Задача I. Зная медианы ma, mb и mc треугольника, вычислите его площадь. Дано: AD=ma, BE=mb, CF=mc. Найти: SABC. Решение: 1) MKE и BHE подобны. Отсюда BH:MK=ME:BE (ME:BE=1:3, т.к. М – точка пересечения медиан). 1 2 1 SAMC= SABC. 3 1 2 2) SAMC= ACMK, а SABC= ACBH. Отсюда 3) Рассмотрим AMC. У него известны две стороны и ме2 3 2 3 1 3 диана: AM= ma, MC= mc и ME= mb. Дополнительное построение: удвоим медиану и, достроив треугольник AMC до параллелограмма MCPA. 1 2 4) Получаем SAMC=SMCP= SAMCP. 2 3 2 3 2 3 5) У треугольника MCP известны три стороны CP= ma, MC= mc и MP= mb. Значит можно найти площадь треугольника MCP по формуле Герона. Итак, SABC=3SAMC=3SMCP=3 = 1 3 1 ma mb mc 1 ma mb mc 1 ma mc mb 1 mb mc ma = 3 3 3 3 ma mb mc ma mb mc ma mc mb mb mc ma . Ответ: SABC= 1 3 ma mb mc ma mb mc ma mc mb mb mc ma Задача II. Найдите площадь треугольника с углами , и , зная, что расстояния от произвольной точки М, взятой внутри треугольника, до его сторон равны соответственно m, n, k. Дано: ME=m, MF=n, MH=k, , , – углы треугольника. Найти: SABC. Решение: 1 2 1) SABC= ACBCsin. 2) Пусть BC=x. Тогда по теореме синусов AC BC AB sin sin sin , x sin x sin , AB . sin sin 1 1 x sin x 2 sin sin 3) SABC= ACBCsin= хsin= – с одной 2 sin 2 2 sin откуда находим: AC стороны. 1 2 1 2 1 2 1 x sin 1 1 x sin k + xn + m 2 sin 2 2 sin 4) SABC= SAMC + SMBC + SABM = ABk + BCn + ACm = x(k sin n sin m sin ) – с другой стороны. 2 sin k sin n sin m sin x 2 sin sin x(k sin n sin m sin ) 5) Значит, = , откуда находим x . sin sin 2 sin 2 sin = 6) SABC= Ответ: SABC= x 2 sin sin (k sin n sin m sin ) 2 = . 2 sin sin sin 2 sin (k sin n sin m sin ) 2 2 sin sin sin . Задача III. В треугольнике ABC на сторонах AB и BC взяты точки K и P так, что AK:BK=1:2, CP:PB=2:1. Прямые AP и CK пересекаются в точке E. Найдите площадь треугольника ABC, если известно, что площадь треугольника BEC равна 4см2. Дано: AK:BK=1:2, CP:PB=2:1, SBEC=4см2. Найти: SABC. Решение: 1) Положим AK=х, BK=2х, BP=у, CP=2у и проведём PM KC. По теореBM BP 1 2x 4x , KM= . . Значит, BM= MK PC 2 3 3 KE 2) Треугольники AKE и AMP подобны, поэтому MP 3 KE x 3 , и, значит, KE= MP. MP x 4 x 7 7 3 MP 3) Треугольники MBP и KBC подобны, поэтому KC 1 6 4) Получаем KE= KC, а поэтому EC= KC. 7 7 ме Фалеса AK , т.е. AM BP 1 1 , т.е. MP= KC. BC 3 3 5) Рассмотрим треугольники BEC и BKC. У них высота, проведённая из вершины B, общая. Значит, их площади относятся как основания KC и EC, т.е. 7 6 довательно, SBKC= 4 S BKC KC 7 . Так как SBEC=4см2, слеS BEC EC 6 14 2 см . 3 6) Рассмотрим треугольники BKC и ABC. У них высота, проведённая из вершины C, общая. Значит, их площади относятся как основания BK и AB, т.е. S ABC AB 3 14 . Так как SBKC= см 2 , S BKC BK 2 3 3 14 7см 2 . 2 3 следовательно, SABC= Ответ: SABC= 7см 2 . Задача IV. В пятиугольнике ABCDE известно, что AB= 2 см, BC=CD, ABE=45 и DBE=30. Вычислите площадь пятиугольника, если около него можно описать окружность радиуса 1см. Дано: AB= 2 см, BC=CD, ABE=45 и DBE=30, R=1см. Найти: SABC. Решение: 1) По теореме синусов, применённой к треугольнику ABE, находим, что AE 2 R , т.е. AE= 2 см. Значит треугольник ABE – равнобедsin 45 ренный и прямоугольный, у которого AB=AE= 2 см, а поэтому 1 2 BE=2см и SABE= ABAE=1см2. 2) Так как BE=2см, то BE – диаметр окружности. Значит, треугольник 1 2 BDE прямоугольный; из него находим: DE=1см, BD= 3 см, SBDE= BDDE= 3 2 см . 2 BD 3 . От 2R , т.е. sinBCD= 2 sin BCD DC сюда находим, что BCD=120, а CBD=CDB=30. Поскольку 2 R , то находим, что sin 30 3 1 BC=CD=1см и SBCD= BCCDsinBCD= см 2 . 2 4 3 3 43 3 2 В итоге получаем SABC= SABE + SBDE + SBCD =1+ + = см . 2 4 4 43 3 Ответ: SABC= см2. 4 3) Рассмотрим BCD. В нем BD= 3 см. По теореме синусов Задача V. Внутри треугольника ABC со сторонами a, b и c взята точка M так, что из неё стороны треугольника видны под равными углами. Найдем AM+BM+CM. Дано: BC=a, AC=b, AB=c, AMC=BMA=CMB=120. Найти: AM+BM+CM. Решение: 1) Пусть AM=x, BM=y, CM=z. Применив теорему косинусов к каждому из треугольников AMB, BMC и a 2 z 2 y 2 yz, AMC, получим систему уравнений b 2 x 2 z 2 xz, 2 2 2 c x y xy. 2) SABC= SAMC + SBMC + SAMB 1 2 1 2 1 2 = xz sin120 yz sin120 xy sin120 Значит, xz yz xy 4S ABC 3 3 ( xz yz xy) . 4 , где SABC= p( p a)( p b)( p c) – формула Герона. 3) Сложив три уравнения системы, получим a 2 b2 c 2 2x 2 2 y 2 2z 2 ( xy xz yz) , отсюда a 2 b2 c2 1 ( xy xz yz) . 2 2 4) Рассмотрим ( x y z) 2 x 2 y 2 z 2 2xy 2xz 2 yz . Значит x2 y 2 z 2 a 2 b2 c2 1 a 2 b2 c2 3 ( xy xz yz) 2( xy xz yz) ( xy xz yz) = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c 3 4S a b c 2S 3 . 2 2 3 2 ( x y z) 2 В итоге получаем x y z Ответ: x y z a2 b2 c2 2S 3 . 2 a2 b2 c2 2S 3 . 2