Тема 3. Аналитическая геометрия

Контрольная работа №3
Аналитическая геометрия
1
ТЕМА 3. Аналитическая геометрия
1.
2.
3.
4.
Уравнения линии в декартовой системе координат.
Параметрические уравнения линии.
Плоскость, прямая на плоскости и в пространстве.
Линии второго порядка.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра: Учеб. для вузов.-5-е
изд., стер. - М.: Физматлит, 2002. – 317 с.
Беклемишев Д. В. Курс линейной алгебры и аналитической
геометрии: - М.: Физматлит, 2003. – 303 с.
Клетеник Д. В. Сборник задач по аналитической геометрии: Учеб.
пособие для втузов / ред. Ефимов Н. В. – 17-е изд., стер. – СПб:
Профессия, 2001. – 199 с.
Привалов И. И. Аналитическая геометрия: Учеб. – 33-е изд., стер. –
СПб; М.: Лань, 2004. – 299 с.
Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: Полн.
курс.-2-е изд.-М.: Айрис-пресс, 2004.-603 с.
Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика: Учеб.для
вузов:в 3т.-5-е изд.,стер.-М.:Дрофа.- (Высшее образование.
Современный учебник). т.1. Элементы линейной алгебры и
аналитической геометрии.-2003.-284 с.
Данко П.Е. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах (с
решениями): в 2 ч./ Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я.-6-е
изд..-М.: ОНИКС 21 век, ч.2. -2002.-416 с.
Черненко В.Д. Высшая математика в примерах и задачах: учеб.
пособие в 3 т.-СПб: Политехника. т.1. -2003.-704 с.
Решение типового варианта контрольной работы
Задача №1.
Даны три последовательные вершины параллелограмма А(2;-3),
В(5;1),С(3;-4). Не находя координаты вершины D, найти:
1) уравнение стороны AD;
2) уравнение высоты BK, опущенной из вершины В на сторону AD;
3) длину высоты BK;
4) уравнение диагонали BD;
5) тангенс угла между диагоналями параллелограмма.
Записать общие уравнения найденных прямых. Построить чертеж.
Решение.
Сначала построим чертеж. Построим в прямоугольной декартовой
системе координат точки А(2;3) , B (5;1) , C (3;4) . Построим отрезки AB и BC .
2
y
B
x
O
A
C
Рис. 1
Достроим полученный рисунок до параллелограмма и нанесем на
чертеж высоту BK.
y
B
x
O
A
K
E
C
D
Рис. 2
Составим уравнение прямой AD.
а)
Предварительно найдем уравнение прямой BС. Уравнение
прямой, проходящей через точки M 1 ( x1 ; y1 ) и M 2 ( x2 ; y2 ) , имеет вид
1)
x  x1
y  y1

x2  x1 y 2  y1
(3.1)
3
По условию В (5;1) , С (3;4) . Подставим координаты точек В и С в
уравнение (3.1):
x5
y 1
x  5 y 1


, т.е.
.
3  5  4 1
2
5
Запишем полученное уравнение в общем виде, то есть в виде
Ax  By  C  0 . Для этого в последнем уравнении избавимся от
знаменателей  5( x  5)  2( y  1) и проведем преобразования, перенося все
слагаемые в левую часть равенства:  5 x  2 y  23  0 или 5 x  2 y  23  0 .
5
2
Из этого уравнения выразим y :  2 y  5 x  23 ; y  x 
23
. Получили
2
уравнение вида y  kx  b - уравнение с угловым коэффициентом.
б)
Воспользуемся тем фактом, что противоположные стороны
параллелограмма параллельны. Составим искомое уравнение прямой AD как
уравнение прямой, проходящей через точку А параллельно прямой ВС .
Уравнение прямой, проходящей через данную точку М ( x0 ; y0 ) в
данном направлении, имеет вид
y  y 0  k ( x  x0 )
(3.2)
где направление определяется угловым коэффициентом k .
Условие параллельности двух прямых y  kx  b и y  k1 x  b1 имеет вид
(3.3)
k  k1
5
2
23
. Подставим
2
координаты точки А в уравнение (3.2): y  3  k ( x  2) . Так как прямая AD
По условию задачи А(2;3) , прямая ВС : y  x 
параллельна прямой
BC ,
то в силу формулы (3.3) их угловые
коэффициенты совпадают. Угловой коэффициент прямой BC равен
5
,
2
5
2
следовательно, уравнение прямой AD имеет вид y  3  ( x  2) .
Запишем уравнение прямой AD в общем виде. Для этого раскроем
5
2
скобки и все слагаемые перенесем в левую часть равенства:  x  y  8  0 .
Умножим обе часть равенства на (-2) и получим общее уравнение прямой
AD : 5 x  2 y  16  0 .
Запишем уравнение прямой AD в виде с угловым коэффициентом.
5
2
Для этого выразим y из общего уравнения: y  x  8 .
2)
Составим уравнение высоты BK , проведенной из вершины B на
сторону AD как уравнение прямой, проходящей через точку B
перпендикулярно прямой AD .
Условие перпендикулярности двух прямых y  kx  b и y  k1 x  b1
имеет вид
k
1
k1
(3.4)
4
Подставим координаты точки В в уравнение (3.2): y  1  k ( x  5) . Так
как высота BK перпендикулярна прямой AD , то их угловые
коэффициенты связаны соотношением (3.4). Угловой коэффициент
5
, следовательно, угловой коэффициент высоты BK
2
2
2
равен  и уравнение прямой BK имеет вид y  1   ( x  5) . Запишем
5
5
уравнение высоты BK в общем виде: 2 x  5 y  15  0 . Запишем это же
2
уравнение в виде с угловым коэффициентом: y   x  3 .
5
3)
Найдем длину высоты BK как расстояние от точки В до прямой AD .
Расстояние d от точки M 0 ( x0 ; y0 ) до прямой Ax  By  C  0
прямой AD равен
представляет собой длину перпендикуляра, опущенного из точки на
прямую и определяется формулой
d
Ax0  By 0  C
(3.5)
A2  B 2
Так как BK перпендикулярна AD , то длина BK может быть найдена с
помощью формулы (3.5). По условию B (5;1) , прямая AD определяется
уравнением 5 x  2 y  16  0 . В силу формулы (3.5) длина высоты BK равна
d
4)
5  5  2  1  16
5  ( 2 )
2
2

7
25  4
=
7
.
29
Найдем уравнение диагонали BD как уравнение прямой, проходящей
через точки B и E , где E - середина отрезка AC .
а)
Если А( x1 ; y1 ) и C( x2 ; y2 ) , то координаты точки Е ( x0 ; y0 ) - середины
отрезка AC , определяются формулами
x0 
x1  x2
2
y0 
y1  y 2
2
(3.6)
По условию A(2;3) , C (3;4) . В силу формул (3.6) имеем: x0 
y0 
34
7
5 7
  . Следовательно E ( ; ) .
2
2
2 2
23 5
 ,
2
2
б)
Так как точка пересечения диагоналей является их серединой, то
точка E (середина отрезка АС ) является точкой пересечения диагоналей и
диагональ BD проходит через точку E .
5
2
7
2
Воспользуемся уравнением (3.1). По условию B (5;1) , E ( ; ) . В силу
формулы (3.1) уравнение прямой BE
(диагонали BD ) имеет вид:
x5
y 1
x  5 y 1


или
. Запишем это уравнение в общем виде:
5
7
5
9
 5  1


2
2
2
2
9 x  5 y  40  0 . Запишем это же уравнение в виде с угловым
9
коэффициентом: y  x  8 .
5
5)
Найдем тангенс угла между диагоналями BD и AC .
5
а)
Найдем уравнение диагонали AC как уравнение прямой,
проходящей через две данные точки.
Воспользуемся уравнением (3.1). По условию A(2;3) , C (3;4) .
x2
y3

. Общее уравнение диагонали AC имеет вид
32  43
x  y  1  0 , уравнение с угловым коэффициентом – вид y   x  1 , угловой
Следовательно,
коэффициент k1 прямой AC равен  1 .
б)
9
5
Уравнение диагонали BD имеет вид y  x  8 , ее угловой
9
5
коэффициент k 2  .
в)
Тангенс угла 
определяется формулой
между прямыми
tg 
y  k1x  b1
и
y  k 2 x  b2
k 2  k1
1  k1k 2
9
14
 (1)
7
7
 5  . Отсюда   arctg .
Следовательно, tg  5
9
4
2
2
1   (1)

5
5
Задача №2.
Условие задачи №2 несколько различается в зависимости от номера
варианта контрольной работы. Приведем решения простейших задач,
входящих в это задание.
1) Составить уравнение плоскости, проходящей через точки А(1;3;2) ,
B (2;1;0) , C (4;2;3) .
Решение.
Уравнение плоскости, проходящей через точки A( x1 ; y1 ; z1 ) , B( x2 ; y2 ; z 2 ) ,
C ( x3 ; y3 ; z 3 ) имеет вид:
x  x1
y  y1
z  z1
x2  x1
x3  x1
y 2  y1
y3  y1
z 2  z1  0
z 3  z1
(3.7)
Тогда уравнение плоскости ABC в силу уравнения (3.7) имеет вид
x 1 y  3 z  2
z2
0  2  0 или  3
2
 2  0.
3
1
5
23 3 2
x 1 y  3
 2 1 1 3
4 1
Запишем полученное уравнение в общем виде, т.е. в виде
Ax  By  Cz  D  0 . Для этого раскроем определитель по первой строке
( x  1)  (10  2)  ( y  3)  (15  6)  ( z  2)  (3  6)  0 .
После
преобразований
получим: 8 x  21y  9 z  37  0 .
2) Найти нормальный вектор плоскости 2 x  3 y  z  5  0 .
Решение.
6
Нормальный вектор N - это вектор, перпендикулярный плоскости.
Если плоскость задана общим уравнением Ax  By  Cz  D  0 , то
нормальный вектор имеет координаты A, B, C.
N
Р
Рис. 3
2 x  3 y  z  5  0 нормальным
Для плоскости
является вектор
N = 2;3;1.
Отметим, что любой вектор, коллинеарный вектору N = 2;3;1 так же
является нормальным вектором плоскости 2 x  3 y  z  5  0 . Таким
образом, при каждом ненулевом  вектор с координатами 2;3;
будет являться нормальным вектором рассматриваемой плоскости.
3) Найти косинус угла между плоскостями 2 x  3 y  z  4  0 и x  5 y  4 z  0 .
Решение.
Угол  между двумя плоскостями P1 : A1 x  B1 y  C1 z  D1  0 и
P2 : A2 x  B2 y  C2 z  D2  0 представляет собой угол между их нормальными
векторами и определяется равенством
cos  
A1 A2  B1 B2  C1C 2
A  B12  C12  A22  B22  C 22
2
1
Для плоскости 2 x  3 y  z  4  0 координаты нормального вектора
N 1  A1 ; B1 ; C1  определяются равенствами A1  2 , B1  3 , C1  1. Для
плоскости x  5 y  4 z  0 - равенствами A2  1, B2  5 , C 2  4 . Следовательно,
cos  
4)
2  1  (3)  5  1  4
2 2  (3) 2  12  12  5 2  4 2
=
2  15  4
9
9
9
3 3
.




14
4  9  1  1  25  16
14  42
588
14 3
Составить уравнение плоскости P , проходящей через точку M 0 (1;2;5)
параллельно плоскости P1 : 2 x  3 y  z  5  0 .
Решение.
Уравнение плоскости, проходящей через точку M 0 ( x0 ; y0 ; z 0 ) , имеет
вид
A( x  x0 )  B( y  y0 )  C ( z  z 0 )  0
(3.8)
7
Подставим
в
уравнение
(3.8)
координаты
точки
M0 :
A( x  1)  B( y  2)  C ( z  5)  0 .
Условие параллельности плоскостей
и
A1 x  B1 y  C1 z  D1  0
A2 x  B2 y  C2 z  D2  0 имеет вид
A1 B1 C1


A2 B2 C 2
(3.9)
Так как плоскости P и P1 параллельны, то в качестве нормального
вектора N плоскости P можно взять нормальный вектор N1  2;3;1
A B C
 
можно принять
2 3 1
равным единице. Следовательно, уравнение плоскости P1 примет вид
2( x  1)  3( y  2)  ( z  5)  0 . Запишем это уравнение в общем виде:
плоскости P1 , т.е. в формуле (3.9) отношение
2x  3y  z  9  0 .
5)
Найти расстояние от точки M 0 (1,3,2) до плоскости P : 3x  2 y  4 z  5  0 .
Решение.
Расстояние d от точки M 0 ( x0 ; y0 ; z 0 ) до плоскости P : Ax  By  Cz  D  0
представляет собой длину перпендикуляра, опущенного из точки на
плоскость, и определяется формулой
d
Ax0  By 0  Cz 0  D
(3.10)
A2  B 2  C 2
Для плоскости 3x  2 y  4 z  5  0 координаты нормального вектора
N  A; B; C определяются равенствами A  3 , B  2 , C  4 . Следовательно,
3  1  2  3  4  (2)  5
 16
16
d


.
2
2
2
9  4  16
29
3  (2)  4
6)
Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точки
M 1 (1;2;3) и M 2 (3;1;2) .
Решение.
Уравнения прямой, проходящей через точки M 1 ( x1 ; y1 ; z1 ) и
M 2 ( x2 ; y2 ; z 2 ) имеют вид
x  x1
y  y1
z  z1


x2  x1 y 2  y1 z 2  z1
(3.11)
Так как M 1 (1;2;3) , M 2 (3;1;2) , то в силу (3.11) получим уравнения
x 1 y  2 z  3
x 1 y  2 z  3




или
.
3 1 1 2 2  3
2
3
1
7)
Найти направляющий вектор прямой
x 1 y 1
z


.
2
3
2
Решение.
Направляющий вектор s - это вектор, параллельный прямой.
8
Если
прямая
задана
каноническими
уравнениями
x  x0 y  y 0 z  z 0


, то направляющий вектор s имеет координаты
p
q
r
p; q; r.
s
l
Рис. 4
Для
рассматриваемой
x 1 y 1
z


2
3
2
прямой
направляющим
вектором является вектор s  2;3;2.
Отметим, что любой вектор, коллинеарный вектору s  2;3;2 так же
x 1 y 1
z


. Таким
2
3
2
образом, при каждом ненулевом  вектор с координатами 2;3;2
является направляющим вектором прямой
будет являться направляющим вектором рассматриваемой прямой.
8)
Найти
косинус
угла
между
прямыми
x5
y
z6


.
3
4
1
x7 y 3 z 5


2
2
3
и
x  x1 y  y1 z  z1


p1
q1
r1
и
Решение.
Угол
l2 :

между
x  x2 y  y 2 z  z 2


p2
q2
r2
двумя
прямыми
представляет
l1 :
собой
угол
между
их
направляющими векторами и определяется равенством
cos  
p1 p2  q1q2  r1r2
p  q12  r12  p22  q 22  r22
x7 y 3 z 5


Для прямой
координаты направляющего вектора
2
2
3
s1  p1 ; q1 ; r1  определяются равенствами p1  2 , q1  2 , r1  3 . Для прямой
x5
y
z6


- равенствами p2  3 , q2  4 , r2  1 . Значит,
3
4
1
2  3  (2)  (4)  3  1
683
17
17
cos  

.


2
2
2
2
2
2
17  26
17  26
26
2  (2)  3  3  (4)  1
9)
2
1
Составить канонические уравнения прямой l , проходящей через точку
M 0 (3;2;1) параллельно прямой l1 :
x5 y 7 z 6


.
4
2
3
9
Решение.
Канонические уравнения прямой имеют вид
x  x0 y  y 0 z  z 0


.
p
q
r
Здесь ( x0 ; y0 ; z 0 ) - координаты точки, через которую проходит прямая.
В канонические уравнения прямой l подставим координаты точки
M 0 . Получим:
Условие
x  3 y  2 z 1
.


p
q
r
параллельности
прямых
x  x1 y  y1 z  z1


p1
q1
r1
x  x2 y  y 2 z  z 2
имеет вид


p2
q2
r2
p1 q1 r1


p2 q2 r2
и
(3.12)
Так как прямые l и l1 параллельны, то в качестве направляющего
вектора s прямой l можно взять направляющий вектор s1  4;2;3 прямой
p
q
r


можно принять равным
4 2 3
уравнение прямой
примет вид
l
l1 , т.е. в формуле (3.12) отношение
единице.
Следовательно,
x  3 y  2 z 1


.
4
2
3
x 1 y  2 z  4


5
3
1
10) Найти угол между прямой l :
и плоскостью P :
2 x  y  3z  4  0 .
Решение.
Углом между прямой и плоскостью называется угол между прямой и
ее проекцией на эту плоскость. Угол  между прямой и плоскостью
равен

2
  , где  - угол между направляющим вектором s прямой и
нормальным вектором N плоскости.
―
N
l
s­
ψ
φ
P
Рис. 5
Угол

между
прямой
l:
x  x0 y  y 0 z  z 0


p
q
r
и
плоскостью
P : Ax  By  Cz  D  0 определяется формулой
10
sin  
Ap  Bq  Cr
A  B  C 2  p2  q2  r 2
2
2
Для плоскости P : 2 x  y  3z  4  0 координаты нормального вектора
N  A; B; C определяются равенствами A  2 , B  1 , C  3 . Для прямой l :
x 1 y  2 z  4


координаты направляющего вектора s  p; q; r 5
3
1
равенствами p  5 , q  3 , r  1 . Синус угла между прямой и плоскостью
2  5  (1)  3  3  (1)
4
4
sin  
равен
=
.

14  35
490
2 2  (1) 2  3 2  5 2  3 2  (1) 2
Следовательно,   arcsin
4
.
490
11) Составить уравнение плоскости P , проходящей через точку M 0 (1,2,3)
перпендикулярно прямой l :
x3 y 5 z 0


.
4
1
2
Решение.
Уравнение плоскости, проходящей через данную точку, имеет вид
A( x  x0 )  B( y  y0 )  C ( z  z 0 )  0 .
Подставим в указанное уравнение координаты точки M 0 . Получим:
A( x  1)  B( y  2)  C ( z  3)  0 .
Условие перпендикулярности плоскости Ax  By  Cz  D  0 и прямой
x  x0 y  y 0 z  z 0


имеет вид
p
q
r
A B C
(3.13)
 
p q r
Так как искомая плоскость P перпендикулярна прямой l , то в
качестве нормального вектора N плоскости можно взять направляющий
A B
C
вектор s  4,1,2 прямой l , т.е. в формуле (3.13) отношение  
4 1 2
можно принять равным единице. Следовательно, уравнение плоскости P
примет вид 4  ( x  1)  1  ( y  2)  (2)  ( z  3)  0 . Запишем это уравнение в
общем виде: 4 x  y  2 z  8  0 .
12) Составить канонические уравнения прямой l , проходящей через точку
M 0 (5;3;2) перпендикулярно плоскости P : x  4 y  z  0 .
Решение.
Канонические уравнения прямой, проходящей через данную точку,
имеют вид
x  x0 y  y 0 z  z 0


.
p
q
r
Подставим в эти уравнения координаты точки M 0 . Получим:
x5 y 3 z 2


p
q
r
11
Условие
перпендикулярности
прямой
плоскости Ax  By  Cz  D  0 имеет вид
x  x0 y  y 0 z  z 0


p
q
r
и
A B C
  .
p q r
Так как прямая l перпендикулярна плоскости P , то в качестве
направляющего вектора s прямой l можно взять нормальный вектор
1 4 1
можно
 
p q
r
принять равным единице. Следовательно, уравнение прямой l примет вид:
x5 y 3 z 2


.
1
4
1
x 1 y z 1
 
13) Найти координаты точки пересечения прямой l :
и
2
3
1
плоскости P : x  2 y  z  5  0 .
N  1;4;1 плоскости P , т.е. в формуле (3.13) отношение
Решение.
 x  x0  pt
Координаты точки M 0 ( x0 ; y0 ; z 0 ) пересечения прямой  y  y 0  qt и
 z  z  rt
0

плоскости Ax  By  Cz  D  0 представляют собой решение системы
 Ax  By  Cz  D  0
 x  x  pt

0

 y  y 0  qt
 z  z 0  rt
(3.14)
 x  1  2t

Запишем параметрические уравнения прямой l :  y  3t и
 z  1  t

подставим выражения для x, y, z в уравнение плоскости P :
(1  2t )  2  3t  (1  t )  5  0 . Отсюда 7t  7  0 ; t  1 . Подставим найденное
 x  1
значение t в параметрические уравнения прямой l :  y  3 .
 z  2

Следовательно, M 0 (1;3;2) .
Задача №3.
К кривым второго порядка относятся эллипс (рис.6), гипербола (рис. 7
и 8), парабола (рис. 9-12). Приведем рисунки и канонические уравнения этих
кривых.
Эллипс
x2 y2

1
a2 b2
12
(0,b)
y
(-a,0)
(a,0)
OO
x
(0,-b)
Рис. 6
Гипербола
x2 y2

1
a2 b2
Гипербола
x2 y2

 1 .
a2 b2
y
y
(0,b)
(0,b)
(-a,0)
(-a,0)
(a,0)
(a,0)
x
x
(0,-b)
(0,-b)
Рис. 7
Рис. 8
Парабола y 2  2 px
Парабола y 2  2 px
y
O
y
x
O
Щ
x
x
p
x
2
Рис. 9
Парабола x 2  2 py
p
2
Рис. 10
Парабола x 2  2 py
13
y
y
y
O
y
O
Щ
x
p
2
x
p
2
Рис. 11
Рис. 12
Приведем примеры решения задачи №3.
Пример 1. Привести уравнение кривой второго порядка
2
4 x  y 2  16 x  2 y  8  0 к каноническому виду и построить кривую.
Решение.
Для приведения уравнения кривой второго порядка к каноническому
виду применяют метод выделения полного квадрата.
Сгруппируем
слагаемые,
содержащие
текущие
координаты.
2
2
2
2
Коэффициенты при x и y вынесем за скобки: 4( x  4 x)  ( y  2 y)  8  0 .
Выделим полный квадрат: 4( x 2  4 x  4)  ( y 2  2 y  1)  8  16  1  0 . Отсюда
4( x  2) 2 ( y  1) 2

 1.
25
25
( x  2) 2 ( y  1) 2
Запишем полученное уравнение в каноническом виде:

 1.
25
25
4
4( x  2) 2  ( y  1) 2  25 . Разделим обе части равенства на 25:
Выполним параллельный перенос осей координат по формулам
 X  x  x0
. При таком преобразовании начало координат переносится в точку

Y  y  y 0
( x0 , y0 ) , уравнение эллипса принимает канонический вид
X2 Y2

 1.
a2 b2
5
2
В нашем примере x0  2 , y 0  1, a  , b  5 .
Итак, рассматриваемое уравнение определяет эллипс с центром в точке
С (2;1) и полуосями
5
и 5.
2
y
6
1
х
-4,5
0,5
-2
-4
Рис. 13
14
Пример
2. Привести уравнение кривой второго порядка
4 x  16 x  2 y  1  0 к каноническому виду и построить кривую.
Решение.
Как и в предыдущем примере, сгруппируем слагаемые, содержащие
текущие координаты: 4( x 2  4 x)  2 y  1  0 .
В скобках выделим полный квадрат: 4( x 2  4 x  4)  16  2 y  1  0 ;
2
1
15
(y  ) .
2
2
X  x2
Выполним замену переменных Y  y  15 . После этого преобразования

2

1
уравнение параболы принимает канонический вид X 2  Y , вершина
2
15
параболы в системе координат Oxy расположена в точке C (2; ) .
2
y
4( x  2) 2  2 y  15 . Отсюда ( x  2) 2 
х
-2

15
2
Рис. 14
Задача №4.
Кривая задана в полярной системе координат уравнением   1  cos  .
Требуется:
1) найти точки, лежащие на кривой, давая  значения через промежуток,
равный

, начиная от   0 до   2 ;
8
2) построить полученные точки;
3) построить кривую, соединив построенные точки (от руки или с помощью
лекала);
4) составить уравнение этой кривой в прямоугольной декартовой системе
координат.
Решение.
Сначала построим таблицу значений  и  :
 0


3 
5 3 7 
9 5 11 3 13 7 15
8
4
8
2
8
4
8
8
4
8
2
8
4
8
 2,0 1,9 1,7 1,3 1,0 0,6 0,2 0,0 0,0 0,0 0,2 0,6 1,0 1,3 1,7 1,9
0
2
1
8
0
2
9
8
0
8
9
2
0
8
1
2
15
Построим эти точки в полярной системе координат. Полярная система
координат состоит из начала координат O (полюса) и полярной оси OP .
Координаты точки M в полярной системе координат определяются
расстоянием  от полюса (полярным радиусом) и углом  между
направлением полярной оси и полярным радиусом (полярным углом). Для
того, чтобы построить точку M , необходимо построить луч, выходящий из
точки O под углом  к полярной оси; отложить на этом луче отрезок длиной
.
M

O
P

Рис. 15
Построим все точки, определенные в таблице и соединим их плавной
линией
Р
О
2
Рис. 16
Запишем уравнение рассматриваемой кривой в прямоугольной
декартовой системе координат. Для этого воспользуемся формулами
перехода от декартовой к полярной системе координат.
Если полюс совпадает с началом координат прямоугольной декартовой
системы координат, полярная ось – с осью абсцисс, то между
( x; y )
прямоугольными декартовыми координатами
и полярными
координатами (  ;  ) существует следующая связь:
 x   cos 
,

 y   sin 
  x 2  y 2


y
 tg  x
Откуда
16
cos  
sin  
x
x2  y2
y
x2  y2
y
М
ρ
y
х
φ
О
х
P
Рис. 17
Итак, в уравнении исходной кривой   x 2  y 2 , cos  
Поэтому уравнение   1  cos  принимает вид
x2  y2  1
x
x2  y2
x
x2  y2
.
. После
преобразований получим уравнение x 2  y 2  x 2  y 2  x .
Задача №5.
Построить на плоскости геометрическое место точек, определяемое
неравенствами
1)
 1 x  2
 2
 y  2x
y  0

2)
 36  ( x  3) 2  y  3  0
Решение.
Для того, чтобы решить неравенство F ( x, y )  0 на плоскости, надо
построить график линии F ( x, y )  0 . Кривая F ( x; y )  0 разбивает плоскость
на части, в каждой из которых выражение F ( x; y ) сохраняет свой знак.
Выбирая пробную точку в каждой из этих частей, найдем часть плоскости,
являющуюся искомым решением неравенства.
1)
Построим прямые x  1 и x  2 , заштрихуем область, в которой
1  x  2 . Затем построим параболу y 2  2 x и заштрихуем область,
содержащую ось симметрии параболы (расположенную внутри
параболы); построим прямую y  0 и заштрихуем область, лежащую выше
прямой. Пересечение всех заштрихованных областей и определит
множество точек, представляющих решение рассматриваемой системы.
17
y
x
O
1
2
Рис. 18
2)
Построим линию, определяемую уравнением y  3   36  ( x  3) 2 .
Эта линия представляет собой ту часть окружности ( y  3) 2  36  ( x  3) 2
или ( x  3) 2  ( y  3) 2  36 , на которой y  3  0 . Далее построим прямую
y  3  0 ( y  3 ). Решением рассматриваемого двойного неравенства
является часть плоскости, расположенная между нижней половиной
окружности ( x  3) 2  ( y  3) 2  36 с центром в точке (3,3) радиуса 6 прямой
y  3.
y
3
x
-6
-3
O
o
Рис. 19
18
Контрольная работа № 3
Вариант 1.
Задача 1. Даны три последовательные вершины параллелограмма
А(1;2), В(-1;3),С(-4;-2). Не находя координаты вершины D, найти:
6) уравнение стороны AD;
7) уравнение высоты BK, опущенной из вершины В на сторону AD;
8) длину высоты BK;
9) уравнение диагонали BD;
10) тангенс угла между диагоналями параллелограмма.
Записать общие уравнения найденных прямых. Построить чертеж.
Задача 2. Даны точки A(1;2;3), B(-1;3;5), C(2;0;4), D(3;-1;2). Найти:
1) общее уравнение плоскости АВС;
2) общее уравнение плоскости, проходящей через точку D параллельно
плоскости АВС;
3) расстояние от точки D до плоскости ABC;
4) канонические уравнения прямой АВ;
5) канонические уравнения прямой, проходящей через точку D параллельно
прямой AB;
6) общее уравнение плоскости, проходящей через точку D перпендикулярно
прямой AB.
Задача 3. Уравнение второго порядка 2 x 2  9 y 2  4 x  6 y  2  0 путем
выделения полного квадрата привести к каноническому виду. Построить
кривую, определяемую этим уравнением.
Задача 4. Кривая задана в полярной системе координат уравнением
  3 .
Требуется:
5) найти точки, лежащие на кривой, давая  значения через промежуток,
равный

, начиная от   0 до   2 ;
8
6) построить полученные точки;
7) построить кривую, соединив построенные точки (от руки или с помощью
лекала);
8) составить уравнение этой кривой в прямоугольной декартовой системе
координат.
Задача 5. Построить на плоскости геометрическое место точек,
определяемое неравенствами
 1 x  2
;
x  y  2x
1) 
y  9  x2
2) 
 x  0, y  0
19
Контрольная работа № 3
Вариант 2.
Задача 1. Даны три последовательные вершины параллелограмма А(1;2), В(1;-3),С(4;0). Не находя координаты вершины D, найти:
1) уравнение стороны AD;
2) уравнение высоты BK, опущенной из вершины В на сторону AD;
3) длину высоты BK;
4) уравнение диагонали BD;
5) тангенс угла между диагоналями параллелограмма.
Записать общие уравнения найденных прямых. Построить чертеж.
Задача 2. Даны точки A(1;-2;3), B(2;0;5), C(-1;3;4), D(-2;1;-2). Найти:
1) общее уравнение плоскости АВС;
2) общее уравнение плоскости, проходящей через точку D параллельно
плоскости АВС;
3) расстояние от точки D до плоскости ABC;
4) канонические уравнения прямой АВ;
5) канонические уравнения прямой, проходящей через точку D параллельно
прямой AB;
6) канонические уравнения прямой, проходящей через точку D
перпендикулярно плоскости ABC.
Задача 3. Уравнение кривой второго порядка x 2  4 y 2  6 x  4 y  8  0
путем выделения полного квадрата привести к каноническому виду.
Построить кривую.
Задача 4. Кривая задана в полярной системе координат уравнением
  4сos .
Требуется:
1) найти точки, лежащие на кривой, давая  значения через промежуток,
равный

, начиная от   0 до   2 ;
8
2) построить полученные точки;
3) построить кривую, соединив построенные точки (от руки или с помощью
лекала);
4) составить уравнение этой кривой в прямоугольной декартовой системе
координат.
Задача 5. Построить на плоскости геометрическое место точек,
определяемое неравенствами
 y  x2
;
y  x  0
1) 
x  4  y 2
2) 
 x  0, y  0
20
Контрольная работа № 3
Вариант 3.
Задача 1. Даны три последовательные вершины параллелограмма А(3;2), В(2;3),С(-1;-2). Не находя координаты вершины D, найти:
1) уравнение стороны AD;
2) уравнение высоты BK, опущенной из вершины В на сторону AD;
3) длину высоты BK;
4) уравнение диагонали BD;
5) тангенс угла между диагоналями параллелограмма.
Записать общие уравнения найденных прямых. Построить чертеж.
Задача 2. Даны точки A(-3;2;1), B(0;-3;-1), C(2;0;-2), D(2;-1;5). Найти:
1) общее уравнение плоскости АВС;
2) общее уравнение плоскости, проходящей через точку D параллельно
плоскости АВС;
3) канонические уравнения прямой АD;
4) канонические уравнения прямой, проходящей через точку B параллельно
прямой AD;
 x  2t  3
5) косинус угла между прямой AD и прямой  y  t  1 ;
 z  3t  5

6) синус угла между плоскостью ABC и прямой AD.
Задача 3. Уравнение кривой второго порядка 4 y 2  2 x  8 y  1  0 путем
выделения полного квадрата привести к каноническому виду. Построить
кривую.
Задача 4. Кривая задана в полярной системе координат уравнением
  3 sin 2 .
Требуется:
1) найти точки, лежащие на кривой, давая  значения через промежуток,
равный

, начиная от   0 до   2 ;
8
2) построить полученные точки;
3) построить кривую, соединив построенные точки (от руки или с помощью
лекала);
4) составить уравнение этой кривой в прямоугольной декартовой системе
координат.
Задача 5. Построить на плоскости геометрическое место точек,
определяемое неравенствами
 y  x2
;
 y  2x  1
1) 
2)
9  ( x  3) 2  y  36  x 2
21
Контрольная работа № 3
Вариант 4.
Задача 1. Даны три последовательные вершины параллелограмма А(3;2), В(-4;3),С(-1;6). Не находя координаты вершины D, найти:
1) уравнение стороны AD;
2) уравнение высоты BK, опущенной из вершины В на сторону AD;
3) длину высоты BK;
4) уравнение диагонали BD;
5) тангенс угла между диагоналями параллелограмма.
Записать общие уравнения найденных прямых. Построить чертеж.
Задача 2. Даны точки A(-2;0;3), B(-1;5;2), C(2;1;4), D(3;-1;-2). Найти:
1) общее уравнение плоскости АВС;
2) общее уравнение плоскости, проходящей через точку D параллельно
плоскости АВС;
3) расстояние от точки D до плоскости ABC;
4) канонические уравнения прямой АВ;
5) канонические уравнения прямой, проходящей через точку D параллельно
прямой AB;
x 1 y
z 1


и плоскости ABC.
2
1
1
Задача 3. Уравнение кривой второго порядка 3x 2  2 y 2  6 x  8 y  5  0
6) координаты точки пересечения прямой
путем выделения полного квадрата привести к каноническому виду.
Построить кривую.
Задача 4. Кривая задана в полярной системе координат уравнением
  2 sin  .
Требуется:
1) найти точки, лежащие на кривой, давая  значения через промежуток,
равный

, начиная от   0 до   2 ;
8
2) построить полученные точки;
3) построить кривую, соединив построенные точки (от руки или с помощью
лекала);
4) составить уравнение этой кривой в прямоугольной декартовой системе
координат.
Задача 5. Построить на плоскости геометрическое место точек,
определяемое неравенствами
 1 x  3
;
x  y  2x  1
1) 
x  4  y 2
2) 
 x  0, y  0
22
Контрольная работа № 3
Вариант 5.
Задача 1. Даны три последовательные вершины параллелограмма А(3;-2), В(1;0),С(-1;5). Не находя координаты вершины D, найти:
1) уравнение стороны AD;
2) уравнение высоты BK, опущенной из вершины В на сторону AD;
3) длину высоты BK;
4) уравнение диагонали BD;
5) тангенс угла между диагоналями параллелограмма.
Записать общие уравнения найденных прямых. Построить чертеж.
Задача 2. Даны точки A(0;3;2), B(-1;2;-2), C(1;2;4), D(-1;-1;-2). Найти:
1) общее уравнение плоскости АВС;
2) общее уравнение плоскости, проходящей через точку D параллельно
плоскости АВС;
3) косинус угла между плоскостью 2 x  3 y  z  4  0 и плоскостью ABC;
4) канонические уравнения прямой АВ;
5) канонические уравнения прямой, проходящей через точку D параллельно
прямой AB;
6) общее уравнение плоскости, проходящей через точку D перпендикулярно
прямой AB.
Задача
3.
Уравнение
кривой
второго
порядка
2
2
9 x  16 y  18 x  32 y  32  0 путем выделения полного квадрата привести к
каноническому виду. Построить кривую.
Задача 4. Кривая задана в полярной системе координат уравнением
2
  cos 2 .
Требуется:
1) найти точки, лежащие на кривой, давая  значения через промежуток,
равный

, начиная от   0 до   2 ;
8
2) построить полученные точки;
3) построить кривую, соединив построенные точки (от руки или с помощью
лекала);
4) составить уравнение этой кривой в прямоугольной декартовой системе
координат.
Задача 5. Построить на плоскости геометрическое место точек,
определяемое неравенствами
1 x  2
;
2 x  y  3 x  1

1) 
2)  4  y 2  x  0 .
23
Контрольная работа № 3
Вариант 6.
Задача 1. Даны три последовательные вершины параллелограмма А(2;2), В(1;-3),С(5;0). Не находя координаты вершины D, найти:
1) уравнение стороны AD;
2) уравнение высоты BK, опущенной из вершины В на сторону AD;
3) длину высоты BK;
4) уравнение диагонали BD;
5) тангенс угла между диагоналями параллелограмма.
Записать общие уравнения найденных прямых. Построить чертеж.
Задача 2. Даны точки A(2;2;-1), B(-3;1;0), C(1;2;1), D(2;0;-3). Найти:
1) общее уравнение плоскости АВС;
2) координаты нормального вектора плоскости АBС;
3) расстояние от точки D до плоскости ABC;
4) канонические уравнения прямой АВ;
5) канонические уравнения прямой, проходящей через точку D параллельно
прямой AB;
6) канонические уравнения прямой, проходящей через точку D
перпендикулярно плоскости ABC.
Задача 3. Уравнение кривой второго порядка 5x 2  10 x  y  0 путем
выделения полного квадрата привести к каноническому виду. Построить
кривую.
Задача 4. Кривая задана в полярной системе координат уравнением
2
  sin 2 .
Требуется:
1) найти точки, лежащие на кривой, давая  значения через промежуток,
равный

, начиная от   0 до   2 ;
8
2) построить полученные точки;
3) построить кривую, соединив построенные точки (от руки или с помощью
лекала);
4) составить уравнение этой кривой в прямоугольной декартовой системе
координат.
Задача 5. Построить на плоскости геометрическое место точек,
определяемое неравенствами
1 x  2
;
 x  y  x  1

1) 
2)  4  x 2  y   x 2 .
24
Контрольная работа № 3
Вариант 7.
Задача 1. Даны три последовательные вершины параллелограмма
А(1;2), В(-2;1),С(-4;-5). Не находя координаты вершины D, найти:
1) уравнение стороны AD;
2) уравнение высоты BK, опущенной из вершины В на сторону AD;
3) длину высоты BK;
4) уравнение диагонали BD;
5) тангенс угла между диагоналями параллелограмма.
Записать общие уравнения найденных прямых. Построить чертеж.
Задача 2. Даны точки A(3;2;1), B(-1;0;-2), C(2;1;3), D(3;-1;-2). Найти:
1) общее уравнение плоскости АВС;
2) общее уравнение плоскости, проходящей через точку D параллельно
плоскости АВС;
3) расстояние от точки D до плоскости ABC;
4) канонические уравнения прямой АD;
5) канонические уравнения прямой, проходящей через точку B параллельно
прямой AD;
6) синус угла между плоскостью ABC и прямой AD.
Задача 3. Уравнение кривой второго порядка x 2  9 y 2  4 x  6 y  31  0
путем выделения полного квадрата привести к каноническому виду.
Построить кривую.
Задача 4. Кривая задана в полярной системе координат уравнением
  3(1  cos  ) .
Требуется:
1) найти точки, лежащие на кривой, давая  значения через промежуток,
равный

, начиная от   0 до   2 ;
8
2) построить полученные точки;
3) построить кривую, соединив построенные точки (от руки или с помощью
лекала);
4) составить уравнение этой кривой в прямоугольной декартовой системе
координат.
Задача 5. Построить на плоскости геометрическое место точек,
определяемое неравенствами
0  x  2
;
0  y  x
1) 
2) ( x  1) 2  y  4  ( x  1) 2 .
25
Контрольная работа № 3
Вариант 8.
Задача 1. Даны три последовательные вершины параллелограмма А(1;2), В(-2;3),С(5;7). Не находя координаты вершины D, найти:
1) уравнение стороны AD;
2) уравнение высоты BK, опущенной из вершины В на сторону AD;
3) длину высоты BK;
4) уравнение диагонали BD;
5) тангенс угла между диагоналями параллелограмма.
Записать общие уравнения найденных прямых. Построить чертеж.
Задача 2. Даны точки A(-3;-2;2), B(-1;-3;1), C(-2;0;1), D(1;-1;4). Найти:
1) общее уравнение плоскости АВС;
2) общее уравнение плоскости, проходящей через точку D параллельно
плоскости АВС;
3) канонические уравнения прямой АВ;
4) канонические уравнения прямой, проходящей через точку D параллельно
прямой AB;
 x  3t  2
5) косинус угла между прямой AB и прямой  y  t  10 ;
 z  2t  5

x 1 y 1 z


и плоскости ABC.
2
1
1
Задача 3. Уравнение кривой второго порядка 4 x 2  9 y 2  8x  6 y  39  0
6) координаты точки пересечения прямой
путем выделения полного квадрата привести к каноническому виду.
Построить кривую.
Задача 4. Кривая задана в полярной системе координат уравнением
  2 sin  .
Требуется:
1) найти точки, лежащие на кривой, давая  значения через промежуток,
равный

, начиная от   0 до   2 ;
8
2) построить полученные точки;
3) построить кривую, соединив построенные точки (от руки или с помощью
лекала);
4) составить уравнение этой кривой в прямоугольной декартовой системе
координат.
Задача 5. Построить на плоскости геометрическое место точек,
определяемое неравенствами
1) x  y  2 x  1;
 1 x  2
.
2
0  y  x
2) 
26
Контрольная работа № 3
Вариант 9.
Задача 1. Даны три последовательные вершины параллелограмма А(1;2), В(3;-3),С(7;2). Не находя координаты вершины D, найти:
1) уравнение стороны AD;
2) уравнение высоты BK, опущенной из вершины В на сторону AD;
3) длину высоты BK;
4) уравнение диагонали BD;
5) тангенс угла между диагоналями параллелограмма.
Записать общие уравнения найденных прямых. Построить чертеж.
Задача 2. Даны точки A(0;3;-1), B(-1;-2;5), C(1;0;-4), D(-3;-1;-2). Найти:
1) общее уравнение плоскости АВС;
2) общее уравнение плоскости, проходящей через точку D параллельно
плоскости АВС;
3) расстояние от точки D до плоскости ABC;
4) канонические уравнения прямой АВ;
5) канонические уравнения прямой, проходящей через точку D параллельно
прямой AB;
6) общее уравнение плоскости, проходящей через точку D перпендикулярно
прямой AB.
Задача 3. Уравнение кривой второго порядка 3 y 2  2 x  6 y  1  0 путем
выделения полного квадрата привести к каноническому виду. Построить
кривую.
Задача 4. Кривая задана в полярной системе координат уравнением
  1  cos 2 .
Требуется:
1) найти точки, лежащие на кривой, давая  значения через промежуток,
равный

, начиная от   0 до   2 ;
8
2) построить полученные точки;
3) построить кривую, соединив построенные точки (от руки или с помощью
лекала);
4) составить уравнение этой кривой в прямоугольной декартовой системе
координат.
Задача 5. Построить на плоскости геометрическое место точек,
определяемое неравенствами
0  x 1
;
2
2
 x  y  x

1) 
2) 1  4  y 2  x  1 .
27
Контрольная работа № 3
Вариант 10.
Задача 1. Даны три последовательные вершины параллелограмма А(1;-2), В(5;3),С(0;6). Не находя координаты вершины D, найти:
1) уравнение стороны AD;
2) уравнение высоты BK, опущенной из вершины В на сторону AD;
3) длину высоты BK;
4) уравнение диагонали BD;
5) тангенс угла между диагоналями параллелограмма.
Записать общие уравнения найденных прямых. Построить чертеж.
Задача 2. Даны точки A(-2;5;3), B(0;3;-1), C(2;2;4), D(3;1;-2). Найти:
1) общее уравнение плоскости АВС;
2) общее уравнение плоскости, проходящей через точку D параллельно
плоскости АВС;
3) косинус угла между плоскостью 2 x  3 y  4 z  5  0 и плоскостью ABC;
4) канонические уравнения прямой АВ;
5) канонические уравнения прямой, проходящей через точку D параллельно
прямой AB;
6) канонические уравнения прямой, проходящей через точку D
перпендикулярно плоскости ABC.
Задача 3. Уравнение кривой второго порядка x 2  25 y 2  4 x  10 y  11  0
путем выделения полного квадрата привести к каноническому виду.
Построить кривую.
Задача 4. Кривая задана в полярной системе координат уравнением
2
  4 sin 2 .
Требуется:
1) найти точки, лежащие на кривой, давая  значения через промежуток,
равный

, начиная от   0 до   2 ;
8
2) построить полученные точки;
3) построить кривую, соединив построенные точки (от руки или с помощью
лекала);
4) составить уравнение этой кривой в прямоугольной декартовой системе
координат.
Задача 5. Построить на плоскости геометрическое место точек,
определяемое неравенствами
 1 x  2
;
x  y  2x  3
1) 
2) 3  4  x 2  y  3 .
28
Контрольная работа № 3
Вариант 11.
Задача 1. Даны три последовательные вершины параллелограмма
А(5;3), В(2;1),С(3;-5). Не находя координаты вершины D, найти:
1) уравнение стороны AD;
2) уравнение высоты BK, опущенной из вершины В на сторону AD;
3) длину высоты BK;
4) уравнение диагонали BD;
5) тангенс угла между диагоналями параллелограмма.
Записать общие уравнения найденных прямых. Построить чертеж.
Задача 2. Даны точки A(2;-3;-2), B(-1;3;0), C(-2;0;1), D(4;-1;3). Найти:
1) общее уравнение плоскости АВС;
2) общее уравнение плоскости, проходящей через точку D параллельно
плоскости АВС;
3) расстояние от точки D до плоскости ABC;
4) канонические уравнения прямой АD;
5) канонические уравнения прямой, проходящей через точку B параллельно
прямой AD;
6) синус угла между плоскостью ABC и прямой AD.
Задача 3. Уравнение кривой второго порядка 9 x 2  4 y 2  36 x  4 y  1  0
путем выделения полного квадрата привести к каноническому виду.
Построить кривую.
Задача 4. Кривая задана в полярной системе координат уравнением
1
2
  .
Требуется:
1) найти точки, лежащие на кривой, давая  значения через промежуток,
равный

, начиная от   0 до   2 ;
8
2) построить полученные точки;
3) построить кривую, соединив построенные точки (от руки или с помощью
лекала);
4) составить уравнение этой кривой в прямоугольной декартовой системе
координат.
Задача 5. Построить на плоскости геометрическое место точек,
определяемое неравенствами
 1 x  2
;
 x  y  0
1) 
2) 0  x  9  ( y  1) 2 .
29
Контрольная работа № 3
Вариант 12.
Задача 1. Даны три последовательные вершины параллелограмма А(2;2), В(1;4),С(-3;-2). Не находя координаты вершины D, найти:
1) уравнение стороны AD;
2) уравнение высоты BK, опущенной из вершины В на сторону AD;
3) длину высоты BK;
4) уравнение диагонали BD;
5) тангенс угла между диагоналями параллелограмма.
Записать общие уравнения найденных прямых. Построить чертеж.
Задача 2. Даны точки A(-3;1;-2), B(1;2;3), C(2;1;-3), D(0;-1;-2). Найти:
1) общее уравнение плоскости АВС;
2) общее уравнение плоскости, проходящей через точку D параллельно
плоскости АВС;
3) расстояние от точки D до плоскости ABC;
4) канонические уравнения прямой АВ;
5) канонические уравнения прямой, проходящей через точку D параллельно
прямой AB;
x y  3 z 1


и плоскости ABC.
2
2
1
Задача 3. Уравнение кривой второго порядка 5 y 2  x  10 y  1  0 путем
6) координаты точки пересечения прямой
выделения полного квадрата привести к каноническому виду. Построить
кривую.
Задача 4. Кривая задана в полярной системе координат уравнением
  cos 2  .
Требуется:
1) найти точки, лежащие на кривой, давая  значения через промежуток,
равный

, начиная от   0 до   2 ;
8
2) построить полученные точки;
3) построить кривую, соединив построенные точки (от руки или с помощью
лекала);
4) составить уравнение этой кривой в прямоугольной декартовой системе
координат.
Задача 5. Построить на плоскости геометрическое место точек,
определяемое неравенствами
1  x  2
;
x  y  5
1) 
2) 1  y  1  9  ( x  1) 2 .
30
Контрольная работа № 3
Вариант 13.
Задача 1. Даны три последовательные вершины параллелограмма А(3;1), В(4;-2),С(0;-5). Не находя координаты вершины D, найти:
1) уравнение стороны AD;
2) уравнение высоты BK, опущенной из вершины В на сторону AD;
3) длину высоты BK;
4) уравнение диагонали BD;
5) тангенс угла между диагоналями параллелограмма.
Записать общие уравнения найденных прямых. Построить чертеж.
Задача 2. Даны точки A(-1;3;-1), B(2;0;5), C(2;3;4), D(5;-1;-2). Найти:
1) общее уравнение плоскости АВС;
2) общее уравнение плоскости, проходящей через точку D параллельно
плоскости АВС;
3) канонические уравнения прямой АВ;
4) координаты направляющего вектора прямой АB;
 x  t  2
5) косинус угла между прямой AB и прямой  y  2t  7 ;
 z t 5

6) общее уравнение плоскости, проходящей через точку D перпендикулярно
прямой AB.
Задача 3. Уравнение кривой второго порядка 4 x 2  2 y 2  4 x  8 y  16  0
путем выделения полного квадрата привести к каноническому виду.
Построить кривую.
Задача 4. Кривая задана в полярной системе координат уравнением
2
  4 cos 2 .
Требуется:
1) найти точки, лежащие на кривой, давая  значения через промежуток,
равный

, начиная от   0 до   2 ;
8
2) построить полученные точки;
3) построить кривую, соединив построенные точки (от руки или с помощью
лекала);
4) составить уравнение этой кривой в прямоугольной декартовой системе
координат.
Задача 5. Построить на плоскости геометрическое место точек,
определяемое неравенствами
 1 y  2
;
2 y  x  3 y  1
1) 
2)  4  x 2  y  1  4  x 2 .
31
Контрольная работа № 3
Вариант 14.
Задача 1. Даны три последовательные вершины параллелограмма А(3;0), В(1;-2),С(4;5). Не находя координаты вершины D, найти:
1) уравнение стороны AD;
2) уравнение высоты BK, опущенной из вершины В на сторону AD;
3) длину высоты BK;
4) уравнение диагонали BD;
5) тангенс угла между диагоналями параллелограмма.
Записать общие уравнения найденных прямых. Построить чертеж.
Задача 2. Даны точки A(3;-2;-1), B(0;3;2), C(1;-1;-2), D(3;2;-5). Найти:
1) общее уравнение плоскости АВС;
2) общее уравнение плоскости, проходящей через точку D параллельно
плоскости АВС;
3) расстояние от точки D до плоскости ABC;
4) канонические уравнения прямой АВ;
5) канонические уравнения прямой, проходящей через точку D параллельно
прямой AB;
6) канонические уравнения прямой, проходящей через точку D
перпендикулярно плоскости ABC.
Задача 3. Уравнение кривой второго порядка 4 x 2  16 y 2  8x  16 y  13  0
путем выделения полного квадрата привести к каноническому виду.
Построить кривую.
Задача 4. Кривая задана в полярной системе координат уравнением
  1  2 sin  .
Требуется:
1) найти точки, лежащие на кривой, давая  значения через промежуток,
равный

, начиная от   0 до   2 ;
8
2) построить полученные точки;
3) построить кривую, соединив построенные точки (от руки или с помощью
лекала);
4) составить уравнение этой кривой в прямоугольной декартовой системе
координат.
Задача 5. Построить на плоскости геометрическое место точек,
определяемое неравенствами
 0  y 1
;
 y  x  y
1) 
2) 4  y  4  9  ( x  1) 2 .
32
Контрольная работа № 3
Вариант 15.
Задача 1. Даны три последовательные вершины параллелограмма А(3;3), В(-4;3),С(1;6). Не находя координаты вершины D, найти:
1) уравнение стороны AD;
2) уравнение высоты BK, опущенной из вершины В на сторону AD;
3) длину высоты BK;
4) уравнение диагонали BD;
5) тангенс угла между диагоналями параллелограмма.
Записать общие уравнения найденных прямых. Построить чертеж.
Задача 2. Даны точки A(2;1;-3), B(-1;-3;2), C(-2;1;1), D(3;0;-2). Найти:
1) общее уравнение плоскости АВС;
2) общее уравнение плоскости, проходящей через точку D параллельно
плоскости АВС;
3) косинус угла между плоскостью x  2 y  3z  4  0 и плоскостью ABC;
4) канонические уравнения прямой АD;
5) канонические уравнения прямой, проходящей через точку B параллельно
прямой AD;
6) синус угла между плоскостью ABC и прямой AD.
Задача 3. Уравнение кривой второго порядка 2 x 2  8x  y  0 путем
выделения полного квадрата привести к каноническому виду. Построить
кривую.
Задача 4. Кривая задана в полярной системе координат уравнением
  2  sin  .
Требуется:
1) найти точки, лежащие на кривой, давая  значения через промежуток,
равный

, начиная от   0 до   2 ;
8
2) построить полученные точки;
3) построить кривую, соединив построенные точки (от руки или с помощью
лекала);
4) составить уравнение этой кривой в прямоугольной декартовой системе
координат.
Задача 5. Построить на плоскости геометрическое место точек,
определяемое неравенствами
1  y  2
;
0  x  y
1) 
2) x 2  y  1  x 2 .
33
Контрольная работа № 3
Вариант 16.
Задача 1. Даны три последовательные вершины параллелограмма А(3;2), В(1;-1),С(0;5). Не находя координаты вершины D, найти:
1) уравнение стороны AD;
2) уравнение высоты BK, опущенной из вершины В на сторону AD;
3) длину высоты BK;
4) уравнение диагонали BD;
5) тангенс угла между диагоналями параллелограмма.
Записать общие уравнения найденных прямых. Построить чертеж.
Задача 2. Даны точки A(0;-3;2), B(1;2;-1), C(1;-2;4), D(1;1;-2). Найти:
1) общее уравнение плоскости АВС;
2) общее уравнение плоскости, проходящей через точку D параллельно
плоскости АВС;
3) расстояние от точки D до плоскости ABC;
4) канонические уравнения прямой АВ;
5) канонические уравнения прямой, проходящей через точку D параллельно
прямой AB;
6) координаты точки пересечения прямой
x 1 y 1 z 1


1
2
1
и плоскости
ABC.
Задача 3. Уравнение кривой второго порядка x 2  4 y 2  x  8 y  4,75  0
путем выделения полного квадрата привести к каноническому виду.
Построить кривую.
Задача 4. Кривая задана в полярной системе координат уравнением
  2 cos  .
Требуется:
1) найти точки, лежащие на кривой, давая  значения через промежуток,
равный

, начиная от   0 до   2 ;
8
2) построить полученные точки;
3) построить кривую, соединив построенные точки (от руки или с помощью
лекала);
4) составить уравнение этой кривой в прямоугольной декартовой системе
координат.
Задача 5. Построить на плоскости геометрическое место точек,
определяемое неравенствами
 1 y  2
;
y  x  2y  3
1) 
2)
x  y  1 x2 .
34
Контрольная работа № 3
Вариант 17.
Задача 1. Даны три последовательные вершины параллелограмма А(1;1), В(1;3),С(5;-2). Не находя координаты вершины D, найти:
1) уравнение стороны AD;
2) уравнение высоты BK, опущенной из вершины В на сторону AD;
3) длину высоты BK;
4) уравнение диагонали BD;
5) тангенс угла между диагоналями параллелограмма.
Записать общие уравнения найденных прямых. Построить чертеж.
Задача 2. Даны точки A(-2;2;1), B(-3;-1;0), C(1;-2;-3), D(2;0;3). Найти:
1) общее уравнение плоскости АВС;
2) общее уравнение плоскости, проходящей через точку D параллельно
плоскости АВС;
3) расстояние от точки D до плоскости ABC;
4) канонические уравнения прямой АВ;
5) координаты направляющего вектора прямой
x 1 y  3
z


;
2
5
4
6) общее уравнение плоскости, проходящей через точку D перпендикулярно
прямой AB.
Задача
3.
Уравнение
кривой
второго
порядка
2
2
25x  16 y  10 x  8 y  36  0 путем выделения полного квадрата привести к
каноническому виду. Построить кривую.
Задача 4. Кривая задана в полярной системе координат уравнением
2
   sin 2 .
Требуется:
1) найти точки, лежащие на кривой, давая  значения через промежуток,
равный

, начиная от   0 до   2 ;
8
2) построить полученные точки;
3) построить кривую, соединив построенные точки (от руки или с помощью
лекала);
4) составить уравнение этой кривой в прямоугольной декартовой системе
координат.
Задача 5. Построить на плоскости геометрическое место точек,
определяемое неравенствами
 1  x  1
;
2 y 5
1) 
2)  3  x  3  9  y 2 .
35
Контрольная работа № 3
Вариант 18.
Задача 1. Даны три последовательные вершины параллелограмма А(1;-1), В(-2;1),С(3;2). Не находя координаты вершины D, найти:
1) уравнение стороны AD;
2) уравнение высоты BK, опущенной из вершины В на сторону AD;
3) длину высоты BK;
4) уравнение диагонали BD;
5) тангенс угла между диагоналями параллелограмма.
Записать общие уравнения найденных прямых. Построить чертеж.
Задача 2. Даны точки A(-2;2;5), B(-1;2;1), C(-3;3;1), D(-1;4;3). Найти:
1) общее уравнение плоскости АВС;
2) общее уравнение плоскости, проходящей через точку D параллельно
плоскости АВС;
3) канонические уравнения прямой АВ;
4) канонические уравнения прямой, проходящей через точку D параллельно
прямой AB;
 x  5t  2
5) косинус угла между прямой AB и прямой  y  3t  1 ;
 z  t  25

6) канонические уравнения прямой, проходящей через точку D
перпендикулярно плоскости ABC.
Задача 3. Уравнение кривой второго порядка x 2  6 x  9 y  0 путем
выделения полного квадрата привести к каноническому виду. Построить
кривую.
Задача 4. Кривая задана в полярной системе координат уравнением
  2  3 cos  .
Требуется:
1) найти точки, лежащие на кривой, давая  значения через промежуток,
равный

, начиная от   0 до   2 ;
8
2) построить полученные точки;
3) построить кривую, соединив построенные точки (от руки или с помощью
лекала);
4) составить уравнение этой кривой в прямоугольной декартовой системе
координат.
Задача 5. Построить на плоскости геометрическое место точек,
определяемое неравенствами
 1 x  2
;
0  y  x
1) 
2)
1  ( x  1) 2  y  4  x 2 , x  0 .
36
Контрольная работа № 3
Вариант 19.
Задача 1. Даны три последовательные вершины параллелограмма А(1;2), В(-2;3),С(3;1). Не находя координаты вершины D, найти:
1) уравнение стороны AD;
2) уравнение высоты BK, опущенной из вершины В на сторону AD;
3) длину высоты BK;
4) уравнение диагонали BD;
5) тангенс угла между диагоналями параллелограмма.
Записать общие уравнения найденных прямых. Построить чертеж.
Задача 2. Даны точки A(-3;1;3), B(-4;2;-1), C(-2;1;-1), D(-2;3;1). Найти:
1) общее уравнение плоскости АВС;
2) общее уравнение плоскости, проходящей через точку D параллельно
плоскости АВС;
3) расстояние от точки D до плоскости ABC;
4) канонические уравнения прямой АD;
5) канонические уравнения прямой, проходящей через точку B параллельно
прямой AD;
6) синус угла между плоскостью ABC и прямой AD.
Задача
3.
Уравнение
кривой
второго
порядка
2
2
4 x  9 y  24 x  9 y  2,25  0 путем выделения полного квадрата привести к
каноническому виду. Построить кривую.
Задача 4. Кривая задана в полярной системе координат уравнением
  3  2 cos  .
Требуется:
1) найти точки, лежащие на кривой, давая  значения через промежуток,
равный

, начиная от   0 до   2 ;
8
2) построить полученные точки;
3) построить кривую, соединив построенные точки (от руки или с помощью
лекала);
4) составить уравнение этой кривой в прямоугольной декартовой системе
координат.
Задача 5. Построить на плоскости геометрическое место точек,
определяемое неравенствами
 1  x  2
;
 x  y  2
1) 
2)
1  ( x  1) 2  y  4  x 2 , x  0 .
37
Контрольная работа № 3
Вариант 20.
Задача 1. Даны три последовательные вершины параллелограмма А(2;2), В(3;1),С(-1;2). Не находя координаты вершины D, найти:
1) уравнение стороны AD;
2) уравнение высоты BK, опущенной из вершины В на сторону AD;
3) длину высоты BK;
4) уравнение диагонали BD;
5) тангенс угла между диагоналями параллелограмма.
Записать общие уравнения найденных прямых. Построить чертеж.
Задача 2. Даны точки A(2;1;4), B(0;0;2), C(1;-1;6), D(2;-1;2). Найти:
1) общее уравнение плоскости АВС;
2) общее уравнение плоскости, проходящей через точку D параллельно
плоскости АВС;
3) косинус угла между плоскостью 3x  2 y  z  4  0 и плоскостью ABC;
4) канонические уравнения прямой АВ;
5) канонические уравнения прямой, проходящей через точку D параллельно
прямой AB;
6) координаты точки пересечения прямой
Задача
x  2 y 1 z

 и плоскости ABC.
1
2
2
Уравнение
кривой
второго
порядка
16 x  9 y  32 x  18 y  32  0 путем выделения полного квадрата привести к
каноническому виду. Построить кривую.
Задача 4. Кривая задана в полярной системе координат уравнением
2
  2 .
Требуется:
1) найти точки, лежащие на кривой, давая  значения через промежуток,
2
3.
2
равный

, начиная от   0 до   2 ;
8
2) построить полученные точки;
3) построить кривую, соединив построенные точки (от руки или с помощью
лекала);
4) составить уравнение этой кривой в прямоугольной декартовой системе
координат.
Задача 5. Построить на плоскости геометрическое место точек,
определяемое неравенствами
 1  y  2
;
 1  x  y
1) 
2) 0  x  1  ( y  1) 2 .
38
Контрольная работа № 3
Вариант 21.
Задача 1. Даны три последовательные вершины параллелограмма
А(1;0), В(4;-2),С(6;2). Не находя координаты вершины D, найти:
1) уравнение стороны AD;
2) уравнение высоты BK, опущенной из вершины В на сторону AD;
3) длину высоты BK;
4) уравнение диагонали BD;
5) тангенс угла между диагоналями параллелограмма.
Записать общие уравнения найденных прямых. Построить чертеж.
Задача 2. Даны точки A(1;3;4), B(1;1;2), C(-1;2;2), D(0;1;6). Найти:
1) общее уравнение плоскости АВС;
2) общее уравнение плоскости, проходящей через точку D параллельно
плоскости АВС;
3) расстояние от точки D до плоскости ABC;
4) канонические уравнения прямой АВ;
5) канонические уравнения прямой, проходящей через точку D параллельно
прямой AB;
6) общее уравнение плоскости, проходящей через точку D перпендикулярно
прямой AB.
Задача 3. Уравнение кривой второго порядка 3 y 2  x  6 y  5  0 путем
выделения полного квадрата привести к каноническому виду. Построить
кривую.
Задача 4. Кривая задана в полярной системе координат уравнением
1
4
 2  sin 2 .
Требуется:
1) найти точки, лежащие на кривой, давая  значения через промежуток,
равный

, начиная от   0 до   2 ;
8
2) построить полученные точки;
3) построить кривую, соединив построенные точки (от руки или с помощью
лекала);
4) составить уравнение этой кривой в прямоугольной декартовой системе
координат.
Задача 5. Построить на плоскости геометрическое место точек,
определяемое неравенствами
 0  y 1
1) 
;
0  x  y
2)  4  ( x  3) 2  y  0 .
39
Контрольная работа № 3
Вариант 22.
Задача 1. Даны три последовательные вершины параллелограмма А(2;1), В(-2;-3),С(-1;3). Не находя координаты вершины D, найти:
1) уравнение стороны AD;
2) уравнение высоты BK, опущенной из вершины В на сторону AD;
3) длину высоты BK;
4) уравнение диагонали BD;
5) тангенс угла между диагоналями параллелограмма.
Записать общие уравнения найденных прямых. Построить чертеж.
Задача 2. Даны точки A(2;0;3), B(1;1;7), C(0;1;3), D(2;-2;5). Найти:
1) общее уравнение плоскости АВС;
2) общее уравнение плоскости, проходящей через точку D параллельно
плоскости АВС;
3) расстояние от точки D до плоскости ABC;
4) канонические уравнения прямой АВ;
5) канонические уравнения прямой, проходящей через точку D параллельно
прямой AB;
6) канонические уравнения прямой, проходящей через точку D
перпендикулярно плоскости ABC.
Задача 3. Уравнение кривой второго порядка 4 x 2  25 y 2  4 x  50 y  35  0
путем выделения полного квадрата привести к каноническому виду.
Построить кривую.
Задача 4. Кривая задана в полярной системе координат уравнением
  4  sin  .
Требуется:
1) найти точки, лежащие на кривой, давая  значения через промежуток,
равный

, начиная от   0 до   2 ;
8
2) построить полученные точки;
3) построить кривую, соединив построенные точки (от руки или с помощью
лекала);
4) составить уравнение этой кривой в прямоугольной декартовой системе
координат.
Задача 5. Построить на плоскости геометрическое место точек,
определяемое неравенствами
 1 x  2
;
 x  y  3x  5
1) 
2) ( x  1) 2  y  4  ( x  1) 2 .
40
Контрольная работа № 3
Вариант 23.
Задача 1. Даны три последовательные вершины параллелограмма
А(1;3), В(0;2),С(-1;-2). Не находя координаты вершины D, найти:
1) уравнение стороны AD;
2) уравнение высоты BK, опущенной из вершины В на сторону AD;
3) длину высоты BK;
4) уравнение диагонали BD;
5) тангенс угла между диагоналями параллелограмма.
Записать общие уравнения найденных прямых. Построить чертеж.
Задача 2. Даны точки A(-1;-2;-1), B(-3;-2;1), C(-1;0;3), D(-3;1;5). Найти:
1) общее уравнение плоскости АВС;
2) общее уравнение плоскости, проходящей через точку D параллельно
плоскости АВС;
3) канонические уравнения прямой АD;
4) канонические уравнения прямой, проходящей через точку B параллельно
прямой AD;
 x  3t  2
5) косинус угла между прямой AD и прямой  y  2t  1 ;
 z  2t  1

6) синус угла между плоскостью ABC и прямой AD.
Задача 3. Уравнение кривой второго порядка x 2  36 y 2  x  72 y  51,75  0
путем выделения полного квадрата привести к каноническому виду.
Построить кривую.
Задача 4. Кривая задана в полярной системе координат уравнением
  4  cos  .
Требуется:
1) найти точки, лежащие на кривой, давая  значения через промежуток,
равный

, начиная от   0 до   2 ;
8
2) построить полученные точки;
3) построить кривую, соединив построенные точки (от руки или с помощью
лекала);
4) составить уравнение этой кривой в прямоугольной декартовой системе
координат.
Задача 5. Построить на плоскости геометрическое место точек,
определяемое неравенствами


1)  0  x  2 ;
sin x  y  1
2) 1  9  ( x  2) 2  y  1 .
41
Контрольная работа № 3
Вариант 24.
Задача 1. Даны три последовательные вершины параллелограмма А(1;1), В(-1;2),С(3;3). Не находя координаты вершины D, найти:
1) уравнение стороны AD;
2) уравнение высоты BK, опущенной из вершины В на сторону AD;
3) длину высоты BK;
4) уравнение диагонали BD;
5) тангенс угла между диагоналями параллелограмма.
Записать общие уравнения найденных прямых. Построить чертеж.
Задача 2. Даны точки A(-2;5;-3), B(2;-3;1), C(2;-2;-4), D(-3;1;2). Найти:
1) общее уравнение плоскости АВС;
2) общее уравнение плоскости, проходящей через точку D параллельно
плоскости АВС;
3) расстояние от точки D до плоскости ABC;
4) канонические уравнения прямой АВ;
5) канонические уравнения прямой, проходящей через точку D параллельно
прямой AB;
x y  2 z 1


и плоскости ABC.
2
1
2
Задача 3. Уравнение кривой второго порядка 2 y 2  4 y  x  1  0 путем
6) координаты точки пересечения прямой
выделения полного квадрата привести к каноническому виду. Построить
кривую.
Задача 4. Кривая задана в полярной системе координат уравнением
  9 sin 2  .
Требуется:
1) найти точки, лежащие на кривой, давая  значения через промежуток,
равный

, начиная от   0 до   2 ;
8
2) построить полученные точки;
3) построить кривую, соединив построенные точки (от руки или с помощью
лекала);
4) составить уравнение этой кривой в прямоугольной декартовой системе
координат.
Задача 5. Построить на плоскости геометрическое место точек,
определяемое неравенствами
1  x  2
;
3  y  5
1) 
2)  1  4  y 2  x  1 .
42
Контрольная работа № 3
Вариант 25.
Задача 1. Даны три последовательные вершины параллелограмма
А(5;3), В(3;5),С(-1;-2). Не находя координаты вершины D, найти:
1) уравнение стороны AD;
2) уравнение высоты BK, опущенной из вершины В на сторону AD;
3) длину высоты BK;
4) уравнение диагонали BD;
5) тангенс угла между диагоналями параллелограмма.
Записать общие уравнения найденных прямых. Построить чертеж.
Задача 2. Даны точки A(1;3;0), B(-2;1;4), C(2;0;1), D(4;-1;5). Найти:
1) общее уравнение плоскости АВС;
2) общее уравнение плоскости, проходящей через точку D параллельно
плоскости АВС;
3) косинус угла между плоскостью 4 x  3 y  2 z  4  0 и плоскостью ABC;
4) канонические уравнения прямой АВ;
5) канонические уравнения прямой, проходящей через точку D параллельно
прямой AB;
6) общее уравнение плоскости, проходящей через точку D перпендикулярно
прямой AB.
Задача 3. Уравнение кривой второго порядка 9 x 2  4 y 2  36 x  4 y  41  0
путем выделения полного квадрата привести к каноническому виду.
Построить кривую.
Задача 4. Кривая задана в полярной системе координат уравнением
 .
Требуется:
1) найти точки, лежащие на кривой, давая  значения через промежуток,
равный

, начиная от   0 до   2 ;
8
2) построить полученные точки;
3) построить кривую, соединив построенные точки (от руки или с помощью
лекала);
4) составить уравнение этой кривой в прямоугольной декартовой системе
координат.
Задача 5. Построить на плоскости геометрическое место точек,
определяемое неравенствами
 1 x  2
;
0  y  x  1
1) 
2) 1  9  y 2  x  1 .
43
Контрольная работа № 3
Вариант 26.
Задача 1. Даны три последовательные вершины параллелограмма
А(2;3), В(1;-1),С(-4;1). Не находя координаты вершины D, найти:
1) уравнение стороны AD;
2) уравнение высоты BK, опущенной из вершины В на сторону AD;
3) длину высоты BK;
4) уравнение диагонали BD;
5) тангенс угла между диагоналями параллелограмма.
Записать общие уравнения найденных прямых. Построить чертеж.
Задача 2. Даны точки A(-1;5;-2), B(1;2;2), C(2;4;-3), D(0;1;-2). Найти:
1) общее уравнение плоскости АВС;
2) общее уравнение плоскости, проходящей через точку D параллельно
плоскости АВС;
3) расстояние от точки D до плоскости ABC;
4) канонические уравнения прямой АВ;
5) канонические уравнения прямой, проходящей через точку D параллельно
прямой AB;
6) канонические уравнения прямой, проходящей через точку D
перпендикулярно плоскости ABC.
Задача 3. Уравнение кривой второго порядка 36 x 2  y 2  36 x  2 y  1  0
путем выделения полного квадрата привести к каноническому виду.
Построить кривую.
Задача 4. Кривая задана в полярной системе координат уравнением
2
  9 cos 2 .
Требуется:
1) найти точки, лежащие на кривой, давая  значения через промежуток,
равный

, начиная от   0 до   2 ;
8
2) построить полученные точки;
3) построить кривую, соединив построенные точки (от руки или с помощью
лекала);
4) составить уравнение этой кривой в прямоугольной декартовой системе
координат.
Задача 5. Построить на плоскости геометрическое место точек,
определяемое неравенствами
1  x  0
;
 x  y  2 x  1

1) 
2
2) 3  4  x 2  y  3 .
44
Контрольная работа № 3
Вариант 27.
Задача 1. Даны три последовательные вершины параллелограмма А(3;1), В(4;2),С(2;-3). Не находя координаты вершины D, найти:
1) уравнение стороны AD;
2) уравнение высоты BK, опущенной из вершины В на сторону AD;
3) длину высоты BK;
4) уравнение диагонали BD;
5) тангенс угла между диагоналями параллелограмма.
Записать общие уравнения найденных прямых. Построить чертеж.
Задача 2. Даны точки A(-1;2;0), B(2;1;5), C(3;3;-4), D(3;-1;-2). Найти:
1) общее уравнение плоскости АВС;
2) общее уравнение плоскости, проходящей через точку D параллельно
плоскости АВС;
3) расстояние от точки D до плоскости ABC;
4) канонические уравнения прямой АD;
5) канонические уравнения прямой, проходящей через точку B параллельно
прямой AD;
6) синус угла между плоскостью ABC и прямой AD.
Задача 3. Уравнение кривой второго порядка 4 x 2  4 x  y  3  0 путем
выделения полного квадрата привести к каноническому виду. Построить
кривую.
Задача 4. Кривая задана в полярной системе координат уравнением
  3 cos 2 .
Требуется:
1) найти точки, лежащие на кривой, давая  значения через промежуток,
равный

, начиная от   0 до   2 ;
8
2) построить полученные точки;
3) построить кривую, соединив построенные точки (от руки или с помощью
лекала);
4) составить уравнение этой кривой в прямоугольной декартовой системе
координат.
Задача 5. Построить на плоскости геометрическое место точек,
определяемое неравенствами
1  x  1
;
2
0  y  x
1) 
2) 2  y  2  25  ( x  1) 2 .
45
Контрольная работа № 3
Вариант 28.
Задача 1. Даны три последовательные вершины параллелограмма А(3;-1), В(2;2),С(4;-1). Не находя координаты вершины D, найти:
1) уравнение стороны AD;
2) уравнение высоты BK, опущенной из вершины В на сторону AD;
3) длину высоты BK;
4) уравнение диагонали BD;
5) тангенс угла между диагоналями параллелограмма.
Записать общие уравнения найденных прямых. Построить чертеж.
Задача 2. Даны точки A(-3;0;-1), B(0;3;2), C(-1;1;-2), D(3;2;-4). Найти:
1) общее уравнение плоскости АВС;
2) общее уравнение плоскости, проходящей через точку D параллельно
плоскости АВС;
3) канонические уравнения прямой АВ;
4) канонические уравнения прямой, проходящей через точку D параллельно
прямой AB;
 x  2t  2
5) косинус угла между прямой AB и прямой  y  5t  3 ;
 z  t  15

6) координаты точки пересечения прямой
x 1 y  2 z 1


и плоскости
2
1
2
ABC.
Задача 3. Уравнение кривой второго порядка 4 x 2  16 y 2  8x  16 y  13  0
путем выделения полного квадрата привести к каноническому виду.
Построить кривую.
Задача 4. Кривая задана в полярной системе координат уравнением
  1  sin 2 .
Требуется:
1) найти точки, лежащие на кривой, давая  значения через промежуток,
равный

, начиная от   0 до   2 ;
8
2) построить полученные точки;
3) построить кривую, соединив построенные точки (от руки или с помощью
лекала);
4) составить уравнение этой кривой в прямоугольной декартовой системе
координат.
Задача 5. Построить на плоскости геометрическое место точек,
определяемое неравенствами
 1  x  1
;
2
x  y  1
1) 
2)  2  y  2  25  ( x  1) 2 .
46
Контрольная работа № 3
Вариант 29.
Задача 1. Даны три последовательные вершины параллелограмма А(2;5), В(-4;1),С(1;3). Не находя координаты вершины D, найти:
1) уравнение стороны AD;
2) уравнение высоты BK, опущенной из вершины В на сторону AD;
3) длину высоты BK;
4) уравнение диагонали BD;
5) тангенс угла между диагоналями параллелограмма.
Записать общие уравнения найденных прямых. Построить чертеж.
Задача 2. Даны точки A(2;1;0), B(-1;3;2), C(2;-3;1), D(-3;0;-2). Найти:
1) общее уравнение плоскости АВС;
2) общее уравнение плоскости, проходящей через точку D параллельно
плоскости АВС;
3) расстояние от точки D до плоскости ABC;
4) канонические уравнения прямой АВ;
5) канонические уравнения прямой, проходящей через точку D параллельно
прямой AB;
6) общее уравнение плоскости, проходящей через точку D перпендикулярно
прямой AB.
Задача 3. Уравнение кривой второго порядка 2 y 2  3x  2 y  2,5  0 путем
выделения полного квадрата привести к каноническому виду. Построить
кривую.
Задача 4. Кривая задана в полярной системе координат уравнением
2
  4 .
Требуется:
1) найти точки, лежащие на кривой, давая  значения через промежуток,
равный

, начиная от   0 до   2 ;
8
2) построить полученные точки;
3) построить кривую, соединив построенные точки (от руки или с помощью
лекала);
4) составить уравнение этой кривой в прямоугольной декартовой системе
координат.
Задача 5. Построить на плоскости геометрическое место точек,
определяемое неравенствами
 1  x  2
1) 
;
0  y  x
2) 1  16  x 2  y  1 .
47
Контрольная работа № 3
Вариант 30.
Задача 1. Даны три последовательные вершины параллелограмма А(3;4), В(-1;-1),С(4;2). Не находя координаты вершины D, найти:
1) уравнение стороны AD;
2) уравнение высоты BK, опущенной из вершины В на сторону AD;
3) длину высоты BK;
4) уравнение диагонали BD;
5) тангенс угла между диагоналями параллелограмма.
Записать общие уравнения найденных прямых. Построить чертеж.
Задача 2. Даны точки A(5;-3;2), B(3;2;-1), C(4;-2;1), D(3;1;0). Найти:
1) общее уравнение плоскости АВС;
2) общее уравнение плоскости, проходящей через точку D параллельно
плоскости АВС;
3) косинус угла между плоскостью 3x  5 y  2 z  4  0 и плоскостью ABC;
4) канонические уравнения прямой АВ;
5) канонические уравнения прямой, проходящей через точку D параллельно
прямой AB;
6) канонические уравнения прямой, проходящей через точку D
перпендикулярно плоскости ABC.
Задача 3. Уравнение кривой второго порядка x 2  36 y 2  6 x  72 y  36  0
путем выделения полного квадрата привести к каноническому виду.
Построить кривую.
Задача 4. Кривая задана в полярной системе координат уравнением
  3  4 cos  .
Требуется:
1) найти точки, лежащие на кривой, давая  значения через промежуток,
равный

, начиная от   0 до   2 ;
8
2) построить полученные точки;
3) построить кривую, соединив построенные точки (от руки или с помощью
лекала);
4) составить уравнение этой кривой в прямоугольной декартовой системе
координат.
Задача 5. Построить на плоскости геометрическое место точек,
определяемое неравенствами
 1  x  1
1) 
2 ;
x  y  4 x
2) 1  y  1  16  ( x  2) 2 .
48