Контрольная работа №3 Аналитическая геометрия 1 ТЕМА 3. Аналитическая геометрия 1. 2. 3. 4. Уравнения линии в декартовой системе координат. Параметрические уравнения линии. Плоскость, прямая на плоскости и в пространстве. Линии второго порядка. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра: Учеб. для вузов.-5-е изд., стер. - М.: Физматлит, 2002. – 317 с. Беклемишев Д. В. Курс линейной алгебры и аналитической геометрии: - М.: Физматлит, 2003. – 303 с. Клетеник Д. В. Сборник задач по аналитической геометрии: Учеб. пособие для втузов / ред. Ефимов Н. В. – 17-е изд., стер. – СПб: Профессия, 2001. – 199 с. Привалов И. И. Аналитическая геометрия: Учеб. – 33-е изд., стер. – СПб; М.: Лань, 2004. – 299 с. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: Полн. курс.-2-е изд.-М.: Айрис-пресс, 2004.-603 с. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика: Учеб.для вузов:в 3т.-5-е изд.,стер.-М.:Дрофа.- (Высшее образование. Современный учебник). т.1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.-2003.-284 с. Данко П.Е. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах (с решениями): в 2 ч./ Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я.-6-е изд..-М.: ОНИКС 21 век, ч.2. -2002.-416 с. Черненко В.Д. Высшая математика в примерах и задачах: учеб. пособие в 3 т.-СПб: Политехника. т.1. -2003.-704 с. Решение типового варианта контрольной работы Задача №1. Даны три последовательные вершины параллелограмма А(2;-3), В(5;1),С(3;-4). Не находя координаты вершины D, найти: 1) уравнение стороны AD; 2) уравнение высоты BK, опущенной из вершины В на сторону AD; 3) длину высоты BK; 4) уравнение диагонали BD; 5) тангенс угла между диагоналями параллелограмма. Записать общие уравнения найденных прямых. Построить чертеж. Решение. Сначала построим чертеж. Построим в прямоугольной декартовой системе координат точки А(2;3) , B (5;1) , C (3;4) . Построим отрезки AB и BC . 2 y B x O A C Рис. 1 Достроим полученный рисунок до параллелограмма и нанесем на чертеж высоту BK. y B x O A K E C D Рис. 2 Составим уравнение прямой AD. а) Предварительно найдем уравнение прямой BС. Уравнение прямой, проходящей через точки M 1 ( x1 ; y1 ) и M 2 ( x2 ; y2 ) , имеет вид 1) x x1 y y1 x2 x1 y 2 y1 (3.1) 3 По условию В (5;1) , С (3;4) . Подставим координаты точек В и С в уравнение (3.1): x5 y 1 x 5 y 1 , т.е. . 3 5 4 1 2 5 Запишем полученное уравнение в общем виде, то есть в виде Ax By C 0 . Для этого в последнем уравнении избавимся от знаменателей 5( x 5) 2( y 1) и проведем преобразования, перенося все слагаемые в левую часть равенства: 5 x 2 y 23 0 или 5 x 2 y 23 0 . 5 2 Из этого уравнения выразим y : 2 y 5 x 23 ; y x 23 . Получили 2 уравнение вида y kx b - уравнение с угловым коэффициентом. б) Воспользуемся тем фактом, что противоположные стороны параллелограмма параллельны. Составим искомое уравнение прямой AD как уравнение прямой, проходящей через точку А параллельно прямой ВС . Уравнение прямой, проходящей через данную точку М ( x0 ; y0 ) в данном направлении, имеет вид y y 0 k ( x x0 ) (3.2) где направление определяется угловым коэффициентом k . Условие параллельности двух прямых y kx b и y k1 x b1 имеет вид (3.3) k k1 5 2 23 . Подставим 2 координаты точки А в уравнение (3.2): y 3 k ( x 2) . Так как прямая AD По условию задачи А(2;3) , прямая ВС : y x параллельна прямой BC , то в силу формулы (3.3) их угловые коэффициенты совпадают. Угловой коэффициент прямой BC равен 5 , 2 5 2 следовательно, уравнение прямой AD имеет вид y 3 ( x 2) . Запишем уравнение прямой AD в общем виде. Для этого раскроем 5 2 скобки и все слагаемые перенесем в левую часть равенства: x y 8 0 . Умножим обе часть равенства на (-2) и получим общее уравнение прямой AD : 5 x 2 y 16 0 . Запишем уравнение прямой AD в виде с угловым коэффициентом. 5 2 Для этого выразим y из общего уравнения: y x 8 . 2) Составим уравнение высоты BK , проведенной из вершины B на сторону AD как уравнение прямой, проходящей через точку B перпендикулярно прямой AD . Условие перпендикулярности двух прямых y kx b и y k1 x b1 имеет вид k 1 k1 (3.4) 4 Подставим координаты точки В в уравнение (3.2): y 1 k ( x 5) . Так как высота BK перпендикулярна прямой AD , то их угловые коэффициенты связаны соотношением (3.4). Угловой коэффициент 5 , следовательно, угловой коэффициент высоты BK 2 2 2 равен и уравнение прямой BK имеет вид y 1 ( x 5) . Запишем 5 5 уравнение высоты BK в общем виде: 2 x 5 y 15 0 . Запишем это же 2 уравнение в виде с угловым коэффициентом: y x 3 . 5 3) Найдем длину высоты BK как расстояние от точки В до прямой AD . Расстояние d от точки M 0 ( x0 ; y0 ) до прямой Ax By C 0 прямой AD равен представляет собой длину перпендикуляра, опущенного из точки на прямую и определяется формулой d Ax0 By 0 C (3.5) A2 B 2 Так как BK перпендикулярна AD , то длина BK может быть найдена с помощью формулы (3.5). По условию B (5;1) , прямая AD определяется уравнением 5 x 2 y 16 0 . В силу формулы (3.5) длина высоты BK равна d 4) 5 5 2 1 16 5 ( 2 ) 2 2 7 25 4 = 7 . 29 Найдем уравнение диагонали BD как уравнение прямой, проходящей через точки B и E , где E - середина отрезка AC . а) Если А( x1 ; y1 ) и C( x2 ; y2 ) , то координаты точки Е ( x0 ; y0 ) - середины отрезка AC , определяются формулами x0 x1 x2 2 y0 y1 y 2 2 (3.6) По условию A(2;3) , C (3;4) . В силу формул (3.6) имеем: x0 y0 34 7 5 7 . Следовательно E ( ; ) . 2 2 2 2 23 5 , 2 2 б) Так как точка пересечения диагоналей является их серединой, то точка E (середина отрезка АС ) является точкой пересечения диагоналей и диагональ BD проходит через точку E . 5 2 7 2 Воспользуемся уравнением (3.1). По условию B (5;1) , E ( ; ) . В силу формулы (3.1) уравнение прямой BE (диагонали BD ) имеет вид: x5 y 1 x 5 y 1 или . Запишем это уравнение в общем виде: 5 7 5 9 5 1 2 2 2 2 9 x 5 y 40 0 . Запишем это же уравнение в виде с угловым 9 коэффициентом: y x 8 . 5 5) Найдем тангенс угла между диагоналями BD и AC . 5 а) Найдем уравнение диагонали AC как уравнение прямой, проходящей через две данные точки. Воспользуемся уравнением (3.1). По условию A(2;3) , C (3;4) . x2 y3 . Общее уравнение диагонали AC имеет вид 32 43 x y 1 0 , уравнение с угловым коэффициентом – вид y x 1 , угловой Следовательно, коэффициент k1 прямой AC равен 1 . б) 9 5 Уравнение диагонали BD имеет вид y x 8 , ее угловой 9 5 коэффициент k 2 . в) Тангенс угла определяется формулой между прямыми tg y k1x b1 и y k 2 x b2 k 2 k1 1 k1k 2 9 14 (1) 7 7 5 . Отсюда arctg . Следовательно, tg 5 9 4 2 2 1 (1) 5 5 Задача №2. Условие задачи №2 несколько различается в зависимости от номера варианта контрольной работы. Приведем решения простейших задач, входящих в это задание. 1) Составить уравнение плоскости, проходящей через точки А(1;3;2) , B (2;1;0) , C (4;2;3) . Решение. Уравнение плоскости, проходящей через точки A( x1 ; y1 ; z1 ) , B( x2 ; y2 ; z 2 ) , C ( x3 ; y3 ; z 3 ) имеет вид: x x1 y y1 z z1 x2 x1 x3 x1 y 2 y1 y3 y1 z 2 z1 0 z 3 z1 (3.7) Тогда уравнение плоскости ABC в силу уравнения (3.7) имеет вид x 1 y 3 z 2 z2 0 2 0 или 3 2 2 0. 3 1 5 23 3 2 x 1 y 3 2 1 1 3 4 1 Запишем полученное уравнение в общем виде, т.е. в виде Ax By Cz D 0 . Для этого раскроем определитель по первой строке ( x 1) (10 2) ( y 3) (15 6) ( z 2) (3 6) 0 . После преобразований получим: 8 x 21y 9 z 37 0 . 2) Найти нормальный вектор плоскости 2 x 3 y z 5 0 . Решение. 6 Нормальный вектор N - это вектор, перпендикулярный плоскости. Если плоскость задана общим уравнением Ax By Cz D 0 , то нормальный вектор имеет координаты A, B, C. N Р Рис. 3 2 x 3 y z 5 0 нормальным Для плоскости является вектор N = 2;3;1. Отметим, что любой вектор, коллинеарный вектору N = 2;3;1 так же является нормальным вектором плоскости 2 x 3 y z 5 0 . Таким образом, при каждом ненулевом вектор с координатами 2;3; будет являться нормальным вектором рассматриваемой плоскости. 3) Найти косинус угла между плоскостями 2 x 3 y z 4 0 и x 5 y 4 z 0 . Решение. Угол между двумя плоскостями P1 : A1 x B1 y C1 z D1 0 и P2 : A2 x B2 y C2 z D2 0 представляет собой угол между их нормальными векторами и определяется равенством cos A1 A2 B1 B2 C1C 2 A B12 C12 A22 B22 C 22 2 1 Для плоскости 2 x 3 y z 4 0 координаты нормального вектора N 1 A1 ; B1 ; C1 определяются равенствами A1 2 , B1 3 , C1 1. Для плоскости x 5 y 4 z 0 - равенствами A2 1, B2 5 , C 2 4 . Следовательно, cos 4) 2 1 (3) 5 1 4 2 2 (3) 2 12 12 5 2 4 2 = 2 15 4 9 9 9 3 3 . 14 4 9 1 1 25 16 14 42 588 14 3 Составить уравнение плоскости P , проходящей через точку M 0 (1;2;5) параллельно плоскости P1 : 2 x 3 y z 5 0 . Решение. Уравнение плоскости, проходящей через точку M 0 ( x0 ; y0 ; z 0 ) , имеет вид A( x x0 ) B( y y0 ) C ( z z 0 ) 0 (3.8) 7 Подставим в уравнение (3.8) координаты точки M0 : A( x 1) B( y 2) C ( z 5) 0 . Условие параллельности плоскостей и A1 x B1 y C1 z D1 0 A2 x B2 y C2 z D2 0 имеет вид A1 B1 C1 A2 B2 C 2 (3.9) Так как плоскости P и P1 параллельны, то в качестве нормального вектора N плоскости P можно взять нормальный вектор N1 2;3;1 A B C можно принять 2 3 1 равным единице. Следовательно, уравнение плоскости P1 примет вид 2( x 1) 3( y 2) ( z 5) 0 . Запишем это уравнение в общем виде: плоскости P1 , т.е. в формуле (3.9) отношение 2x 3y z 9 0 . 5) Найти расстояние от точки M 0 (1,3,2) до плоскости P : 3x 2 y 4 z 5 0 . Решение. Расстояние d от точки M 0 ( x0 ; y0 ; z 0 ) до плоскости P : Ax By Cz D 0 представляет собой длину перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость, и определяется формулой d Ax0 By 0 Cz 0 D (3.10) A2 B 2 C 2 Для плоскости 3x 2 y 4 z 5 0 координаты нормального вектора N A; B; C определяются равенствами A 3 , B 2 , C 4 . Следовательно, 3 1 2 3 4 (2) 5 16 16 d . 2 2 2 9 4 16 29 3 (2) 4 6) Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точки M 1 (1;2;3) и M 2 (3;1;2) . Решение. Уравнения прямой, проходящей через точки M 1 ( x1 ; y1 ; z1 ) и M 2 ( x2 ; y2 ; z 2 ) имеют вид x x1 y y1 z z1 x2 x1 y 2 y1 z 2 z1 (3.11) Так как M 1 (1;2;3) , M 2 (3;1;2) , то в силу (3.11) получим уравнения x 1 y 2 z 3 x 1 y 2 z 3 или . 3 1 1 2 2 3 2 3 1 7) Найти направляющий вектор прямой x 1 y 1 z . 2 3 2 Решение. Направляющий вектор s - это вектор, параллельный прямой. 8 Если прямая задана каноническими уравнениями x x0 y y 0 z z 0 , то направляющий вектор s имеет координаты p q r p; q; r. s l Рис. 4 Для рассматриваемой x 1 y 1 z 2 3 2 прямой направляющим вектором является вектор s 2;3;2. Отметим, что любой вектор, коллинеарный вектору s 2;3;2 так же x 1 y 1 z . Таким 2 3 2 образом, при каждом ненулевом вектор с координатами 2;3;2 является направляющим вектором прямой будет являться направляющим вектором рассматриваемой прямой. 8) Найти косинус угла между прямыми x5 y z6 . 3 4 1 x7 y 3 z 5 2 2 3 и x x1 y y1 z z1 p1 q1 r1 и Решение. Угол l2 : между x x2 y y 2 z z 2 p2 q2 r2 двумя прямыми представляет l1 : собой угол между их направляющими векторами и определяется равенством cos p1 p2 q1q2 r1r2 p q12 r12 p22 q 22 r22 x7 y 3 z 5 Для прямой координаты направляющего вектора 2 2 3 s1 p1 ; q1 ; r1 определяются равенствами p1 2 , q1 2 , r1 3 . Для прямой x5 y z6 - равенствами p2 3 , q2 4 , r2 1 . Значит, 3 4 1 2 3 (2) (4) 3 1 683 17 17 cos . 2 2 2 2 2 2 17 26 17 26 26 2 (2) 3 3 (4) 1 9) 2 1 Составить канонические уравнения прямой l , проходящей через точку M 0 (3;2;1) параллельно прямой l1 : x5 y 7 z 6 . 4 2 3 9 Решение. Канонические уравнения прямой имеют вид x x0 y y 0 z z 0 . p q r Здесь ( x0 ; y0 ; z 0 ) - координаты точки, через которую проходит прямая. В канонические уравнения прямой l подставим координаты точки M 0 . Получим: Условие x 3 y 2 z 1 . p q r параллельности прямых x x1 y y1 z z1 p1 q1 r1 x x2 y y 2 z z 2 имеет вид p2 q2 r2 p1 q1 r1 p2 q2 r2 и (3.12) Так как прямые l и l1 параллельны, то в качестве направляющего вектора s прямой l можно взять направляющий вектор s1 4;2;3 прямой p q r можно принять равным 4 2 3 уравнение прямой примет вид l l1 , т.е. в формуле (3.12) отношение единице. Следовательно, x 3 y 2 z 1 . 4 2 3 x 1 y 2 z 4 5 3 1 10) Найти угол между прямой l : и плоскостью P : 2 x y 3z 4 0 . Решение. Углом между прямой и плоскостью называется угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость. Угол между прямой и плоскостью равен 2 , где - угол между направляющим вектором s прямой и нормальным вектором N плоскости. ― N l s­ ψ φ P Рис. 5 Угол между прямой l: x x0 y y 0 z z 0 p q r и плоскостью P : Ax By Cz D 0 определяется формулой 10 sin Ap Bq Cr A B C 2 p2 q2 r 2 2 2 Для плоскости P : 2 x y 3z 4 0 координаты нормального вектора N A; B; C определяются равенствами A 2 , B 1 , C 3 . Для прямой l : x 1 y 2 z 4 координаты направляющего вектора s p; q; r 5 3 1 равенствами p 5 , q 3 , r 1 . Синус угла между прямой и плоскостью 2 5 (1) 3 3 (1) 4 4 sin равен = . 14 35 490 2 2 (1) 2 3 2 5 2 3 2 (1) 2 Следовательно, arcsin 4 . 490 11) Составить уравнение плоскости P , проходящей через точку M 0 (1,2,3) перпендикулярно прямой l : x3 y 5 z 0 . 4 1 2 Решение. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку, имеет вид A( x x0 ) B( y y0 ) C ( z z 0 ) 0 . Подставим в указанное уравнение координаты точки M 0 . Получим: A( x 1) B( y 2) C ( z 3) 0 . Условие перпендикулярности плоскости Ax By Cz D 0 и прямой x x0 y y 0 z z 0 имеет вид p q r A B C (3.13) p q r Так как искомая плоскость P перпендикулярна прямой l , то в качестве нормального вектора N плоскости можно взять направляющий A B C вектор s 4,1,2 прямой l , т.е. в формуле (3.13) отношение 4 1 2 можно принять равным единице. Следовательно, уравнение плоскости P примет вид 4 ( x 1) 1 ( y 2) (2) ( z 3) 0 . Запишем это уравнение в общем виде: 4 x y 2 z 8 0 . 12) Составить канонические уравнения прямой l , проходящей через точку M 0 (5;3;2) перпендикулярно плоскости P : x 4 y z 0 . Решение. Канонические уравнения прямой, проходящей через данную точку, имеют вид x x0 y y 0 z z 0 . p q r Подставим в эти уравнения координаты точки M 0 . Получим: x5 y 3 z 2 p q r 11 Условие перпендикулярности прямой плоскости Ax By Cz D 0 имеет вид x x0 y y 0 z z 0 p q r и A B C . p q r Так как прямая l перпендикулярна плоскости P , то в качестве направляющего вектора s прямой l можно взять нормальный вектор 1 4 1 можно p q r принять равным единице. Следовательно, уравнение прямой l примет вид: x5 y 3 z 2 . 1 4 1 x 1 y z 1 13) Найти координаты точки пересечения прямой l : и 2 3 1 плоскости P : x 2 y z 5 0 . N 1;4;1 плоскости P , т.е. в формуле (3.13) отношение Решение. x x0 pt Координаты точки M 0 ( x0 ; y0 ; z 0 ) пересечения прямой y y 0 qt и z z rt 0 плоскости Ax By Cz D 0 представляют собой решение системы Ax By Cz D 0 x x pt 0 y y 0 qt z z 0 rt (3.14) x 1 2t Запишем параметрические уравнения прямой l : y 3t и z 1 t подставим выражения для x, y, z в уравнение плоскости P : (1 2t ) 2 3t (1 t ) 5 0 . Отсюда 7t 7 0 ; t 1 . Подставим найденное x 1 значение t в параметрические уравнения прямой l : y 3 . z 2 Следовательно, M 0 (1;3;2) . Задача №3. К кривым второго порядка относятся эллипс (рис.6), гипербола (рис. 7 и 8), парабола (рис. 9-12). Приведем рисунки и канонические уравнения этих кривых. Эллипс x2 y2 1 a2 b2 12 (0,b) y (-a,0) (a,0) OO x (0,-b) Рис. 6 Гипербола x2 y2 1 a2 b2 Гипербола x2 y2 1 . a2 b2 y y (0,b) (0,b) (-a,0) (-a,0) (a,0) (a,0) x x (0,-b) (0,-b) Рис. 7 Рис. 8 Парабола y 2 2 px Парабола y 2 2 px y O y x O Щ x x p x 2 Рис. 9 Парабола x 2 2 py p 2 Рис. 10 Парабола x 2 2 py 13 y y y O y O Щ x p 2 x p 2 Рис. 11 Рис. 12 Приведем примеры решения задачи №3. Пример 1. Привести уравнение кривой второго порядка 2 4 x y 2 16 x 2 y 8 0 к каноническому виду и построить кривую. Решение. Для приведения уравнения кривой второго порядка к каноническому виду применяют метод выделения полного квадрата. Сгруппируем слагаемые, содержащие текущие координаты. 2 2 2 2 Коэффициенты при x и y вынесем за скобки: 4( x 4 x) ( y 2 y) 8 0 . Выделим полный квадрат: 4( x 2 4 x 4) ( y 2 2 y 1) 8 16 1 0 . Отсюда 4( x 2) 2 ( y 1) 2 1. 25 25 ( x 2) 2 ( y 1) 2 Запишем полученное уравнение в каноническом виде: 1. 25 25 4 4( x 2) 2 ( y 1) 2 25 . Разделим обе части равенства на 25: Выполним параллельный перенос осей координат по формулам X x x0 . При таком преобразовании начало координат переносится в точку Y y y 0 ( x0 , y0 ) , уравнение эллипса принимает канонический вид X2 Y2 1. a2 b2 5 2 В нашем примере x0 2 , y 0 1, a , b 5 . Итак, рассматриваемое уравнение определяет эллипс с центром в точке С (2;1) и полуосями 5 и 5. 2 y 6 1 х -4,5 0,5 -2 -4 Рис. 13 14 Пример 2. Привести уравнение кривой второго порядка 4 x 16 x 2 y 1 0 к каноническому виду и построить кривую. Решение. Как и в предыдущем примере, сгруппируем слагаемые, содержащие текущие координаты: 4( x 2 4 x) 2 y 1 0 . В скобках выделим полный квадрат: 4( x 2 4 x 4) 16 2 y 1 0 ; 2 1 15 (y ) . 2 2 X x2 Выполним замену переменных Y y 15 . После этого преобразования 2 1 уравнение параболы принимает канонический вид X 2 Y , вершина 2 15 параболы в системе координат Oxy расположена в точке C (2; ) . 2 y 4( x 2) 2 2 y 15 . Отсюда ( x 2) 2 х -2 15 2 Рис. 14 Задача №4. Кривая задана в полярной системе координат уравнением 1 cos . Требуется: 1) найти точки, лежащие на кривой, давая значения через промежуток, равный , начиная от 0 до 2 ; 8 2) построить полученные точки; 3) построить кривую, соединив построенные точки (от руки или с помощью лекала); 4) составить уравнение этой кривой в прямоугольной декартовой системе координат. Решение. Сначала построим таблицу значений и : 0 3 5 3 7 9 5 11 3 13 7 15 8 4 8 2 8 4 8 8 4 8 2 8 4 8 2,0 1,9 1,7 1,3 1,0 0,6 0,2 0,0 0,0 0,0 0,2 0,6 1,0 1,3 1,7 1,9 0 2 1 8 0 2 9 8 0 8 9 2 0 8 1 2 15 Построим эти точки в полярной системе координат. Полярная система координат состоит из начала координат O (полюса) и полярной оси OP . Координаты точки M в полярной системе координат определяются расстоянием от полюса (полярным радиусом) и углом между направлением полярной оси и полярным радиусом (полярным углом). Для того, чтобы построить точку M , необходимо построить луч, выходящий из точки O под углом к полярной оси; отложить на этом луче отрезок длиной . M O P Рис. 15 Построим все точки, определенные в таблице и соединим их плавной линией Р О 2 Рис. 16 Запишем уравнение рассматриваемой кривой в прямоугольной декартовой системе координат. Для этого воспользуемся формулами перехода от декартовой к полярной системе координат. Если полюс совпадает с началом координат прямоугольной декартовой системы координат, полярная ось – с осью абсцисс, то между ( x; y ) прямоугольными декартовыми координатами и полярными координатами ( ; ) существует следующая связь: x cos , y sin x 2 y 2 y tg x Откуда 16 cos sin x x2 y2 y x2 y2 y М ρ y х φ О х P Рис. 17 Итак, в уравнении исходной кривой x 2 y 2 , cos Поэтому уравнение 1 cos принимает вид x2 y2 1 x x2 y2 x x2 y2 . . После преобразований получим уравнение x 2 y 2 x 2 y 2 x . Задача №5. Построить на плоскости геометрическое место точек, определяемое неравенствами 1) 1 x 2 2 y 2x y 0 2) 36 ( x 3) 2 y 3 0 Решение. Для того, чтобы решить неравенство F ( x, y ) 0 на плоскости, надо построить график линии F ( x, y ) 0 . Кривая F ( x; y ) 0 разбивает плоскость на части, в каждой из которых выражение F ( x; y ) сохраняет свой знак. Выбирая пробную точку в каждой из этих частей, найдем часть плоскости, являющуюся искомым решением неравенства. 1) Построим прямые x 1 и x 2 , заштрихуем область, в которой 1 x 2 . Затем построим параболу y 2 2 x и заштрихуем область, содержащую ось симметрии параболы (расположенную внутри параболы); построим прямую y 0 и заштрихуем область, лежащую выше прямой. Пересечение всех заштрихованных областей и определит множество точек, представляющих решение рассматриваемой системы. 17 y x O 1 2 Рис. 18 2) Построим линию, определяемую уравнением y 3 36 ( x 3) 2 . Эта линия представляет собой ту часть окружности ( y 3) 2 36 ( x 3) 2 или ( x 3) 2 ( y 3) 2 36 , на которой y 3 0 . Далее построим прямую y 3 0 ( y 3 ). Решением рассматриваемого двойного неравенства является часть плоскости, расположенная между нижней половиной окружности ( x 3) 2 ( y 3) 2 36 с центром в точке (3,3) радиуса 6 прямой y 3. y 3 x -6 -3 O o Рис. 19 18 Контрольная работа № 3 Вариант 1. Задача 1. Даны три последовательные вершины параллелограмма А(1;2), В(-1;3),С(-4;-2). Не находя координаты вершины D, найти: 6) уравнение стороны AD; 7) уравнение высоты BK, опущенной из вершины В на сторону AD; 8) длину высоты BK; 9) уравнение диагонали BD; 10) тангенс угла между диагоналями параллелограмма. Записать общие уравнения найденных прямых. Построить чертеж. Задача 2. Даны точки A(1;2;3), B(-1;3;5), C(2;0;4), D(3;-1;2). Найти: 1) общее уравнение плоскости АВС; 2) общее уравнение плоскости, проходящей через точку D параллельно плоскости АВС; 3) расстояние от точки D до плоскости ABC; 4) канонические уравнения прямой АВ; 5) канонические уравнения прямой, проходящей через точку D параллельно прямой AB; 6) общее уравнение плоскости, проходящей через точку D перпендикулярно прямой AB. Задача 3. Уравнение второго порядка 2 x 2 9 y 2 4 x 6 y 2 0 путем выделения полного квадрата привести к каноническому виду. Построить кривую, определяемую этим уравнением. Задача 4. Кривая задана в полярной системе координат уравнением 3 . Требуется: 5) найти точки, лежащие на кривой, давая значения через промежуток, равный , начиная от 0 до 2 ; 8 6) построить полученные точки; 7) построить кривую, соединив построенные точки (от руки или с помощью лекала); 8) составить уравнение этой кривой в прямоугольной декартовой системе координат. Задача 5. Построить на плоскости геометрическое место точек, определяемое неравенствами 1 x 2 ; x y 2x 1) y 9 x2 2) x 0, y 0 19 Контрольная работа № 3 Вариант 2. Задача 1. Даны три последовательные вершины параллелограмма А(1;2), В(1;-3),С(4;0). Не находя координаты вершины D, найти: 1) уравнение стороны AD; 2) уравнение высоты BK, опущенной из вершины В на сторону AD; 3) длину высоты BK; 4) уравнение диагонали BD; 5) тангенс угла между диагоналями параллелограмма. Записать общие уравнения найденных прямых. Построить чертеж. Задача 2. Даны точки A(1;-2;3), B(2;0;5), C(-1;3;4), D(-2;1;-2). Найти: 1) общее уравнение плоскости АВС; 2) общее уравнение плоскости, проходящей через точку D параллельно плоскости АВС; 3) расстояние от точки D до плоскости ABC; 4) канонические уравнения прямой АВ; 5) канонические уравнения прямой, проходящей через точку D параллельно прямой AB; 6) канонические уравнения прямой, проходящей через точку D перпендикулярно плоскости ABC. Задача 3. Уравнение кривой второго порядка x 2 4 y 2 6 x 4 y 8 0 путем выделения полного квадрата привести к каноническому виду. Построить кривую. Задача 4. Кривая задана в полярной системе координат уравнением 4сos . Требуется: 1) найти точки, лежащие на кривой, давая значения через промежуток, равный , начиная от 0 до 2 ; 8 2) построить полученные точки; 3) построить кривую, соединив построенные точки (от руки или с помощью лекала); 4) составить уравнение этой кривой в прямоугольной декартовой системе координат. Задача 5. Построить на плоскости геометрическое место точек, определяемое неравенствами y x2 ; y x 0 1) x 4 y 2 2) x 0, y 0 20 Контрольная работа № 3 Вариант 3. Задача 1. Даны три последовательные вершины параллелограмма А(3;2), В(2;3),С(-1;-2). Не находя координаты вершины D, найти: 1) уравнение стороны AD; 2) уравнение высоты BK, опущенной из вершины В на сторону AD; 3) длину высоты BK; 4) уравнение диагонали BD; 5) тангенс угла между диагоналями параллелограмма. Записать общие уравнения найденных прямых. Построить чертеж. Задача 2. Даны точки A(-3;2;1), B(0;-3;-1), C(2;0;-2), D(2;-1;5). Найти: 1) общее уравнение плоскости АВС; 2) общее уравнение плоскости, проходящей через точку D параллельно плоскости АВС; 3) канонические уравнения прямой АD; 4) канонические уравнения прямой, проходящей через точку B параллельно прямой AD; x 2t 3 5) косинус угла между прямой AD и прямой y t 1 ; z 3t 5 6) синус угла между плоскостью ABC и прямой AD. Задача 3. Уравнение кривой второго порядка 4 y 2 2 x 8 y 1 0 путем выделения полного квадрата привести к каноническому виду. Построить кривую. Задача 4. Кривая задана в полярной системе координат уравнением 3 sin 2 . Требуется: 1) найти точки, лежащие на кривой, давая значения через промежуток, равный , начиная от 0 до 2 ; 8 2) построить полученные точки; 3) построить кривую, соединив построенные точки (от руки или с помощью лекала); 4) составить уравнение этой кривой в прямоугольной декартовой системе координат. Задача 5. Построить на плоскости геометрическое место точек, определяемое неравенствами y x2 ; y 2x 1 1) 2) 9 ( x 3) 2 y 36 x 2 21 Контрольная работа № 3 Вариант 4. Задача 1. Даны три последовательные вершины параллелограмма А(3;2), В(-4;3),С(-1;6). Не находя координаты вершины D, найти: 1) уравнение стороны AD; 2) уравнение высоты BK, опущенной из вершины В на сторону AD; 3) длину высоты BK; 4) уравнение диагонали BD; 5) тангенс угла между диагоналями параллелограмма. Записать общие уравнения найденных прямых. Построить чертеж. Задача 2. Даны точки A(-2;0;3), B(-1;5;2), C(2;1;4), D(3;-1;-2). Найти: 1) общее уравнение плоскости АВС; 2) общее уравнение плоскости, проходящей через точку D параллельно плоскости АВС; 3) расстояние от точки D до плоскости ABC; 4) канонические уравнения прямой АВ; 5) канонические уравнения прямой, проходящей через точку D параллельно прямой AB; x 1 y z 1 и плоскости ABC. 2 1 1 Задача 3. Уравнение кривой второго порядка 3x 2 2 y 2 6 x 8 y 5 0 6) координаты точки пересечения прямой путем выделения полного квадрата привести к каноническому виду. Построить кривую. Задача 4. Кривая задана в полярной системе координат уравнением 2 sin . Требуется: 1) найти точки, лежащие на кривой, давая значения через промежуток, равный , начиная от 0 до 2 ; 8 2) построить полученные точки; 3) построить кривую, соединив построенные точки (от руки или с помощью лекала); 4) составить уравнение этой кривой в прямоугольной декартовой системе координат. Задача 5. Построить на плоскости геометрическое место точек, определяемое неравенствами 1 x 3 ; x y 2x 1 1) x 4 y 2 2) x 0, y 0 22 Контрольная работа № 3 Вариант 5. Задача 1. Даны три последовательные вершины параллелограмма А(3;-2), В(1;0),С(-1;5). Не находя координаты вершины D, найти: 1) уравнение стороны AD; 2) уравнение высоты BK, опущенной из вершины В на сторону AD; 3) длину высоты BK; 4) уравнение диагонали BD; 5) тангенс угла между диагоналями параллелограмма. Записать общие уравнения найденных прямых. Построить чертеж. Задача 2. Даны точки A(0;3;2), B(-1;2;-2), C(1;2;4), D(-1;-1;-2). Найти: 1) общее уравнение плоскости АВС; 2) общее уравнение плоскости, проходящей через точку D параллельно плоскости АВС; 3) косинус угла между плоскостью 2 x 3 y z 4 0 и плоскостью ABC; 4) канонические уравнения прямой АВ; 5) канонические уравнения прямой, проходящей через точку D параллельно прямой AB; 6) общее уравнение плоскости, проходящей через точку D перпендикулярно прямой AB. Задача 3. Уравнение кривой второго порядка 2 2 9 x 16 y 18 x 32 y 32 0 путем выделения полного квадрата привести к каноническому виду. Построить кривую. Задача 4. Кривая задана в полярной системе координат уравнением 2 cos 2 . Требуется: 1) найти точки, лежащие на кривой, давая значения через промежуток, равный , начиная от 0 до 2 ; 8 2) построить полученные точки; 3) построить кривую, соединив построенные точки (от руки или с помощью лекала); 4) составить уравнение этой кривой в прямоугольной декартовой системе координат. Задача 5. Построить на плоскости геометрическое место точек, определяемое неравенствами 1 x 2 ; 2 x y 3 x 1 1) 2) 4 y 2 x 0 . 23 Контрольная работа № 3 Вариант 6. Задача 1. Даны три последовательные вершины параллелограмма А(2;2), В(1;-3),С(5;0). Не находя координаты вершины D, найти: 1) уравнение стороны AD; 2) уравнение высоты BK, опущенной из вершины В на сторону AD; 3) длину высоты BK; 4) уравнение диагонали BD; 5) тангенс угла между диагоналями параллелограмма. Записать общие уравнения найденных прямых. Построить чертеж. Задача 2. Даны точки A(2;2;-1), B(-3;1;0), C(1;2;1), D(2;0;-3). Найти: 1) общее уравнение плоскости АВС; 2) координаты нормального вектора плоскости АBС; 3) расстояние от точки D до плоскости ABC; 4) канонические уравнения прямой АВ; 5) канонические уравнения прямой, проходящей через точку D параллельно прямой AB; 6) канонические уравнения прямой, проходящей через точку D перпендикулярно плоскости ABC. Задача 3. Уравнение кривой второго порядка 5x 2 10 x y 0 путем выделения полного квадрата привести к каноническому виду. Построить кривую. Задача 4. Кривая задана в полярной системе координат уравнением 2 sin 2 . Требуется: 1) найти точки, лежащие на кривой, давая значения через промежуток, равный , начиная от 0 до 2 ; 8 2) построить полученные точки; 3) построить кривую, соединив построенные точки (от руки или с помощью лекала); 4) составить уравнение этой кривой в прямоугольной декартовой системе координат. Задача 5. Построить на плоскости геометрическое место точек, определяемое неравенствами 1 x 2 ; x y x 1 1) 2) 4 x 2 y x 2 . 24 Контрольная работа № 3 Вариант 7. Задача 1. Даны три последовательные вершины параллелограмма А(1;2), В(-2;1),С(-4;-5). Не находя координаты вершины D, найти: 1) уравнение стороны AD; 2) уравнение высоты BK, опущенной из вершины В на сторону AD; 3) длину высоты BK; 4) уравнение диагонали BD; 5) тангенс угла между диагоналями параллелограмма. Записать общие уравнения найденных прямых. Построить чертеж. Задача 2. Даны точки A(3;2;1), B(-1;0;-2), C(2;1;3), D(3;-1;-2). Найти: 1) общее уравнение плоскости АВС; 2) общее уравнение плоскости, проходящей через точку D параллельно плоскости АВС; 3) расстояние от точки D до плоскости ABC; 4) канонические уравнения прямой АD; 5) канонические уравнения прямой, проходящей через точку B параллельно прямой AD; 6) синус угла между плоскостью ABC и прямой AD. Задача 3. Уравнение кривой второго порядка x 2 9 y 2 4 x 6 y 31 0 путем выделения полного квадрата привести к каноническому виду. Построить кривую. Задача 4. Кривая задана в полярной системе координат уравнением 3(1 cos ) . Требуется: 1) найти точки, лежащие на кривой, давая значения через промежуток, равный , начиная от 0 до 2 ; 8 2) построить полученные точки; 3) построить кривую, соединив построенные точки (от руки или с помощью лекала); 4) составить уравнение этой кривой в прямоугольной декартовой системе координат. Задача 5. Построить на плоскости геометрическое место точек, определяемое неравенствами 0 x 2 ; 0 y x 1) 2) ( x 1) 2 y 4 ( x 1) 2 . 25 Контрольная работа № 3 Вариант 8. Задача 1. Даны три последовательные вершины параллелограмма А(1;2), В(-2;3),С(5;7). Не находя координаты вершины D, найти: 1) уравнение стороны AD; 2) уравнение высоты BK, опущенной из вершины В на сторону AD; 3) длину высоты BK; 4) уравнение диагонали BD; 5) тангенс угла между диагоналями параллелограмма. Записать общие уравнения найденных прямых. Построить чертеж. Задача 2. Даны точки A(-3;-2;2), B(-1;-3;1), C(-2;0;1), D(1;-1;4). Найти: 1) общее уравнение плоскости АВС; 2) общее уравнение плоскости, проходящей через точку D параллельно плоскости АВС; 3) канонические уравнения прямой АВ; 4) канонические уравнения прямой, проходящей через точку D параллельно прямой AB; x 3t 2 5) косинус угла между прямой AB и прямой y t 10 ; z 2t 5 x 1 y 1 z и плоскости ABC. 2 1 1 Задача 3. Уравнение кривой второго порядка 4 x 2 9 y 2 8x 6 y 39 0 6) координаты точки пересечения прямой путем выделения полного квадрата привести к каноническому виду. Построить кривую. Задача 4. Кривая задана в полярной системе координат уравнением 2 sin . Требуется: 1) найти точки, лежащие на кривой, давая значения через промежуток, равный , начиная от 0 до 2 ; 8 2) построить полученные точки; 3) построить кривую, соединив построенные точки (от руки или с помощью лекала); 4) составить уравнение этой кривой в прямоугольной декартовой системе координат. Задача 5. Построить на плоскости геометрическое место точек, определяемое неравенствами 1) x y 2 x 1; 1 x 2 . 2 0 y x 2) 26 Контрольная работа № 3 Вариант 9. Задача 1. Даны три последовательные вершины параллелограмма А(1;2), В(3;-3),С(7;2). Не находя координаты вершины D, найти: 1) уравнение стороны AD; 2) уравнение высоты BK, опущенной из вершины В на сторону AD; 3) длину высоты BK; 4) уравнение диагонали BD; 5) тангенс угла между диагоналями параллелограмма. Записать общие уравнения найденных прямых. Построить чертеж. Задача 2. Даны точки A(0;3;-1), B(-1;-2;5), C(1;0;-4), D(-3;-1;-2). Найти: 1) общее уравнение плоскости АВС; 2) общее уравнение плоскости, проходящей через точку D параллельно плоскости АВС; 3) расстояние от точки D до плоскости ABC; 4) канонические уравнения прямой АВ; 5) канонические уравнения прямой, проходящей через точку D параллельно прямой AB; 6) общее уравнение плоскости, проходящей через точку D перпендикулярно прямой AB. Задача 3. Уравнение кривой второго порядка 3 y 2 2 x 6 y 1 0 путем выделения полного квадрата привести к каноническому виду. Построить кривую. Задача 4. Кривая задана в полярной системе координат уравнением 1 cos 2 . Требуется: 1) найти точки, лежащие на кривой, давая значения через промежуток, равный , начиная от 0 до 2 ; 8 2) построить полученные точки; 3) построить кривую, соединив построенные точки (от руки или с помощью лекала); 4) составить уравнение этой кривой в прямоугольной декартовой системе координат. Задача 5. Построить на плоскости геометрическое место точек, определяемое неравенствами 0 x 1 ; 2 2 x y x 1) 2) 1 4 y 2 x 1 . 27 Контрольная работа № 3 Вариант 10. Задача 1. Даны три последовательные вершины параллелограмма А(1;-2), В(5;3),С(0;6). Не находя координаты вершины D, найти: 1) уравнение стороны AD; 2) уравнение высоты BK, опущенной из вершины В на сторону AD; 3) длину высоты BK; 4) уравнение диагонали BD; 5) тангенс угла между диагоналями параллелограмма. Записать общие уравнения найденных прямых. Построить чертеж. Задача 2. Даны точки A(-2;5;3), B(0;3;-1), C(2;2;4), D(3;1;-2). Найти: 1) общее уравнение плоскости АВС; 2) общее уравнение плоскости, проходящей через точку D параллельно плоскости АВС; 3) косинус угла между плоскостью 2 x 3 y 4 z 5 0 и плоскостью ABC; 4) канонические уравнения прямой АВ; 5) канонические уравнения прямой, проходящей через точку D параллельно прямой AB; 6) канонические уравнения прямой, проходящей через точку D перпендикулярно плоскости ABC. Задача 3. Уравнение кривой второго порядка x 2 25 y 2 4 x 10 y 11 0 путем выделения полного квадрата привести к каноническому виду. Построить кривую. Задача 4. Кривая задана в полярной системе координат уравнением 2 4 sin 2 . Требуется: 1) найти точки, лежащие на кривой, давая значения через промежуток, равный , начиная от 0 до 2 ; 8 2) построить полученные точки; 3) построить кривую, соединив построенные точки (от руки или с помощью лекала); 4) составить уравнение этой кривой в прямоугольной декартовой системе координат. Задача 5. Построить на плоскости геометрическое место точек, определяемое неравенствами 1 x 2 ; x y 2x 3 1) 2) 3 4 x 2 y 3 . 28 Контрольная работа № 3 Вариант 11. Задача 1. Даны три последовательные вершины параллелограмма А(5;3), В(2;1),С(3;-5). Не находя координаты вершины D, найти: 1) уравнение стороны AD; 2) уравнение высоты BK, опущенной из вершины В на сторону AD; 3) длину высоты BK; 4) уравнение диагонали BD; 5) тангенс угла между диагоналями параллелограмма. Записать общие уравнения найденных прямых. Построить чертеж. Задача 2. Даны точки A(2;-3;-2), B(-1;3;0), C(-2;0;1), D(4;-1;3). Найти: 1) общее уравнение плоскости АВС; 2) общее уравнение плоскости, проходящей через точку D параллельно плоскости АВС; 3) расстояние от точки D до плоскости ABC; 4) канонические уравнения прямой АD; 5) канонические уравнения прямой, проходящей через точку B параллельно прямой AD; 6) синус угла между плоскостью ABC и прямой AD. Задача 3. Уравнение кривой второго порядка 9 x 2 4 y 2 36 x 4 y 1 0 путем выделения полного квадрата привести к каноническому виду. Построить кривую. Задача 4. Кривая задана в полярной системе координат уравнением 1 2 . Требуется: 1) найти точки, лежащие на кривой, давая значения через промежуток, равный , начиная от 0 до 2 ; 8 2) построить полученные точки; 3) построить кривую, соединив построенные точки (от руки или с помощью лекала); 4) составить уравнение этой кривой в прямоугольной декартовой системе координат. Задача 5. Построить на плоскости геометрическое место точек, определяемое неравенствами 1 x 2 ; x y 0 1) 2) 0 x 9 ( y 1) 2 . 29 Контрольная работа № 3 Вариант 12. Задача 1. Даны три последовательные вершины параллелограмма А(2;2), В(1;4),С(-3;-2). Не находя координаты вершины D, найти: 1) уравнение стороны AD; 2) уравнение высоты BK, опущенной из вершины В на сторону AD; 3) длину высоты BK; 4) уравнение диагонали BD; 5) тангенс угла между диагоналями параллелограмма. Записать общие уравнения найденных прямых. Построить чертеж. Задача 2. Даны точки A(-3;1;-2), B(1;2;3), C(2;1;-3), D(0;-1;-2). Найти: 1) общее уравнение плоскости АВС; 2) общее уравнение плоскости, проходящей через точку D параллельно плоскости АВС; 3) расстояние от точки D до плоскости ABC; 4) канонические уравнения прямой АВ; 5) канонические уравнения прямой, проходящей через точку D параллельно прямой AB; x y 3 z 1 и плоскости ABC. 2 2 1 Задача 3. Уравнение кривой второго порядка 5 y 2 x 10 y 1 0 путем 6) координаты точки пересечения прямой выделения полного квадрата привести к каноническому виду. Построить кривую. Задача 4. Кривая задана в полярной системе координат уравнением cos 2 . Требуется: 1) найти точки, лежащие на кривой, давая значения через промежуток, равный , начиная от 0 до 2 ; 8 2) построить полученные точки; 3) построить кривую, соединив построенные точки (от руки или с помощью лекала); 4) составить уравнение этой кривой в прямоугольной декартовой системе координат. Задача 5. Построить на плоскости геометрическое место точек, определяемое неравенствами 1 x 2 ; x y 5 1) 2) 1 y 1 9 ( x 1) 2 . 30 Контрольная работа № 3 Вариант 13. Задача 1. Даны три последовательные вершины параллелограмма А(3;1), В(4;-2),С(0;-5). Не находя координаты вершины D, найти: 1) уравнение стороны AD; 2) уравнение высоты BK, опущенной из вершины В на сторону AD; 3) длину высоты BK; 4) уравнение диагонали BD; 5) тангенс угла между диагоналями параллелограмма. Записать общие уравнения найденных прямых. Построить чертеж. Задача 2. Даны точки A(-1;3;-1), B(2;0;5), C(2;3;4), D(5;-1;-2). Найти: 1) общее уравнение плоскости АВС; 2) общее уравнение плоскости, проходящей через точку D параллельно плоскости АВС; 3) канонические уравнения прямой АВ; 4) координаты направляющего вектора прямой АB; x t 2 5) косинус угла между прямой AB и прямой y 2t 7 ; z t 5 6) общее уравнение плоскости, проходящей через точку D перпендикулярно прямой AB. Задача 3. Уравнение кривой второго порядка 4 x 2 2 y 2 4 x 8 y 16 0 путем выделения полного квадрата привести к каноническому виду. Построить кривую. Задача 4. Кривая задана в полярной системе координат уравнением 2 4 cos 2 . Требуется: 1) найти точки, лежащие на кривой, давая значения через промежуток, равный , начиная от 0 до 2 ; 8 2) построить полученные точки; 3) построить кривую, соединив построенные точки (от руки или с помощью лекала); 4) составить уравнение этой кривой в прямоугольной декартовой системе координат. Задача 5. Построить на плоскости геометрическое место точек, определяемое неравенствами 1 y 2 ; 2 y x 3 y 1 1) 2) 4 x 2 y 1 4 x 2 . 31 Контрольная работа № 3 Вариант 14. Задача 1. Даны три последовательные вершины параллелограмма А(3;0), В(1;-2),С(4;5). Не находя координаты вершины D, найти: 1) уравнение стороны AD; 2) уравнение высоты BK, опущенной из вершины В на сторону AD; 3) длину высоты BK; 4) уравнение диагонали BD; 5) тангенс угла между диагоналями параллелограмма. Записать общие уравнения найденных прямых. Построить чертеж. Задача 2. Даны точки A(3;-2;-1), B(0;3;2), C(1;-1;-2), D(3;2;-5). Найти: 1) общее уравнение плоскости АВС; 2) общее уравнение плоскости, проходящей через точку D параллельно плоскости АВС; 3) расстояние от точки D до плоскости ABC; 4) канонические уравнения прямой АВ; 5) канонические уравнения прямой, проходящей через точку D параллельно прямой AB; 6) канонические уравнения прямой, проходящей через точку D перпендикулярно плоскости ABC. Задача 3. Уравнение кривой второго порядка 4 x 2 16 y 2 8x 16 y 13 0 путем выделения полного квадрата привести к каноническому виду. Построить кривую. Задача 4. Кривая задана в полярной системе координат уравнением 1 2 sin . Требуется: 1) найти точки, лежащие на кривой, давая значения через промежуток, равный , начиная от 0 до 2 ; 8 2) построить полученные точки; 3) построить кривую, соединив построенные точки (от руки или с помощью лекала); 4) составить уравнение этой кривой в прямоугольной декартовой системе координат. Задача 5. Построить на плоскости геометрическое место точек, определяемое неравенствами 0 y 1 ; y x y 1) 2) 4 y 4 9 ( x 1) 2 . 32 Контрольная работа № 3 Вариант 15. Задача 1. Даны три последовательные вершины параллелограмма А(3;3), В(-4;3),С(1;6). Не находя координаты вершины D, найти: 1) уравнение стороны AD; 2) уравнение высоты BK, опущенной из вершины В на сторону AD; 3) длину высоты BK; 4) уравнение диагонали BD; 5) тангенс угла между диагоналями параллелограмма. Записать общие уравнения найденных прямых. Построить чертеж. Задача 2. Даны точки A(2;1;-3), B(-1;-3;2), C(-2;1;1), D(3;0;-2). Найти: 1) общее уравнение плоскости АВС; 2) общее уравнение плоскости, проходящей через точку D параллельно плоскости АВС; 3) косинус угла между плоскостью x 2 y 3z 4 0 и плоскостью ABC; 4) канонические уравнения прямой АD; 5) канонические уравнения прямой, проходящей через точку B параллельно прямой AD; 6) синус угла между плоскостью ABC и прямой AD. Задача 3. Уравнение кривой второго порядка 2 x 2 8x y 0 путем выделения полного квадрата привести к каноническому виду. Построить кривую. Задача 4. Кривая задана в полярной системе координат уравнением 2 sin . Требуется: 1) найти точки, лежащие на кривой, давая значения через промежуток, равный , начиная от 0 до 2 ; 8 2) построить полученные точки; 3) построить кривую, соединив построенные точки (от руки или с помощью лекала); 4) составить уравнение этой кривой в прямоугольной декартовой системе координат. Задача 5. Построить на плоскости геометрическое место точек, определяемое неравенствами 1 y 2 ; 0 x y 1) 2) x 2 y 1 x 2 . 33 Контрольная работа № 3 Вариант 16. Задача 1. Даны три последовательные вершины параллелограмма А(3;2), В(1;-1),С(0;5). Не находя координаты вершины D, найти: 1) уравнение стороны AD; 2) уравнение высоты BK, опущенной из вершины В на сторону AD; 3) длину высоты BK; 4) уравнение диагонали BD; 5) тангенс угла между диагоналями параллелограмма. Записать общие уравнения найденных прямых. Построить чертеж. Задача 2. Даны точки A(0;-3;2), B(1;2;-1), C(1;-2;4), D(1;1;-2). Найти: 1) общее уравнение плоскости АВС; 2) общее уравнение плоскости, проходящей через точку D параллельно плоскости АВС; 3) расстояние от точки D до плоскости ABC; 4) канонические уравнения прямой АВ; 5) канонические уравнения прямой, проходящей через точку D параллельно прямой AB; 6) координаты точки пересечения прямой x 1 y 1 z 1 1 2 1 и плоскости ABC. Задача 3. Уравнение кривой второго порядка x 2 4 y 2 x 8 y 4,75 0 путем выделения полного квадрата привести к каноническому виду. Построить кривую. Задача 4. Кривая задана в полярной системе координат уравнением 2 cos . Требуется: 1) найти точки, лежащие на кривой, давая значения через промежуток, равный , начиная от 0 до 2 ; 8 2) построить полученные точки; 3) построить кривую, соединив построенные точки (от руки или с помощью лекала); 4) составить уравнение этой кривой в прямоугольной декартовой системе координат. Задача 5. Построить на плоскости геометрическое место точек, определяемое неравенствами 1 y 2 ; y x 2y 3 1) 2) x y 1 x2 . 34 Контрольная работа № 3 Вариант 17. Задача 1. Даны три последовательные вершины параллелограмма А(1;1), В(1;3),С(5;-2). Не находя координаты вершины D, найти: 1) уравнение стороны AD; 2) уравнение высоты BK, опущенной из вершины В на сторону AD; 3) длину высоты BK; 4) уравнение диагонали BD; 5) тангенс угла между диагоналями параллелограмма. Записать общие уравнения найденных прямых. Построить чертеж. Задача 2. Даны точки A(-2;2;1), B(-3;-1;0), C(1;-2;-3), D(2;0;3). Найти: 1) общее уравнение плоскости АВС; 2) общее уравнение плоскости, проходящей через точку D параллельно плоскости АВС; 3) расстояние от точки D до плоскости ABC; 4) канонические уравнения прямой АВ; 5) координаты направляющего вектора прямой x 1 y 3 z ; 2 5 4 6) общее уравнение плоскости, проходящей через точку D перпендикулярно прямой AB. Задача 3. Уравнение кривой второго порядка 2 2 25x 16 y 10 x 8 y 36 0 путем выделения полного квадрата привести к каноническому виду. Построить кривую. Задача 4. Кривая задана в полярной системе координат уравнением 2 sin 2 . Требуется: 1) найти точки, лежащие на кривой, давая значения через промежуток, равный , начиная от 0 до 2 ; 8 2) построить полученные точки; 3) построить кривую, соединив построенные точки (от руки или с помощью лекала); 4) составить уравнение этой кривой в прямоугольной декартовой системе координат. Задача 5. Построить на плоскости геометрическое место точек, определяемое неравенствами 1 x 1 ; 2 y 5 1) 2) 3 x 3 9 y 2 . 35 Контрольная работа № 3 Вариант 18. Задача 1. Даны три последовательные вершины параллелограмма А(1;-1), В(-2;1),С(3;2). Не находя координаты вершины D, найти: 1) уравнение стороны AD; 2) уравнение высоты BK, опущенной из вершины В на сторону AD; 3) длину высоты BK; 4) уравнение диагонали BD; 5) тангенс угла между диагоналями параллелограмма. Записать общие уравнения найденных прямых. Построить чертеж. Задача 2. Даны точки A(-2;2;5), B(-1;2;1), C(-3;3;1), D(-1;4;3). Найти: 1) общее уравнение плоскости АВС; 2) общее уравнение плоскости, проходящей через точку D параллельно плоскости АВС; 3) канонические уравнения прямой АВ; 4) канонические уравнения прямой, проходящей через точку D параллельно прямой AB; x 5t 2 5) косинус угла между прямой AB и прямой y 3t 1 ; z t 25 6) канонические уравнения прямой, проходящей через точку D перпендикулярно плоскости ABC. Задача 3. Уравнение кривой второго порядка x 2 6 x 9 y 0 путем выделения полного квадрата привести к каноническому виду. Построить кривую. Задача 4. Кривая задана в полярной системе координат уравнением 2 3 cos . Требуется: 1) найти точки, лежащие на кривой, давая значения через промежуток, равный , начиная от 0 до 2 ; 8 2) построить полученные точки; 3) построить кривую, соединив построенные точки (от руки или с помощью лекала); 4) составить уравнение этой кривой в прямоугольной декартовой системе координат. Задача 5. Построить на плоскости геометрическое место точек, определяемое неравенствами 1 x 2 ; 0 y x 1) 2) 1 ( x 1) 2 y 4 x 2 , x 0 . 36 Контрольная работа № 3 Вариант 19. Задача 1. Даны три последовательные вершины параллелограмма А(1;2), В(-2;3),С(3;1). Не находя координаты вершины D, найти: 1) уравнение стороны AD; 2) уравнение высоты BK, опущенной из вершины В на сторону AD; 3) длину высоты BK; 4) уравнение диагонали BD; 5) тангенс угла между диагоналями параллелограмма. Записать общие уравнения найденных прямых. Построить чертеж. Задача 2. Даны точки A(-3;1;3), B(-4;2;-1), C(-2;1;-1), D(-2;3;1). Найти: 1) общее уравнение плоскости АВС; 2) общее уравнение плоскости, проходящей через точку D параллельно плоскости АВС; 3) расстояние от точки D до плоскости ABC; 4) канонические уравнения прямой АD; 5) канонические уравнения прямой, проходящей через точку B параллельно прямой AD; 6) синус угла между плоскостью ABC и прямой AD. Задача 3. Уравнение кривой второго порядка 2 2 4 x 9 y 24 x 9 y 2,25 0 путем выделения полного квадрата привести к каноническому виду. Построить кривую. Задача 4. Кривая задана в полярной системе координат уравнением 3 2 cos . Требуется: 1) найти точки, лежащие на кривой, давая значения через промежуток, равный , начиная от 0 до 2 ; 8 2) построить полученные точки; 3) построить кривую, соединив построенные точки (от руки или с помощью лекала); 4) составить уравнение этой кривой в прямоугольной декартовой системе координат. Задача 5. Построить на плоскости геометрическое место точек, определяемое неравенствами 1 x 2 ; x y 2 1) 2) 1 ( x 1) 2 y 4 x 2 , x 0 . 37 Контрольная работа № 3 Вариант 20. Задача 1. Даны три последовательные вершины параллелограмма А(2;2), В(3;1),С(-1;2). Не находя координаты вершины D, найти: 1) уравнение стороны AD; 2) уравнение высоты BK, опущенной из вершины В на сторону AD; 3) длину высоты BK; 4) уравнение диагонали BD; 5) тангенс угла между диагоналями параллелограмма. Записать общие уравнения найденных прямых. Построить чертеж. Задача 2. Даны точки A(2;1;4), B(0;0;2), C(1;-1;6), D(2;-1;2). Найти: 1) общее уравнение плоскости АВС; 2) общее уравнение плоскости, проходящей через точку D параллельно плоскости АВС; 3) косинус угла между плоскостью 3x 2 y z 4 0 и плоскостью ABC; 4) канонические уравнения прямой АВ; 5) канонические уравнения прямой, проходящей через точку D параллельно прямой AB; 6) координаты точки пересечения прямой Задача x 2 y 1 z и плоскости ABC. 1 2 2 Уравнение кривой второго порядка 16 x 9 y 32 x 18 y 32 0 путем выделения полного квадрата привести к каноническому виду. Построить кривую. Задача 4. Кривая задана в полярной системе координат уравнением 2 2 . Требуется: 1) найти точки, лежащие на кривой, давая значения через промежуток, 2 3. 2 равный , начиная от 0 до 2 ; 8 2) построить полученные точки; 3) построить кривую, соединив построенные точки (от руки или с помощью лекала); 4) составить уравнение этой кривой в прямоугольной декартовой системе координат. Задача 5. Построить на плоскости геометрическое место точек, определяемое неравенствами 1 y 2 ; 1 x y 1) 2) 0 x 1 ( y 1) 2 . 38 Контрольная работа № 3 Вариант 21. Задача 1. Даны три последовательные вершины параллелограмма А(1;0), В(4;-2),С(6;2). Не находя координаты вершины D, найти: 1) уравнение стороны AD; 2) уравнение высоты BK, опущенной из вершины В на сторону AD; 3) длину высоты BK; 4) уравнение диагонали BD; 5) тангенс угла между диагоналями параллелограмма. Записать общие уравнения найденных прямых. Построить чертеж. Задача 2. Даны точки A(1;3;4), B(1;1;2), C(-1;2;2), D(0;1;6). Найти: 1) общее уравнение плоскости АВС; 2) общее уравнение плоскости, проходящей через точку D параллельно плоскости АВС; 3) расстояние от точки D до плоскости ABC; 4) канонические уравнения прямой АВ; 5) канонические уравнения прямой, проходящей через точку D параллельно прямой AB; 6) общее уравнение плоскости, проходящей через точку D перпендикулярно прямой AB. Задача 3. Уравнение кривой второго порядка 3 y 2 x 6 y 5 0 путем выделения полного квадрата привести к каноническому виду. Построить кривую. Задача 4. Кривая задана в полярной системе координат уравнением 1 4 2 sin 2 . Требуется: 1) найти точки, лежащие на кривой, давая значения через промежуток, равный , начиная от 0 до 2 ; 8 2) построить полученные точки; 3) построить кривую, соединив построенные точки (от руки или с помощью лекала); 4) составить уравнение этой кривой в прямоугольной декартовой системе координат. Задача 5. Построить на плоскости геометрическое место точек, определяемое неравенствами 0 y 1 1) ; 0 x y 2) 4 ( x 3) 2 y 0 . 39 Контрольная работа № 3 Вариант 22. Задача 1. Даны три последовательные вершины параллелограмма А(2;1), В(-2;-3),С(-1;3). Не находя координаты вершины D, найти: 1) уравнение стороны AD; 2) уравнение высоты BK, опущенной из вершины В на сторону AD; 3) длину высоты BK; 4) уравнение диагонали BD; 5) тангенс угла между диагоналями параллелограмма. Записать общие уравнения найденных прямых. Построить чертеж. Задача 2. Даны точки A(2;0;3), B(1;1;7), C(0;1;3), D(2;-2;5). Найти: 1) общее уравнение плоскости АВС; 2) общее уравнение плоскости, проходящей через точку D параллельно плоскости АВС; 3) расстояние от точки D до плоскости ABC; 4) канонические уравнения прямой АВ; 5) канонические уравнения прямой, проходящей через точку D параллельно прямой AB; 6) канонические уравнения прямой, проходящей через точку D перпендикулярно плоскости ABC. Задача 3. Уравнение кривой второго порядка 4 x 2 25 y 2 4 x 50 y 35 0 путем выделения полного квадрата привести к каноническому виду. Построить кривую. Задача 4. Кривая задана в полярной системе координат уравнением 4 sin . Требуется: 1) найти точки, лежащие на кривой, давая значения через промежуток, равный , начиная от 0 до 2 ; 8 2) построить полученные точки; 3) построить кривую, соединив построенные точки (от руки или с помощью лекала); 4) составить уравнение этой кривой в прямоугольной декартовой системе координат. Задача 5. Построить на плоскости геометрическое место точек, определяемое неравенствами 1 x 2 ; x y 3x 5 1) 2) ( x 1) 2 y 4 ( x 1) 2 . 40 Контрольная работа № 3 Вариант 23. Задача 1. Даны три последовательные вершины параллелограмма А(1;3), В(0;2),С(-1;-2). Не находя координаты вершины D, найти: 1) уравнение стороны AD; 2) уравнение высоты BK, опущенной из вершины В на сторону AD; 3) длину высоты BK; 4) уравнение диагонали BD; 5) тангенс угла между диагоналями параллелограмма. Записать общие уравнения найденных прямых. Построить чертеж. Задача 2. Даны точки A(-1;-2;-1), B(-3;-2;1), C(-1;0;3), D(-3;1;5). Найти: 1) общее уравнение плоскости АВС; 2) общее уравнение плоскости, проходящей через точку D параллельно плоскости АВС; 3) канонические уравнения прямой АD; 4) канонические уравнения прямой, проходящей через точку B параллельно прямой AD; x 3t 2 5) косинус угла между прямой AD и прямой y 2t 1 ; z 2t 1 6) синус угла между плоскостью ABC и прямой AD. Задача 3. Уравнение кривой второго порядка x 2 36 y 2 x 72 y 51,75 0 путем выделения полного квадрата привести к каноническому виду. Построить кривую. Задача 4. Кривая задана в полярной системе координат уравнением 4 cos . Требуется: 1) найти точки, лежащие на кривой, давая значения через промежуток, равный , начиная от 0 до 2 ; 8 2) построить полученные точки; 3) построить кривую, соединив построенные точки (от руки или с помощью лекала); 4) составить уравнение этой кривой в прямоугольной декартовой системе координат. Задача 5. Построить на плоскости геометрическое место точек, определяемое неравенствами 1) 0 x 2 ; sin x y 1 2) 1 9 ( x 2) 2 y 1 . 41 Контрольная работа № 3 Вариант 24. Задача 1. Даны три последовательные вершины параллелограмма А(1;1), В(-1;2),С(3;3). Не находя координаты вершины D, найти: 1) уравнение стороны AD; 2) уравнение высоты BK, опущенной из вершины В на сторону AD; 3) длину высоты BK; 4) уравнение диагонали BD; 5) тангенс угла между диагоналями параллелограмма. Записать общие уравнения найденных прямых. Построить чертеж. Задача 2. Даны точки A(-2;5;-3), B(2;-3;1), C(2;-2;-4), D(-3;1;2). Найти: 1) общее уравнение плоскости АВС; 2) общее уравнение плоскости, проходящей через точку D параллельно плоскости АВС; 3) расстояние от точки D до плоскости ABC; 4) канонические уравнения прямой АВ; 5) канонические уравнения прямой, проходящей через точку D параллельно прямой AB; x y 2 z 1 и плоскости ABC. 2 1 2 Задача 3. Уравнение кривой второго порядка 2 y 2 4 y x 1 0 путем 6) координаты точки пересечения прямой выделения полного квадрата привести к каноническому виду. Построить кривую. Задача 4. Кривая задана в полярной системе координат уравнением 9 sin 2 . Требуется: 1) найти точки, лежащие на кривой, давая значения через промежуток, равный , начиная от 0 до 2 ; 8 2) построить полученные точки; 3) построить кривую, соединив построенные точки (от руки или с помощью лекала); 4) составить уравнение этой кривой в прямоугольной декартовой системе координат. Задача 5. Построить на плоскости геометрическое место точек, определяемое неравенствами 1 x 2 ; 3 y 5 1) 2) 1 4 y 2 x 1 . 42 Контрольная работа № 3 Вариант 25. Задача 1. Даны три последовательные вершины параллелограмма А(5;3), В(3;5),С(-1;-2). Не находя координаты вершины D, найти: 1) уравнение стороны AD; 2) уравнение высоты BK, опущенной из вершины В на сторону AD; 3) длину высоты BK; 4) уравнение диагонали BD; 5) тангенс угла между диагоналями параллелограмма. Записать общие уравнения найденных прямых. Построить чертеж. Задача 2. Даны точки A(1;3;0), B(-2;1;4), C(2;0;1), D(4;-1;5). Найти: 1) общее уравнение плоскости АВС; 2) общее уравнение плоскости, проходящей через точку D параллельно плоскости АВС; 3) косинус угла между плоскостью 4 x 3 y 2 z 4 0 и плоскостью ABC; 4) канонические уравнения прямой АВ; 5) канонические уравнения прямой, проходящей через точку D параллельно прямой AB; 6) общее уравнение плоскости, проходящей через точку D перпендикулярно прямой AB. Задача 3. Уравнение кривой второго порядка 9 x 2 4 y 2 36 x 4 y 41 0 путем выделения полного квадрата привести к каноническому виду. Построить кривую. Задача 4. Кривая задана в полярной системе координат уравнением . Требуется: 1) найти точки, лежащие на кривой, давая значения через промежуток, равный , начиная от 0 до 2 ; 8 2) построить полученные точки; 3) построить кривую, соединив построенные точки (от руки или с помощью лекала); 4) составить уравнение этой кривой в прямоугольной декартовой системе координат. Задача 5. Построить на плоскости геометрическое место точек, определяемое неравенствами 1 x 2 ; 0 y x 1 1) 2) 1 9 y 2 x 1 . 43 Контрольная работа № 3 Вариант 26. Задача 1. Даны три последовательные вершины параллелограмма А(2;3), В(1;-1),С(-4;1). Не находя координаты вершины D, найти: 1) уравнение стороны AD; 2) уравнение высоты BK, опущенной из вершины В на сторону AD; 3) длину высоты BK; 4) уравнение диагонали BD; 5) тангенс угла между диагоналями параллелограмма. Записать общие уравнения найденных прямых. Построить чертеж. Задача 2. Даны точки A(-1;5;-2), B(1;2;2), C(2;4;-3), D(0;1;-2). Найти: 1) общее уравнение плоскости АВС; 2) общее уравнение плоскости, проходящей через точку D параллельно плоскости АВС; 3) расстояние от точки D до плоскости ABC; 4) канонические уравнения прямой АВ; 5) канонические уравнения прямой, проходящей через точку D параллельно прямой AB; 6) канонические уравнения прямой, проходящей через точку D перпендикулярно плоскости ABC. Задача 3. Уравнение кривой второго порядка 36 x 2 y 2 36 x 2 y 1 0 путем выделения полного квадрата привести к каноническому виду. Построить кривую. Задача 4. Кривая задана в полярной системе координат уравнением 2 9 cos 2 . Требуется: 1) найти точки, лежащие на кривой, давая значения через промежуток, равный , начиная от 0 до 2 ; 8 2) построить полученные точки; 3) построить кривую, соединив построенные точки (от руки или с помощью лекала); 4) составить уравнение этой кривой в прямоугольной декартовой системе координат. Задача 5. Построить на плоскости геометрическое место точек, определяемое неравенствами 1 x 0 ; x y 2 x 1 1) 2 2) 3 4 x 2 y 3 . 44 Контрольная работа № 3 Вариант 27. Задача 1. Даны три последовательные вершины параллелограмма А(3;1), В(4;2),С(2;-3). Не находя координаты вершины D, найти: 1) уравнение стороны AD; 2) уравнение высоты BK, опущенной из вершины В на сторону AD; 3) длину высоты BK; 4) уравнение диагонали BD; 5) тангенс угла между диагоналями параллелограмма. Записать общие уравнения найденных прямых. Построить чертеж. Задача 2. Даны точки A(-1;2;0), B(2;1;5), C(3;3;-4), D(3;-1;-2). Найти: 1) общее уравнение плоскости АВС; 2) общее уравнение плоскости, проходящей через точку D параллельно плоскости АВС; 3) расстояние от точки D до плоскости ABC; 4) канонические уравнения прямой АD; 5) канонические уравнения прямой, проходящей через точку B параллельно прямой AD; 6) синус угла между плоскостью ABC и прямой AD. Задача 3. Уравнение кривой второго порядка 4 x 2 4 x y 3 0 путем выделения полного квадрата привести к каноническому виду. Построить кривую. Задача 4. Кривая задана в полярной системе координат уравнением 3 cos 2 . Требуется: 1) найти точки, лежащие на кривой, давая значения через промежуток, равный , начиная от 0 до 2 ; 8 2) построить полученные точки; 3) построить кривую, соединив построенные точки (от руки или с помощью лекала); 4) составить уравнение этой кривой в прямоугольной декартовой системе координат. Задача 5. Построить на плоскости геометрическое место точек, определяемое неравенствами 1 x 1 ; 2 0 y x 1) 2) 2 y 2 25 ( x 1) 2 . 45 Контрольная работа № 3 Вариант 28. Задача 1. Даны три последовательные вершины параллелограмма А(3;-1), В(2;2),С(4;-1). Не находя координаты вершины D, найти: 1) уравнение стороны AD; 2) уравнение высоты BK, опущенной из вершины В на сторону AD; 3) длину высоты BK; 4) уравнение диагонали BD; 5) тангенс угла между диагоналями параллелограмма. Записать общие уравнения найденных прямых. Построить чертеж. Задача 2. Даны точки A(-3;0;-1), B(0;3;2), C(-1;1;-2), D(3;2;-4). Найти: 1) общее уравнение плоскости АВС; 2) общее уравнение плоскости, проходящей через точку D параллельно плоскости АВС; 3) канонические уравнения прямой АВ; 4) канонические уравнения прямой, проходящей через точку D параллельно прямой AB; x 2t 2 5) косинус угла между прямой AB и прямой y 5t 3 ; z t 15 6) координаты точки пересечения прямой x 1 y 2 z 1 и плоскости 2 1 2 ABC. Задача 3. Уравнение кривой второго порядка 4 x 2 16 y 2 8x 16 y 13 0 путем выделения полного квадрата привести к каноническому виду. Построить кривую. Задача 4. Кривая задана в полярной системе координат уравнением 1 sin 2 . Требуется: 1) найти точки, лежащие на кривой, давая значения через промежуток, равный , начиная от 0 до 2 ; 8 2) построить полученные точки; 3) построить кривую, соединив построенные точки (от руки или с помощью лекала); 4) составить уравнение этой кривой в прямоугольной декартовой системе координат. Задача 5. Построить на плоскости геометрическое место точек, определяемое неравенствами 1 x 1 ; 2 x y 1 1) 2) 2 y 2 25 ( x 1) 2 . 46 Контрольная работа № 3 Вариант 29. Задача 1. Даны три последовательные вершины параллелограмма А(2;5), В(-4;1),С(1;3). Не находя координаты вершины D, найти: 1) уравнение стороны AD; 2) уравнение высоты BK, опущенной из вершины В на сторону AD; 3) длину высоты BK; 4) уравнение диагонали BD; 5) тангенс угла между диагоналями параллелограмма. Записать общие уравнения найденных прямых. Построить чертеж. Задача 2. Даны точки A(2;1;0), B(-1;3;2), C(2;-3;1), D(-3;0;-2). Найти: 1) общее уравнение плоскости АВС; 2) общее уравнение плоскости, проходящей через точку D параллельно плоскости АВС; 3) расстояние от точки D до плоскости ABC; 4) канонические уравнения прямой АВ; 5) канонические уравнения прямой, проходящей через точку D параллельно прямой AB; 6) общее уравнение плоскости, проходящей через точку D перпендикулярно прямой AB. Задача 3. Уравнение кривой второго порядка 2 y 2 3x 2 y 2,5 0 путем выделения полного квадрата привести к каноническому виду. Построить кривую. Задача 4. Кривая задана в полярной системе координат уравнением 2 4 . Требуется: 1) найти точки, лежащие на кривой, давая значения через промежуток, равный , начиная от 0 до 2 ; 8 2) построить полученные точки; 3) построить кривую, соединив построенные точки (от руки или с помощью лекала); 4) составить уравнение этой кривой в прямоугольной декартовой системе координат. Задача 5. Построить на плоскости геометрическое место точек, определяемое неравенствами 1 x 2 1) ; 0 y x 2) 1 16 x 2 y 1 . 47 Контрольная работа № 3 Вариант 30. Задача 1. Даны три последовательные вершины параллелограмма А(3;4), В(-1;-1),С(4;2). Не находя координаты вершины D, найти: 1) уравнение стороны AD; 2) уравнение высоты BK, опущенной из вершины В на сторону AD; 3) длину высоты BK; 4) уравнение диагонали BD; 5) тангенс угла между диагоналями параллелограмма. Записать общие уравнения найденных прямых. Построить чертеж. Задача 2. Даны точки A(5;-3;2), B(3;2;-1), C(4;-2;1), D(3;1;0). Найти: 1) общее уравнение плоскости АВС; 2) общее уравнение плоскости, проходящей через точку D параллельно плоскости АВС; 3) косинус угла между плоскостью 3x 5 y 2 z 4 0 и плоскостью ABC; 4) канонические уравнения прямой АВ; 5) канонические уравнения прямой, проходящей через точку D параллельно прямой AB; 6) канонические уравнения прямой, проходящей через точку D перпендикулярно плоскости ABC. Задача 3. Уравнение кривой второго порядка x 2 36 y 2 6 x 72 y 36 0 путем выделения полного квадрата привести к каноническому виду. Построить кривую. Задача 4. Кривая задана в полярной системе координат уравнением 3 4 cos . Требуется: 1) найти точки, лежащие на кривой, давая значения через промежуток, равный , начиная от 0 до 2 ; 8 2) построить полученные точки; 3) построить кривую, соединив построенные точки (от руки или с помощью лекала); 4) составить уравнение этой кривой в прямоугольной декартовой системе координат. Задача 5. Построить на плоскости геометрическое место точек, определяемое неравенствами 1 x 1 1) 2 ; x y 4 x 2) 1 y 1 16 ( x 2) 2 . 48