Геометрия 8 для тренировкиx

Геометрия 8 для тренировки –дюжина с простого
Геометрия 8 для тренировки –дюжина с простого
1. На основании AC равнобедренного треугольника ABC взята точка P такая, что AP =
AB. На стороне AB взята точка Q такая, что PQ = PB. Докажите, что AQ = CP.
1,5. Треугольник можно разрезать на три равных треугольника. Докажите, что один
из его углов равен 60o.
1. На основании AC равнобедренного треугольника ABC взята точка P такая, что AP =
AB. На стороне AB взята точка Q такая, что PQ = PB. Докажите, что AQ = CP.
1,5. Треугольник можно разрезать на три равных треугольника. Докажите, что один
из его углов равен 60o.
2. В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AHA , BHB и CHC . Докажите, 2. В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AHA , BHB и CHC . Докажите,
что треугольник с вершинами в точках пересечения высот треугольников AHBHC , что треугольник с вершинами в точках пересечения высот треугольников AHBHC ,
BHAHC и CHAHB равен треугольнику HAHBHC .
BHAHC и CHAHB равен треугольнику HAHBHC .
3. Биссектриса, медиана и высота некоторого треугольника, проведенные из трех
разных вершин, пересекаются в одной точке и делят этот треугольник на шесть треугольников. Площади трех треугольников, у которых общая только вершина, равны.
Верно ли, что исходный треугольник равносторонний?
3. Биссектриса, медиана и высота некоторого треугольника, проведенные из трех
разных вершин, пересекаются в одной точке и делят этот треугольник на шесть треугольников. Площади трех треугольников, у которых общая только вершина, равны.
Верно ли, что исходный треугольник равносторонний?
4. Биссектриса угла при основании равнобедренного треугольника делит противоле- 4. Биссектриса угла при основании равнобедренного треугольника делит противолежащую сторону так, что отрезок, прилежащий к вершине треугольника, равен его ос- жащую сторону так, что отрезок, прилежащий к вершине треугольника, равен его основанию. Докажите, что эта биссектриса также равна основанию треугольника.
нованию. Докажите, что эта биссектриса также равна основанию треугольника.
5. На продолжении стороны AC (за точку A) остроугольного треугольника ABC отме- 5. На продолжении стороны AC (за точку A) остроугольного треугольника ABC отмечена точка D , а на продолжении стороны BC (за точку C) отмечена точка E , причём чена точка D , а на продолжении стороны BC (за точку C) отмечена точка E , причём
AD=CE . Известно, что 2 BAC = BCA . Докажите, что CDE < 0,5( ABD + BAC) .
AD=CE . Известно, что 2 BAC = BCA . Докажите, что CDE < 0,5( ABD + BAC) .
6. На стороне AC треугольника ABC взяты точки R и T так, что BR = AB/2, BT = BC/2, 6. На стороне AC треугольника ABC взяты точки R и T так, что BR = AB/2, BT = BC/2,
Медиана BM равна RT. Найти угол RBT, если угол ABC равен 150 градусов.
Медиана BM равна RT. Найти угол RBT, если угол ABC равен 150 градусов.
7. Точки D и E делят сторону AC треугольника ABC на три равные части. Докажите, что 7. Точки D и E делят сторону AC треугольника ABC на три равные части. Докажите, что
BD + BE < AB + BC.
BD + BE < AB + BC.
8. В выпуклом пятиугольнике ABCDE сторона AB равна стороне AE, а сторона BC равна 8. В выпуклом пятиугольнике ABCDE сторона AB равна стороне AE, а сторона BC равна
стороне DE, точка F – середина отрезка CD. Докажите, что если AF  CD, то точка пе- стороне DE, точка F – середина отрезка CD. Докажите, что если AF  CD, то точка пересечения прямых BD и CE лежит на прямой AF.
ресечения прямых BD и CE лежит на прямой AF.
9. В равнобедренном треугольнике ABC (AB = AC) на стороне AB взята точка K, а на 9. В равнобедренном треугольнике ABC (AB = AC) на стороне AB взята точка K, а на
стороне AC – точка L так, что AK = CL. Докажите, что KL не меньше половины BC.
стороне AC – точка L так, что AK = CL. Докажите, что KL не меньше половины BC.
10. В параллелограмме АВСD стороны АВ = 4, ВС = 7. Биссектрисы АK и ВМ углов па- 10. В параллелограмме АВСD стороны АВ = 4, ВС = 7. Биссектрисы АK и ВМ углов параллелограмма пересекаются в точке О (точки K и M принадлежат сторонам ВС и АD раллелограмма пересекаются в точке О (точки K и M принадлежат сторонам ВС и АD
соответственно). Найдите отношение площадей SОКСDM и SОАВ.
соответственно). Найдите отношение площадей SОКСDM и SОАВ.
11. Точка K – середина стороны ВС квадрата ABCD. На отрезке AK взята такая точка E, 11. Точка K – середина стороны ВС квадрата ABCD. На отрезке AK взята такая точка E,
что СЕ = ВС. Найдите угол АЕD.
что СЕ = ВС. Найдите угол АЕD.
12. На сторонах AB и BC треугольника ABC взяты точки D и E соответственно такие, 12. На сторонах AB и BC треугольника ABC взяты точки D и E соответственно такие,
что AD/DB=BE/EC=2 и ACB=2DEB. Докажите, что Δ ABC равнобедренный.
что AD/DB=BE/EC=2 и ACB=2DEB. Докажите, что Δ ABC равнобедренный.