П Р Е Д И С Л О В И... Предлагаемые дидактические материалы по геометрии предназначены
advertisement
http://geometry2006.narod.ru/Didakt8/MatDikt.htm ПРЕДИСЛОВИЕ Предлагаемые дидактические материалы по геометрии предназначены для работы в 8 классе по учебнику: Смирнова И.М., Смирнов В.А. Геометрия: Учебник для 7-9 классов общеобразовательных учреждений (М.: Мнемозина, 2003). Вместе с тем, их можно использовать при работе и по другим учебникам геометрии для 7-9 классов, входящим в Федеральный перечень учебной литературы. В учебное пособие включены математические диктанты, самостоятельные и контрольные работы, тесты, задачи с практическим содержанием и с элементами стереометрии. Диктанты представлены в двух вариантах ко всем пунктам названного учебника. Это задания с пропусками, которые заполняются учениками. Как правило, математический диктант проводится в начале урока в течение небольшого промежутка времени (оптимально 7-8 мин.). Он хорошо активизирует учебную деятельность школьников, способствует систематизации, обобщению знаний учащихся, повторению теоретического материала. Выполнять записи лучше на специальных листочках с копировальной бумагой. После выполнения заданий первые экземпляры сдаются учителю, а копии остаются для проверки, которую нужно провести сразу, например, с помощью кодоскопа, это быстро и удобно. Предлагаемые самостоятельные работы так же как и диктанты составлены по каждому пункту учебника. Предусмотрено два равноценных варианта. В каждом из них по 6 заданий, которые распределены по трем уровням: первые два задания легче (они отмечены кружком), вторые два – это задания базового, стандартного уровня и последние два – повышенного уровня трудности (помечены звездочкой). В самостоятельные работы включены разнообразные задачи на доказательство, вычисление и построение. Они помогут лучше освоить содержание обучения геометрии, сформировать необходимые представления, выработать практические навыки, развить логическое мышление, проверить качество освоения материала. Контрольные работы охватывают все основные разделы курса геометрии 8 класса, их шесть, в соответствии с программой изучения. Каждая контрольная работа дается в двух равноценных вариантах. Последнее задание, отмеченное звездочкой, относится к повышенному уровню трудности. Предлагаемые тесты посвящены основным темам курса геометрии 8 класса. Их всего шесть по 20 заданий в каждом. Они предназначены для проверки успешности усвоения школьниками учебного материала. Тесты не содержат громоздких вычислений и охватывают, по возможности, все основные понятия изученной темы. К каждому тестовому заданию предлагается несколько (как правило, четыре) вариантов ответов, из которых ученик должен выбрать один, верный, по его мнению. В пособие включены, так называемые, задачи с практическим содержанием. Основная их дидактическая функция заключается в том, чтобы продемонстрировать учащимся непосредственную связь школьной геометрии с реальной жизнью. Это очень важный компонент обучения, который помогает учащимся лучше осознать значение геометрии и обеспечивает действенность геометрических знаний. Помимо сказанного, серьезным аспектом решения таких задач является формирование у школьников понятия математической модели: сначала перевод практической ситуации на язык геометрии, геометрическое решение и интерпретация полученного решения, т.е. возвращение к практической стороне исходной задачи. Именно так решаются настоящие прикладные задачи на производстве, в технике, науке, сельском хозяйстве и других областях. Разработанный курс геометрии для основной школы представляет собой систематический курс планиметрии с включением в него элементов стереометрии. Последние нужны для развития пространственных представлений учащихся и подготовке к изучению систематического курса стереометрии старших классов. В данное пособие включены соответствующие упражнения на изображение простейших пространственных ситуаций, чтение пространственных чертежей, распознавание изучаемых плоских фигур на неплоских пространственных фигурах, применение планиметрических теорем в пространственных ситуациях, рассмотрение аналогий и т.п. Завершается пособие ответами к самостоятельным, контрольным работам, представленным задачам и тестам. § 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДИКТАНТЫ Замечание. Номера (с 27 по 56) математических диктантов, самостоятельных работ здесь и далее соответствуют пунктам учебника (пункты 1-26 представлены в дидактических материалах для 7 класса тех же авторов). 27. Параллельные прямые Вариант 1 1. Две прямые называются пересекающимися, если … 2. Прямая a параллельна прямой b, это обозначается следующим образом … 3. Изобразите две прямые c, d и их секущую e; отметьте числами образовавшиеся при этом углы. Тогда соответственными будут углы … 4. На рисунке предыдущего вопроса внешними накрест лежащими углами будут … 5. Признак параллельности двух прямых заключается в том, что … 6. Если при пересечении двух прямых односторонние угла в сумме составляют 180 , то … третьей, внутренние Вариант 2 1. Две прямые на плоскости называются параллельными, если … 2. Прямая a пересекается с прямой b в точке O, это обозначается следующим образом … 3. Изобразите две прямые m, n и их секущую k; отметьте числами образовавшиеся при этом углы. Тогда внешними односторонними будут углы … 4. На рисунке предыдущего вопроса внутренними накрест лежащими углами будут … 5. Основное свойство двух параллельных прямых заключается в том, что … 6. Если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то … 28. Сумма углов многоугольника Вариант 1 1. Сумма углов остроугольного треугольника равна … 2. Внешний угол треугольника равен … 3. Углы равнобедренного прямоугольного треугольника равны … 4. Сумма углов выпуклого пятиугольника равна … 5. Углы правильного четырехугольника равны … 6. Сумма углов выпуклого m-угольника равна … Вариант 2 1. Сумма углов тупоугольного треугольника равна … 2. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна … 3. Углы равностороннего треугольника равны … 4. Сумма углов выпуклого четырехугольника равна … 5. Углы правильного пятиугольника равны … 6. Сумма углов выпуклого k-угольника равна … 29. Параллелограмм Вариант 1 1. Сумма двух углов, образовавшихся при пересечении двух параллельных прямых третьей, равна 100, поэтому образовавшиеся тупые углы равны … 2. Четырехугольником называется … 3. Сумма углов параллелограмма равна … 4. В параллелограмме противоположные стороны … 5. Диагонали параллелограмма точкой пересечения … 6. Три параллельные прямые пересечены двумя параллельными прямыми, при этом образовалось … параллелограммов. Вариант 2 1. Сумма двух углов, образовавшихся при пересечении двух параллельных прямых третьей, равна 200, поэтому образовавшиеся острые углы равны … 2. Параллелограммом называется … 3. Сумма углов выпуклого четырехугольника равна … 4. В параллелограмме противоположные углы … 5. Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна … 6. К двум параллельным прямым проведены три перпендикуляра, при этом образовалось … параллелограммов. общих 30. Признаки параллелограмма Вариант 1 1. Отрезок, соединяющий четырехугольника, называется … противоположные вершины 2. Сумма двух углов параллелограмма равна 150, тогда сумма двух других его углов равна… 3. Первый признак параллелограмма заключается в том, что … 4. Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны, то … . (Будет или нет параллелограммом.) 5. Если в четырехугольнике равны два противоположных угла и две противоположные стороны, то … . (Будет или нет параллелограммом.) 6. Прикладывая два равных равнобедренных треугольника сторонами друг к другу, можно получить … различных параллелограммов. Вариант 2 1. Отрезок, соединяющий параллелограмма, называется … противоположные вершины 2. Сумма двух углов параллелограмма равна 90, тогда сумма двух других его углов равна… 3. Второй признак параллелограмма заключается в том, что … 4. Если в четырехугольнике равны два противоположных угла, то … . (Будет или нет параллелограммом.) 5. Если в четырехугольнике две противоположных стороны равны, а две другие параллельны, то … . (Будет или нет параллелограммом.) 6. Прикладывая два неравнобедренных прямоугольных треугольника сторонами друг к другу, можно получить … различных параллелограммов. 31. Прямоугольник, ромб, квадрат Вариант 1 1. Ромбом называется параллелограмм, у которого … 2. Прямоугольником называется четырехугольник, у которого … 3. Квадратом называется прямоугольник, у которого … 4. Признак ромба заключается в том, что … 5. Квадрат обладает свойствами ромба, а именно, у него … 6. Если диагональ параллелограмма делит его угол пополам, то угол между диагоналями равен … Вариант 2 1. Квадратом называется ромб, у которого … 2. Ромбом называется четырехугольник, у которого … 3. Квадратом называется параллелограмм, у которого … 4. Признак прямоугольника заключается в том, что … 5. Квадрат обладает свойствами прямоугольника, а именно, у него … 6. Если диагональ ромба образует с его сторонами углы в 40, то тупой угол ромба равен … 32 .Средняя линия треугольника Вариант 1 1. Если угол между диагоналями прямоугольника прямой, то этот прямоугольник является … 2. Если диагональ ромба равна его стороне, то углы этого ромба равны … 3. Средней линией треугольника называется … 4. Периметр треугольника, образованного средними линиями другого треугольника, равен 9 см, тогда периметр данного треугольника равен … 5. Периметр равностороннего треугольника равен 102 см, тогда его средняя линия равна … Вариант 2 1. Если угол между диагональю ромба и его стороной равен 45, то этот ромб является … 2. Если одна из сторон параллелограмма в 4 раза меньше его периметра, то этот параллелограмм является … 3. Число средних линий треугольника равно … 4. Периметр треугольника равен 54 см, тогда периметр треугольника, образованного его средними линиями, равен … 5. Теорема о средней линии треугольника заключается в том, что … 33. Трапеция Вариант 1 1. Трапецией называется … 2. Боковыми сторонами трапеции называются … 3. Трапеция называется прямоугольной, если … 4. Теорема о средней линии трапеции заключается в том, что … 5. Если середины сторон произвольной трапеции отрезками, то полученный четырехугольник будет являться … соединить 6. Боковая сторона и средняя линия равнобедренной трапеции равны соответственно 3 см и 9 см, тогда периметр трапеции равен … Вариант 2 1. Основаниями трапеции называются … 2. Средней линией трапеции называется … 3. Трапеция называется равнобедренной, если … 4. Следствие из теоремы о средней линии трапеции заключается в том, что … 5. Если середины сторон равнобедренной трапеции соединить отрезками, то полученный четырехугольник будет являться … 6. Боковая сторона и периметр равнобедренной трапеции равны соответственно 7 см и 28 см, тогда ее средняя линия равна … 34. Теорема Фалеса Вариант 1 1. Теорема Фалеса заключается в том, что … 2. Теорема Фалеса является обобщением … 3. Число k называется коэффициентом пропорциональности двух отрезков CD и EF, если … 4. Следствие из теоремы о пропорциональных отрезках заключается в том, что … 5. Чтобы отрезок KL разделить на 6 равных частей, нужно … Вариант 2 1. Отношением двух отрезков AB и CD называется … 2. Теорема о пропорциональных отрезках заключается в том, что … 3. Отношение двух отрезков MN и KL обозначается … 4. Говорят, что отрезки AB, CD пропорциональны отрезкам A1B1, C1D1, если … 5. Чтобы отрезок EF разделить на 5 равных частей, нужно … 35. Углы, связанные с окружностью Вариант 1 1. Центральным углом называется … 2. Следствие из теоремы о вписанном угле заключается в том, что … 3. Дуга вписанного угла определяется … 4. Хорда окружности, равная ее радиусу, видна из центра окружности под углом … 5. Вписанный и центральный углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, связаны так, что … Вариант 2 1. Вписанным углом называется … 2. Теорема о вписанном угле заключается в том, что … 3. Дуга центрального угла определяется … 4. Хорда окружности, равная ее радиусу, видна из произвольной точки окружности, отличной от ее концов, под углом … 5. Дугой окружности называется … 36. Многоугольники, вписанные в окружность Вариант 1 1. Многоугольник называется вписанным в окружность, если … 2. Теорема о вписанном треугольнике заключается в том, что … 3. Центром окружности, многоугольника, является … описанной около правильного 4. Большая сторона прямоугольного треугольника стягивает дугу описанной около него окружности в … 5. Центр окружности, описанной около квадрата, находится … Вариант 2 1. Окружность называется описанной около многоугольника, если … 2. Центром окружности, описанной около треугольника, является … 3. Теорема о вписанном в окружность правильном многоугольнике заключается в том, что … 4. Сторона равностороннего треугольника стягивает дугу описанной около него окружности в … 5. Центр окружности, описанной около прямоугольника, находится … 37. Многоугольники, описанные около окружности Вариант 1 1. Окружность называется вписанной в многоугольник, если … 2. Центром окружности, вписанной в треугольник, является … 3. Теорема об описанном около многоугольнике заключается в том, что … окружности правильном 4. Если около четырехугольника описана окружность, то … 5. Если центры окружностей, вписанной и описанной около треугольника, совпадают, то треугольник является … 6. Если центр описанной около треугольника окружности принадлежит одной из его сторон, то треугольник является ... Вариант 2 1. Многоугольник называется описанным около окружности, если … 2. Теорема о треугольнике, описанном около окружности, заключается в том, что … 3. Центром окружности, вписанной в правильный многоугольник, является … 4. Если в четырехугольник вписана окружность, то … 5. Если центр вписанной в треугольник окружности принадлежит одной из его высот, то треугольник является… 6. Если центр описанной около треугольника окружности находится вне треугольника, то треугольник является ... 38. Замечательные точки в треугольнике Вариант 1 1. Медианой треугольника называется … 2. Серединным перпендикуляром к отрезку называется … 3. Ортоцентром треугольника называется … 4. Теорема о высотах треугольника заключается в том, что … 5. Центром окружности, описанной около треугольника, является его замечательная точка - … 6. Точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам тупоугольного треугольника находится … Вариант 2 1. Биссектрисой треугольника называется … 2. Высотой треугольника называется … 3. Центроидом треугольника называется … 4. Теорема о медианах треугольника заключается в том, что … 5. Центром окружности, вписанной в треугольник, является его замечательная точка - … 6. Точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам остроугольного треугольника находится … 39. Центральная симметрия Вариант 1 1. Две точки A и A’ являются симметричными относительно точки O, если… 2. Центром симметрии называется … 3. Фигура F является центрально симметричной относительно точки O, если … 4. Первое свойство центральной симметрии заключается в том, что … 5. При центральной симметрии прямая, проходящая через центр симметрии, переводится в … 6. Примером не центрально симметричной фигуры является … Вариант 2 1. Центральной симметрией называется … 2. Две фигуры F и F’ являются центрально-симметричными, если … 3. Центром симметрии фигуры называется … 4. Второе свойство центральной симметрии заключается в том, что … 5. При центральной симметрии прямая, не проходящая через центр симметрии, переводится в … 6. Примером центрально симметричной фигуры является … 40. Поворот. Симметрия n-порядка Вариант 1 1. Поворотом вокруг точки называется … 2. Фигура F’ получается поворотом из фигуры F вокруг точки O, если … 3. Второе свойство поворота заключается в том, что … 4. Центральная симметрия является поворотом на … 5. Центр окружности, описанной около квадрата, является центром симметрии n-го порядка, где n= … 6. Примером фигуры, которая при повороте на любой угол переходит в себя, является … Вариант 2 1. Точка A’ плоскости получается из точки A поворотом вокруг точки O на угол , если … 2. Точка O является центром симметрии n-го порядка фигуры F, если … 3. Первое свойство поворота заключается в том, что … 4. Центр симметрии является центром симметрии n-го порядка, где n= … 5. Центр окружности, описанной около равностороннего треугольника, является центром симметрии n-го порядка, где n= … 6. Поворот на угол (-) равносилен повороту на … 41. Осевая симметрия Вариант 1 1. Осевой симметрией называется … 2. Две фигуры называются симметричными относительно прямой, если … 3. Фигура F является симметричной относительно прямой k, если … 4. Второе свойство осевой симметрии заключается в том, что… 5. Осевая симметрия переводит в себя точки, которые … 6. Примером симметричной относительно оси фигуры является … Вариант 2 1. Две точки A и A’ являются симметричными относительно прямой a, если… 2. Осью симметрии называется … 3. Осью симметрии фигуры называется … 4. Первое свойство осевой симметрии заключается в том, что… 5. Осевая симметрия переводит в себя прямые, которые … 6. Примером несимметричной относительно оси фигуры является … 42. Параллельный перенос Вариант 1 1. Параллельный перенос характеризуется … 2. Вектором называется … 3. Два вектора называются противоположно направленными, если … 4. Модулем вектора называется … 5. Первое свойство параллельного переноса заключается в том, что… 6. Фигура F’ получена параллельным переносом из фигуры F, если … Вариант 2 1. Параллельным переносом называется … 2. Вектор обозначается следующим образом … 3. Два вектора называются равными, если … 4. Два вектора называются одинаково направленными, если … 5. Второе свойство параллельного переноса заключается в том, что… 6. Длиной вектора называется… 43. Движение. Равенство фигур Вариант 1 1. Композицией движений называется … 2. Примерами движений являются … 3. Движение переводит прямые в … 4. Две фигуры называются равными, если … 5. Теорема, которая устанавливает связь между понятиями равенства фигур и равенства треугольников заключается в том, что … Вариант 2 1. Движением называется … 2. Композицией движений является … 3. Движение переводит лучи в … 4. Два треугольника равны в том и только том случае, если … 5. При движении полуплоскость переходит в … 44*. Паркеты Вариант 1 1. Паркетом называется … 2. Из одноименных правильных многоугольников можно составить … паркетов. (Количество.) 3. В каждой вершине правильного паркета сходятся 3 квадрата и … 4. В каждой вершине правильного паркета сходятся квадрат, восьмиугольник и … 5. В каждой вершине правильного паркета могут сходиться 2 шестиугольника и … или … Вариант 2 1. Правильным паркетом называется … 2. Из разноименных правильных многоугольников можно составить … паркетов. (Количество.) 3. В каждой вершине правильного паркета сходятся 5 треугольников и … 4. В каждой вершине правильного паркета сходятся треугольник, двенадцатиугольник и … 5. В каждой вершине правильного паркета могут сходиться шестиугольник, квадрат и … или … 45. Подобие треугольников. Первый признак подобия треугольников Вариант 1 1. Два треугольника называются подобными, если … 2. CDEC1D1E1 означает, что … 3. В трапеции ABCD (BC||AD) проведены диагонали, которые пересеклись в точке O, тогда образовались следующие подобные треугольники … 4. Первый признак подобия треугольников для прямоугольных треугольников может быть сформулирован следующим образом … 5. Стороны одного треугольника равны 5 см, 2 см и 6 см, тогда стороны подобного ему треугольника с коэффициентом подобия 5, равны … Вариант 2 1. Коэффициентом подобия двух треугольников называется … 2. KLMK1L1M1, если … 3. Первый признак подобия треугольников заключается в том, что … 4. Первый признак подобия треугольников для равнобедренных треугольников может быть сформулирован следующим образом … 5. Стороны одного треугольника равны 4 см, 7 см и 9 см, тогда стороны 1 подобного ему треугольника с коэффициентом подобия 2 , равны … 46. Второй и третий признаки подобия треугольников Вариант 1 1. Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то … 2. Второй признак подобия треугольников заключается в том, что … 3. В треугольнике ABC, последовательно соединены точки A1 – середина стороны BC, B1 – середина стороны AC и C1 – середина стороны AB, при этом образовались следующие подобные треугольники … 4. На рисунке (рис. 1) подобными являются треугольники … 5. Если соответственные стороны подобных треугольников относятся как 3:2, то их периметры относятся как … Вариант 2 1. Два равнобедренных прямоугольных треугольника подобны, так как … 2. Третий признак подобия треугольников заключается в том, что … 3. В прямоугольном треугольнике ABC (C=90) проведена высота CH, при этом образовались следующие подобные треугольники … 4. На рисунке (рис. 2) подобными являются треугольники … 5. Периметры подобных треугольников относятся как 5:7, коэффициент подобия при этом равен … 47. Подобие фигур. Гомотетия Вариант 1 1. Подобием называется … 2. Коэффициентом гомотетии называется … 3. Центром гомотетии называется … 4. Подобие переводит лучи в … 5. Гомотетия является подобием с коэффициентом … 6. Композиция двух преобразований подобия является … Вариант 2 1. Гомотетией называется … 2. Коэффициентом подобия называется … 3. Две фигуры называются подобными, если … 4. Подобие переводит отрезки в … 5. Подобие сохраняет … 6. Фигура F подобна фигуре F’ с коэффициентом подобия k, тогда фигура F’ подобна фигуре F с коэффициентом подобия … 48*. Золотое сечение Вариант 1 1. В Древней Греции гармоническим отношением называлось … 2. Термин «Sectio aurea» в переводе означает … 3. Золотое отношение единичного отрезка равно приблизительно … 4. Золотым прямоугольником называется … 5. Вращающиеся квадраты получаются, если … 6. В золотом остроугольном треугольнике углы равны … Вариант 2 1. Золотым сечением называется … 2. Термин «Sectio divina» в переводе означает … 3. Золотое сечение обозначается … 4. Золотым треугольником называется … 5. Золотая спираль – это кривая, которая … 6. В золотом тупоугольном треугольнике углы равны … 49. Теорема Пифагора Вариант 1 1. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен … 2. Несоизмеримыми отрезками называются … 3. Примером соизмеримых отрезков являются … 4. Пентаграммой называется … 5. Примером пифагорейских чисел являются … Вариант 2 1. В силу теоремы Пифагора имеет место формула … 2. Соизмеримыми отрезками называются … 3. Примером несоизмеримых отрезков являются … 4. Пифагорейскими числами называются … 5. Все треугольники в пентаграмме являются … 50. Тригонометрические функции острого угла Вариант 1 1. Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется … 2. Котангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется … … 3. Косинус и тангенс угла A обозначаются соответственно 4. Тригонометрическими функциями острого угла называются … 5. Теорема о прямоугольном треугольнике с острым углом 30 заключается в том, что … 6. tg 45= … Вариант 2 1. Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется … 2. Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется … 3. Синус и котангенс угла B обозначаются соответственно … 4. Теорема о тригонометрических функциях острого угла заключается в том, что … 5. sin 30= … 6. ctg 45= … 51. Тригонометрические тождества Вариант 1 1. cos (90-A)= … 2. tg (90-A)= … 3. Основным тригонометрическим тождеством является … 4. Косинус острого угла можно выразить через его синус таким образом … 5. sin 90= … 6. ctg 30= … Вариант 2 1. sin (90-A)= … 2. ctg (90-A)= … 3. 1+tg2 A= … 4. Cинус острого угла можно выразить через его косинус таким образом … 5. cos 90= … 6. tg 30= … 52. Тригонометрические функции тупого угла Вариант 1 1. Острым углом называется … 2. Основное тригонометрическое тождество для случая 0<A<180 заключается в том, что … 3. sin (180-A)= … 4. cos 135= … 5. tg 120= … Вариант 2 1. Тупым углом называется … 2. Основное тригонометрическое тождество для случая 0 <B<90 заключается в том, что … 3. cos (180-A)= … 4. sin 150= … 5. ctg 135= … 53. Теорема косинусов Вариант 1 1. Обобщением теоремы Пифагора является теорема, которая заключается в том, что … 2. Косинус угла отрицателен, когда … 3. Если катеты прямоугольного треугольника равны 7 см и 16 см, то тангенс большего острого угла равен … 4. В треугольнике ABC C=30, AC=4 см, BC=3 см, тогда AB= … 5. В треугольнике LMN M=120, ML=2, MN=3, тогда LN= … Вариант 2 1. Теорема косинусов формулируется следующим образом … 2. Теорема косинусов является обобщением теоремы Пифагора, потому что … 3. Если катеты прямоугольного треугольника равны 12 см и 5 см, то котангенс меньшего острого угла равен … 4. В треугольнике KLM K=60, KL=5 см, KM=3 см, тогда ML= … 5. В треугольнике DEF E=150, DE=1, FE=9, тогда DF= … 54. Теорема синусов Вариант 1 1. Теорема косинусов заключается в том, что … 2. Теорема синусов позволяет по известным углам и одной стороне треугольника найти … 3. В треугольнике ABC B=120, AC=3 см, тогда радиус описанной окружности равен … 4. Стороны треугольника относятся как 1:2:2, тогда синусы его углов относятся как … 3 5. Тангенс одного из углов прямоугольного треугольника равен 5 , прилежащий к нему катет равен 15 см, тогда другой катет равен … Вариант 2 1. Теорема синусов заключается в том, что … 2. С помощью теоремы косинусов решается практическая задача о нахождении … 3. По теореме синусов радиус окружности, описанной около треугольника, равен … 4. Синусы углов треугольника относятся как 1:2: 3 , тогда его стороны относятся как … 1 5. Котангенс одного из углов прямоугольного треугольника равен 1 3 , прилежащий к нему катет равен 12 см, тогда другой катет равен … 55. Длина окружности Вариант 1 1. Периметр правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса R, выражается формулой … 2. Отношение длин двух окружностей равно … 3. Длина окружности диаметра D выражается формулой … 4. Радианной мерой угла называется … 5. Длина окружности, описанной около единичного квадрата, равна … Вариант 2 1. Периметры правильных n-угольников относятся как … 2. Для приближенного вычисления числа поступают следующим образом … 3. Длина окружности радиуса R выражается формулой … 4. Радианом называется … 5. Длина окружности, описанной около прямоугольника со сторонами 3 см и 4 см, равна … 56*. Циклоидальные кривые Вариант 1 1. Кинематический способ задания кривой заключается в том, что … 2. Циклоидой называется … 3. Свойство циклоиды, которое называется «Ледяная гора», заключается в том, что … 4. Астроидой называется … 5. Первым ученым, который изучал циклоиду, был … Вариант 2 1. Циклоидальная кривая получается как … 2. Циклоида в переводе с греческого языка означает … 3. Свойство циклоиды, которое называется «Часы с маятником», заключается в том, что … 4. Кардиоидой называется … 5. Среди ученых, которые занимались изучением циклоиды, были … § 2. САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ 27. Параллельные прямые Вариант 1 1. Проведите две прямые и их секущую. Пронумеруйте полученные углы и запишите, какие из них являются: а) внутренними накрест лежащими; б) внешними односторонними. 2. На рисунке 3 a||b, 1=59. Найдите остальные углы. 3. Один из внешних односторонних углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых третьей, в три раза больше другого угла. Найдите все образовавшиеся углы. 4. На рисунке 4 AGE=126, разность углов BGF и FHC равна 72. Докажите параллельность прямых AB и CD. 5*. В треугольнике MNO M=100, N=37. Определите O. 6*. Стороны угла RST соответственно параллельны сторонам угла XYZ, равного 157. Найдите угол RST. Вариант 2 1. Проведите две прямые и их секущую. Пронумеруйте полученные углы и запишите, какие из них являются: а) внешними накрест лежащими; б) внутренними односторонними. 2. На рисунке 5 m||n, 1=102. Найдите остальные углы. 3. Один из внутренних односторонних углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых третьей, на 38 больше другого угла. Найдите все образовавшиеся углы. 4. На рисунке 6 MPE=58, разность углов MPF и KOE равна 64. Докажите, что прямые KL и MN параллельны. 5*. В треугольнике KLM K=32, M=79. Определите L. 6*. Докажите, что если a||b и b||c, то a||c. 28. Сумма углов многоугольника Вариант 1 1. Может ли треугольник иметь углы, равные: а) 45, 56, 103; б) 3240’, 2020’, 127? 2. Острый угол прямоугольного треугольника равен 59. Найдите его остальные углы. 3. Определите углы треугольника, если известно, что они относятся как 1:3:5. 4. Найдите угол правильного двенадцатиугольника. 5*. Перпендикуляр, опущенный из вершины прямого угла треугольника на гипотенузу, делит этот угол на два угла, один из которых 2 составляет 5 другого. Найдите острые углы треугольника. 6*. Сумма внешних углов многоугольника на 6d (d=90) меньше суммы его внутренних углов. Найдите число сторон данного многоугольника. Вариант 2 1. Может ли треугольник иметь углы, равные: а) 37, 104, 49; б) 5715’, 27, 9545’? 2. Угол при основании равнобедренного треугольника равен 37. Найдите его остальные углы. 3. Определите углы прямоугольного треугольника, если известно, что его острые углы относятся как 3:7. 4. Найдите угол правильного пятнадцатиугольника. 2 5*. Найдите углы треугольника, если один из них составляет 3 второго 4 и 5 третьего угла. 6*. Сумма внешних углов многоугольника в три раза меньше суммы его внутренних углов. Найдите число сторон данного многоугольника. 29. Параллелограмм Вариант 1 1. Один из углов параллелограмма равен 54. Найдите другие его углы. 2. Периметр параллелограмма равен 92 см. Одна из его сторон на 32 см больше другой. Найдите стороны параллелограмма. 3. Найдите углы параллелограмма, если два его угла относятся как 3:2. 4. Биссектриса тупого угла параллелограмма делит его противоположную сторону в отношении 3:2, считая от вершины острого угла. Найдите стороны параллелограмма, если его периметр равен 80 см. 5*. Через точку O пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведен отрезок EF||AB, где точки E и F принадлежат соответственно сторонам BC и AD параллелограмма. Сумма диагоналей равна 28 см. Разность между периметрами треугольников AOF и BOE равна 9 см. Найдите диагонали параллелограмма. 6*. Постройте треугольник по двум сторонам (a, b) и медиане (mc), проведенной к третьей стороне. Вариант 2 1. Один из углов параллелограмма равен 113. Найдите другие его углы. 2. Найдите стороны параллелограмма, если две его стороны относятся как 4:5, а периметр равен 72 см. 3. В параллелограмме ABCD диагональ BD образует со стороной CD угол 34. Найдите углы, BCD и ADB, если ABC=72. 4. Биссектриса тупого угла параллелограмма делит его противоположную сторону в отношении 2:1, считая от вершины тупого угла. Найдите стороны параллелограмма, если его периметр равен 96 см. 5*. Параллелограмм, периметр которого равен 82 см, разделен диагоналями на четыре треугольника. Разность между периметрами двух из них равна 19 см. Найдите стороны параллелограмма. 6*. Докажите, что если две стороны и медиана, заключенная между ними, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и медиане, заключенной между ними, другого треугольника, то такие треугольники равны. 30. Признаки параллелограмма Вариант 1 1. Даны два равных и параллельных отрезка. Их концы соединены непересекающимися отрезками. Будет ли получившийся четырехугольник параллелограммом? 2. На рисунке 7 отрезки KL и MN в точке O делятся пополам. Будет ли четырехугольник MKNL параллелограммом? 3. В параллелограмме CDEF точки Q, R, S, T – середины его сторон (рис. 8). Докажите, что четырехугольник QRST является параллелограммом. 4. На рисунке 9 ABCD – параллелограмм и 1=2. Докажите, что четырехугольник AMCN - параллелограмм. 5*. Дан четырехугольник ABCD. Через точку C проведем прямые, параллельные AB и AD, и отложим на них вне четырехугольника соответствующие отрезки CE=AB и CF=AD. Докажите, что четырехугольник BEFD является параллелограммом, в котором стороны равны и параллельны диагоналям данного четырехугольника. 6*. Постройте параллелограмм по стороне (a), сумме другой стороны и одной диагонали (b+d) и одному из углов (). Вариант 2 1. В параллелограмме ABCD точки K и L – середины сторон AD и BC соответственно. Будут ли четырехугольники ABLK и CDKL являться параллелограммами? 2. На рисунке 10 1=2 и 3=4. Будет ли четырехугольник CDEF являться параллелограммом? 3. На сторонах параллелограмма EFGH отложены равные отрезки EA=GC и FB=HD (рис. 11). Докажите, что четырехугольник ABCD является параллелограммом. 4. В параллелограмме KLMN биссектрисы углов L и N пересекают диагональ KM в точках P и Q соответственно. Докажите, что четырехугольник LQNP является параллелограммом. 5*. Дан шестиугольник, в котором противоположные стороны равны и параллельны. Докажите, что прямые, соединяющие его противоположные вершины, пересекаются в одной точке. 6*. Постройте параллелограмм, если дан его периметр (p), одна из его диагоналей (d) и угол () между этой диагональю и стороной параллелограмма. 31. Прямоугольник, ромб, квадрат Вариант 1 1. Сумма диагоналей прямоугольника равна 17 см. Найдите диагонали прямоугольника. 2. В ромбе одна из диагоналей равна его стороне. Найдите углы ромба. 3. Дан квадрат ABCD. На каждой его стороне отложены равные отрезки AA1=BB1=CC1=DD1. Докажите, что четырехугольник A1B1C1D 1 тоже является квадратом. 4. Из вершины прямоугольника на его диагональ опущен перпендикуляр, основание которого делит ее в отношении 1:3. Точка пересечения диагоналей находится от большей стороны прямоугольника на расстоянии 12 см. Найдите диагонали прямоугольника. 5*. Докажите, что биссектрисы углов параллелограмма, пересекаясь образуют прямоугольник, у которого диагонали равны разности смежных сторон параллелограмма. 6*. Постройте параллелограмм по стороне (a) и разности диагонали и другой стороны (d- b). Вариант 2 1. В прямоугольнике диагонали образуют угол 60. Найдите углы между диагональю прямоугольника и его сторонами. 2. В ромбе одна из диагоналей равна его стороне. Найдите углы, образованные диагоналями ромба с его сторонами. 3. В прямоугольном треугольнике CDE через вершину прямого угла C проведена биссектриса CL. Через точку L проведены прямые, параллельные катетам треугольника. Докажите, что образовавшийся четырехугольник является квадратом. 4. Углы, образованные стороной ромба с его диагоналями, относятся как 4:5. Найдите углы ромба. 5*. Дан параллелограмм KLMN, KR, LO, MO и NR – биссектрисы его углов (рис. 12). Докажите, что PS||KN и OR||KL. 6*. Постройте прямоугольник по стороне (a) и сумме другой стороны и диагонали (b+d). 32. Средняя линия треугольника Вариант 1 1. Периметр данного треугольника равен 18 см. Найдите периметр треугольника, вершинами которого являются середины сторон данного треугольника. 2. Средняя линия отсекает от данного треугольника равнобедренный прямоугольный треугольник. Найдите углы данного треугольника. 3. Стороны треугольника относятся как 7:8:9. Периметр треугольника, вершинами которого являются середины сторон данного треугольника, равен 48 см. Найдите периметр и стороны данного треугольника. Дайте два способа решения. 4. В прямоугольнике меньшая сторона равна 30 см и образует с диагональю угол, равный 60. Середины сторон прямоугольника последовательно соединены отрезками. Определите вид получившегося четырехугольника и найдите его периметр. 5*. Докажите, что в любом выпуклом четырехугольнике отрезки, соединяющие середины двух его противоположных сторон и середины его диагоналей, являются диагоналями параллелограмма. 6*. Докажите, что точка пересечения отрезков, соединяющих середины противоположных сторон произвольного выпуклого четырехугольника, делит пополам отрезок, соединяющий середины диагоналей данного четырехугольника. Вариант 2 1. Периметр треугольника, образованного средними линиями данного треугольника, равен 45 см. Найдите периметр данного треугольника. 2. Средняя линия отсекает от данного треугольника равносторонний треугольник. Определите вид данного треугольника. 3. Стороны треугольника относятся как 3:4:5, его периметр равен 72 см. Найдите периметр и стороны треугольника, вершинами которого являются середины сторон данного треугольника. Дайте два способа решения. 4. В ромбе с диагоналями 15 см и 28 см середины сторон последовательно соединены отрезками. Определите вид получившегося четырехугольника и найдите его периметр. 5*. Докажите, что в любом выпуклом четырехугольнике середины его диагоналей и точка пересечения отрезков, соединяющих середины его противоположных сторон, принадлежат одной прямой. 6*. Докажите, что точка пересечения прямых, соединяющих середины противоположных сторон произвольного выпуклого четырехугольника, равноудалена от середин его диагоналей. 33. Трапеция Вариант 1 1. Углы при основании трапеции равны 33 и 71. Найдите остальные углы трапеции. 2. Средняя линия трапеции равна 52 см. Большее основание равно 60 см. Найдите меньшее основание. 3. Боковые стороны трапеции равны ее большему основанию, а диагональ составляет с основанием угол 50 . Определите вид трапеции и найдите ее углы. 4. Определите вид четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон равнобедренной трапеции. 5*. Докажите, что биссектрисы углов, прилежащих к одной из непараллельных сторон трапеции, пересекаются под прямым углом в точке, принадлежащей средней линии трапеции. 6*. Постройте трапецию по основанию (a), высоте (h) и двум диагоналям (d1 и d2). Вариант 2 1. Противоположные углы трапеции равны 107 и 44. Найдите остальные углы трапеции. 2. Периметр трапеции равен 60 см, непараллельные стороны равны 12 см и 16 см. Найдите среднюю линию трапеции. 3. В трапеции боковые стороны равны меньшему основанию, а диагональ составляет с основанием угол 30. Определите вид трапеции и найдите ее углы. 4. Определите вид четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон прямоугольной трапеции. 5*. Докажите, что в равнобедренном треугольнике отрезок, соединяющий концы биссектрис углов при его основании, отсекает от треугольника трапецию, у которой равны три стороны. 6*. Постройте трапецию по основаниям (a и b) и углам при одном из них ( и ). 34. Теорема Фалеса Вариант 1 1. Определите, пропорциональны ли отрезки a и b, m и n, если: а) a=6 см, b=18 см, m=12 см, n=36 см; б) a=5 см, b=10 см, m=15 см, n=20 см; в) a=48 см, b=1,6 см, m=3 см, n=90 см. 2. Среди отрезков c, d, k, l выберите пары пропорциональных отрезков, если: а) c=42 см, d=3,9 см, k=1,3 см, l=14 см; б) c=1,5 см, d=20 см, k=15 см, l=2 см; в) c=144 дм, d=2 дм, k=12 дм, l=24 дм. 3. Разделите отрезок EF на семь равных частей. 4. Разделите отрезок XY на два отрезка, длины которых пропорциональны числам 1 и 3. 5*. Найдите геометрическое место точек (ГМТ), делящих в данном отношении отрезки прямых, заключенных между двумя параллельными прямыми. 6*. Постройте треугольник CDE по высоте DH=h, C= и отношению DE сторон CD =k. Вариант 2 1. Определите, пропорциональны ли отрезки c и d, k и l, если: а) c=12 см, d=4 см, k=33 см, l=11 см; б) c=1,5 см, d=3 см, k=10 см, l=5 см; в) c=72 см, d=20 см, k=10,8 см, l=3 см. 2. Среди отрезков a, b, m, n выберите пары пропорциональных отрезков, если: а) a=11 см, b=33 см, m=121 см, n=3 см; б) a=5 дм, b=20 дм, m=1,6 дм, n=0,4 дм; в) a=56 см, b=56 см, m=14 см, n=224 см. 3. Разделите отрезок PH на восемь равных частей. 4. Разделите отрезок YZ на два отрезка, длины которых пропорциональны числам 1 и 4. 5*. Найдите геометрическое место точек (ГМТ), делящих в данном отношении отрезки параллельных прямых, заключенных между сторонами угла. 6*. Постройте треугольник KLM по периметру p, L= и отношению KL m сторон LM = k . 35. Углы, связанные с окружностью Вариант 1 1. Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, которая составляет: 1 2 а) 4 окружности; б) 5 окружности; в) 30% окружности. 2. Под каким углом из точки дуги видна стягивающая ее хорда, если 1 дуга составляет: а) 40; б) 154; в) 9 окружности? 3. Окружность разделена на три части в отношении 5:13:18. Найдите углы, образованные хордами, проведенными через точки деления. 4. На стороне равностороннего треугольника, как на диаметре, построена полуокружность. Докажите, что она делится на три равные части точками ее пересечения с двумя другими сторонами треугольника. 5*. Из точки M, взятой вне круга с центром O проведена секущая MAB, внешняя часть которой MA равна радиусу окружности. Из той же точки M 1 проведена еще одна секущая MCOD. Докажите, что AOM= 3 BOD. 6*. Через точку пересечения окружности и биссектрисы вписанного в нее угла проведена хорда, параллельная стороне этого угла. Докажите, что проведенная хорда равна хорде другой стороны угла. Вариант 2 1. Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, которая составляет: 1 2 а) 5 окружности; б) 9 окружности; в) 20% окружности. 2. Под каким углом из точки дуги видна стягивающая ее хорда, если 5 дуга составляет: а) 80; б) 98; в) 18 окружности? 3. Окружность разделена на три части в отношении 7:13:20. Найдите углы, образованные хордами, проведенными через точки деления. 4. На радиусе окружности, как на диаметре, построена окружность. Докажите, что любая хорда большей окружности, проведенная из их общей точки, делится меньшей окружностью пополам. 5*. Пусть AC – диаметр окружности с центром O. Из произвольной точки M окружности проведена к ней касательная и из точки A опущен перпендикуляр AH. Докажите, что AM – биссектриса угла HAC. 6*. Окружность разделена точками E и F на две части. Одна из них точкой M делится пополам, а на другой взяты точки K и L. Докажите, что угол, образованный прямыми EK и ML равен углу, образованному прямыми FL и MK. 36. Многоугольники, вписанные в окружность Вариант 1 1. Гипотенуза прямоугольного треугольника равно 25 см. Найдите радиус описанной около него окружности. Где расположен ее центр? 2. Найдите диаметр окружности, описанной около прямоугольника, если его меньшая сторона равна 36 см, а угол между диагоналями равен 60. 3. Найдите диаметр окружности, описанной около равнобедренного треугольника с углом 120 и боковой стороной 12 см. 4. Докажите, что любая вписанная в окружность трапеция будет равнобедренной. 5*. Докажите, что вершины четырехугольника, образованного при пересечении биссектрис углов равнобедренной трапеции принадлежат одной окружности. 6*. Постройте четырехугольник ABCD, если даны две стороны AB=a, CD=c, угол A равен и радиус описанной окружности равен R. Вариант 2 1. Диаметр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен 18 см. Найдите гипотенузу треугольника. Где расположен центр окружности? 2. Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольника со сторонами 6 см и 8 см. 3. Найдите диаметр окружности, описанной около равнобедренного треугольника с углом 60 и боковой стороной 12 см. 4. Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен 96 см, а средняя линия – 24 см. Найдите боковые стороны трапеции. 5*. Докажите, что около любой равнобедренной трапеции можно описать окружность. 6*. Постройте четырехугольник ABCD, если даны две стороны AB=a, BC=b, C= и радиус описанной окружности равен R. 37. Многоугольники, описанные около окружности Вариант 1 1. Высота равностороннего треугольника равна 18 см. Найдите радиус вписанной в него окружности. 2. Найдите диагональ квадрата, описанного около окружности радиуса 4 см. 3. Найдите радиусы описанной и вписанной окружностей прямоугольного треугольника, если его катеты равны 8 см и 4 5 см. 4. Около окружности описана равнобедренная трапеция, имеющая угол 150, ее средняя линия равна 20 дм. Найдите радиус окружности. 5*. Определите вид четырехугольника, вершинами которого являются точки касания сторон ромба и вписанной в него окружности. Найдите угол между диагоналями этого четырехугольника, если один из углов ромба равен 30. 6*. Постройте треугольник ABC, если даны его сторона BC=a, высота CH=h и r – радиус вписанной в треугольник окружности. Вариант 2 1. Во сколько раз радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности меньше радиуса описанной около него окружности? 2. Найдите радиус окружности, вписанной в квадрат, периметр которого равен 18 см. 3. В прямоугольном треугольнике сумма катетов равна 7 см, гипотенуза – 5 см. Найдите радиус вписанной в него окружности. 4. Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 72 см. Найдите среднюю линию данной трапеции. 5*. В ромб вписана окружность. Отношение дуг между точками касания 2 равно 7 . Определите углы ромба и вид четырехугольника, вершинами которого являются точки касания окружности со сторонами ромба. 6*. Постройте треугольник ABC, если A=, AC=b и радиус вписанной в треугольник окружности равен r. 38. Замечательные точки в треугольнике Вариант 1 1. Верно ли следующее утверждение: «Высоты треугольника всегда пересекаются в одной точке»? 2. Найдите углы между парами медиан равностороннего треугольника. 3. Через вершины основания равнобедренного треугольника проведены высоты к его боковым сторонам. Найдите угол между ними, если угол при вершине треугольника, противолежащей основанию, равен 44. 4. Докажите, что медиана треугольника одинаково отстоит от его вершин, образующих сторону, к которой она проведена. 5*. Восстановите треугольник ABC по положению трех точек: вершины A, центроида M и центра O описанной около треугольника окружности. 6*. Докажите, что расстояние от вершины треугольника до его ортоцентра в два раза больше расстояния от центра описанной окружности до стороны, противолежащей данной вершине. Вариант 2 1. Может ли ортоцентром треугольника быть одна из его вершин? 2. Найдите углы между парами биссектрис равностороннего треугольника. 3. В равнобедренном треугольнике угол между высотами, проведенными к его боковым сторонам, равен 144. Найдите углы треугольника. 4. Докажите, что в прямоугольном треугольнике медиана и высота, проведенные к гипотенузе, образуют угол, равный разности острых углов треугольника. 5*. Восстановите треугольник ABC по положению трех точек: вершины B, B1 – основанию медианы, проведенной из вершины B и центра O описанной около треугольника окружности. 6*. Докажите, что середина стороны треугольника находится на равном расстоянии от его ортоцентра и конца диаметра описанной окружности, проведенного из противолежащей вершины, и что эти три точки (середина стороны, ортоцентр и конец диаметра) принадлежат одной прямой. 39. Центральная симметрия Вариант 1 1. Найдите центр симметрии данного отрезка MN. 2. Приведите примеры букв русского алфавита, имеющих центр симметрии. 3. Постройте треугольник, центрально симметричный данному треугольнику относительно его ортоцентра. 4. Докажите, что треугольник, центрально симметричный данному треугольнику относительно середины его стороны, вместе с ним образуют параллелограмм. 5*. На рисунке 13 OA=O1B, M – середина отрезка OO1. Найдите центр симметрии данной фигуры и докажите равенство отрезков CD и EF. 6*. Может ли фигура иметь более одного центра симметрии? Приведите примеры. Вариант 2 1. Найдите центр симметрии точек K и L. 2. Приведите примеры букв латинского алфавита, имеющих центр симметрии. 3. Постройте треугольник, центрально симметричный данному треугольнику относительно его центроида. 4. Докажите, что четыре попарно центрально симметричные точки относительно центра симметрии параллелограмма, являются вершинами параллелограмма. 5*. На рисунке 14 точка M – середина отрезка OO1. Найдите центр симметрии данной фигуры. Докажите равенство отрезков AR и CD и определите вид четырехугольника AKDL. 6*. Может ли многоугольник с нечетным числом сторон иметь центр симметрии? Приведите примеры. 40. Поворот. Симметрия n-го порядка Вариант 1 1. Найдите фигуру, в которую перейдет данная окружность при повороте на 45 вокруг своего центра. 2. Найдите фигуру, которая имеет центр симметрии 3-го порядка. 3. Постройте фигуру, в которую перейдет квадрат ABCD при повороте на -90 вокруг вершины A. Какой фигурой является пересечение (общая часть) квадрата и полученной фигуры? 4. Найдите угол, на который нужно повернуть прямую вокруг не принадлежащей ей точки, чтобы получить параллельную ей прямую? 5*. Дан правильный шестиугольник, сторона которого равна 6 см. Каждая его сторона повернута вокруг соответствующей вершины на 30. Найдите сторону правильного шестиугольника, образованного пересечением повернутых сторон. 6*. Дан правильный пятиугольник. Каждая вершина соединена отрезком с серединой соответствующей стороны так, как показано на рисунке 15. Докажите, что точки пересечения проведенных отрезков являются вершинами правильного пятиугольника. Вариант 2 1. Найдите фигуру, в которую перейдет данная окружность при повороте на 90 вокруг своего центра. 2. Найдите фигуру, которая имеет центр симметрии 4-го порядка. 3. Постройте фигуру, в которую перейдет квадрат ABCD при повороте на -45 вокруг точки пересечения диагоналей. Какой фигурой является пересечение (общая часть) квадрата и полученной фигуры? 4. Найдите угол, на который нужно повернуть лист бумаги, на котором нарисована фигура F и центрально симметричная ей фигура F’, чтобы они поменялись местами (т.е. чтобы F заняла место F’). 5*. Полуокружность радиуса R повернута вокруг произвольной своей точки на угол 90. Постройте образовавшуюся фигуру. 6*. Дан правильный шестиугольник. Три его последовательные вершины соединены отрезками с серединами соответствующих сторон так, как показано на рисунке 16. Докажите, что точки пересечения проведенных отрезков являются вершинами равностороннего треугольника. 41. Осевая симметрия Вариант 1 1. Постройте ось симметрии, зная положение двух симметричных относительно нее точек M и M’. 2. Приведите пример цифры, имеющей ось симметрии. Сколько у нее осей симметрии? 3. Постройте оси симметрии: а) отрезка; б) равнобедренного треугольника; в) прямой. Сколько их? 4. На рисунке 17 a и b – оси симметрии четырехугольника ABCD. Докажите, что он является прямоугольником. 5*. Отрезок EF симметричен отрезку E’F’ относительно прямой l и не пересекает ее. Прямая k перпендикулярна l и пересекает данные отрезки соответственно в точках M и M’. Докажите, что точки M и M’ симметричны относительно прямой l. 6*. Точки G и H расположены по одну сторону от прямой x, которой принадлежит точка P. Известно, что прямые PG и PH образуют равные углы с прямой x. Докажите, что ломаная GPH является кратчайшей среди ломаных GXH, где точка X принадлежит прямой x. Вариант 2 1. Постройте фигуру, симметричную отрезку KL относительно прямой a, которая проходит через точку K и перпендикулярна прямой KL. 2. Приведите пример буквы русского алфавита, имеющую ось симметрии. Сколько у нее осей симметрии? 3. Постройте оси симметрии: а) угла; б) равностороннего треугольника; в) полосы между двумя параллельными прямыми. Сколько их? 4. На рисунке 18 c и d – оси симметрии четырехугольника CDEF. Докажите, что он является ромбом. 5*. Отрезок GH симметричен отрезку G’H’ относительно прямой k и пересекает ее. Прямая l перпендикулярна k и пересекает данные отрезки соответственно в точках P и P’. Докажите, что точки P и P’ симметричны относительно прямой k. 6*. Угол MON симметричен углу M’O’N’ относительно прямой l. Докажите, что углы равны. 42. Параллельный перенос Вариант 1 1. Даны три точки A, B, C, не принадлежащие одной прямой. Постройте точку A’, которая получается из точки A параллельным переносом на вектор BC . 2. Запишите все векторы, которые определяют вершины ромба DEFG. Сколько всего векторов получилось? 3. Изобразите геометрическую ситуацию, при которой параллельный перенос переводит: а) один отрезок в другой; б) одну прямую в другую. Задайте соответствующий вектор. 4. Постройте фигуру, которая получается при параллельном переносе трапеции ABCD (BC||AD) на вектор: а) BC ; б) BD . 5*. Треугольник K’L’M’ получен параллельным переносом из треугольника KLM. Докажите, что при этом биссектрисы треугольника KLM переходят в соответствующие биссектрисы треугольника K’L’M’. 6*. Используя параллельный перенос, докажите свойства средней линии треугольника. Вариант 2 1. Даны три точки D, E, F, принадлежащие одной прямой. Постройте точку E’, которая получается из точки E параллельным переносом на вектор DF . 2. Запишите все векторы, которые определяют вершины квадрата KLMN. Сколько всего векторов получилось? 3. Изобразите геометрическую ситуацию, при которой параллельный перенос переводит: а) одну окружность в другую; б) один луч в другой. Задайте соответствующий вектор. 4. Постройте фигуру, которая получается при параллельном переносе трапеции ABCD (AB||DC, D=90) на вектор: а) CD ; б) BC . 5*. Треугольник R’S’T’ получен параллельным переносом из треугольника RST. Докажите, что при этом высоты треугольника RST переходят в соответствующие высоты треугольника R’S’T’. 6*. Используя параллельный перенос, докажите свойства средней линии трапеции. 43. Движение. Равенство фигур Вариант 1 1. Назовите движение, при котором луч переходит в себя. 2. Назовите движения, при которых каждая прямая переходит в параллельную ей прямую. 3. С помощью каких движений квадрат можно перевести на себя? Сделайте соответствующие рисунки. 4. Докажите, что отрезок прямой, проходящей через точку пересечения диагоналей параллелограмма, с концами на его сторонах делится в ней пополам и разбивает параллелограмм на две равные фигуры. 5*. На прямой l найдите точку X, чтобы сумма расстояний от нее до точек M и N, принадлежащих одной полуплоскости относительно l, была наименьшей. 6*. В данном четырехугольнике через середины сторон проведены прямые, параллельные противоположным сторонам. Докажите, что полученный четырехугольник равен данному. Вариант 2 1. Назовите движение, при котором прямая переходит в себя. 2. Некоторое движение переводит любую прямую в ей параллельную. Верно ли утверждение о том, что это движение является параллельным переносом? 3. С помощью каких движений равносторонний треугольник можно перевести на себя? Сделайте соответствующие рисунки. 4. Докажите, что в правильном многоугольнике с четным числом сторон каждые две стороны параллельны. 5*. Две точки K и L расположены по разные стороны от прямой m. Найдите на m точку X такую, чтобы биссектриса угла KXL лежала на m. Рассмотрите два случая, когда точки K и L лежат от m на: а) разном расстоянии; б) равном расстоянии. 6*. Дан квадрат. На его сторонах даны четыре точки такие, что они попарно симметричны относительно центра симметрии квадрата и симметричны относительно прямых, на которых лежат диагонали квадрата. Определите вид четырехугольника, вершинами которого являются данные точки. 44*. Паркеты Вариант 1 1. Нарисуйте неправильный многоугольник, у которого равны все углы. Можно ли им заполнить плоскость? 2. Составьте паркет из прямоугольного треугольника. 3. Составьте паркет из правильного треугольника. Раскрасьте его таким образом, чтобы соседние треугольники (имеющие общую сторону) имели разный цвет. Такая раскраска называется правильной. Какое наименьшее число цветов потребуется для этого? 4. Составьте паркет из правильных четырехугольников и восьмиугольников и правильно раскрасьте его. Какое число цветов потребуется? 5*. Из бумаги изготовили два равных выпуклых четырехугольника. Один разрезали по одной диагонали, а другой – по другой. Докажите, что из четырех полученных частей можно сложить параллелограмм. 6*. В выпуклом четырехугольнике проведены средние линии (отрезки, соединяющие середины противоположных сторон). Докажите, что из получившихся четырех частей можно составить параллелограмм. Вариант 2 1. Нарисуйте неправильный многоугольник, у которого равны все стороны. Можно ли им заполнить плоскость? 2. Составьте паркет из тупоугольного треугольника. 3. Составьте паркет из правильного шестиугольника. Раскрасьте его таким образом, чтобы соседние треугольники (имеющие общую сторону) имели разный цвет. Такая раскраска называется правильной. Какое наименьшее число цветов потребуется для этого? 4. Составьте паркет из правильных треугольников и шестиугольников таким образом, чтобы вокруг каждой вершины располагались два треугольника и два шестиугольника, и правильно раскрасьте его. Какое число цветов потребуется? 5*. Докажите, что центрально симметричным шестиугольником можно застелить паркетом плоскость таким образом, что любые два его шестиугольника получаются друг из друга параллельным переносом. 6*. Докажите, что если средняя линия, соединяющая середины противоположных сторон четырехугольника, равна полусумме двух других его сторон, то этот четырехугольник является трапецией. 45. Подобие треугольников. Первый признак подобия треугольников Вариант 1 1. Треугольник BCD подобен треугольнику B1C1D1. Известно, что BC=5 см, CD=10 см, BD=7 см. Найдите стороны треугольника B1C1D1, если коэффициент подобия равен 2. 2. Равнобедренные треугольники имеют по одному равному углу в 112. Подобны ли они? 3. По рисунку 19 найдите пары подобных треугольников, если KLMN – параллелограмм. 4. Стороны треугольника относятся как 3:5:6. Большая сторона подобного ему треугольника равна 43,8 дм. Найдите периметр второго треугольника. 5*. В трапеции, основания которой равны 4 см и 8 см, через точку пересечения диагоналей проведен отрезок, параллельный основанию, концы которого принадлежат боковым сторонам трапеции. Найдите его длину. 6*. Постройте треугольник ABC, если A=, AB:AC=m:n и BC=a. Вариант 2 1. Треугольник DEF подобен треугольнику D1E1F1 с коэффициентом подобия 4. Найдите стороны треугольника D1E1F1, если DE=12 см, DF=8 см, EF=18 см. 2. У одного прямоугольного треугольника есть угол 52, у другого, тоже прямоугольного, 38. Подобны ли они? 3. По рисунку 20 найдите пары подобных треугольников, если GHPQ – параллелограмм. 4. Стороны треугольника относятся как 2:3:4. Найдите стороны подобного ему треугольника, зная, что периметр второго треугольника равен 137,7 дм. 5*. Две стороны треугольника равны 3 см и 6 см. Из точки пересечения биссектрисы угла, образованного этими сторонами, и третьей стороны треугольника проведены прямые, параллельные данным сторонам. Определите вид получившегося четырехугольника и найдите его периметр. 6*. Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе c и отношению катетов a:b. 46. Второй и третий признаки подобия треугольников Вариант 1 1. Подобны ли треугольники ABC и A1B1C1, если: а) B=B1=105, AB=15 см, BC=45 см, A1B1=5 см, B1C1=15 см; б) треугольники прямоугольные и один из треугольников имеет угол 45, а другой – 60? 2. Есть ли на рисунке (рис. 21) подобные треугольники? 3. Докажите, что треугольники подобны, если имеют по равному углу и стороны, к которым примыкают равные углы, соответственно пропорциональны высотам, проведенным к этим сторонам. 4. В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 24 см. Через середину высоты, опущенной на его основание, проведена прямая, параллельная боковой стороне, до пересечения с двумя другими сторонами треугольника. Найдите ее отрезок, заключенный в треугольнике. 5*. В равнобедренной трапеции основания относятся как 1:3, диагональ равна 42 см. Середина одной из боковых сторон и конец большего основания, не принадлежащий этой стороне, соединены отрезком. На какие части разделил этот отрезок диагональ трапеции? 6*. В треугольнике ABC проведены медиана AM и отрезок CD, где точка D принадлежит стороне AB, который пересекает медиану в точке E. Докажите, что AE BD=2AD EM. Вариант 2 1. Подобны ли треугольники ABC и A1B1C1, если: а) C=C1=87 , AC=24 см, BC=72 см, A1C1=36 см, B1C1=108 см; б) треугольники равнобедренные и имеют равные углы при вершине, противолежащей основанию? 2. Есть ли на рисунке (рис. 22) подобные треугольники? 3. Докажите, что треугольники подобны, если имеют по равному углу, и высоты, проведенные к сторонам этих углов, пропорциональны. 4. Высота равнобедренного треугольника, опущенная на основание, равна 10 м. Основание разделено на 5 равных частей и из точек деления проведены перпендикуляры до пересечения с боковыми сторонами треугольника. Найдите длину этих перпендикуляров. 5*. Сторона EF треугольника DEF равна 18 см. Через вершину E проведена медиана EM. Через вершину D и середину этой медианы проведен отрезок DG, где точка G принадлежит стороне EF. Найдите отрезки, на которые она разбивается точкой G. 6*. В треугольнике ABC через точки на сторонах AB и AC проведен отрезок DE, параллельный стороне BC. Отрезки BE и CD пересекаются в точке M. Докажите, что AM делит BC пополам. 47. Подобие фигур. Гомотетия Вариант 1 1. Найдите условия, при которых подобны два: а) квадрата; б) параллелограмма. 2. Отношение периметров подобных многоугольников равно 3:5. Найдите большую сторону первого многоугольника, если большая сторона второго многоугольника равна 45 см. 3. В двух подобных трапециях меньшие диагонали равны 10,5 см и 7 см, средняя линия первой трапеции равна 18 см, большее основание второй трапеции равно 16,6 см. Найдите меньшее основание первой трапеции. 4. Постройте треугольник, гомотетичный данному треугольнику относительно центра описанной около него окружности с коэффициентом 2 гомотетии 3 . 5*. Постройте трапецию ABCD (AD||BC) по следующим данным: AB:AD=2:5, A=60, D=45, BH=3,5 см, где BH – высота трапеции (перпендикуляр, опущенный из вершины основания на другое основание). 6*. Докажите, что если из вершин четырехугольника опустить перпендикуляры на соответствующие диагонали, то основания этих перпендикуляров будут являться вершинами четырехугольника, подобного данному. Вариант 2 1. Найдите условия, при которых подобны два: а) ромба; б) прямоугольника. 2. Меньшая сторона многоугольника равна 14 см, а его периметр равен 90 см. Найдите периметр подобного ему многоугольника, если его меньшая сторона равна 21 см. 3. В двух подобных параллелограммах меньшие диагонали равны 20,8 см и 28,6 см. Периметр первого параллелограмма равен 136 см, меньшая сторона второго равна 44 см. Найдите большую сторону первого параллелограмма. 4. Постройте треугольник, гомотетичный данному треугольнику относительно его центроида с коэффициентом гомотетии 1,5. 5*. Постройте трапецию ABCD (AB||CD) по следующим данным: CD:AD:AH=5:3:2, где AH – высота трапеции (перпендикуляр, опущенный из вершины основания на другое основание), B=110 и DB=4 см. 6*. В треугольнике ABC проведены медиана AD, биссектриса AE и прямая BQ, которая пересекает AE, AD, AC соответственно в точках G, H, F. Докажите, что EH||AB. 48*. Золотое сечение Вариант 1 1. Сколько золотых треугольников изображено на рисунке 23? 2. Изобразите остроугольный золотой треугольник. Чему равны его углы? 3. Разделите данный отрезок в золотом отношении. 4. Изобразите вращающиеся квадраты. 5*. Докажите, что точка E1 на рисунке (рис. 23) делит отрезок BD в золотом отношении. 6*. В данную окружность впишите правильный пятиугольник. Вариант 2 1. Найдите подобные фигуры на рисунке (рис. 23). 2. Изобразите тупоугольный золотой треугольник. Чему равны его углы? 3. Изобразите золотой прямоугольник. 4. Изобразите вращающиеся треугольники. 5*. Докажите, что точка A1 на рисунке 23 делит отрезок BD в золотом отношении. 6*. На рисунке 24 изображен лотарингский крест, служивший эмблемой «Свободной Франции» (организации, которую в годы Второй мировой войны возглавлял генерал де Голль). Он составлен из 13 единичных квадратов. Докажите, что прямая, проходящая через точку A и делящая лотарингский крест на две равновеликие части, делит отрезок BC в золотом отношении. 49. Теорема Пифагора Вариант 1 1. Стороны прямоугольника равны 5 см и 12 см. Найдите его диагонали. 2. Найдите высоты равностороннего треугольника со стороной a. 3. Найдите диагонали ромба, если они относятся как 3:4 и периметр ромба равен 16 см. 4. Расстояния от одного конца диаметра окружности до концов параллельной ему хорды равны 84 см и 13 см. Найдите длину данной окружности и ее радиус. 5*. Постройте отрезок x= ab , где a и b – данные отрезки. 6*. На одной стороне прямого угла с вершиной в точке O отложен отрезок OK, на другой – последовательно отложены отрезки OL, LM и MN, равные OK. Найдите подобные треугольники. Вариант 2 1. Сторона квадрата равна a. Найдите его диагонали. 2. Стороны прямоугольника равны 15 см и 20 см. Найдите радиус окружности, описанной около него. 3. В равностороннем треугольнике высота меньше стороны на 2 см. Найдите сторону треугольника. 4. Из точки вне окружности проведены к ней две касательные. Радиус окружности равен 11 см, сумма отрезков касательных равна 120 см. Найдите расстояние от данной точки до центра окружности. 5*. Постройте отрезок x= 6 . 6*. Докажите, что сумма величин, обратных квадратам длин катетов прямоугольного треугольника, равна величине, обратной квадрату длины высоты этого треугольника, опущенной на его гипотенузу. 50. Тригонометрические функции острого угла Вариант 1 1. В треугольнике DEF E=90 (рис. 25), EHDF. Запишите выражения для тригонометрических функций угла D через стороны соответствующих прямоугольных треугольников. 2. Постройте прямоугольный треугольник ABC, C=90, чтобы: а) tg 2 3 A= 3 ; б) cos A= 5 . 3. В равнобедренном треугольнике ABC (AB=BC) проведена медиана BD (рис. 26). Из точки D опущены перпендикуляры DH и DP на боковые стороны треугольника AB и BC соответственно. Выразите все отрезки, данные на рисунке, через AB=a и тригонометрические функции угла A, равного . 4. В прямоугольном треугольнике ABC C=90. Известно, что: а) sin A=sin B; б) ctg A=ctg B; в) sin A<sin B; г) cos B>cos A. Какой вывод можно сделать о катетах данного треугольника? 5*. По данной стороне a правильного вписанного в окружность nугольника найдите сторону правильного описанного около данной окружности n-угольника. 6*. Найдите наименьшую диагональ правильного n-угольника, сторона которого равна b. Вариант 2 1. В треугольнике DEF E=90 (рис. 25), EHDF. Запишите выражения для тригонометрических функций угла F через стороны соответствующих прямоугольных треугольников. 2. Постройте прямоугольный треугольник ABC, C=90, чтобы: а) ctg 3 4 A= 4 ; б) sin A= 5 . 3. В прямоугольном треугольнике ABC (C=90) проведена высота CH и медиана CM (рис. 27). Из точки M опущен перпендикуляр MP на BC. Выразите все отрезки, данные на рисунке, через AC=b и тригонометрические функции угла A, равного . 4. В прямоугольном треугольнике ABC C=90. Известно, что: а) cos A=cos B; б) tg A=tg B; в) sin B>sin A; г) cos A<cos B. Какой вывод можно сделать о катетах данного треугольника? 5*. По данной стороне b правильного описанного около окружности nугольника найдите сторону правильного вписанного в данную окружность nугольника. 6*. Найдите наибольшую диагональ правильного 2n-угольника, сторона которого равна a. 51. Тригонометрические тождества Вариант 1 1. Найдите значение тригонометрических функций угла M, если cos 1 M= 4 . 2. Выразите тригонометрические функции угла через sin . sin 2 3. Упростите выражение: а) 1-cos2 ; б) 1 cos . 4. Выразите тригонометрические функции угла через ctg . 5*. Решите уравнение, где x – острый угол: а) sin x=cos x; б) 3sin2 x=cos2 x. 6*. Докажите, что sin (45+)=cos (45-). Вариант 2 1. Найдите значение тригонометрических функций угла E, если sin E= 2 7. 2. Выразите тригонометрические функции угла через cos . cos 2 3. Упростите выражение: а) 1-sin2 ; б) sin 1 . 4. Выразите тригонометрические функции угла через tg . 5*. Решите уравнение, где x – острый угол: а) sin x- 3 cos x=0; б) sin2 x+2sin x cos x=3cos2 x. 6*. Докажите, что cos (45+)=sin (45-). 52. Тригонометрические функции тупого угла Вариант 1 ctg tg 1. Выразите: а) sin2-cos2 через sin ; б) ctg tg через tg . 2. Докажите тождество: sin4 -cos4= sin2-cos2. 3. Найдите тригонометрические функции угла в 120. 4. Тригонометрические функции угла в 60 замените функциями углов, не превышающих 45. 5*. Упростите выражение: sin (90+)+cos(180-)+tg(270+)+ctg(360-). 6*. Найдите cos x из следующего уравнения: 3sin2(360-x)-7sin(x-90)+3=0. Вариант 2 tg 2 1. Выразите: а) sin2 -cos2 через cos ; б) 1 tg через ctg . sin 1 cos sin . 2. Докажите тождество: 1 cos 3. Найдите тригонометрические функции угла в 150. 4. Тригонометрические функции угла в 135 замените функциями углов, не превышающих 45 . 5*. Упростите выражение: sin (90-)-cos(180-)+tg(180-)+ctg(270+). 6*. Найдите sin x из следующего уравнения: sin(x-90)+sin 90=sin(90+x). 53. Теорема косинусов Вариант 1 1. Определите сторону треугольника, если две другие составляют угол 45 и равны 5 см и 10 см. 2. Найдите косинусы углов треугольника со сторонами 6 см, 8 см и 10 см. 3. Определите вид угла A треугольника ABC со сторонами AB=8 см, AC=12 см и BC=18 см. 4. Стороны треугольника равны 15 см, 22 см и 23 см. Найдите его медиану, проведенную к средней по длине стороне. 5*. Внутри угла взята точка, из которой на его стороны опущены перпендикуляры. Длины перпендикуляров и отрезка, соединяющего их основания, относятся соответственно как 5:8:7. Найдите данный угол. 6*. Докажите, что в любой трапеции сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов боковых сторон и удвоенного произведения оснований. Вариант 2 1. Определите сторону треугольника, если две другие составляют угол 30 и равны 4 см и 12 см. 2. Найдите косинусы углов треугольника со сторонами 5 см, 12 см и 13 см. 3. Определите вид угла D в треугольнике DEF со сторонами DE=16 см, DF=24 см и EF=32 см. 4. Одна из сторон треугольника равна 13 см, противолежащий угол равен 120, сумма двух других сторон равна 15 см. Найдите эти стороны. 5*. Стороны треугольника относятся как 3:5:7. Определите вид данного треугольника. 6*. Докажите, что в любом четырехугольнике сумма квадратов диагоналей вдвое больше суммы квадратов отрезков, соединяющих середины противоположных сторон. 54. Теорема синусов Вариант 1 1. В треугольнике ABC стороны BC=12 см и AB=15 см, C=45. Найдите sin A. 2. В треугольнике KLM K=60, LM=42 см. Можно ли по этим данным определить радиус окружности, описанной около треугольника? Если да, чему он равен? 3. В треугольнике CDE известны сторона DE=c и углы C и D. Найдите основные неизвестные элементы треугольника (стороны и углы). 4. В треугольнике FGH известны стороны FG=h, FH=g и угол H. Найдите основные неизвестные элементы треугольника. 5*. В равнобедренной трапеции основания равны 4 см и 6 см, боковая сторона – 5 см. Найдите ее диагонали. 6*. В треугольнике ABC известны сторона AC=b и углы A и C. Найдите биссектрису BL, медиану BM и радиус описанной около треугольника окружности. Вариант 2 1. В треугольнике ABC стороны AC=50 см и BC=42 см, B=30. Найдите sin A. 2. В треугольнике FGH H=45, GF=8 см. Можно ли по этим данным определить радиус окружности, описанной около треугольника? Если да, чему он равен? 3. В треугольнике KLM известны сторона KL=m и углы L и M. Найдите основные неизвестные элементы треугольника (стороны и углы). 4. В треугольнике NOP известны стороны PO=n, NO=p и угол N. Найдите основные неизвестные элементы треугольника. 5*. В равнобедренной трапеции одна сторона равна 5 см, а три другие стороны каждая равна 4 см. Найдите ее диагонали. 6*. В треугольнике ABC известны сторона BC=a и углы B и C. Найдите медиану AM и радиус R окружности, описанной около треугольника. 55. Длина окружности Вариант 1 1. Найдите длину окружности диаметра 12 см. 2. Найдите длину дуги окружности радиуса R, содержащей: а) 30; б) 120. 3. Найдите длину и радиус окружности, если длина ее дуги, содержащей 18, равна 54 см. 4. Постройте окружность, длина которой: а) равнялась бы сумме длин двух других окружностей; б) была бы в 3 раза меньше длины данной окружности. 5*. Из внешней точки к окружности проведены две касательные, и в фигуру, ограниченную этими касательными и дугой, заключенной между точками касания, вписана вторая окружность. Расстояние от данной точки до центров окружностей равны 18 см и 6 см. Найдите длины этих окружностей. 6*. Три равные окружности радиуса r попарно касаются друг друга. Найдите длину окружности, которая касается каждой данной окружности внешним образом. Изобразите данную геометрическую ситуацию. Вариант 2 1. Длина окружности равна см. Найдите ее диаметр. 2. Найдите длину дуги окружности радиуса r, содержащей: а) 60; б) 150. 3. Длина дуги окружности, содержащей 36, равна 72 см. Найдите длину окружности и ее диаметр. 4. Постройте окружность, длина которой: а) равнялась бы разности длин двух других окружностей; б) была бы в 4 раза больше длины данной окружности. 5*. Из внешней точки к окружности проведены две касательные, и в фигуру, ограниченную этими касательными и дугой, заключенной между точками касания и содержащей 120, вписана вторая окружность. Найдите ее длину, если радиус первой окружности равен 18 см. 6*. Три равные окружности радиуса R попарно касаются друг друга. Найдите длину окружности, которая касается каждой данной окружности внутренним образом. Изобразите данную геометрическую ситуацию. 56*. Циклоидальные кривые Вариант 1 1. Нарисуйте траекторию движения точки A, находящейся на окружности единичного радиуса при ее повороте на: а) 45; б) 180 (рис. 28). 2. На рисунке 29 изображена кардиоида. Есть ли у нее: а) центр симметрии; б) оси симметрии? Если есть, изобразите их на рисунке. 3. Нарисуйте траекторию движения правильного треугольника со стороной, равной 2 см, катящегося по прямой. 4. Нарисуйте траекторию движения точки, закрепленной на окружности, катящейся по другой окружности внутренним образом, если отношение радиусов первой (катящейся) и второй (неподвижной) 1 окружностей равно 4 . Как называется получившаяся кривая? 1 5*. В условиях предыдущей задачи возьмите отношение радиусов 3 . 6*. Нарисуйте траекторию движения точки, закрепленной на окружности, катящейся по другой окружности внешним образом, если 2 отношение радиусов первой и второй окружностей равно 5 . Вариант 2 1. Нарисуйте траекторию движения точки A, находящейся на окружности единичного радиуса при ее повороте на: а) 90; б) 135 (рис. 28). 2. На рисунке 30 изображена астроида. Есть ли у нее: а) центр симметрии; б) оси симметрии? Если есть, изобразите их на рисунке. 3. Нарисуйте траекторию движения квадрата со стороной, равной 2 см, катящегося по прямой. 4. Нарисуйте траекторию движения точки, закрепленной на окружности, катящейся по другой окружности внешним образом, если отношение радиусов первой (катящейся) и второй (неподвижной) 1 окружностей равно 4 . Как называется получившаяся кривая? 1 5*. В условиях предыдущей задачи возьмите отношение радиусов 2 . 6*. Нарисуйте траекторию движения точки, закрепленной на окружности, катящейся по другой окружности внешним образом, если 3 отношение радиусов первой и второй окружностей равно 5 . ОТВЕТЫ 27 Вариант 1. 3. 4 угла по 45 и 4 угла по 135. 5. O=43. Указание. Через вершину O проведите прямую, параллельную MN. 6. RST=157 или RST=23. Вариант 2. 3. 4 угла по 71 и 4 угла по 109. 5. L=69. Указание. Через вершину L проведите прямую, параллельную KM. 6. Указание. Проведите прямую, пересекающую три данные прямые. 28 2 Вариант 1. 1. а) Нет; б) да. 2. 31, 90. 3. 20, 60, 100. 4. 150. 5. 7 90, 5 7 90. 6. 7. Вариант 2. 1. а) Нет; б) да. 2. 37, 106. 3. 27, 63, 90. 4. 156. 5. 48, 60, 72. 6. 8. 29 Вариант 1. 2. 2 стороны по 7 см и 2 стороны по 39 см. 3. 2 угла по 108, 2 угла по 72. 4. 2 стороны по 15 см и 2 стороны по 25 см. 5. 5 см, 23 см. 6. Указание. Сначала нужно построить треугольник по трем сторонам, равным a, b и 2mc. Вариант 2. 2. 2 стороны по 16 см и 2 стороны по 20 см. 3. BCD=108, ADB=38. 4. 2 стороны по 12 см и 2 стороны по 36 см. 5. 2 стороны по 11 см и две стороны по 30 см. 30 Вариант 1. 1. Да. 2. Да. 6. Указание. Сначала постройте треугольник ABM по двум сторонам AB=a, AM=b+d и данному углу между ними; H – середина BM, HD BM, D AM; A, B, D – вершины искомого параллелограмма, осталось найти вершину C. Вариант 2. 1. Да. 2. Да. 6. Указание. Сначала постройте треугольник p BDM по двум сторонам BM= 2 , BD=d и данному углу между ними; K – середина MD, KA DM, A BM; A, B, D – вершины искомого параллелограмма, осталось найти вершину C. 31 Вариант 1. 2. Два угла по 60 и два угла по 120. 4. 48 см. 6. Указание. Сначала постройте прямоугольный треугольник по двум катетам a и d-b. Вариант 2. 1. 30, 60. 2. 30, 60. 4. 2 угла по 80 и 2 угла по 100. 6. Указание. Сначала постройте прямоугольный треугольник по двум катетам a и b+d. 32 Вариант 1. 1. 9 см. 2. 90, 45, 45. 3. 96 см; 28 см, 32 см, 36 см. 4. Ромб, 120 см. Вариант 2. 1. 90 см. 2. Равносторонний. 3. 36 см; 9 см, 12 см, 15 см. 4. Прямоугольник, 43 см. 33 Вариант 1. 1. 147, 109. 2. 44 см. 3. Равнобедренная; 80, 80, 100, 100. 4. Ромб. 6. Указание. Строим отрезок a и проводим параллельную ему прямую на расстоянии h от него. Вариант 2. 1. 73, 136. 2. 16 см. 3. Равнобедренная; 60, 60, 120, 120. 4. Параллелограмм. 6. Указание. Строим треугольник по стороне a-b (a>b) и двум прилежащим к ней данным углам. 34 Вариант 1. 1. а) Да; б), в) нет. 5. Возьмем любой данный отрезок, например, прямой, перпендикулярной данным прямым, и разделим его в данном отношении; через точку деления проведем прямую, параллельную данным; построенная прямая будет искомым ГМТ. 6. Строим прямоугольный треугольник CDH (по катету DH=h и острому углу , если <90), или острому углу 180-, если >90; находим CD и DE=k CD; строим окружность (D; DE); E – точка пересечения проведенной окружности и прямой CH; треугольник CDE - искомый. Вариант 2. 1. а), в) Да; б) нет. 5. Возьмем любой данный отрезок, разделим его в данном отношении; через точку деления проведем луч с началом в вершине данного угла; построенный луч будет искомым ГМТ. 6. Строим угол L, равный , на его сторонах откладываем отрезки LK1=m и LM1=k; находим K1M1=l; находим m:l:k и mx+lx+kx=p, определяем отрезки LK и LM и откладываем их на соответствующих сторонах угла L; треугольник KLM – искомый. 35 Вариант 1. 1. а) 45; б) 72; в) 54. 2. а) 160; б) 103; в) 160. 3. 25; 65; 90. Вариант 2. 1. а) 36; б) 40; в) 36. 2. а) 140; б) 131; в) 130. 3. 3130’, 5830’, 90. 36 Вариант 1. 1. 12,5 см. 2. 72 см. 3. 24 см. 6. Строим A=, на одной из его сторон откладываем AB=a, находим точку H – середину AB, через H проводим серединный перпендикуляр к отрезку AB; проводим окружность (B; R); находим O – точку пересечения проведенной окружности и серединного перпендикуляра, причем точка O принадлежит той же полуплоскости относительно прямой AB, что и вторая сторона угла A; теперь проводим окружность (O; R) и находим D – точку ее пересечения со второй стороной угла; далее проводим окружность (D; c); точка C определяется как точка пересечения окружностей (O; R) и (D; c); ABCD – искомый четырехугольник. Вариант 2. 1. 18 см. 2. 5 см. 3. 4 3 см. 4. 24 см и 24 см. 6. Строим C=, на одной из его сторон откладываем CB=b, находим точку H – середину BC, через H проводим серединный перпендикуляр к отрезку BC; проводим окружность (B; R); находим O – точку пересечения проведенной окружности и серединного перпендикуляра, причем точка O принадлежит той же полуплоскости относительно прямой BC, что и вторая сторона угла C; теперь проводим окружность (O; R) и находим D – точку ее пересечения со второй стороной угла; далее проводим окружность (B; a); точка A определяется как точка пересечения окружностей (O; R) и (B; a); ABCD – искомый четырехугольник. 37 Вариант 1. 1. 6 см. 2. 8 2 см. 3. 6 см, 2( 5 -1) см. 4. 5 см. 5. Прямоугольник, 30 . 6. Строим прямоугольный треугольник BHC по гипотенузе BC=a и катету CH=h; строим биссектрису угла B и проводим прямую, параллельную прямой BC и отстоящую от нее на расстоянии r, причем проводим ее в полуплоскости относительно прямой BC, которой принадлежит точка H; назовем O – точку пересечения проведенных биссектрисы и прямой; точка O – центр окружности, вписанной в искомый треугольник ABC; проведем вписанную в треугольник окружность (O; r); из точки C проведем касательную к окружности; A – точка пересечения этой касательной и прямой BH; ABC – искомый треугольник. Вариант 2. 1. В 2 раза. 2. 2,25 см. 3. 1 см. 4. 18 см. 5. Прямоугольник; 40, 40, 140, 140. 6. Строим A=; проводим внутри него прямые, параллельные его сторонам и отстоящие от них на расстоянии r; назовем O – точку пересечения проведенных прямых; точка O – центр окружности, вписанной в искомый треугольник ABC; проведем вписанную в треугольник окружность (O; r); на одной из сторон угла откладываем AC=b; из точки C проведем касательную к окружности; B – точка пересечения этой касательной и другой стороны угла A; ABC – искомый треугольник. 38 Вариант 1. 1. Нет. 2. 60. 3. 68. 5. Проводим отрезок AM, на его 1 продолжении откладываем отрезок MA1= 2 AM, AA1 – медиана искомого треугольника; проводим через A1 прямую a, перпендикулярную A1O; B, C – точки пересечения окружности (O; OA) с прямой a; треугольник ABC искомый. 6. Указание. Пусть нужно доказать, что в треугольнике ABC AH=2OP, где H – ортоцентр треугольника, O – центр окружности, описанной около него, P – середина AC. Рассмотрите подобные треугольники ABH и POK, где K – середина AC. Вариант 2. 1. Да. 2. 60. 3. 72, 72, 36. 5. Проводим окружность (O; OB) и через точку B1 проводим прямую b OB1, A, C – точки пересечения окружности и прямой b; треугольник ABC - искомый. 6. Указание. Пусть нужно доказать, что в треугольнике ABC HD=DP, где H – ортоцентр треугольника, D – середина BC, AP – диаметр. Рассмотрите параллелограмм BHCP. 39 Вариант 1. 1. Его середина. 5. Точка M. 6. Да, например, прямая. Вариант 2. 1. Середина отрезка KL. 5. Точка M; параллелограмм. 6. Нет. 40 Вариант 1. 2. Равносторонний треугольник. 3. Отрезок. 4. 180. 5. 2 3 см. 6. Указание. Рассмотрите поворот вокруг точки O – центра данного пятиугольника, на 72. Вариант 2. 2. Квадрат. 3. Правильный восьмиугольник. 4. 180. 6. Указание. Рассмотрите поворот вокруг точки O – центра данного шестиугольника, на 60. 41 Вариант 1. 3. а) Серединный перпендикуляр к отрезку; б) прямая, на которой лежит высота, проведенная к основанию треугольника; в) любая прямая, перпендикулярная к данной прямой; а), б) одна ось; в) бесконечно много осей. Вариант 2. 3. а) Прямая, на которой лежит биссектриса угла; б) прямые, на которых лежат высоты треугольника; в) прямая, параллельная данным и отстоящая от них на одинаковое расстояние; а), в) одна ось; б) три оси. 42 Вариант 1. 2. 8. 3. а) Отрезки равны и параллельны; б) прямые параллельны. Вариант 2. 2. 8. 3. а) Окружности равны; б) лучи сонаправлены. 43 Вариант 1. 1. Осевая симметрия относительно прямой, на которой лежит данный луч. 2. Параллельный перенос. 3. Центральной симметрии относительно центра квадрата; четырех осевых симметрий относительно прямых, на двух из которых лежат диагонали квадрата и на двух - прямые, соединяющие середины его противоположных сторон; симметрии 4-го порядка центра квадрата. 5. Решение показано на рисунке 63, где точка N’ симметрична точке N относительно прямой l. Вариант 2. 1. Осевая симметрия относительно данной прямой. 2. Да. 3. Трех осевых симметрий относительно прямых, на которых лежат высоты треугольника; симметрии 3-го порядка относительно его центра. 5. а) Решение показано на рисунке 64,а, где точка K’ симметрична точке K относительно прямой m; б) если KLm (рис. 64,б), то любая точка прямой m удовлетворяет условию, так как m является серединным перпендикуляром отрезка KL, если прямая KL не перпендикулярна прямой m, то решения нет. 6. Прямоугольник. 44* Вариант 1. 1. Прямоугольник, им можно заполнить всю плоскость. 3. Два цвета. 4. Три цвета. Вариант 2. 1. Ромб, им можно заполнить всю плоскость. 3. Три цвета. 4. Два цвета. 45 Вариант 1. 1. 2,5 см; 5 см; 3,5 см. 2. Да. 3. GHLGNM; GHLNHK; 1 NHKGNM. 4. 102,2 дм. 5. 5 3 см. 6. Строим A= и на его сторонах откладываем отрезки AB’=m и AC’=n; находим B’C’=a’, a:a’=k, тогда AB=mk, AC=nk; откладываем на сторонах угла A соответствующие отрезки AB и AC; ABC – искомый треугольник. Вариант 2. 1. 3 см; 2 см; 4,5 см. 2. Да. 3. KLGMLH; KLGMNP; KLGKNQ; MLHMNP; MLHKNQ; MNPKNQ. 4. 30,6 дм; 45,9 дм; 61,2 дм. 5. Ромб, 4 см. 6. Строим C=90 и на его сторонах откладываем отрезки CA’=b и CB’=a; находим A’B’=c’, c:c’=k, тогда CA=bk, CB=ak; откладываем на сторонах угла C соответствующие отрезки CA и CB; ABC – искомый треугольник. 46 Вариант 1. 1. а) Да; б) нет. 2. а) DEFLMK (по углам); б) RSOPSR (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними). 4. 18 см. 5. 18 см, 24 см. 6. Дан треугольник ABC, AM – его медиана, CD – произвольный отрезок (рис. 65); проведем MF||DC, где точка F принадлежит стороне AB; AE AD 2 AD тогда ADE AFM и EM DF 2 DF , но 2DF=BD (FM – средняя линия AE 2 AD треугольника BCD), следовательно, EM BD или AE BD=2AD EM. Вариант 2. 1. а), б) Да. 2. а) ABCAGH (по углам); б) MLNKLM (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними). 4. 4 м, 8 м, 4 м, 8 м. 5. 12 см, 6 см. 6. В треугольнике ABC DE||BC (рис. 66): 1) BMLEMK (по BL BM CL AC углам), EK EM ; 2) ALCAKE (по углам), EK AE ; 3) ABCADE (по AC BC BC BM углам), AE DE ; 4) BMCEMD (по углам), DE EM . Таким образом, BM AC BL CL EM AE , из 1) и 2) следует, что EK EK , т.е. BL=CL. 47 Вариант 1. 1. а) Если стороны не равны, квадраты подобны; если равны – квадраты равны; б) имеют по равному углу и соответствующие стороны пропорциональны. 2. 27 см. 3. 11,1 см. 4. Решение показано на рисунке 67, где точка O – центр окружности, описанной около данного треугольника ABC, A’B’C’ – искомый треугольник. 5. Строим A=60, на его сторонах откладываем отрезки AB1=2 см и AD1=5 см. Через B1 проводим прямую a||AD1, строим D1=45 в одной полуплоскости с углом A относительно прямой AD1, у которого одна сторона - D1A, а другая пересекает прямую a в точке C1. Трапеция AB1C1D1 подобна искомой. На расстоянии h=3,5 см от прямой AD1 в одной полуплоскости относительно нее с прямой a проведем прямую b||AD1, B=AB1b, C=AC1b. Строим C=135, у него одна сторона CB, а другая пересечет AD1 в точке D. ABCD – искомая трапеция, гомотетичная трапеции AB1C1D1. 6. ABCD – данный четырехугольник, диагонали пересекаются в точке O (рис. 68), A1, B1, C1, D1 – основания перпендикуляров, опущенных на диагонали из соответствующих вершин данного четырехугольника. Около четырехугольника BB1C1C можно описать окружность (у него равны суммы противоположных углов), следовательно, OBC=OB1C1 и OBA= OB1A1, значит, ABC=A1B1C1. BOC B1OC1, откуда следует, что BC OB B1C1 OB1 ; AOBA1OB1, откуда OB AB OB1 A1 B1 . BC AB Следовательно, B1C1 A1 B1 , т.е. стороны четырехугольников, содержащие равные углы, пропорциональны. Аналогично можно показать, что и остальные углы четырехугольников соответственно равны и содержащие их стороны пропорциональны. Таким образом, четырехугольники ABCD и A1B1C1D1 подобны. Вариант 2. 1. а) Имеют по равному углу; б) соответствующие стороны пропорциональны. 2. 135 см. 3. 36 см. 4. Решение показано на рисунке 69, где точка M – центроид треугольника ABC, AA’=MA1, BB’=MB1 и CC’=MC1, A’B’C’ - искомый треугольник. 5. Строим прямоугольный треугольник A’DH’, у которого H’=90, A’H’=2 см и A’D=3 см. Продолжаем DH’ за точку H’ и откладываем DC’=5 см; проводим через точку A’ прямую a||DH’; откладываем C’=70 в одной полуплоскости с построенным треугольником относительно прямой DH’, у этого угла одна сторона C’D, а вторая его сторона пересечет прямую a в точке B’. Трапеция A’B’C’D подобна искомой трапеции. На DB’ откладываем DB=4 см и через точку B проводим прямые, параллельные A’B’ и B’C’, на DA’ и D’C’ получаем точки пересечения соответственно A и C. Трапеция ABCD - искомая. 6. Проведем биссектрису внешнего угла при вершине A данного треугольника ABC, она пересечет прямую BC в точке K (рис. 70). Опустим из вершины B перпендикуляр на AK, BLAK и BLAC=M. Тогда четырехугольник BLAG – прямоугольник (все углы прямые, LAB+ BAG=90), значит, BL||AG и BL=AG, LA||BG и LA=BG. Треугольник BAF – равнобедренный (у него AG одновременно является высотой и биссектрисой), значит, 1 BG= 2 BF. Аналогично, 1 треугольник MAB - равнобедренный, и BL= 2 BM. Кроме этого, по условию 1 BD= 2 BC. Так как точки C, F, M принадлежат одной прямой, то точки D, G, L тоже принадлежат одной прямой (LD – средняя линия треугольника MBC и делит BF в середине, т.е. G LD). Наконец, DEGDBL (по углам) и DE DG DH DHGDAL (по углам), откуда DB DL DA . Следовательно, HE||AB. 48* Вариант 1. 1. 35. 2. 36, 72, 72. 6. Проведем в окружности с центром в точке O два перпендикулярных диаметра AB и CD (рис. 71), точка E середина радиуса OC, отрезок EF равен отрезку EA. Отрезок AF равен стороне правильного пятиугольника, вписанного в данную окружность (заметим, что отрезок OF равен стороне правильного десятиугольника, вписанного в данную окружность). Вариант 2. 1. а) Треугольники типа AD1C1, ACD и BAC1; б) треугольники типа AD1B и ABC; в) пятиугольники ABCDE и A1B1C1D1E1. 2. 108, 36, 36. 6. Пусть прямая DF делит крест на две равновеликие части, тогда SDEF=2,5 кв.ед. Обозначим DC=x, GF=y. Учитывая, что сторона каждого ( x 1)( y 1) 2 квадрата равна 1, получим =2,5. Рассмотрим треугольники DCA и x 1 AGF, они подобны (по углам), значит, 1 y . Решая соответствующую 3 5 5 1 систему уравнений, найдем x= 2 и, значит, BD= 2 , т.е. точка D делит отрезок BC в золотом отношении. 49 a 3 Вариант 1. 1. 13 см. 2. 2 . 3. 4,8 см; 6,4 см. 4. 85 см, 42,5 см. 5. Берем отрезок, равный a+b, и на нем, как на диаметре, строим полуокружность (рис. 72), из точки H (AH=a, BH=b) восстанавливаем перпендикуляр к AB и продолжаем его до пересечения с полуокружностью в точке C, отрезок CH – искомый. 6. LMKLKN. Вариант 2. 1. a 2 . 2. 12,5 см. 3. 4(2+ 3 ) см. 4. 61см. 5. Гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами 2 и 2 равна 6 , 2 - диагональ единичного квадрата. 50 Вариант 1. 3. BC=a, BD=a sin, AD=CD=a cos, AC=2a cos, DH=DP=a sin cos, AH=CP=a cos2, BH=BP=a (1-cos2)= a sin2. 4. а), 3600 a n 1800 1800 1800 cos 2 sin sin n . n =2b n . 6. 2b б) AC=BC; в) BC<AC; г) BC>AC. 5. b Вариант 2. 3. AB= cos , BC=b tg , CH=b sin , H=b cos , H=b tg b(sin 2 cos 2 ) b b b 2 cos sin , AM=BM=CM= 2 cos , HM= , MP= 2 , BP=CP= 2 tg . 4. 0 a 180 b ctg 900 n sin 2 n . а), б) AC=BC; в) AC>BC; г) AC<BC. 5. . 6. sin 51 15 15 Вариант 1. 1. sin M= 4 , tg M= 15 , ctg M= 15 . 3. а) sin2; б) 1-cos. 5. а) 45; б) 30. 3 5 2 5 3 5 Вариант 2. 1. cos E= 7 , tg E= 15 , ctg E= 2 . 3. а) cos2; б) -(1+sin). 5. а) 60; б) 45. 52 1 tg 2 3 1 2 2 1 tg Вариант 1. 1. а) 2sin -1; б) . 3. sin 120= 2 ; cos 120=- 2 ; tg 3 3 120=- 3 ; ctg 120=- 3 . 4. sin 60=sin(90-30)=cos 30= 2 , cos 60=sin (901 30)=sin 30= 2 , tg 60=tg (90-30)=ctg 30= 3 , ctg 60=ctg (90-30)=tg 30= 3 2 3 . 5. -2ctg . 6. - 3 . ctg 3 1 2 2 ctg 1 Вариант 2. 1. а) 1-2cos ; б) . 3. sin 150= 2 ; cos 150=- 2 ; tg 3 2 150=- 3 ; ctg 150=- 3 . 4. sin 135=sin (180-45)=sin 45= 2 , cos 135=cos 2 3 3 (180-45)=-cos 45=- 2 , tg 135=-1, ctg 135=-1. 5. 2(cos –ctg ). 6. 2 ; - 2 . 53 3 4 5 2 2 Вариант 1. 1. 5 . 2. 0, 5 , 5 . 3. Тупой. 4. 16 см. 5. 120. 5 12 Вариант 2. 1. 4 10 3 3 . 2. 0, 13 , 13 . 3. Тупой. 4. 7 см, 8 см. 5. Тупоугольный, имеет угол в 120. 54 2 2 c sin D Вариант 1. 1. 5 . 2. 14 3 см. 3. E=180 -(C+D); CE= sin C ; CD= c sin(C D) g sin H h sin( H G ) sin C sin H . 4. sin G= h ; F=180 -(H+G); GH= . 5. 7 см. 6. R= 2 R sin A sin C b 8R 2 (sin 2 A sin 2 C ) b 2 CA cos 2sin( A C ) ; BL= 2 2 ; BM= . m sin L Вариант 2. 1. 0,42. 2. 4 2 см. 3. K=180-(L+M); KM= sin M ; LM= m sin( L M ) p sin N p sin( N P ) sin M sin N . 4. sin P= n ; O=180-(N+P); PN= . 5. 6 см. 6. R= a 8R 2 (sin 2 B sin 2 C ) a 2 2sin( B C ) ; AM= 2 . 55 1 2 Вариант 1. 1. 12 см. 2. а) 6 R; б) 3 R. 3. 1080 см, 540 см. 4. Нужно построить окружность с радиусом: а) R+r, где R и r – радиусы данных 1 окружностей; б) 3 R, где R – радиус данной окружности. 5. 6 см, 18 см. 6. 2 r (2 3 3) 3 . 1 5 720 Вариант 2. 1. 1 см. 2. а) 3 r; б) 6 r. 3. 720 см, см. 4. Нужно построить окружность с радиусом: а) R-r, где R и r – радиусы данных окружностей и R>r; б) 4R, где R – радиус данной окружности. 5. 12 см. 6. 2 R (2 3 3) 3 . 56* Вариант 1. 2. Одна ось симметрии. 4. Астроида. Вариант 2. 2. Имеет центр симметрии и 4 оси симметрии. 4. Астроида. § 3. КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ Контрольная работа № 1 Вариант 1 1. Сумма двух внутренних углов из восьми углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых третьей прямой, равна 80°. Найдите каждый из восьми углов. 2. Угол при вершине равнобедренного треугольника, противолежащей его основанию, равен 30°. Найдите угол между высотой, опущенной на боковую сторону треугольника, и его основанием. 3. Углы треугольника относятся как 2:3:4. Найдите углы данного треугольника и определите его вид. 4. В данном десятиугольнике все внутренние углы равны между собой. Найдите его внешний угол. 5*. По рисунку 31 определите угол X. Вариант 2 1. Сумма трех внутренних углов из восьми углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых третьей, равна 290°. Найдите каждый из восьми углов. 2. Угол при основании равнобедренного треугольника равен 65°. Найдите угол, образованный его боковой стороной и высотой, опущенной на другую боковую сторону. 3. Углы треугольника относятся как 3:2:1. Найдите углы данного треугольника и определите его вид. 4. Найдите число сторон выпуклого многоугольника, если сумма его внутренних углов равна 2520°. 5*. По рисунку 32 определите угол X. Контрольная работа № 2 Вариант 1 1. Периметр ромба равен 16 см, высота равна 2 см. Определите углы ромба. 2. В параллелограмме ABCD из вершин тупых углов B и D на диагональ AC опущены перпендикуляры BE и DF. Докажите, что четырехугольник BEDF – параллелограмм. 3. Стороны треугольника равны 2 см, 3 см и 4 см. Его вершины являются серединами сторон другого треугольника. Найдите периметр большого треугольника. 4. В равнобедренной трапеции верхнее основание равно боковой стороне, а диагональ перпендикулярна боковой стороне. Определите углы данной трапеции. 5*. Постройте ромб, если даны его сторона a и сумма диагоналей d1+d2. Вариант 2 1. Высота ромба, проведенная из вершины тупого угла, делит сторону ромба пополам. Определите углы ромба. 2. В параллелограмме ABCD из вершин тупых углов B и D проведены биссектрисы BE и DF. Точки E и F принадлежат диагонали AC. Докажите, что четырехугольник BFDE – параллелограмм. 3. Периметр треугольника равен 27 см, стороны относятся как 3:2:4. Найдите стороны треугольника, образованного средними линиями данного треугольника. 4. Определите углы равнобедренной трапеции, если одно из ее оснований в два раза больше другого, а боковые стороны равны меньшему основанию. 5*. Постройте ромб, если даны его сторона a и разность диагоналей d1d2. Контрольная работа № 3 Вариант 1 1. Острый угол прямоугольного треугольника равен 30°. Под каким углом виден каждый катет из центра окружности, описанной около данного треугольника? 2. Углы треугольника относятся как 3:7:8. Под какими углами видны его стороны из центра вписанной окружности? 3. Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 80° и 60°. Найдите остальные углы четырехугольника. 4. Три последовательные стороны описанного около окружности четырехугольника относятся как 1:3:5. Периметр четырехугольника равен 36 см. Найдите его стороны. 5*. Постройте треугольник ABC по его высоте AH=h, биссектрисе AL=l и углу B. Вариант 2 1. Угол при вершине равнобедренного треугольника, противолежащей основанию, равен 120°. Под каким углом видна каждая сторона треугольника из центра описанной около него окружности? 2. Два угла треугольника равны 36° и 48°. Под какими углами видны его стороны из центра вписанной окружности? 3. Три последовательные угла вписанного в окружность четырехугольника относятся как 3:4:6. Найдите углы четырехугольника. 4. В четырехугольник ABCD вписана окружность. Сторона AB на 4 см больше стороны CD, а стороны BC и AD относятся соответственно как 1:2. Найдите стороны данного четырехугольника, если его периметр равен 48 см. 5*. Постройте треугольник ABC по его стороне BC=a, медиане AM=m и углу HAM, где AH – высота треугольника ABC . Контрольная работа № 4 Вариант 1 1. Постройте фигуру, центрально симметричную равностороннему треугольнику относительно одной из его вершин. Какая получилась фигура? 2. В данной плоскости вокруг своего центра вращается квадрат. Сколько раз происходит самосовмещение квадрата при повороте на 360°? На какой угол происходит поворот при каждом самосовмещении квадрата? Центром симметрии какого порядка является центр квадрата? 3. Докажите, что если прямые, на которых лежат диагонали четырехугольника являются его осями симметрии, то четырехугольник является ромбом. 4. Постройте фигуру, в которую перейдет равносторонний треугольник ABC при параллельном переносе на вектор AM , где M – точка пересечения его медиан. Запишите равные векторы. 5*. Через центр квадрата проведены две взаимно перпендикулярные прямые. Докажите, что их отрезки, заключенные внутри квадрата, равны. При доказательстве используйте движение. Вариант 2 1. Постройте фигуру, центрально симметричную равностороннему треугольнику относительно середины одной из его сторон. Какая получилась фигура? 2. В данной плоскости вокруг своего центра вращается равносторонний треугольник. Сколько раз происходит самосовмещение треугольника при повороте на 360°? На какой угол происходит поворот при каждом самосовмещении? Центром симметрии какого порядка является центр равностороннего треугольника? 3. Докажите, что если прямые, на которых лежат одна диагональ и одна средняя линия (отрезок, соединяющий средины противоположных сторон) четырехугольника являются его осями симметрии, то четырехугольник является квадратом. 4. Постройте фигуру, в которую перейдет параллелограмм ABCD при параллельном переносе на вектор BO , где O – точка пересечения его диагоналей. Запишите равные векторы. 5*. Дан квадрат ABCD. Докажите, что четырехугольник, образовавшийся при пересечении отрезков AE, BF, CG, DH, где точки E, F, G, H – середины сторон квадрата соответственно CD, DA, AB, BC, является квадратом. При доказательстве используйте движение. Контрольная работа № 5 Вариант 1 1. В треугольнике ABC AB=6,8 см, BC=3,2 см, AC=7,6 см. Найдите стороны подобного ему треугольника A1B1C1, если его сторона A1B1 соответствует стороне AB первого треугольника и больше ее на 3,4см. 2. Докажите, что в подобных треугольниках отношение двух соответствующих сторон равно отношению двух соответствующих биссектрис. 3. Найдите высоту равностороннего треугольника со стороной b. 4. В равнобедренной трапеции основания равны 3,6 см и 7,6 см, расстояние между ними равно 4 1,19 см. Найдите боковую сторону трапеции. 5*. В прямоугольный треугольник вписан квадрат таким образом, что две его вершины принадлежат гипотенузе. Эти вершины делят гипотенузу последовательно на отрезки a, b, c. Докажите, что b2=ac. Вариант 2 1. Даны два подобных треугольника ABC и A1B1C1. Стороны первого треугольника равны: AB=5,6 см, BC=4,8 см, AC=6,3 см. Найдите стороны второго треугольника A1B1C1, если отношение соответствующих сторон равно 1,2 (AB< A1B1). 2. Докажите, что в подобных треугольниках отношение двух соответствующих сторон равно отношению двух соответствующих медиан. 3. Найдите высоту равнобедренного прямоугольного треугольника, опущенную из вершины прямого угла, если катет равен c. 4. Основания прямоугольной трапеции равны 2,0 см и 2,5 см, большая боковая сторона равна 1,3 см. Найдите периметр трапеции. 5*. В прямоугольный треугольник c катетами a и b вписан квадрат таким образом, что у них один общий угол. Сторона квадрата равна c. 1 1 1 Докажите, что a b c . Контрольная работа № 6 Вариант 1 3 1. Постройте острый угол , если: а) sin = 5 ; б) ctg =2. 2. Сравните sin 1° и cos 1°. 3. Стороны MN и MK треугольника MNK соответственно равны 6 см и 10 см, M=60°. Найдите остальные стороны и углы данного треугольника. 4. По данному радиусу R окружности определите сторону правильного вписанного в нее n-угольника. 5*. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна a, угол при вершине, которая противолежит основанию, равен . Найдите радиус окружности, вписанной в данный треугольник. Вариант 2 2 4 1. Постройте острый угол , если: а) cos = 3 ; б) tg = 7 . 2. Сравните tg 1° и ctg 1°. 3. Стороны DE и DF треугольника DEF соответственно равны 2 см и 5 см, D=60°. Найдите остальные стороны и углы данного треугольника. 4. По данному радиусу R окружности определите сторону правильного описанного около нее n-угольника. 5*. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна a, угол при вершине, которая противолежит основанию, равен . Найдите радиус окружности, описанной около данного треугольника. ОТВЕТЫ №1 Вариант 1. 1. 4 угла по 40° и 4 угла по 140°. 2. 15°. 3. 40°, 60°, 80°. 4. 36°. 5. 180°-(++). Вариант 2. 1. 4 угла по 70° и 4 угла по 110°. 2. 40°. 3. 90°, 60°, 30°. 4. 16. 5. -(+). №2 Вариант 1. 1. 30°, 30°, 150°, 150°. 3. 18 см. 4. 60°, 60°, 120°, 120°. 5. Сначала построить прямоугольный треугольник AOB (A, B – вершины ромба, O – точка пересечения его диагоналей) по гипотенузе AB=a и сумме катетов d1 d 2 d1 d 2 AO+OB= 2 . Для этого откладываем отрезок AK= 2 и K=45° (рис. 73). Проводим окружность (A; a), которая пересечет вторую сторону построенного угла в точке B. Опускаем перпендикуляр BO на AK, AOB – искомый треугольник. Теперь продолжаем AO и BO соответственно на отрезки OC=AO и OD=BO, ABCD - искомый ромб. Вариант 2. 1. 60°, 60°, 120°, 120°. 3. 4,5 см, 3 см, 6 см. 4. 60°, 60°, 120°, 120°. 5. Сначала построить прямоугольный треугольник AOB (A, B – вершины ромба, O – точка пересечения его диагоналей) по гипотенузе AB=a и разности d1 d 2 d1 d 2 катетов AO-BO= 2 . Для этого откладываем отрезок AK= 2 и K=45° (рис. 74). Проводим окружность (A; a), которая пересечет вторую сторону построенного угла в точке B. Опускаем перпендикуляр BO на AK, AOB – искомый треугольник. Теперь продолжаем AO и BO соответственно на отрезки OC=AO и OD=BO, ABCD - искомый ромб. №3 Вариант 1. 1. 60°, 120°. 2. 105°, 125°, 130°. 3. 100°, 120°. 4. 3 см, 9 см, 15 см, 9 см. 5. Указание. Сначала строим прямоугольный треугольник AHL по гипотенузе AL=l и катету AH=h. Вариант 2. 1. 60°, 60°, 120°. 2. 108°, 114°, 138°. 3. 60°, 80°, 120°, 100°. 4. 10 см, 14 см, 8 см, 16 см. 5. Указание. Сначала строим прямоугольный треугольник AHM по гипотенузе AM=m и острому углу HAM. №4 Вариант 1. 1. Равносторонний треугольник. 2. 4 раза; 90°; 4-го порядка. 5. Указание. Следует взять движение – поворот вокруг центра квадрата на 90°. Вариант 2. 1. Равносторонний треугольник. 2. 3 раза; 120°; 3-го порядка. 5. Указание. Следует взять движение – поворот вокруг центра квадрата на 90°. №5 b 3 Вариант 1. 1. 10,2 см; 4,8 см; 11,4 см. 3. 2 . 4. 4,8 см. c 2 Вариант 2. 1. 6,72 см; 5,76 см; 7,56 см. 3. 2 . 4. 7 см. №6 5 57 3 57 Вариант 1. 2. sin 1°<cos 1°. 3. NK=2 19 см; sin N= 38 ; sin K= 38 . 4. 2R 180 a sin tg (45 ) 4 . sin n . 5. 5 57 57 Вариант 2. 2. tg 1°<ctg 1°. 3. EF= 19 см; sin E= 38 ; sin F= 19 . 4. 2R tg a 180 2 cos 2. n . 5. § 4. Т Е С Т Ы Тест № 1 «Параллельность» 1. Сколько углов образуется при пересечении двух параллельных прямых третьей? 1) 4. 2) 6. 3) 8. 4) 12. 2. Сколько равных острых углов может образоваться при пересечении двух параллельных прямых третьей? 1) 2. 2) 4. 3) 6. 4) 8. 3. Сколько равных тупых углов может образоваться при пересечении двух параллельных прямых третьей? 1) 2. 2) 4. 3) 8 4) 16. 4. Сколько прямых углов может образоваться при пересечении двух параллельных прямых третьей? 1) 0 2) 2. 3) 4. 4) 8. 5. При пересечении двух параллельных прямых третьей один из углов оказался равным 34. Найдите наименьший из всех образованных при этом углов. 1) Нельзя определить. 2) 34. 3) 68. 4) 146. 6. При пересечении двух параллельных прямых третьей один из углов оказался равным 112. Найдите наименьший из всех образованных при этом углов. 1) Нельзя определить. 2) 34. 3) 68. 4) 112. 7. При пересечении двух параллельных прямых третьей внешние накрест лежащие углы оказались равными 65. Найдите внутренние накрест лежащие углы. 1) 65 и 115. 2) 125. 3) 65. 4) 65 и 180. 8. При пересечении двух параллельных прямых третьей один из углов оказался равным 97. Найдите наименьший из всех образованных при этом углов. 1) 97. 2) 83. 3) 77. 4) 7. 9. Сумма трех внутренних углов, образовавшихся при пересечении двух параллельных прямых третьей, равна 290. Найдите четвертый внутренний угол. 1) 145. 2) 110. 3) 35. 4) 70. 10. При каком положении секущей ее отрезок, заключенный между параллельными прямыми, имеет наименьшую длину? 1) Нельзя определить. 2) Секущая параллельна данным прямым. 3) Секущая перпендикулярна данным прямым. 4) Секущая пересекает данные прямые под углом 45. 11. Как расположены относительно друг друга биссектрисы внутренних односторонних углов, которые получились при пересечении двух параллельных прямых третьей? 1) Нельзя определить. 2) Параллельны. 3) Перпендикулярны. 4) Пересекаются под углом 45. 12. Как расположены относительно друг друга биссектрисы внешних накрест лежащих углов, которые получились при пересечении двух параллельных прямых третьей? 1) Нельзя определить. 2) Параллельны. 3) Перпендикулярны. 4) Пересекаются под углом 45. 13. Найдите углы треугольника, которые относятся как 2:3:4. 1) 20, 30, 40. 2) 40, 60, 80. 3) 36, 54, 90. 4) 18, 27, 36. 14. Определите вид треугольника, если его углы относятся как 1:2:3? 1) Нельзя определить. 2) Остроугольный. 3) Прямоугольный. 4) Тупоугольный. 15. Определите вид треугольника, если один из его углов больше суммы двух других? 1) Нельзя определить. 2) Остроугольный. 3) Прямоугольный. 4) Тупоугольный. 16. Угол при основании равнобедренного треугольника равен 70. Найдите угол между его высотой, проведенной к боковой стороне, и другой боковой стороной. 1) 20. 2) 50. 3) 70. 4) 110. 17. Определите вид треугольника, если у него один внешний угол острый. 1) Нельзя определить. 2) Остроугольный. 3) Прямоугольный. 4) Тупоугольный. 18. Найдите сумму углов выпуклого семиугольника. 1) 180. 2) 630. 3) 900. 4) 1260. 19. Найдите угол правильного восьмиугольника. 1) 45. 2) 135. 3) 720. 4) 1080. 20. Сумма углов выпуклого n-угольника равна 1260. Найдите n. 1) 8. 2) 9. 3) 10. 4) 12. Тест № 2 «Четырехугольники» 1. Сколько разных параллелограммов можно получить из двух равных разносторонних треугольников, прикладывая их друг к другу различным образом? 1) 1. 2) 2. 3) 3. 4) 6. 2. Сумма двух углов параллелограмма равна 126. Найдите его углы. 1) 63, 63, 126, 126. 2) 54, 126, 54, 126. 3) 63, 117, 63, 117. 4) 54, 126, 63, 117. 3. Диагональ параллелограмма образует с двумя его сторонами углы 24 и 46. Найдите углы параллелограмма. 1) 24, 156, 46, 134. 2) 22, 68, 22, 68. 3) 70, 70, 110, 110. 4) 22, 158, 22, 158. 4. Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении 2:3, считая от вершины тупого угла. Найдите несмежные стороны параллелограмма, если его периметр равен 90 см. 1) 16,875 см, 28,125 см. 2) 18 см, 27 см. 3) 32 см, 58 см. 4) 45 см, 135 см. 5. В прямоугольнике перпендикуляры, проведенные из точки пересечения диагоналей к его сторонам равны соответственно 3 см и 5 см. Найдите периметр прямоугольника. 1) 16 см. 2) 24 см. 3) 32 см. 4) 48 см. 6. В треугольнике ABC C=90, AC=BC=12 см. Из точки M, взятой на AB, проведены прямые, параллельные катетам. Найдите периметр образовавшегося четырехугольника. 1) 12 см. 2) 24 см. 3) 30 см. 4) 48 см. 7. Определите вид четырехугольника, вершины которого находятся в серединах сторон прямоугольника. 1) Параллелограмм общего вида. 2) Прямоугольник. 3) Ромб. 4) Квадрат. 8. В ромбе одна из диагоналей равна его стороне. Найдите углы ромба. 1) 30, 60, 30, 60. 2) 30, 150, 30, 150. 3) 60, 60, 120, 120. 4) 45, 45, 135, 135. 9. В ромбе перпендикуляр, проведенный из вершины тупого угла, делит сторону пополам. Найдите углы ромба. 1) 60, 60, 120, 120. 2) 45, 45, 135, 135. 3) 90, 90, 90, 90. 4) 30, 30, 150, 150. 10. Из точки пересечения диагоналей ромба опущены на его стороны перпендикуляры, основания которых последовательно соединены отрезками. Определите вид образовавшегося четырехугольника. 1) Параллелограмм общего вида. 2) Прямоугольник. 3) Ромб. 4) Квадрат. 11. Из каких двух равных треугольников можно сложить квадрат? 1) Правильных. 2) Прямоугольных. 3) Равнобедренных. 4) Равнобедренных прямоугольных. 12. В параллелограмме одна из диагоналей делит его угол пополам. Определите его вид. 1) Параллелограмм общего вида. 2) Прямоугольник. 3) Ромб. 4) Квадрат. 13. В четырехугольнике диагонали равны, перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам. Определите вид четырехугольника. 1) Параллелограмм общего вида. 2) Прямоугольник. 3) Ромб. 4) Квадрат. 14. В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан квадрат (вершины принадлежат сторонам треугольника), имеющий с ним общий угол. Найдите периметр квадрата, если катет треугольника равен b. b 1) 2 . 2) 2b. 3) 4b. 4) b2. 15. Стороны треугольника относятся как 1:3:4, его периметр равен 48 см. Найдите стороны треугольника, вершины которого находятся в серединных сторон данного треугольника. 1) 6 см, 18 см, 24 см. 2) 3 см, 9 см, 12 см. 3) 12 см, 36 см, 24 см. 4) 8 см, 24 см, 32 см. 16. В равностороннем треугольнике со стороной, равной 18 см, через середину одной из них проведены прямые, параллельные двум другим сторонам. Найдите периметр образовавшегося четырехугольника. 1) 18 см. 2) 36 см. 3) 48 см. 4) 72 см. 17. Углы при основании трапеции равны 71 и 34. Найдите остальные ее углы. 1) 34, 71. 2) 56, 19. 3) 105, 75. 4) 109, 146. 18. В равнобедренной трапеции основания равны 13 см и 28 см., острый угол равен 60. Найдите ее периметр. 1) 41 см. 2) 71см. 3) 82 см. 4) 20,5 см. 19. В прямоугольной трапеции один из углов равен 45, средняя линия равна 24 см, основания относятся как 3:5. Найдите меньшую боковую сторону. 1) 12 см. 2) 6 см. 3) 24 см. 4) 32 см. 20. Средняя линия трапеции делится ее диагоналями на части, которые относятся как 2:3:2. Найдите основания трапеции, если ее средняя линия равна 42 см. 1) 12 см, 30 см. 2) 24 см, 30 см. 3) 24 см, 60 см. 4) 24 см, 36 см. Тест № 3 «Вписанные и описанные многоугольники» 1. Где находится центр окружности, описанной около треугольника? 1) В ортоцентре (точка пересечения прямых, на которых лежат высоты треугольника). 2) В центроиде (точка пересечения медиан треугольника). 3) В точке пересечения серединных перпендикуляров сторон. 4) В точке пересечения биссектрис. 2. Где находится центр окружности, вписанной в треугольник? 1) В ортоцентре. 2) В центроиде. 3) В точке пересечения серединных перпендикуляров сторон. 4) В точке пересечения биссектрис. 3. Определите вид треугольника, если центр описанной около него окружности находится на одной из его сторон. 1) Равносторонний. 2) Остроугольный. 3) Прямоугольный. 4) Тупоугольный. 4. Какой вид имеет треугольник, если расстояние от его ортоцентра до центра описанной около него окружности больше радиуса этой окружности? 1) Равносторонний. 2) Остроугольный. 3) Прямоугольный. 4) Тупоугольный. 5. Какой вид имеет треугольник, если расстояние от его ортоцентра до центра описанной около него окружности равно радиусу этой окружности? 1) Равносторонний. 2) Остроугольный. 3) Прямоугольный. 4) Тупоугольный. 6. Центр окружности, вписанной в треугольник, лежит внутри него. Определите вид треугольника. 1) Остроугольный. 2) Прямоугольный. 3) Тупоугольный. 4) Нельзя определить. 7. Во сколько раз радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, больше радиуса вписанной в этот треугольник окружности? 1) В 2 раза. 2) В 3 раза. 3) В 4 раза. 4) В 6 раз. 8. Центральный угол окружности на 42 больше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу. Найдите эти углы. 1) 42, 84. 2) 42, 21. 3) 14, 28. 4) 21, 1030’. 9. В окружности проведена хорда, равная радиусу. Под каким углом видна эта хорда из произвольной точки окружности, отличной от ее концов? 1) 30. 2) 60. 3) 90. 4) 180. 10. Под каким углом из точки дуги видна стягивающая ее хорда, если дуга составляет 20% окружности? 1) 36. 2) 72. 3) 144. 4) 288. 11. В угол вписана окружность. Точки касания делят ее на две части, которые относятся как 7:11. Найдите данный угол. 1) 40. 2) 70. 3) 110. 4) 140. 12. Около четырехугольника ABCD описана окружность. Его углы A, B, C относятся как 1:2:3. Найдите угол D. 1) 30. 2) 45. 3) 60. 4) 90. 13. В четырехугольник ABCD вписана окружность, AB=11 см, CD=17 см. Найдите периметр четырехугольника. 1) 14 см. 2) 28 см. 3) 40 см. 4) 56 см. 14. Меньшая сторона прямоугольника равна 3,6 см. Угол между диагоналями 120. Найдите диаметр описанной окружности. 1) 1,8 см. 2) 3,6 см. 3) 7,2 см. 4) 14,4 см. 15. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб со стороной 12 см и углом 30. 1) 3 см. 2) 4 см. 3) 6 см. 4) 8 см. 16. Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 20 см, ее большая боковая сторона равна 6 см. Найдите радиус окружности. 1) 2 см. 2) 4 см. 3) 10 см. 4) 14 см. 17. Какой наибольший центральный угол может быть у правильного многоугольника, вписанного в окружность? 1) 60 . 2) 90 . 3) 120 . 4) Нельзя определить. 18. Периметр правильного шестиугольника, вписанного в окружность, равен 36 см. Найдите диаметр окружности. 1) 6 см. 2) 9 см. 3) 12 см. 4) 18 см. 19. Угол между стороной правильного n-угольника, вписанного в окружность, и радиусом этой окружности, проведенным в одну из вершин стороны, равен 70. Найдите n. 1) 6. 2) 8. 3) 9. 4) 12. 20. Найдите число сторон правильного многоугольника, у которого угол на 108 больше центрального угла описанной окружности. 1) 5. 2) 10. 3) 12. 4) 15. Тест № 4 «Движение» 1. Какие прямые при центральной симметрии переходят в себя? 1) Параллельные. 2) Перпендикулярные. 3) Проходящие через центр симметрии. 4) Таких прямых нет. 2. Как расположены относительно друг друга две центрально симметричные прямые? 1) Совпадают. 2) Параллельны или совпадают. 3) Перпендикулярны. 4) Пересекаются в центре симметрии. 3. При каком расположении трех различных прямых образованная ими фигура имеет бесконечно много центров симметрии? 1) Прямые параллельны. 2) Прямые пересекаются в одной точке. 3) Две прямые параллельны, третья им перпендикулярна. 4) Прямые параллельны и одна из них находится на равных расстояниях от двух других. 4. Какому условию должны удовлетворять два луча, чтобы они были центрально симметричными? 1) Лежать в одной полуплоскости относительно прямой, проходящей через их начала. 2) Лежать на параллельных прямых. 3) Быть сонаправленными. 4) Быть противоположно направленными. 5. Какие точки переходят в себя при повороте вокруг некоторой точки на угол ? 1) Принадлежащие прямым, проходящим через центр поворота. 2) Принадлежащие углам с вершиной в центре поворота. 3) Центр поворота. 4) Лучи с началом в центре поворота. 6. На какой угол нужно повернуть прямую вокруг точки, не принадлежащей ей, чтобы получить прямую, параллельную данной? 1) 90. 2) 180. 3) 270. 4) 360. 7. Поворот на какой положительный угол совпадает с поворотом на угол – (0<<360)? 1) 360-. 2) 180-. 3) 180+. 4) 90+. 8. Центром симметрии какого порядка является точка пересечения диагоналей произвольного параллелограмма? 1) Второго. 2) Третьего. 3) Четвертого. 4) Шестого. 9. Какие прямые при осевой симметрии переходят в себя? 1) Параллельные оси. 2) Перпендикулярные оси. 3) Ось и перпендикулярные ей прямые. 4) Пересекающие ось под углом 45. 10. При каком условии прямая при осевой симметрии переходит в параллельную себе прямую? 1) Совпадает с осью. 2) Параллельна оси. 3) Перпендикулярна оси. 4) Таких прямых нет. 11. Сколько осей симметрии имеет правильный пятиугольник? 1) 0. 2) 5. 3) 10. 4) 20. 12. Сколько осей симметрии имеет правильный шестиугольник? 1) 3. 2) 6. 3) 9. 4) 12. 13. Сколько существует параллельных переносов, переводящих луч в сонаправленный ему луч? 1) 1. 2) 2. 3) 3. 4) Бесконечно много. 14. При каком условии существует параллельный перенос, переводящий один отрезок в другой? 1) Отрезки равны. 2) Отрезки параллельны. 3) Отрезки равны и параллельны. 4) Отрезки пересекаются в своих серединах. 15. Сколько различных векторов задают пары вершин параллелограмма? 1) 4. 2) 6. 3) 8. 4) 12. 16. Определите вид четырехугольника CDEF, CF ED и | CF || CD | . 1) Параллелограмм общего вида. 2) Ромб. 3) Квадрат. 4) Равнобедренная трапеция. 17. В какую фигуру перейдет полуплоскость при движении? 1) В отрезок. 2) В прямую. 3) В полуплоскость. 4) В плоскость. 18. При некотором движении луч AB переходит в луч A’B’. При этом лучи сонаправлены. Назовите движение. 1) Параллельный перенос. 2) Центральная симметрия. 3) Параллельный перенос или центральная симметрия. 4) Параллельный перенос или осевая симметрия. 19. При каком условии существует движение, переводящее треугольник KLM в треугольник K’L’M’? 1) Соответствующие стороны треугольников параллельны. 2) Соответствующие стороны треугольников перпендикулярны. 3) Треугольники равны. 4) Соответствующие углы треугольников равны. 20. Назовите движение, при котором каждая прямая переходит в параллельную прямую или саму в себя. 1) Центральная симметрия. 2) Центральная симметрия или параллельный перенос. 3) Осевая симметрия или параллельный перенос. 4) Параллельный перенос. Тест № 5 «Подобие» 1. Сколько пар подобных треугольников изображено на рисунке (рис. 33), где MN||AC? 1) 3. 2) 4. 3) 6. 4) 8. 2. Сколько пар подобных треугольников получится, если в прямоугольном треугольнике провести высоту из вершины прямого угла? 1) 2. 2) 3. 3) 4. 4) 6. 3. Сколько получится подобных треугольников, если в треугольнике провести все его средние линии? 1) 3. 2) 4. 3) 5. 4) 6. 4. В треугольнике DEF проведен отрезок MN||DF (рис. 34). Найдите коэффициент подобия изображенных треугольников, если EN=4 см, NF=5 см. 1) 2) 3) 1 4. 4 5. 4 9. 4 9 или 2,25. 4) 5. Стороны треугольника относятся как 2:3:4. Большая сторона подобного ему треугольника равна 36 см. Найдите периметр второго треугольника. 1) 81 см. 2) 36 см. 3) 144 см. 4) 334 см. 6. В треугольниках ABC и A1B1C1 A=A1 и B=B1, AB=4,2 см, BC=6,3 см, CA=3,6 см, C1A1=2,4 см. Найдите A1B1 и B1C1. 1) 6,3 см и 9,45 см. 2) 3 см и 5,1 см. 3) 2,8 см и 4,2 см. 4) 25,2 см и 37,8 см. 7. В треугольнике XYZ проведен отрезок YO, точка O принадлежит стороне XZ, таким образом, что XOY= XYZ. Найдите XO и ZO, если XY=24 мм, XZ=36 мм. 1) 16 мм, 24 мм. 2) 16 мм, 20 мм. 3) 12 мм, 18 мм. 4) 12 мм, 24 мм. 8. В треугольнике KLM KL=25 см, LM=20 см, KM=30 см. На стороне KL от вершины K отложен отрезок KN=21 см, LNP= M, где точка P принадлежит стороне ML. Найдите периметр треугольника LNP. 1) 75 см. 2) 50 см. 3) 25 см. 4) 15 см. 9. В одной окружности проведены диаметр CD и хорда CE, в другой – 11 11 диаметр FG= 17 CD и хорда FH= 17 CE. Определите DE, если HG=187 см. 1) 121 см. 2) 289 см. 3) 17 см. 4) 11 см. 13 10. Периметр одного треугольника составляет 11 периметра подобного ему треугольника. Разность двух соответствующих сторон треугольников равна 2 см. Найдите эти стороны. 1) 13 см, 11 см. 2) 24 см, 22 см. 3) 39 см, 33 см. 4) 169 см, 121 см. 11. Наибольшие стороны двух подобных многоугольников равны 35 см и 14 см, разность их периметров равна 60 см. Найдите периметры многоугольников. 1) 140 см и 80 см. 2) 350 см и 140 см. 3) 80см и 20 см. 4) 100 см и 40 см. 12. Стороны прямоугольника равны a и b. Найдите радиус окружности, описанной около него. ab 1) 2 . 2 2 2) a b . a 2 b2 2 3) . 2 2 a b 4) 2 2 . 13. Катеты прямоугольного треугольника равны 8 дм и 18 дм. Найдите радиус описанной около треугольника окружности. 1) 66 см. 2) 41 см. 3) 97 см. 4) 20,5 см. 14. Найдите сторону квадрата, если она меньше его диагонали на 2 см. 1) 2 2 см. 2) 2( 2 +1) см. 3) 2 -1 см. 4) 1 см. 15. Стороны пятиугольника относятся как 3:4:2:5:6. Найдите периметр подобного ему пятиугольника, если его наибольшая сторона равна 1,2 дм. 1) 7,2 дм. 2) 6 дм. 3) 80 см. 4) 40 см. 16. Прямая делит параллелограмм на два подобных параллелограмма. Стороны меньшего из них равны 4 см и 5 см. Найдите периметр первоначального параллелограмма. 1) 14,4 см. 2) 22,5 см. 3) 30,5 см. 4) 56 см. 17. Основания трапеции равны 3 см и 27 см. Прямая делит эту трапецию на две подобные трапеции. Найдите их общее основание. 1) 9 см. 2) 12 см. 3) 15 см. 4) 18 см. 18. Периметр параллелограмма равен 96 см. Каждая его диагональ разделена на три равные части. Найдите периметр четырехугольника, вершинами которого являются точки деления. 1) 16 см. 2) 24 см. 3) 32 см. 4) 64 см. 19. Во сколько раз нужно увеличить каждую из сторон прямоугольника, чтобы получить прямоугольник, подобный данному, с периметром в 3 раза большим периметра данного прямоугольника. 1 1) В 3 раза. 2) В 3 раз. 3) В 3 раза. 4) В 9 раз. 20. Во сколько раз нужно уменьшить каждую сторону ромба, чтобы получить ромб, подобный данному, с периметром в n раз меньше периметра данного ромба. 1) В n2 раз. 2) В n раз. 3) В n раз. 1 4) В n раз. Тест № 6 «Тригонометрические функции острого угла. Длина окружности» 1. Чему равен sin 60? 1 1) 2 . 1 2) 3 . 3) 3 . 3 4) 2 . 2. Чему равен ctg 30? 1) 3 . 3 2) 2 . 2 3) 2 . 3 4) 3 . 3. Для какого угла sin =cos ? 1) 30. 2) 45. 3) 60. 4) 90. 4. Определите косинус угла A в прямоугольном треугольнике ABC, где C=90. 1) 2) 3) AC BC . BC AB . AC AB . AB AC . 4) 5. Определите тангенс угла C в прямоугольном треугольнике CDE, где E=90. 1) 2) 3) 4) CE DE . CD CE . ED CD . ED CE . 1 6. Синус какого угла равен 2 ? 1) 30. 2) 60. 3) 75. 4) 90. 7. Высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, равна 3 см, основание равно 8 см. Найдите синус и косинус угла при основании данного треугольника. 3 4 1) sin = 5 , cos = 5 . 3 3 2) sin = 4 , cos = 8 . 73 3) sin = 73 , cos = 73 . 4 3 4) sin = 5 , cos = 5 . 8. Диагональ прямоугольника в два раза больше одной из его сторон. Найдите угол между диагоналями прямоугольника. 1) 30. 2) 60. 3) 90. 4) 150. 2 9. Найдите cos B, если sin B= 5 . 4 1) 25 . 2) 3) 29 5 . 21 5 . 10 5 . 4) 10. Найдите tg F, если cos F=0,2. 1) 96 . 2) 2 6 . 3) 15 . 6 4) 12 . 11. В треугольнике OPR O=60, OP=5 см, OR=3 см. Найдите PR. 1) 34 15 3 см. 2) 19 см. 3) 7 см. 4) 4 3 см. 12. Стороны треугольника равны 5 см, 6 см, 8 см. Найдите его медиану, проведенную к большей стороне. 3 1) 6 см. 1 ( 2 1) 2) 2 см. 3) 5 1, 7 см. 58 2 см. 4) 13. В треугольнике RST сторона RT=12 см, S=60. Найдите радиус описанной окружности. 1) 6 см. 2) 3 3 см. 3) 4 3 см. 4) 8 3 см. 14. Углы треугольника относятся как 3:2:1. Найдите соответствующее отношение его сторон. 1) 3:2:1. 2) 1:2:3. 3) 2: 3 :1. 4) 3 : 2 :1. 15. Найдите длину окружности, описанной около правильного треугольника со стороной 3 см. 1) 2 3 см. 2) 3 3 см. 3 3) 2 3 см. 4) 3 см. 16. Найдите радианную меру угла в 45. 1) 2 . 2) 4 . 3) 2 . 2 4) 3 . 17. Сколько градусов содержит центральный угол окружности, опирающийся на хорду, равную радиусу этой окружности. 1) 30. 2) 45. 3) 60. 4) 90. 18. Длина окружности равна C. Найдите длину дуги, центральный угол которой равен 135. 1) 0,5 C. 2) 0,25 C. 3) 0,75 C. 4) 0,375 C. 19. Длина окружности больше периметра вписанного в нее правильного шестиугольника на 8 см. Найдите радиус окружности. 4 1) 3 . 3 2) 4 . 3) 3 . 4) 4 см. 20. Дуга, радиус которой равен 24 см и центральный угол равен 120, свернута в окружность. Найдите диаметр этой окружности. 1) 4 см. 2) 8 см. 3) 12 см. 4) 16 см. ОТВЕТЫ Номер Задания 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 3) 2) 2) 4) 2) 3) 1) 2) 4) 3) 3) 2) 2 3) 3) 3) 1) 3) 2) 3) 3) 1) 2) 4) 3) Номер теста 3 4 3) 3) 4) 2) 3) 4) 4) 4) 3) 3) 4) 2) 1) 1) 1) 1) 1) 3) 3) 2) 1) 2) 4) 2) 5 3) 2) 3) 4) 1) 3) 2) 4) 2) 1) 4) 3) 6 4) 1) 2) 3) 4) 1) 1) 2) 3) 2) 2) 4) 13 14 15 16 17 18 19 20 2) 4) 4) 1) 3) 3) 2) 3) 3) 2) 4) 2) 1) 3) 4) 2) 2) 1) 2) 3) 4) 4) 3) 3) 1) 3) 2) 3) 4) 3) 2) 1) 3) 3) 3) 2) 3) 2) 1) 2) § 5. ЗАДАЧИ С ПРАКТИЧЕСКИМ СОДЕРЖАНИЕМ 3) 3) 1) 2) 3) 4) 1) 4) Параллельность 1. Постройте параллельные прямые с помощью линейки и: а) чертежного угольника; б) циркуля. 2. Через данную точку (не принадлежащую данной прямой) проведите с помощью транспортира и линейки прямую, параллельную данной прямой. 3. Начертите две прямые, параллельные верхнему краю тетради. 4. На плане города улицы обозначенные как AB и CD, параллельны (рис. 35). Улица EF составляет с улицами AB и AC углы соответственно =43 и =65. Найдите углы, которые образуют между собой улицы AC и AB, AC и CD. 5. Как практически проверить, параллельны ли две прямые: а) изображенные в тетради; б) провешенные на местности? 6. С помощью одной линейки постройте сумму углов A и B треугольника ABC. 7. На рисунке 36 изображен прибор, который называется эклиметр. Он используется для измерения углов в вертикальной плоскости при проведении работ на местности. Объясните, что измеряется с помощью него и как он устроен. 8. На рисунке 37 показано, как с помощью чертежного угольника построены две перпендикулярные прямые AB и BC. Объясните это построение. 9. Найдите угол, образованный линиями насечек у напильника, изображенного на рисунке 38. 10. По одну сторону от шоссе расположены два дачных участка. Нужно проложить дорогу, параллельную шоссе, таким образом, чтобы сумма расстояний от участков до нее была наименьшей. Четырехугольники 11. На рисунке 39 изображено устройство, которое называется «параллельные линейки» и используется для построения параллельных прямых. Объясните, как им пользуются. 12. Объясните по рисунку 40, как находится расстояние между недоступными объектами X и Y, которые находятся, например, на противоположном от наблюдателя берегу реки, MN - искомое расстояние. 13. В старинных паровозах на колесах закреплялся специальный стержень (на рисунке 41 ST), равный расстоянию между центрами соответствующих окружностей, который передавал движение от первого колеса ко второму, равному ему колесу. Объясните, как должен быть расположен стержень относительно линии центров (прямая, соединяющая центры двух окружностей). 14. В прямоугольной пластине нужно просверлить круглое отверстие на равном расстоянии от вершин. Как найти центр отверстия? 15. Мастеру заказали изготовить ставни, чтобы закрыть прямоугольные окна на даче. Какие размеры он должен снять с каждого окна? 16. Как, имея двустороннюю линейку, построить ромб? 17. Как, имея двустороннюю линейку, данный угол: а) разделить пополам; б) удвоить? 18. Как проверить, что салфетка имеет форму квадрата? Достаточно ли перегнуть ее по: а) одной диагонали; б) двум диагоналям? 19. На одной прямой на равном расстоянии друг от друга стоят три телеграфных столба. Крайние находятся от дороги на расстояниях 18 м и 48 м. Сделайте соответствующий рисунок и найдите расстояние, на котором находится от дороги средний столб. 20. Участок между двумя параллельными улицами имеет вид четырехугольника ABCD (AD||BC) AB=28 см, BC=35 см, AD=42 см, B=112. Выберите масштаб и нарисуйте план участка. Найдите приблизительно периметр участка и количество досок шириной 10 см, которые нужно заготовить, чтобы обнести его плотным забором. Вписанные и описанные многоугольники 21. В металлической пластине просверлены три круглых отверстия, их центры не принадлежат одной прямой. Где нужно просверлить четвертое отверстие, чтобы его центр находился на равном расстоянии от центров трех данных отверстий? 22. В треугольной пластине нужно просверлить круглое отверстие, чтобы оно находилось на равных расстояниях от ее сторон. Где должен быть центр отверстия? 23. В каком месте потолка нужно повесить люстру, чтобы все углы прямоугольной комнаты были одинаково освещены? 24. В каком месте ромбовидной поляны нужно встать, чтобы эхо одинаково отражалось от всех стен леса? 25. В окружность без указанного центра с помощью чертежного угольника впишите квадрат. 26. Из фанеры требуется выпилить круглую крышку для бочки. Какие измерения нужно сделать мастеру, имея в своем распоряжении одну рулетку? 27. Для того чтобы предупредить корабли об имеющихся на их пути трех мелях A, B, C (рис. 42), поставили два маяка M1 и M2, которые расположены на окружности, охватывающей опасный участок. Угол M1OM2 должен быть известен лоцманам, ведущим корабли. Как могут лоцманы, измеряя угол между направлениями на оба маяка, узнавать, находятся ли корабли вне зоны опасности? 28. Ученику нужно провести трисекцию (разделить на три равные части) центрального угла на выпиленной круглой пластине. Он поступил следующим образом: провел хорду, соответствующую данному центральному углу, разделил ее на три равные части и точки деления соединил с центром пластины. Разделился ли при этом центральный угол на три равные части? Обоснуйте свой ответ. 29. Известно, что громоотвод защищает от молнии на расстоянии от его основания не более его удвоенной высоты. Где на дачном участке лучше всего разместить громоотвод, чтобы его высоту сделать наименьшей, если участок имеет форму: а) круга; б) прямоугольного треугольника; в) равностороннего треугольника; г) разностороннего треугольника; д) прямоугольника; е) квадрата. 30. Садовник разбил красивую круглую клумбу. На ней, в частности, посадил маргаритки, которые образовали стороны вписанного четырехугольника. У него остались еще цветы, и он продолжил стороны четырехугольника до их пересечения и посадил также цветы по биссектрисам углов, образованных продолжениями этих сторон. Ему показалось, что эти биссектрисы перпендикулярны и соответственно параллельны биссектрисам углов, образованных диагоналями того же четырехугольника. Верно ли предположение садовника? Движение 31. Как, используя центральную симметрию, измерить расстояние между двумя объектами, между которыми находится, например, дом? 32. Как, используя центральную симметрию, измерить расстояние между двумя объектами M и N, если между ними два дома D1, D2 и невдалеке кустарник К (рис. 43). 33. На участке прямоугольной формы находятся две дачи D1, D2 и колодец К (рис. 44). Как нужно поставить забор, чтобы участки дач были равны и колодец находился на их границе? 34. На участке имеется площадка. Как провести прямую изгородь, чтобы она разделила и участок, и площадку на две равные части, если: а) и участок, и площадка имеют прямоугольную форму (рис. 45,а); б) участок имеет форму параллелограмма, площадка – круга, и расположены они так, как показано на рисунке (рис. 45,б)? 35. Между двумя пунктами P и Q: а) протекает река (рис. 46,а); б) протекают две реки (рис. 46,б). Где нужно построить переправу, чтобы соединить пункты самой короткой дорогой? 36. Как восстановить садовый участок квадратной формы, если сохранились три столбика от ограды его периметра – два на противоположных сторонах и один – в центре? 37. Как восстановить участок квадратной формы, если от его ограды сохранились четыре столбика – по одному на каждой его стороне? Всегда ли это можно сделать? 38. В каком направлении нужно ударить бильярдный шар X (рис. 47), чтобы он, ударившись о стенку BC прямоугольного стола, попал в шар Y? 39. В каком направлении нужно ударить бильярдный шар X (рис. 47), чтобы он, последовательно ударившись о четыре стенки AB, BC , CD и AD прямоугольного стола, попал в шар Y? 40. На клетчатой бумаге в вершинах клеток поставлены две точки O и P так, как показано на рисунке 48. Не проводя никаких линий, найдите точку P1, в которую перейдет точка P при повороте вокруг точки O на угол, равный -90 . Подобие 41. На рисунке 49 изображен прибор – дальнометр, где AL – линейка со шкалой, PQ – подвижная планка. Как можно найти с помощью этого прибора расстояние, например, AK, зная расстояние между объектами B и C? 42. По данному рисунку 50 объясните, как определяется высота H дерева. При этом используется шест, на рисунке он обозначен CD. Чему равна высота H, если h, S, a, b известны? 43. Как определить высоту дерева по его тени в солнечный день? 44. Изображение дерева на фотопленке имеет высоту 15 мм. Найдите высоту дерева, если расстояния от объектива фотоаппарата до изображения и до дерева равны соответственно 50 мм и 60 м (рис. 51). 45. На географической карте три населенных пункта расположены друг от друга на расстояниях 6 см, 5 см и 4,5 см. Наибольшее расстояние равно в действительности 15 км. Найдите масштаб карты и действительное наименьшее расстояние. 46. Какой должна быть ширина (x) прямоугольной рамки для фотографий, если известны три ее размера a, b, c, указанные на рисунке 52, чтобы прямоугольники рамки и фотографии были подобны? 47. На рисунке 53 изображен прибор, который называется «делительный циркуль». Объясните, как, пользуясь им, можно снять копии отдельных фрагментов планов, чертежей, деталей и т.п. Например, найдите расстояние BC, чтобы циркуль: а) увеличил оригинал в 2 раза; б) уменьшил оригинал в 3 раза. Ножка AE имеет длину 15 см. 48. На рисунке 54 два человека M1 и M2 должны выйти к шоссе GH в одном месте. Вектор M 1 N1 задает направление движения M1. Определите соответствующий вектор направления движения M2. 49. Нужно найти расстояние, на котором упадет от теннисной сетки поданный мяч, если ее высота равна 90 см, мяч подан с высоты 2,4 м от конца площадки, длина которой до сетки равна 12 м. 50. Объясните по рисунку 55, как измерить глубину обрыва, стоя на его краю и имея небольшую палку: A – уровень глаз стоящего человека, B уровень обрыва и уровень глаз лежащего человека, CD и EF – длины частей палки, K – камень на дне. Тригонометрические функции острого угла 51. Горная железная дорога поднимается на 1 м на каждые 30 м пути. Найдите угол подъема. 52. На каком расстоянии друг от друга следует копать ямки для посадки деревьев по склону холма, наклоненному к горизонту под углом , если расстояние между двумя деревьями на ровной горизонтальной поверхности равно a м? 53. Ширина каждой ступеньки (называется проступь) лестницы равна b см. Найдите высоту ступеньки, если угол подъема лестницы равен . 54. Используя теорему косинусов, определите расстояние между пунктами M и N, между которыми расположен пруд (рис. 56). 55. Используя теорему синусов, предложите способ определения расстояния между двумя пунктами (R и S), которые находятся на разных берегах реки. 56. На рисунке 57 показано, как определяли расстояние между двумя недоступными объектами E и F, находящимися на другом берегу реки. Объясните предложенный способ определения EF. 57. Длина маятника равна l м, высота его подъема (от вертикального положения) при отклонении на угол равна h м. Найдите расстояние от конца маятника при данном отклонении от вертикальной прямой до его первоначального спокойного состояния. 58. На рисунке 58 угол AOB – угол места цели (это угол между горизонтом и прямой, соединяющей орудие с целью). Найдите его при стрельбе по цели, которая находится выше уровня орудия на 75 м, учитывая, что расстояние от орудия до цели по карте масштаба 1:10000 равно 37,5 см. 59. На стрельбище спортсмены выстраиваются параллельно стрелковому стенду на расстоянии 500 м от него. Определите длину участка, который находится под обстрелом, если расстояние между первым и последним участниками соревнования равно 100 м и дальность полета пули равна 2,9 км. 60. К одной материальной точке M под углом 60 друг к другу приложены две силы P1=100 кг и P2=200 кг. Найдите величину равнодействующей R и углы, которые она составляет с P1 и P2. ОТВЕТЫ 1. а) См. рисунок 75, прямые AB и CD параллельны; б) проводим произвольную прямую a, берем точку A a, опускаем перпендикуляр AH, H a (проводим окружность с центром в точке A, которая пересечет прямую a в двух точках, например, B и C, находим точку H – середину отрезка BC, AHa). Затем через точку A проводим прямую b, перпендикулярную AH, прямые a и b параллельны. 2. Через точку A, не принадлежащую прямой a проводим произвольную прямую c, пересекающую данную прямую a. С помощью транспортира определяем угол между прямыми a и c; через точку A под углом к прямой c проводим прямую b; прямые a и b параллельны. 4. 72°, 108°. 6. Нужно построить внешний угол при вершине C. 9. 80°, 100°. 10. Обозначим шоссе прямой g, поселки – буквами M и N. Проведем прямую hg и опустим из точек M и N перпендикуляры на h соответственно MH и NQ (рис. 76). Теперь проведем прямую p||g и назовем P=ph. Если точка P лежит между точками H и Q, то HP+PQ=HQ; если P не лежит между H и Q, то HP+PQ>HQ. Расстояния от точек M и N до прямой p равны соответственно HP и QP. Таким образом, наименьшая сумма этих расстояний равна HQ. Следовательно, искомая дорога - прямая x, проходит через любую внутреннюю точку отрезка MN параллельно прямой g. 12. XN||YM и XN=YM ( XON= MOY по двум сторонам и углу между ними), значит, четырехугольник MNXY – параллелограмм и XY=MN. 13. O1STO2 – параллелограмм, ST||O1O2 и SO1||TO2. 14. Провести диагонали прямоугольника, центр отверстия будет находиться в точке их пересечения. 15. Нужно измерить или две несмежные стороны прямоугольника – окна, или одну сторону и диагональ. 16. Решение показано на рисунке 77, где ABCD - ромб. 17. Пусть дан угол AOB. а) Прикладываем линейку к одной его стороне, например, OB, обводим другой край, получили прямую a (рис. 78,а). Аналогично, прикладываем линейку к стороне OA и опять обводим другой край линейки, получим прямую b. В пересечении получился ромб OKLM, диагональ OL которого является биссектрисой угла O, т.е. AOL= BOL. б) Прикладываем линейку к одной стороне угла, например, OB, обводим другой край, получили прямую a (рис. 78,б), которая пересечет OA в точке L. Аналогично, проведем прямую b, но так, чтобы прямые a и b лежали в разных полуплоскостях относительно прямой OB. Теперь разместим линейку таким образом, чтобы разные ее края проходили через точки O и L, получим соответственно прямые c и d, cb=C, dOB=D, OCDL - ромб, OD – его диагональ, значит, биссектриса угла LOC, т.е. AOB=BOC и, следовательно, AOC=2AOB. 18. а), б) Недостаточно, нужно еще перегнуть по средним линиям (отрезки, которые соединяют середины противоположных сторон). 19. 33 м. На рисунке 79 AA1, NN1, BB1 - столбы, g - дорога, AD=18 м, BC=48 м, ABCD – трапеция с основаниями AD и BC, MN – ее средняя линия, 18 48 значит, MN= 2 =33 (м). 20. 132 м, 1320 досок. 21. В центре окружности, описанной около треугольника, вершинами которого являются центры просверленных отверстий. 22. В центре окружности, вписанной в данный треугольник. 23. В центре окружности, описанной около прямоугольника, т.е. в точке пересечения его диагоналей. 24. В центре вписанной в ромб окружности, т.е. в точке пересечения его диагоналей. 25. Сначала находим центр окружности, для чего строим два прямых угла с вершинами на данной окружности, проводим соответствующие диаметры, на которые опираются эти углы, центр окружности – точка пересечения проведенных диаметров. Далее проводим два перпендикулярных диаметра окружности, их концы являются вершинами искомого квадрата. 26. Взять три точки на ободе (окружности) бочки и измерить расстояния между ними. По трем сторонам определяется единственный треугольник и окружность, описанная около него. 27. В зоне опасности угол, под которым видны оба маяка, больше угла M1OM2. 28. Нет. 29. а) В центре круга, в остальных случаях б)-е) – в центре описанной окружности. Высота громоотвода равна половине радиуса соответствующей окружности. 30. Да. 31. Пусть нужно измерить расстояние между объектами A и B (рис. 80), между которыми находится дом D. Строим точку A1, центрально симметричную точке A относительно некоторой выбранной точки O. Аналогично строим точку B1, центрально симметричную точке B относительно той же точки O. Точку O выбираем таким образом, чтобы дом D не мешал построению A1 и B1. Отрезок A1B1 центрально симметричен отрезку AB относительно точки O. Следовательно, A1B1=AB. 32. Поступаем так же, как в задаче 31, см. рисунок 81. 33. Поставить забор по прямой, соединяющей K и центр симметрии прямоугольника, т.е. точку пересечения его диагоналей. 34. а) Провести прямую через точки пересечения диагоналей двух прямоугольников – участка и площадки; б) любая прямая, проведенная через точку пересечения диагоналей параллелограмма и центр круга, разделит и участок, и площадку на две равные части. 35. Решение показано на рисунке: а) 82,а, где P1 получена из P параллельным переносом на вектор XY , причем его длина равна ширине реки; MO – мост, PMOQ – весь путь; б) 82,б, построение аналогично случаю а), только выполняется дважды; MO, GH – мосты, PMOGHQ – весь путь. 36. Пусть сохранились точки M, N на противоположных сторонах квадрата и его центр O. Проведем отрезок MN (рис. 83), найдем его середину – точку H, соединим ее с O и сделаем параллельный перенос на вектор HO . Тогда точки M и N перейдут соответственно в точки M1 и N1. Проведем прямые MM1 и NN1. Возьмем поворот вокруг точки O на 90, отрезок M1N1 перейдет в отрезок KL, KLM1N1 и KL=M1N1. Через точки K и L проведем прямые соответственно k и l, перпендикулярные MM1 (или NN1), A=MM1k, B=MM1l, C=NN1l, D=NN1k. Заметим, что если точка H совпадает с точкой O, то построение остается таким же, только вместо отрезка M1N1 берем сам отрезок MN. 37. Пусть сохранились точки K, L, M, N на сторонах квадрата (рис. 84,а). Проведем отрезок MN, из точки K опустим на него перпендикуляр, KH=MN. Проведем прямую LH, через точку K проведем прямую k||LH. Через точки M и N проведем соответственно прямые m и n, перпендикулярные k (или LH), A=km, B=LHm, C=LHn, D=kn. ABCD – искомый квадрат. Если точка H совпадет с точкой L, то в этом случае будет бесконечно много решений (рис. 84,б), и участок восстановить не удастся. 38. Решение показано на рисунке 85, где X1 – точка, симметричная точке X относительно прямой BC, 1=2. 39. Решение показано на рисунке 86, где X1 – точка, симметричная точке X относительно прямой AB, X2 – точка, симметричная точке X1 относительно прямой BC. Аналогично, Y1 – точка, симметричная точке Y относительно прямой AD, Y2 – точка, симметричная точке Y1 относительно прямой CD. Соединим точки X2 и Y2, E=X2Y2BC и F=X2Y2CD, G=X1EAB, H=Y1FAD; 1=2, 3=4, 5=6, 7=8; XGEFHY – искомый путь. 40. Отрицательный угол поворота (-90°) означает, что он будет осуществляться по часовой стрелке. Рассматриваем прямоугольник OHPG (рис. 87) и поворачиваем его вокруг точки O на -90°, при этом точка O останется на месте, точка H перейдет в точку H1, P – в P1 и G – в G1. Значит, диагональ OP перейдет в диагональ OP1 прямоугольника OH1P1G1, P1 – искомая точка. BC AM 41. ABCAQP, откуда AK= QP . 42. Шест устанавливается на некотором расстоянии от дерева таким образом, чтобы его верхний конец C загораживал верхушку дерева. Тогда a – высота части шеста над уровнем глаз наблюдателя, h – его рост, b – расстояние от глаз наблюдателя до шеста, S – расстояние от дерева до H h a Sa b . Значит, H= b +h. наблюдателя. AEFCGF, откуда S 43. См. рисунок 88. Поскольку солнечные лучи можно считать параллельными, то тень от дерева (BC) во столько же раз длиннее тени от, например, шеста (EF), во сколько раз дерево (AB) выше шеста (DE). Таким DE BC образом, высота дерева AB= EF . 44. 18 м. 45. 1:250000; 11,25 км. a (b c ) 46. x= 2b . 47. ABC BC AB AB EDC, значит, DC ED , DC=15 см-BC, ED =k, значит, 15k 1 BC= 1 k : а) k= 2 , BC=5 см; б) k=3, BC=11,25 см. 48. Вектор M 2 N 2 на рисунке 89, где N1N2||M1M2, K – место встречи. 49. На рисунке 90 AB – высота, с которой подан мяч, CD – сетка, BD – расстояние от конца площадки до сетки, E – место приземления мяча. Нужно определить расстояние между точками E и D. Для этого рассмотрите подобные треугольники EDC и EBA. ED=7,2 м. 50. 1) Встав у края обрыва и удерживая палку горизонтально, отмечают на ней точку C, находящуюся на одной прямой с глазом стоящего наблюдателя A и выделенным камнем K на дне обрыва. Измеряют часть палки CD и расстояние AD от глаза до конца палки. 2) Лежа на краю обрыва и удерживая палку горизонтально, отмечают на ней точку E, находящуюся на одной прямой с глазом лежащего человека и выделенным камнем K на дне обрыва. Измеряют часть палки EF и расстояние BF от глаза до конца палки. 3) Находят искомую глубину обрыва BG. Для этого рассматривают подобные AB CD BF треугольники BEF, BKG и ACD, AKG, откуда BG= AD EF CD BF . 1 51. sin = 30 , 2°. a 52. cos м. 53. a tg см. 54. Решение показано на рисунке 91, где K – выбранный третий пункт такой, что из него видны и доступны данные пункты M и N. Пусть KN=m, 2 2 KM=n и MKN=, тогда по теореме косинусов MN= m n 2mn cos . 55. Выбираем третий пункт T (рис. 92), определяем расстояние RT=s и углы T=, R=. Тогда S=180°-(+). По теореме синусов получаем SR= s sin sin( ) . 56. Рассмотрели треугольники AEB и AFB, используя теорему синусов, нашли соответственно AE и AF. Затем из треугольника AEF по теореме косинусов определили EF. 57. См. рисунок 93, BH=(l-h) tg , где OA=OB=l, AOB=, AH=h. 58. tg =0,02, где - искомый угол. 59. См. рисунок 94, где ABCD – равнобедренная трапеция (BC||AD), BC – цепь спортсменов, BC=100 м, BHAD, CP AD, BH=CP=500 м, AB=CD=2,9 км, AD - искомое расстояние. AD=100(8 51 +1) м. 60. Данная ситуация изображена на рисунке 95, где MP1RP2 параллелограмм, у которого MP1=100, MP2=200, M=60°. Нужно найти диагональ MR и углы P1MR, P2MR. Из треугольника MP1R по теореме косинусов, учитывая, что MP1R=120°, находим MR=100 7 кг. Искомые углы находим соответственно из треугольников MP1R и MP2R; sin P1RM= 21 21 7 , sin P2MR= 14 . § 6. ЭЛЕМЕНТЫ СТЕРЕОМЕТРИИ 1. В кубе ABCDA1B1C1D1 (A…D1) запишите три пары параллельных ребер. Замечание. Два отрезка называются параллельными или скрещивающимися, если они лежат соответственно на параллельных или скрещивающихся прямых. 2. В тетраэдре ABCD запишите все пары скрещивающихся ребер. 3. Какие две прямые будут непараллельными: а) на плоскости; б) в пространстве? 4. Сколько плоскостей можно провести через две параллельные прямые? 5. Верно ли утверждение: «Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, она пересекает и другую прямую: а) на плоскости; б) в пространстве»? 6. Исследуйте все возможные расположения трех попарно пересекающихся прямых: а) на плоскости; б) в пространстве. 7. Как расположены на рисунке 59 прямые a и b? 8. Изобразите следующую геометрическую ситуацию: прямая a лежит в плоскости , а прямая b пересекает плоскость в точке B. Как могут располагаться относительно друг друга прямые a и b? 9. Изобразите следующую геометрическую ситуацию: сторона AD параллелограмма ABCD лежит в плоскости , плоскости ABC и не совпадают. Какое предположение можно сделать о взаимном расположении прямой BC и плоскости ? Как расположены относительно плоскости прямые BA и DC? 10. Условие предыдущей задачи 9, но ABCD – трапеция с основаниями AD и BC. 11. Сделайте предположение о параллельности ребра и грани в параллелепипеде A…D1. Запишите три соответствующие пары. Замечание. Ребро многогранника называется параллельным его грани, если прямая, на которой лежит ребро, параллельна плоскости, в которой лежит эта грань. 12. Как могут располагаться относительно друг друга две плоскости? 13. Запишите параллельные грани правильного: а) гексаэдра A…D1; б) октаэдра SABCDS’. Сколько пар параллельных граней получилось? Замечание. Грани многогранника называются параллельными, если они лежат в параллельных плоскостях. 14. Какое наименьшее число красок разных цветов нужно взять, чтобы правильно окрасить поверхность: а) тетраэдра; б) куба; в) октаэдра? Замечание. Правильной называется окраска, при которой соседние грани многогранника окрашены в разные цвета. 15.Плоскость пересекает плоскости и по параллельным прямым. Обязательно ли плоскости и параллельны? 16. Как могут быть расположены три плоскости относительно друг друга, если две из них параллельны? 17. Найдите наибольшее число прямых, по которым могут попарно пересекаться: а) две; б) три; в) четыре плоскости. 18. Могут ли: а) три; б) четыре; в) n плоскостей пересекаться по одной прямой? Сделайте соответствующий рисунок. 19. Нарисуйте две различные развертки одного и того же правильного тетраэдра. 20. Нарисуйте три различные развертки одного и того же гексаэдра. 21. Нарисуйте три различные развертки одного и того же октаэдра. 22. Нарисуйте многоугольник, который образован четырьмя правильными равными треугольниками, но не является разверткой правильного тетраэдра. 23. Нарисуйте три многоугольника, каждый из которых состоит из шести равных квадратов, и которые не являются развертками куба. 24. Нарисуйте развертку правильной пирамиды, которая имеет: а) 5 вершин; б) 12 ребер. 25. Нарисуйте развертку правильной призмы, которая имеет: а) 6 вершин; б) 12 ребер. 26. Нарисуйте и назовите выпуклый многогранник, у которого: а) 7 вершин; б) 18 ребер; в) 5 граней; г) 8 граней. 27. Как могут располагаться относительно друг друга плоскость и многогранник? Изобразите соответствующие геометрические ситуации. 28. В каком случае говорят о сечении многогранника плоскостью? 29. Какой фигурой является сечение многогранника плоскостью? 30. Многоугольники с каким числом сторон могут получиться в сечениях: а) тетраэдра; б) треугольной призмы; в) четырехугольной пирамиды; г) куба? 31. В правильном единичном тетраэдре плоскость отсекает одну из вершин и проходит через середины ребер, выходящих из нее. Как называются два получившихся многогранника? Сделайте соответствующие рисунки. Опишите их грани и найдите периметры этих граней. 32. Куб пересечен плоскостью, которая проходит через: а) концы ребер; б) середины ребер, выходящих из одной вершины. Какой многоугольник получится в сечении? Сделайте рисунок и найдите периметр сечения, если ребро куба равно 2 см. 33. Как изменится число вершин (В), ребер (Р) и граней (Г) выпуклого многогранника, если к одной из его граней пристроить пирамиду? 34. Как изменится число вершин (В), ребер (Р) и граней (Г) выпуклого многогранника, если от него отсечь один из многогранных углов? 35. На рисунке 60 изображен многогранник, который называется усеченным тетраэдром. Все его ребра равны. Поясните, каким образом можно получить его из правильного тетраэдра? Сколько у него вершин (В), ребер (Р) и граней (Г), какого они вида? 36. Каким образом из правильного: а) октаэдра; б) икосаэдра получить усеченный полуправильный многогранник (усеченные соответственно октаэдр и икосаэдр)? Из каких граней он состоит, сколько у него вершин (В), ребер (Р) и граней (Г)? 37. Из каких многоугольников состоит поверхность полуправильного многогранника: а) усеченного куба; б) усеченного додекаэдра? Найдите число его вершин (В), ребер (Р) и граней (Г). 38. Найдите сумму всех плоских углов (углов граней многогранника): а) тетраэдра; б) параллелепипеда; в) четырехугольной пирамиды; г) пятиугольной усеченной пирамиды; д) октаэдра; е) усеченного куба. 39. В кубе A…D1 определите вид четырехугольника KLMN, где K, L, M, N – середины соответственно ребер A1B1, C1D1, CD, AB, KLM= 90. 40. Найдите углы треугольников, вершинами которых являются вершины A1, D, C1 и A, C, D1 единичного куба A…D1. Будут ли эти треугольники равны? Найдите их периметры. 41. Определите вид треугольника AOC, где A, C – вершины куба A…D1 , O – середина ребра BB1. Сделайте соответствующий рисунок. Найдите углы треугольника, если ребро куба равно 1. 42. Определите вид треугольника ADH, где A, D – вершины правильного тетраэдра ABCD, H – середина ребра BC. Сделайте соответствующий рисунок. Найдите периметр и углы треугольника, если ребро тетраэдра равно a. 43. На рисунке 61 изображена правильная пирамида SABC, SA1:A1A=SB1:B1B=SC1:C1C=1:3. Запишите несколько пар подобных треугольников. Сколько всего пар подобных треугольников? 44. В задаче 32 сравните полученные в случаях а) и б) в сечениях многоугольники, будут ли они подобны? 45. В четырехугольной пирамиде MABCD основание ABCD: а) параллелограмм; б) ромб. Сечение прошло через точки G, H, P, O – середины боковых ребер. Определите вид четырехугольника GHPO. 46. В прямой призме ABCA1B1C1, у которой AB=13 см, BC=14 см, AC=15 см и AA1=20 см, сечение проходит через точки K, L, M, N – середины ребер соответственно AB, AC, A1C1, A1B1. Сделайте рисунок. Найдите периметр полученного сечения и определите, подобны ли прямоугольники: а) KLMN и BCC1B1; б) AA1B1B и AA1C1C; в) BB1NK и CC1ML. 47. В основание ABC треугольной пирамиды SABC (рис. 62) вписана окружность. Будет ли SB секущей этой окружности? 48. Определите радиус окружности, вписанной в грань ABB1A1 единичного куба A…D1. 49. Дана правильная пирамида PABCD с вершиной в точке P, все ребра которой равны 3 см. Найдите радиусы окружностей, вписанных в треугольники PAC и PBD. Какой фигурой является пересечение данных окружностей? 50. Какие геометрические фигуры в пространстве аналогичны соответственно окружности и кругу на плоскости? Сформулируйте их определения. Замечание. Окружностью называется геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, одинаково удаленных от данной точки. Эта точка называется центром окружности. Кругом называется геометрическая фигура, ограниченная окружностью, т.е. состоящая из всех точек плоскости, расстояния от которых до центра окружности не превосходит (меньше либо равно) ее радиуса. 51. Что называется радиусом и диаметром сферы? 52. Представьте себе, что плоскость пересекает: а) сферу; б) шар. Сделайте предположение о том, какой фигурой является сечение. 53. Какое сечение сферы плоскостью имеет наибольшую длину? Найдите ее, если радиус сферы равен R. 54. В сфере провели два сечения через ее центр. Какой фигурой является их пересечение? 55. Представьте себе, что прямоугольник вращается вокруг своей стороны. Нарисуйте фигуру, которая при этом получается. Как она называется? 56. Представьте себе, что прямоугольник вращается вокруг прямой, соединяющей середины его противоположных сторон. Нарисуйте фигуру, которая при этом получается. Как она называется? 57. Представьте себе, что прямоугольный треугольник вращается вокруг своего катета. Нарисуйте фигуру, которая при этом получается. Как она называется? 58. Представьте себе, что равнобедренный треугольник вращается вокруг своей высоты, опущенной на основание. Нарисуйте фигуру, которая при этом получается. Как она называется? 59. Представьте себе, что полуокружность (полукруг) вращается вокруг своего диаметра. Нарисуйте фигуру, которая при этом получается. Как она называется? 60. Представьте себе, что окружность (круг) вращается вокруг своего диаметра. Нарисуйте фигуру, которая при этом получается. Как она называется? ОТВЕТЫ 3. Если: а) пересекаются; б) пересекаются или скрещиваются. 4. Одну. 5. а) Да; б) нет (рис. 96). 6. а) Прямые, пересекаясь, образуют треугольник или пересекаются в одной точке; б) к предыдущему случаю а) добавляется геометрическая ситуация, изображенная на рисунке 97. 7. Скрещиваются. 8. Пересекаться или скрещиваться. 9. BC|| , BA =A, DC=D. 12. Быть параллельными, пересекаться по прямой. 13. а) 3 пары; б) 4 пары. 14. а) 4; б) 3; в) 2. 15. Нет. 16. Все три плоскости параллельны или две параллельны, а третья их пересекает. 17. а) 1; б) 3; в) 6. 18. Да, рисунок 98, напоминает раскрытую книгу. 27. 1) Плоскость и многогранник могут не пересекаться, т.е. не иметь общих точек; 2) вершина многогранника может принадлежать данной плоскости; 3) ребро многогранника может лежать в данной плоскости; 4) грань многогранника может лежать в данной плоскости; 5) плоскости могут принадлежать некоторые внутренние точки многогранника. 28. Если плоскости принадлежат некоторые внутренние точки многогранника. 29. Многоугольником. 30. а) Треугольники и четырехугольники; б), в) треугольники, четырехугольники, пятиугольники; г) треугольники, четырехугольники, пятиугольники, шестиугольники. Число сторон в многоугольнике – сечении не должно превышать число граней в соответствующем многограннике. 31. Один многогранник – правильный тетраэдр, каждое ребро которого равно 0,5; каждая из шести его граней имеет периметр 1,5. Второй многогранник – правильная усеченная треугольная пирамида, каждое боковое ребро которой равно 0,5; основания имеют стороны 0,5 и 1; их периметры соответственно равны 1,5 и 3. Каждая из трех боковых граней является равнобедренной трапецией и имеет периметр 2,5. 32. В сечении – правильный треугольник со стороной: а) 2 2 см, периметр равен 6 2 см; б) 2 см, периметр равен 3 2 см. 33. Пусть пристроена n-угольная пирамида, тогда количество вершин станет (В+1), ребер Р+n, граней Г+n-1. 34. Пусть отсекли m-гранный угол, тогда количество вершин будет В+m-1, ребер Р+m, граней Г+1. 35. Срезать углы правильного тетраэдра четырьмя плоскостями, каждая из которых отсекает третью часть его ребер, выходящих из одной вершины., у него В=12, Р=18, Г=8, из них четыре – правильные треугольники и четыре – правильные шестиугольники. 36. Срезать многогранные углы правильного многогранника плоскостями, каждая из которых отсекает третью часть ребер, выходящих из одной вершины. а) В=24, Р=36, Г=14, из них 6 квадратов и 8 правильных шестиугольников; б) В=60, Р=90, Г=32, из них 12 правильных пятиугольников и 20 правильных шестиугольников. 37. а) В=24, Р=36, Г=14, из них 8 правильных треугольников и 6 правильных восьмиугольников; б) В=60, Р=90, Г=32, из них 12 правильных десятиугольников и 20 правильных треугольников. 38. а) 720°; б) 2160°; в) 1080°; г) 2880°; д) 1440°; е) 7920°. 39. Квадрат. 40. Треугольники - равносторонние, каждый их угол равен 60°, треугольники равны, периметр каждого равен 3 2 . 5 1 41. Треугольник - равнобедренный, AO=CO= 2 , AC= 2 , cos O= 5 , 1800 O 2 A= C= . a 3 42. Треугольник - равнобедренный, AH=DH= 2 , периметр равен a(1+ 1800 H 1 3 ), cos H= 3 , A=D= 2 . 43. 7 пар. 44. Да. 45. а) Параллелограмм; б) ромб. 46. PKLMN=54 см; а), б), в) нет. 47. Нет. 1 48. 2 . 49. 1,5 (2- 2 ) см; пересечением является отрезок - диаметр окружностей, проходящих через точку пересечения диагоналей квадрата ABCD. 50. Сфера и шар. 52. а) Окружность; б) круг. 53. Проходящее через центр сферы (большая окружность); 2 R. 54. Отрезок, это диаметр данной сферы. 55. Цилиндр (прямой круговой). 56. Цилиндр (прямой круговой). 57. Конус (прямой круговой). 58. Конус (прямой круговой). 59. Сфера (шар). 60. Сфера (шар). http://geometry2006.narod.ru/Didakt8/MatDikt.htm