывных групп
преобразований были созданы Ли [141]. Эти работы были продолжены Ф. Энгелем, [142],
А. Трессом, [199, 200], П. Медолаги, [151], и Э. Вессио, [202]. Дальнейшее развитие
теория псевдогрупп Ли получила в работах Э. Картана, [73] -[76]. В отличие от
инфинитезимального метода Ли подход Картана к теории псевдогрупп Ли не использует
инфинитезимальные генераторы и основаны на описании преобразований из
псевдогруппы Ли в терминах инвариантных дифференциальных 1-форм, называемых
формами Маурера-Картана этой псевдогруппы. Для любой псевдогруппы Ли ее формы
Маурера-Картана могут быть найдены с помощью операций линейной алгебры и
дифференцирования и без использования интегрирования, что делает подход Картана
особенно удобным для применения в компьютерных системах аналитических
вычислений, таких как MAPLE, REDUCE, MATHEMATICA, и т.д. Выражения внешних
дифференциалов форм Маурера-Картана в терминах самих этих форм дают структурные
уравнения псевдогруппы Ли. Эти уравнения содержат полную информацию о
псевдогруппе, в частности, их коэффициенты дают базисные дифференциальные
инварианты псевдогруппы. Знание форм Маурера-Картана и дифференциальных
инвариантов для псевдогруппы симметрии дифференциальных уравнений позволяет
решать проблемы эквивалентности и классификации, а также явно находить отображения
между эквивалентными уравнениями. Кроме того, основанный на методе Картана подход
оказывается эффективным в приложении к проблеме нахождения накрытий в случае
уравнений с тремя или более независимыми переменными, [153, 161, 162, 163, 30, 165,
166]. В то время как методу Ли посвящена обширная литература (см., например, [141, 178,
72, 87, 88, 53, 36, 37, 15, 9, 35, 61, 106, 41, 191]), нам известно сравнительно небольшое
количество публикаций, в которых метод Картана применяется к симметриям
дифференциальных уравнений. В работах [125, ПО, 55] метод Картана был использован
для нахождения симметрии и решения проблем эквивалентности обыкновенных
дифференциальных уравнений. Отметим, что непосредственное перенесение этого метода
на случай уравнений в частных производных приводит к быстрому росту объема
вычислений с ростом количества независимых переменных, что делает невозможным его
применение с использованием современных компьютерных систем уже в случае трех
переменных. A.M. Васильев, [5], и К.П. Суровихин, [45] - [47], нашли формы МаурераКартана и структурные уравнения групп симметрии стационарных уравнений двумерной
газодинамики и нестационарных уравнений одномерной газодинамики. Статьи [102, 103,
126, 195] посвящены использованию метода Картана для нахождения симметрии
квазилинейных уравнений в частных производных второго порядка с двумя
независимыми переменными. Отметим, что методы работ [5, 45, 46, 47, 102, 103, 126, 195]
являются достаточно простыми, но не являются универсальными — они основаны на
априорном знании геометрических свойств изучаемых уравнений и не допускают
непосредственного переноса на другие классы уравнений. В работах [22, 23] метод
Картана был применен к проблеме нахождения накрытий для уравнений с тремя
независимыми переменными. Результаты этих работ были переоткрыты без
использования метода Картана через 20 лет, [21, 137]. В работах [69, 70, 68] был
предложен основанный на методе Картана подход к изучению законов сохранения
гиперболических и параболических уравнений второго порядка с двумя независимыми
переменными. Этот подход был обобщен в [82] на случай параболических уравнений
второго порядка с тремя независимыми переменными и в работе [100] на случай
эволюционных уравнений высших порядков с двумя независимыми переменными. Как
показано в статьях [56, 55], метод Картана является удобным Как показано в статьях [56,
55], метод Картана является удобным инструментом для изучения интегрируемости по
Дарбу гиперболических уравнений второго порядка с двумя независимыми переменными.
Работы [145, 146] посвящены разработке метода нахождения структурных уравнений
псевдогрупп симметрии дифференциальных уравнений из их инфинитезимальных
определяющих уравнений. Этот метод применим только в случае транзитивных
псевдогрупп и не позволяет находить явно их формы Маурера-Картана.
Новый метод изучения псевдогрупп Ли был предложен в работах П. Олвера, Ю.
Похъянпелто и их сотрудников [173, 174, 79, 80, 201]. Он позволяет находить структурные
уравнения и формы Маурера-Картана непосредственно из инфинитезимальных
определяющих уравнений псевдогрупп симметрии, в том числе и в интранзитивном
случае. При этом метод дает бесконечные наборы форм Маурера-Картана и бесконечные
системы структурных уравнений, так что необходимо совершить дополнительные
действия для выделения их конечных подсистем, необходимых для эффективной работы с
изучаемыми псевдогруппами. В работе [96] П. Олвером и М. Фелсом был развит
намеченный Э. Картаном в [74, §13] подход к нахождению форм Маурера-Картана
псевдогрупп симметрии обыкновенных дифференциальных уравнений, названный
методом подвижного корепера {the moving coframe method). Отметим также работы [14,
48, 84, 85, 86], в которых с помощью метода Картана изучались преобразования Бэклунда
для уравнений с двумя независимыми переменными.
Конкретные задачи в рамках фундаментальной проблемы
Можно выделить следующие конкретные задачи, выполнение которых необходимо
для достижения главной цели.
1. Освоение метода эквивалентности Картана и структурной теории
псевдогрупп Ли.
2. Освоение техники нахождения форм Маурера-Картана и структурных
уравнений псевдогрупп симметрии вложенных подмногообразий.
3. Приобретение умения построения накрытий дифференциальных
уравнений.
4. Применение накрытий для построения точных решений (на примерах).
5. Разработка метода, позволяющего использовать симметрии и накрытия
дифференциальных уравнений для построения численных решений. Приложение
метода к классической и модифицированной теориям гравитации.
Ожидаемые научные результаты
1. Будет вычислена алгебра инфинитезимальных симметрий уравнений Эйнштейна в
классической и модифицированной теориях гравитации.
2. Будут вычислены формы Маурера – Картана и структурные уравнения
псевдогрупп симметрий уравнений Эйнштейна.
3. Будут построены накрытия и исследованы высшие нелокальные симметрии
данных уравнений, а также найдены новые семейства точных решений.
4. Будет разработан и обоснован алгоритм получения численных решений с
использованием симметрий и накрытий. С помощью данного алгоритма будут построены
новые численные решения из уже имеющихся. Будет дана оценка вычислительной
сложности используемого алгоритма.
Календарный план работ
В 2015 г. планируется:
Изучение литературы, участие в научных школах и иных мероприятиях по
изучаемой проблематике, апробация различных подходов на конкретных примерах,
численные расчеты и оценка их согласованности с теоретическими выводами.
В 2016 году планируется:
Уточнение Публикация полученных результатов.
Научное сотрудничество
Коллектив планирует развивать научные связи с ведущими зарубежными и
отечественными научными центрами.
Литература
[1] Абловиц М., Сигур X. Солитоны и метод обратной задачи. М.: Мир,
1989
[2] Ахатов И.Ш., Газизов Р.К., Ибрагимов Н.Х. Нелокальные симметрии.
Эвристический подход. // Современные проблемы математики. Новейшие
достижения. Т. 34, М.: ВИНТИ, 1989.
[3] Бахвалов Н.С., Жилейкин Я.М., Заболотская Е.А. Нелинейная теория
звуковых пучков. М.: Наука, 1982
[4] Богоявленский О.И. Опрокидывающиеся солитоны. Нелинейные интегрируемые
уравнения. М.: Наука, 1991
[5] Васильев A.M. Системы трех дифференциальных уравнений с частными
производными первого порядка при трех неизвестных функциях и
двух независимых переменных (локальная теория) // Матем. сборник,
1996, Т. 70 (112), С. 457 - 480
[6] Васильева М.В. Структура бесконечных групп Ли преобразований. М.:
МГПИ, 1972
7] Васильева М.В. Бесконечные группы Ли и их геометрические приложения.
М.: МГПИ, 1975
[8] Виноградов A.M. Теория высших инфинитезимальных симметрии нелинейных
дифференциальных уравнений с частными производными //
ДАН СССР, 1979, Т. 248, №2, С. 274-278
[9] Виноградов A.M., Красильщик И.С., Лычагин В.В. Введение в геометрию
нелинейных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1986
[10] Додд Р., Эйлбек Дж., Гиббон Дж., Моррис X. Солитоны и нелинейные
волновые уравнения. М.: Мир, 1988
[11] Дубровский В.Г. Применение метода обратной задачи к построению
точных решений (2+1)-мерных интегрируемых нелинейных эволюционных
уравнений. Дисс. ... д.ф.-м.н., Новосибирск, 1999
[12] Захаров В.Е., Манаков СВ., Новиков СП., Питаевский Л.П. Теория
солитонов. Метод обратной задачи. М.: Наука, 1980
[13] Захаров В.Е., Шабат А.Б. Схема интегрирования нелинейных эволюционных
уравнений математической физики методом обратной задачи
рассеяния. I // Функц. анализ и его прил., 1974, Т. 6, №3, С 43 - 53
[14] Звягин М.Ю. Преобразования Бэклунда уравнений Монжа-Ампера.
Дисс. ... к.ф.-м.н., Москва, МГУ, 1985
[15] Ибрагимов Н.Х. Группы преобразований в математической физике. М.:
Наука, 1983
[16] Ибрагимов Н.Х. Инварианты гиперболических уравнений: решение
проблемы Лапласа // Прикл. мат. техн. физ., 2004, Т. 45, № 2, С. 11-21
[17] Калоджеро Ф., Дегасперис А. Спектральные преобразования и солитоны. Методы решения и исследования нелинейных эволюционных уравнений.
М.: Мир, 1985
[18] Картан Э. Внешние дифференциальные системы и их геометрические
приложения. М.: МГУ, 1962
[19] Картан Э. Избранные труды. М.: МЦНМО, 1998
[20] Киселев О.М. Асимптотики решений многомерных интегрируемых
уравнений и их возмущений // Современная математика. Фундаментальные
направления. 2004, Т. 11, С. 3-149
[21] Кричевер И.М. Метод усреднения для двумерных "интегрируемых"
уравнений // Функц. анализ и прил., 1988, Т. 22, № 3, С 37-52
[22] Кузьмина Г.М. О геометрии системы двух дифференциальных уравнений
в частных производных // Ученые записки МГПИ, 1965, № 243,
С. 99 - 108
[23] Кузьмина Г.М. О возможности сведения системы двух уравнений с
частными производными первого порядка к одному уравнению второго
порядка // Ученые записки МГПИ, 1967, № 271, С. 67 - 76
[24] Ленг С. Алгебра. М.: Мир, 1968
[25] Лычагин В.В. Контактная геометрия и нелинейные дифференциальные
уравнения второго порядка // УМН, 1979, Т. 34, № 1, С. 137 – 165
[26] Морозов О.И. Проблема эквивалентности для класса обобщенных
уравнений Абеля // Дифференциальные уравнения^ 2003, Т. 39, № 3,
G. 423-424
. [27] Морозов О.И. Проблема эквивалентности для класса рациональных
обобщенных уравнений Абеля // Дифференциальные уравнения, 2005,
Т. 41, № 6,0.855-856
[28] Морозов 0:И. Геометрия класса уравнений Абеля и метод эквивалентности
Картана // Научный вестник МГТУ ГА, сер. Матем., физ., 2005,
, . № 91 (9),С.28-35
[29] Морозов О.И. Линеаризуемость и интегрируемость обобщенного уравнения
Калоджеро-Хантера-Сакстона // Научный вестник МГТУ ГА,
сер. Матем., физ., 2007, № 114 (4), С. 34-41
[30] Морозов О.И. Формы Маурера-Картана псевдогруппы симметрии и накрытие
второго небесного уравнения Плебанского // Научный вестник
МГТУ ГА, 2009, № 140, О. 14-21
[31] Морозов О.И. Контактные интегрируемые расширения псевдогрупп
симметрии и накрытия уравнений r-mdKP и r-dDym// Современные
проблемы математики, механики и их приложений. Материалы международной
конференции, посвященная 70-летию ректора МГУ академика
В.А. Садовничего. - М.: Университетская книга, 2009. С. 254-255
[32] Морозов 0.И. Проблема точечной эквивалентности для обыкновенных
дифференциальных уравнений второго порядка. I // Научный вестник
МГТУ ГА, 2010, № 157, С. 92-99
[33] Морозов О.И. Проблема точечной эквивалентности для обыкновенных
дифференциальных уравнений второго порядка. II // Научный вестник
МГТУ ГА, 2010, № 157, О. 100-106
[34] Морозов О.И. Проблема точечной эквивалентности обобщенных уравнений
Эмдена-Фаулера // Дифференциальные уравнения, 2010, Т. 46,
№ 6, С. 902-903
[35] Олвер П.Дж. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям.
М.:Мир, 1989
[36] Овсянников Л.В. Групповые свойства дифференциальных уравнений.
Новосибирск: СО АН СССР, 1962
[37] Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.:
Наука, 1978
[38] Павлов М.В. Уравнение Калоджеро и уравнения типа Лиувилля // Теор;
мат. физ., 2001, Т. 128, С. 927-932
[39] Поммаре Ж. Системы уравнений с частными производными и псевдогруппы
Ли. М:: Наука, 1983
[40] Рождественнский Б.Л. Яненко Н.Н. Системы квазилинейных уравнений
и их приложения в газодинамике. М. : Наука, 1968.
[41] Симметрии и законы сохранения уравнений математической физики /
Под ред. A.M. Виноградова и И.С. Красильщика, М.: Факториал, 1997
[42] Синцов Д.М. Заметки об уравнениях, аналогичных уравнению Риккати. // К вопросу о рациональных интегралах линейных дифференциальных
уравнений. Казань, 1897
[43] Солитоны / под ред. Р. Буллафа и Ф. Кодри. М.: Мир, 1983
[44] Стернберг С. Лекции по дифференциальной геометрии. М.: Мир- 1970
[45] Суровихин К.П. Внешние формы Картана и отыскание основной группы,
допускаемой данной системой уравнений // Вестник МГУ, Сер.
Мат. Мех., 1965, № 6, С. 70 - 81
[46] Суровихин К.П. О групповой классификации методом Картана уравнений
одномерного течения газа // ДАН СССР, 1966, Т. 171, № 1, С. 55 58
[47] Суровихин К.П. Структурные уравнения при наличии интранзитивной
группы в случае общих одномерных течений газа // Вестник МГУ, Сер.
Мат. Мех., 1967, № 1, С. 56 - 64
[48] Ферапонтов Е.А. Преобразования Бэклунда квазилинейных систем
дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка
при двух независимых переменных. Дисс. ... к.ф.-м.н., Москва,
МГУ, 1987
[49] Фиников С П . Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии.
Теория совместности систем дифференциальных уравнений в
полных дифференциалах и частных производных. М.: ГИТТЛ, 1948
[50] Хамитова Р.С. Структура группы и базис законов сохранения // Теор.
мат. физ., 1982, Т. 52, № 2, С. 244-251
[51] Христианович С.А., Рыжов О.С. О нелинейном отражении слабых
ударных волн // Прикл. мат. техн. физ., 1958, Т. 58, № 5, С. 586-595
[52] Чеботарев Н.Г. Теория групп Ли. М.: Гостехиздат, 1949
[53] Эйзенхарт Л.П. Непрерывные группы преобразований. М.: ИЛ, 1954
[54] Alfinito Е., Profilo G., Soliani G. Properties of equations of the continuous
Toda type // J. Phys. A, 1997, Vol. 30, P. 1527-1547
[55] Anderson I.M., Fels M.E. Transformations of Darboux integrable systems //
Differential Equations: Geometry, Symmetries, and Integrability: The Abel
Symposium 2008, Abel Symposia 5, Berlin: Springer-Verlag, 2009. P. 21 48
[56] Anderson I.M., Juras M. Generalized Laplace invariants and the method of
Darboux // Duke J. Math., 1997, Vol. 89, P. 351-375
[57] Babich M.V., Bordag L.A. Projective differential geometrical structure of
the Painleve equations // J. Diff. Eq., 1999, Vol. 157, P. 452 - 485
[58] Backhand A.V. Ueber Flachentransformationen // Math. Ann., 1876, Vol. 9,
P. 297-320
[59] Backlund Transformations, the Inverse Scattering Method, Solitons, and
Their Applications. Lect. Notes Math., 515 / Miura R.M., Ed. N.Y.:
Springer-Verlag, 1976
[60] B-laszak M. Classical R-matrices on Poisson algebras and related dispersionless
systems // Phys. Lett. A, 2002, Vol. 297, P. 191-195
[61] Bluman G.W., Kumei S. Similarity Methods for Differential Equations.
Appl. Math. Sci., No 13, N.Y.: Springer-Verlag, 1989
[62] Bluman G.W., Anco S.C. Symmetry and Integration Methods for Differential
Equations. N.Y.: Springer-Verlag, 2002
[63] Bluman G.W., Cheviakov A.F., Anco S.C. Applications of Symmetry
Methods to Partial Differential Equations. Appl. Math. Sci., No 168. N.Y.:
Springer-Verlag, 2010
[64] Bogdanov, L.V., Konopelchenko, B.G.: On the S -dressing method applicable
to heavenly equation // Phys. Lett. A, 2005, Vol. 345, P. 137-143
[65] Bordag L.A., Dryuma VS. Investigation of dynamical systems using tools
of the theory of invariants and projective geometry // Z. Angew. Math.
Phys., 1997, Vol. 48, P. 725 - 743
[66] Brunelli J.C., Das A., Popowicz Z. Deformed Harry Dym and Hunter-Zheng
equations // J. Math. Phys., 2004, Vol. 45, P. 2646-2655
[67] Bryant R.L., Chern S.S., Gardner R.B., Goldschmidt H.L., Griffiths P.A.
Exterior Differential Systems. N.Y.: Springer-Verlag, 1991
[68] Bryant R.L., Griffiths Ph.A.: Characteristic cohomology of differential
systems (II): conservation laws for a class of parabolic equations // Duke
Math. J., 1995, Vol. 78, P. 531-676
[69] Bryant R.L., Griffiths Ph.A., Hsu L. Hyperbolic exterior differential systems
and their conservation laws. I // Selecta Math. New Ser., 1995, Vol. 1, No
1, P. 21-112
[70] Bryant R.L., Griffiths Ph.A., Hsu L. Hyperbolic exterior differential systems
and their conservation laws. II // Selecta Math. New Ser., 1995, Vol. 2, No
1, P. 265-323
[71] Calogero F. A solvable nonlinear wave equation // Stud. Appl. Math., 1984,
Vol. 70, P. 189-199
[72] Campbell J.E. Introductory Treatise on Lie Theory of Finite Continuous
Transformation Groups. Oxford, 1903
[73] Cartan Ё. Sur la structure des groupes infinis de transformations // (Euvres
Completes, Part II, Vol. 2, P. 571-715. Paris: Gauthier - Villars, 1953, русский
перевод в [19]
[74] Cartan E. Les sous-groupes des groupes continus de transformations //
(Euvres Completes, Part II, Vol. 2, P. 719-856. Paris: Gauthier - Villars,
1953, русский перевод в [19]
[75] Cartan Ё. Les problemes d'equivalence // (Euvres Completes, Part II, Vol.
2, P. 1311-1334. Paris: Gauthier - Villars, 1953
[76] Cartan Ё. La structure des groupes infinis // (Euvres Completes, Part II,
Vol. 2, P. 1335-1384. Paris: Gauthier - Villars, 1953, русский перевод в
[19]
[77] Cartan Ё. Sur les varietes a connexion projective // Bull. Soc. Math. France,
1924, Vol. 52, P. 205-241
[78] Chang J.-H., Tu M.-H.: On the Miura map between the dispersionless KP
and dispersionless modified KP hierarchies // J. Math. Phys., 2000, Vol. 41,
P. 5391 - 5406
[79] Cheh J., Olver P.J., Pohjanpelto J. Maurer-Cartan equations for Lie symmetry
pseudo-groups of differential equations // J. Math. Phys., 2005, Vol.
46, 023504
[80] Cheh J., Olver P.J., Pohjanpelto J. Algorithms for differential invariants of
symmetry groups of differential equations // Foundations of Computational
Mathematics, 2008, Vol. 8, R 501-532
[81] ClairinJl Sur les transformations de Baecklund // Ann. Sci Ecole Norm.
Sup.. 1902; Vol. 3, Supplement, P. 1-63
[82] Glelland J.N. Geometry of conservation laws for a class of parabolic partial
differential equations I // Selecta Mathematical New Series, 1997, Vol; 3, P/
1-77
[83] Clelland JiN. Geometry of conservation laws for a class of parabolic
PDEs II: Normal forms for equations with conservation laws // Selecta
Mathematica, New Series, 1997, Vol-3, P. 497-515
[84] Glelland J.N. Homogeneous Backlund; transformations of hyperbolic MongeAmpere systems // Asian J. Math., 2002, Vol. 6 , P. 433 - 480
[85] Clelland JiN., Ivey T.A. Parametric Backlund transformations I: phenomenology
// Trans. Amer. Math. Soc. 2005, Vol. 357, P. 1061 - 1093
[86] Clelland J.N., Ivey T.A. Backlund transformations and Darboux integrability
for nonlinear wave equations // Asian J. Math;, 2009, Vol. 13, P. 15 -
64
[87] Cohen A. An Introduction to the Eie Theory of One-Parameter Groups, with
Applications to the Solution of Differential Equations. N.Y.: D.C. Heath &
Co, 1911
[88] Dickson L.E. Differential equations from the group standpoint // Ann.
Math., 1924, Vol. 25, P. 287-378
[89] Dodd R.K., Morris H-iG. Backlund transformations // [104], P. 63 - 94
[90] Dodd R., Fordy A. The prolongation structures of quasi-polynomial flows
// Proc. Roy. Soc. London, A, Vol. 385, P. 389^29
[91] Dryuma V On the Riemann and Einstein-Weil geometry in theory of the
second order ordinary differential equations. Preprint, www. a r X i v . o rg
: math.DG/0104278 (2001)
[92] Dunajski M. A class of Einstein-Weil spaces associated to an integrable
system of hydrodynamic type / / J , Geom. Phys., 2004, Vol. 51, P. 126 - 137
[93] Dunajski M. Interpolating dispersionless integrable system // J. Phys. A,
2008, Vol. 41, 315202
[94] Ermakov S. Short wave / long wave interaction and amplification of decimeterscale wind waves in film slicks // Geophysics Research Abstracts,
2006, Vol. 8, 00469
[95] Estabrook F.B.: Moving frames and prolongation algebras // J. Math. Phys.,
1982, Vol. 23, P. 2071-2076
[96] Fels M., Olver P.J.: Moving coframes. I. A practical algorithm // Acta. Appl.
Math., 1998, Vol. 51, P. 161-213
[97] Ferapontov E.V., Khusnutdinova K.R.: The characterization of twocomponent
(2+l)-dimensional integrable systems of hydrodynamic type //
J. Phys. A.: Math. Gen., 2004, Vol. 37, P. 2949 - 2963
[98] Ferapontov E.V., Khusnutdinova K.R., Tsarev S.P.: On a class of threedimensional
integrable Lagrangians // Comm. Math. Phys., 2006, Vol. 261,
P. 225 - 243
[99] Ferapontov E.V., Moro A., Sokolov V.V: Hamiltonian systems of hydrodynamic
type in 2+1 dimensions. Preprint www. a r X i v :0710.2012 (2007)
[100] Foltinek K. Third-order scalar evolution equations with conservation laws
// Selecta Math., New Sen, 2002, Vol. 8, P. 201-235
[101] Gardner R.B. The Method of Equivalence and Its Applications. CBMS-NSF
regional conference series in applied math., Philadelphia: SLAM, 1989
[102] Gardner R.B., Kamran N. Characteristics and the geometry of hyperbolic
equations in the plane // J. Diff. Eq., 1993, Vol. 104, P. 60-116
[103] Gardner R.B., Kamran N. Normal forms and focal systems for determined
systems of two first-order partial differantial equations in the plane //
Indiana Math. J., 1995, Vol. 44, P. 1127-1161
[104] Geometrical Approaches to Differential Equations. Lect. Notes Math., 810.
/ Martini R., Ed. N.Y.: Springer-Verlag, 1980
[105] Golovin S.V. Group foliation of Euler equations in nonstationary rotationally
symmetrical case // Proc. Inst. Math. NAS of Ukraine, 2004, Vol. 50,
Parti, P. 110-117
[106] Handbook of Lie Group Analysis of Differential Equations / Ibragimov
N.H., Ed. Vol. 1 - 3 , Boca Raton (Fl): CRC Press, 1994 - 1996
[107] Harrison B.K. On methods of finding Backlund transformations in systems
with more than two independent variables // J. Nonlinear Math. Phys., 1995,
Vol. 2, P. 201-215
[108] Harrison В.К. Matrix methods of searching for Lax pairs and a paper by
Estevez // Proc. Inst. Math. NAS Ukraine, 2000; Vol. 30, Part 1, P. 17-24
[109] Hoenselaers C. More Prolongation Structures // Prog. Theor. Phys., 1986,
Vol. 75, P. 1014-1029
[110] Hsu L., Kamran N. Classification of second-order ordinary differentiahequations
admitting Lie groups of fiber-preserving symmetries // Proc. London
Math. Soc, 1989, Vol-. 58, P. 387 - 416
[111] Hunter J.K., Saxton R. Dynamics of director fields // SIAM J. Appb Math.,
1991, Vol. 51, P.. 1498-1521
[112] Husain V Self-dual gravity and the chiral model // Phys. Rev. Lett., 1994,
Vol. 72, P. 800 - 803
[113] Ibragimov N.H: Infinitesimal method in the theory of invariants of algebraic
and differential equations // Notices of the South' African Mathematical
Society, 1997, Vol. 29, P. 61 - 70
[114] Ibragimov N.H. Elementary Lie Group* Analysis and Ordinary Differential
Equations. New York: John Wiley and Sons, 1999
[115] Ibragimov N.H. Laplace type invariants for parabolic equations // Nonlinear
Dynamics, 2002, Vol. 28, P. 125 -133
[116] Igonin, S. Coverings and the fundamental group for partial differential
equations // J. Geom. Phys., 2006, Vol. 56, P. 939-998
'117] Igonin, S., Krasil'shchik, J. On one-parametric families of Backhand transformations.
Preprint a r X i v : n l i n / 0 0 1 0 0 4 0 (2000)
[118] Igonin, S., Kersten, P., Krasil'shchik, I. On symmetries and cohomological
invariants of equations possessing flat representations. Preprint DIPS-07,
The Diffiety Institute, Pereslavl-Zalessky (2002)
[119] Ivey T. A., Landsberg J.M. Cartan for Beginners: Differential Geometry via
Moving Frames and-Exterior Differential Systems. Grad. Stud. Math. 61.
Providence (RI): AMS, 2003
[120] Jakobsen P., Lychagin V, Romanovsky Y. Symmetries and non-linear phenomena,
I. Preprint, Troms0 University, 1997
[121] Jakobsen P., Lychagin V, Romanovsky Y. Symmetries and non-linear phenomena,
II. Applications to non-linear acoustics. Preprint, Troms0 University,
1998
[122] Johnpillai I.K., Mahomed KM. Singular invariant equation for the (1+1)
Fokker - Planck equation // J. Phys. A Math. Gen., 2001, Vol. 34, P. 1103311051
[123] Johnpillai I.K., Mahomed KM., Wafo Soh С Basis of joint invariants for
(1+1) linear hyperbolic equations // J. Nonliear Math. Phys., 2002, Vol. 9,
Supplement 2, P. 49 - 59
[124] Kamran N. Contributions to the Study of the Equivalence Problem of Elie
Cartan and its Applications to Partial and Ordinary Differential Equations.
Mem. CI. Sci. Acad. Roy. Belg., 1989, Vol. 45, Fasc. 7
[125] Kamran N., Lamb K.G., Shadwick W.F. The local equivalence problem for
y" = F(x, y, y') and the Painleve transcendents // J. Diff. Geom., 1985, Vol.
22, P. 139- 150
[126] Kamran N., Shadwick W.F. Equivalence locale des equations aux deriees
partielles quasi lineares du deuxieme ordre et pseudo-groupes infinis //
Comptes Rendus Acad. Sc. (Paris), Serie I, 1986, Vol. 303, P. 555-558
[127] Konopelchenko B.G. Nonlinear Integrable Equations. Recursion Operators,
Group-Theoretical and Hamiltonian Structures of Soliton Equations. Lect.
Notes Phys., 270, N.Y.: Springer-Verlag, 1987
[128] Konopelchenko B.G. Introduction to Multidimensional Integrable Equations.
The Inverse Spectral Transform in 2+1 Dimensions. N.Y.: Plenum
Press, 1992
r
[129] Konopelchenko В., Martinez Alonso L.: Dispersionless scalar hierarchies,
Whitham hierarchy and the quasi-classical d-method // J. Math. Phys., 2003,
Vol. 43, P. 3807 - 3823
[130] Konopelchenko B.G., Moro A.: Integrable equations in nonlinear geometrical
optics // Stud. Appl. Math., 2004, Vol. 113, P. 325 - 352
[131] Kraenkel R., Manna M., Merle V. Nonlinear short-wave propagation in ferrites
// Phys. Rev. E, 2000, Vol. 61, P. 976-979
[132] Krasil'shchik, I.S.: On one-parametric families of Backhand transformations.
Preprint DIPS-1/2000, The Diffiety Institute, Pereslavl-Zalessky (2000)
[133] Krasil'shchik, I.S., Vinogradov, A.M. Nonlocal symmetries and the theory
of coverings // Acta Appl. Math., 1984, Vol. 2, P. 79-86
[134] Krasil'shchik, I.S., Vinogradov, A.M. Nonlocal trends in the geometry of
differential equations: symmetries, conservation laws, and Backlund transformations
// Acta Appl. Math., 1989, Vol. 15, P. 161-209
[135] Kruglikov В. Point classification of second order ODEs: Tresse
classification revisited and beyound // Differential Equations: Geometry,
Symmetries, and Integrability: The Abel Symposium 2008, Abel Symposia
5, Berlin: Springer-Verlag, 2009. P. 199 - 221
[136] Kucharczyk P. Group properties of the "short waves"equation // Bull. Acad.
Pol. Sci. Ser. Sci. Technol. 1965, Vol. XIII, No 4, P. 469-475
[137] Kupershmidt, B.A.: The quasiclassical limit of the modified KP hierarchy
// J. Phys. A Math. Gen. 1990, Vol. 23, P. 871 - 886
[138] Kuranishi M. On E. Cartan's prolongation theorem of exterior differential
systems // Amer. J. Math., 1957, Vol. 9, P. 1-47
[139] Kushner A.G., Lychagin V.V., Rubtsov V.N. Contact Geometry and NonLinear Differential Equations. 2007 (Cambridge: Cambridge University
Press)
[140] Laplace P.S. Recherches sur le calcul integral aux differences partielles //
Memoires de FAcademie Royale de Sciences de Paris, 1773 - 1777, 341
- 401, переиздано: CEuvres Completes, Vol. LX, Paris: Gauthier - Villars,
1893
[141] Lie S. Gesammelte Abhandlungen. Bd. 1 - 6, Leipzig: Teubner, 1919-1927
[142] Lie S., Engel F. Theorie der Transformationsgruppen. Bd. 1-3, Leipzig,
1888 - 1893
[143] Liouville R. Sur les invariants de certaines equations differentielles et sur
leurs applications. // J. de FEcole Polytechnique, 1889, Vol. 59, P. 7 - 76
[144] Lisle I.G. Equivalence Transformations for Classes of Differential Equations.
Ph.D. Thesis, University of British Columbia, 1992
[145] Lisle I.G., Reid G.J., Boulton A. Algorithmic determination of structure
of infinite Lie pseudogroups of symmetries of PDEs // Proceedinds of
ISSAC95 New York: ACM Press, 1995
[146] Lisle I.G., Reid G.J. Geometry and structure of Lie pseudogroups from
infinitesimal defining equations // Journal of Symbolic Computation, 1998,
Vol. 26, P. 355-379
[147] Lychagin V.V. Singularities of multivalued solutions of nonlinear differen• tial equations, and nonlinear phenomena // Acta Appl. Math., 1985, Vol. 3,
P. 135 – 173
[148] Marvan M. On zero-curvature representations of partial differential equations
// Proc. Conf. on Diff. Geom. and Its Appl., Opava (Czech Republic),
1992, P. 103-122
[149] Marvan M. A direct procedure to compute zero-curvature representations.
The case sl2 II Proc. Int. Conf. on Secondary Calculus andCohomological
Physics, Moscow, Russia, August 24-31, 1997
[150] Marvan M. On the horizontal gauge cohomology and nonremovability of
the spectral parameter // Acta Appl. Math., 2002, Vol. 72, P. 51-65
[151] Medolaghi P. Classificazione delle equazioni alle derivate parziali del secondo
ordine, che ammettono un grupo infinito di transformazioni puntuali.
// Ann. Mat. Рига Appl., 1898, Vol. 1 (3), P. 229-263
[152] Morozov O.I. Moving coframes and symmetries of differential equations //
J. Phys. A, Math. Gen., 2002, Vol. 35, No 12, P. 2965-2977
[153] Morozov O.I. Cartan structure of symmetry pseudo-groups of differential
equations via the moving coframe method // Foundations of Computational
Mathematics - 2002. Minneapolis, 5-14 August 2002. Abstracts
of talks. P. 161-162. Preprint, University of Minnesota, 2002
http://www.math.umn.edu/~focm/focp.html
[154] Morozov O.I. Contact equivalence problem for linear parabolic equations.
Preprint www. a r X i v . org/maph-ph/ 0 304045 (2003)
[155] Morozov O.I. Contact equivalence problem for nonlinear wave equations.
Preprint www. a r X i v . org/math-ph/ 0306007 (2003)
[156] Morozov O.I. Symmetries of differential equations and Cartan's equivalence
method. // Proc. of the Fifth Conference "Symmetry in Nonlinear
Mathematical Physics Kyiv, Ukraine, 23 - 29 June 2003, Part 1, P. 196203
[157] Morozov O.I. Contact-equivalence problem for linear hyperbolic equations
// Journal of Mathematical Sciences, 2006, Vol. 135, No 1, P. 2680-2694
[158] Morozov O.I. Contact equivalence of the generalized Hunter - Saxton
equation and the Euler - Poisson equation. Preprint
www.arXiv.org/math-ph/0406016 (2004)
[159] Morozov O.I. Structure of symmetry groups via Cartan's method:
comparison of four approaches // Symmetry, Integrability and Geometry:
Methods and Applications, 2005, Vol. 1, Paper 006
[160] Morozov O.L Applications of Cartan's structure theory of Lie pseudogroups
in geometry of differential equations // Abstracts of International
Conference "Geometry in Odessa - 2006", Odessa, 22 - 27 May, 2006, P.
127
[161] Morozov O.L Maurer-Cartan forms for symmetry pseudo-groups and
coverings of differential equations // Proceedings of the International
Conference "Symmetry and Perturbation Theory" (SPT) 2007, Otranto,
Italy, 2-9 June 2007, eds. G. Gaeta, R. Vitolo, S. Walcher. World Scientific,
2007, P. 148 - 155.
[162] Morozov O.L Coverings of differential equations and Cartan's structure
theory of Lie pseudo-groups // Acta Appl. Math., 2007, Vol. 99, No 3,
P. 309 - 319
[163] Morozov O.L Cartan's structure theory of symmetry pseudo-groups
coverings and multi-valued solutions for the Khokhlov-Zabolotskaya
equation // Acta Appl. Math., 2008, Vol. 101, No 1-3, P. 231 - 241
[164] Morozov O.L Coverings of differential equations and Lie pseudo-groups
// Workshop on Integrable Systems and Related Topics. Abstracts of talks.
Institute of Mathematics, Academia Sinica, Taipei, Taiwan, 15-16 March
2009. P. 6
[165] Morozov O.L Contact integrable extensions of symmetry pseudo-groups
and coverings of (2+1) dispersionless integrable equations // Journal of
Geometry and Physics, 2009, Vol. 59, No 11, P. 1461 - 1475
[166] Morozov O.L Cartan's structure of symmetry pseudo-group and coverings
for the r-th modified dispersionless Kadomtsev-Perviashvili equation // Acta
Appl. Math., 2010, Vol. 109, No 1, P. 257 - 272
[167] Morris H.C. Prolongation structures and nonlinear evolution equations in
two spatial dimensions // J. Math. Phys., 1976, Vol. 17, P. 1870-1872
[168] Morris H.C. Prolongation structures and nonlinear evolution equations in
two spatial dimensions: a general class of equations // J. Phys. A, Math.
Gen., 1979, Vol. 12, P. 261-267
[169] Nonlinear Evolution Equations and Dynamical Systems. / Boiti M., Pempinelli
R, Soliani G., Eds. Lect. Not. Phys., 120. N.Y.: Springer-Verlag, 1980
[170] Nucci M.C. Pseudopotentials for nonlinear evolution equations in 2+1
orders // Int. J. Non-Lin. Mech., 1988, Vol. 23, P. 361-367
[171] Olver P.J. Evolution equations possessing infinitely many symmetries // J.
Math. Phys., 1977, Vol. 18, P. 1212-1215
[172] Olver P.J. Equivalence, Invariants, and Symmetry. Cambridge: Cambridge
University Press, 1995
[173] Olver P.J., Pohjanpelto J. Maurer-Cartan forms and the structure of Lie
pseudo-groups // Selecta Math., 2005, Vol. 11, P. 99-126
[174] Olver P.J., Pohjanpelto J. Moving frames for Lie pseudo-groups // Canadian
J. Math., 2008, Vol. 60, P. 1336-1386
[175] Olver P.J., Rosenau Ph. Tri-Hamiltonian duality between solitons and solitary
wave solutions having compact support // Phys. Rev. E, 1996, Vol 53,
P. 1900 - 1906
[176] Ovsienko V, Roger C. Looped cotangent Virasoro algebra and non-linear
integrable systems in dimension 2 + 1 II Comm. Math. Phys., 2007, Vol.
273, P. 357 - 388
[177] Ovsienko V. Bi-Hamiltionian nature of the equation щх = uxy uy — uyy ux.
Preprint www. a r x i v . org/0802 .1818 (2008)
[178] Page J.M. Ordinary Differential Equations. An Elementary Text-Book with
an Introduction to Lie's Theory of the Group of One Parameter. L.:
Macmillan & Co, 1897
[179] Painleve P. Memoire sur les equations differentielles dont Pintegrale generale
est uniforme // Bull. Soc. Math. France, 1900, Vol. 28, P. 201 - 261
[180] Painleve P. Sur les equations differentielles du second ordre et d'ordre superieur,
dont Pintegrale generate est uniforme // Acta Math., 1902, Vol. 25,
P. 1 - 86
[181] Palese M. Backhand loop algebras for compact and non-compact non-linear
spin models in (2+1) dimensions // Theor. Math. Phys., 2005, Vol. 144, No
1, P. 1014-1021
[182] Palese M., Leo R.A., Soliani G. The prolongation problem for the heavenly
equation // Proc. SIGRAV Conference "Recent developments in general
relativity" (Bari, 1998). Springer, 2000
[183] Pavlov M.V Integrable hydrodynamic chains // J. Math. Phys., 2003, Vol.
44, P. 4134-4156
[184] Pavlov, M.V. The Kupershmidt hydrodynamics chains and lattices // Intern.
Math. Research Notes, 2006, Vol. 2006, article ID 46987, P. 1 – 43
[185] Plebanski J.F. Some solutions of complex Einstein equations // J. Math.
Phys., 1975, Vol. 16, P. 2395 - 2402
[186] Rabelo MX. On equations which describe pseudospherical surfaces // Stud.
Appl. Math., 1989, Vol. 81, P. 221-248
[187] Reyes E.G. The soliton content of the Camassa-Holm and Hunter-Saxton
equations // Proc. Inst. Math. NAS of Ukraine, 2002, Vol. 43, Part 1, P. 201
-208
[188] Ritt J.F. Integration in Finite Terms. Liouville's Theory of Elementary
Methods. N.Y.: Columbia University Press, 1948
[189] Roy S., Roy Chowdhury A., De M. Loop algebra of Lie symmetries for a
short-wave equation // International Journal of Theoretical Physics, 1988,
Vol. 27, No 1, P. 47-55
[190] Sakovich S.Yu. On zero-curvature representations of evolution equations //
J. Phys. A, Math. Gen., 1995, Vol. 28, P. 2861-2869
[191] Schwarz F. Algorithmic Lie Theory for Solving Ordinary Differential
Equations. Boca Raton (Fl): Chapman & Hall/CRC, 2008
[192] Stohny V Symmetry properties and exact solutions of the Fokker-Planck
equation // Nonlinear Mathematical Physics, 1997, Vol. 4, No 1-2, P. 132 136
[193] Stormark O.: Lie's Structural Approach to PDE Systems. Cambridge:
Cambridge University Press, 2000
[194] Takasaki, K.: Quasi-classical limit of BKP hierarchy and W-inflnity symmetries
// Lett. Math. Phys., 1993, Vol. 28, P. 177-185
[195] The D. Contact geometry of hyperbolic equations of generic type // Symmetry,
Integrability and Geometry: Methods and Applications, 2008, Vol. 4,
Paper 058
[196] The Painleve Property: One Century Later / Ed. by R. Conte, CRM Series
in Math. Phys., Berlin: Springer-Verlag, 1999.
[197] Tod K.P. Einstein-Weil spaces and third order differential equations // J.
Math. Phys., 2000, Vol. 41, P. 5572 - 5581
[198] Tondo G.S. The eigenvalue problem for the three-wave resonant interaction
in (2+1) dimensions via the prolongation structure // Lett. Nuovo Cimento,
1985, Vol. 44, P. 297-302
[199] Tresse A. Sur les invariants differentielles des groupes continus de transformations
// Acta Math., 1894, Vol. 18, P. 1 - 88
[200] Tresse A. Determination des invariants ponctuels de Г equation differentielle
ordinaire de second ordre y" = w(x, y, y') II Preisschriften der furstlichen
Jablonowski'schen Gesellschaft. 1896, Vol. 32. Leipzig: Hirzel.
[201] Valiquette R Structure equations of Lie pseudo-groups // Journal of Lie
theory, 2008, Vol. 18, No 4, P. 869-895
[202] Vessiot E. Sur I'integraton des systemes differentiels des groupes continues
de transformations // Acta Math., 1904, Vol. 28, P. 307-349
[203] Vinogradov A.M. Local symmetries and conservation laws // Acta Appl.
Math., 1984, Vol. 2, No 1, P. 21-78
[204] Wahlquist H.D., Estabrook RB. Prolongation structures of nonlinear
evolution equations // J. Math. Phys., 1975, Vol. 16, P. 1-7
[205] Xu Xiaoping. Stable range approach to short wave and Khokhlov-Zabolotskaya
equations // Acta Appl. Math., 2009, Vol. 106, No 3, P. 433-454
[206] Yumaguzhin V.A. Differential invariants of second order ODEs, I // Acta
Appl. Math., 2010, Vol. 109, P. 283 - 313
[207] Zakharov V.E. Integrable systems in multidimensional spaces // Lect. Notes
Phys., 1982, Vol. 153, P. 190-216