ev311

1.
Прямоугольная система координат на плоскости
Прямоугольная система координат на плоскости образуется двумя взаимно перпендикулярными осями координат X'X и Y'Y. Оси координат пересекаются в точке O, которая
называется началом координат, на каждой оси выбрано положительное направление.
В правосторонней системе координат положительное направление осей выбирают так,
чтобы при направлении оси Y'Y вверх, ось X'X смотрела направо.
Четыре угла (I, II, III, IV), образованные осями координат X'X и Y'Y, называются координатными углами или квадрантами (см. рис. 1).
Рис. 1
Положение точки A на плоскости определяется двумя координатами x и y. Координата x равна длине отрезка OB, координата y — длине отрезка OC в выбранных единицах
измерения. Отрезки OB и OC определяются линиями, проведёнными из точки A параллельно
осям Y'Y и X'X соответственно.
Координата x называется абсциссой точки A, координата y — ординатой точки A. Записывают так:
А (x,y)
Если точка A лежит в координатном углу I, то точка A имеет положительные абсциссу
и ординату. Если точка A лежит в координатном углу II, то точка A имеет отрицательную абсциссу и положительную ординату. Если точка A лежит в координатном углу III,
то точка A имеет отрицательные абсциссу и ординату. Если точка A лежит в координатном углу IV, то точка A имеет положительную абсциссу и отрицательную ординату.
2.
Полярные координаты.
Полярная сетка, на которой отложено несколько углов с пометками в градусах.
Полярная система координат — двумерная система координат, в которой каждая
точка на плоскости определяется двумя числами — углом и расстоянием. Полярная
система координат особенно полезна в случаях, когда отношения между точками проще
изобразить в виде расстояний и углов; в более распространенной, декартовой или прямоугольной системе координат, такие отношения можно установить только путем применения тригонометрических уравнений.
Полярная система координат задается лучом, который называют нулевым или полярной осью. Точка, из которой выходит этот луч называется началом координат или полюсом. Любая точка на плоскости определяется двумя полярными координатами: радиальной и угловой. Радиальная координата (обычно обозначается r) соответствует расстоянию от точки до начала координат. Угловая координата, также называется полярным
углом или азимутом и обозначается φ, равна углу, на который нужно повернуть против
часовой стрелки полярную ось для того, чтобы попасть в эту точку.
1
Определенная таким образом радиальная координата может принимать значения
от нуля до бесконечности, а угловая координата изменяется в пределах от 0° до 360°.
Однако, для удобства область значений полярной координаты можно расширить за пределы полного угла, а также разрешить ей принимать отрицательные значения, что отвечает повороту полярной оси по часовой стрелке.
3.
Деление отрезков в данном отношении.
Требуется разделить отрезок АВ, соединяющий точки A(x1;y1) и В(х2;y2) в заданном
отношении λ > 0, т.е. найти координаты точки М(х;у) отрезка АВ такой, что AM
(см.

BM
рис. 26).
Решение: Введем в рассмотрение векторы AM и MB . Точка Μ делит отрезок АВ в
отношении λ, если AM    MB (9.1)
Но AM  ( x  x ; y  y ) , т. е. AM  ( x  x ; y  y )i  ( y  y )i
и
т.
MB  ( x2  x; y2  y)
1
1
1
2
1
е. MB  (x  x; y  y)i  ( y  y )i .
2
2
2
Уравнение (9.1) принимает вид ( x  x ) i  ( y  y ) i   ( x  x) i   ( y  y) i
1
1
2
2
Учитывая, что равные векторы имеют равные координаты, получаем:
x  x1   x2   x т.е. x  x1   x2 (9.2) и
1 
(9.3)
y  y1   y2   y т.е. y  y1   y2
1 
Формулы (9.2) и (9.3) называются формулами деления отрезка в данном отношении.
В частности, при λ = 1, т.е. если AM = MB, то они примут вид x  x1  x2 , y  y1  y2 .


В этом случае точка М(х;у) является серединой отрезка АВ.
Замечание:
Если λ = 0, то это означает, что точки A и Μ совпадают, если λ < 0, то точка Μ лежит
вне отрезка АВ — говорят, что точка M делит отрезок АВ внешним образом   1 , т.
к. в противном случае AM
, т. е. AM + MB = 0, т. е. АВ = 0).
 1
MB
4. Расстояние между точками.
Требуется найти расстояние d между точками A(x1;y1) и В(х2;y2) плоскости Oxy .
Решение: Искомое расстояние d равно длине вектора d  A B 
2
2
( x2  x1 ) 2  ( y2  y1 ) 2 , т.е. d  A B  ( x2  x1 )  ( y2  y1 )
5.
Уравнение прямой, проходящей через две точки.
2
Если на прямой в пространстве отметить две произвольные точки M1(x1, y1, z1)
иM2(x2, y2, z2), то координаты этих точек должны удовлетворять полученному выше
уравнению прямой:
.
Кроме того, для точки М1 можно записать:
.
Решая совместно эти уравнения, получим:
.
Это уравнение прямой, проходящей через две точки в пространстве.
6. Определители 2-го порядка.
Значение определителя 2-го порядка легко вычисляется по определению используя
формулу .
  A 
a11
a21
a12
 a11  a22  a21  a12
a22
7.
Определители 3-го порядка.
        
         

 

     
т.о.:
 a11 a12
a
 21 a22
 a31 a32
a13   a11 a12
a23    a21 a22
a33   a31 a32
схема вычисления определителя методом треугольника,
a13 
a23 
a33 
(a11  a23  a33  a21  a32  a13  a12  a23  a31 )  (a31  a22  a13  a11  a23  a32  a12  a21  a33 )
Каждому элементу квадратной Матрицы (порядок которых больше, или равен трем),
можно поставить в соответствие два числа, называемые МИНОРОМ или АЛГЕБРАИЧЕСКИМ ДОПОЛНЕНИЕМ. Минором элемента Aij квадратной Матрицы А (любого
порядка) называется ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ, получаемый из Матрицы А методом вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых стоит элемент Aij. Знак M
- обозначение Минора.
 a11 a12 a13 
- Минор
a
 a22
 21 a22 a23 
 a31 a32 a33 
Определитель можно вычислить по элементам любой строки или любого столбца
данной Матрицы.
8.
Свойства определителей.
1. Равноправие строк и столбцов. При транспонировании матрицы ее определитель не меняется.
3
2. Если все элементы какого-либо столбца (строки) определителя равны нулю, то
определитель также равен нулю. Это свойство очевидно, так как каждое слагаемое содержит по одному и только одному сомножителю из каждого столбца (строки).
3. Антисимметрия. При перестановке двух любых столбцов (строк) определителя
его знак меняется на противоположный, а абсолютная величина остается неизменной.
Доказательство свойств 1 и 3 основано на правиле расстановки знаков членов определителя.
4. Определитель с двумя одинаковыми столбцами (строками) равен нулю.
Действительно, при перестановке, например, двух одинаковых столбцов определитель
не изменяется, но вместе с тем он в силу третьего свойства меняет знак на обратный.
9. Решение СЛУ методом Крамера.
Теорема Крамера: Система N уравнения с N неизвестными, Определитель которых
отличен от нуля, всегда имеет решение, при том единственное. Оно находится следующим образом: значение каждого из неизвестных равно дроби, знаменателем которой
является определитель системы, а числитель получается из определителя системы с
заменой столбца коэффициентов при искомом неизвестных на столбец искомых членов.
Данная система уравнений будет иметь единственное решение только тогда, когда
определитель составленный из коэффициентов при X1 - n не будет равен нулю. Обозначим этот определитель знаком - Δ. Если этот определитель не равен нулю, то решаем
дальше. Тогда каждый Xi = Δi / Δ, где Δi - это определитель составленный из коэффициентов при X1 - n, только значения коэффициентов в i - ом стольбце заменены на значения
за знаком равенства в сисетеме уравнений, а Δ - это главный определитель
Система N-го порядка 
a11  x1  a12  x 2  a13  x 3 .a1n  xn  b
a 21  x1  a 22  x 2  a 23  x 3 .a 2n  xn  b 2
a 31  x1  a 32  x 2  a 33  x 3 .a 3n  xn  b 3
..........................................................................

a n1  x1  a n 2  x 2  a n 3  x3 .a nn  xn  bn
Рассмотрим систему 3-х линейных уравнений с тремя неизвестными:
Определитель третьего порядка, соответствующий матрице системы, т.е. составленный из коэффициентов при неизвестных
Составим ещё три определителя следующим образом: заменим в определителе D последовательно 1, 2 и 3 столбцы столбцом свободных членов:
Теорема (правило Крамера). Если определитель системы Δ ≠ 0, то рассматриваемая
система имеет одно и только одно решение, причём
Если определитель Δ = 0, то система имеет бесконечное множество решений. Если Δ
= 0 и хотя бы один ΔХi = 0 то система решений не имеет.
10. Решение СЛУ матричным методом.
4
Матрицы дают возможность кратко записать систему линейных уравнений. Пусть дана система из 3-х уравнений с тремя неизвестными:
Рассмотрим матрицу системы
и матрицы столбцы неизвестных и
свободных членов
Найдем произведение
т.е. в результате произведения мы получаем левые части уравнений данной системы.
Тогда пользуясь определением равенства матриц данную систему можно записать в виде
или короче A∙X=B.
Здесь матрицы A и B известны, а матрица X неизвестна. Её и нужно найти, т.к. её элементы являются решением данной системы. Это уравнение называют матричным уравнением.
Пусть определитель матрицы отличен от нуля |A| ≠ 0. Тогда матричное уравнение решается следующим образом. Умножим обе части уравнения слева на матрицу A-1, обратную матрице A:
. Поскольку A-1A = E и E∙X = X, то получаем
решение матричного уравнения в виде X = A-1B.
Заметим, что поскольку обратную матрицу можно найти только для квадратных матриц, то матричным методом можно решать только те системы, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных. Однако, матричная запись системы возможна и в
случае, когда число уравнений не равно числу неизвестных, тогда матрица A не будет
квадратной и поэтому нельзя найти решение системы в виде X = A-1B.
Пусть дана система уравнений:
5
a11  X 1  a12  X 2  a13  X 3  b1
a21  X 1  a22  X 2  a23  X 3  b2
a31  X 1  a32  X 2  a33  X 3  b3
 a11 a12
A   a21 a22
 a31 a32
a13 
a23 
a33 
 X 1
X   X 2 
 X 3 
 b1 
B  b 2 
 b3 
Решить матричным способом следующую систему уравнений:
Внимание: Нули появляются, если нет одной переменной, т.е., например, если Х3 не
дан в условии, то он автоматически равен нулю. Так же и с Х1 и Х2
 X 1  2 X 2  10

3 X 1  2 X 2  X 3  23
 X  2 X  13
3
 2
2
a11  
1
3
a12  
0
1 2 0 
A   3 2 1 
0 1 2
1
 2  2  1 1  3
2 
1
 (3  2  0 1)  6
2 
3 2
a13  
  3 1  0  2  3
0 1 
2 0
a31  
  2 1  2  0  2
2 1
1 0 
a32  
  (11  3  0)  1
3 1 
3 2
a33  
  (11  0  2)  1
0 1 
A1 
 3 4 2 
1 
6 2 1
9 
 3 1 4
2
a21  
1
1
a22  
0
   
  


    
0
 (2  2  0 1)  4
2 
0
 1 2  0  0  2
2 
3 2
a23  
  (11  0  2)  1
0 1 
 3 4 2  10   4
1
A  B   6 2 1   23   3
9
 3 1 4 13  5 
1
(3 10  (4)  23  2 13)  4
9
1
X 2  ((6) 10  2  23  (1) 13)  3
9
1
X 3  (3 10  (1)  23  (4) 13)  5
9
X1 
Ответ:
X1  4
X2  3
X2  5
#а) Дано:
6
a11  7
3 X 1  5 X 2  13  3 5    


 

2 X 1  7 X 2  81  2 7     
A1  3  7  2  5  31
a12  2
a21  5
a22  3
1  7 5 13

31  2 3 81
1
(7 13  5  81)  16
31
1
X 2  (2) 13  3  81  16
31
X1 
X  A1  B
Ответ:
X 1  16
X2  7
б)
5 X 1  8 X 2  X 3  2

3 X 1  2 X 2  6 X 3  7
2 X  X  X  5
2
3
 1
5 8 1 
 3 2 6 


 2 1 1
   
  


    
5 8 1 
A   3 2 6   (5  (2)  (1)  3 11  8  6  2)  (1 (2)  2  5  6 1  (1)  3  8)  107  0
 2 1 1
Достраиваем единичную матрицу справа:
5 8 1 1 0 0
 3 2 6 0 1 0 


 2 1 1 0 0 1 
Найдем обратную матрицу.
Вычтем 1 - ую строку из всех строк, которые находятся ниже нее. Это действие не
противоречит элементарным преобразованиям матрицы.
8
1
1
0 0
5
0 6.8 5.4 0.6 1 0 


0 2.2 1.4 0.4 0 1 
Вычтем 2 - ую строку из всех строк, которые находятся ниже нее. Это действие не
противоречит элементарным преобразованиям матрицы.
8
1
1
0
0
5
0 6.8 5.4
0.6
1
0

0
3.15 0.21 0.32 1 
0
Вычтем 3 - ую строку из всех строк, которые находятся выше нее. Это действие не
противоречит элементарным преобразованиям матрицы.
8
0
0.93 0.1 0.32 
5
0 6.8
0

0.95 0.44 1.72 

0
0
3.15 0.21 0.32
1 
Вычтем 2 - ую строку из всех строк, которые находятся выше нее. Это действие не
противоречит элементарным преобразованиям матрицы.
0
0
0.19 0.42 2.34 
5
0 6.8
0
0.95 0.44 1.72 

0
0
3.15 0.21 0.32
1 
7
Приведем все коэффициенты на главной диагонали матрицы к 1. Поделим каждую
строку матрицы на коэффициент этой строки находящийся на главной диагонали, если
он не равен 1. Квадратная матрица, получившаяся правее единичной и есть обратная к
главной.
1 0 0 0.04 0.08 0.47 
0 1 0 0.14 0.07 0.25


0.1 0.32
0 0 1 0.07
Умножение обратной матрицы (матрицы - А-1) на матрицу значений за знаком равенства (матрицу - В).
 0.04 0.08 0.47   2   3
 0.14 0.07 0.25   7    2 

    
 0.07
0.1 0.32   5  1 
11. Векторы. Сложение векторов.
http://www.bigpi.biysk.ru/encicl/articles/15/1001553/1001553A.htm
Вектором называют величину, характеризуемую числовым значением, направлением
в пространстве и складывающейся с другой, себе подобной величиной геометрически.
Графически векторы изображаются в виде направленных отрезков прямой определенной длины, как
на рис. 1. Например, для того чтобы представить графически силу в
пять килограммов, надо нарисовать отрезок прямой длиной в пять единиц в направлении
действия силы. Стрелка указывает, что сила действует от A к B; если бы сила действовала от B к A, то мы бы записали
или
. Для удобства векторы обычно обозначаются полужирными прописными буквами (A, B, C и так далее); векторы A и –A имеют
равные численные значения, но противоположны по направлению. Численное значение
вектора А называется модулем или длиной и обозначается A или |A|. Это величина, конечно, скаляр. Вектор, начало и конец которого совпадают, называется нулевым и обозначается O.
Сложение векторов: Суммой векторов a(a1; a2) и b(b1; b2) называется вектор c(a1+b1; a2+b2). Для любых векторов a(a1; a2), b(b1; b2), c(с1; с2) справедливы равенства:
Теорема : Каковы бы ни были три точки A, B и C, имеет место векторное равенство
Доказательство: Пусть A(x1; y1), B(x2; y2), C(x3; y3) – данные три точки.
Вектор AB имеет координаты (x2 – x1; y2 – y1), вектор BC имеет координаты (x3 – x2;
y3 – y2). Следовательно, вектор AB + BCимеет координаты (x3 – x1;y3 – y1). А вектор AC имеет координаты (x3 – x1;y3 – y1). Значит, AC = AB+ BC. Теорема доказана.
Если слагаемые векторы путем их параллельного переноса последовательно пристраивать один за другим так, что начало последующего вектора, совпадает с концом предыдущего, то вектор, замыкающий получившуюся ломаную, является суммой данных
слагаемых, причём его начало совпадает с началом первого из слагаемых векторов, а
конец – с концом последнего. На рисунке 3 показано сложение четырёх векто-
8
ров a, b, c и d. Символически это записывается в виде равенства f = a+ b + c + d, где
вектор f и является суммой указанных векторов.
Рис. 3
При сложении двух векторов часто используют так называемое «правило параллелограмма». При этом строят параллелограмм, используя слагаемые векторы в качестве
его смежных сторон. Диагональ параллелограмма, проведённая из точки, где соединяются начала векторов, и является искомой суммой (рис. 4, слева).
Рис. 4
Легко видеть (рис. 4, справа), что это правило приводит к тому же результату, что и
указанный выше способ. При сложении более двух векторов «правило параллелограмма» практически не используется из-за громоздкости построений. Сложение векторов
коммутативно,
то
есть,
а + b = b + а.
И еще, сумма определенного числа векторов не зависит от порядка, в котором они складываются, то есть, (а + b) + d = a + (b + d). В этом случае говорят, что сложение векторов ассоциативно, то есть для него выполняется сочетательный закон.
12. Скалярное произведение векторов.
http://www.dpva.info/Guide/GuideMathematics/linearAlgebra/ScalarVectorsMultiplication/
Скалярное произведение векторов - это операция над двумя векторами, результатом
которой является число (не вектор).
Определяется скалярное произведение, как правило, следующим образом:
r r
a, b  a  b  cos 
 
Иными словами, скалярное произведение векторов равно произведению длин этих векторов на косинус угла между ними . Необходимо
заметить, что угол между двумя векторами - это угол, который они
образуют, если отложить их от одной точки, то есть начала векторов
должны совпадать.
Непосредственно из определения следуют следующие простейшие свойства:
1.
Скалярное произведение произвольного вектора а на себя
же (скалярный квадрат вектора а) всегда неотрицательно, и равно квадрату
длины этого вектора. Причем скалярный квадрат вектора равен нулю тогда и
только тогда, когда данный вектор - нулевой.
(a, a)  a  a  cos 0o  a  0
Скалярное произведение любых перпендикулярных векторов a и b
2
2.
равно нулю.
(a, a)  a  b  cos90o  a  b  0  0
3.
Скалярное произведение двух векторов равно нулю тогда и только
тогда, когда они перепендикулярны или хотя бы один из них - нулевой.
4.
Скалярное произведение двух векторов a и b положительно тогда и
только тогда, когда между ними острый угол.
5.
Скалярное произведение двух векторов a и b отрицательно тогда и
только тогда, когда между ними тупой угол.
9
Альтернативное определение скалярного произведения, или вычисление скалярного произведения двух векторов, заданных своими координатами.
(Вычислить координаты вектора, если заданы координаты его начала и его конца
очень просто:
Пусть есть вектор AB, А - начало вектора, В - конец, и координаты этих точек
А=(a1,a2,a3),
В=(b1,b2,b3)
Тогда координаты вектора АВ:
АВ={b1-a1, b2-a2, b3-a3}.
Аналогично в двухмерном пространстве - просто отсутствуют третьи координаты)
Итак, пусть даны два вектора, заданные набором своих координат:
r
r
а) В двухмерном пространстве(на плоскости). a  {a1 , a2 } ; b  {b1 , b2 }
Тогда их скалярное произведение можно вычислить по формуле:
б) В трехмерном пространстве:
r r
(a, b)  a1b1  a2b2
r
r
a  {a1 , a2 , a3} ; b  {b1 , b2 , b3}
Аналогично двухмерному случаю, их скалярное произведение вычисляется по формуле:
r r
(a, b)  a1b1  a2b2  a3b3
Вычисление угла между векторами с помощью скалярного произведения.
Самое распространенное математическое приложение скалярного произведения двух
векторов - это вычисление угла между векторами, заданными своими координатами. Для
примера возьмем трехмерный случай. (Если вектора заданы на плоскости, то есть двумя
координатами, во всех формулах просто отсутствуют третьи координаты.)
Итак, пусть у нас есть два вектора:
r
r
a  {a1 , a2 , a3} ; b  {b1 , b2 , b3}
И нам нужно найти угол между ними. С помощью их координат найдем их длины, а
затем просто приравняем две формулы для скалярного произведения. Таким образом мы
получим косинус искомого угла.
Длина вектора а вычисляется как корень из скалярного квадрата вектора а, который
мы вычислим по формуле для скалярного произведения векторов, заданных координатами:
a  a12  a22  a32
Аналогично вычисляется длина вектора b.
Итак, (a, b)  a  b  cos   a 2  a 2  a 2  b 2  b 2  b 2 cos   a b  a  b  a b
1
2
3
1
2
3
1 1
2
2
3 3
Значит,
cos  
a1b1  a2b2  a3b3
,
a12  a22  a32  b12  b22  b32
  arccos
a1b1  a2b2  a3b3
a12  a22  a32  b12  b22  b32
Искомый угол найден.
13. Векторное произведение.
http://www.dpva.info/Guide/GuideMathematics/linearAlgebra/vectorVectorsMultip
lication/
Векторное произведение двух векторов а и b - это операция над ними, определенная
лишь в трехмерном пространстве, результатом которой является вектор со следующими
свойствами:
r r
r
a, b   c
 
10
1)
r r r
c  a  b  sin  , где  - угол между векторами a и b.
2)
r r
ca
3)
Вектор
и
r
c
r r
cb.
r r
a и b к общеr
му началу и посмотреть на них с точки, в которой находится конец вектора c , то кратr
r
чайший поворот от вектора a до вектора b будет ПРОТИВ часовой стрелки.
направлен таким образом, что если привести вектора
Для большей ясности приведем пример - на рисунке справа вектор [a,b] - векторное
произведение векторов а и b. Как сказано в определении, мы привели все три вектора к
общему началу, и тогда, если смотреть на вектора a и b с конца вектора [a,b], кратчайший поворот от вектора а до вектора b будет против часовой стрелки .
Очевидно, что в случае векторного произведения, имеет значение порядок, в котором
r r
r r
берутся вектора, более того, a, b    b, a 




Так же, непосредственно из определения следует, что для любого скалярного множиr r
r r
r r
теля k (числа) верно следующее: k  a, b   ka, b   a, kb 






Векторное произведение коллинеарных векторов равно нулевому вектору. Более того,
векторное произведение двух векторов равно нулю тогда и только тогда, когда они коллинеарны. (В случае, если один из них нулевой вектор необходимо вспомнить, что нуле-
r r
r r
вой вектор коллинеарен любому вектору по определению). a P b  a, b   0


Векторное произведение обладает распределительным свойством, то есть
r r r
r r
r r
c, a  b   c, a   c, b 

    
14. Смешанное произведение.
Определение. Смешанным произведением векторов
равное скалярному произведению вектора
нию векторов
b
и
c
. Обозначается
a
a b c
11
a,b
и
c
называется число,
на вектор, равный векторному произведеили
(a , b , c ) .
a b c
a,b и c .
Смешанное произведение
строенного на векторах
по модулю равно объему параллелепипеда, по-
Свойства смешанного произведения:
1)Смешанное произведение равно нулю, если:
а) хоть один из векторов равен нулю;
б) два из векторов коллинеарны;
в) векторы компланарны.
2) (a  b )  c
 a  (b  c )
3) (a , b , c )  (b , c , a )  (c , a , b )   (b , c , a )   (c , b , a )   (a , c , b )
4) ( a1   a1 , b , c )   (a1 , b , c )   (a2 , b , c )
5)
Объем
треугольной
пирамиды,
образованной
векторами
a,b
и
c
равен
1
(a , b , c )
6
6) Если
r
r
r
a  ( x1 , y1 , z1 ) , b  ( x2 , y2 , z2 ) , c  ( x3 , y3 , z3 ) , то
x1
y1
z1
(a , b , c )  x2
x3
y2
y3
z2
z3
Пример: Доказать, что точки А(5; 7; 2), B(3; 1; -1), C(9; 4; -4), D(1; 5; 0) лежат в одной
плоскости.
Найдем координаты векторов (для этого координаты А переносим за = со знаком -):
uuur
AB  (2; 6;1)
uuur
AC  (4; 3;1)
uuur
AD  (4; 2; 2)
Найдем смешанное произведение полученных векторов:
2 6 1
2 6 1 0 6 1
uuur uuur uuur
AB  BC  AD  4 3 2  0 15 0  0 15 0
4 2 2
0 10 0 0 10 0
12
Таким образом, полученные выше векторы компланарны, следовательно точки A, B, C и D лежат в одной плоскости.
Пример. Найти объем пирамиды и длину высоты, опущенной на грань АBCD, если
вершины имеют координаты A(0; 0; 1), B(2; 3; 5), C(6; 2; 3), D(3; 7; 2).
uur
BA  (2; 3; 4)
Найдем координаты векторов: uuur
BD  (1; 4; 3)
uuur
BC  (4; 1; 2)
Объем пирамиды:
V
2 3 4
1
1
1
 1 4 3  (2(8  3)  3(2  12)  4(1  16))  (22  30  68)  20(åä3 )
6
6
6
4 1 2
Для нахождения длины высоты пирамиды найдем сначала площадь основания BCD.
r r
r
i j k
r
r
r
r
r
r
BD  BC  1 4 3  i(8  3)  j (2  12)  k (1  16)  11i  10 j  17k
4 1 2
BD  BC  112  102  172  121  100  289  510
Sосн =
510 / 2
(ед2)
S h ;
3V
120
4 510 (ед).
Т.к. V  î ñí
h


3
Sî ñí
17
510
15. Матрицы и их свойства.
Матрицей называют множество чисел, образующих прямоугольную таблицу, которая
содержит m-строк и n столбцов. В общем виде матрицу обозначают:
 a11 a12
A(aj )   a21 a22
 a31 a32
a13 
a23 
a33 
Для любого элемента А - номер строки, j - номер столбца
1. ВИДЫ МАТРИЦ
Если m ≠ n, матрицу называют прямоугольной. 4х3:
 a11 a12 a13 
a

 21 a22 a23 
 a31 a32 a33 


 a41 a42 a43 
Если m=n, матрицу называют квадратной:
 a11 a12 a13 
A(aj )   a21 a22 a23 
 a31 a32 a33 
Рассмотрим квадратную матрицу N-го порядка:
13
 a11 a12
a
a22
A(aj )   21
 ... ...

 an1 an 2
Диагональ, содержащая элементы
a11 a22
... a1n 
... a2 n 
... .. 

... ann 
a33 ... ann
называется ГЛАВНОЙ
диагональю, а диагональ, содержащая элементы называется побочной или вспомогательной.
Если у квадратной Матрицы элементы главной диагонали все единицы, то Матрицу
называют ЕДИНИЧНОЙ (Е)
1 0 0 
E  0 1 0 
0 0 1 
В матрице, все элементы которой нули, называется НУЛЕВОЙ
0 0 0 
0 0 0 


0 0 0 
Если в прямоугольной Матрице, типа mхn, m=1, то m – строка: n1-1,
A=(a11*a22*a33…an). Если n=1, то получится Матрица-СТОЛБЕЦ.
 a11 
B   a21 
 a31 
Матрицы столбцыи Матрицы строкииначе называют ВЕКТОРАМИ
2. РАВЕНСТВО МАТРИЦ
Две Матрицы называют равными, если они имеют одинаковое число строк (m
строк) и одинаково число столбцов (n столбцов) и их соответствующие элементы равны
(Aij=Bij) Матрицы складывают и вычитают одинаковым способом: из a11 Матрицы А.
вычитают (складывают) а11 Матрицы B. Если в Матрице типа nхm представить строки
со столбцами, получим Матрицу типа nхm, которую называют ТРАНСПОНИРОВАННОЙ т.е. строка становится столбцом.
1 2 3
1 4 7 


A  4 5 6  , At  2 5 8 
7 8 9 
 3 6 9 
Замечание: Если транспонировать m-СТРОКУ и n-СТОЛБЕЦ.
16. Операции над матрицами.
2.1. СУММА МАТРИЦ
Суммой матриц А и В, называется Матрица, элементы которой равны сумме соответствующих элементов А и В (складывать можно ТОЛЬКО Матрицы одного строения)
 2 1 3
 5 3 16
 3 4 19
#
A   0 0 0 B   0 0 0  A  B   0 0 0 
 1 3 8
 7 10 0 
 6 13 8 
Т.к. сложение Матриц сводится к сложению элементов, то при сложении Матриц, сохраняются свойства чисел:
I.
Переместительный закон: a+b=b+a
14
II.
Сочетательный закон: (a+b)+c=a+(b+c)

ПРОИЗВЕДЕНИЕ МАТРИЦЫ А НА ЧИСЛО
Произведение Матрицы А на число k называется такая Матрица kA, элементы
которой имеют вид kAij
 3 4 19
 9 12 57 
3 A   0 0 0  3 A   0 0 0 
 6 13 8 
18 39 24
3. ПРОИЗВЕДЕНИЕ МАТРИЦ
Произведение Матрицы А, типа A(m*n) и B(n*k), называют Матрицу С, типа
С(m*k)
A  (m  n)
A  (11 4)
B  (n  k )
B  (4 13)
C  (m  k )
C  (1113)
у которой элемент, стоящий в n-ной строке и j-столбце, равен сумме произведений
соответствующих элементов i-той строки Матрицы А и j столбца, Матрицы B
 C11 C12 C13 
3 1 1
 1 1 1 Ответ:
6 2 1
C  A  B C21 C22 C33  A   2 1 2 B   2 1 1 
C  6 1 1 
C31 C32 C33 
8 1 4 
1 2 3 
 1 0 1 
C11  3 1  1 2  11  6
C12  3 1  1 (1)  1 0  2
C13  3  (1)  11  11  1
C21  2 1  2  2  2  0  6
C31  11  2  2  3 1  8
C22  1 2  1 (1)  2  0  1 C32  11  2  (1)  3  0  1
C23  2  (1)  11  2 1  1 C33  1 (1)  2 1  3 1  6
Домашнее задание: найти A*B, если:
 0 12 
 31 
2 1 1
 21 
B



A
 
3 0 1
1 0 


3 7 1
Решение:
I.
II.
III.
Ответ:
0
9
C 
10 
 
 24 
 C11 C12 
C C 
C   21 22 
C31 C32 


C41 C42 
C11  0  3  (1)  2  2 1  0
C31  3  3  2  0  11  10
C12  0 1  (1) 1  2  0  1
C32  3 1  0 1  1 0  3
C21  2  3  1 2  1 1  9
C41  3  3  7  2  11  24
C22  2 1  11  1  0  3
C42  3 1  7 1  1 0  10
4. СВОЙСТВА УМНОЖЕНИЯ МАТРИЦ
(A*B)*C=A*(B*C)
(A+B)*C=A*C+B*C
A*B ≠ B*A
Замечание: Если единичную Матрицу умножить на данную Матрицу А, матрица А не изменится.
15
1 0 0 
2 1
2 1
E  0 1 0 A   1 4  E  A   1 4 
0 0 1 
 5 2
 5 2
5. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. ДЕЙСТВИЯ НАД ОПРЕДЕЛИТЕЛЯМИ
Каждой квадратной Матрице можно поставить соответствие некоторое число, которое
называется ОПРЕДЕЛИТЕЛЕМ Матрицы А. Определитель Матрицы А вычисляется по
ее элементам.
7.1
Нахождение Определителя Матрицы 2 порядка
∆ det A (детерминант)
a11 a12
1 2 
det A  A
A 1 (2)  2  4  2  8  10
 a11  a22  a12  a21
A

4

2
a
a22


21
7.2
Нахождение Определителя Матрицы 3-го порядка по правилу
треугольника
* * * * * *
* * *  * * * схема вычисления определителя методом треугольника,

 

* * * * * *
т.о.:
 a11 a12 a13   a11 a12 a13 
a
 

 21 a22 a23    a21 a22 a23 
 a31 a32 a33   a31 a32 a33 
(a11  a23  a33  a21  a32  a13  a12  a23  a31 )  (a31  a22  a13  a11  a23  a32  a12  a21  a33 )
1 2 3 
0 1 0   (4  0  0)  (6  0  0)  4  6  2


 2 1 4
Каждому элементу квадратной Матрицы (порядок которых больше, или равен трем),
можно поставить в соответствие два числа, называемые МИНОРОМ или АЛГЕБРАИЧЕСКИМ ДОПОЛНЕНИЕМ. Минором элемента Aij квадратной Матрицы А (любого
порядка) называется ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ, получаемый из Матрицы А методом вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых стоит элемент Aij. Знак M
- обозначение Минора.
 a11 a12 a13 
- Минор
a
 a22
 21 a22 a23 
 a31 a32 a33 
Алгебраическим дополнением Aij, называется Минор элемента Aij, умноженный на
(1)i  j
Aij  (1)ij  Mij
16
 
 a11
 
A   a21
 
 a31

  
1 2 3 
  
A  2 1 0
  
3 2 4


ЭЛЕМЕНТЫ
= 1
1
+
1
=
2
а23
= 0
2
+
3
=
5
= 3
3
+
1

a22

a32
=
4
1
0
2
4
1
2
3
2
2
3
1
0
=


a13 
 
a23 
 
a33 

Алгебраическое Дополнение
Минор
i+j
а11
a31

a12
4
=
-4
=
-3
(-1)
А 11
=
А23
=
2
* 4
(-1)
5
*
(-4)
= 4
= 4
4
А 31
=
(-1)
*
(-4)
=
3
Пусть А = некоторая Матрица III-го порядка, тогда определитель матрицы А равен:
A  a11  A11 a12  A12 a13  A11
Замечание: Определитель можно вычислить по элементам любой строки или любого
столбца данной Матрицы.
# Найти определитель Матрицы по элементам первой строки и первого столбца:
1 2 3 
2 1 0


 3 2 4
A  1
   
  


    
1 0
2 0
2 1
 (1)  2 
3
 4  16  3  9
2 4
3 4
3 2
… второго столбца:
A  2 
2 0
1 3
1 3
 1
 2
 16  15  12  9
3 4
3 4
2 0
7.3
ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ n-го порядка
Пусть А - квадратная Матрица n-го порядка. Тогда, Определитель Матрицы n-го порядка будет выглядеть так:
A  a11  A11  a12  A12  a13  A13 ...a1n  A1n
Разложив по элементам 1 строки найти элементы Матрицы А
17
-
1
2
A
1

0
0 2 1
0 1 0
2 1 0
2 0 0
2 0 1
0 1 0 
 1 2 0 2  0  1 0 2  2  1 2 2  1  1 2 0  1
2 0 2
1 0 1
0 0 1
0 1 1
0 1 0

1 0 1
Решение:
1)
2)
3)
4)
a11=1*(0*0*1+2*0*0+1*1*2)-1*(0*0*1+2*1*1+0*0*2)=0
a12=0*(2*0*1+1*0*0+1*2*0)-0*(0*0*0+1*1*1+2*0*2)=0
a13=2*(2*2*1+1*1*0+0*0*2)-2*(0*2*0+1*0*1+2*2*1)=0
a14=-1*(2*2*0+1*1*1+0*0*0)-1*(1*2*0+1*0*0+2*1*0)=-1
6. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ
1.
Определитель не изменится, если его строки поменять местами с соответствующими столбцами (транспонировать)
2.
При перестановке двух строк или столбцов, Определение изменит свой знак
на противоположный.
3.
Общий множитель всех элементов строки (столбца) можно вынести за знак
определителя
4.
лю.
Определитель с двумя одинаковыми строками или столбцами всегда равен ну-
5.
Если элементы двух строк (столбцов) определителя пропорциональны то
определитель равен нулю.
13
26  0
39
6.
Если в какой-то строке или столбце определителя прибавить соответственно
элементы другой строки или столбца, умноженные на одно и то же число, то определитель не изменит своей величины.
13 0
(3)  2 6 0
39 0
и т.д.
3 1 3  0
Треугольный определитель - это тот определитель, у которого все элементы, лежащие
выше (или ниже) главной диагонали - нули,равен произведению элементов главной
диагонали.
a11
0
a21 a22
a31 a32
0
a11
a12
a13
0  0
a33
0
a22
0
a23  a11  a22  a33
a33
Квадратная Матрица - Квадратная Матрица А называется вырожденной, если ее определитель равен нулю и называется не вырожденной, если или особенной, если (определитель) ∆ = 0
Обратная Матрица - Квадратная матрица В называется обратной для квадратной матрицы А того же порядка, если
их произведение А В = В А = Е, где Е - единичная матрица того же порядка, что и матрицы А и В.
18
Обратной к квадратной Матрице называется матрица, которая при умножении на а
(справа и слева), дает единичную Матрицу.
1
A 1 
A
A  A1  A1  A  E
(Единичная Матрица)
Если обратная Матрица А существует, то Матрицу называют ОБРАТИМОЙ. Нахождение квадратной Матрицы имеет большое значение при решении системных линейных
уравнений.
17. Обратная матрица.
http://www.mathelp.spb.ru/book1/omatrix.htm
1.
Найти Определитель Матирицы А
2.
Найти алгибраическое дополнение всех элементов Матрицы А (Aij)
и записать новую Матрицу
Транспонировать новую Матрицу
3.
4.
Умножить транспонированную Матрицу на число, обратное определителю. ( Например: к числу 6 обратным определителем будет число 1 )
6
Обозначим ∆ =det A. Для того, чтобы квадратная Матрица А имела обратную,
необходимо и достаточно, чтобы Матрица была не вырожденной (отличной от нуля).
Матрица, обратная матрице А, обозначается через А-1, так что В = А-1. Обратная матрица вычисляется по формуле:
 A11 A12 ... A1n 


A21 ... A2 n 
1 A
A1   21
  ... ... ... ... 


 An1 An 2 ... Ann 
или так:
An1 
 A11 A21
...
 

 
 2 1
A1  ?
  


A

 
A
A
A
n2 
 12
22
4
3




...
A1   

 


... ... ... 
 ...
 A1n A2 n
Ann 
...


 

 
1 действие:
- Матрица не вырожденная, решение
2 1

4
3
 2  3  4  (1)  6  4  10  0
имеет.
a11  3
2,3 действие:
a12  4
a21  (1)  1
 3 1  - Матрица сразу записывается транспо 4 2 


a22  2
нированной.
19
1
3
1  3 1   10 10 
A  


10  4 2   4 2 
 10 10 
1
3
 2 1  10 10 
1
A A  
E

 4 3   4 2 
 10 10 
4 действие:
1
ПРОВЕРКА:
A  A1  E
 2 1 1  3 1  1 10 0  1 0
A  A1  
 
 

E
 4 3  10  4 2 10  0 10 0 1 
a11  2  3  (1)  4  10
Проверка дала Единичную Матрицу
a12  2 1  (1)  2  0
a21  4  3  3  (4)  0
a22  4 1  3  2  10
– решение верное.
Найти
A1
1 2 3 
A  0 1 2 
 3 0 7 
   
  


    
1 действие:
1 2 3 
A  0 1 2   (1 (1)  7  0  0  3  2  2  3)  (3  (1)  3  1 2  0  0  2  7  5  9  14()
3 0 7 
1 2
2 3
 (1)  7  0  2  7
A 
 (2  7  0  3)  14
0 7
Т 21
0 7
0 2
1 3
A12  
 (0  7  3  2)  6
A22 
 1 7  3  3  2
3 7
3 7
0 1
1 2
A13 
 0  0  3  (1)  3
A23  
 (1 0  3  2)  6
3 0
3 0
A11 
A31 
2 3
 2  2  (1)  3  7
1 7
A32  
A33 
1 3
 (1  2  0  3)  2
0 2
1 2
 1 (1)  0  2)  1
0 1
20
7 
7
1

E  A A
14 
 7 14 7  14

1 
6 2 2 

1

A   6 2 2  
E
14 14 14 
14
 3
6
1 

6 1 
3
14 14 14 
1 2 3  7 14 7 
14 0 0  1 0 0
0 1 2   6 2 2  1  0 14 0   0 1 0  E

 
 14 
 

3 0 7   3 6 1
 0 0 14 0 0 1 
18. Уравнение плоскости (общее).
В трехмерном пространстве в декартовой системе координат любая плоскость описывается линейным уравнением
Ax + By + Cz + D = 0, A2 + B2 + C2 ≠ 0.
Это уравнение называется общим уравнением плоскости.
Вектор N = (A, B, C) = A·i + B·j + C·k — нормальный вектор плосокости, он перпендикулярен любой прямой, принадлежащей плоскости.
Уравнение плоскости, проходящей через точку M0(x0,y0,z0) перпендикулярно вектору N = (A, B, C) имеет вид
A(x −x0)+ B(y −y0) + C(z −z0) = 0.
Это уравнение называют уравнением плоскости, проходящей через заданную точку с
заданным нормальным вектором.
19. Уравнение плоскости в отрезке.
Уравнение плоскости в отрезках
Если в общем уравнении Ах + Ву + Сz + D = 0 поделить обе части на (-D)
A
B
C
x  y  z 1  0 ,
D
D
D
Заменив  D  a ,  D  b ,  D  c , получим уравнение плоскости в отрезках:
A
B
C
Числа a, b, c являются точками пересечения плоскости соответx y z
  1
ственно с осями х, у, z.
a b c

20. Нормальное уравнение плоскости.
21
x cos   y cos   z cos   p  0 , где  ,  , 
- углы, образуемые нормаль-
ным вектором плоскости с осями координат; p - расстояние от начала координат до
плоскости.
Приведение общего уравнения плоскости к нормальному виду:
Ax  By  Cz  D
 A2  B 2  C 2
Здесь
0
1
- нормирующий множитель плоскости, знак которого выби-
 A2  B 2  C 2
рается противоположным знаку D, если D  0 произвольно, если D = 0.
21. Кривые 2-го (уравнение окружности).
Определение 11.1. Кривыми второго порядка на плоскости называются линии пересечения кругового конуса с плоскостями, не проходящими через его вершину.
Если такая плоскость пересекает все образующие одной полости конуса, то в сечении
получается эллипс, при пересечении образующих обеих полостей – гипербола, а если
секущая плоскость параллельна какой-либо образующей, то сечением конуса является парабола.
Замечание. Все кривые второго порядка задаются уравнениями второй степени от
двух переменных.
Классификация кривых второго порядка
Невырожденные кривые
Кривая второго порядка называется невырожденной, если   0 Могут возникать
следующие варианты:
Невырожденная кривая второго порядка называется центральной, если I  0

эллипс — при условии D > 0 и ΔI < 0;
частный случай эллипса — окружность — при условии I2 = 4D или a11 = a22,a12 = 0;
мнимый эллипс (ни одной вещественной точки) — при условии ΔI > 0;

гипербола — при условии D < 0;
Невырожденная кривая второго порядка называется нецентральной, если ΔI = 0

парабола — при условии D = 0.
Вырожденные кривые: Кривая второго порядка называется вырожденной, если Δ = 0.
Могут возникать следующие варианты:

вещественная точка на пересечении двух мнимых прямых (вырожденный эллипс) — при условии D > 0;

пара
вещественных
пересекающихся прямых (вырожденная гипербола) — при условии D < 0;

вырожденная парабола — при условии D = 0:

пара вещественных параллельных прямых — при условии B < 0;

одна вещественная прямая (две слившиеся параллельные прямые) — при условии B = 0;

пара мнимых параллельных прямых (ни одной вещественной точки) — при условии B > 0.
22. Эллипс и его уравнение.
Определение 11.2. Эллипсом называется множество точек плоскости, для которых
сумма расстояний до двух фиксированных точек F1 и F2 этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная.
Замечание. При совпадении точек F1 и F2 эллипс превращается в окружность.
Выведем уравнение эллипса, выбрав декартову систему: координат так, чтобы
ось Ох совпала
с
прямой F1F2,
начало координат – с серединой отрезка F1F2.
22
Пусть длина этого отрезка равна 2с, тогда в выбранной системе координат F1(-c,
0), F2(c, 0). Пусть точка М(х, у) лежит на эллипсе, и сумма расстояний от нее
до F1 и F2 равна 2а.
Тогда r1 + r2 =2a, но
Поэтому
r1  ( x  c) 2  y 2 , r2  ( x  c) 2  y 2 ,
( x  c ) 2  y 2  ( x  c ) 2  y 2  2a
Введя обозначение b² = a²-c² и
проведя несложные алгебраические преобразования, получим каноническое уравнение
эллипса:
x2 y 2

1
a 2 b2
(11.1)
Определение 11.3. Эксцентриситетом эллипса называется величина е=с/а
(11.2)
Определение 11.4. Директрисой Di эллипса, отвечающей фокусу Fi, называется прямая, расположенная в одной полуплоскости с Fi относительно оси Оу перпендикулярно
оси Ох на расстоянии а/е от начала координат.
Замечание. При ином выборе системы координат эллипс может задаваться не каноническим уравнением (11.1), а уравнением второй степени другого вида.
Свойства эллипса:
1)
Эллипс имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии (главные оси эллипса) и центр симметрии (центр эллипса). Если эллипс задан каноническим уравнением, то его главными осями являются оси координат, а центром – начало координат. Поскольку длины отрезков, образованных пересечением эллипса с главными осями, равны
2а и 2b (2a>2b), то главная ось, проходящая через фокусы, называется большой осью
эллипса, а вторая главная ось – малой осью.
2)
Весь эллипс содержится внутри прямоугольника
3)
Эксцентриситет эллипса e < 1.
Действительно,
e  1
x  a, y  b
b2
1
a2
4) Директрисы эллипса расположены вне эллипса (так как расстояние от центра эллипса до директрисы равно а/е, а е<1, следовательно, а/е>a, а весь эллипс лежит в прямоугольнике x  a, y  b )
5) Отношение расстояния ri от точки эллипса до фокуса Fi к расстоянию di от этой
точки до отвечающей фокусу директрисы равно эксцентриситету эллипса.
Доказательство.
Расстояния от точки М(х, у) до фокусов эллипса можно представить так:
c
c
r1  a  x  a  ex, r2  a  x  a  ex .
a
a
Составим уравнения директрис:
x 
a
0
e
Тогда
d1 
(D1),
x
a
0
e
(D2).
a  ex
a  ex
, d2 
e
e
Отсюда ri / di = e, что и требовалось доказать.
Гипербола. Определение 11.5. Гиперболой называется множество точек плоскости,
для которых модуль разности расстояний до двух фиксированных точек F1 и F2 этой
плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная.
23
Выведем каноническое уравнение гиперболы по аналогии с выводом уравнения эллипса, пользуясь теми же обозначениями.
|r1 - r2| = 2a, откуда
( x  c) 2  y 2  ( x  c) 2  y 2  2a . Если обозначить b² = c² -
a², отсюда можно получить
лы.
x2 y 2

1
a 2 b2
- каноническое уравнение гипербо-
(11.3)
Определение 11.6. Эксцентриситетом гиперболы называется величина е = с / а.
Определение 11.7. Директрисой Di гиперболы, отвечающей фокусу Fi, называется
прямая,
расположенная
в
одной
полуплоскости
с Fi относительно
оси Оу перпендикулярно оси Ох на расстоянии а / е от начала координат.
Свойства гиперболы:
1)
Гипербола имеет две оси симметрии (главные оси гиперболы) и центр симметрии (центр гиперболы). При этом одна из этих осей пересекается с гиперболой в двух
точках, называемых вершинами гиперболы. Она называется действительной осью гиперболы (ось Ох для канонического выбора координатной системы). Другая ось не имеет
общих точек с гиперболой и называется ее мнимой осью (в канонических координатах –
ось Оу). По обе стороны от нее расположены правая и левая ветви гиперболы. Фокусы
гиперболы располагаются на ее действительной оси.
2)
Ветви гиперболы имеют две асимптоты, определяемые уравнениями
y
b
b и
x y x
a
a
3) Наряду с гиперболой (11.3) можно рассмотреть так называемую сопряженную гиперболу, определяемую каноническим уравнением
x2 y 2

 1 , (11.3`)
a 2 b2
для которой меняются местами действительная и мнимая ось с сохранением тех же
асимптот.
4) Эксцентриситет гиперболы e > 1.
5) Отношение расстояния ri от точки гиперболы до фокуса Fi к расстоянию di от этой
точки до отвечающей фокусу директрисы равно эксцентриситету гиперболы.
Доказательство можно провести так же, как и для эллипса.
23. Парабола.
Определение 11.8. Параболой называется множество точек плоскости, для которых
расстояние до некоторой фиксированной точки F этой плоскости равно расстоянию до
некоторой фиксированной прямой. Точка F называется фокусом параболы, а прямая –
ее директрисой.
24
Для вывода уравнения параболы выберем декартову систему координат так, чтобы ее началом была середина перпендикуляра FD, опущенного
из фокуса на директрису, а координатные оси располагались параллельно и перпендикулярно директрисе. Пусть длина отрезка FD
D O F
x
равна р.
Тогда
из
равенства r = d следует,
что
p
p
p
p
( x  )2  y 2   x , поскольку r  ( x  )2  y 2 , d   x
2
2
2
2
Алгебраическими преобразованиями это уравнение можно привести к виду:
y² = 2px , (11.4) называемому каноническим уравнением параболы.
Величина р называется параметром параболы.
Свойства параболы:
1)
Парабола имеет ось симметрии (ось параболы). Точка пересечения параболы с
осью называется вершиной параболы. Если парабола задана каноническим уравнением,
то ее осью является ось Ох, а вершиной – начало координат.
2)
Вся парабола расположена в правой полуплоскости плоскости Оху.
Замечание. Используя свойства директрис эллипса и гиперболы и определение параболы, можно доказать следующее утверждение:
Множество точек плоскости, для которых отношение е расстояния до некоторой фиксированной точки к расстоянию до некоторой прямой есть величина постоянная, представляет собой эллипс (при e<1), гиперболу (при e>1) или параболу (при е=1).
Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду.
Определение 11.9. Линия, определяемая общим уравнением второго порядка
a11 x 2  2a12 xy  a22 y 2  2b1 x  2b2 y  c  0 , (11.5)
называется алгебраической линией второго порядка.
Для квадратичной формы a11 x 2  2a12 xy  a22 y 2 можно задать матрицу
a 
a
A   11 12  .
 a21 a22 
(11.6)
Для того, чтобы перейти к новой системе координат, в которой уравнение линии будет иметь канонический вид, необходимо провести два преобразования:
1)
поворот координатных осей на такой угол, чтобы их направление совпало с
направлением осей симметрии кривой (если она имеет две оси);
2)
параллельный перенос, при котором начало координат совмещается с центром
симметрии кривой (если он существует).
Замечание. Для параболы новые оси координат должны располагаться параллельно и
перпендикулярно директрисе, а начало координат – совпасть с вершиной параболы.
Поскольку в канонических уравнениях кривых второго порядка отсутствуют произведения переменных, необходимо перейти к координатной системе, определяемой базисом из ортонормированных собственных векторов матрицы А. В этом базисе уравнение
(11.5) примет вид:
 % %
1 x2  2 y2  2b%
1 x  2b2 y  c  0
(в предположении, что λ1,2 не равны 0).
Зададим
перенос
y  y 
последующий
параллельный
формулами:
x  x 
b%
1 ,
1
b%2 .
2
Получим в новой координатной системе уравнение
%. (11.7)
1 x2  1 y2  c%
Рассмотрим возможные геометрические образы, определяемые этим уравнением в зависимости от знаков λ1, λ2 и
%:
c%
25
если собственные числа матрицы А λ1 и λ2 и
1)
представляет собой каноническое уравнение эллипса:
b
2)
%одного знака, уравнение (11.7)
c%
x2 y2
 2  1, где a 
a2
b
%,
c%
1
%.
c%
2
если λ1 и λ2 имеют разные знаки, уравнение (11.7) является каноническим урав-
нением гиперболы: x  y  1 или
2
2
2
a
2
b
x2 y2
%.

 1 , в зависимости от знака c%
a 2 b2
В случае, когда одно из собственных чисел матрицы А равно 0, уравнение (11.5) в результате двух преобразований координат можно привести к виду:
%
% ,
y2  2bx
(11.8)
являющимся каноническим уравнением параболы.
24. Прямоугольные координаты в пространстве.
Прямоугольная система координат в пространстве образуется тремя взаимно перпендикулярными осями координат OX, OY и OZ. Оси координат пересекаются в точке O,
которая называется началом координат, на каждой оси выбрано положительное направление, указанное стрелками, и единица измерения отрезков на осях. Единицы измерения
обычно одинаковы для всех осей (что не является обязательным). OX — ось абсцисс, OY — ось ординат, OZ — ось аппликат.
Если большой палец правой руки принять за направление X, указательный за направление Y, а средний за направление Z, то образуется правая система координат. Аналогичными пальцами левой руки образуется левая система координат. Иначе говоря, положительное направление осей выбирают так, чтобы при повороте оси OX против часовой стрелки на 90° её положительное направление совпало с положительным направлением оси OY, если этот поворот наблюдать со стороны положительного направления
оси OZ. Правую и левую системы координат невозможно совместить так, чтобы совпали
соответствующие оси (см. рис. 2).
Рис. 2
Положение точки A в пространстве определяется тремя координатами x, y и z. Координата x равна длине
отрезка OB, координата y — длине отрезка OC, координата z — длине отрезка OD в выбранных единицах измерения. Отрезки OB, OC и OD определяются плоскостями, проведёнными из точки A параллельно плоскостям YOZ, XOZ и XOY соответственно.
Координата x
называется абсциссой точки A, координата y — ординатой точки A, координата z — аппликатой точки A. Записывают так:
A( x, y, z ) .
Как найти равносторонний треугольник, если известна сторона:
26
Опустить из вершины высоту на основанию известной стороны. Высота равностороннего треугольника получается из формулы высоты равнобедренного треугольника.
h
3
a
2
27
28
29