глава 2 (06.13)

ГЛАВА 2. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ
ПЕРЕМЕННОЙ
§ 1. Первообразная функция и неопределенный интеграл
Определения и свойства неопределенного интеграла
Определение 1. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x)
на некотором промежутке, если в каждой точке этого промежутка функция F(x)
дифференцируема и выполняется равенство F '(x) = f(x).
Если известна одна первообразная F(x) для функции f(x) на интервале (a;b), то
любая другая первообразная может быть представлена в виде F(x) + С, где С –
произвольная постоянная величина. Такая форма записи первообразных носит
название общего вида первообразной.
Геометрически, в системе координат xoy, графики всех первообразных
функций от данной функции f(x) представляют семейство кривых, зависящих от
одного параметра с, которые получаются одна из другой путем параллельного
сдвига вдоль оси oy (рис. 1).
o
Рис. 1. Семейство первообразных функций
Определение 2. Множество всех первообразных для данной функции f(x)
на интервале (a;b) называется неопределённым интегралом функции f(x) на этом
интервале и обозначается символом:
 f ( x)dx  F ( x)  C.
Теорема 1. Если функция f(x) непрерывна на промежутке (a;b), то она
имеет на промежутке (a;b) первообразную и неопределённый интеграл.
Из определений первообразной F(x) и неопределённого интеграла от данной
функции f(x) на некотором промежутке следуют свойства неопределённого
интеграла:
1.
 f ( x)dx'  f ( x) .


2. d  f ( x)dx  f ( x)dx .
3.
 dF ( x)  F ( x)  C , где С – произвольная постоянная.
79
4.
5.
 k  f ( x)dx  k   f ( x)dx , где k = const.
  f1 ( x)  f 2 ( x) dx   f1 ( x)dx   f 2 ( x)dx.
Замечание. Все вышеперечисленные свойства верны при условии, что
интегралы, фигурирующие в них, рассматриваются на одном и том же
промежутке и существуют.
Таблица основных неопределённых интегралов
1.  0  dx  C .
2.
 dx  x  C .
α
3.  x dx 
x α 1
 C , α  1 .
α 1
dx
 ln | x |  C .
x
ax
x
C.
5.  a dx 
ln a
4. 
x
x
6.  e dx  e  C .
7.  sin xdx   cos x  C .
 cos xdx  sin x  C .
dx
 tg x  C .
9. 
cos 2 x
8.
10.
11.
12.
dx
 sin 2 x  ctg x  C .
dx
 1  x2  arctg x  C .
dx

dx
 arcsin x  C .
 a2  x2
13.

14.

1  x2
dx
1
x
arctg  C, a  0 .
a
a
 arcsin
x
 C , a  0,  a  x  a .
a
a2  x2
dx
1
xa

ln
 C , a  0; x   a .
15.  2
2
2a x  a
x a
dx
 ln x  x 2  a  C .
16. 
x2  a
80
В формулах 1–16 С – произвольная постоянная.
Справедливость формул интегрирования, а также и каждый результат
интегрирования можно проверить путем дифференцирования на том
основании, что интегрирование есть действие обратное дифференцированию.
Непосредственное интегрирование
а) Работа с таблицей: если предложенный интеграл оказался одним из
табличных интегралов, то в этом случае требуется безошибочно найти
соответствующую формулу таблицы основных интегралов и воспользоваться
ею.
б) Подведение под знак дифференциала: предложенный интеграл удается
свести к табличному с помощью изменения переменой интегрирования или за
счёт преобразований под знаком дифференциала. Это основано на определении
дифференциала d((x)) =  '(x)dx. Часто используют следующие формулы:
1
1
dx  d(ax  b); xdx  d( x 2 ); dx  d( x  b);
a
2
dx
dx
1
 d(ln x); e x dx  d(e x ); 2  d( ); d(sin x)  cos xdx;
x
x
x
dx
dx
d(cos x)   sin xdx;
 d(tg x);
 d(ctg x)
2
cos x
sin 2 x
и т.д.
Если известен результат интегрирования  f ( x)dx  F ( x)  C , то равенство
 f (u)du  F (u)  C
будет справедливо для любой дифференцируемой функции
u = (x).
Примеры с решениями
Пример 1.
dx
x

arcsin
 C (таблица – формула 14)
 4  x2
2
Пример 2.
dx
 ln x  4  x 2  C (таблица – формула 16)

4  x2
Пример 3.
sin x
d cos x
 tg xdx   cos xdx   cos x   ln | cos x |  C (формула: – sin xdx  d(cos x) ).
Ответ:  tg xdx   ln | cos x |  C .
81
Пример 4.
1
1 (2 x  7)11
1
10
 C  (2 x  7)11  C
 (2 x  7) dx   (2 x  7)  d(2 x  7) 
2
2
11
22
10
1
(формула: – dx  d(ax  b) ).
a
1
10
11
Ответ:  (2 x  7) dx  (2 x  7)  C .
22
Пример 5.

1
d( x 2 )
1
x2
  2
  arcsin  C (формула: – xdx  1 d( x 2 ) ).
4
2 2
2 3  (x )
2
3
9 x
2
xdx
1
x2
 arcsin  C .
Ответ: 
4
2
3
9 x
xdx
Пример 6.
1 d(7  5e x )
1
x
 7  5e x   5  7  5e x   5 ln | 7  5e | C ( формула: – e x dx  d(e x ) ).
xdx
1
  ln | 7  5e x | C .
Ответ: 
5
9  x4
e xdx
Пример 7.
dx
 x(ln 2 x  1)

d ln x
 arctg(ln x)  C (формула: – dx  d(ln x) ).
ln x  1
dx
 arctg(ln x)  C .
Ответ: 
2
x(ln x  1)
1.
2
Примеры для самостоятельного решения
2
7.  sin x cos xdx
 x dx
3
dx
2.  2
x
8.
3.
2
3
6.

4


2
 x 2  x dx
4
ln 2 x
dx
9. 
x
arcsin x
dx
10. 
2
1 x
dx
11. 
x  10
 x dx
4.  x  3 dx
5.  2 x  5 dx
3
x
dx
5x  7
82
12.
13.
14.
15.
16.
17.
dx
 12  7 x
x
 x 2  2 dx
x
 3  2 x 2 dx
 sin 3x  5dx
5tgx
dx
32. 
cos 2 x
10 ctgx
dx
33. 
sin 2 x
dx
34.  2
x 9
x
dx
2
sin ln x 
 x dx
dx
 2x
sin
5
dx
 cos 2 7 x
dx
 1  cos 3x
 cos
35.
dx
 4 x 2  25
36.
 30  12 x
dx
2
x
28.  e xdx
dx
 36
dx
38.  2
9 x 16
dx
39. 
49  3 x 2
dx
40. 
9  x2
dx
41. 
121  25x 2
dx
42. 
42  9 x 2
dx
43. 
3x 2  4
dx
44. 
4 x 2 18
dx
45. 
x ln 2 x  2
cos xdx
46. 
4  9 sin 2 x
x
29.  2 xdx
47.  ctg7xdx
sin x
30.  3 cos xdx
48.
18.
19.
20.
21.
37.
dx
 1  cos 5 x
x
22.  7 dx
23.
2
 5 x dx
x
dx
 3x
x
25.  e dx
24.

x
2
26.  e dx
7x
27.  e dx
2
2
cos 2 x
sin 2 xdx
31.  7
83
x
2
x
 tg 3 dx
49.
xdx
 4 x 4  25
50. 
xdx
9 x 4  49
Ответы
5
x3
3
2
 x  3  C 2 x  54
1
x

C
C;
 C ; 2.   C ; 3. 5
1.
; 4.
; 5.
3
x
8
4
3
2
4
4 5x  7 
3
4


5
sin 3 x
ln 3 x
arcsin 2 x
2  x2
 C ;10.
 C ; 8.
C;
 C ; 7.
 C ; 9.
6.
3
3
2
10
15
1
1
1
2
2
11. ln x 10  C ;12.  ln 12  7 x  C ;13. ln x  2   C ; 14.  ln 3  2 x  C ;
7
2
4
x
1
x
15.  cos3x  5  C ; 16. 2 sin  C ; 17.  cosln x  C ; 18. 5ctg  C ;
3
2
5
7x
10 x
1
1 3x
1
5x
C ;
 C ; 23.
19. tg7 x  C ; 20. tg  C ; 21.  ctg  C ; 22.
ln10
7
3 2
5
2
ln 7

3 x
1 7x
1 x2
x
2


C
e

C

2
e

C
24.
; 25. e  C ; 26.
; 27.
; 28. e  C ;
7
2
ln 3
x
1  2 x
 C ; 30.
29. 
2  ln 2
1
x
34. arctg  C ; 35.
3
3
2
37.
3sin x
5tgx
10ctgx
7 cos 2 x
 C ; 31. 
 C ; 33. 
C;
 C ; 32.
2 ln 7
ln 3
ln 5
ln10
1
x 2
1
2x
arctg
C;
arctg
 C ; 36.
10
5
6 10
5
1
3x  4
1
x6
ln
 C ; 38.
ln
C;
12 x  6
24 3 x  4
39.
1
x 37
ln
C ;
14 3 x 3  7
1
3x
x
1
5x
C;
 C ; 41. arcsin
 C ; 42. arcsin
3
3
5
11
42
1
1
ln x 3  3x 2  4  C ; 44. ln 2 x  4 x 2  18  C ;
43.
2
3
1
3 sin x
1
2
 C ; 47. ln sin 7 x  C ;
45. ln ln x  ln x  2  C ; 46. arcsin
3
2
7
1 3x 2  7
x
1
2 x2
ln
C .
arctg
 C ; 50.
48.  3 ln cos  C ;
49.
3
84 3x 2  7
20
5
40. arcsin
84
§2. Интегрирование посредством разложения подынтегральной
функции на слагаемые
Метод интегрирования разложением функции на слагаемые базируется на
линейных свойствах неопределенного интеграла (4 и 5). Если подынтегральная
функция представляет алгебраическую сумму нескольких слагаемых, то
согласно свойству (5) можно интегрировать каждое слагаемое отдельно. Это
позволяет многие интегралы свести к сумме более простых интегралов.
Примеры с решениями
Пример 1. Найти интеграл   3 x 2  2 x  5  dx
Решение.
3x 2  2 x  5 dx   3x 2 dx   2 xdx   5dx  x 3  x 2  5 x  C.


3
2
Ответ: x  x  5x  C.
7x2  x  1
dx
Пример 2. Найти интеграл 
x3
Решение. Разлагаем подынтегральную функцию на слагаемые, деля
числитель почленно на знаменатель.
7x2  x  1
dx
1
1
2
3
dx

7

x
dx

x
dx

7
ln
x


 C.
 x3
x 

x 2x2
1
1
Ответ: 7ln x   2  C.
x 2x
Пример 3. Найти интеграл
 1  e  dx
x
3
Решение. Возводим в куб и интегрируем каждое слагаемое.
 1  e  dx   1  3e
x 3
x

 3e 2 x  e 3 x dx   dx  3 e x dx  3 e 2 x dx   e 3 x dx 
3
1
 x  3e x  e 2 x  e 3 x  C.
2
3
x
Ответ: x  3e 
3 2 x 1 3x
e  e  C.
2
3
2x  3
dx
2
4
Решение. Разлагаем подынтегральную дробь на две слагаемых дроби, деля
числитель почленно на знаменатель.
2x  3
2x
dx
3 x2
2
dx

dx

3

ln
x

4

ln
 C.
 x2  4
 x2  4
 x2  4
4 x2
3 x2
 C.
Ответ: ln x 2  4  ln
4 x2
Пример 4. Найти интеграл
x
85
x2
Пример 5. Найти интеграл  2
dx
x 5
Решение. Выделим в неправильной дроби целую часть и правильную
дробь.
x2
x2  5  5
5 
dx

dx

dx

1

dx

dx

5


 x2  5  x2  5
  x2  5  
 x2  5 
x
 x  5arctg
 C.
5
x
 C.
Ответ: x  5arctg
5
Примеры для самостоятельного решения

 x
2.  2
1.
4
5


 5 x 3  2 dx
12.

x  3 2 x  5 dx
13.
1 

3.   x  3 dx
x 

4.   x  1 x  2 dx
5.
6.
7.
8.
9.
14.
15.
x 2  2x  1
 x 3 dx
x2 1
 x 2  1 dx
2x  7
 x 2  9 dx
x3
 x 2  1 dx
 e
x
16.
17.
18.

19.
2
 e  x dx
2
10.  tg xdx
11.
 tgx  ctgx
2
20.
dx
 sin x  cos x  dx
2
3  2 x  2  3x
dx
 2x
1  cos 2 x
 1  cos 2 x dx
cos 2 x
 cos 2 x sin 2 x dx
1  sin 3 x
 sin 2 x dx
x3 1
 x 2  3 dx
x5
 x 2  1 dx
x3  x
 9 x 4  4 dx
x2  2
 x  2 dx
Ответы
5
1.
4
x
5x

 2 x  C ; 2.
5
4
6
5x 5
3
3 2
4
3x 3
4
 5 x  C ; 3.
86
3
2x 2
3

1
2 x2
C ;
2
1
x3 x 2

 2 x  C ; 5. ln x   2  C ; 6. x  ln x  1  ln x  1  C ;
4.
x 2x
3
2
7
7
x2 1
2
 ln x 2  1  C ;
7. ln x  9  ln x  3  ln x  3  C ; 8.
6
6
2 2
1
1
1
9. e2 x  2 x  e2 x  C ; 10. tgx  x  C ; 11. tgx  ctgx  C ; 12. x  cos 2 x  C ;
2
2
2
x
3
 
 2 C
tgx  x
3
x

2
 C ; 15.  tgx  ctgx  C ; 16. ctgx  cos x  C ;
13.
;
14.
3
2
ln  
2






x2 3
1
x
x4 x2 1
2
 ln x  3 
arctg
 C ; 18.

 ln x 2  1  C ;
17.
2 2
4
2 2
3
3


1
1
3x 2
x2
4
ln 9 x  4  arctg
 C ; 20.
 2 x  2 ln x  2  C .
19.
36
12
2
2
§ 3. Интегрирование подстановкой
Если не удаётся найти интеграл f (x) непосредственно, то можно выбрать
функцию x = (t), удовлетворяющую следующим условиям:
1) (t) непрерывна при t  (;), соответствующем интервалу x (a;b),
2) дифференцируемая при t (;);
3) имеет обратную функцию t = –1(x),

чтобы f ( x)dx 
 f (φ(t ))φ' (t )dt ,
t = –1(x) стал табличным или более
простым. Иногда для упрощения интеграла можно сделать замену t = (x).
Замечание. Выбор правильной подстановки в значительной степени зависит от
искусства вычисляющего.
Примеры с решениями
Пример 1. Найти интеграл:
e x dx
 e2 x  2ex  3
Решение. Используем формулу
знаменателе полный квадрат
e x dx  d (e x )  d (e x  1) и
выделим
e x dx
d (e x  1)
dt
1 t 2
1 ex 1
x


 e2 x  2e x  3   (e x  1)2  4  e  1  t    t 2  4  4 ln t  2  C  4 ln e x  3  C.
1 ex 1
e x dx
 C.
Ответ:  2 x
= ln x
4 e 3
e  2e x  3
Пример 2. Найти интеграл  x x  1dx
87
в
Решение.


Замена
2
4
2

 x x  1dx   x  1  t ; dx  2tdt    (t  1)t  2tdt  2 (t  t )dt 
x  t2 1


2t 5
t3
2( x  1)5 2( x  1)3
4
2
 2 t dt  2 t dt 
 2  C 

C.


5
3
5
3
2
2
( x  1)5 
( x  1)3  C .
5
3
2x
e
Пример 3. Найти интеграл  4 x
dx
e 5
Решение.


Замена



 1 dt
2x
e
1 1
t 5
2x

 
dx 
e  t;
 
ln
C 
 4x
2

 2 t 5 2 2 5 t  5
e 5
 2x
dt 
2x
2e dx  dt ; e dx  

2
Ответ:

x x  1dx 
e2 x  5

ln 2 x
C.
4 5 e  5
1
e2 x
1
e2 x  5
dx 
ln
C .
Ответ:  4 x
e 5
4 5 e2 x  5
Пример 4. Найти интеграл

1  ln x
dx
x
Решение.


3
Замена 

1  ln x
2
2
dx  1  ln x  t    t  dt  t 2  C 

x
3
3
 dx

 dt 

 x

Ответ: 
1  ln x
2
dx 
x
3
1  ln x 3  C.
Пример 5. Найти интеграл

dx
(1  x 2 )3
Решение.
88
1  ln x 3  C.
dx

(1 x 2 )3
 Замена 
dt
sin t
x
  x sin t   

tg
t

C


C

 C.
2
2
cos
t
cos
t
1

x
dx cos tdt 
Ответ: 
dx
(1  x 2 )3

x
1  x2
 C.
Примеры для самостоятельного решения
x 3 dx
1. 
5  x8
e x dx
2. 
5  4e x
3
3.  tg xdx
14.
x
5  x dx
6.

xdx
16.
x 1
4
x dx
x
e 2 x dx
8.  x
e 1
dx
9. 
x ln x
sin 2 xdx
10. 
2  cos 2 x
dx
11. 
x2 3
ex
dx
12.  2 x
e 1
7.
x


1  2 sin x cos xdx
17.
x 1
 1  2 x  1 dx
18.
 1 
x
3
x

2
dx
ex  1
dx
19.  x
e 1
dx
20. 
x 1 3 x
3x  1
dx
21. 
1  2x
1
13.

e x  e2x
dx
15. 
1 ex
3
2
4.  x 2  x dx
5.
dx
 x 3  ln 2 x

 e
23. 
x
x
22.
24.
x3
dx
x2
89


 1 dx
dx
2x  1
x
dx
5  4x
Ответы
1. 
1
8 5

4.
ln
2 x
2
5
x4  5
1
tg 2 x
x

C
 ln cos x  C ;
; 2. ln 4e  5  C ; 3.
4
x4  5
2
  2
5
ln x 2  x 4  1
6.
2
2 x
  C ; 5.  10   5  x   2  5  x   C ;
3
2
3
3
3
 C ; 7.

5
5

2
x  1  2 ln x  1  C ; 8. e x  ln e x  1  C ;
9. ln ln x  C ; 10.  2 cos 2 x  2  C ; 11. 2 x  2  6 ln
x2
C ;
2
x
2x
12. ln e  e  1  C ; 13. 2 x  2  3 2arctg
1  2 sin x 3
3
ln x
arctg
 C ; 15.  2 ln e x  1  e x  C ; 16. 
14.
3
3

17.
 
3

3
C;
 5  46 x 3 
2
2x  1

6
x 2 3 C;
66 x
2x  1  2
 ln 2 x  1  1  C ; 18.
5
4
36 x
x
 186 x  21arctg 6 x  3
 C ; 19. 2ln e  1  x  C ;
x 1
 1  2x   5
x  C ; 21.
3
20. 66 x  6arctg 6
22. 2 e 1  ln
x

24.
5  4x
24

3

1  2x
2
e x 1  1
e x 1  1
 C ; 23. ln


2
C ;
2x  1  1 
2
C;
2x  1  1
5 5  4x
C.
8
§ 4. Интегрирование по частям
Метод интегрирования по частям основан на следующей теореме.
Теорема 1. Пусть функции u = u(x) и v = v(x) дифференцируемы на
некотором интервале (a;b). Пусть на интервале (a;b) функция v(x)u'(x) имеет
первообразную. Тогда на интервале (a;b) функция u(x)v'(x) также имеет
первообразную. При этом справедливо равенство:
 u( x)v( x)dx  u( x)  v( x)   v( x)u( x)dx .
Замечание 1. Определение дифференциала и свойства инвариантности его
формы позволяют переписать формулу интегрирования по частям в более
короткой форме:
90
 udv  u  v   v  du .
Замечание 2. Для успешного вычисления интеграла необходимо разумно
разбить подынтегральное выражение на два множителя u(x) и dv(x) так, чтобы
интеграл  v  du оказался легко интегрируемым.
Большая часть интегралов, берущихся с помощью метода интегрирования по
частям, может быть разбита на следующие три группы:
1) К первой группе относятся интегралы, у которых подынтегральная
функция содержит в качестве множителя одну из следующих функций:
ln x; arcsin x; arccos x; arctg x; arcctg x; ln2x; ln(x); arcsin2x;…
при условии, что оставшаяся часть подынтегральной функции представляет
собой производную известной функции.
Тогда за функцию u(x) берут соответствующую из перечисленных.
2) Ко второй группе относятся интегралы вида:
 (ax  b)
n
 (ax  b)e
cos αxdx ,
αx dx
,
 (ax  b)
 (ax  b)
n
 sin αxdx ,
n Aαx dx
,
где a, b, , n, A – некоторые постоянные числа, A > 0, n  N.
При этом в качестве u(x) следует брать (ax +b)n и интегрировать по частям
n раз.
3) К третьей группе относятся интегралы вида:
e
dx cos βxdx
αx
x
, e sin β dx ,
αx sin βxdx
A

,
αx
 A cos β xdx ,
 sin(ln x)dx ,  cos(ln x)dx ,
где , , A – постоянные числа, A > 0, A ≠ 1.
Такие интегралы берутся двукратным интегрированием по частям при
любом выборе u(x). Это приводит к линейному уравнению относительно
предложенного интеграла, откуда его и находят.
Примеры с решениями
2
Пример 1. Найти интеграл  x  arctgxdx
Решение.
u  arctg x; dv  x 2 d x 

 x3
x 3 dx
2
3

 x  arctgxdx   du  dx ; v  x   3 arctgx   3 
2
1

x

3 
1 x2

 x3

x3
1
x3
x 2  1 x 3
1 
x 
3

 arctg x  
d
x


|

arctg
x

x


dx 
x

x


3
3 1  x2
x  3
3 
x2  1 
 x

91
x3
1
1 xdx
x3
x 2 1 1 d( x 2  1)
 arctgx   xdx   2
 arctgx     2

3
3
3 x 1 3
6 3 2 x 1
x3
x2 1
 arctgx   ln | x 2  1 | C
3
6 6
Ответ:

x3
x2 1
x  arctg xdx 
arctgx 
 ln | x 2  1 | C
3
6 6
2
Пример 2. Найти интеграл  arcsin xdx
Решение.

dx
u

arcsin
x
d
u

1 x2
 arcsin xdx   dv  dx
vx


  x arcsin x  1 1  x 2

2


 d 1  x  

1
2
2
 x arcsin x  1  x 2  C.
Ответ:  arcsin xdx  x arcsin x  1  x2  C .
Пример 3. Найти интеграл  x  sin xdx
Решение.
 ux
du  dx 
x

sin
x
d
x


   x cos x   cos xdx   x cos x  sin x  C.

d
v

sin
x
d
x
v


cos
x


Ответ:
 x  sin xdx  x cos x  sin x  C.
Пример 4. Найти интеграл  cos xdx
Решение.
 x t 


2


du  dt 
 u t
2
cos
xdx

x

t

  2 t cos tdt  

  2(t sin t   sin tdt ) 
 dv  cos tdt v  sin t 


 dx  2tdt 


 2(t sin t  cos t )  C  2( x sin x  cos x )  C.
Ответ:  cos xdx  2( x sin x  cos x )  C.
Пример 5. Найти интеграл  x 2  e x dx
Решение.
92

 u  x 2 du  2 xdx 
2
x
x  e dx  
  x 2  e x  2 x  e x dx  x 2e x  2 xe x dx 
x
x
dv  e dx v  e 


 u  x du  dx 
2 x
x
x
2 x
x
x

  x e  2( xe  e dx)  x e  2 xe  2e  C.
x
x
dv  e dx v  e 
2 x
2 x
x
x
Ответ: x  e dx  x e  2 xe  2e  C.


Пример 6. Найти интеграл  e x cos 2 xdx
Решение.

du  e x dx  1
x
1 x
u

e
x
 e cos 2 xdx  dv  cos 2 xdx v  1 sin 2 x   2 e sin 2 x  2  e sin 2 xdx 


2
x

du  e x dx  1
x
u

e
  e x sin 2 x  1   1 e x cos 2 x  1 e x cos 2 xdx  

1


dv  sin 2 xdx v   cos 2 x  2
2 2
2

2


1
1
1
 e x sin 2 x  e x cos 2 x  e x cos 2 xdx
2
4
4
Далее необходимо решить уравнение:
1 x
1 x
1 x
x
 e cos 2 xdx  2 e sin 2 x  4 e cos 2 x  4  e cos 2 xdx.
Пусть  e x cos 2 xdx  J , тогда уравнение запишется в виде:

1 x
1
1
e sin 2 x  e x cos 2 x  J 
2
4
4
5
1
1
 J  e x sin 2 x  e x cos 2 x 
4
2
4
1
 J  (2 sin 2 x  cos 2 x)e x .
5
1
e x cos 2 xdx  (2 sin 2 x  cos 2 x)e x  C .
Ответ:
5
J

Пример 7. Найти интеграл  cos(ln x)dx
Решение.

sin(ln x) 
u  cos(ln x) du  
dx 

 x  cos(ln x)   sin(ln x)dx 
x
 cos(ln x)dx   dv  dx

vx


93

cos(ln x) 
u  sin(ln x) du 
dx 


 x cos(ln x)  x sin(ln x)   cos(ln x)dx
x
.
 dv  dx

vx


Пусть  cos(ln x)dx  I , тогда получаем уравнение вида:
I  x cos(ln x)  x sin(ln x)  I
2I  x(cos(ln x)  sin(ln x))
I
x
(cos(ln x)  sin(ln x)) .
2
Ответ:
1.

cos(ln x)dx 
 x sin 3xdx
x
(cos(ln x)  sin(ln x))  C .
2
Примеры для самостоятельного решения
2
16.  x sin xdx
 x cos xdx
18.  arccos xdx
19.  x ln  x  1dx
ln x
2.  2 dx
x
3.  arctgxdx
arcsin x
dx
x 1
2
5.  ln x  1dx
4.
6.

20.
1
dx
x
x 2  1 e 2 x dx


8.  3 7  x dx
22.
x
xarctgx

ln 2 x
dx
2
x3
dx

x
2
 3x  5e dx
24.  2 x  4  5 dx
25.  e sin xdx
26.  sin ln x dx
23.
x
x
9.  e cos dx
2
x cos x
dx
10. 
sin 3 x
11.  arctg xdx
12.

1 x
2
21.  cos ln x dx
 x arccos
7.
2
17.
x
2
3x
arctg x
 x dx
ax
28.  e cos bxdx
 x arcsin xdx
27.
 x arctg xdx
14.  25  sin 25 xdx
13.
x
29.
arcsin x
dx
15. 
x2
94
ln x
 x  1
2
dx
30.  arctg 2 x  1dx
Ответы
1. 


1
1
1
1
x cos 3x  sin 3x  C ; 2.  ln x  1  C ; 3. xarctgx  ln x 2  1  C ;
2
3
9
x


2
4. 2 x  1 arcsin x  4 1  x  C ; 5. x ln x  1  2 x  2arctgx  C ;
1
1
x2
1 1

arccos 
x 2  1  C ; 7.  e  2 x  x 2  x    C ;
6.
2
2
2
x 2

2 x 
x
x
3x 
1 
7  x 
  C ; 9. e  sin  2 cos   C ;
8.
5
2
2
ln 3 
ln 3 

x
1

ctgx  C ; 11. xarctg x  x  arctg x  C ;
10. 
2
2
2sin x
2
x2
x 1
x
1
1
2
arctgx   arctgx  C ;
arcsin x  arcsin x  x 1  x  C ; 13.
12.
2
4
4
2
2 2
25 x1
 ln 25

sin 25 x  cos 25 x   C ;
14.

2
625  ln 25  25

arcsin x 1
1 x2 1
 ln
 C ; 16.  x 2 cos x  2 x sin x  2 cos x  C ;
15. 
2
x
2
1 x 1
17.
1 2
1

 x  x sin 2 x  cos 2 x   C ; 18. x arccos x  1  x 2  C ;
4
2

x2
1
1
1
ln x  1  x 2  x  ln x  1  C ;
19.
2
4
2
2
x
2
2
20. 1  x arctgx  ln x  x  1  C ; 21.  cos  2 ln x   2sin  2 ln x    C ;
5
2



x
2
ln x  4 ln x  8  C ; 23. 2e  3x  11  C ;
x
2  5 x  2
2x
2 
e 3x
x 2

 C ; 25.
3 sin x  cos x   C ;
24. 
ln 5 
ln 5 ln 2 5 
10
x
26.  sin  ln x   cos  ln x    C ; 27. 2 xarctg x  ln x  1  C ;
2
22. 
2
a


b  eax  sin bx  cos bx 
ln x
b

 C

 ln x  ln x  1  C ;
28.
;
29.
x 1
a 2  b2
30. x arctg 2 x  1 
1
2x 1  C .
2
95
§ 5. Интегрирование рациональных дробей
Разложение рациональной дроби на сумму простых дробей
Определение 1. Рациональной дробью называется отношение двух
многочленов:
Pm ( x) c0 x m  c1 x m1  ...  cm

Qn ( x) b0 x n  b1 x n1  ...  bn
Определение 2. Рациональная дробь называется правильной, если m < n. В
противном случае (если m  n) она называется неправильной.
Определение 3. Простыми рациональными дробями называются дроби
следующих четырех типов:
A
( A, a  const, A, a  R) ,
I.
xa
A
( A, a, k  const, A, a  R, k  N , k  2) ,
II.
k
( x  a)
Mx  F
2  4q  0, M , F , p, q  R)
(
M
,
F
,
p
,
q

const
,
p
III. 2
,
x  px  q
Mx  F
(M , F , p, q, k  const, p 2  4q  0, M , f , p, q  R, k  N , k  2)
IV. 2
k
( x  px  q)
Теорема 1. Всякую неправильную рациональную дробь можно представить
в виде суммы целой части (многочлена) и правильной рациональной дроби.
Теорема 2. Любую правильную рациональную дробь можно единственным
образом представить в виде суммы конечного числа простых рациональных
дробей.
Pm ( x)
Разложение правильной рациональной дроби Q ( x) (m<n) на сумму простых
n
дробей можно выполнить по следующей схеме:
 Найти корни многочлена Qn(x) и представить его в виде произведения
простых множителей:
Qn ( x)  b0 ( x  a1 ) ki1 ....( x  ar ) k r  ( x 2  p1x  q1 )l1 ....  ( x 2  ps x  qs )l s ,
где a i  a j , 1  i, j  r
pi 2  4qi  0, ( pi ; qi )  ( pi ; q j ) , 1  i; j  S
ki  N , 1  i  r
li  N , 1  i  S
 Записать разложение дроби с неопределёнными коэффициентами:
A1k
Ark
Pm ( x)
M n x  F11
A11
Ar1
1
r


...


...


...



k2
Qn ( x) ( x  a ) k1
( x  a1 )
( x  ar ) ( x 2  p x  q )l1
(
x

a
)
1
r
1
1
96

M1l x  F1l
1
1
 ... 
M s1x  Fs1
( x  p1x  q1 )
( x 2  ps x  qs )
 Определить коэффициенты
2
ls
 ... 
M sl x  Fsl
s
s
( x  ps x  qs )
2
A11,...Ark2 , M11,...M sls , F11,...Fsls ,
суммарное число которых равно n, методом неопределённых коэффициентов.
Для этого необходимо всё разложение привести к общему знаменателю и
приравнять числитель полученной дроби к Pm(x). Приравнивая в этих
многочленах коэффициенты при одинаковых степенях x, получим систему из n
линейных уравнений с n неизвестными. Эта система имеет единственное
решение – искомые коэффициенты.
Интегрирование простых дробей
Задача интегрирования рациональной дроби сводится к интегрированию
простых дробей четырёх типов.
 x  a dx  A
A
I тип.
II тип.

d( x  a)
 A  ln | x  a | C
xa
d( x  a)
A( x  a) k 1
A

k
dx  A
 A ( x  a) d( x  a) 
C 
C
 k 1
( x  a) k
( x  a) k
(k  1)( x  a) k 1
A


(k  N , k  2)
III тип.





Замена


Mx  F
Mx  F
p
d
x

d
x

x


t


2
2
2
X 2  px  q


p
p

p
x  q

x  t  ; dx  dt 
2
4

2



p

M t    F
Mt
p
dt
2

 
dt  
dt   F  M   

2
2
2
2 2 



p 
p 
p
2 
2 

t  q
t  q
t  q 






4
4
4







M
2



p 2  
d t 2   q 
p


4  F  M 
t



2 arctg


2

2
2
p
p
p

t2  q 
q
q


4
4
4


97
p
F M 
2

M
p
t
2 arctg


ln t 2   q 
 C

2
4 
2
2
p
p


q
q
4
4
M

ln | x 2  px  q | 
2
p
p
x
2 arctg
2 C
p2
p2
q
q
4
4
F M 
Интегрирование дроби IV типа проводится аналогично интегрированию дроби
III типа.
Итак, любая рациональная дробь интегрируема. Для этого необходимо
выполнить следующие шаги:
1) Выделить целую часть дроби, если дробь является неправильной, т.е.
представить в виде:
Pm ( x)
R ( x)
 Tm n ( x)  r
Qn ( x)
Qn ( x) ,
где Tm–n(x) и Rr(x) – многочлены степени m–n и r соответственно (причём
r < n).
2) Разложить правильную рациональную дробь
Rr ( x )
на сумму простых
Qn ( x )
дробей.
3) Вычислить интегралы от многочлена Tm–n(x) и каждой из простых
дробей, полученных на шаге 2).
Примеры с решениями
Пример 1. Найти интеграл
x4  1
x
3
 x2
dx
Решение.
1) Дробь
x4  1
x3  x 2
– неправильная рациональная дробь. Выделим её целую часть:
3
2
x4  1 x  x
 x 4  x3 |
x 1
3
x 1
 x3  x 2
x2  1
Поэтому можно записать:
x4  1
x3  x 2
 x 1
98
x2  1
x3  x 2
.
x2  1
2) Полученную правильную дробь 3 2 разложим на сумму простых дробей:
x x
x 2 1
x 2 1
B
C
Ax  A  Bx 2  Bx  Cx 2

 2  

x x 1
x 3  x 2 x 2 ( x  1)
x
x 2 ( x  1)
A
x 2  1  ( B  C) x 2  ( A  B) x  A
x2 B  C  1
x  A  B  0
x
0
 A  1

 B  1
C  2


  A 1

x2 1
1
2

Отсюда следует:
.
x3  x2
x2 x x 1
Значит, подынтегральную рациональную дробь можем представить в виде:
x4  1
1
1
2

x

1



.
x3  x2
x2 x x 1
3) Найдём интеграл:
x4 1

1

1
1
2 

dx
 x 3  x 2 dx    x  1  x 2  x  x  1 dx   xdx   dx   x 2  
dx
dx
 2

x
x 1
x2
1

 x   ln x  2 ln x  1  C.
2
x
Ответ:
x4  1
x
3
x
dx 
2
x2
1
 x   ln x  2 ln x  1  C.
2
x
Пример 2. Найти интеграл

x 3  4x 2  2x 1
dx
x4  x
Решение.
1) Разложим подынтегральную правильную дробь на сумму простых дробей
x 3  4x 2  2x  1 x 3  4x 2  2x  1 A
B
Cx  D




x x 1 x2  x 1
x4  x
xx  1 x 2  x  1







x 3  4 x 2  2 x  1  A x 3  1  Bx x 2  x  1  Cx  D  x 2  x

x 3  4 x 2  2 x  1   A  B  C x 3  C  D  B x 2  B  Dx  A
99
x3  A  B  C  1
 A 1


x 2 C  D  B  4  B  2


x  B  D  2
C 2

A 1
x0 
D0

Отсюда следует:
x 3  4x 2  2x  1 1
2
2x
 
 2
2
xx  1x  x  1 x x  1 x  x  1
Найдем интеграл:

x3  4x 2  2x  1
2
2x
1

dx    
 2
dx 
2
xx  1 x  x  1
 x x  1 x  x  1


dx
dx
xdx
 2
 2 2
 ln x  2 ln x  1  2 I
x
x 1
x  x 1
Последний интеграл находим по правилу, указанному в интегрировании дроби
третьего типа. Выделяем полный квадрат в знаменателе

2
1
3
1

x  x  1   x    и выполняем замену x   t .
2
4
2

1

 t  dt
1 

xdx
x
2
x t

 x 2  x  1    1  2 3 dx   2    2 3 
t 
 dx  dt 
x   
4
2
4


2
1
2t
1
dt
1  2 3 1
2t
dt


ln
t


arctg



2  t2  3
2  t2  3 2 
4
3
3
4
4
1
1
2x 1
 ln x 2  x  1 
arctg
C .
2
3
3
Подставляя найденный интеграл I в предыдущее выражение искомого
интеграла, найдём





x x2  x  1
x3  4 x 2  2 x  1
2
2x 1
d
x

ln

arctg
C .

4
2
3
3
x x
 x  1
Примеры для самостоятельного решения
dx
xdx
1. 
2. 
xx  1x  2
x  1x  22
100
3.

4.

5.
x  13 dx
x3  1
dx
12.  3
x 3
x 2  3x  2
dx
13. 
x x 2  2x  1
x2  x
dx
x 2 x 2  x  4 
x
x

5
dx
1
dx
6.  2
x  2x  5
dx
7.  2
3x  4 x  7
4x  3
dx
8.  3
x  x 2  2x
x 4  2x  6
dx
9.  3
x  x 2  2x
8x 3  7
dx
10. 
x  12 x  1
4x 2  x  1
dx
11. 
x3 1
3

x2
dx
x4 1
dx
14.

15.
 x  1 x
16.
17.
18.
19.
20.
2
2

1
7 x  15
dx
 2 x 2  5x
xdx
 x3 1
x2 1
 x 3  3x 2  3x  1 dx
2x 5  2x  1
 x 3  1 dx
x4 1
 x 4  1 dx
x
3
Ответы
1
1
2
1
1
C ;
1. ln x  ln x  1  ln x  2  C ; 2.  ln x  1  ln x  2 
9
9
3x  2
2
2
1 ln x  x  4



3.
; 4. 
2
16 4 x
32
1
x 1
x3 1
7
2x  1
C;
 ln x3  1  C ; 6. arctg

arctg
 C ; 5.
3 3
2
2
16 15
15
x  42  ln x  8 ln x  1  C
7.
ln x  1  ln 3x  7
10
ln x
2
3
3
19
 2x 1 
arctg 
 C; 8.  ln x  ln x 2  x  2 
C ;
2
4
2 7
7


 x  12  3ln x  2 ln x 2  x  2 
6
2x 1
arctg
C ;
2
7
7
2
2
10. 2 x  6 x  ln x  1  6 ln 2 x  1  C ; 11. 2 ln x  1  ln x  x  1  C ;
9.
101
2
1
2
3
 3 x  33
2  ln
1
x  33
 1

3

2
3  2x 
x



arctg

C ;
12.
2
2
1
5


6
3  33
3  33
3  36
 3

1
1
1
6
 C ; 14. ln x  1  ln x  1  arctgx  C ;
13. 2ln x  ln x  1 
x 1
4
4
2
2
ln x  1
3
x 1
1
ln x  1
C ;


 C ; 16. ln x 2  2 x  5  3ln x  2arctg
15.
2
2
2
2x  2
4
ln x

ln x  1
17.
3

ln x 2  x  1
6


2
1
3
2x 1

C ;
arctg
 C ; 18. ln x  1 
x  1  x  12
3
3
2
2 3 ln x  1 7 ln x  x  1
3
2x 1


arctg
C ;
19. x 
3
3
6
3
3
ln x  1 ln x  1
x


 arctgx  C .
20.
2
2
§ 6. Интегрирование тригонометрических выражений
1) Интеграл вида

sin m x  cosn xdx
n, m  Z 
а) Если n – чётное число и m – чётное, то подынтегральное выражение
преобразуют с помощью формул:
1  cos 2 x
1  cos 2 x
2
cos
x

,
2
2
б) Если одно из чисел m или n – нечётное, то выполняют замену:
t = sin x, если n – нечётное;
t = cos x, если m – нечётное.
Эта замена приводит к интегрированию степенных интегралов или
рациональных дробей.
в) Если оба числа m и n – нечётные, то интеграл берется как в случае
замены:
t = sin x, так и t = cos x.
2) Интегралы вида:
sin 2 x 
 sin(mx)  cos(nx)dx ;  sin(mx)  sin(nx)dx ;  cos(mx)  cos(nx)dx
где n, m  R; n  m.
Такие интегралы находят после предварительного применения формул:
1
sin(mx )  cos(nx)  sin(m  n) x  sin(m  n) x  ,
2
102
1
cos(m  n) x  cos(m  n) x  ,
2
1
cos(mx )  cos(nx)  cos(m  n) x  cos(m  n) x  .
2
3) Интеграл вида:  f (sin x; cos x)dx ,
sin(mx )  sin(nx) 
где f(u;v) – рациональная функция двух переменных.
Такие интегралы приводятся к интегралам от рациональной дроби с помощью
замены:
x
t  tg ;
2
x  2arctg t  dx 
2dt
1 t2
;
 x
x
1  tg 2  
2t
2  1 t2

2
sin x 

cos x 

2 .
x


2 x  1 t2 ;
2
1  tg  
1  tg   1  t
2
2
2 tg
4) Интегралы вида:

f (sin 2 x; cos 2 x)dx ,
где f(u;v) – рациональная функция двух переменных.
Такие интегралы находят сведением к интегралу от рациональной дроби с
помощью замены:
dt
t  tgx  x  arctg t  dx 
1 t2
sin x 
2
5) Интегралы вида:

tg 2 x
t2
tg m x d x ;
 ctg
1
1
2
cos
x



1  tg 2 x 1  t 2 ;
1  tg 2 x 1  t 2
m
xdx , где m  N (m  2) .
Такие интегралы находят после предварительного применения формул:
1
1
tg 2 x 
 1 ; ctg2 x  2  1
2
cos x
sin x
или с помощью замены:
dt
t  tg x  x  arctg t  dx 
;
1 t2
dt
или t  ctg x  x  arcctg t  dx  
.
1 t2
Примеры с решениями
Пример 1. Вычислить интеграл  sin 2 x  cos 4 xdx
103
Решение.
1
1 1  cos 4 x 1  cos 2 x
sin 2 2 x  cos 2 xdx 

dx 
4
4
2
2

sin 2 x  cos 4 xdx 



1
16

1
1
1
1
dx 
cos 4 xd(4 x) 
cos 2 xd(2 x) 
16
64
32
32

1
1
1
1
1
x  sin 4 x  sin 2 x  sin 2 x 
sin 6 x  C 
16
64
32
64
192

1
1
1
1
x  sin 4 x  sin 2 x 
sin 6 x  C.
16
64
64
192
1
1
1
1
2
4
Ответ: sin x  cos xdx  16 x  64 sin 4 x  64 sin 2 x  192 sin 6 x  C.
 1  cos 4x  cos 2x  cos 4x  cos 2xdx 



 cos 2x  cos 6xdx 

sin 6 x
Пример 2. Вычислить интеграл 
dx
cos x
Решение.
 Замена 
sin 6 x
sin 6 x
sin 6 x  d(sin x) 
dx 
 cos xdx 
 t  sin x  
2
2
dt  d sin x 
cos x
cos x
cos x


t 6dt
dt
t5 t3
1 t 1
4
2



t

t

1
d
t





t

ln
C 


5 3
2 t 1
1 t2
t 2 1





sin 5 x sin 3 x
1 sin x  1


 sin x  ln
 C.
5
3
2 sin x  1
Ответ:

sin 6 x
sin 5 x sin 3 x
1 sin x  1
dx  

 sin x  ln
 C.
cos x
5
3
2 sin x  1
Пример 3. Вычислить интеграл  sin 3x  cos5 xdx
Решение.

sin 3x  cos 5 xdx 

1
sin( 8x)  sin( 2 x) dx  1 sin 8xdx  1 sin 2 xdx 
2
2
2


1
1
cos 8 x  cos 2 x  C.
16
4
Ответ:
1
1
 sin 3x  cos 5xdx   16 cos 8x  4 cos 2x  C.
104

Пример 4. Вычислить интеграл
dx
 sin
3
x
Решение.



x
t  tg  x  2arctgt 
3
2dt
2
1 t2


dx
2dt
1
  1 t2

dt 

2

4
2t 3
sin 3 x 
1 t


2t
 sin x 

2


1 t

 
 1  t 2 2 dt 
t3
1 1  2t 2  t 4
1 dt 1 dt 1
 
d
t

     tdt 
4
4 t3 2 t 4
t3
 x
tg 2  
1 1
1
1
1
x
2 C
  2  ln t  t 2  C  
 ln tg 
.
2
8
2
2
8
8t
2 x 
8tg  
2
 x
tg2  
dx
1
1
x
2 C



ln
tg

Ответ: sin 3 x
.
2
8
 x 2
8tg2  
2
dx
Пример 5. Вычислить интеграл  2
sin x  4cos 2 x
Решение.


dt


Замена


dx
1 t2

t

tg
x

x

arctg
t




 sin 2 x  4 cos 2 x
 t2
1
2

dt
t
1 
 4
dx 

; sin 2 x 
; cos 2 x 
2
1 t
1 t2
1 t2
1 t2
1  t 2 



dt
t2  4

1
t2
1 tg x  2
ln
 C  ln
 C.
22 t  2
4 tg x  2
Ответ:

1 tg x  2
 ln
 C.
2
2
4
tg
x

2
sin x  4 cos x
dx
Пример 6. Вычислить интеграл  tg 4 xdx
Решение.
105




Замена
t4
1 

4


dt    t 2  1 
dt 
 tg xdx  t  tg x  x  arctg t   
2
2
1

t
1

t


dt


dx 
2


1 t
t3
1 3
  t dt   dt  


t

arctg
t

C

tg x  tg x  x  C.
3
1 t 2 3
1 3
4
Ответ:  tg xdx  tg x  tgx  x  C.
3
dt
2
Примеры для самостоятельного решения
3
2
1.  sin x cos xdx
3
2
16.  cos 3 x sin 3 xdx
2.  sin 2 x cos 2 xdx
2
2
2 x
4 x
dx
17.  cos sin
3
3
3
3
18.  cos 2 x sin 2 xdx
x
x
cos 5 dx
3.  sin
2
2
5
4.  sin 2 xdx
3
x
dx
2
4
20.  sin 4 xdx
5
19.  cos
4
5.  cos 3 xdx
6.  sin 3 x cos 2 xdx
x
x
sin dx
3
4
x
8.  cos cos 3 xdx
3
cos 2 x
dx
9. 
sin x
sin xdx
10. 
2
cos xsin x  cos x 
dx
11. 
sin x
dx
12. 
2 sin x  cos x  5
dx
13. 
2
5 sin x  3 cos 2  4
4
14.  tg 3xdx
x
x
sin dx
12
4
22.  sin 3 x sin 2 xdx
7.  sin
21.  cos
23.  cos 5 x cos 10 xdx
24.
25.
26.
27.
28.
3
15.  ctg 2 xdx
29.
106
sin 3 x
 cos 4 x dx
dx
 sin 2 cos 4 x
dx
 cos x
1  sin x
 1  cos x sin x dx
dx
 4 sin 2 x  9 cos 2 x
5 x
 tg 2 dx
6
30.  ctg xdx
Ответы
x
x
sin 8
x 1
cos x cos x
2  2 sin 6 x 
2 C

 C ; 2.  sin 8 x  C ; 3.
1.
;
8 64
5
3
2
3
2
4
1
1
1
3x 1
12 x
3
5
 sin 6 x 
C ;
4.  cos 2 x  cos 2 x  cos 2 x  C ; 5.
2
3
10
8 12
96
1
1
x 6
7x
3
10 x 3
8x
 sin
 C ; 8.
sin
 sin
C ;
6.  cos 5 x  cos x  C ; 7. 6 sin
10
2
12 7
12
20
3 16
3
x
x
9. ln tg  cos x  C ; 10. tgx  ln tgx  1  C ; 11. ln tg  C ;
2
2
x 

 2tg  1
3
1
tg 3 3x 1
2 

arctg
 C ; 13. arctg 3tgx  C ; 14.
 tg3  x  C ;
12.
3
3
9
3
3
1
1
sin 3 3x sin 5 3x


ln
sin
2
x

C

C ;
15.
; 16.
4 sin 2 2 x 2
9
15
x
3
4x 1
sin 4 2 x sin 6 2 x
3 2x
 sin
 sin
 C ; 18.

C;
17.
16 64
3 16
3
8
12
x 4 3x 2 5x
3
1
1
 sin
 C ; 20. x  sin 8 x 
sin 16 x  C ;
19. 2 sin  sin
2 3
2 5
2
8
16
128
3
x
4
1
1
21.  cos  3 cos  C ; 22. sin x  sin 5 x  C ;
2
3
6
2
10
1
1
1
1
tg 3 x
sin 15 x  sin 5 x  C ; 24.

 C ; 25.
 2tgx  ctgx  C ;
23.
30
10
3 cos 3 x cos x
3
x
tg 2
1
x 
2

2  tg x  1 ln tg x  C
26. ln tg     C ; 27.
; 28. arctg  tgx   C ;
6
4
2 2
2
3

2 4
1
2
x
ctg 5 x ctg 3 x


2
ln
cos

C

 ctgx  x  C .
29.
; 30. 
2
4 x
2 x
5
3
2 cos
cos
2
2
5
sin 4
3
§7. Интегрирование
выражений
1) Интеграл вида

некоторых
mx  n
ax  bx  c
2
видов
иррациональных
dx
находят с помощью преобразований и замены, аналогичных преобразованиям и
замене для нахождения интеграла от простой рациональной дроби III типа
(см. § 5).
107
2) К интегралам от функций, рационально
тригонометрических функций, сводятся интегралы:
 R( x,
 R( x,
зависимых
от
a 2  x 2 )dx – подстановкой, x  a sin t , dx  a cos tdt
a
dt
cos 2 t
a
a sin t
2
2
 R( x, x  a )dx – подстановкой x  cos t , dx  cos2 t dt
3) Если подынтегральная функция содержит n ax  b , то надо выполнить
замену t  n ax  b .
Ax  B
dx можно найти подстановкой
4) Интеграл вида 
2
( x   ) ax  bx  c
1
x  
t
Примеры с решениями
Пример 1. Вычислить интеграл:

a 2  x 2 )dx – подстановкой x  a tg t , dx 
( x  5)dx
6  4x  x
tdt

10  t
2
2

 Замена 
(x  5)dx
 x  2  t   (t  3)dt 

 x  t  2  10  t 2
2
  x  2   10 
 dx  dt 
dt
 3
10  t
2

2
2
t
  10  t  3arcsin
Ответ:

1 d(10  t )

2
10  t
 3arcsin
2
t

10
x2
 C   6  4 x  x  3arcsin
2
10
(x  5)dx
  6  4 x  x  3arcsin
2
10
x2
6  4x  x
Пример 2. Вычислить интеграл:

4x
2
x
2
tdt
2
2

2
sin t
dt  2
2
cos t
 sin
2
t
 sin tdt  2

 C.
10
 x  2  sin t ; t  arcsin x 

2

 2 cos t  2 cos
dx 
dx  2 cos t


2 sin t


4  x  2 cos t


cos t
 C.
cos t  d(cos t ) 
2
1  cos t
2
108


1  cos t  1
d cos t
2
d(
cos
t
)

2
d(cos
t
)

2

2
2
1  cos t
1  cos t
2



1  cos t
2
 2cos t  ln
 C  4  x  ln
2 1  cos t
 4  x  ln
2
Ответ:
2  4  x2
2 4 x

4x
1
2
2
 C.
2
dx 
1
4  x2
2
C 
2
4 x
2
4  x  ln
2
x
2 4x
2
2 4x
2
 C.
Пример 3. Вычислить интеграл:


Замена


3sin t
dt


2
dx
3
1
2
cos
t



x

;
x

9

3tg
t


dt 
 x x 2  9  cos t


3
sin
t
3

3


cos
t
cos t
3sin t
dx 
d
t


2


cos t

1
3
tC 
1
 arccos
3
Ответ:
3
 C.
x
x
dx
1
1
3
 t  C   arccos  C.
3
x
x2  9 3
Пример 4. Вычислить интеграл:




Замена
sin 3 t
2


8 3 
dt
3
2
x
x
cos
t
cos
t



 4  x 2 dx   x  2tg t; t  arctg 2   
2

cos t
2
2 
2
d
t
;
4

x

dx 

2
cos t
cos t 

1  cos 2 t  d cos t

sin 3 t
sin 2 t  sin tdt
 8
dt  8
 8

cos 4 t
cos 4 t
cos 4 t
d cos t
d cos t
1   1 

 8

8


8

 8 


C 
3 
cos 4 t
cos 2 t
3cos
t
cos
t

 

109

8
4  x 
2
38
Ответ:
3

8 4  x
4  x 
2
2
C 
2

x
4 x
dx 
2
 4 4  x  C.
2
3
4  x 
2
3
3
3
 4 4  x  C.
2
3
Пример 5. Вычислить интеграл:
Замена


 4

1 4 x
1 t 3
4
dx

x

t
;
x

t
;

  t 4  t 2 4t dt 
x x 
dx  4t 3dt ; x  t 2 


2
t t
t 1 
2t
dt

 4 2
dt  4 1  2
dt  4 2

dt  4 dt  2 2
t 1
t 1
t 1
 t 1
 4t  2ln(t 2  1)  4 arctg t  C  4 4 x  2ln( x  1)  4 arctg
4
x C
1 4 x
Ответ: 
dx  4 4 x  2ln( x  1)  4 arctg 4 x  C
x x
Пример 6. Вычислить интеграл:


 Замена 
dt


 2
t dt
dx
t
 x  1  1;  



 ( x  1) 1  x 2 
 t 1  2t 
t   1 1  2t
 2

1 
t
t
dx   2 dt 
t


 t2  t

1


dt
  т.к.  1  x  1, то x  1  0,   
 (1  2t ) 2  C 
1  2t


значит
t

0
и
t


t


2
1 x
 C  1 
C
x 1
1 x
dx
1 x

C
Ответ: 
1 x
( x  1) 1  x 2
Примеры для самостоятельного решения
dx
2x  8
1. 
11. 
dx
1  x  x2
( x  2) 4  x 2
x 2dx
3x  1
2. 
12. 
dx
2
x  4x  5
x2  2 x  3
110
3.

4.

5.

6.
2 x2  x  5
x2  2 x
x2  4 x
13.
dx
x2  2 x  2
dx
15.
2 3
1  x2
dx
x2
7.  x 2 4  x 2 dx
4  x 
1
9.

x
x
10.
x
6
dx
dx
1  x2
dx
x2  4
xdx
3x  4
3
16.

dx
x3x
17.

16  x 2 x 2dx
18.

2 3
8.
3
14.  x 3  xdx
dx
16  x 

dx
x) x
 (1 
19.
x
20.

dx
4  x 
2 3
dx
x 2  25
x5dx
2
8  x3
Ответы
1.  2 1  x  x 2  9arcsin
2x  1
+C; 2. 3 x 2  4 x  5+5ln x  2 
5
 x  2
2
 1 +C ;
3.  x  2  x 2  2 x  3ln x  1  x 2  2 x  C;
4.
x5 2
7
x  2 x  2  ln x  1  x 2  2 x  2  C ;
2
2


x2  1
x x
5.
 C ; 6. ln x  x  1 
 C ; 7. 2arcsin  ( x 2  2) 4  x 2  C;
x
2 4
16 16  x 2
x
2
(4  x 2 )5
x
 C;
8. 
 C; 9. ln
5
20 x
1  1  x2
1
2
1 2 x
10.  arcsin  C; 11. 
+C;
2
x
2 2 x
x3 2
12.
x  2 x  3  C; 13. 6 6 x  6arctg 6 x  C;
2
2
1
3x  4 

2
14. 0,4(x  x  6) 3  x  C ; 15.
  3x  4  3  ln 1  3 3x  4  C ;
2
111
16. 2 x  3 3 x  6 6 x  6ln
6
x  1  C;
3
x
x
2
2 2
17. 32arcsin  16  x  2 x  16  x   C ;
4
4
1
x
x 2  25
18. 
 C ; 19. 
 C;
4 x2  4
25 x
2
20.

8  x3
9

3
16 8  x3

 C.
3
§8. Определённый интеграл
Пусть на отрезке [a;b] задана непрерывная неотрицательная функция y = f (x)
(рисунок).
n
Определение 1. Сумма S   f ( M k )xk называется интегральной суммой
k 1
функции f (x) на отрезке [a;b].
Определение 2. Предел интегральных сумм S функции f (x) на отрезке
[a;b] при n   и max xk  0 называется определённым интегралом функции
f(x) на отрезке [a;b], если этот предел существует и не зависит ни от способа
разбиения отрезка [a;b] на части, ни от выбора точек Mk
(k = 1,…, n) на
каждой из частей. Следовательно, можно записать:
n
b
k 1
a
Sкрив.тр.  lim  f ( M k )xr   f ( x)dx .
n 
При этом отрезок [a;b] называют отрезком интегрирования, «a» – нижним
пределом интегрирования, «b» – верхним пределом.
112
Достаточное условие интегрируемости функции на отрезке [a;b]. Если
b
функция f(x) на отрезке [a;b] непрерывна, то определённый интеграл
 f ( x)dx
a
существует, т.е. функция f (x) на отрезке [a;b] интегрируема.
Свойства определённого интеграла
a
1)
 f ( x)dx  0
a
2)
b
a
a
b
 f ( x)dx    f ( x)dx
b
b
a
a
3)  k  f ( x)dx  k   f ( x)dx
b
4)
b
b
  f ( x)  f ( x)  dx   f ( x)dx
1
2

1
a
a
 f ( x)dx
2
a
5) Если функция f(x) интегрируема на отрезках [a;c] и [c;b], то она
интегрируема и на отрезке [a;b], причём верно равенство:
b
c
b
a
a
c
 f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx
при любом расположении точек a, b и c на оси Ox.
6) Если f (x)  0 при x [a;b], то
b
 f ( x)dx  0
a
7) Если на отрезке [a;b] f (x)  g (x), то
b
b
a
a
 f ( x)dx   g ( x)dx
8) Теорема 1 (о среднем значении определённого интеграла). Если
функция f (x) непрерывна на отрезке [a;b], то на этом отрезке найдётся хотя бы
одна точка c, в которой выполняется равенство:
b
 f ( x)dx  f (c)  (b  a)
a
Формула Ньютона–Лейбница
Теорема 2. Пусть функция f (x) непрерывна на отрезке [a;b] и (x) – какаялибо её первообразная на отрезке [a;b]. Тогда определённый интеграл от
функции f(x) по отрезку [a;b] равен разности значений функции (x) в точках b
и a:
b
 f ( x)dx  (b)  (a)
a
113
Формула Ньютона–Лейбница является основной формулой интегрального
исчисления, устанавливающей связь между определённым и неопределённым
интегралами, и даёт правило вычисления определённого интеграла.
Замечание. Формулу Ньютона–Лейбница часто записывают в виде:
b
b
a f ( x)dx  ( x) ,
a
где используется обозначение:
b
 ( x)   (b)   ( a) .
a
Задача вычисления определённого интеграла сводится к нахождению
первообразной непрерывной функции.
Методы интегрирования определённого интеграла
1) Замена переменной в определённом интеграле
Теорема 3. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и пусть
функция
x = (t) имеет непрерывную производную '(t) на отрезке [;],
область значений этой функции – отрезок [a;b], т.е. a   (t)  b для t [;],
причём () = a, () = b.
Тогда справедливо равенство:
b
β
a
α
 f ( x)dx  f (φ(t ))  φ(t )dt .
2) Интегрирование по частям в определённом интеграле
Теорема 4. Пусть функции u(x) и v(x) имеют непрерывные производные
на отрезке [a;b]. Тогда справедливо равенство:
b b
b
a u( x)  v' ( x)dx  u ( x)  v( x)  a v( x)  u( x)dx .
a
Примеры с решениями

2
Пример 1. Вычислить интеграл  cos xdx
0
Решение.
π
2
 cos xdx  sin x
0
π
2
0
 (sin
π
 sin 0)  1  0  1.
2
114
π
2
 cos xdx  1 .
Ответ:
0
3
x
dx
x

1
2
Пример 2. Вычислить интеграл 
2
Решение.
3
3
1 d( x 2  1) 1
1
1 10 1
2
d
x


ln
x

1

(ln
10

ln
5
)

ln
 ln 2 .
2
2
2
2
2
2 5 2
x

1
x

1
2
2
2
3
x


3
Ответ:
1
d
x

ln 2 .
2
2
x

1
2

x
4
Пример 3. Вычислить интеграл
dx
1
0
x
Решение.
Замена




x t



 2
4
2
dx
x t
2tdt
t 1 1

2
0 1  x   x  t ,dx  2tdt , 0 0   0 1  t  20 1  t dt 


4 2

2
2
2
2
dt
2 dt  2
 2t  2 ln 1  t  4  0  2 ln 3  2 ln 1  4  2 ln 3 .
1 t
0
0
0
0


4
Ответ:

0
dx
 4  2 ln 3 .
1 x
2
Пример 4. Вычислить интеграл  x 2 4  x 2 dx
0
Решение.
2
x
0
2
Замена


 x  2sin t , 4  x 2  2cos t 



 π

x 0 2  2
2
4  x dx   dx  2cos tdt ,
  4sin 2 t  2cos t  2cos tdt 

t 0 p  0

2 

115
π
2
π
2
π
2
0
0
0
 16  sin 2 t  cos 2 tdt  4  sin 2 2tdt  4 
 2t
π
2
π
2

0
0
2
1  cos 4t
dt  2  dt  2  cos 4tdt 
2
π
2
1
π
 1
 sin 4t  2  0   sin 2 π  sin 0   π.
2
 2
0 2
0
2
Ответ:
x
2
4  x 2 dx  π.
0
e
Пример 5. Вычислить интеграл  x 2 ln xdx
1
Решение.
dx 

e
du  
e

u  ln x
x3
e3 e3 1 2e3  1
x
2
  ln x    
 x ln xdx   dv  x 2dx
x3  3
3 9 9
9
1

1
v
3 

2e3  1
Ответ:  x ln xdx 
.
9
1
e
2

Пример 6. Вычислить интеграл
2
 x  sin xdx
0
Решение.
π
2
π
2
π
2
du  dx 
 ux
x

sin
x
d
x


   x cos x   cos xdx 

d
V

sin
x
d
x
V


cos
x


0
0 0
π
π
  cos  0  cos 0  sin x
2
2
π
2
0
π
π
   0  0  1  sin  sin 0  0  0  1  0  1.
2
2
π
2
Ответ:
 x  sin xdx  1.
0
116
Примеры для самостоятельного решения

1
4
dx
1. 
(2 x  1)3
0
0
0
x3
dx
2
4
2
2.
4.  sin 2 2xdx
x
0
5.
1
3 3
2
3.
dx
1 x  5 x  4
7.
6.
2
3
1
1
dx
4x  3
20.
0
1
10.

0
1
11.

0
21.  ln xdx
1
1
22.  x arctg xdx
0
3
xdx
x 1
23.
0
25.  xe  x dx
0

0
 x cos xdx
1
12.  x x 2  9dx
13.
2
24.  arcsin xdx
2
4
5

0
1
xdx
1 x
x
dx
6 x
e
x2
dx
1 x


0
x 1
dx
8. 
2 x x2
9.

dx
x 9
2
3
3
6
1
dx
2
9
 4x
0

xdx
1  3x
26.  e x sin xdx
0
ln 3
2
dx
14.  x  x
e e
ln 2
27.  x ln( x  1)dx
0

ln 2
15.

12
e x  1dx
28.
0
0

2
1
x 2 dx
16. 
( x  1) 4
0
e 4
17.

1
29.
x
 x cos 2 dx

2

1  ln x
dx
x
30.
 x sin x cos xdx

1 e
dx
18. 
x
1

e
ln 3
0
 ( x  3)sin 6 xdx
e
x
31.  (1  ln x) 2 dx
1
117
0
19.
 1
1
dx
x 1
3
Ответы
2
3
1 5

1

1. ; 2. ln 2+ ; 3. ln ; 4. ; 5.  ln 5; 6.
; 7. 1  ln 2;
9
8
3 4
8
12
36
2
2
1 3
8. 4+ 2 arctg 2; 9.  2 ; 10. ln 4  1; 11. 1; 12. 32 ; 13. 4; 14. ln ;
3
3
2 2

1
8
4
4
3
15. 2  ; 16.
; 17. 4 2  ; 18. ln ; 19. ln8  ; 20. 6ln 2  3; 21. 1;
2
24
5
5
3
2
 2
3
 2
e2
e  1
3
19
22.
; 23. 
 1; 24.
; 25.
; 26.
; 27. ln 3; 28.
;
4
2
2
e
2
2
39

29. 0; 30.  ; 31. 2e  1.
2
§9. Приложения определенного интеграла
Понятие определенного интеграла вследствие его абстрактности широко
применяется при вычислении различных геометрических и физических
величин.
Для вычисления некоторой величины с помощью определенного
интеграла можно использовать следующие общие схемы решения.
Схема I
1. Разбиваем величину U на n слагаемых U k :
n
U  U1  ...  U k  ...U n   U k
k 1
2. Выражаем приближенно каждое слагаемое U k в виде произведения:
U k  f ( xk )  xk ,
где f ( xk ) – данная или определяемая из условий задачи функция,
x0  a, x1 ,..., xn  b – точка интервала  a; b , разбивающие его на n равных частей
ba
с длинами xk  x 
.
n
3. Представляем приближенно значение U в виде интегральной суммы:
n
U   f ( xk )  xk
k 1
118
4.
Если из условия задачи следует, что погрешность этого
приближенного равенства стремится к 0 при n   , то искомая величина U
выражается определенным интегралом:
b
n
U  lim  f ( xk )  xk   f ( x)dx
n
x 0 k 1
a
Схема II
1.
Пусть величина U
получает приращение U  f ( x)  x ,
соответствующее изменению x на малую величину x , причем f ( x)
рассматривается как данная или определяемая из условий задачи функция от x .
2.
Заменив приращение U дифференциалом du (главная линейная
часть приращения дифференцируемой функции) и x – дифференциалом dx
( x  dx ), получим
3.
U  du  f ( x)dx
Интегрируя это равенство в пределах от x  a до x  b , получим
b
U   f ( x)dx
a
Геометрическое приложение определенного интеграла
1. Вычисление площади плоской фигуры (области (D))
а) Линии, ограничивающие область (D), заданы в декартовых координатах
Случай 1. Площадь области (D), ограниченной прямыми x  a, x  b (b>a)
и непрерывными кривыми y  f ( x), y  g ( x), где f ( x)  g ( x) x   a; b (рис. 1),
находится по формуле:
b
S( D )    f ( x)  g ( x) dx
a
119
(1)
Случай 2. Площадь области (D), ограниченная прямыми y=c, y=d (d>c) и
непрерывными кривыми x   ( y ) и x   ( y ), где  ( y)   ( y) y  c; d  (рис. 2),
находится по формуле:
d
S( D )    ( y )   ( y ) dy
(2)
c
Рис. 2
б) Линии, ограничивающие область (D), заданы в параметрической форме.
Формула для вычитания площади области (D), ограниченной прямыми x=a, x=b
(b>a), непрерывной линией, заданной параметрически уравнениями:
 x   (t )

 y   (t ) и осью (ox), имеет вид:
t2
S( D )   (t )   '(t )dt , где a   (t1 ), b   (t2 ), ψ(t)≥0∀t∈[t1;t2]
(3)
t1
в) Линии, ограничивающие область (D), заданы в полярной системе
координат
Площадь области (D), ограниченной полярными лучами φ=α, φ=β (β>α) и
непрерывными полярными кривыми: r=f(φ), r=ψ(φ), где  ( )  f ( )    a;  
находится по формуле:

1
S( D )    2    f 2   d
(4)
2
120
2. Вычисление объема тела вращения
Формула для вычисления объема тела вращения, образованного вращением
криволинейной трапеции вокруг оси (ox), имеет вид:
b
V( ox )    f 2 ( x)dx
(5)
a
(рис. 4)
а вокруг оси (oy):

V( oy )    2 ( y )dy
c
(рис. 5)
121
(6)
Приложение определенного интеграла к решению физических задач
1.
Вычисление пути, пройденного материальной точкой
неравномерном движении по прямой со скоростью V (t) за время [t1; t2]
при
t2
S   V (t )dt
t1
2.
Вычисление работы, производимой переменной силой F(x) при
перемещении по оси ox материальной точки от x=a до x=b
b
A   F ( x)dx
a
Примеры с решениями
Пример 1. Вычислить площадь, ограниченную линиями: параболой
4 y  8x  x 2 и прямой 4 y  x  6 .
122
Решение. Построив данные линии, видно, что искомая площадь области
ACB (рис.6) ограниченной сверху параболой и снизу прямой, которые
пересекаются в точках А (1; ) и В (6;3), равна разности площадей А1АСВВ1 и
А1АВВ1. Тогда площадь области выражается интегралом в соответствии с
формулой (1).
6
6
1
1
1 x 2 x3
1
17
5
S D   ((8 x  x 2 )  ( x  6))dx   (7 x  x 2  6)dx  (7   6 x) |16  (18  )  5
41
41
4 2 3
4
6
24
Ответ: 5
5
кв. ед.
24
Пример 2. Найти площадь, ограниченную эллипсом x  2cos t , y  4sin t .
Решение. Оси координат совпадают с осями симметрии данного эллипса
(рис. 7). Четвертую часть искомой площади S, расположенную в первой
четверти координатной плоскости, найдем как площадь криволинейной
трапеции, прилегающей к Ox:




 замена переменной 
2
0


1
S   ydx   y  4sin t , x  2cos t   8 sin 2 tdt 
4


0
x|0|2
2
 dx  2sin tdt ,



t | | 0

2 


2
1

 4  (1  cos 2t )dt  4(t  sin 2t ) |  4  2 ; S = 4  2 кв. ед.
2
2
0
0
Ответ: S = 8π кв. ед.
2
123
Пример 3. Вычислить площадь, ограниченную кардиоидой
  а сos а   .
Решение. Кардиоида симметрична относительно полярной оси (рис. 8).
Тогда искомая площадь равна удвоенной площади криволинейного сектора
OAB. Дуга OAB описывается концом полярного радиуса ρ при изменении угла
φ от 0 до π. Используя формулу (4) найдем S.



1
S  2   d   a 2   сos2 d   a 2   сos  сos 2d  
20
0
0
a
 a (  2sin  0 
2
2

2
2
a
1


сos

d


a


(


sin  0 
0
2
2
2
a2
3
 a      a2
2
2
2
Ответ:
3 2
 a кв.ед.
2
Пример 4. Вычислить объём тела, образовавшегося вращением фигуры,
2
ограниченной линиями y  2 px , x  a вокруг оси OX (рис. 9).
2
Решение. Построив параболу y  2 px и прямую x  a , получим
внутреннюю область OAB при вращении её вокруг оси OX, образуется сегмент
параболоида вращения. Объем этого тела находим по формуле (5).
124
x2
V
2
 y dx    2 pxdx   px
2
x1
|   pa 2
2 a
0
0
Ответ:  pa ед. куб.
2
Пример 5. Определить работу, произведённую при адиабатическом
расширении воздуха, имеющего начальный объём V0 = 1 м3 и давление P0 =
9,8·104 Па до объёма V1 = 10 м3.
Решение. Объём газа в закрытом сосуде и производимое им давление P
связаны формулой:
PV k  c  const , k  1,4
Пусть x (м) – расстояние пройденное
поршнем (рис. 6). Предположим, что
при изменении x на малую величину
Δx испытываемое поршнем давление
остаётся неизменным; при этом
объём V изменится на ΔV. Работа
силы давления на отрезке Δx
выразится
приближённым
k
равенством: A  PS x , где S – площадь поршня. Так как PV k  PV
0 0  c , то
c
P  k , при этом V  S  x . Следовательно:
V
c
k V
. (Схема II)
A  k V  PV
0 0
V
Vk
k dV
Интегрируя в пределах от V0 до V1 дифференциальное равенство dA  PV
,
0 0
Vk
получим
V1
k 1
V1
1 k
k
k 



PV
PV
V
k dV
k V
1

k
1

k
0 0
0 0
0
A   PV
PV

V1  V0   k  1 1   V   
0 0
0 0
k
V
1

k
1

k
  1  
V0
V0

9,8  104 1003
1  0,10,4   15000 кгм  147  103 (Дж)

0,4
Примеры для самостоятельного решения
Найти площадь, ограниченную линиями:
1. Параболой y=6x – x2 и осью ox
2. Параболой y=x2+4x и прямой x – y+4=0
3. Гиперболой xy=6 и прямой y=7 – x
4. Кубической параболой y=x3 и прямыми y=x, y=2x
5. Окружностью x2+y2=4x и параболой y2=2x
125
6. Лемнискатой ρ2=a2cos2φ
7. Кардиоидой ρ= a(cosφ+1)
8. Логарифмической кривой y=lnx и прямыми y=0, x = а; а > 1
9. Окружностью x2+y2=16 и параболой x2=12(y – 1)
10. Одной аркой циклоиды x=a(t – sint), y= a(t – cost) и осью абсцисс
(a=const).
Найти объём тела, образованного вращением фигуры, ограниченной
линиями:
x2 y 2
11. 2  2  0, y  0, y  b вокруг оси Оу
a b
12. y 2  x  4  0, x  0 вокруг оси Оу
Ответы
3 2
16  4 3
5
1. 36; 2. 20 ; 3. 17,5 – 6ln6; 4. 1,5; 5.  ; 6. a 2 ; 7.
;
a ; 8. 1; 9.
6
3
2
4
2
10. 3a 2 ; 11.  a 2b; 12. 34  .
3
15
§10. Несобственные интегралы
При изучении определённого интеграла от функции f (x) требуется, чтобы
функция f (x) удовлетворяла следующим условиям:
 была определена на конечном отрезке [a;b];
 была непрерывна на отрезке [a;b].
Если нарушено хотя бы одно из указанных условий, то речь будет идти о
несобственных интегралах первого и второго рода.
Интегралы с бесконечными пределами
Пусть функция f (x) определена и непрерывна на промежутке [a;+) или (–;a]
или (–;+).
b
Определение 1. Если существует конечный предел blim
 f ( x)dx , то этот

a
предел называется несобственным интегралом от функции f(x) на бесконечном

промежутке [a;+) первого рода, обозначается
 f ( x)dx
a
126
и в этом случае
b
считается, что интеграл сходится. Если lim
b  
 f ( x)dx не существует или равен
a

, то считается, что интеграл
 f ( x)dx расходится.
a
Аналогично определяются интегралы:
a


a
f ( x)dx  lim
b  

 f ( x)dx
b

a



a
a
c
b   b
c   a
  f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx  lim  f ( x)dx  lim  f ( x)dx
Если пределы конечные, то соответствующий интеграл считают
сходящимся, а если хотя бы один из пределов не существует или бесконечный,
то интеграл считают расходящимся.
Интегралы от разрывных функций
1) Пусть функция y = f (x) определена и непрерывна на отрезке [a;b], а в
точке x = b либо не определена, либо имеет разрыв. Такую точку x = b
будем называть особой точкой функции f (x).
b ε
Определение 2. Если существует конечный предел εlim
0
 f ( x)dx , то он
a
называется несобственным интегралом второго рода от функции f(x) на отрезке
b
[a;b] и обозначается символом
 f ( x)dx . При этом говорят, что несобственный
a
b
интеграл
 f ( x)dx сходится и записывается равенство:
a
b
b ε
a
a
 f ( x)dx  εlim
 f ( x)dx .
0
Если конечный предел не существует или он бесконечный, то говорят, что
b
несобственный интеграл
 f ( x)dx расходится.
a
2) Пусть функция y = f (x) определена и непрерывна на отрезке [a;b], а в
точке x = a либо не определена, либо имеет разрыв. Такую точку x = a
называют особой точкой функции f (x).
127
 b


 , то он
lim
f
(
x
)
d
x
Определение 3. Если существует конечный предел



ε 0
 a ε

называется несобственным интегралом второго рода от функции f (x) на
b
отрезке [a;b] и обозначается символом
 f ( x)dx .
a
b
При этом говорят, что несобственный интеграл
 f ( x)dx
сходится и
a
записывается равенство:
 b

 f ( x)dx  .
f
(
x
)
d
x

lim



ε 0
a
 a ε

Если конечный предел не существует или бесконечен, то говорят, что
b
b
несобственный интеграл
 f ( x)dx расходится.
a
Замечание. Если функция f(x) имеет разрыв в некоторой точке x = c
внутри отрезка [a;b], то по определению полагают:
b
c
b
 c ε

 b



 f ( x)dx 
f
(
x
)
d
x

f
(
x
)
d
x

f
(
x
)
d
x

lim
f
(
x
)
d
x

lim




 δ 0 

ε 0
a
a
c
 a

 c δ

при условии, что оба предела в правой части существуют, и  и  не зависят
друг от друга. Этот интеграл также называют несобственным интегралом
второго рода от функции f (x) на отрезке [a;b] и обозначается символом:
b
 f ( x)dx .
a
Сходимость или расходимость такого интеграла зависит от существования или
не существования конечного предела.
Примеры с решениями

Пример 1. Исследовать на сходимость несобственный интеграл

1
Решение.
du  dx 
 ux
b
2x
2x
1 2x  

xe
d
x

lim
xe
d
x



2x
V


e 
d
V

e
d
x
b



1
1
2





b
b
1 b 2x 
b
e2 1 2x 
 x 2x

 lim   e
 e
lim  

 e
  b


2
b
2
2
4
b   2


 2e
1
1
1 




128
xe2 x dx


b
1
1
1
b
1
3
 lim  
 e  2  e  2b  e  2    lim
 lim


4
4
b   2e 2b 2
b   2e 2b b   4e 2b 4e 2

  lim
1
0
b   4e 2b
3
4e 2

3
4e 2

Так как получили конечное число, то интеграл
 xe
 2 x dx
сходится и равен
1
3
.
4e 2

2 x
 xe
Ответ:
1
dx 
3
.
4e2
1
Пример 2. Исследовать на сходимость  ln xdx
0
Решение.

1 1 
1
  u  ln x du  1 dx 






 lim  x ln x   dx  
x
 ln xdx  εlim
 ln xdx   dV  dx
0

V  x  ε 0
0
ε
 
ε ε 

1


1






1
 ln x 1
 ln 1 ln ε

ε

 lim 
 x   lim 

 1  ε   lim 0 
1  0 


1
1
 ε 0
ε  0 1 ε
ε  ε  0 1





ε
 x



ε2


 lim ε  1  0  1  1
ε 0
1
Так как получили конечное число, то
 ln xdx сходится и равен
0
1
Ответ:  ln xdx  1.
0
1
Пример 3. Исследовать на сходимость

0
Решение.
129
dx
1  x2
–1.
1

0
 1ε dx
 lim  
1  x 2 ε 0 0 1  x 2
dx

1 ε



  lim  arcsin x

 ε 0

0 

 lim arcsin( 1  ε)  arcsin 0  lim arcsin( 1  ε)  arcsin 1 
ε 0
ε 0
1
Так как получили конечное число, то

0
1
Ответ:

0
dx
1  x2

dx
π
2
сходится и равен
1  x2
π
.
2
π
.
2
1
dx
 x2
Пример 4. Исследовать на сходимость
1
Решение.


 ε
1
0
1
  ε dx 
 1 dx 
 1

 1  
dx
dx
dx

  lim 
  lim  
  lim      
 x 2   x 2   x 2  εlim


2
2



 ε 0 x
0
δ 0
x
x
 δ 0  x  δ 
1
1
0
 1 
δ 

1




1
1
1 

lim   1  lim   1        
ε 0 ε
δ
 δ 0
1
Так как получили бесконечность, то
1
Ответ:
1
1.

0
2
2.
dx
1  x2
 x2
1
1
расходится.
Примеры для самостоятельного решения

dx
7.  2
x
1
2
8.
3.

1
xdx
x 1

1
0
2
расходится.

dx
  x  1
dx
dx
 x2

9.
dx
x
4
1

2
dx
4. 
x
1
dx
x
10.
130
dx
 1  x2


2
dx
5. 
x ln x
1
2
6.

0 3
11.  e  x dx
0

dx
 x  1
2
12.
x
2
Ответы
dx
x2  1

8
; 2. расходится; 3. ; 4. расходится; 5. расходится; 6. 6; 7. 1; 8. расходится;
3
2
1

9. ; 10. расходится; 11. 1; 12. .
3
6
1.
131
Учебное издание
РУДАКОВСКАЯ Елена Георгиевна
АВЕРИНА Ольга Валентиновна
ВОРОНОВ Сергей Мирзоевич
СТАРШОВА Татьяна Николаевна
ХЛЫНОВА Татьяна Вячеславовна
РИГЕР Татьяна Викторовна
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ
ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
(ПРИМЕРЫ И ЗАДАЧИ)
Редактор Е. В. Копасова
Подписано в печать 15.04.2013 г. Формат 60х84 1/16.
Усл. печ. л. 7,7. Уч.-изд. л. 9,1. Тираж 1000 экз. Заказ
Российский химико-технологический университет имени Д. И. Менделеева
Издательский центр
Адрес университета и издательского центра:
125047, Москва, Миусская пл., 9
132