Контрольная-М1

АлтГТУ им. И.И. Ползунова
Центр дистанционного и интенсивного обучения
Кафедра высшей математики
Задания контрольных работ по математике
для студентов – заочников 1 курса (1 семестр)
Вариант № 1
Контрольная работа № 1
1. Вычислить алгебраическое дополнение
А23 определителя
1 1 2 3
4 1 1 2
6 3 1 1.
4 2 3 2
2. Найти произведение матриц
100

1 0 1
012



.



1
2
2


 101

3. Найти обратную матрицу для матрицы А и сделать проверку
3 2 1
A1 1 2.


2 2 5
4. Решить систему линейных уравнений методом Крамера
2xyz6

 xy2z5.
 x2y z 1

5. Исследовать систему линейных уравнений методом Гаусса и найти её решения, если они есть
1
3x
1 2x2 x3 

2x1 x2 x3 2
x 2x 2x 9.
2
3
 1

2
x

x

2
x

4
3 
 1 2
6. Найти ненулевые решения однородной системы, если они есть
x

2
x

x

3
x

2
x
0

1
2
3
4
5

2
x

x

3
x

x
0.

1
2
3
5

3
x

x

2
x

3
x

3
x
0
1
2
3
4
5

Контрольная работа № 2
a (2 , 3 , x) , b (– 6 , – 9 , 8) , c (1 , 0 , 6) , d (– 2 , 3 , – 1). Найти: а) при каких
значениях x: a || b , a  b , векторы a , c , d – компланарны; б) длину и направляющие косинусы вектора
d ; в) скалярное произведение b  c ; г) векторное произведение b  c .
1. Даны векторы
2. Даны A1 (7 ,
2 , 4) , A2 (7 , – 1 , – 2) , A3 (3 , 3 , 1) , A4 ( – 4 , 2 , – 1). Найти:
а) площадь грани A1A2A3;
б) объём пирамиды A1A2A3A4;
3. Даны координаты вершин треугольника
в)

.
c
o
s(A
A
A
1 3;A
1
4)
ABC: A ( 2; 1), B (– 1; 3), C ( 4; 5). Требуется найти:
1) уравнение прямой, проходящей через точки A и С;
2) уравнение высоты, опушенной из вершины A на сторону BC;
3) уравнение прямой, проходящей через точку A, параллельно стороне BC;
4) длину высоты, опущенной из вершины B на сторону AC;
5) уравнение медианы, проведенной из вершины B.
4. Уравнения линий второго порядка привести к каноническому виду. Определить:
1) тип кривых;
2) координаты фокусов;
3) эксцентриситеты;
4) уравнения асимптот, если они имеются;
5) центр симметрии кривых;
6) сделать чертёж.
2
а) 9x + 4y2 – 72x – 8y + 112 = 0;
б) x2 – 6x + 4y + 9 = 0.
5. Даны координаты четырёх точек A (– 3; 4; – 7), B (1; 5; – 4), C (– 5; – 2; – 14), D (– 12; 7;
пространстве. Требуется найти:
1) уравнение плоскости, содержащей грань ABC;
2) уравнения прямой, проходящей через точку D, и перпендикулярную грани ABC;
3) проекцию вершины D на грань ABC;
4) уравнения прямой, содержащей ребро BC;
5) угол между ребром AD и гранью ABC.
Контрольная работа № 3
2
x

x

6
x
 2

arcsin
1. Найти область определения функции y
.
4
x
4
2. Пусть функция
f(x)
x
. Найти
x 4
2
 1
f
))
, f(f(1
.
1
x
3. Вычислить пределы:
4x2x3
lim
1)
;
2
x
1 x
1

x
12x3
2x1
lim

 ;
2)
; 3) lim
x
4
x

x2
2x1
3x2 5x
4) lim
.
x
0 sin
3x
4. Исследовать функции на непрерывность. Указать тип точек разрыва, сделать схематический рисунок.
1
2

y4 x;
2x2, x0

y x , 0x1.
 2 , x1

– 1) в
АлтГТУ им. И.И. Ползунова
Центр дистанционного и интенсивного обучения
Кафедра высшей математики
Задания контрольных работ по математике
для студентов – заочников 1 курса (1 семестр)
Вариант № 2
Контрольная работа № 1
1. Решить уравнение
1 2 3
1 4 4 0.
3 x 15
2. Найти произведение матриц
6
8
 35
218

24 3



3
1
2
.

4 5

3

3
1
1



3. Решить матричное уравнение
34

1
2


X





.
3
4

1
5




4. Решить систему линейных уравнений методом Крамера
2
x2y2z

2x3yz 0 .

6
x2y2z
5. Исследовать систему линейных уравнений методом Гаусса и найти её решения, если они есть
5x13x2 2x3 15

x111
x2 5x3 36
10
2x x x 6
.
 1 2 3

7x12x2 3x3 10
6. Найти ненулевые решения однородной системы, если они есть
x1 x2 3x3 0

2x1 x2 3x3 0
3x x 3x 0 .
3
 1 2
4x1 3x2 9x3 0

Контрольная работа № 2
2 , – 1) , b (5 , 6 , – 3) , c (1 , 2 , 0) , d (– 3 , 1 , 2). Найти: а) при каких
значениях x: a || b , a  b , векторы a , c , d – компланарны; б) длину и направляющие косинусы вектора
d ; в) скалярное произведение b  c ; г) векторное произведение b  c .
1. Даны векторы a (x ,
2. Даны A1 (1 ,
3 , 6) , A2 (2 , 2 , 1) , A3 (– 1 , 0 , 1) , A4 (– 4 , 6 , – 3). Найти:
а) площадь грани A1A2A3; б) объём пирамиды A1A2A3A4;
в)

.
c
o
s(A
A
A
1
3;A
1
4)
3. Даны координаты вершин треугольника ABC: A ( 1; 2), B ( 4; 2), C ( 3; – 2). Требуется найти:
1) уравнение прямой, проходящей через точки A и С;
2) уравнение высоты, опушенной из вершины A на сторону BC;
3) уравнение прямой, проходящей через точку A, параллельно стороне BC;
4) длину высоты, опущенной из вершины B на сторону AC;
5) уравнение медианы, проведенной из вершины B.
4. Уравнения линий второго порядка привести к каноническому виду. Определить:
1) тип кривых;
2) координаты фокусов;
3) эксцентриситеты;
4) уравнения асимптот, если они имеются;
5) центр симметрии кривых;
6) сделать чертёж.
а) 25x2 – 9y2 – 100x + 18y – 134 = 0; б) y2 – 6x – 6y + 9 = 0.
5. Даны координаты четырёх точек A (– 1; 2; – 3), B (4; –1; 0), C (2; 1; – 2), D (1; –
пространстве. Требуется найти:
1) уравнение плоскости, содержащей грань ABC;
2) уравнения прямой, проходящей через точку D, и перпендикулярную грани ABC;
3) проекцию вершины D на грань ABC;
4) уравнения прямой, содержащей ребро BC;
5) угол между ребром AD и гранью ABC.
6; – 5) в
Контрольная работа № 3
1. Найти область определения функции
2. Пусть функция
x1
f(x) 2x1 .
Найти
x
y

7x
.
l
g
(
x3
)
 1
f  2  , f(f(2)).
x 
3. Вычислить пределы:
1x3
(x3
)225
lim
lim
1)
;
2)
;
2
x

2
x

2x
x2
6
x8

x

3
cos x
x
10
13

lim

 ; 4) lim 4 .
3)
x


x
3
13
x2 x2 2x
4. Исследовать функции на непрерывность. Указать тип точек разрыва, сделать схематический рисунок.
1
 3x1
y  
 2
;
x2, x1

y 1, 1x2.
x1
 , x2
АлтГТУ им. И.И. Ползунова
Центр дистанционного и интенсивного обучения
Кафедра высшей математики
Задания контрольных работ по математике
для студентов – заочников 1 курса (1 семестр)
Вариант № 3
Контрольная работа № 1
1. Вычислить определитель матрицы 3А + АТ, если
0 1 1


A2 2 1.
3 3 2


2. Найти произведение матриц
0 1
2 1
3 0

3 7
2
3 1
1
2 1

11 0.

1
3. Найти обратную матрицу для матрицы А и сделать проверку
 1 2 0
A 0 1 1.


1 1 2
4. Решить систему линейных уравнений методом Крамера
x2yz2

2x3yz9.

2xy2z9
5. Исследовать систему линейных уравнений методом Гаусса и найти её решения, если они есть
x
2
x22
x3x40

1

2
x
3
x2x33
x4
6

1


x

2
x

2
x

2
x

2.
2
3
4 
 1

2
x
x2x32
x42
1

6. Найти ненулевые решения однородной системы, если они есть
3x3x4 0
2x1
 x 2x 2x 3x 0
 1
2
3
4

.
3
x

2
x

5
x

4
x
2
3
4 0
 1

5x12x28x35x4 0
Контрольная работа № 2
a (– 1 , x , 5) , b (2 , 7 , – 10) , c (0 , 1 , 1) , d (2 , 1 , – 1). Найти: а) при каких
значениях x: a || b , a  b , векторы a , c , d – компланарны; б) длину и направляющие косинусы вектора
d ; в) скалярное произведение b  c ; г) векторное произведение b  c .
1. Даны векторы
2. Даны A1 (–
4 , 2 , 6) , A2 (2 , – 3 , 0) , A3 (– 10 , 5 , 8) , A4 (– 5 , 2 , – 4). Найти:
а) площадь грани A1A2A3; б) объём пирамиды A1A2A3A4;
3. Даны координаты вершин треугольника ABC: A ( 0; 2), B (– 2; 0), C (– 3;
1) уравнение прямой, проходящей через точки A и С;
в)

.
c
o
s(A
A
A
1
3;A
1
4)
4). Требуется найти:
2) уравнение высоты, опушенной из вершины A на сторону BC;
3) уравнение прямой, проходящей через точку A, параллельно стороне BC;
4) длину высоты, опущенной из вершины B на сторону AC;
5) уравнение медианы, проведенной из вершины B.
4. Уравнения линий второго порядка привести к каноническому виду. Определить:
1) тип кривых;
2) координаты фокусов;
3) эксцентриситеты;
4) уравнения асимптот, если они имеются;
5) центр симметрии кривых;
6) сделать чертёж.
а) 16x2 + 4y2 – 32x – 24y – 12 = 0; б) y2 + x + 6y + 9 = 0.
5. Даны координаты четырёх точек A (– 3; – 1; 1), B (– 9; 1; – 2), C (3; – 5; 4), D (6;
пространстве. Требуется найти:
1) уравнение плоскости, содержащей грань ABC;
2) уравнения прямой, проходящей через точку D, и перпендикулярную грани ABC;
3) проекцию вершины D на грань ABC;
4) уравнения прямой, содержащей ребро BC;
5) угол между ребром AD и гранью ABC.
0; 3) в
Контрольная работа № 3
x

lg(
x

3
)
y

2
arcsin
.
5
 1
x22
 2 , ff 2.
2. Пусть функция f(x
. Найти f
)
x
2


x
1. Найти область определения функции
 
.
3. Вычислить пределы:
2
x
1
4x21
sin(
x2
)
x3 5
x
1
7
lim
lim2
2

 ; 4) x
1)
; 2) lim 2
; 3) lim
.
12
x

3
x

1

2
x
x


x

2
x 3
x2
x6
x 4
7
2
4. Исследовать функции на непрерывность. Указать тип точек разрыва, сделать схематический рисунок.
1
1x1
y   ,
 3


x, x  0

y  arcsin
x, 0  x 1.
 x 

, x 1


АлтГТУ им. И.И. Ползунова
Центр дистанционного и интенсивного обучения
Кафедра высшей математики
Задания контрольных работ по математике
для студентов – заочников 1 курса (1 семестр)
Вариант № 4
Контрольная работа № 1
1. Вычислить алгебраическое дополнение А34 определителя
1 1 3 2
2 3 1 1
1 2 1 3 .
3 1 2 1
2. Найти произведение матриц
01

11
31





22


.
32
01




3. Решить матричное уравнение
1 2

31

X






.
2
4

1
2
 

4. Решить систему линейных уравнений методом Крамера
x2y3z1

2xy z5 .

2x2yz9
5. Исследовать систему линейных уравнений методом Гаусса и найти её решения, если они есть
2x1 x2 x3 6

x1 2x2 2x3 9
5x x x 9 .
 1 2 3

3x1 3x2 3x3 15
6. Найти ненулевые решения однородной системы, если они есть
x
2
x
3
x
4
x
5
x
0

1 2 3 4 5
2
x

3
x

x
x

x

0

.
1
2
3
4
5

x

3
x

8
x

13
x

16
x

0
1
2
3
4
5

Контрольная работа № 2
a (4 , x , – 6) , b (2 , 6 , – 3) , c (3 , – 1 , 0) , d (2 , 6 , 1). Найти: а) при каких значениях
x: a || b , a  b , векторы a , c , d – компланарны; б) длину и направляющие косинусы вектора d ;
в) скалярное произведение b  c ; г) векторное произведение b  c .
1. Даны векторы
2. Даны A1 (–
1 , – 5 , 2) , A2 (– 6 , 0 , – 3) , A3 (3 , 6 , – 3) , A4 ( – 10 , 6 , 7). Найти:
а) площадь грани A1A2A3; б) объём пирамиды A1A2A3A4;
в)

.
c
o
s(A
A
A
1
3;A
1
4)
3. Даны координаты вершин треугольника ABC: A ( 1;– 2), B (– 2; 1), C ( 2; 4). Требуется найти:
1) уравнение прямой, проходящей через точки A и С;
2) уравнение высоты, опушенной из вершины A на сторону BC;
3) уравнение прямой, проходящей через точку A, параллельно стороне BC;
4) длину высоты, опущенной из вершины B на сторону AC;
5) уравнение медианы, проведенной из вершины B.
4. Уравнения линий второго порядка привести к каноническому виду. Определить:
1) тип кривых;
2) координаты фокусов;
3) эксцентриситеты;
4) уравнения асимптот, если они имеются;
5) центр симметрии кривых;
6) сделать чертёж.
а) 4x2 – 25y2 – 32x – 50y – 61 = 0; б) x2 + y2 – 2x + 2y = 0.
5. Даны координаты четырёх точек A (1; – 1; 1), B (– 2; 0; 3), C (2; 1; –1), D (– 2; 4;
Требуется найти:
1) уравнение плоскости, содержащей грань ABC;
2) уравнения прямой, проходящей через точку D, и перпендикулярную грани
3) проекцию вершины D на грань ABC;
4) уравнения прямой, содержащей ребро BC;
5) угол между ребром AD и гранью ABC.
2) в пространстве.
ABC;
Контрольная работа № 3
1. Найти область определения функции y = lg(–x2–3x
2. Пусть функция
+10)
.
x
 1
f 2 ,f(f(0
))
.
f(x) 2x1 . Найти 
1
x 

3. Вычислить пределы:
x
1
13
x2
x27
x
10
4x1

 ;
1) lim
;
2) lim
; 3) lim
2
x
1 1
x

x

2
x 2
4x
4x3
4)
x3 4x
lim
.
x
0 sin
5x
4. Исследовать функции на непрерывность. Указать тип точек разрыва, сделать схематический рисунок.
y
2
x
 3 1 ,
3x1, x0

 2
yx 1
,0x2.
x3
, x2

АлтГТУ им. И.И. Ползунова
Центр дистанционного и интенсивного обучения
Кафедра высшей математики
Задания контрольных работ по математике
для студентов – заочников 1 курса (1 семестр)
Вариант № 5
Контрольная работа № 1
1. Вычислить определитель матрицы 2А –
В, где

41

1

22
1








A
7

22
;B

10
3
1
.




4

2
1
6

3
4




2. Найти произведение матриц
4
1 3
0 1 .


3. Найти обратную матрицу для матрицы А и сделать проверку
 1 3 5

A
 2 7 8

.
1 3 4

4. Решить систему линейных уравнений методом Крамера
x2yz2

2x3yz9 .

 x y2z7
5. Исследовать систему линейных уравнений методом Гаусса и найти её решения, если они есть
x1 2x2 3x3 5

2x1 x2  x3 7
x x 2x 6.
3
 1 2

2
x

2
x

x
2
3 9
 1
6. Найти ненулевые решения однородной системы, если они есть
2
x22
x34
x40


2
x
3
x24
x36
x40

1

.
4
x
2
x3
0
1


2
x
5
x24
x310
x40
1

Контрольная работа № 2
a (x , – 2 , 4) , b (5 , – 1 , 2) , c (0 , 2 , – 5) , d (– 1 , 5 , 1). Найти: а) при каких
значениях x: a || b , a  b , векторы a , c , d – компланарны; б) длину и направляющие косинусы вектора
d ; в) скалярное произведение b  c ; г) векторное произведение b  c .
1 Даны векторы
2. Даны A1 (2 ,
1 , 4) , A2 (– 1 , 5 , – 2) , A3 (– 7 , – 3 , 2) , A4 (– 6 , – 3 , 6). Найти:
а) площадь грани A1A2A3; б) объём пирамиды A1A2A3A4;
в)

.
c
o
s(A
A
A
1
3;A
1
4)
3. Даны координаты вершин треугольника ABC: A (0; 2), B (– 2; – 2), C (1; 1). Требуется найти:
1) уравнение прямой, проходящей через точки A и С;
2) уравнение высоты, опушенной из вершины A на сторону BC;
3) уравнение прямой, проходящей через точку A, параллельно стороне BC;
4) длину высоты, опущенной из вершины B на сторону AC;
5) уравнение медианы, проведенной из вершины B.
4. Уравнения линий второго порядка привести к каноническому виду. Определить:
1) тип кривых;
2) координаты фокусов;
3) эксцентриситеты;
4) уравнения асимптот, если они имеются;
5) центр симметрии кривых;
6) сделать чертёж.
а) 25x2 + 4y2 – 50x + 16y – 59 = 0; б) x2 + y2 + 2x – 6y + 1 = 0.
5. Даны координаты четырёх точек A (1; 2; 0), B (1; – 1; 2), C (0; 1; –1), D (2; – 1; 4) в пространстве.
Требуется найти:
1) уравнение плоскости, содержащей грань ABC;
2) уравнения прямой, проходящей через точку D, и перпендикулярную грани ABC;
3) проекцию вершины D на грань ABC;
4) уравнения прямой, содержащей ребро BC;
5) угол между ребром AD и гранью ABC.
Контрольная работа № 3
1. Найти область определения функции
x21
2. Пусть функция
f(x) 2 x2
. Найти

y

1
0x1

1
.
4

x
.
1
f , f(f(0))
.
x
3. Вычислить пределы:
2x
1
x
x4
2
x23
x5


1) lim 2
; 2) lim
; 3) lim
 1

x
0 x
x

1
x
1 x
)
3 3
x
1

;
4)
x
lim
(1x)tg .
x
1
2
4. Исследовать функции на непрерывность. Указать тип точек разрыва, сделать схематический рисунок.
 
f(x)
1
2x1,
x0
 0,

y4x, 0x2.`АлтГТУ им. И.И. Ползунова

x2
x,
Центр дистанционного и интенсивного обучения
Кафедра высшей математики
Задания контрольных работ по математике
для студентов – заочников 1 курса (1 семестр)
Вариант № 6
Контрольная работа № 1
1. Вычислить определитель разложением по второй строке:
1 2 1
1 3 4 .
2 5 2
2. Найти произведение матриц
0 2
1 0 1

 
2

1


.


1 3 2 1 3


3. Решить матричное уравнение
 13

32


X





.
0
5

3
1
 


4. Решить систему линейных уравнений методом Крамера
2xyz2

3xy2z3.

x2y2z9
5. Исследовать систему линейных уравнений методом Гаусса и найти её решения, если они есть
x1 2x2 2x3 6

2xx2 x3 3
x 2x 2x 2.
2
3
 1
3x1 x2 x3 4

6. Найти ненулевые решения однородной системы, если они есть
 x1  2x2 3x3  0
3x  2x  2x  0
2
3
 1
2
x

5
x

4
x
 1
2
3  0.
4x1  7x2 3x3  0

 x1  x2  2x3  0
Контрольная работа № 2
a (10 , 5 , x) , b (– 2 , – 1 , 4) , c (0 , 1 , – 4) , d (3 , – 1 , 3). Найти: а) при каких
значениях x: a || b , a  b , векторы a , c , d – компланарны; б) длину и направляющие косинусы вектора
d ; в) скалярное произведение b  c ; г) векторное произведение b  c .
1. Даны векторы
2. Даны A1 (0 ,
– 1 , – 1) , A2 (– 2 , 3 , 5) , A3 (1 , – 5 , – 9) , A4 (– 1 , – 3 , 3). Найти:
а) площадь грани A1A2A3; б) объём пирамиды A1A2A3A4;
в)

.
c
o
s(A
A
A
1 3;A
1
4)
3. Даны координаты вершин треугольника ABC: A ( – 2; 0), B ( 2; 4), C ( 4; 2). Требуется найти:
6) уравнение прямой, проходящей через точки A и С;
7) уравнение высоты, опушенной из вершины A на сторону BC;
8) уравнение прямой, проходящей через точку A, параллельно стороне BC;
9) длину высоты, опущенной из вершины B на сторону AC;
10) уравнение медианы, проведенной из вершины B.
4. Уравнения линий второго порядка привести к каноническому виду. Определить:
1) тип кривых;
2) координаты фокусов;
3) эксцентриситеты;
4) уравнения асимптот, если они имеются;
5) центр симметрии кривых;
6) сделать чертёж.
а) – 9x2 + 4y2 – 72x – 8y – 176 = 0; б) x2 + 2x + 2y + 1 = 0.
5. Даны координаты четырёх точек A (1; 0; 2), B (1; 2; – 1), C (2; – 2; 1), D (– 5; – 9;
Требуется найти:
6) уравнение плоскости, содержащей грань ABC;
7) уравнения прямой, проходящей через точку D, и перпендикулярную грани
8) проекцию вершины D на грань ABC;
9) уравнения прямой, содержащей ребро BC;
1) в пространстве.
ABC;
10) угол между ребром AD и гранью ABC.
Контрольная работа № 3
1. Найти область определения функции
2. Пусть функция
f(x)
4
x

6
x
y


arcsin
.
1

4
x
2
x2
. Найти
x 1
2
 1
f
))
,f(f(0
.
1
x

3. Вычислить пределы:
x29
lim
1)
;
2
x
3x
4x3
2x
1
x2

 ;
2) lim
; 3) lim
x


1 3
x

x 2
x2
5x
sin(
x22
x
)
lim
4)
.
2
x

0 tg
(x 3
x
)
4. Исследовать функции на непрерывность. Указать тип точек разрыва, сделать схематический рисунок.
y
1
x
 7 1 ,

 0, x  0



y  tgx, 0  x  .
2


 x, x 

2

АлтГТУ им. И.И. Ползунова
Центр дистанционного и интенсивного обучения
Кафедра высшей математики
Задания контрольных работ по математике
для студентов – заочников 1 курса (1 семестр)
Вариант № 7
Контрольная работа № 1
1. Решить уравнение
2 x 1
x 2 x 1.
1 1 2
2. Найти произведение матриц


0
1
2
9
138



1 1
11


.
200



3
2
1
0


3. Найти обратную матрицу для матрицы А и сделать проверку
1
 1 1

A
2 1 4.


3 4 1
4. Решить систему линейных уравнений методом Крамера
x2yz6

2x3yz3 .

2xy2z2
5. Исследовать систему линейных уравнений методом Гаусса и найти её решения, если они есть
2
x1x23x34x4 

3x12x2x32x4 6

.
2x14x23x3x4 2

x322
x4 14
2x17x214
6. Найти ненулевые решения однородной системы, если они есть
3x1x24x35x4 0
4x 2x x 2x 0
 1
2
3
4

.
x13x23x32x4 0

6x1x2x33x4 0
Контрольная работа № 2
a (x , 4 , – 14) , b (8 , 2 , – 7) , c (– 1 , 0 , 5) , d (– 4 , 2 , 1). Найти: а) при каких
значениях x: a || b , a  b , векторы a , c , d – компланарны; б) длину и направляющие косинусы вектора
d ; в) скалярное произведение b  c ; г) векторное произведение b  c .
1. Даны векторы
2. Даны A1 (5 ,
2 , 0) , A2 (2 , 5 , 0) , A3 (1 , 2 , 4) , A4 ( – 1 , 1 , 1). Найти:
а) площадь грани A1A2A3;
б) объём пирамиды A1A2A3A4;
в)

.
c
o
s(A
A
A
1
3;A
1
4)
3. Даны координаты вершин треугольника ABC: A ( 1; 3), B ( 3; 5), C ( 5; – 3). Требуется найти:
1) уравнение прямой, проходящей через точки A и С;
2) уравнение высоты, опушенной из вершины A на сторону BC;
3) уравнение прямой, проходящей через точку A, параллельно стороне BC;
11) длину высоты, опущенной из вершины B на сторону AC;
4) уравнение медианы, проведенной из вершины B.
4. Уравнения линий второго порядка привести к каноническому виду. Определить:
1) тип кривых;
2) координаты фокусов;
3) эксцентриситеты;
4) уравнения асимптот, если они имеются;
5) центр симметрии кривых;
6) сделать чертёж.
2
а) 4x + 9y2 – 16x – 18y – 11 = 0; б) y2 – 3x – 2y + 1 = 0.
5. Даны координаты четырёх точек A (1; 2; – 3), B (1; 0; 1), C (– 2; – 1; 6), D (3; –
пространстве. Требуется найти:
1) уравнение плоскости, содержащей грань ABC;
2) уравнения прямой, проходящей через точку D, и перпендикулярную грани ABC;
3) проекцию вершины D на грань ABC;
4) уравнения прямой, содержащей ребро BC;
5) угол между ребром AD и гранью ABC.
Контрольная работа № 3
1. Найти область определения функции
1

x
.
y2
 2 1

2
s
i
n
x
2; – 9) в
2. Пусть функция
2
 1
x

4
x
3
, f(f(0
))

f(x
)
. Найти f
.
2
x

x
2
3. Вычислить пределы:
5x2x6
1) lim 2
;
x
14
x x5
2
x22
2) lim
;
x
1 x
2 3
2x
sin
5x
5x1
lim 2

 ; 4) x
3) lim
.

0 x 2x
x

5x1
4. Исследовать функции на непрерывность. Указать тип точек разрыва, сделать схематический рисунок.
2
y(1,4)x3 ,
x2
, x2

2
y
x 3
x2
, 2x4

x
,
x4

АлтГТУ им. И.И. Ползунова
Центр дистанционного и интенсивного обучения
Кафедра высшей математики
Задания контрольных работ по математике
для студентов – заочников 1 курса (1 семестр)
Вариант № 8
Контрольная работа № 1
1. Вычислить алгебраическое дополнение А14 определителя
1
3
2
1
2 2 1
2 1 4
5 1 6 .
3 3 4
2. Найти произведение матриц
 2 31
3 1 3


2 


101
12
.
 4 50



1
1
1



3. Решить матричное уравнение
35
12



X


 
.
24
24

 

4. Решить систему линейных уравнений методом Крамера
x2yz6

2xyz1 .

3x2y2z3
5. Исследовать систему линейных уравнений методом Гаусса и найти её решения, если они есть
x
3
x
2
x

x

x
0

3
4
5
1 2

3
x

x

4
x

x

x
2

.
1
2
3
4
5

2
x

2
x

3
x

2
x

x

3
2
3
5
1
6. Найти ненулевые решения однородной системы, если они есть
3x1x2 2x3x4 0
2x  2x 3x 0
 1
3
4

.
0
x13x2 x3

x12x2 x3x4 0
Контрольная работа № 2
a (15 , x , 6) , b (– 5 , 4 ,– 2) , c (– 2 , 4 , 0) , d (1 , 7 , 2). Найти: а) при каких
значениях x: a || b , a  b , векторы a , c , d – компланарны; б) длину и направляющие косинусы вектора
d ; в) скалярное произведение b  c ; г) векторное произведение b  c .
1. Даны векторы
2. Даны A1 (2 ,
– 1 , – 2) , A2 (1 , 2 , 1) , A3 (5 , 0 , – 6) , A4 (– 10 , 9 , – 7). Найти:
а) площадь грани A1A2A3;
б) объём пирамиды A1A2A3A4;
в)

.
c
o
s(A
A
A
1
3;A
1
4)
3. Даны координаты вершин треугольника ABC: A (– 2; 4), B (2; 2), C (0; – 2). Требуется найти:
1) уравнение прямой, проходящей через точки A и С;
2) уравнение высоты, опушенной из вершины A на сторону BC;
3) уравнение прямой, проходящей через точку A, параллельно стороне BC;
4) длину высоты, опущенной из вершины B на сторону AC;
5) уравнение медианы, проведенной из вершины B.
4. Уравнения линий второго порядка привести к каноническому виду. Определить:
1) тип кривых;
2) координаты фокусов;
3) эксцентриситеты;
4) уравнения асимптот, если они имеются;
5) центр симметрии кривых;
6) сделать чертёж.
а) – 25x2 + 4y2 + 50x + 16y – 109 = 0; б) x2 + y2 – 4x – 2y – 11 = 0.
5. Даны координаты четырёх точек A (3; 10; – 1), B (– 2; 3; – 5), C (– 6; 0; – 3), D (– 6;
пространстве. Требуется найти:
1) уравнение плоскости, содержащей грань ABC;
2) уравнения прямой, проходящей через точку D, и перпендикулярную грани ABC;
3) проекцию вершины D на грань ABC;
4) уравнения прямой, содержащей ребро BC;
5) угол между ребром AD и гранью ABC.
7; –10) в
Контрольная работа № 3
1. Найти область определения функции
2. Пусть функция
f (x) 
1
2x
1
1
2x
1
1
x
y


arcsin
.
3

log
(
x

3
)
13
2
. Найти
 1
f
1
))
, f(f(
.
2
x

3. Вычислить пределы:
5
x
1
2
2
x

8
x
15
x2
7
x
2
2
lim


1) lim
;
2)
; 3) lim
2
2
x


x

3x 
x
1
10
x21 x2 x 2
7
arcsin
4x
lim
; 4) x

02
x
x
.
4. Исследовать функции на непрерывность. Указать тип точек разрыва, сделать схематический рисунок.
 
y
2
x
2 1,
 x2, x0

ycos
x, 0x.
sin
x
 x,
АлтГТУ им. И.И. Ползунова
Центр дистанционного и интенсивного обучения
Кафедра высшей математики
Задания контрольных работ по математике
для студентов – заочников 1 курса (1 семестр)
Вариант № 9
Контрольная работа № 1
1. Вычислить определитель
1 1 1
2 3 4 .
4 9 16
2. Найти произведение матриц
 0 0 7

1
1
 1 3 5


 2 3
.


1

1
2

 1 1

 3 3 4
3. Найти обратную матрицу для матрицы А и сделать проверку
0 2 0
A3 0 0.


0 0 1
4. Решить систему линейных уравнений методом Крамера
x2y3z5

xy2z6 .

2xyz1
5. Исследовать систему линейных уравнений методом Гаусса и найти её решения, если они есть
2x1 x2 3x3 6

x1 2x2 2x3 9
3x x 2x 1 .
3
 1 2


x

x

2
x
7
3 
 1 2
6. Найти ненулевые решения однородной системы, если они есть
x2 8x3 0
x1 10

2x1 3x2 5x3 0
3x 7x 3x 0.
2
3
 1

x

23
x

21
x
2
3 0
1
Контрольная работа № 2
a (3 , – 2 , x) , b (9 , – 6 , 4) , c (6 , – 3 , 1) , d (1 , 4 , – 5). Найти: а) при каких
значениях x: a || b , a  b , векторы a , c , d – компланарны; б) длину и направляющие косинусы вектора
d ; в) скалярное произведение b  c ; г) векторное произведение b  c .
1. Даны векторы
2. Даны A1 (–
2 , 0 , – 4) , A2 (– 1 , 7 , 1) , A3 (4 , – 8 , – 4) , A4 (1 , – 4 , 6). Найти:
а) площадь грани A1A2A3; б) объём пирамиды A1A2A3A4;
в)

.
c
o
s(A
A
A
1 3;A
1
4)
3. Даны координаты вершин треугольника ABC: A(– 2; 4), B ( 3; 2), C ( 5; – 6). Требуется найти:
1) уравнение прямой, проходящей через точки A и С;
2) уравнение высоты, опушенной из вершины A на сторону BC;
3) уравнение прямой, проходящей через точку A, параллельно стороне BC;
4) длину высоты, опущенной из вершины B на сторону AC;
5) уравнение медианы, проведенной из вершины B.
4. Уравнения линий второго порядка привести к каноническому виду. Определить:
1) тип кривых;
2) координаты фокусов;
3) эксцентриситеты;
4) уравнения асимптот, если они имеются;
5) центр симметрии кривых;
6) сделать чертёж.
а) 25x2 + 9y2 + 100x – 54y – 44 = 0; б) x2 + y2 – 6x + 2y – 15 = 0.
5. Даны координаты четырёх точек A (– 1; 2; 4), B (– 1; – 2; – 4), C (3; 0; – 1), D (– 2;
пространстве. Требуется найти:
1) уравнение плоскости, содержащей грань ABC;
2) уравнения прямой, проходящей через точку D, и перпендикулярную грани ABC;
3) проекцию вершины D на грань ABC;
4) уравнения прямой, содержащей ребро BC;
5) угол между ребром AD и гранью ABC.
3; 5) в
Контрольная работа № 3
1. Найти область определения функции
2. Пусть функция
f(x)
2
f
(
x
)

x4

x5

l
g
(
x

1
)
.
 1
))
.
x1. Найти f 2, f(f(9
x 
3. Вычислить пределы:
x2 1
lim
1)
;
x
1x2 x2
2 x1
2) lim
;
x
3 x63
x
1
x1
5

 ;
3) lim
x

x2
5
sin(
x22
x
)
lim
4)
.
2
x

0 x
2
x
4. Исследовать функции на непрерывность. Указать тип точек разрыва, сделать схематический рисунок.
 
1
y 3 x2 ,
x,
x0
arctg

yx22x, 0x2.
x1
,
x2

АлтГТУ им. И.И. Ползунова
Центр дистанционного и интенсивного обучения
Кафедра высшей математики
Задания контрольных работ по математике
для студентов – заочников 1 курса (1 семестр)
Вариант № 10
Контрольная работа № 1
1. Вычислить определитель матриц
А и АТ, где
1 7 8


A

1 9 10
 2 1113
.


2. Найти
4
 1 1
 0 1 .


3. Решить матричное уравнение
54
04

X



 
2 0
.
1
1
 


4. Решить систему линейных уравнений методом Крамера
2xyz1

x2yz5.

xy2z6
5. Исследовать систему линейных уравнений методом Гаусса и найти её решения, если они есть
x1 2x2 2x3 6

2x1 3x2 x3 14
x 2x 2x 10 .
2
3
1

3
x

x

x
 1 2 3 2
6. Найти ненулевые решения однородной системы, если они есть
x40
2x13x27x311
x  2x 4x 7x 0
 1
2
3
4

.
10
x35x40
5x1

5x15x28x39x40
Контрольная работа № 2
a (x , – 1 , 5) , b (2 , – 4 , 20) , c (– 4 , 0 , 5) , d (1 , 1 ,– 1). Найти: а) при каких
значениях x: a || b , a  b , векторы a , c , d – компланарны; б) длину и направляющие косинусы вектора
d ; в) скалярное произведение b  c ; г) векторное произведение b  c .
1. Даны векторы
2. Даны A1 (14 ,
4 , 5) , A2 (– 5 , – 3 , 2) , A3 (– 2 , – 6 , – 3) , A4 ( – 2 , 2 , 1). Найти:
а) площадь грани A1A2A3; б) объём пирамиды A1A2A3A4;
3. Даны координаты вершин треугольника
в)

.
c
o
s(A
A
A
1 3;A
1
4)
ABC: A (– 2; 1), B (– 4; 3), C (0; 5). Требуется найти:
1) уравнение прямой, проходящей через точки A и С;
2) уравнение высоты, опушенной из вершины A на сторону BC;
3) уравнение прямой, проходящей через точку A, параллельно стороне BC;
4) длину высоты, опущенной из вершины B на сторону AC;
5) уравнение медианы, проведенной из вершины B.
4. Уравнения линий второго порядка привести к каноническому виду. Определить:
1) тип кривых;
2) координаты фокусов;
3) эксцентриситеты;
4) уравнения асимптот, если они имеются;
5) центр симметрии кривых;
6) сделать чертёж.
а) 16x2 – 9y2 + 64x + 36y – 116 = 0; б) x2 – 2x – 6y + 1 = 0.
5. Даны координаты четырёх точек A (0; – 3; 1), B (– 4; 1; 2), C (2; – 1; 5), D (– 3;
пространстве. Требуется найти:
1) уравнение плоскости, содержащей грань ABC;
2) уравнения прямой, проходящей через точку D, и перпендикулярную грани ABC;
3) проекцию вершины D на грань ABC;
4) уравнения прямой, содержащей ребро BC;
5) угол между ребром AD и гранью ABC.
4; – 5) в
Контрольная работа № 3
1. Найти область определения функции
y

lo
g
(
lo
g
(x1
)
).
2
3
 1
x2
f(
2
))
, f(
2. Пусть функция f(x) 
. Найти f
.

2
x

1x
3. Вычислить пределы:
(x 4
)
lim2
;
x
2x 
4x4
2
1)
2
2)
x
2x32
x3 6
lim
; 3) lim

 ;
x
34
 x
13
x
2x1
 x2 

sin
 x 3 .
4)

lim 
x0 x2 4x
4. Исследовать функции на непрерывность. Указать тип точек разрыва, сделать схематический рисунок.
1
3

y2 x,
x2 1, x1

y2x , 1x3.
x2,
x3
