ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ссылка на операции над матриц в Яндексе

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
ссылка на операции над матриц в Яндексе
http://www.mathelp.spb.ru/book1/matrix_and_det.htm
1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
Матрицей называют множество чисел, образующих прямоугольную таблицу, которая
содержит m-строк и n столбцов. В общем виде матрицу обозначают:
 a11 a12
A(aj )   a21 a22
 a31 a32
a13 
a23 
a33 
Для любого элемента А - номер строки, j - номер столбца
2. ВИДЫ МАТРИЦ
Если m ≠ n, матрицу называют прямоугольной. 4х3:
 a11 a12 a13 
a

 21 a22 a23 
 a31 a32 a33 


 a41 a42 a43 
Если m=n, матрицу называют квадратной:
 a11 a12 a13 
A(aj )   a21 a22 a23 
 a31 a32 a33 
Рассмотрим квадратную матрицу N-го порядка:
 a11 a12
a
a22
A(aj )   21
 ... ...

 an1 an 2
Диагональ, содержащая элементы
a11 a22
... a1n 
... a2 n 
... .. 

... ann 
a33 ... ann
называется ГЛАВНОЙ
диагональю, а диагональ, содержащая элементы называется побочной или
вспомогательной.
Если у квадратной Матрицы элементы главной диагонали все единицы, то Матрицу
называют ЕДИНИЧНОЙ (Е)
1 0 0 
E  0 1 0 
0 0 1 
В матрице, все элементы которой нули, называется НУЛЕВОЙ
0 0 0 
0 0 0 


0 0 0 
Если в прямоугольной Матрице, типа mхn, m=1, то m – строка: n1-1,
A=(a11*a22*a33…an). Если n=1, то получится Матрица-СТОЛБЕЦ.
1
 a11 
B   a21 
 a31 
Матрицы столбцы и Матрицы строки иначе называют ВЕКТОРАМИ
3. РАВЕНСТВО МАТРИЦ
Две Матрицы называют равными, если они имеют одинаковое число строк (m
строк) и одинаково число столбцов (n столбцов) и их соответствующие элементы равны
(Aij=Bij) Матрицы складывают и вычитают одинаковым способом: из a11 Матрицы А.
вычитают (складывают) а11 Матрицы B. Если в Матрице типа nхm представить строки
со столбцами, получим Матрицу типа nхm, которую называют
ТРАНСПОНИРОВАННОЙ т.е. строка становится столбцом.
1 2 3
1 4 7 
A  4 5 6  , At  2 5 8 
7 8 9 
 3 6 9 
Замечание: Если транспонировать m-СТРОКУ и n-СТОЛБЕЦ.
4. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦЕЙ
4.1.
СУММА МАТРИЦ
Суммой матриц А и В, называется Матрица, элементы которой равны сумме
соответствующих элементов А и В (складывать можно ТОЛЬКО Матрицы одного
строения)
 2 1 3
 5 3 16
 3 4 19
#
A   0 0 0 B   0 0 0  A  B   0 0 0 
 1 3 8
 7 10 0 
 6 13 8 
Т.к. сложение Матриц сводится к сложению элементов, то при сложении Матриц,
сохраняются свойства чисел:
I.
Переместительный закон: a+b=b+a
II.
Сочетательный закон: (a+b)+c=a+(b+c)

ПРОИЗВЕДЕНИЕ МАТРИЦЫ А НА ЧИСЛО
Произведение Матрицы А на число k называется такая Матрица kA, элементы
которой имеют вид kAij
 3 4 19
 9 12 57 
3 A   0 0 0  3 A   0 0 0 
 6 13 8 
18 39 24
5. ПРОИЗВЕДЕНИЕ МАТРИЦ
Произведение Матрицы А, типа A(m*n) и B(n*k), называют Матрицу С, типа С(m*k)
A  (m  n)
B  (n  k )
A  (11 4)
B  (4 13)
C  (m  k )
C  (1113)
2
у которой элемент, стоящий в n-ной строке и j-столбце, равен сумме произведений
соответствующих элементов i-той строки Матрицы А и j столбца, Матрицы B
 C11 C12 C13 
3 1 1
 1 1 1 Ответ:
6 2 1
C  A  B C21 C22 C33  A   2 1 2 B   2 1 1 
C  6 1 1 
1 2 3 
 1 0 1 
C31 C32 C33 
8 1 4 
C11  3 1  1 2  11  6
C12  3 1  1 (1)  1 0  2
C13  3  (1)  11  11  1
C21  2 1  2  2  2  0  6
C31  11  2  2  3 1  8
C22  1 2  1 (1)  2  0  1 C32  11  2  (1)  3  0  1
C23  2  (1)  11  2 1  1 C33  1 (1)  2 1  3 1  6
Домашнее задание: найти A*B, если:
 0 12 
 31 
2 1 1
 21 
B



A
 
3 0 1
1 0 


3 7 1
Решение:
I.
II.
III.
Ответ:
0
9
C 
10 
 
 24 
 C11 C12 
C C 
C   21 22 
C31 C32 


C41 C42 
C11  0  3  (1)  2  2 1  0
C31  3  3  2  0  11  10
C12  0 1  (1) 1  2  0  1
C32  3 1  0 1  1 0  3
C21  2  3  1 2  1 1  9
C41  3  3  7  2  11  24
C22  2 1  11  1  0  3
C42  3 1  7 1  1 0  10
6. СВОЙСТВА УМНОЖЕНИЯ МАТРИЦ
(A*B)*C=A*(B*C)
(A+B)*C=A*C+B*C
A*B ≠ B*A
Замечание: Если единичную Матрицу умножить на данную Матрицу А, матрица А не
изменится.
1 0 0 
2 1
2 1
E  0 1 0 A   1 4  E  A   1 4 
0 0 1 
 5 2
 5 2
7. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. ДЕЙСТВИЯ НАД ОПРЕДЕЛИТЕЛЯМИ
Каждой квадратной Матрице можно поставить соответствие некоторое число, которое
называется ОПРЕДЕЛИТЕЛЕМ Матрицы А. Определитель Матрицы А вычисляется по
ее элементам.
7.1
Нахождение Определителя Матрицы 2 порядка
∆ det A (детерминант)
a11
1 2 
det A  A
A 1 (2)  2  4  2  8  10
A

a21
 4 2
7.2
Нахождение
треугольника
Определителя
Матрицы
3
3-го
a12
 a11  a22  a12  a21
a22
порядка
по
правилу
схема вычисления определителя методом треугольника,
т.о.:
 a11 a12 a13   a11 a12 a13 
a
 

 21 a22 a23    a21 a22 a23 
 a31 a32 a33   a31 a32 a33 
(a11  a23  a33  a21  a32  a13  a12  a23  a31 )  (a31  a22  a13  a11  a23  a32  a12  a21  a33 )
1 2 3 
0 1 0   (4  0  0)  (6  0  0)  4  6  2


 2 1 4
Каждому элементу квадратной Матрицы (порядок которых больше, или равен трем),
можно поставить в соответствие два числа, называемые МИНОРОМ или
АЛГЕБРАИЧЕСКИМ ДОПОЛНЕНИЕМ. Минором элемента Aij квадратной Матрицы А
(любого порядка) называется ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ, получаемый из Матрицы
А методом вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых стоит элемент Aij.
Знак M - обозначение Минора.
 a11 a12 a13 
- Минор
a
 a22
 21 a22 a23 
 a31 a32 a33 
Алгебраическим дополнением Aij, называется Минор элемента Aij, умноженный на
(1)i  j
Aij  (1)ij  Mij
 
 a11
 
A   a21
 
 a31

  
1 2 3 
  
A  2 1 0
  
3 2 4


ЭЛЕМЕН
ТЫ

a12

a22

a32


a13 
 
a23 
 
a33 

Алгебраическое
Дополнение
Минор
i+j
1
0
а11
= 1 1
+
1
=
2
2
4
а23
= 0 2
+
3
=
5
1
3
2
2
2
3
a31
= 3 3
+
1
=
4
1
0
=
4
4
А 11
=
(1)
=
-4
А23
(= 1)
=
-3
А 31
(= 1)
2
* 4
= 4
5 (*4)
= 4
4
(*4)
=
3
-
Пусть А = некоторая Матрица III-го порядка, тогда определитель матрицы А равен:
A  a11  A11 a12  A12 a13  A11
Замечание: Определитель можно вычислить по элементам любой строки или любого
столбца данной Матрицы.
# Найти определитель Матрицы по элементам первой строки и первого столбца:
1 2 3 
2 1 0


 3 2 4
A  1
   
  


    
1 0
2 0
2 1
 (1)  2 
3
 4  16  3  9
2 4
3 4
3 2
… второго столбца:
A  2 
2 0
1 3
1 3
 1
 2
 16  15  12  9
3 4
3 4
2 0
7.3
ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ n-го порядка
Пусть А - квадратная Матрица n-го порядка. Тогда, Определитель Матрицы n-го
порядка будет выглядеть так:
A  a11  A11  a12  A12  a13  A13 ...a1n  A1n
Разложив по элементам 1 строки найти элементы Матрицы А
1
2
A
1

0
0 2 1
0 1 0
2 1 0
2 0 0
2 0 1
0 1 0 
 1 2 0 2  0  1 0 2  2  1 2 2  1  1 2 0  1
2 0 2
1 0 1
0 0 1
0 1 1
0 1 0

1 0 1
Решение:
1)
a11=1*(0*0*1+2*0*0+1*1*2)-1*(0*0*1+2*1*1+0*0*2)=0
2)
a12=0*(2*0*1+1*0*0+1*2*0)-0*(0*0*0+1*1*1+2*0*2)=0
3)
a13=2*(2*2*1+1*1*0+0*0*2)-2*(0*2*0+1*0*1+2*2*1)=0
4)
a14=-1*(2*2*0+1*1*1+0*0*0)-1*(1*2*0+1*0*0+2*1*0)=-1
8. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ
1.
Определитель не изменится, если его строки
соответствующими столбцами (транспонировать)
поменять местами
с
2.
При перестановке двух строк или столбцов, Определение изменит свой знак
на противоположный.
3.
Общий множитель всех элементов строки (столбца) можно вынести за знак
определителя
4.
нулю.
Определитель с двумя одинаковыми строками или столбцами всегда равен
5
5.
Если элементы двух строк (столбцов) определителя пропорциональны то
определитель равен нулю.
13
26  0
39
6.
Если в какой-то строке или столбце определителя прибавить соответственно
элементы другой строки или столбца, умноженные на одно и то же число, то
определитель не изменит своей величины.
13 0
(3)  2 6 0
39 0
3 1 3  0
и т.д.
Треугольный определитель - это тот определитель, у которого все элементы, лежащие
выше (или ниже) главной диагонали - нули,равен произведению элементов главной
диагонали.
a11 0
0
a11 a12 a13
a21 a22 0  0 a22 a23  a11  a22  a33
a31 a32 a33
0
0 a33
Квадратная Матрица - Квадратная Матрица А называется вырожденной, если ее
определитель равен нулю и называется не вырожденной, если или особенной, если
(определитель) ∆ = 0
Обратная
Матрица - Квадратная матрица В называется обратной для квадратной матрицы А того
же порядка, если их произведение А В = В А = Е, где Е - единичная матрица того же
порядка, что и матрицы А и В.
Обратной к квадратной Матрице называется матрица, которая при умножении на а
(справа и слева), дает единичную Матрицу.
A 1 
A  A1  A1  A  E
1
A
(Единичная Матрица)
Если обратная Матрица А существует, то Матрицу называют ОБРАТИМОЙ.
Нахождение квадратной Матрицы имеет большое значение при решении системных
линейных уравнений.
1.
9. АЛГОРИТМ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ
http://www.mathelp.spb.ru/book1/omatrix.htm
Найти Определитель Матрицы А
2.
Найти алгебраическое дополнение всех элементов Матрицы А (Aij)
и записать новую Матрицу
3.
Транспонировать новую Матрицу
4.
Умножить транспонированную Матрицу на число, обратное
определителю. ( Например: к числу 6 обратным определителем будет число 1 )
6
Обозначим ∆ =det A. Для того, чтобы квадратная Матрица А имела обратную,
необходимо и достаточно, чтобы Матрица была не вырожденной (отличной от нуля).
Матрица, обратная матрице А, обозначается через A1 , так что В = A1 . Обратная
матрица вычисляется по формуле:
6
 A11

A
1
A1   21
  ...

 An1
A12 ... A1n 

A21 ... A2 n 
... ... ... 

An 2 ... Ann 
или так:
 A11
 

 A12
1
A  

 ...
 A1n

 
1 действие:

A21

A22

...
A2 n

...
...
...
...
An1 
 

An 2 
 

... 
Ann 

 
A1  ?
2 1
 2  3  4  (1)  6  4  10  0
4 3
 2 1
A

4 3 
  
 


- Матрица не вырожденная, решение
имеет.
a11  3
2,3 действие:
a12  4
a21  (1)  1
 3 1  - Матрица сразу записывается
 4 2 


a22  2
транспонированной.
1
3
1  3 1   10 10 
A  


10  4 2   4 2 
 10 10 
1
3
 2 1  10 10 
1
A A  
E

 4 3   4 2 
 10 10 
4 действие:
1
ПРОВЕРКА:
A  A1  E
 2 1 1  3 1  1 10 0  1 0
A  A1  
 
 

E
 4 3  10  4 2 10  0 10 0 1 
a11  2  3  (1)  4  10
Проверка дала Единичную Матрицу
a12  2 1  (1)  2  0
a21  4  3  3  (4)  0
a22  4 1  3  2  10
– решение верное.
7
Найти
A1
1 2 3 
A  0 1 2 
 3 0 7 
   
  


    
1 действие:
1 2 3 
A  0 1 2   (1 (1)  7  0  0  3  2  2  3)  (3  (1)  3  1 2  0  0  2  7  5  9  14()
3 0 7 
2 3
1 2
 (2  7  0  3)  14
 (1)  7  0  2  7 Т A21  
0 7
0 7
1 3
0 2
A22 
 1 7  3  3  2
A12  
 (0  7  3  2)  6
3 7
3 7
A11 
A13 
A31 
A23  
1 2
 (1 0  3  2)  6
3 0
2 3
 2  2  (1)  3  7
1 7
A32  
A33 
0 1
 0  0  3  (1)  3
3 0
1 3
 (1  2  0  3)  2
0 2
1 2
 1 (1)  0  2)  1
0 1
7 
7
14 1 14 
E  A A

7

14
7

 

1
6 2 2 
A1   6 2 2   
E
14 14 14 
14
 3
6
1 
6 1 
3
14 14 14 
1 2 3  7 14 7 
14 0 0  1 0 0
0 1 2   6 2 2  1  0 14 0   0 1 0  E

 
 14 
 

3 0 7   3 6 1
 0 0 14 0 0 1 
10.
ПРОСТЕЙШИЕ МАТРИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ИХ РЕШЕНИЯ
http://www.mathelp.spb.ru/book1/matrix_met.htm
Рассмотрим равенство вида:
 a11 a12
a
 21 a22
 a31 a32
a13   xx   b1 
a23    x2   b2 
a33   x3  b3 
A
X
B
Где А и В - Матрицы с известными числами, а Х - с неизвестными.
Домножим обе части матричного уравнения на
A1  AX  A1  B
A1  AX  A1  B
Чтобы решить метрическое уравнение, нужно:
8
A1 слева.
X  A1  B
Найти обратную матрицу А
Найти произведение: X= А *В
1)
2)
# Решить Матричное уравнение:
I) 1 2   X 1   7 
3 4    X 2   17 

    
1 2 
A

3 4 
1)
  
 


A 1 4 3 2  2 0
Матрица не вырожденная, решение
имеет
A11  4
2,3) A12  3
сразу транспонируем
A21  2
 4 2 
 3 1 


A22  1
4)
A1 
 2 1 
1  4 2 

3
1
2  3 1  
 
2
2
II) X  A1  B
X1  3
X22
Ответ:
11.
1   7  3
 2
X 
  17    2 
1.5

0.5

    
A11  (2)  7  117  3
A21  1.5  7  (0.5) 17  2
Решение систем линейных уравнений в Матричной форме.
http://www.toehelp.ru/theory/math/lecture14/lecture14.html
Пусть дана система уравнений:
a11  X 1  a12  X 2  a13  X 3  b1
a21  X 1  a22  X 2  a23  X 3  b2
a31  X 1  a32  X 2  a33  X 3  b3
 a11 a12
A   a21 a22
 a31 a32
a13 
a23 
a33 
 X 1
X   X 2 
 X 3 
 b1 
B  b 2 
 b3 
Решить матричным способом следующую систему уравнений:
Внимание: Нули появляются, если нет одной переменной, т.е., например, если Х3 не
дан в условии, то он автоматически равен нулю. Так же и с Х1 и Х2
 X 1  2 X 2  10

3 X 1  2 X 2  X 3  23
 X  2 X  13
3
 2
1 2 0 
A   3 2 1 
0 1 2
9
   
  


    
2
a11  
1
3
a12  
0
1
 2  2  1 1  3
2 
1
 (3  2  0 1)  6
2 
3 2
a13  
  3 1  0  2  3
0 1 
2 0
a31  
  2 1  2  0  2
2 1
1 0 
a32  
  (11  3  0)  1
3 1 
3 2
a33  
  (11  0  2)  1
0 1 
A1 
 3 4 2 
1 
6 2 1
9 
 3 1 4
2
a21  
1
1
a22  
0
0
 (2  2  0 1)  4
2 
0
 1 2  0  0  2
2 
3 2
a23  
  (11  0  2)  1
0 1 
 3 4 2  10   4
1
A  B   6 2 1   23   3
9
 3 1 4 13  5 
1
(3 10  (4)  23  2 13)  4
9
1
X 2  ((6) 10  2  23  (1) 13)  3
9
1
X 3  (3 10  (1)  23  (4) 13)  5
9
X1 
Ответ:
X1  4
X2  3
X2  5
#а) Дано:

3 X 1  5 X 2  13  3 5

 

2 X 1  7 X 2  81  2 7   
a11  7

 
1
A  3  7  2  5  31
a12  2
a21  5
a22  3
1  7 5 13

31  2 3 81
1
(7 13  5  81)  16
31
1
X 2  (2) 13  3  81  16
31
X1 
X  A1  B
X 1  16
X2  7
б)
5 X 1  8 X 2  X 3  2

3 X 1  2 X 2  6 X 3  7
2 X  X  X  5
2
3
 1
10
5 8 1 
 3 2 6 


 2 1 1
   
  


    
Ответ:
5 8 1 
A   3 2 6   (5  (2)  (1)  3 11  8  6  2)  (1 (2)  2  5  6 1  (1)  3  8)  107  0
 2 1 1
Достраиваем единичную матрицу справа:
5 8 1 1 0 0
 3 2 6 0 1 0 


 2 1 1 0 0 1 
Найдем обратную матрицу.
Вычтем 1 - ую строку из всех строк, которые находятся ниже нее. Это действие не
противоречит элементарным преобразованиям матрицы.
8
1
1
0 0
5
0 6.8 5.4 0.6 1 0 


0 2.2 1.4 0.4 0 1 
Вычтем 2 - ую строку из всех строк, которые находятся ниже нее. Это действие не
противоречит элементарным преобразованиям матрицы.
8
1
1
0
0
5
0 6.8 5.4
0.6
1
0

0
3.15 0.21 0.32 1 
0
Вычтем 3 - ую строку из всех строк, которые находятся выше нее. Это действие не
противоречит элементарным преобразованиям матрицы.
8
0
0.93 0.1 0.32 
5
0 6.8
0

0.95 0.44 1.72 

0
3.15 0.21 0.32
1 
0
Вычтем 2 - ую строку из всех строк, которые находятся выше нее. Это действие не
противоречит элементарным преобразованиям матрицы.
0
0
0.19 0.42 2.34 
5
0 6.8
0
0.95 0.44 1.72 

0
0
3.15 0.21 0.32
1 
Приведем все коэффициенты на главной диагонали матрицы к 1. Поделим каждую
строку матрицы на коэффициент этой строки находящийся на главной диагонали, если
он не равен 1. Квадратная матрица, получившаяся правее единичной и есть обратная к
главной.
1 0 0 0.04 0.08 0.47 
0 1 0 0.14 0.07 0.25


0 0 1 0.07
0.1 0.32
Умножение обратной матрицы (матрицы - А-1) на матрицу значений за знаком
равенства (матрицу - В).
 0.04 0.08 0.47   2   3
 0.14 0.07 0.25   7    2 

    
 0.07
0.1 0.32   5  1 
12.
Решение систем линейных уравнений по формуле Крамера
http://www.webmath.ru/web/prog12_1.php
11
Теорема Крамера: Система N уравнения с N неизвестными, Определитель которых
отличен от нуля, всегда имеет решение, при том единственное. Оно находится
следующим образом: значение каждого из неизвестных равно дроби, знаменателем
которой является определитель системы, а числитель получается из определителя
системы с заменой столбца коэффициентов при искомом неизвестных на столбец
искомых членов.
Система N-го порядка
a11  x1  a12  x 2  a13  x3 .a1n  xn  b
a  x1  a  x 2  a  x3 .a  x  b2
22
23
2n
n
 21
a 31  x1  a 32  x 2  a 33  x3 .a 3n  xn  b3
..........................................................................

a n1  x1  a n 2  x 2  a n 3  x3 .a nn  xn  bn
Рассмотрим систему 3-х линейных уравнений с тремя неизвестными:
Определитель третьего порядка, соответствующий
составленный из коэффициентов при неизвестных
матрице
системы,
т.е.
Составим ещё три определителя следующим образом: заменим в определителе D
последовательно 1, 2 и 3 столбцы столбцом свободных членов:
Теорема (правило Крамера). Если определитель системы Δ ≠ 0, то рассматриваемая
система имеет одно и только одно решение, причём
Если определитель Δ = 0, то система имеет бесконечное множество решений. Если Δ
= 0 и хотя бы один ΔХi = 0 то система решений не имеет.
# Решить систему уравнений методом Крамера:
5 X  3Y  12

2 X  Y  7
X 33

3

11
Y
11
Y

 1

11
X

5 3
 5  6  11
2 1
Ответ: X  3
Y  1
# Дано:
12
X 
12 3
 12  21  33
7 1
Y 
5 12
2
7
 35  24  11
2 X  3Y  11
 2 3


  18  (18)  0
6
X

9
Y

33

 6 9 
X 
Y 
11 3
 99  (99)  0
33 9
2 11
6 33
 66  66  0
X 0
 0

0
Y 0
Y
 0
 0
Ответ: Система имеет бесконечное множество решений.
X
#Дано:
3 2 1 
  5 2 2   25
1 1 1
3 X  2Y  Z  3

5 X  2Y  2Z  3
 X  Y  Z  2

  (3  (2)  (1)  5 11  2  (2)  (2))  (1 (2)  (2)  3  2  (1)  3  (2)  1)  25
3 2 1 
X   3 2 2  (3  (2)  (1)  3  1  1  2  (2))  (1  (2)  (2)  3  2  (1)  3  (2)  1)  25
 2 1 1
3 3 1 
Y  5 3 2  (3  3  (1)  3  (2) 1  5  (2) 1)  (1 3 1  3  (2)  (2)  5  3  (1))  25
1 2 1
3 2 3 
Z  5 2 3   (3  (2)  (2)  5 1 3  2  3 1)  (3  (2) 1  5  2  (2)  3  3 1)  50
1 1 2
X 
Ответ:
X 1
Y  1
Z 2
25
1
25
Y 
25
 1
25
Z 
50
2
25
РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ГАУССА
http://www.webmath.ru/web/prog13_1.php
При решении системных уравнений методом Гаусса, используют метод последнего
исключения неизвестных. Системы уравнений приводят к эквивалентной ей системе с
треугольной Матрицей (системы являются эквивалентными, если множества их решений
совпадают). Эти действия называют прямым ходом. Из полученной треугольной
системы переменные находят с помощью последовательных подстановок (обратных
ход). При выполнении прямого хода используют преобразования Матриц.
Элементарные преобразования матрицы
Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие преобразования:
1) умножение строки матрицы на число, отличное от нуля;
13.
13
2) прибавление к одной строке матрицы другой строки;
3) перестановка строк;
4) вычеркивание (удаление) одной из одинаковых строк (столбцов);
5) транспонирование матрицы;
Те же операции, применяемые для столбцов матрицы, также называются
элементарными преобразованиями. С помощью элементарных преобразований можно к
какой-либо строке или столбцу матрицы прибавить линейную комбинацию остальных
строк (столбцов).
Метод Гаусса - классический метод решения системы линейных алгебраических
уравнений (СЛАУ). Это метод последовательного исключения переменных, когда с
помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной
системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которого последовательно, начиная с
последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные.
# Решить систему методом Гаусса:
3 X  2Y  Z  4

2 X  Y  3Z  9
 X  2Y  3Z  3

 3 2 1
   2 1 3   6  0
1 2 3 
Прямой ход
Достроим главный определитель системы уравнений еще одним столбцом, в который
вставим значения за знаком равенства.
(для удобства поменяли строки
 3 2 1 4  1 2 3 3  местами, т.к. единицу легче всего

 
 умножить на что-то, из чего можно
 2 1 3 9  ~  2 1 3 9  вычесть 2 и 3 строки, чтобы в результате
1 2 3 3   3 2 1 4  получить нули).
Далее, нужно a11 (а затем a12, a13,a14) умножить на те
цифры, чтобы
привести сначала вторую строку (отдельно, на
одну цифру), а потом третью строку (отдельно, на другую цифру)
к «ступенчатому» виду, как это будет видно далее. В этом
примере ко второй строке нужно применить (-2) и к третьей
строке (-3), то получаем:
 1 2 3 3 


 2 1 3 9 
 3 2 1 4 
умножаем -2 на верхнюю строку и из верхней строки
1 2 3 3 
вычитаем вторую строку, чтобы первой цифрой во второй


 2 1 3 9   (2) строке стал ноль.
Получаем:
 3 2 1 4 
У нас есть первый 0 – во второй строке (а21). Это первая
ступень единичной матрицы. Чтобы было проще работать с
цифрами, мы вторую строку приводим к единицам, деля ее
на 3.
умножаем -3 на верхнюю строку и
1 2 3 3 
из
верхней
строки 
вторую строку. Чтобы первой

цифрой в третьей строке  0 1 1 1   ( 3) стал ноль. Получаем:
 1 2 3 3 

 1
0 1 3 9   ( 3 )
 3 2 1 4 
 3
2
1 4 
14
У нас есть два нуля (а21, а31). Чтобы для ступенчатого
 1 2 3 3 
вида
матрицы, нам получить третий ноль, умножим 2


1 1   (8) строку на (-8), и вычтем из второй строки третью строку,
0 1
получим:
0 8 10 5
1 2 3 3 


0 1 1 1 
0 0 2 13
Запишем новую эквивалентную систему, которой
соответствует данная матрица ступенчатого вида:
Обратный ход
 X  2Y  3Z  3

0  Y  Z  1
0  0  (2Z )  13

Z  13  (2)  6.5
Y  1  6.5  7.5
X  3  2  7.5  3  6.5  1.5
X  1.5
Ответ:
Y  7.5
Z  6.5
# Решить методом Гаусса:
 X 1  2 X 2  X 4  3
3 X  X  2 X  1
 1
2
3

2 X 1  X 2  2 X 3  X 4  4
 X 1  3 X 2  2 X 3  2 X 4  7
1 2 0 1 3


 3 1 2 0 1 
 2 1 2 1 4 


1 3 2 2 7 
Три действия:
1) Умножаем (-3) на первую строку, из нее вычтем
вторую;
2) Умножаем (-2) на первую строку, из нее вычтем
третью;
3) Умножаем (-1) на первую строку, из нее вычтем
четвертую,
Получаем:
1 2 0 1 3


0 5 2 3 10 
0 5 2 3 10 


0 5 2 2 10 
1 2 0 1 3


0 5 2 3 10 
0 0 0 0 0 


0 0 0 0 0 
1)
2)
вторая строка минус третья строка
третья строка минус четвертая строка
убираем строки с нулями
Эта расширенная Матрица соответствует системе из двух уравнений с четырьмя
неизвестными, которая имеет бесчисленное множество решений.
15
14.
ОСНОВА МАТЕМАТИЧЕСКОГ АНАЛИЗА
Определитель предела последовательности и предела функции
Последовательностью называют бесконечную последовательность чисел, которую
можно получать по определенному закону или правилу.
n 1
n 1
11
 0;
n  1 a1 
11
n 1
lim an  lim
1
n 
n  n  1
an 
#1
#2
bn 
n 1
a2 
2 1 1 ;

2 1 3
b2 
1
1
 ;
2 1 3
n  3 a3  3  1  2  1
3 1
4
2
1
n 1
b1 
1
1
 ;
11 2
lim bn  lim
n 
n2
n 
n2
n3
1
0
n 1
Понятие предела функции
y  1( x )
#1
lim f ( x )  A
#2
y  f ( x)
x 0
16
lim f ( x)  2
x 3
b3 
1
1

3 1 4
lim f ( x )  A
#3
x 
y  A (асимпота)
y  f ( x) lim f ( x)  0
x 
#4
x  a  0 (предел слева); x  a  0 (предел справа)
#5
lim f ( x)  
xa 0
lim f ( x)  
x a  0
x  x2  a разрыв второго рода
#6
17
I. Предел функции на бесконечности
lim f ( x)  ?
x 
Пусть
f ( x) 
Pn( x)
, где n и m – степени многочленов.
Qm( x)
Pn( x)  anx n  an  1x n 1  .......a1 x  an;
Qm( x)  bmx m  bm  1x m 1  .......b1 x  b0 ;
f ( x)  7 x 2  6 x  1
mn  m 2u степени
x3  4

 
x  x5  x  1

lim

0
const
x3 4
1 4
 5
 5
5
2
x
x  lim 0  0
lim 5 x
 lim x
x  x
x 1 x 1  1  1 x 1
 
x 4 x5
x5 x5 x5
const
0

const

0
В этом случае делим числитель на знаменатель и знаменатель на наивысшую степень,
входящую в дробь.
2x2 x
3
1 3
 2 2
2  2
2
2 x2  x  3   
x
x  lim
x x  2 
lim
    lim x
x 
x 
x 9
1 9
x 9
0
   x 


x2 x2
x x2
x5 2
2
7 5 5
7 5
7 x5  2

70
7
 
x
x
x
lim 5
    lim 5
 lim
 lim

3
x  3 x  x 3  x
x  3 x
x 
x  3  0  0
1
1
x
x

3
 
3 2  4
 
x
x
x5 x5 x5
II. Предел функции к точке
lim f ( x)  ?
x x 0
1) f ( x)  Pn( x)
Qm( x)
x0 не корень Ðn( x ) и не корень Qm( x )
Pn( xo )  0 ; Qm( x0 )  0
а)
Тогда необходима непосредственная подстановка значения предела в функцию:
5x2  2 7
lim 2

x 1 3 x  1
2
18
x0 – корень числителя, но не корень знаменателя
Pn( x0 )  0 ; Qm( x0 )  0
б)
lim
x 
x3
33 6
 lim
 
x  3 x 3  3 0
x0
г)
– корень числителя и корень знаменателя
0
Qm( x0 )  0    – неопределенность
0
x3  x 2  x  3  0 
lim
    lim( x 2  2 x  3)  6
x 1
x 1
 0  x1
Pn  x0   0 ;
Разделим многочлен числителя на многочлен знаменателя по теореме Безу для
сокращения дроби.

x3  x 2  x  3 x  1
x3  x 2
x2  2 x  3
2x 2  x

2x  2 x
3x  3

3 x  ( 3)
0
Замечание: Иногда перед сокращением, целесообразно предварительно многочлен
разложить на множители, применяя способ группировки или формулы сокращенного
умножения.
#
(5 x  2) ( x 2  1)
5 x3  2 x 2  5 x  2
x2  1
0


lim

lim

 
4
3
2
2
0  x 2 (5 x  2) ( x3  x) x 2 x3  x
x 5x  2 x  5 x  2 x

5
5
5
lim
2
2
4
5
1
  1
29
125
145
5
 lim  3
 25
 

2
8
2
25 42
42
x  2 
2

5
  
125
5
5 5
Иногда удобнее внести замену переменных:
lim
x4
x x 6 
  x  t; x 
x  5 x  6  x 4
 lim
x2
(t  3) (t  2)
(t  2) ((t  3)
 x
x2
2

t2  t  6  0 
 t 2   lim 2
 
 x2 t  5t  6  0 
 t 2  t  6  lim
x 2
19
t 3 5

 5
t  3 1
t2  t  6  0
t 2  5t  6  0
t1  t2  1

t2  t1  6
t1  t2  5

t1  t2  6
2)
ax  bx  c  a( x  x1 )( x  x2 )
f ( x ) – дробь, содержащая иррациональное выражение (корни). Полезно
перевести иррациональность из числителя в знаменатель или наоборот, а затем после
преобразования, дробь сократить.
a  b  ( a )2  ( b )2  ( a  b )  ( a  b )
a  b  ( 3 a )3  ( 3 b )3  ( 3 a  3 b )( 3 a 2  3 ab  3 b 2 )
а) Иррациональность в знаменателе
lim
x 0
0
    lim
2
9  5 x  4 x  3  0  x 0
 lim
x 0
 lim
6x
6x

6x

9  5x  4x2  3
9  5x  4x2

 3
2
9  5x  4 x2  3
x(5  4 x)
x 0
6x

9  5x  4 x2  3
9  5x  4 x2  3
  lim 6 x 

  lim 6x 
9  5x  4x2  3
x 0
2
9  5x  4 x2  3
5  4x

9  5x  4 x2  3
9  5x  4 x  9
x 0
2



  36   1
5
5
б) Иррациональность в числителе
1  3x 4  1  2 x  0 
lim
    lim
x 0
x  x 2  2 x3
 0  x 0
 lim
x 0
 lim
x 0

1  3x 4  1  2 x
x 1  x  2 x
2


1  3x 4  1  2 x
1  3x  1  2 x
4
   1  2 x   lim 1  3x 1  2 x 
x 1  x  2 x   2
x 1  1  2 x   1  3 x  1  2 x 

1  3x 4
2
2
2
4
x 0
4
3x 4  2 x
3x 2  2
2
 lim
 1
2
x(1  x  2 x )  2 x0 2(1x  2 x 2 ) 2
20
2



в) Иррациональность и в числителе, и в знаменателе
1  x2  1
0
lim
    lim
2
x 0
x  4  2  0  x 0
1 


x2  1 1  x2  1
1 

x 1
2
x2  4  2
x 42
2


1  x  1 x  4  2  lim  x  x  4  2 
 lim
x 1  x  1 
1  x  1  x  4  4
  x  4  2  4
 lim

 2
2
1

x

1


2
x 0
2
2
2
x 0
2
2
2
2
2
x 0
2
3) Раскрытие неопределенности типа    и 0
При помощи алгебраический преобразований (приведения дробей к общему
знаменателю, освобождения от иррациональностей и т.д.), неопределенности всегда
сводятся к уже известным неопределенностям


и
0
0
а)
 4 2 x  x

1
12  
lim 

 
x2  2  x
8  x 3  



2
x2  2x  8  0
 x1  x2  2

 x1  x2  8
12
1

 ;
0
0
x1  4
x2  2
x 2  2 x  8  ( x  4)( x  2)
 x  4  x  2
4  2 x  x 2  12
2 x  x2  8
 lim
 lim

2
2
x 2 2  x

  4  2 x  x  x2  2  x   4  2 x  x  x2   x  2  4  2x  x2 
 lim
 lim
x 2
x4
6
1
 
12
2
  4  2 x  x2 
б)
lim
x 


x 2  3x  x 2  4 x        lim

x 2  3x  x 2  4 x
x 
21


x 2  3x  x 2  4 x
x  3x  x  4 x
2
2



lim
x 
lim
x 
x 2  3x


 
2
x2  4x
x 2  3x  x 2  4 x
x


2
 lim
x 

x 2  3x  x 2  4 x
x 2  3x  x 2  4 x

2
x 2  3x
 lim
x 
x 

  


  
x  3x  x  4 x
2
Разделим числитель и знаменатель на наивысшую степень
lim

x2
x2  4x

1
x  3x
x  4x

x2
x2
2
2
 lim
x 
x2
x 2  3x
x2
1
 lim
x 

1
x 
x
x
x2  4x

1

x2
3x
4x
 1 2
x2
x
1
 lim
x 
1
3
4
 1
x
x

1
2
Первый замечательный предел
ln  l  x 
1
x 0
x
sin x
tgx
 1 lim
1
x 0
x 0 x
x
lim
lim
sin u ( x)
1
x 
u
u ( x)  1
lim
sin  x  1
x 1  1
1
x 1
x
x x
x2
sin 2 x  sin
sin 2 x  2 x  sin 
2
4  lim
4 4  lim 2  1  1  lim x  1  1 1  1
lim
2
2
x 0
x 0
x 0 4 x
x
4x
2 4 x 0 x 2 2 4
8
2 x   4 x2
4
#
lim
x 1
#
lim
#
lim
x 0
x 1
tg 7 x
tg 7 x  7 x  3x 7
 lim

tg 3x x0 7 x  tg 3x  3x 3

  lim
tg x 2  1
x4 1
x 1


tg x 2  1



x2 1 x2  1
22
 lim
x 1
1
1

x2  1 2
x
2
1  0

Второй замечательный предел
x
1
I)
lim 1  x  x  e
II)
x 0
 1
lim 1    e
x 
 x
e – экспонента
#
5 
5 
 x3
 x223
 x2


lim 

  lim

  lim

  lim 1 
  1 
x  x  2
x2

 x 
 x  x  2 x  2  x  x  2 
x
x
x2


5  5 


 lim 1 
 x   x  2  


5x
x 2
 
5x
x  5
x 2 1 0

x x
5x
 e lim
 e5
x  x  2
e
y  ax
x
1
y 
2
1
0  1
2
#
1
x
 
lim 1  2   1
x 0

y  2 1
a 1
1


 lim 1  2 x  2 x 
x 0


2 x
1
x
 e lim
x 0
2x
 e2
x
e
ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
Функцией называется непрерывной, если в каждой своей точке из области
определения, данная функция будет иметь производную.
«секущая»
«касательная»
23
Производная Функция
Понятие «Производной Функции»
y  f  x  в точке x  0 называют предел отношения
прирощения Функции  y к прирощению аргумента
предел существует).
f x0  x 
x ,
когда
x  0 (если такой
y
f x0 
x0 x0  x
f '  x0   lim
x 
f '  x0  x   f  x0 
y
 lim
x x
x
ДИФФЕРЕНЦИАЛ
f ' x 
df  f '  x   dx
df
dx
МЕХАНИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ
Производную в технике можно считать скорость изменения материальной точки в
данный момент времени.
Необходимое и достаточное условие для существования производной.
y  x3
y '  3x 2
x0
y0
24
Точки максимума и точки минимума
называются экстрем.
Равенство нулю производной является достаточным, но не обходимым условием
возрастания.
Кроме того, встречаются исключения:
y   x
Здесь производной нет!
1.
ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ДИФФИРИНЦИРОВАНИЯ
Постоянную можно выносить за знак производной
c  const
 cu  '  c u  '
5x 
 5  x   5 1  5
x 
 nx n1
1
2.
n 1
1
Постоянная величина
3.
x 
7 1
 7 x6
 2, 71
 u  v  '  u ' v '
 2 x  x  '   2 x  '  x  '  2  3x
3
3
2
1
1

1
 8mx     sin  '   '  cos x  2
x
x

 x
4.
u  v  '  u ' v  uv '
1


 cos x  ln x  '   cos x  ' ln x  cos x   ln x  '   sin x  ln x  cos x  x
v 
 u
5.
 a  u ' v  uv '
 ' 
x2
v
u


 2 x 7  ln x   2 x 7  ln x  'cos x   2 x 7  ln x    cos x  '



cos 2 x
 cos x 
v


1
1


6
7
6
7
 2  7 x     2 x  ln x  sin x 14 x     2 x  ln x  sin
x
x




cos 2 x
cos x
25
6.
Производные от сложной функции
 f  u  x    '  f '  u  x    u  x 
e
tg 2 x  ln x
 etg
2
'  e
x  ln x
tg 2  ln x
  tg 2 x  ln x  '  etg
2
x  ln x
1

  2tgx   tgx  '  
x

1
1

  2tgx 
 
2
cos x x 



2




x

1
6
cos  7  2   ln 
 
 2e  
№1

№2
u


v
 x2  1 
2e x  x 2  1 
 sin  7 x 6  2  :  7 x 6  2  'ln 
 cos  7 x 6  2   2  

x 
x  1  2e x 
 2e 


 x2  1 
ln 2 
x 
 2e 
7.
 x2  1 
2e x 2 x  x 2  1
 sin  7 x 6  2   42 x5  ln 
 cos  7 x 6  2   2 
x 
x 1
2e x
 2e 

1

ln 2  x 2  x 
e 

_____________________
№1:
7x
№2:
2
x
2
x
 x 2  1   x  1 ' 2e   x  1  2e
'


x 
2x
4e
 2e 

6
 2  '  42 x 5  0
4 xe x  2e x  x 2  1
4e
2x

2 e x  2 x  x 2  1
2
4 ex 
2

2 x  x2 1
2e x
26
Экстремумы функции
Точка максимума
x0  S
x0  S
f  x0   f  x 
Точка x0 называется «точкой максимума», если дельта окрестности этой точки –
значение в точке f  x   значений функций из дельта окрестностей.
0
Точка минимума
x0  S
x0  S
f  x0   f  x 
27
Точка  x  называется точкой минимума, если в дельта окрестности точки
0
значение функции
 x0 
 x0  меньше остальных значений функции.
Понятие об асимптоте
Прямая y  kx  b называется асимптотой к кривой
y  f  x  , если расстояние от
точки М на кривой до этой прямой стремится к нулю, по мере удаления точки М в
бесконечность.
Виды асимптот:
1. Вертикальная
2. Горизонтальная
3. Наклонная
1.
#
f ( x) 
Вертикальная асимптота
x
x 3
lim f ( x)  
x 
x  3  x0   3
x  3 - вертикальная асимптота.
28
lim
x 3
x
3
3

 
x 3 33 0
2.
Горизонтальная асимптота
lim f  x   const
x 
f  x 
3x 2  4
x2 1
3x 2 4
4
 2
3 2
2
3x  4
x  lim 3  0  lim 3  3
lim 2
 lim x 2 x  lim
x  x  1
x  x
x 
1 x 1  0 x 1
1
1 2
 2
2
x
x
x
2
y  3 - горизонтальная асимптота
3.
Наклонная асимптота
f  x
x
1)
k  lim
2)
b  lim  f  x   kx 
x 
y  kx  b
x 
Сначала нужно найти k . Если хотя бы один из двух упомянутых выше
пределов не существует (или равен  ), то наклонной асимптоты при
x   (или x   ) не существует!
29
x2  2 x  1
x 1
2
f  x
x  2x 1
x2  2x  1
k  lim
 lim
 lim
1
x 
x  x  x  1
x 
x
x2  x
# Найти наклонную асимптоту
1)
2)
y  f  x 
 x2  2 x  1 
x 1
b  lim  f  x   1 x   lim 
    

x 
x 
 x 1 
2
2
 x  2x 1  x  x 
3x  1
 lim 
3
  lim
x 
x

x 1
x 1


y  kx  b
y  x3
 k 1


 b  3
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Задача Ньютона-Лейбница
Понятие неопределенного интеграла связано с понятием первообразной.
Найти первообразную – это значит «взять интеграл»
Интегрирование – это операция обратная дифференцированию.
Первообразной функцией для данной функции называется такая функция
производная которой равна исходной функции
30
f  x
F  x ,
F  x  f  x
dF  x   f  x  dx
Интеграл
функция
 x3
 1 2
2
  c'  x  0  x
3
3


x3
2
x
dx

c

3
f  x
F  x c
 f  x dx  F  x  c  - НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ интеграл
b
b
Sкр. р.   f  x dx  F  x  |  F  b   F  a 
a
a
S  S  x  S
31
# Найти интеграл
  2x
  2x
3
3
 5 x 2  7 x  3 dx
 5 x 2  7 x  3 dx   2 x 2 dx   5 x 2 dx   7 xdx   3dx 
x31
x 21
x11
2 x 4 5 x3 7 x 2
5
7
 3x  c 


 3x  c
3 1
2 1 11
4
3
2
2
2
1 

  x  3 x  dx 
________________________________________________________________
m
a  b
1
1
2
 a  2ab  b
2
2
n
am  a n
1
1
1
1
1
x  3 x  x2   x2   x
3
3
6
7
x6
x 6 6 76

 x
1
7 7
1
6
6
1
x
x
  3x 3
2
1
 1
3
3
________________________________________________________________
2
2

x
1
 x 3 | dx   xdx  2 x dx   x 3 dx 
6
x
7
1
2
x 26 6
1
12
 
x  3x 3  c  x 2  6 x 7  3 3 x  c
2
7
2
7
 x2 3
Интегрирование по частям
 udv  u  v   vdu
Замечание: при интегрировании по частям
 p  x  e
dx
dx
 p  x  sin axdx
 p  x  cos axdx
Где
p  x  - многочлен, u  p  x  , а dv  edx
32
dv  s max dx
dv  cos axdx
 p  x  sin x dx
dv  p  x  dx
u
 p  x  arc mxdx
 p  x  arccos dx
u  ln x
u  arcsin x
u  arccos
u
# Найти интеграл
1
 ln xdx  ln x  x   x  x dx  x ln x   dx  x ln x  x  c
Интегрируем по частям
fudv  uv  fvdu
u  ln x
1
du  dx
x
|
dv  dx
vx
# Найти интеграл
 x sin xdx   x cos x   socxdx
u
dv
________________________________________________________________
ux
du  dx
dv  sin xdx
________________________________________________________________
  dv   sin dx   cos x   x cos x  sin x  c
33
Нахождение площади криволинейной трапеции
Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной параболой
y  f  x 
1 2
x
2
и осью
x
(абсцисса)
x  1;
x2
1 2
1 x 21 2 1 x 2 x3 2 23 1'
8  1 8 1 9 3
x dx  
|   | 
|  
          1,5
2
2
2

1
1
2
3
1
6
1
6
6
6  6 6 6 6 2
1
3
2
S
f  x
Ответ:
F  x
Sкр. р.  1,5
34