Якименко М.И - Финансовый Университет при Правительстве РФ

ОПТИМИЗАЦИЯ КОММЕРЧЕСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ И СВОЙСТВО
СГЛАЖИВАНИЯ КРИТЕРИЯ ГУРВИЦА
OPTIMIZATION OF THE COMMERCIAL ACTIVITY AND
THE SMOOTHING PROPERTY OF THE HURWITZ CRITERION
Якименко М.И.
Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации
Научный руководитель: профессор, к.ф.-м.н. Лабскер Л.Г.
Аннотация. В данной работе будет описан критерий наиболее часто применимый для оптимизации коммерческой деятельности на практике - это критерий Гурвица, который является промежуточным критерием между критерием
крайнего оптимизма и критерием крайнего пессимизма.
В дополнение к этому, будет рассмотрен пример использования критерия
Гурвица на практике, показывающий несовершенство данной теории и объясняющий причины подобного явления.
Ключевые слова: неопределенность, критерий Вальда, максимаксный критерий, критерий Гурвица, сглаживание, оптимальная стратегия, несовершенство
Abstract. This paper provides information about the decision-making theory under conditions of uncertainty. Hurwitz criterion, acting as intermediary between extreme optimism and extreme pessimism criteria, tends to be one of the most useful
criteria in practice that is why this theory is described in the article in details.
In addition to that, there would be considered an example of using Hurwitz criterion in practice, showing the imperfection of the theory and explaining the reasons
for this phenomenon.
Key-words: uncertainty, Wald’s, Hurwitz, Maximax criteria, the smoothing
property, optimal strategy, imperfection
1
На сегодняшний день из всех критериев оптимальности существует лишь
один критерий, позволяющий сгладить полярные результаты других критериев
и дающий усредненный прогноз, – это критерий Гурвица. Однако часто возникает вопрос об универсальности данного критерия.
Для того чтобы ответить на данный вопрос, в рамках статьи рассмотрена задача, наиболее часто возникающая на практике, а именно, задача «об оптимизации объема производства» [2].
В качестве модификации «задачи об оптимизации производства» рассмотрим задачу оптимизации коммерческой деятельности по предоставлению ITуслуг.
Компания «IBS & Co Информационные бизнес системы» - один из ведущих
поставщиков программного обеспечения и IT- услуг в Восточной Европе осуществляет свою деятельность в 3-х основных направлениях, затраты на осуществление деятельности в которых, следующие [5]:
A1 - Управленческий консалтинг и бизнес – приложения – 1 780 000 руб.;
A2 - IT-инфраструктура - 1 100 000 руб.;
A3 - Сервис бизнес - приложений и IT-аутсорсинг - 780 000 руб.
Предполагается, что колебанию спроса на услуги фирмы соответствуют четыре различных степени зависимости от рыночной конъюнктуры:
П 1 - низкая, П 2 - средняя, П 3 - высокая, П 4 - абсолютная.
Необходимо выбрать оптимальную стратегию оказания услуг клиентам
данной компании.
На основе опыта и накопленной за предыдущие годы статистики
сотрудниками данной компании были рассчитаны варианты среднегодовой
прибыли 2013 г., которые представлены в виде матрицы платежеспособного
спроса (см. Табл.1).
Данная матрица рассчитана не только с учетом изменений рыночной конъюнктуры, но и с учетом ожидаемого значения потерь, которые могут возникнуть в случае неудачного исхода. К таким затратам можно отнести, к примеру,
2
заработную плату работникам, у которых не было возможности раскрыть свой
потенциал из-за отсутствия клиентов, или затраты, связанные с хранением готового программного обеспечения на складе.
Таблица 1.
Объем
Размер прибыли в зависимости от колебания спроса
производства
П2
П1
П3
П4
A1  1 780 000
a11  -836
a12  78 200
a13  156 400
a14  312 800
A2  1 100 000
a21  -44
a22  118 400
a23  236 800
a24  236 800
A3  780 000
a31  39 200
a32  156 800
a33  156 800
a34  156 800
«Анализ коммерческой стратегии при неопределенной конъюнктуре»
На основе этих данных приступим к поиску стратегии, оптимальной по критерию Гурвица.
Определение критерия Гурвица основывается на критерии Вальда и на максимаксном критерии. Основные понятия этих критериев достаточно подробно
описаны в [1], [3] и [4].
Критерий Гурвица ( Hur( ) -критерий). Пусть  [0, 1] и (1   )  [0, 1] - показатели соответственно оптимизма и пессимизма игрока A при выборе им стратегии. Huri ( )  (1   )Wi  M i , i  1,2,..., m , - показатель эффективности стратегии Ai . HurS C ( )  max{ Huri ( ) : i  1,2,..., m} - цена игры в чистых стратегиях по
A
критерию
Гурвица.
Стратегия
Ak ,
удовлетворяющая
условию
Hurk ( )  HurS C ( ) , называется Hur( ) -оптимальной (оптимальной по критеA
рию
Гурвица)
во
множестве
чистых
стратегий.
Множество
Hur( ) -
оптимальных стратегий обозначим через ( S AC )O ( Hur (  )) .
В условиях рассматриваемой задачи игроком A является компания «IBS &
Co Информационные бизнес системы», m  3 , n  4 , S AC  { A1 , A2 , A3} . Присоедив к матрице выигрышей (см. Табл.1) три столбца показателей эффективности
3
по W - критерию, M - критерию и по критерию Гурвица, получим следующую
таблицу:
Таблица 2.
Пj
П2
П1
Ai
П3
П4
Huri ( )
Wi
Mi
A1
-836
78200
156 400
312 800
-836
312 800
313636   836
A2
-44
118 400
236 800
236 800
-44
236 800
236844   44
A3
39 200
156 800
156 800
156 800
39 200
156 800
117600   39200
В [4] было введено понятие свойства сглаживания критерия Гурвица, определяемое следующим образом: критерий Гурвица с фиксированным показателем оптимизма  [0, 1] обладает в данной игре свойством сглаживания, если
найдется стратегия, оптимальная во множестве чистых стратегий по этому
критерию, и не являющаяся оптимальной во множестве чистых
стратегий ни по критерию Вальда, ни по максимаксному критерию.
Далее будем использовать основополагающую теорему:
Теорема ([4]). Для того, чтобы в данной игре с природой критерий Гурвица
ни при каком значении показателя оптимизма   (0, 1) не обладал свойством
сглаживания, т.е. для того чтобы было справедливо включение
( S AC )O ( Hur (  ))  ( S AC )O (W )  ( S AC )O ( M ) ,   (0, 1) ,
(1)
необходимо и достаточно, чтобы ломаная, представляющая собой график
верхней огибающей HurS C ( ) , 0    1, отрезков Huri ( ) , i  1,2,..., m , состояA
ла из не более двух звеньев и в случае, если она состоит из двух звеньев, чтобы
через ее вершину не проходил ни один из отрезков Huri ( ) , i  1,2,..., m ,
отличных от отрезков, на которых лежат звенья ломаной.
Решив уравнения
313636   836  236844   44 ,
313636   836  117600   39200 ,
236844   44  117600   39200 ,
4
2  10009 49009  0,204 ,
получим: 1  99 9599  0,01 ,
3  9811 29811  0,33 - абсциссы точек пересечения соответственно отрезков
Hur1 ( ) и Hur2 ( ) , Hur1 ( ) и Hur3 ( ) , Hur2 ( ) и Hur3 ( ) . Поскольку левый
конец Hur3 (0) отрезка Hur3 ( ) лежит выше левых концов отрезков Hur1 ( ) и
Hur2 ( ) , правый конец Hur1 (0) отрезка Hur1 ( ) лежит выше правых концов
отрезков Hur2 ( ) и Hur3 ( ) и
Hur2 ( )  236844   44  Hur1 (2 )  Hur3 (2 )  63217 ,19 , 0    1,
то верхняя огибающая, являющаяся графиком цены игры HurS C ( ) по криA
терию Гурвица, будет ломаная, состоящая из двух звеньев (см. Рис. 1). Поэтому
по теореме справедливо включение (1), означающее, что в данной игре критерий Гурвица ни при каком значении показателя оптимизма не обладает свойством сглаживания.
Более точно,
оптимальной
стратегией по критерию
Гурвица при 0    10009 49009 является стратегия A3 , при   10009 49009 стратегии A1 и A3 , и, наконец, при 10009 49009    1 - стратегия A1 .
Рисунок 1 «Графическое изображение показателей эффективности»
Подводя итоги, отметим, что в условиях данной задачи критерий Гурвица
относительно выигрышей ни для какого показателя оптимизма  [0, 1] не
сглаживает показатели, полученные при помощи критериев крайнего оптимизма (М – критерий) и крайнего пессимизма (W – критерий).
5
Таким образом, в рамках данной статьи было доказано, что для определенного класса задач критерий Гурвица не позволяет сгладить результат, полученный при помощи «полярных» критериев. Подобный результат имеет место
быть по той причине, что в ряде случаев возникают определенные противоречия с теорией, в рамках которой было условлено действовать. Вот почему в некоторых случая жизненный опыт и интуиция позволяют решить на практике,
казалось бы, неразрешимые в теории, задачи.
Литература.
1. Лабскер Л.Г. Теория критериев оптимальности и экономические
приложения. – М.: КноРус – 2008 –744 с.
2. Шапкин А.С. Экономические и финансовые риски: оценка, управление, портфель инвестиций. – М.: Издательско-торговая корпорация
«Дашков и Ко» - 2003 – с. 80
3. Лабскер Л.Г. Новый подход к определению оптимальности относительно выигрышей в играх с природой. – БИЗНЕС ИНФОРМ, №4(2) –
2010-с.48-50.
4. Лабскер Л.Г. Критерий Гурвица: свойство сглаживания, алгоритмы,
экономическое приложение. - Микроэкономика №5 – 2010 – с. 181-194.
5. http://www.ibs.ru/ - IBS – Информационные Бизнес – Системы.
6