55653_resheniex

Содержание
Задание №6.
Задание №7.
Задание №8.
Задание №9.
Задание №10.
Задание №11.
Задание №12.
Задание №13.
Задание №14.
Задание №15.
Задание №16.
Задание №13.
Задание №18.
Задание №19.
Литература
2
5
9
10
12
14
15
16
18
20
23
24
25
27
28
1
Задание 6. Даны координаты вершин треугольника ∆АВС . Найдите
а) длину стороны АВ
б) уравнение высоты СD и ее длину
в) уравнение медианы АМ
г) точку пересечения высоты СD и медианы АМ
д) угол С в ∆АВС. Сделать чертеж
А(6,8)
В(5,-7)
С(-6,0)
Решение:
а)
Расстояние d между точками M 1  x1 ; y1  и M 2  x2 ; y2  определяется по
формуле:
d
x
 x1    y2  y1  .
2
2
2
(1)
Подставив в эту формулу координаты точек А и В, имеем:
𝐴𝐵 = √(5 − 6)2 + (−7 − 8)2 = √1 + 225 = √226
б) Составим уравнение прямой АВ с помощью формулы
x  x1
y  y1
.
(2)

x2  x1 y2  y1
Подставив в (2) координаты точек A и В:
х6
у 8
х 6 у 8 х 6 у 8

,

,

,
56 7 8
1
 15
1
15
15 x  90  y  8, 15 x  y  82  0 ( AB).
Для нахождение углового коэффициента k AB прямой АВ разрешим
полученное уравнение относительно у: y  15 x  82 . Отсюда k AB  15
Так как высота CD перпендикулярна стороне AB , то угловые коэффициенты
этих прямых обратны по величине и противоположны по знаку, т.е.
kСD  
1
1
 .
k AB
15
Уравнение прямой, проходящей через данную точку M 1  x1 ; y1  в
заданном угловым коэффициентом k направлении, имеет вид:
y  y1  k  x  x1  .
(3)
2
Подставив в (3) координаты точки С и k СD  
1
, получим уравнение высоты
15
CD :
y0  
1
( x  6),
15
y
1
2
x ,
15
5
x  15 y  6  0 (CD) .
Найдем точку Д, как точку пересечения прямых СД и АВ
1
2
x
15
5
225x 1230   x  6
226x  1224
612
86
x
,y
113
113
15 x  82  
в) уравнение медианы проведенной через вершину A найдём по формуле (2)
для точек A(6;8) и точки М как середины стороны BC
𝑥𝑀 =
𝑥𝐵 + 𝑥𝐶 5 − 6
1
=
=−
2
2
2
𝑦𝑀 =
𝑦𝐵 + 𝑦𝐶 −7 + 0
7
=
=−
2
2
2
1
7
у
2
2,
1
7
6
8
2
2
х
2х  1 2 у  7

, 46 x  23  26 y  91, 46 x  26 y  68  0,
13
23
23x  13 y  34  0 ( АМ )
г) точку пересечения высоты СD и медианы АМ найдем из системы
𝑥 + 15𝑦 + 6 = 0
{
23𝑥 − 13𝑦 − 34 = 0
23𝑥 + 345𝑦 + 138 = 0
{
23𝑥 − 13𝑦 − 34 = 0
358𝑦 = −172
𝑦=−
N(
62
149
;−
86
216
, 𝑥=
179
179
1824
149
) - точка пересечения высоты СD и медианы АМ
3
д) Угол  между двумя прямыми, угловые коэффициенты которых равны k1
и k 2 , определяется по формуле:
tg 
k1  k 2
.
1  k1k 2
(4)
Угол С, образованный прямыми BC и АС, найдем по формуле (4)
Подставив в (2) координаты точек B и C:
х 5
у 7 х 5 у 7

,

,
65 07
 11
7
7 x  35  11y  77, 7 x  11y  42  0 ( ВС ).
Для нахождение углового коэффициента k ВС прямой ВС разрешим
полученное уравнение относительно у: y  
7
42
7
x
. Отсюда k ВС  
11
11
11
Подставив в (2) координаты точек А и C:
х6
у 8 х 6 у 8

,

,
66 08
 12
8
 8 x  48  12 y  96,  8 x  12 y  48  0,
2 x  3 y  12  0 ( АС ).
Для нахождение углового коэффициента k АС прямой АС разрешим
2
3
полученное уравнение относительно у: y  x  4 . Отсюда k АС 
2  7
 
3  11 
tgA 
 2,263 ,
2  7
1   
3  11 
A  arctg 2,263  66 град.
4
2
3
Задание 7. Даны четыре точки А, В, С и S. Найти: уравнения
а) плоскости АВС
б) прямой АВ
в) прямой SN, перпендикулярной к плоскости АВС
г) косинус угла между плоскостями АВС и ВСS
д) объем пирамиды АВСS
е) уравнение прямой SD, параллельной прямой АВ
ж) площадь грани АВС
А(8,1,0)
В(-1,-3,0)
С(-1,0,-4)
S(2,-4,7)
Решение
а) Для составления уравнения плоскости АВС воспользуемся формулой
x  x0
y  x0
z  z0
x1  x0 y1  y0 z1  z0  0 , где x0 , y0 , z0  координаты точки A ,
x 2  x0 y 2  z 0 z 2  z 0
x1 , y1 , z1  координаты точки В , x2 , y 2 , z 2  координаты точки С .
𝑥−8
| −9
−9
𝑦−1 𝑧
−4
0 |=0
−4
−4
−9
(𝑥 − 8) |−4 0 | − (𝑦 − 1) |
−4 −4
−9
0
−9 −4
| + z|
|=0
−4
−9 −4
16 ∗ (𝑥 − 8) − 36 ∗ (𝑦 − 1) = 0
4 ∗ (𝑥 − 8) − 9 ∗ (𝑦 − 1) = 0
4𝑥 − 9𝑦 − 23 = 0 − уравнение плоскости АВС
5
б) Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки
𝐴1 (𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 ), 𝐴2 (𝑥2 , 𝑦2 , 𝑧2 ), имеет вид
𝑥 − 𝑥1
𝑦 − 𝑦1
𝑧 − 𝑧1
=
=
𝑥2 − 𝑥1 𝑦2 − 𝑦1 𝑧2 − 𝑧1
Тогда для точек А(8,1,0) В(-1,-3,0)
𝑥−8
𝑦−1
𝑧
=
=
−1 − 8 −3 − 1 0
𝑥−8 𝑦−1 𝑧
=
= – уравнение прямой АВ
−9
−4
0
в) Направляющий вектор искомой высоты - это вектор нормали плоскости
АВС. Из уравнения плоскости 4𝑥 − 9𝑦 − 23 = 0 имеем вектор нормали
𝑛̅ = (4; −9; 0)
Уравнение прямой, проходящей через заданную точку 𝐴1 (𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 ), в
направлении вектора 𝑛̅ = (p; q; s) имеет вид
𝑥 − 𝑥1 𝑦 − 𝑦1 𝑧 − 𝑧1
=
=
p
q
s
Тогда для точки 𝑆(2, −4,7) и вектора ̅𝑛 = (4; −9; 0) имеем
𝑥−2 𝑦+4 𝑧−7
=
=
– уравнение высоты, опущенной
4
−9
0
из точки 𝑆 на плоскость АВС.
6
г) Найдем уравнение плоскости ВСS
𝑥+1
| 0
3
𝑦+3 𝑧
3
−4| = 0
−1
7
3 −4
0 −4
0 3
(𝑥 + 1) |
| − (𝑦 + 3) |
| + z|
|=0
−1 7
3 7
3 −1
17 ∗ (𝑥 + 1) − 12 ∗ (𝑦 + 3) − 𝑧 = 0
17𝑥 − 12𝑦 − 𝑧 − 19 = 0 − уравнение плоскости ВСS
Косинус угла найдем по формуле4𝑥 − 9𝑦 − 23
cos  
A1 A2  B1 B2  C1C2
A12  B12  C12 * A22  B22  C22
𝑐𝑜𝑠𝛼 =
4 ∗ 17 − 9 ∗ (−12) + 0 ∗ (−1)
√16 + 81 + 0 ∗ √289 + 144 + 1
= 0.86
д) Объем пирамиды АВСS численно равен одной шестой модуля смешанного
произведения векторов AB , AC , AS , которое находится по формуле.
Таким образом, V 
1
( AB, AC , AC )  .
6
1 −9 −4 0
1
−1 −4
−9
= |−9 −1 −4| = (−9 |
| + 4|
−5 7
−6
6
6
−6 −5 7
105
−4
|) =
= 17,5 (куб. ед)
7
6
е) уравнение прямой SD, параллельной прямой АВ
Уравнение прямой, проходящей через заданную точку 𝐴1 (𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 ), в
направлении вектора 𝑛̅ = (p; q; s) имеет вид
7
𝑥 − 𝑥1 𝑦 − 𝑦1 𝑧 − 𝑧1
=
=
p
q
s
Тогда для точки 𝑆(2, −4,7)и направляющего вектора прямой АВ
̅𝑛 = (−9; −4; 0) имеем
𝑥−2 𝑦+4 𝑧−7
=
=
− уравнение прямой SD, параллельной прямой АВ
−9
−4
0
ж) площадь грани АВС будет вычисляться по формуле:
S ABC 


1
AB, AC ,
2
𝑖̅
𝑗̅
𝑘̅
̅̅̅̅ , 𝐴𝐶
̅̅̅̅ ] = |−9 −4 0 | = 𝑖̅ |−4
[𝐴𝐵
−1
−9 −1 −4
−9 0
−9
0
| − 𝑗̅ |
| + 𝑘̅ |
−4
−9 −4
−9
= 16𝑖̅ − 36𝑗̅ − 27𝑘̅
Значит,
1
16 2  (36) 2  (27) 2 
2
1

256  1296  729  23,9 (кв. ед.)
2
S ABC 
8
−4
|=
−1
Задание 8. Методом параллельных сечений исследовать форму поверхности.
Сделать рисунок.
z2  y2  9
Решение
Решение
Параллельные сечения тут уже сделаны, т.к. уравнение не зависит от x, а
значит во всех плоскостях, перпендикулярных оси Ox имеем одно и то же
сечение
𝑧2 𝑦2
−
=1
32 3 2
т.е. сечение представляет гиперболу, а значит вся поверхность является
гиперболическим цилиндром второго порядка.
9
Задание 9. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя
а)
4 x3  5
lim
x 
x 1
x3  6 x 2  11x  6
б) lim
x 1
x 2  3x  2
2x 1  5
x 3
в) lim
x 3
г) lim
x 
1  5 x  7 x3
x3  4 x 2  5
 4x  5 
е) lim


x  4 x  1


sin 2 3 x
д) lim
x 0
x2
3x
Решение
а) Так как при 𝑥 → ∞ числитель и знаменатель дроби стремятся к
∞
бесконечности, то имеем неопределенность вида . Разделим числитель и
∞
знаменатель на 𝑥
lim
4√𝑥 3 +5
𝑥+1
𝑥→∞
5
𝑥
∞
𝑥(4√𝑥+ )
∞
1
𝑥(1+ )
𝑥
= | | = lim
𝑥→∞
5
4√𝑥+
𝑥
= lim
𝑥→∞
=
1
1+
𝑥
∞
1
=∞
б) Так как при 𝑥 → 1 числитель и знаменатель дроби стремятся к нулю, то
0
имеем неопределенность вида . Разделим числитель и знаменатель на 𝑥 − 1
0
lim
𝑥 3 −6𝑥 2 +11𝑥−6
𝑥→1
𝑥 2 −3𝑥+2
0
= | | = lim
0
(𝑥−1)(𝑥 2 −5𝑥+6)
𝑥1
(𝑥−1)(𝑥−2)
=lim
𝑥 2 −5𝑥+6
𝑥−2
𝑥→1
=
2
−1
= −2
в) Так как при 𝑥 → 3 числитель и знаменатель дроби стремятся к нулю, то
0
имеем неопределенность вида . Умножим числитель и знаменатель на
0
(√2𝑥 − 1 + √5):
√2𝑥−1−√5
𝑥−3
𝑥→3
lim
= lim
𝑥→3 (𝑥
= lim
0
= | | = lim
0
(√2𝑥−1−√5)(√2𝑥−1+√5)
(𝑥−3)(√2𝑥−1+√5)
𝑥→3
2𝑥 − 1 − 5
− 3)(√2𝑥 − 1 + √5)
𝑥→3 √2𝑥
2
− 1 + √5
=
2
2√5
=
= lim
=
2(𝑥 − 3)
𝑥→3 (𝑥
− 3)(√2𝑥 − 1 + √5)
1
√5
10
=
г) Так как при 𝑥 → ∞ числитель и знаменатель дроби стремятся к
∞
бесконечности, то имеем неопределенность вида . Разделим числитель и
∞
3
знаменатель на 𝑥 :
lim
1−5𝑥−7𝑥 3
𝑥→∞ 𝑥 3 −4𝑥 2 +5
1
∞
= | | = lim
∞
5
𝑥 3 ( 3 − 2 −7)
𝑥
𝑥
𝑥→∞
4 5
𝑥 3 (1− + 2 )
𝑥 𝑥
1
5
− −7
𝑥3 𝑥2
4 5
𝑥→∞ 1−𝑥+ 2
𝑥
= lim
=
−7
1
= −7
д) Так как при 𝑥 → 0 числитель и знаменатель дроби стремятся к нулю, то
0
имеем неопределенность вида . По свойствам основных эквивалентностей
0
для бесконечно малых функций имеем при 𝑥 → 0:
𝑠𝑖𝑛𝑥~𝑥
lim
𝑠𝑖𝑛2 3𝑥
𝑥2
𝑥→0
 4x  5 
lim 

x  4 x  1


0
= | | = lim
0
(3𝑥)2
𝑥→0 𝑥 2
9
= lim = 1
𝑥→0 1
3x
e) Так как при 𝑥 → ∞ имеем неопределенность вида 1∞ . Выражение, стоящее
под знаком предела, приводим к такому виду, чтобы можно было
1
воспользоваться вторым замечательным пределом lim (1 + )𝑥 = 𝑒
𝑥
𝑥→∞
4𝑥−5 3𝑥
)
𝑥→∞ 4𝑥+1
lim (
= lim ((1 +
𝑥→∞
−6
3
)4𝑥+1−1 )4 = lim ((1 +
4𝑥+1
𝑥→∞
−6
4𝑥+1
)
4𝑥+1 1 −9
+
−6
6 2
)
=
−9
−9
−6 4𝑥+1 −9
−6 −3
1
lim
2
−6
2
4
𝑥→∞
= lim ((1 +
)
) (1 +
) =𝑒
=𝑒2 =
𝑥→∞
4𝑥 + 1
4𝑥 + 1
√𝑒 9
Задание 10. Найти производные данных функций
11
а) y  sin 2 3x  arctg 2 x3
в) y  ( x  3) x
б) y 
e3 x
(3x  5)3
г) ctg ( y)  x3  y3
2
Решение
а) 𝑦 = sin2 3x ∗ arctg2x 3
𝑦 ′ = 2sin3x ∗ cos3x ∗ 3 ∗ arctg2x 3 + sin2 3x ∗
1
∗ 3x 2 =
3
2
1 + (2x )
3x 2 sin2 3x
= 3sin6x3 ∗ arctg2x +
1 + 4x 6
3
б) 𝑦 =
𝑦′ =
𝑒 3𝑥
(3𝑥+5)3
3𝑒 3𝑥 (3𝑥+5)3 −3(3𝑥+5)2 ∗3𝑒 3𝑥
(3𝑥+5)6
=
3𝑒 3𝑥 (3𝑥+5)−9𝑒 3𝑥
(3𝑥+5)4
2
в) 𝑦 = (x + 3)x
Логарифмируя исходную функцию имеем
𝑙𝑛𝑦 = x 2 𝑙𝑛(x + 3)
𝑦′
1
= 2𝑥𝑙𝑛(x + 3) + x 2 ∗
𝑦
x+3
Тогда искомая производная равна
𝑦 ′ = 2𝑥𝑙𝑛(x + 3) + x 2 ∗
1
2
)(x + 3)x
x+3
г) ctg ( y)  x3  y3
12
=
𝑒 3𝑥 (9𝑥+6)
(3𝑥+5)4
Вычисляем производную, считая y функцией от x
−
1
𝑦′ = 3𝑥 2 + 3𝑦 2 𝑦′
2
𝑠𝑖𝑛 𝑦
Выражая y’ получим искомую производную
𝑦 ′ (3𝑦 2 +
1
) = −3𝑥 2
2
𝑠𝑖𝑛 𝑦
3𝑥 2
′
𝑦 =−
3𝑦 2 +
1
𝑠𝑖𝑛2 𝑦
Задание 11. Заданы функции y  f ( x) и два значения аргумента x1 и x2 .
13
Требуется
а) установить, является ли данная функция непрерывной или разрывной
для каждого из данных значений аргумента;
б) в случае разрыва функции найти ее пределы слева и справа;
в) сделать схематический чертеж
1
f ( x)  35 x , x1  3, x2  5.
Решение
а) Установим, является ли данная функция непрерывной или разрывной для
каждого из данных значений аргумента, для чего определим значения 𝑓(𝑥):
1
𝑓(3) = 35−3 = √3 − фунция определена
1
𝑓(5) = 35−5 = 3∞ = ∞ − фунция терпит разрыв
б) Найдем пределы функции слева и справа в точке 𝑥2 = 5
1
35−𝑥 = 3−∞ = 0,
𝑥→5+0
lim
1
35−𝑥 = 3∞ = ∞
𝑥→5−0
lim
в) Сделаем схематический чертеж.
14
Задание 12. Задана функция y  f ( x) . Найти точки разрыва функции, если они
существуют. Сделать чертеж.
−2𝑥, если 𝑥 ≤ 0
𝑓(𝑥) = {√𝑥, если 0 < 𝑥 ≤ 4
1, если 𝑥 > 4
Решение
Функция определена на каждом из промежутков и может иметь точки
разрыва только в точках 𝑥1 = 0, 𝑥2 = 4.
Найдем односторонние пределы в этих точках:
lim −2𝑥 = 0,
lim √𝑥 = 0
𝑥→0−0
𝑥→0+0
lim √𝑥 = 2,
𝑥→4−0
lim
𝑥→4+0
1=1
Поскольку односторонние пределы в точке 𝑥1 = 0 конечны и равны, то в
этой точке функция непрерывна.
Поскольку односторонние пределы в точке 𝑥2 = 4 конечны и различны, то в
этой точке функция терпит разрыв первого рода.
Сделаем схематический чертеж
15
Задание 13. С помощью преобразования графика y  sin x построить график
функции y  a1 sin(a2 x  a3 ) a1., a2 ., a3 𝑎1 = −6, 𝑎2 = 4, 𝑎3 = 5
Решение
Построим последовательно следующие графики
𝑦 = 𝑠𝑖𝑛𝑥 - синусоида
𝑦 = 𝑠𝑖𝑛4𝑥 - сужение по оси х
𝑦 = sin(4𝑥 + 5)- смещение по оси х влево
𝑦 = −6sin(4𝑥 + 5)- растяжение по оси у и отражение по горизонтали
16
17
Задание 14. Используя правило Лопиталя вычислить пределы
x x
б) lim(2  )tg
x2
2
4
e x  e x  2 x
1. а) lim
x0
x  sin x
Решение
а) Так как при 𝑥 → 0 числитель и знаменатель дроби стремятся к нулю, то
0
имеем неопределенность вида .
0
𝑒 𝑥 − 𝑒 −𝑥 − 2𝑥
0
(𝑒 𝑥 − 𝑒 −𝑥 − 2𝑥)′′′′
lim
= | | = lim
=
′
𝑥→0
𝑥→0
𝑥 − 𝑠𝑖𝑛𝑥
0
(𝑥 − 𝑠𝑖𝑛𝑥)′′ ′
= lim
𝑥→0
𝑒 𝑥 + 𝑒 −𝑥 − 2′′′
1 − 𝑐𝑜𝑠𝑥′′ ′
= lim
𝑒 𝑥 − 𝑒 −𝑥 ′′′
𝑠𝑖𝑛𝑥′′ ′
𝑥→0
= lim
0
(𝑒 𝑥 + 𝑒 −𝑥 − 2)′′′′
= | | = lim
=
′
𝑥→0
0
(1 − 𝑐𝑜𝑠𝑥)′′ ′
0
(𝑒 𝑥 − 𝑒 −𝑥 )′′′′
= | | = lim
=
′
𝑥→0
0
(𝑠𝑖𝑛𝑥)′′ ′
𝑒 𝑥 + 𝑒 −𝑥 ′′′
𝑥→0
𝑐𝑜𝑠𝑥′′ ′
2
= =2
1
б) Неопределенности нет
𝑥
𝜋𝑥
lim (2 − ) 𝑡𝑔
= |1 ∗ ∞| = ∞
𝑥→2
2
4
Видимо в условии опечатка и следует решать
𝑥 𝜋𝑥
lim(2 − )𝑡𝑔 4 = |1∞ |
𝑥→2
2
Логарифмируя функцию
𝑥 𝜋𝑥
𝑦 = (2 − )𝑡𝑔 4
2
имеем
𝑙𝑛𝑦 = 𝑡𝑔
𝜋𝑥
𝑥
𝑙𝑛(2 − )
4
2
Тогда
lim 𝑙𝑛𝑦 = lim 𝑡𝑔
𝑥→2
𝑥→2
𝜋𝑥
𝑥
𝑙𝑛 (2 − ) = |∞ ∗ 0| =
4
2
18
𝑥
𝑥
𝑙𝑛 (2 − )
(𝑙𝑛 (2 − ))′′′′
0
2 = | | = lim
2
= lim
=
𝜋𝑥
𝑥→2 с𝑡𝑔
𝑥→2
𝜋𝑥 ′
0
(с𝑡𝑔 )′′ ′
4
4
1
1
1
𝑥 ∗ (− 2)
2 𝜋𝑥
4𝑠𝑖𝑛
2−
4 = 4 =2
2
= lim
= lim 4 − 𝑥
= lim
1
𝜋 𝑥→2
1
𝜋 𝑥→2 (4 − 𝑥)𝜋 2𝜋 𝜋
𝑥→2
−
∗
∗
𝜋𝑥
𝜋𝑥
4
4
𝑠𝑖𝑛2
𝑠𝑖𝑛2
4
4
Тогда
2
𝑥
𝜋𝑥
lim(2 − ) 𝑡𝑔
= 𝑒𝜋
𝑥→2
2
4
19
Задание 15. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию
и, используя результаты исследования, построить её график.
y  x5  5 x 4  5 x3  1
Решение
1). Найдем область определения функции. Функция определена на всей
области определения
𝐷(𝑦) = (−∞; +∞)
2). Исследуем функцию на четность и нечетность. Функция не является ни
четной, ни нечетной, так как
𝑦(−𝑥) = (−𝑥)5 − 5(−𝑥)4 + 5(−𝑥)3 + 1 = −𝑥 5 − 5𝑥 4 − 5𝑥 3 + 1
𝑦(−𝑥) ≠ 𝑦(𝑥) и 𝑦(−𝑥) ≠ −𝑦(𝑥)
3). Исследуем функцию на непрерывность и определим вертикальные
асимптоты. Функция не имеет разрывов, значит вертикальных асимптот нет.
Уравнения наклонных асимптот ищем в виде
y = kx + b
где
𝑦
𝑥 5 − 5𝑥 4 + 5𝑥 3 + 1
𝑘 = lim = lim
= ∞;
𝑥→∞ 𝑥
𝑥→∞
𝑥
Следовательно наклонных асимптот нет.
lim (𝑥 5 − 5𝑥 4 + 5𝑥 3 + 1) = +∞
𝑥→+∞
lim (𝑥 5 − 5𝑥 4 + 5𝑥 3 + 1) = −∞
𝑥→−∞
20
4) Определим точки экстремума и интервалы возрастания и убывания
функции с помощью первой производной:
𝑦 ′ = 5𝑥 4 − 20𝑥 3 + 15𝑥 2 = 5𝑥 2 (𝑥 2 − 4𝑥 + 3)
Так как 𝑦′ = 0, при 𝑥 = 0, 𝑥 = 1, 𝑥 = 3 то
x
(−∞; 0)
(0; 1)
(1; 3)
(3; +∞)
y’
+
+
-
+
y
↗
↗
↘
↗
Из таблицы видно, что функция возрастает при 𝑥 ∈ (−∞; 1) ∪ (3; +∞)
и убывает при 𝑥 ∈ (1; 3).
𝑦(1) = 2 − точка максимума
𝑦(3) = −26 − точка минимума
6). Определим точки перегиба и интервалы выпуклости и вогнутости с
помощью второй производной.
𝑦" = 20𝑥 3 − 60𝑥 2 + 30𝑥 = 10𝑥(2𝑥 2 − 6𝑥 + 3)
Так как 𝑦′′ = 0, при 𝑥 = 0, 𝑥 = 3 − √3, 𝑥 = 3 + √3 то
Определим знак y” на каждом интервале:
x
(−∞; 0)
(0; 3 − √3)
(3 − √3; 3 + √3)
(3 + √3; +∞)
y”
-
+
-
+
y
∩
∪
∩
∪
Из таблицы видно, что функция вогнута при 𝑥 ∈ (0; 3 − √3) ∪ (3 + √3; +∞)
и выпукла при 𝑥 ∈ (−∞; 0) ∪ (3 − √3; 3 + √3).
7). Найдем точки пересечения кривой с осями координат
При 𝑥 = 0 𝑦 = 1.
21
Дополнительные точки
𝑦(2) = −7
𝑦(4) = 65
7). По результатам исследования построим график данной функции.
22
Задание 16. Для функции e x вычислить значение e0,a3 и e0,a4 с точностью до
0.001 . Применить формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. (
a3 и a4 с таблицы- 1).
a3 =5
a4 =6
Решение
Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа имеет вид
x x 2 x3
e 1   
1! 2! 3!
x
Rn 
X n1  x
e
(n  1)!
отсюда получаем
ex  1 
xn
  Rn
n!
x x 2 x3
  
1! 2! 3!

xn
n!
x 0<x<1 имеем 0   x  x  1 отсюда e0  e x  e x  e  3 или
x n1
3 x n1
 3 следованием
 0.001 или
1  e x  3 следовательно Rn 
(n  1)!
(n  1)!
Для любого значения
x n1
1

(n  1)! 3000
Следовательно, для заданной точности каждый отброшенный член должен быть меньше
1
.
3000
При 𝑎1 = 0.5 эта точность достигается при n=6, а при 𝑎2 = 0.6 n=6
𝑒 0.5 = 1 +
𝑒 0.6 = 1 +
0.6
1
0.5
1
+
+
0.62
2
0.52
2
+
+
0.63
6
0.53
6
+
+
0.64
24
0.54
24
+
+
0.55
120
0.65
120
23
= 1.65
= 1.82
Задание 17. Найти наибольшее и наименьшее значение функции y  f ( x) на
отрезке [a, b] .
f ( x)  3  2 x 2 ; a  1; b  3.
Решение
Найдем значения функции на границе области определения и в нулях первой
производной
𝑓 ′ (𝑥) = −4𝑥
На промежутке [-1;3] y’=0 при х=0
𝑓(−1) = 1
𝑓(0) = 3 наибольшее значение функции
𝑓(3) = −15 наименьшее значение функции
24
Задание 18. Турист идет из пункта A , находящегося на шоссейной
дороге, в пункт B расположенный в 8 км от шоссе. Расстояние от A до B
по прямой составляет 17 км. В каком месте туристу следует свернуть с шоссе,
чтобы в кратчайшее время прийти в пункт B , если скорость его по шоссе 5
км/ч, а по бездорожью 3 км/ч!
Решение
Пусть турист проехал по шоссе х км. Тогда по теореме косинусов путь по
бездорожью равен
𝑙 = √172 + 𝑥 2 − 34𝑥𝑐𝑜𝑠𝛼
Поскольку
𝑐𝑜𝑠𝛼 = √1 + 𝑠𝑖𝑛2 𝛼 = √1 + (
8 2
) = 0.88
17
То
𝑙 = √𝑥 2 − 29,92𝑥 + 289
Время, затраченное на поездку, равно
𝑥 𝑙 𝑥 √𝑥 2 − 29,92𝑥 + 289
𝑡= + = +
5 3 5
3
25
𝑡′ =
1
2𝑥 − 29.92
+
5 6√𝑥 2 − 29,92𝑥 + 289
𝑡 ′ = 0 при
2𝑥 − 29.92
6√𝑥 2 − 29,92𝑥 + 289
=
1
5
10𝑥 − 149,6 = 6√𝑥 2 − 29,92𝑥 + 289
100𝑥 2 − 2992𝑥 + 22380.16 = 6𝑥 2 − 179.52𝑥 + 1734
94𝑥 2 − 2812.48𝑥 + 20646.16 = 0
Решая квадратное уравнение получим
𝑥1 = 17
𝑙 = 8,33
𝑥2 = 12,92
𝑙 = 8,33
Очевидно, что путь
𝑥2 = 12,92
𝑙 = 8,33 займет меньше времени
26
Задание 19. Определить количество действительных корней уравнения
f ( x)  0 , отделить эти корни и, применяя метод хорд и касательных, найти их
приближенное значение с точностью 0, 01 .
x3  4 x  1  0
Решение
𝑦 = 𝑥 3 + 4𝑥 − 1 непрерывная функция на всей области определения x  R .
В точке x=0 𝑦(0) < 0, а в точке x=1 y(1)= 4>0. Следовательно на отрезке
[0;1] функция 𝑦 = 𝑥 3 + 4𝑥 − 1 обращается в ноль и уравнение x3  4 x  1  0
на этом отрезке имеет корень. Найдем y( x)  3x2  4 . Так как y( x)  0 для всех
x  R , то функция y(x) монотонно возрастает на всей области определения и
имеет только единственный корень на отрезке [0;1]. Уточним отрезок на
котором находится корень. Разделим отрезок [0;1] на сто частей и убедимся,
что функция y(x) меняет знак только на отрезке [0.23; 0.25]. Следовательно
корень уравнения лежит на отрезке [0.23; 0.25]. Проверим, для какой из этих
двух точек выполняется условие y( x0 )  y( x)  0 поскольку
𝑦 ′′ = 6𝑥,
𝑦 ′′ (0.25) = 1.5,
𝑦(0.25) = 0.015625
′′ (0.25)
𝑦(0.25) ∗ 𝑦
>0
то применяя метод Ньютона положим 𝑥0 = 0.25. Находим
𝑥1 = 𝑥0 −
𝑦(𝑥0 )
0.015625
= 0.25 −
= 0.24627
𝑦′(𝑥0 )
4.1875
..
𝑥2 = 𝑥1 −
𝑦(𝑥1 )
0.00001
= 0.24627 −
= 0.24627
𝑦′(𝑥1 )
4.1819
Таким образам x=0.24627 корень данного уравнения, с точностью 0, 01
имеем x=0.25
27
Литература
1. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. В 2 ч. Ч. 1 /
Д.Т. Письменный. –М.: Айрис-пресс, 2003. – 288 с.
2. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. В 2 ч. Ч. 2 /
Д.Т. Письменный. –М.: Айрис-пресс: Рольф, 2002. – 256 с.
3. Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: учебник
для втузов. В 2 т. Т. 1 / Н. С. Пискунов.– М.: Интеграл-Пресс, 2001.– 456 с.
28