Модуль 5

Модуль 5. Подборка
ключевых задач по теме «Площади» для итогового
повторения
Список, используемых при решении задач определений
1. Простая фигура
2. Понятие площади
3. Свойства площади: а) Равные фигуры имеют равные площади
б) Если фигура разбивается на части, являющиеся простыми фигурами, то
площадь этой фигуры равна сумме площадей её частей.
в) Площадь квадрата со стороной, равной единице измерения равна единице.
4.Подобие фигур (следствие из свойств преобразования подобия)
5.Свойство площадей подобных фигур.
6. Средняя линия треугольника
7. Средняя линия трапеции
8.Круг, круговой сектор, круговой сегмент.
9. Окружность, вписанная в треугольник
10. Окружность, описанная около треугольника
11.Периметр
12. Равновеликие фигуры
Список, используемых при решении задач теорем и аксиом
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Теорема о площади прямоугольника
Теорема о площади параллелограмма
Теорема о площади треугольника и её следствия
Формула Герона
Теорема о площади трапеции
Теорема о площади подобных фигур
Справочный материал
Подборка задач для устной работы
1. Вычислите площадь прямоугольника со сторонами 15см и 4см.
2. Докажите, что диагональ параллелограмма разбивает его на два треугольника равной площади.
3. Сторона квадрата 10 см. Как изменится площадь квадрата, если каждую его сторону уменьшить в 2
раза?
4. Найдите площадь ромба, если его диагонали равны 8 см и 12 см.
5. Найдите площадь равнобедренного треугольника, если его боковая сторона равна 5м, а высота,
проведенная к основанию 4 м.
6. Чему равна площадь равностороннего треугольника со стороной 2 дм?
7. Две соответственные стороны подобных треугольников равны 2см и 5 см. Площадь первого
треугольника 8 см2.
8. Чему равна площадь второго треугольника?
9. Сторона ромба равна 6 см, а один из углов равен 1500. Найдите площадь
ромба.
10. Вычислите площадь круга, диаметр которого 3 см?
11. В прямоугольной трапеции основания 5 см и 9 см, а меньшая боковая
сторона – 4 см. Чему равна площадь трапеции?
12. Диагонали трапеции взаимно перпендикулярны и равны 6 см и 12 см. Чему
равна площадь трапеции?
13. Вычислите площади фигур, изображенных на рисунках.
14. Найдите площадь треугольника со сторонами 6 см, 15 см и 9 см. [Не
существует]
15. 14.Средняя линия трапеции равна 3 м, а высота трапеции равна 9 м. Вычислите её площадь.
K
6
SВМС =?
Рис.2
Рис. 3
N
E
3
Рис. 4
Ключевые задачи
1.Докажите, что медиана треугольника делит его на 2 равновеликих треугольника.
Решение
Проведем из вершины B треугольника ABC медиану BD и высоту BE (рис. 2), и заметим, что
S ABD 
1
AD  BE
2
S DBC 
1
DC  BE
2
Поскольку отрезок BD является медианой, то AD  DC  S ABD  S DBC , что и требовалось доказать.
Задачи на разбиение
а) Найти площадь параллелограмма АВСD, если площадь треугольника ВСМ равна 5, точка М - середина СD.
1.Проведем в параллелограмме диагональ BD
В
С
5
М
А
2.ВМ- медиана треугольника BCD
3.SΔBCM = SΔBDM (1ключевая задача), SΔBCD =10, значит SABCD =20
D
б) Найдите площадь трапеции (рис.1)
SABCD = 2 SΔBCD
SΔBCD = 2 SΔBCM , т.к. SΔBCM = SΔBDM
Способ 1. От площади красного треугольника
отнять площадь синего.
1
1
∙8∙8- ∙4∙4 = 24
2
2
Способ 2. S трапеции = 3S прям. треугольника
1
3∙ ∙4∙4 =24
2
в) Задача № 40 рабочей тетради.
На рисунке точка М делит сторону АС треугольника ABC в отношении AM :
МС = 2:3. Площадь треугольника ABC равна 180 см2. Найдите площадь
треугольника AВM.
Решение.
Треугольники ABM и ABC имеют общую высоту BD, поэтому их площади относятся как основания АМ и МС.
Так как по условию AM : МС = 2 : 3, то AM : АС = 2 : 5 и
2 .Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
Решение: Пусть треугольники ABC и А1В1С1 подобны, причем коэффициент подобия равен kO, обозначим
буквами S и S1 площади этих треугольников. Так как A=A1, то S/S1 = AB*AC/A1B1*A1C1
(по тереме об отношении площадей треугольника). По формулам имеем: АВ/А1В1 = k, AC/A1C1 = k, поэтому
S/S1 = k2. Теорема доказана.
Задачи на применение свойства подобия
а) Прямая, параллельная стороне АС треугольника АВС, пересекает сторону АВ в точке М, сторону ВС в
точке К. Площадь треугольника МВК равна 8 см2. Найдите площадь треугольника АВС, если ВС:ВК= 3:1
В
М
К
1.Треугольник АВС подобен треугольнику МВК (по двум углам)
2. Коэффициент подобия равен 3.
3. Значит, отношение площади треугольника АВС к площади
треугольника МВК равно 32= 9.
А
С
4. Поэтому площадь треугольника АВС равна 72 см2
б) Как изменится площадь треугольника, если каждую его сторону увеличить (уменьшить) в m раз?
[Увеличится (уменьшится) в m2 раз];
2.
=
(2 ключевая задача) ,
=
, SΔABC
в) Отрезок МK, параллельный стороне АС треугольника АВС делит это треугольник на две фигуры равной
площади (см. рис. 6а). Найдите: а) |MK|, если |AC| = b; б) в каком отношении точки М и
K делят стороны.
2
=
=18(см
)
1
b 2
 2 1
а) |MK| = 2 ; б) |BM| : |MA| = |BK| : |KC| = 1 : 2  1
3. Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих
треугольников относятся как произведение сторон, заключающих равные углы.
S ABC
AB  AC

S MNK MN  MK
Задачи
1. В треугольнике АВС биссектриса АDравна 7 см., АВ=6 см, АС=8 см. Найдите отношение площадей
треугольников АВD и АСD. (ответ 3:4)
2. Точки D и Е лежат на сторонах АВ и АС треугольника АВС соответственно. Как относятся площади
треугольников АВС и АDЕ, если АВ=10 см, АС=12 см, ДВ=4 см, ЕС=5 см? (ответ 20:7)
4.Докажите, что если диагонали трапеции перпендикулярны, то площадь трапеции
равна квадрату высоты.
а) Определить площадь равнобедренной трапеции, у которой диагонали взаимно перпендикулярны, а высота равна 13см.
б) Диагонали равнобедренной трапеции перпендикулярны. Найдите высоту трапеции, если её площадь равна 23 см2.
5.Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то ее площадь равна
половине квадрата ее диагонали.
а) Определить площадь равнобедренной трапеции, у которой основания равны 12 см и 20 см, а диагонали взаимно
перпендикулярны. (
)
б) Определить площадь равнобедренной трапеции, у которой основания равны 10 см и 26 см, а диагонали
перпендикулярны к боковым сторонам.
8.В трапеции проведены диагонали. Докажите, что площади треугольников, прилежащих
к боковым сторонам равны
Построим трапецию ABCD. Проведём диагонали, пересекающиеся в точке O.
Рассмотрим треугольники ABD и ACD. Они равны, так как имеют общее основание AD и одинаковые высоты.
Если провести их из точек B и C. Тогда S(ABO) + S(AOD) = S(COD) + S (AOD) => S(ABO) = S(COD).
В
А
С
D
Задачи
а) В трапеции АВСD (ВС и АD – основания) проведены диагонали АС и ВD, которые пересекаются в точке О.
Найдите площади треугольников АОВ и DОС, если площадь треугольника АСD равна 12 м2, а площадь АОD
равна 7 м2.
б) Средняя линия трапеции с основаниями МР и ТС равна 12 см, а высота трапеции 5см, Е – точка
пересечения диагоналей. Найдите площадь треугольника ТЕМ, если площадь треугольника ТЕС равна 10 см 2,
площадь треугольника МЕР 20 см2.
Задачи для самостоятельной работы

Вершина С параллелограмма АВСD является серединой отрезка ВТ. Найдите площадь параллелограмма, если
площадь треугольника АСТ равна 4. (Ответ 8)

Отрезок EF, параллельный стороне AB прямоугольника ABCD, разбивает его на два
подобных прямоугольника (см. рис. 5). |AE| = m; |ED| = n. Найдите: а) площадь ABCD;
б) AFD (ответ S = (m + n) mn ; 90);

В треугольнике АВС
биссектриса АН равна 8 см, АВ=6 см, Ас=9см. Найдите отношение площадей треугольников АВН и АСН.

В треугольнике АВС
через точку пересечения медиан проведена прямая, параллельная стороне АС и пересекающая
стороны АВ и ВС в точках К и Е соответственно. Найдите АС, если КЕ=12 см. Найдите площадь
треугольника ВКЕ, если площадь треугольника АВС равна 72 см2.

Найдите отношение
сторон двух квадратов, если отношение их площадей равно а : b [ a : b ];
 Найдите среднюю линию трапеции площади 18 см2, если ее боковая сторона длины 6 см образует с
основанием угол 30 [h = 3 (см); m = 6 (см)]
 Отрезок МK, параллельный стороне АС треугольника АВС делит это треугольник на две фигуры
равной площади. Найдите: MK, если AC= b.
Ответ:MK =
b 2
.
2
 Найти площадь трапеции АВСD.
