1 Действия над матрицами. Определители. Обратные матрицы

НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«Смоленский институт бизнеса и предпринимательства»
Расчетное задание
по курсу
МАТЕМАТИКА
Линейная алгебра
Выполнил студент гр.
Проверил к.т.н., доц.
Прохоренкова А.Т.
2011 г.
1 Действия над матрицами. Определители. Обратные матрицы
Заданы матрицы A, B, C.
1. Вычислить определитель матрицы А методом диагоналей или треугольников.
Решение:
Используем метод диогоналей:
−5 1 8
А= { 3
0 3}
−2 −3 5
=
𝑎11
{𝑎21
𝑎31
𝑎12 𝑎13
𝑎22 𝑎23}
𝑎32 𝑎33
|A| = a11*a22*a33 + a12*a23*a31 + a13*a21*a32 - a13*a22*a31 - a11*a23*a32 - a12*a21*a33 =
= 0 + (-6) + (-72) – 0 – 45 – 15 = -138
Ответ: |A| = -138
2. Вычислить матрицу D, если D = А∙С - ВТ+3∙E.
Решение:
  5   3  1  0  8  5  5   3  1  2  8  4  5  2  1  7  8  0   55 49  3 

 

AC   3   3  0  0  3  5
3   3  0  2  3  4
3 2  0  7  3 0    6 3
6 
  2   3  3  0  5  5  2   3  3  2  5  4  2  2  3  7  5  0   31 20  25 

 

3 7
 1


BT    2  1 5 
  2  2 10 


1 0 0 3 0 0

 

3E  3 0 1 0    0 3 0 
0 0 1 0 0 3

 

2
3 7   3 0 0   57 46  10 
 55 49  3   1

 
 
 

D  AC  B  3E   6 3
6     2 1 5    0 3 0   8 7
1 
 31 20  25    2  2 10   0 0 3   33 22  32 

 
 
 

T
 57 46  10 


Ответ: D =  8 7
1 
 33 22  32 


3. Вычислить матрицу обратную матрице В.
Решение:
Определить матрицы B:
|В| = 1*(-1)*10 + (-2)*(-2)*7 + (-2)*3*5 – 7*(-1)*(-2) – 5*(-2)*1 – 10*3*(-2) = 44
1
3
7
Т
В = {−2 −1 5 }
−2 −2 10
Алгебраические дополнения
−1 5
В1,1 ={
}
−2 10
∆1,1 = (-1∙10-(-2∙5)) = 0
−2 5
В1,2 ={
}
−2 10
∆1,2 = -(-2∙10-(-2∙5)) = 10
−2 −1
В1,3 ={
}
−2 −2
∆1,3 = (-2∙(-2)-(-2∙(-1))) = 2
3
7
В2,1 ={
}
−2 10
∆2,1 = -(3∙10-(-2∙7)) = -44
1
7
В2,2 ={
}
−2 10
∆2,2 = (1∙10-(-2∙7)) = 24
1
3
В2,3 ={
}
−2 −2
∆2,3 = -(1∙(-2)-(-2∙3)) = -4
3 7
В3,1 ={
}
−1 5
∆3,1 = (3∙5-(-1∙7)) = 22
3
1 7
В3,2 ={
}
−2 5
∆3,2 = -(1∙5-(-2∙7)) = -19
1
3
В3,3 ={
}
−2 −1
∆3,3 = (1∙(-1)-(-2∙3)) = 5
Обратная матрица
0
10
2
−1 1
В = 44 {−44 24 −4}
22 −19 5
5
1
22
6
22
−1
1
11
−19
11
5
2
44
0
В−1 = −1
{
44 }
5
1
22
6
22
−1
1
11
−19
11
5
2
44
0
Ответ: В−1 =
−1
{
44 }
4
2.Решение систем линейных уравнений
Решить систему уравнений указанным методом
1. Матричный метод
Решение:
Представим систему в виде:
A*X = B
1 −2 1
А={2 −4 1}
1 −3 1
4
B = {5}
6
BT
= (4
5
𝑥
X = {𝑦 }
𝑧
6)
|A| = -4 + (-2) + (-6) – (-4) – (-3) – (-4) = -1, т.к. |A| ≠ 0, то матрица не вырожденная, значит
существует обратная матрица.
1
2
1
T
A = {−2 −4 −3}
1
1
1
Алгебраические дополнения
5






























































6
∆1,1 = (-4*1-1*(-3)) = -1
7






























































8
∆1,2 = -(-2*1-1*(-3)) = -1
9






























































10
∆1,3 = (-2*1-1*(-4)) = 2
11






























































12
∆2,1 = -(2*1-1*1) = -1
13






























































14
∆2,2 = (1*1-1*1) = 0
15






























































16
∆2,3 = -(1*1-1*2) = 1
17






























































18
∆3,1 = (2*(-3)-(-4*1)) = -2
19






























































20
∆3,2 = -(1*(-3)-(-2*1)) = 1
21






























































22
∆3,3 = (1*(-4)-(-2*2)) = 0
Обратная матрица
Error!
X = A-1 ∙ B
X=
(−1 ∗ 4)
|(−1 ∗ 4)
−1
(−2 ∗ 4)
1
+(−1 ∗ 5)
+(0 ∗ 5)
+(1 ∗ 5)
+(2 ∗ 6)
+(1 ∗ 6)|
+(0 ∗ 6)
Error!
XT = (-3,-2,3)
Ответ:
2.
Метод
x = -3; y = -2; z = 3
Крамера
Решение:
23






























































24
BT = (6,4,1)
|B|= -2∙(-3∙(-2)-(-2∙2))-2∙(1∙(-2)-(-2∙3))+1∙(1∙2-(-3∙3)) = -17 = -17
Заменяем 1-ый столбец матрицы А на вектор В:
25






























































26
определитель полученной матрицы:
∆1 = 6∙(-3∙(-2)-(-2∙2))-4∙(1∙(-2)-(-2∙3))+1∙(1∙2-(-3∙3)) = 55
55
x = −17
Заменяем 2-ый столбец матрицы А на вектор В:
27






























































28
определитель полученной матрицы:
∆2 = -2∙(4∙(-2)-1∙2)-2∙(6∙(-2)-1∙3)+1∙(6∙2-4∙3) = 50
50
y = −17
Заменяем 3-ый столбец матрицы А на вектор В:
29






























































30
определитель полученной матрицы:
∆3 = -2∙(-3∙1-(-2∙4))-2∙(1∙1-(-2∙6))+1∙(1∙4-(-3∙6)) = -14
−14
z= −17
Ответ:
3. Метод
55
x = − 17 ;
50
y = − 17;
z=
14
17
Гаусса
Решение:
31






























































32
Отнимаем 2-ую строку от 3-ей
33






























































34
Умножаем 2-ую строку на (3)
35






























































36
Отнимаем 1-ую строку от 2-ой
37






























































38
Умножаем 3-юю строку на (10). Добавляем 2-ую строку к 3-ей
39






























































40
Из 1-ой строки:
−28
1
z = 9 = -39
Из 2-ой строки:
-10y +9z = 12
-10y -28 = 12
40
y = −10 = -4
Из 3-ей строки:
3x -2y -3z = 3
28
3x +8 + 3 =3
3x = 3 – 8 3x = x=
43
3
−43
9
28
= -4
Ответ: x = -4
3
7
9
7
9
;
y = -4 ;
z = -3
1
9
3. Комплексные числа
Даны два комплексных числа в алгебраической форме Z1 и Z2.
Z1 = -2+2i
41
Z2 = 1-2i
Требуется:
1. Перевести оба числа в тригонометрическую форму
Z = a + b*i
Для Z1 : a= -2; b= 2
Для Z2 : a= 1; b= -2
| Z | a 2  b 2
| Z1 | (2) 2  2 2  8  2 2
| Z 2 | 12  (2) 2  5
tg 
1  Arctg
2


2
4
b
a
 2  Arctg
2
 Arctg  2 
1
Z | Z | cos   i sin  
Z 2  5 cos Arctg  2  i sin Arctg  2
  
  
Z1  2 2  cos    i sin    
 4 
  4
2. Вычислить
Z13
3
   
  3 
  
 3
z   8  cos    i sin       83  cos 
  i sin  
 4 
 4
  4 
   4
3
1
  3 

 3
   16 2  cos 
  i sin  

 4
  4 

2
2
  16  16i
 16 2  
i

2
2


3. Вычислить
3
Z2  3

Z2
Arctg  2  2k
Arctg  2  2k 

5 cos Arctg  2  i sin Arctg  2  6 5  cos
 i sin

3
3


Здесь k = 0,1,2;

т.к. корень 3-ей степени, т.е. при подстановке получается 3 решения.
4. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве
42

  

1. Дан параллелограмм АВСD, три вершины которого (А, В, С) заданы. Найти координату
четвертой вершины (вершины D) и острый угол параллелограмма
Вершина А
Вершина В
Вершина С
(-4,-3,5)
(2,-5,6)
(-2,3,-5)
Решение:
О- точка пересечения диагоналей, тогда О
- середина AC
Ее координаты:
x
42
 3
2
y
33
0
2
55
0
2
z
Найдем координаты точки D
2x
 3
2

х = -8
5 y
0
2

у=5
6z
0
2

z = -6

косинус угла между векторами l1 , l 2 , l3
соs 
l
l1  m1  l 2  m2  l 3  m3
2
1

 l 22  l 32 m12  m22  m32


и m1 , m2 , m3
 находится по формуле:

Найдем координаты векторов:


AD   4;8;11
AC  2;6;10
соs 
2   4  6  8  10   11
2 2  6 2   10
2
 42  82   112

150
 0.894
28140
Ответ: D (-8, 5, -6); соs  0.894
2. Определить эксцентриситет эллипса, если его большая ось втрое больше малой.
Решение:
43
а=3b
эксцентриситет  
c  a2  b2 

c
a
3b2  b 2
b 8
b 8
8 2 2


3b
3
3
Ответ:  
2 2
3
3. Записать уравнение перпендикуляра, опущенного из точки М на прямую. Координаты
точки М и уравнение прямой заданы.
Координаты
Уравнение плоскости
точки М
(-2,-4,5)
Решение:
Пусть направляющий вектор перпендикуляра m; n; l  и Ax; y; z  - точка пересечения
m  x  2

прямой и перпендикуляра, тогда n  y  4
l  z  5

Тогда 2m  n  2l  0
Получаем систему:
44

2  x  2   y  4  2  z  5   0

x  2 y  3


1
 2
y3 z4
 1  2

4

х  9

34

y  
9

22

z  9

Значит 
4
22

m  9  2  9

34
2

4 
n  
9
9

23
 22
l  9  5   9

Уравнение, перпендикуляра, опущенного из точки М на прямую:
x2
y4
z5


22 / 9 2 / 9  23 / 9
Ответ:

x2 y4 z5


22
2
 23
4 34 22
M ( ; ; )
9 9 9
x2 y4 z5


22
2
 23
45