Дистанционная олимпиада по математике. 1 тур. Курбатовой

Дистанционная олимпиада по математике. 1 тур.
Курбатовой Валерии Павловной
1. Искомое число можно обозначить как 7abc. Второе число с изменённой цифрой можно
представить как abc7;
Можно сказать, что получили уравнение 7abc-abc7 = 864;
Находим цифры "столбиком", пошагово.
1)7abc
abc7
864
Из первого шага очевидно, что c=1, т.к. 4+7=11, получается, что мы заняли единицу у b.
2) 7ab1
ab17
864 Из второго находим b; b=6+1=7 И прибавляем 1, т.к. мы занимали, т.е. b=8.
3) 7a81
a817
864 Из третьего шага : a+10=8+8=16. Т.е. a=6.
Ответ : 7681. Можно проверить, вычесть из этого числа 6817. Получим 864.
2. 8*1=8
8*2=64
8*3=612
8*4=4096
8*5=32768
Логично, что последняя цифра изменяется циклично через каждые четыре числа.
2003:4=500 (ост 3)
То есть последняя цифра соответствует остатку 3, то есть последней цифре 2.
3. Разделим монеты на три кучки по 27 монет.
Первое взвешивание, две кучки на весы - отбираем самую тяжелую ( она или на весах
или та что не взвешивали).
27 монет (где тяжелая) разделим на три кучки по 9 монет.
Второе взвешивание, две на весы, взвешиваем
9 монет (где тяжелая), опять на три кучки по 3 монеты.
Третье взвешивание, две кучки на весы и взвешиваем,
остается три монеты с тяжелой.
Четвертое, две монеты на весы и определяем тяжелую.
4. Из вершины треугольника надо провести высоту ( она
медиана и биссектриса) к
противоположной стороне. Так из каждой вершины по очереди, и получится три раза
одинаково по 2 треугольника. Полученные 2 треугольника будут равны, к примеру, по 3
сторонам. Следовательно, тремя способами можно разрезать равносторонний
треугольник на два равных треугольника.
5. (a-b)3+(b-c)3 +(c-a)3= a³-3a²b+3ab²-b³+b³-3b²c+3bc²+c³-a³-3a²c+3ac²-c³=-3a2b+3ab23b2c+3bc2-3a2c+3ac2=3( -a2b+ab2-b2c+bc2-a2c+ac2)
Ответ: 3( -a2b+ab2-b2c+bc2-a2c+ac2)
6. √1 + √2 + √x =4
1+√√2 + √𝑥=2
√2 + √x=3
2+√𝑥=9
√𝑥=9-2
√𝑥=7
X=72
X=49
Ответ: 49
7. Ноль получится тогда, когда 2 умножается на 5. Двоек в этом разложении гораздо
больше, чем пятерок (одних только четных чисел 50). Нужно посчитать только
количество пятерок в этом разложении. Пятерки дают числа 5, 10, 15, ..100. Все эти
числа кроме 25, 50, 75, 100 дают по одной пятерке. Числа 25, 50, 75, 100 дают по две
пятерки. Итого в разложении 100! на простые множители содержится 24 пятерки. Значит,
произведение всех натуральных чисел от 1 до 100 заканчивается 24 нулями.
8. Поезд проезжает мимо платформы за 10 секунд, а потом еще весь остальной поезд мимо
столба в конце платформы идет 5 секунд. v(скорость)= 150/10=15 м/сек.
А так как он весь мимо столба проезжает за 5 секунд, то его длина равна 15*5=75
метров.
Ответ: 15 м/сек; 75 метров.
9.
𝑚
=1/3
𝑛
выразим n: ⇒ n=3m
подставим в выражение:
3𝑚−2𝑚
𝑚
𝑚
= =1
𝑚
Ответ: 1.
10.Объединим в группы по четыре члена, начиная со второго
2-3-4+5=0
6-7-8+9=0
10 - 11 - 12 + 13 = 0
и т. д.
2002 - 2003 - 2004 + 2005 = 0
Всё по нулям, но остается первое слагаемое
Ответ: 1