КИМ-2013 экзаменационной работы. Часть 1 1309, 1310, 1311 и 1312.

КИМ-2013 экзаменационной работы.
Часть 1
В этом году, как обычно, ученикам было предложено 4 варианта КИМов:
1309, 1310, 1311 и 1312.
Ниже приведен разбор типичных ошибок на примере одного из вариантов
части 1 экзаменационной работы.
Модуль «Алгебра»
1. Найдите значение выражения 0,7   103  20
Ответ: -720
Решение. 0,7   103  20  700  20  720 .
Комментарий: эту задачу (из варианта 1311) верно решили 66,55%
учащихся и это наименьший процент по всем вариантам. Ошибки вызваны
затруднениями при возведении в куб отрицательного числа и сложением
отрицательных чисел. В двух вариантах, где пример имел вид
0,9   102  120 , результаты гораздо выше: 81,73% и 86,94%.
2. Одна из точек, отмеченных на координатной прямой, соответствует
числу
45 . Какая это точка?
А
B
5
C
D
6
1) Точка A
7
2) Точка B
3) Точка C
4) Точка D
Ответ: 4
Решение. Число 45  42,25  6,5 и
45  49  7 , поэтому это точка D.
Комментарий: верно ответили в среднем 90%. Нетрудно было увидеть,
что заданное число близко к 7, но меньше 7.
3. В какое из следующих выражений можно преобразовать дробь
1) c 5
2) c 1
3) c 0
Ответ: 2.
Решение.
c 6  c 3
c
2
 c 63 2  c 1 , поэтому ответ 2.
4) c 6
c 6  c 3
c 2
?
Комментарий; верно ответили 85% учащихся, поскольку был предложен
наиболее простой вариант задачи на эту тему.
2
4. Найдите корни уравнения: 3x  9 x  0 .
Ответ: 0; 3 или 3; 0
2
Решение. 3x  9 x  3xx  3  0

x  0
x  3 .

Комментарий: С задачей справились 71 % школьников, что даже меньше,
чем в прошлом году, хотя в прошлом году уравнение было полным. Это
означает, что по-прежнему есть проблемы с решением квадратных
уравнений.
5. Установите соответствие между графиками функций и формулами,
которые их задают.
ГРАФИКИ
ФОРМУЛЫ
1) y  
2
x
3) y 
2) y  2 x
А
4
1
x
Б
2
В бланк ответов №1 нужно
последовательность цифр без пробелов.
4) y  x 2  2
В
1
было
выписать
получившуюся
Ответ: 421
Комментарий: в варианте 1310 с задачей справились только 50 %
школьников (видимо, в интернете был неправильный ответ на этот
вариант), а в остальных вариантах верно ответили в среднем 89%, хотя
виды графиков были совершенно одинаковыми: гипербола, парабола и
прямая. Обычно школьники плохо узнают графики.
6. Дана арифметическая прогрессия: a n  : -5, -3, -1 ... . Найдите a16 .
2
Ответ: 25
Решение. a1  5, d  2  a16  5  2  15  25 .
Комментарий: верно ответили 81% учащихся, причем можно было
воспользоваться справочным материалом с нужной формулой.
c 2  ac c  a
:
7. Упростите выражение
и найдите его значение при
2
a
a
a  5, c  26 . В ответ запишите найденное значение.
Ответ: 5,2
c 2  ac c  a cc  a  a
c 26
:




 5,2 .
Решение.
a
ca a 5
a2
a2
Комментарий: верно ответили 84% учащихся.
8. Решите неравенство 3  x  3x  5 и определите, на каком рисунке
изображено множество его решений.
Ответ: 4
Решение. 3  x  3x  5

4 x  2 
x  0,5 . Поэтому ответ 4.
Комментарий: верно ответили 80% учащихся.
Модуль «Геометрия»
9. Диагональ BD параллелограмма ABCD образует с его сторонами
углы, равные 500 и 850 . Найдите меньший угол параллелограмма.
Ответ дайте в градусах.
3
Ответ: 45
Решение. Меньший угол параллелограмма равен 1800 – 500 – 850 = 450 .
Комментарий: верно ответили 75% учащихся, и столь небольшой
процент (по сравнению с остальными задачами) говорит о том, что многие
учащиеся не знают свойств параллелограмма. Часть неверных ответов
вызвана арифметическими ошибками.
10. В окружности с центром в точке О проведены диаметры AD и BC,
угол OAB равен 650 . Найдите величину угла OCD.
Ответ: 65
Решение. Углы OAB и OCD опираются на одну и ту же дугу BD ,
поэтому они равны, и следовательно угол OCD равен 650 .
Комментарий: верно ответили 86% учащихся.
11. Найдите площадь трапеции, изображенной на рисунке.
Ответ: 42
Решение. Считаем по клеточкам длины оснований и высоты и по формуле
95
 6  42 . Можно также вычислить
площади трапеции вычисляем: S 
2
площадь трапеции, отнимая от площади прямоугольника площади двух
прямоугольных треугольников.
Комментарий: верно ответили 87% учащихся.
12. В треугольнике АВС угол С прямой, BC  6, sin A  0,6 .
Найдите АВ.
4
Ответ: 10
Решение. sin A 
BC
 0,6 
AB
AB 
BC
6

 10 .
0,6 0,6
Комментарий: верно ответили 85% учащихся. Задача в одно действие,
т.е. упрощена, по сравнению с заданиями из банка заданий ГИА.
13. Укажите номера верных утверждений.
Запишите их номера подряд без пробелов.
1) Медиана равнобедренного треугольника, проведенная из вершины
угла, противолежащего основанию, делит этот угол пополам.
2) Не существует прямоугольника, диагонали которого взаимно
перпендикулярны.
3) В плоскости для точки, лежащей вне круга, расстояние до центра круга
больше его радиуса.
Ответ: 13
Решение. Первое и третье утверждения верны, а второе – нет, поскольку
у квадрата диагонали взаимно перпендикулярны.
Комментарий: верно ответили 73% учащихся. Данная задача
проверяет знание учащихся свойств геометрических фигур. Довольно
большой процент учащихся продемонстрировали незнание этих свойств.
Модуль «Реальная математика»
14. В таблице даны рекомендуемые суточные нормы потребления
(в г/сутки) жиров, белков и углеводов детьми от 1 года до 14 лет
и взрослыми.
Вещество
Дети от 1 года до 14 лет
Мужчины
Женщины
Жиры
40-97
70-154
60-102
Белки
36-87
65-117
58-87
Углеводы
170-420
257-568
Какой вывод о суточном потреблении углеводов женщиной можно
сделать, если по подсчетам диетолога в среднем за сутки она потребляет
250 г углеводов?
5
1)
2)
3)
4)
Потребление в норме.
Потребление выше рекомендуемой нормы.
Потребление ниже рекомендуемой нормы.
В таблице недостаточно данных.
Ответ: 3
Комментарий: верно ответили 70% учащихся, что говорит о неумении
анализировать и сопоставлять данные.
15. На рисунке изображен график изменения атмосферного давления в
городе Энске за три дня. По горизонтали указаны дни недели, по
вертикали – значения атмосферного давления в миллиметрах ртутного
столба. Укажите наибольшее значение атмосферного давления в среду.
Ответ: 756
Комментарий: верно ответили 91 % учащихся.
16. Чайный сервиз, который стоил 600 рублей, продается с 5%-й скидкой.
При покупке этого сервиза покупатель отдал кассиру 1000 рублей.
Сколько рублей сдачи он должен получить?
Ответ: 430
Решение. Продажная цена сервиза p  600  0,05  600  570 . Поэтому
он должен получить 430 рублей сдачи.
Комментарий: верно ответили 80% учащихся.
17. Точка крепления троса, удерживающего флагшток в вертикальном
положении, находится на высоте 12 м от земли. Расстояние от основания
флагштока до места крепления троса на земле равно 5 м. Найдите длину
троса.
6
Ответ: 13
2
2
Решение. По теореме Пифагора l  12  5  13 .
Комментарий: верно ответили 79% учащихся. Наличие рисунка сильно
упрощает задачу.
18. На диаграмме представлены семь крупнейших по площади территории
(в млн км2) стран мира.
Какое из следующих утверждений неверно? В ответе укажите его номер.
1)
2)
3)
4)
Площадь территории Бразилии составляет 7,7 млн км2 .
Площадь Индии меньше площади Китая.
Площадь Канады меньше площади России на 7,1 млн км2 .
По площади территории Австралия занимает шестое место в мире.
Ответ: 1
Решение. Очевидно, первое же утверждение неверно.
Комментарий: верно ответили 94% учащихся.
19. Девятиклассники Петя, Катя, Ваня, Даша и Наташа бросили жребий,
кому начинать игру. Найдите вероятность того, что жребий начинать
7
игру Кате не выпадет.
Ответ: 0,8
Решение. Начинающий игру 1 из 5, поэтому для любого участника
вероятность начать игру равна 1/5, а не начать – 4/5.
Комментарий: верно ответили 67% учащихся, что является самым
низким результатом в части 1. Возможно, часть учащихся неверно поняли
условие задачи (чаще всего в задачах подобного типа требуется найти
вероятность того, что событие произойдет).
20. В фирме «Родник» стоимость (в рублях) колодца из железобетонных
колец рассчитываются по формуле C  6000  4100  n , где n - число
колец, установленных при рытье колодца. Пользуясь этой формулой,
рассчитайте стоимость колодца из 20 колец.
Ответ: 88000
Решение. C20  6000  4100  20  6000  82000  88000 (рублей)
Комментарий: верно ответили 73% учащихся, что является низким
результатом для такой задачи. Как и прежде, подставить цифру вместо
буквы – сложная задача. Кроме того, наблюдается закономерность, что
процент выполнения задания ниже в тех случаях, где требуется
производить арифметические вычисления.
Анализируя задания части 1, можно сделать вывод, что заданий стало
больше по сравнению с 2012 годом, но большинство из них существенно
проще, чем в прошлом году и чем в тренировочных вариантах этого года.
КИМ-2013 экзаменационной работы. Часть 2
Модуль «Алгебра»
x 2 3x  3

21. Решите неравенство
.
3
4
x 2 3x  3

 4 x 2  9 x  9  0 . Корни квадратного уравнения:
Решение.
3
4
4
x1   , x2  3 . Решением квадратного неравенства в сторону «больше»
3
является множество точек на числовой прямой «за корнями», т.е.
3

x    ;    3;    .
4

8
3
3

Ответ: x    ;    3;    или x   , x  3 .
4
4

Комментарии. Эту задачу решили на 1 и 2 балла только 30% учащихся,
причем 2 балла получили 24%. Задачи в разных вариантах отличались
только числами.
Проблемы возникали с преобразованием (см. рис.1 - задание оценено в 0
баллов),
Рис. 1
с нахождением корней квадратного уравнения (см. рис 2 - задание оценено
в 1 балл из-за арифметической ошибки (см. критерии проверки)).
9
Рис. 2
Задание на рис.3 оценено в 2 балла.
Рис. 3
22. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 34 км, выехал
велосипедист. Одновременно с ним из В в А вышел пешеход. Велосипедист
ехал со скоростью, на 8 км/ч большей скорости пешехода, и сделал в пути
10
получасовую остановку. Найдите скорость пешехода, если известно, что они
встретились в 24 км от пункта А. .
Решение. Пусть x км/ч – скорость пешехода. Тогда скорость
велосипедиста равна ( x  8) км/ч. Приравнивая время до встречи у пешехода
и велосипедиста, получим уравнение:
10
24 1


 20x  8  48 x  x 2  8 x  x 2  36 x  160 .
x x 8 2
Решив его, получим: x1  40,
x2  4 . Скорость пешехода равна 4 км/ч.
Ответ: 4 км/ч.
Комментарии. Эту задачу решили на 2 и 3 балла 17% учащихся, причем
3 балла получили 15%. Задачи в разных вариантах отличались только
числами.
Проблемы возникали с составлением уравнения или с его решением (см.
рис.4 - задание оценено в 0 баллов)
Рис. 4
В некоторых работах был невнимательно прочитан вопрос (см. рис. 5)
11
Рис. 5
Здесь очень грамотное решение, но, к сожалению, не тот ответ,
поэтому решение оценено в 2 балла.
Подобное решение, но с верным ответом оценено в 3 балла (см. рис. 6).
12
Рис. 6
23. При каком значении p прямая y   x  p имеет с параболой
y  x 2  3x ровно одну общую точку? Найдите координаты этой точки.
Постройте в одной системе координат данную параболу и данную прямую
при найденном значении p .
Решение. Прямая имеет с параболой одну общую точку тогда и только
2
тогда, когда уравнение x  3x   x  p имеет единственное решение, т.е.
2
кода дискриминант уравнения x  4 x  p  0 равен нулю. D1  4  p  0 .
Отсюда p  4 . При данном значении параметра прямая примет вид
y   x  4 . Найдем абсциссу общей точки, решив уравнение
x 2  4 x  4  0 Получим x  2 . Найдем ординату: y  2  4  2 .
Координаты общей точки  2;  2 . Графики изображены на рисунке.
13
Ответ:  2;  2 .
Комментарии. Эту задачу решили на 3 и 4 балла только 7,9% учащихся,
причем 4 балла получили 4,6%. Задачи в разных вариантах отличались
только коэффициентами при х .
По-прежнему вызывает тревогу, что учащиеся не умеют строить
график квадратной параболы, а если и строят, то только по
некоторым точкам, не всегда характерным. А на рис. 7 точки в
таблице выбраны правильные, но почему-то на построенном графике
ординаты взяты не из приведенной таблицы (во всех вариантах
параболы были ветвями вверх) (на рис. 7 задание оценено на 0 баллов).
14
Рис. 7
Задание на рис. 8 оценено на 4 балла.
Рис. 8
15
На рисунке 9 приведено решение, где верно найдено значение
параметра, верно построены графики, однако не найдена общая точка,
и критерии проверки не позволяют оценить это решение
положительно. За решение выставлено 0 баллов. Если хотя бы были
приведены таблицы для построения графиков, при этом в обеих
таблицах присутствовала искомая общая точка, то решение было бы
оценено в 3 балла.
Рис. 9
24. В трапеции ABCD боковые стороны FD и CD равны, CH –
высота, проведенная к большему основанию AD. Найдите длину
отрезка HD, если средняя линия KM трапеции равна 12, а меньшее
основание BC равно 4.
x4
AD  BC
 12 
. Пусть AD  x , тогда
2
2
AD  BC 20  4
HD 

 8.
2
2
Решение. KM 
Ответ: 8.
16
x  20 .
Комментарии. Эту задачу решили на 1 и 2 балла 30,8% учащихся,
причем 3 балла получили 26,8%. Задачи в разных вариантах отличались
только числами.
На рисунке 10 оценка снижена до 1 балла за неверное утверждение о
длине средней линии, однако это обстоятельство не повлияло на
правильность дальнейших вычислений, поэтому оценка положительная.
Рис. 10
На рисунке 11 верно решена задача из чужого варианта, поэтому
решение оценено в 0 баллов.
Рис. 11
На рисунках 12 и 13 приведены верные обоснованные решения,
оцененные в 2 балла.
17
Рис. 12
Рис. 13
На рисунке 14 решение оценено в 0 баллов.
18
Рис. 14
25. В равнобедренном треугольнике АВС (АВ = ВС) точки M, N,K –
середины сторон АВ, ВС, СА соответственно. Докажите, что
треугольник MNK - равнобедренный.
Доказательство. Поскольку MK – средняя линия,
то MK 
BC
AB
, KN 
. Так как АВ = ВС, то
2
2
NK=MK, следовательно, треугольник MNK равнобедренный.
Комментарии. Эту задачу решили на 2 и 3 балла 21,9% учащихся,
причем 3 балла получили 16,7%. Задачи в разных вариантах отличались
только видом треугольников: равнобедренный и равносторонний.
Проблемы возникали оттого, что фактически нужно было доказывать
почти очевидное утверждение. В тех случаях, где учащиеся не указывали,
что средние линии треугольника равны половине соответствующей
стороны, решения оценивались в 0 баллов.
19
Рис. 15
На рисунке 14 оценка снижена до 2 баллов за то, что не указано, какие
именно стороны треугольника MNK равны.
На рисунке 16 доказательство оценено в 0 баллов, поскольку свойство
средней линии треугольника записано неверно и не указано, откуда следует
вывод MK = KN.
Рис. 16
На рисунке 17 задание из чужого варианта, в родном варианте речь
шла о равнобедренном треугольнике.
Рис. 17
20
26. Из вершины прямого угла С треугольника АВС проведена
высота СР. Радиус окружности, вписанной в треугольник ВСР, равен
8, тангенс угла ВАС равен
4
. Найдите радиус вписанной окружности
3
треугольника АВС.
Решение. tgBAC 
BC 4 4 x
 
.
BA 3 3x
По теореме Пифагора AB  5x .
Из подобия треугольников ВСР и
ВАС (по двум углам) с коэффициентом
k
BC 4 x 4

 следует, что радиус вписанной окружности
AB 5 x 5
треугольника АВС равен
5
 8  10 .
4
Комментарии. Эту задачу решили на 3 и 4 балла всего 1,6% учащихся,
причем 4 балла получили 1,2%. Задачи в разных вариантах отличались
перестановками букв А и В или числовыми данными.
Большинство учащихся не смогли воспользоваться подобием.
92% учащихся, решавших часть 2, даже не приступали к решению этой
задачи.
Задание на рисунке 18 оценено в 4 балла.
21
Рис. 18
22
4.4. Выводы и рекомендации
Главная рекомендация – учить думать, а не просто прививать навыки
применения алгоритмов. Нужно, чтобы обучающийся понимал, что он
делает и почему это нужно делать. Не следует навязывать единственный
способ решения задачи.
1) Слишком много обучающихся допускают арифметические ошибки и
ошибки при раскрытии скобок. Эти простейшие навыки не отработаны
должным образом.
2) Следует приучать внимательно читать условие задачи и давать ответ
именно на поставленный вопрос. Правильно понять условие задания – это
существенная часть, необходимая для его решения. Много ошибочных
ответов получается по той причине, что неверно понято задание.
3) Следует больше внимания уделять решению геометрических задач, так
как все геометрические задачи, входящие в ГИА по математике вызвали у
большинства учащихся затруднения при решении.
4) Как и в прошлые годы, обучающиеся допускают большое количество
ошибок при решении линейных и квадратных уравнений и неравенств, при
выполнении преобразований рациональных выражений; рекомендуем
уделить первостепенное внимание отработке алгоритмов решения подобных
стандартных задач.
5) Без умения применять математический аппарат для решения задач
практического содержания знание предмета теряет смысл и сводится к
механическому выполнению некоторых действий. Поэтому следует больше
внимания уделять решению задач с практическим содержанием, решению
текстовых задач.
6) Затруднение у учащихся вызвали задачи, для решения которых
необходимо было применить свойства функций, в частности, строить
графики. Вместе с тем в старших классах ведущую роль играют именно
функциональные методы.
7) Особое внимание следует уделить привитию навыков применения
буквенных формул, способности подставлять в эти выражения цифры и
вычислять полученные значения. Недостаточный навык в этой области не
позволяет даже вычислить значение функции в какой-либо точке, найти
сумму нескольких членов прогрессии и сильно сказывается на дальнейшем
обучении и результатах ЕГЭ.
8) Часть ошибок учащиеся допускают из-за своей невнимательности,
неумения делать элементарную проверку правильности полученного
результата. Поэтому необходимо обеспечить учащимся возможность
тренировочного тестирования на местах с тем, чтобы не только лучше и
23
целенаправленнее подготовиться к промежуточному тестированию, но и не
допускать во время его проведения потери баллов по техническим причинам.
9) Следует приучать внимательно читать текст условия задачи и помнить,
что решение задачи с другими данными, чем те, которые есть в условии
задачи Вашего варианта или решение задачи из чужого варианта всегда
оцениваются в 0 баллов.
9) При подготовке к экзамену, помимо учебников, по которым ведется
преподавание, рекомендуется использовать сборники, подготовленные
кафедрой математики МИОО и материалы, размещённые на сайтах
http://mathgia.ru, http://www.fipi.ru, http://obrnadzor.gov.ru.
Полезную информацию можно также найти в статьях, опубликованных в
журнале «Математика в школе», в газете «Математика» («Первое сентября»).
24