Бюджетное образовательное учреждение
Чувашской Республики среднего профессионального образования
«Чебоксарский экономико-технологический колледж»
Министерства образования и молодежной политики
Чувашской Республики
Рабочая тетрадь по геометрии
(для студентов СПО 1 курса экономического и
технологического отделений)
Разработчик: Чернова Т.В.,
преподаватель математики.
г. Чебоксары 2014
Рецензия
Данное пособие полностью соответствует примерной учебной и рабочей программам.
Способствует самостоятельную работу студентов над освоением учебной дисциплины и
формирует практические умения.
Пособие является необходимым дополнением учебнику Л.С.Атанасяна и др. "Геометрия. 1011 классы" (издательство "Просвещение").
Основное назначение тетради - обеспечение решения задач студентами на занятиях и дома
после ознакомления с новым учебным материалом. Тетрадь окажется полезной и при
самостоятельном изучении материала учебника, например, если студент пропустил занятия изза болезни.
ОГЛАВЛЕНИЕ:
Прямые и плоскости в пространстве.
1. Аксиомы стереометрии
2. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Признак параллельности двух
прямых.
3. Признак скрещивающихся прямых.
4. Взаимное расположение двух плоскостей. Признак параллельности двух плоскостей.
5. Перпендикулярность прямой и плоскости. Признак перпендикулярности прямой и
плоскости.
6. Перпендикуляр и наклонная. Теорема о трех перпендикулярах.
7. Угол между прямой и плоскостью.
8. Двугранный угол. Угол между плоскостями. Перпендикулярность двух плоскостей.
Геометрические тела и поверхности.
1.Тело и его поверхность. Многогранники. Призма. Параллелепипед и его свойства.
2. Пирамида. Усеченная пирамида.
3. Правильные многогранники.
4. Поверхность тел вращения. Цилиндр.
5. Конус. Усеченный конус.
6. Шар и сфера.
Прямые и плоскости в пространстве.
1.Аксиомы стереометрии.
А1. Через любые три точки, ________________________________________________________,
проходит плоскость, и притом _________________________.
А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то______________________________________
лежат в этой плоскости.
А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют _____________________________,
на которой лежат ________________________________________ этих плоскостей.
А1
А3
А2
Вопрос. Три точки лежат в каждой из двух различных плоскостей. Можно ли утверждать,
что эти точки лежат на одной прямой?
Ответ. Да. Так как каждая точка принадлежит обеим плоскостям, то эти плоскости по
аксиоме ______ имеют __________________________________.
Tеорема 1. Через прямую и __________________________________ точку проходит
плоскость, и притом ___________________________.
Дано: прямая a, М ∉ .
Доказать:
а) через прямую а и точку M проходит плоскость;
б) такая плоскость единственная.
Доказательство.
а) Пусть  ∈ ,  ∈ . Точки _________________ не лежат на одной прямой,
поэтому через эти точки по________________________ проходит некоторая плоскость α. Так
как  ∈ ,  ∈ , то прямая а лежит в плоскости α_______. Итак, плоскость α проходит через
точку ______ и _______.
б) Допустим, что через прямую а и точку M проходит еще одна плоскость β. Тогда точки
_________ будут лежать и__________________ . Следовательно, по ________________
плоскости α и β __________________ . Таким образом, через точку _______ и ______
проходит_________________ плоскость. Теорема доказана.
Теорема 2. Через две ________________________ прямые проходит плоскость, и притом
_____________________ .
Дано: прямые a и b,  ∈ ,  ∈ .
Доказать:
а) через прямые a и b проходит плоскость;
б) такая плоскость единственная.
Доказательство.
а) Пусть  ∈ , причем H и M - ____________________ точки, тогда по
___________________ через прямую a и точку H проходит плоскость . Так как две точки ____
и ____ прямой b лежат в плоскости α, то по _______________ прямая b ___________________.
Итак, через прямые a и b проходит ______________________.
б) Допустим, что через прямые a и b проходит еще одна ______________ β. Тогда точка
______ и _______________ лежат в этой плоскости, поэтому, согласно ___________________ ,
плоскости α и β _______________ . Таким образом, через пересекающиеся прямые ____ и ____
проходит ____________ плоскость. Теорема доказана.
Задачи:
№1. На рисунке изображен куб. Назовите:
а) плоскости, в которых лежат прямые NE, MN, TP, PM;
б) точки пересечения прямой MN с плоскостью DCC1,
прямой СЕ с плоскостью ABD, прямой РМ с плоскостью
ВСС1;
в) прямые, по которым пересекаются плоскости АBС и
В1C1N, AlBlCl и CDE;
г) точки пересечения прямых АР и ЕС1, DE и B1C1, AT и
A1D1.
Ответ.
а) Прямая NE лежит в плоскости DСС1, прямая MN лежит в
плоскости _______, прямая TP лежит в плоскости _______ прямая РМ лежит в плоскости
________.
б) прямая MN пересекает плоскость DCC1 в точке ______, прямая СЕ пересекает плоскость ABD
в точке ______, прямая РМ пересекает плоскость ВCC1 в точке _____.
в) плоскости AВС и В1C1N1 пересекаются по прямой _____, плоскости А1В1C1 и CDE
пересекаются по прямой _____.
г) прямые АР и EC1 пересекаются в точке ______, прямые DE и В1С1 пересекаются в точке _____,
прямые AT и A1D1 пересекаются в точке ______.
№2. Две смежные вершины и точка пересечения диагоналей параллелограмма лежат в
плоскости . Лежат ли две другие вершины параллелограмма
в плоскости ? Ответ обоснуйте (задача 9 учебника).
Решение. Пусть смежные вершины В и C и точка О
пересечения диагоналей параллелограмма ABCD лежат в
плоскости . Тогда по аксиоме ______ прямые ______ и
______ лежат в плоскости , и так как  ∈ ,  ∈ , то
точки __________________________________________ .
Ответ. ______
№3. Точки M, N, P и Q не лежат в одной плоскости. Могут ли прямые MQ и NP пересекаться?
Ответ. ______. Если бы прямые MQ и NP пересекались, то, согласно ____________, эти
прямые лежали бы в _______ плоскости, а поэтому точки _______________ также лежали бы в
этой плоскости, что противоречит _____________.
2.Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Признак
параллельности двух прямых.
Лемма. Если одна из двух __________________________ прямых пересекает данную
плоскость, то и _______________________________________ эту плоскость.
Дано:  ∥ ,  - точка пересечения прямой a и плоскости .
Доказать: прямая b __________________________
Доказательство: Пусть  – плоскость, в которой лежат
параллельные прямые a и b. Так как  ∈ ,  ∈ , то
__________________________ плоскости  и  пересекаются
по
некоторой
прямой
p,
проходящей
через
___________________. Таким образом, в плоскости  прямая p
пересекает прямую a в точке ______ , а потому она
__________________ и параллельную ей ____________ в
некоторой точке N, причем точка  ∈ , так как _________ . Итак, N – общая точка прямой ____
и плоскости ____. Других общих точек с плоскостью  прямая b не имеет. Действительно, если
предположить, что прямая b ______________________________________ еще одну
_______________________, то, согласно _____________________, прямая b будет целиком
лежать в __________________ _, а значит, будет общей прямой _________________________ и
потому совпадает _____________. Но это невозможно, так как по условию  ∥ , а прямые a и p
____________________________. Лемма доказана.
Теорема (о трех параллельных прямых). Если две прямые параллельны третьей, то они
____________________________.
Дано:  ∥ ,  ∥ .
Доказать: _______
Доказательство. Нужно доказать, что прямые a и b:
1) Лежат в одной _____________________.
2) Не _______________________________.
1) Пусть K – какая-нибудь точка на прямой b. Плоскость,
проходящую через прямую a и точку K, обозначим буквой . Прямая b лежит в
плоскости , то, согласно лемме ________________________________________________
___________________________________, прямая c также будет пересекать плоскость .
Но  ∥ , поэтому и прямая a будет _____________________________________________,
что невозможно, так как прямая a лежит в _________________________. Итак, прямые a
и b лежат в одной плоскости.
2) Прямые a и b не пересекаются, так как в противном случае через точку их пересечения
проходили бы ___________________________________, параллельные _______________,
что невозможно. Итак,  ∥ . Теорема доказана.
Задачи:
№4. Точка D не лежит в плоскости ABC, точки E, F, G, K – середины отрезков AD, DC, BC и AB.
а) Докажите, что точки E, F, G, K лежат в одной плоскости.
б) Найдите периметр четырехугольника EFGK, если AC = 18
см, BD = 24 см.
Решение. а) EF – средняя линия треугольника __________,
поэтому  ∥ _____ и EF = ______; KG – средняя
_________________________ и потому _______________.
Следовательно,  ∥ _____, т.е. точки E, F, G, K лежат на
параллельных прямых, а значит, лежат в одной
__________________.
б) Четырехугольник EFGK – параллелограмм, так как ________________________, причем
EF = ____________, EK = _______________, а потому  =____________________________.
Ответ. б) ____________
№5. Сторона AB треугольника ABC лежит в плоскости , а
вершина  ∉ , точки M и N – середины сторон AC и BC.
Докажите, что прямая  ∥ .
Доказательство.
Так
как
MN
–
средняя линия
________________, то  ∥ , а потому, согласно
_________________________________,  ∥ .
№6. Сторона AC треугольника ABC параллельна плоскости , а
стороны AB и BC пересекаются с этой плоскостью в точках M и N.
Докажите что треугольники ABC и MBN подобны (задача 26
учебника).
Доказательство. На рисунке плоскость ABC проходит через прямую
________, параллельную плоскости , и пересекает ее по
________________, следовательно, __________, а потому ___________.
3.Признак скрещивающихся прямых.
Теорема (признак скрещивающихся прямых). Если одна из двух прямых лежит в
некоторой плоскости, а другая прямая _____________________________, в точке, _________
____________________________________, то эти прямые скрещивающиеся.
Дано: прямая AB лежит в плоскости , прямая CD пересекает
плоскость ,  ∈ ,  ∉ .
Доказать: прямые AB и СВ - _______________________________
Доказательство. Допустим, что прямые AB и CD не
____________________. Тогда они будут лежать в некоторой
________________ β. Так как в этой плоскости будут лежать
прямая AB и C, то плоскость
β совпадает с
________________________, а значит, прямая CD _______________
__________________________________________, что противоречит _______________________ .
Теорема доказана.
Задачи:
№7. На рисунке изображен куб. Докажите, что прямые:
а) AA1 и B1C1;
б) A1D1 и DC;
в) AC и BD1 являются скрещивающимися.
Доказательство.
А) Прямая B1C1 лежит в плоскости B1C1D1, а прямая AA1
пересекает эту плоскость __________________ , причем 1 ∉
1 1 , так как ________________________ , поэтому, согласно
____________________________________, прямые AA1 и 1 1
являются _________________________________.
б) ________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
в) ________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
№8. Прямые MN и PQ скрещивающиеся. Докажите, что
прямые MQ и NP также скрещивающиеся.
Доказательство. Допустим, что прямые MQ и NP не ______
______________________________. Тогда они лежат в
некоторой плоскости β. Так как  ∈ ,  ∈  и  ∈ ,  ∈ ,
то, согласно ____________________, прямые ___________
также будут ______________________ . Но это противоречит
условию. Значит, прямые MQ и NP _____________________ .
4.Взаимное расположение двух плоскостей. Признак параллельности двух
плоскостей.
Теорема (признак параллельности двух плоскостей). Если две пересекающиеся прямые
одной плоскости _____________________________________________ двум прямым другой
плоскости, то эти плоскости __________________________.
Дано:  ∩  = ; , 
1 , 1 ∈ ;  ∥ 1 ,  ∥ 1.
Доказать:  ∥ .
Доказательство. Заметим, что  ∥ ,  ∥  по признаку _______
__________________________________________. Теперь
допусти, что плоскости α и β не __________________________, а
пересекаются по ___________________________________ c.
Тогда плоскость α проходит через прямую a, параллельную
плоскости _______ , и пересекает плоскость β по прямой c.
Следовательно,  ∥ . Но плоскость α проходит и ____________
_________________________________________________________________________________ ,
следовательно,  ∥ . Таким образом, через точку M проходят две прямые ________ ,
параллельные прямой _____ . Но это невозможно, так как по ______________________________
_______________________________ через точку M ______________________________________
____________________________ . Значит, наше допущение неверно и  ∥ . Теорема доказана.
Задачи:
№9. Две стороны треугольника параллельны плоскости α. Докажите, что и третья сторона
параллельна плоскости α (задача 52 учебника).
Доказательство. Пусть стороны AB и АС треугольника ABC параллельны плоскости α. Докажем, что и третья сторона ВС
параллельна плоскости α. Так как АВ ║ α, то, в плоскости α
существует некоторая прямая А1В1 ║АВ. Аналогично
существует прямая А1С1 плоскости α, параллельная прямой
AC. Итак, две пересекающиеся прямые АВ и АС плоскости
ABC параллельны двум прямым А1В1 и А1С1 плоскости α,
следовательно, _______________________________________
_______________________________________, эти плоскости
____________________________ , а потому прямая BC
__________________________ плоскости α.
№10.
Точка F не лежит в плоскости треугольника MNP, точки E, K и T лежат на



2
отрезках FM, FN и FP, причем  =  =  = 3.
а) Докажите, что плоскости EKT и MNP параллельны.
б) Найдите площадь треугольника MNP, если площадь треугольника EKT
равна 36 см2.
Решение.
а) ∆~_______, так как _______________________________________,
поэтому EK║_______ и EK = ___________. Аналогично ∆~________,
так как _______________________________________________, поэтому
KT ║ _______ и KT = ____________
Итак, пересекающиеся прямые EK и KT плоскости EKT соответственно ____________________
________________________________________________ плоскости MNP, следовательно, эти
плоскости ________________________________________
б) ∆~___________, так как _______________________________________________________
_________________________________, и коэффициент подобия k равен _______. Поэтому
 :  =_________ =_________, откуда  =______________ = ________________
Ответ. б) ____________
№11. На рисунке параллельные плоскости α и β пересечены прямыми
MN и MF, P1, P2 и Q1, Q2 – точки пересечения прямых с плоскостями α
и β. Найдите P1P2, если MP1:MQ1=3:4 и Q1Q2 =72 см.
Решение. 1) Пересекающиеся прямые MN и MF задают некоторую
________________ . P1 и P2 – общие точки плоскостей α и , поэтому
прямая P1P2 - _______________________________, поэтому прямая
Q1Q2 - __________________
Итак, параллельные плоскости α и β пересечены плоскостью ,
поэтому, согласно _________
________________________________________________, линии их
пересечения ______________ ________________, т.е. P1P2║ ______________
2) ∆1 2 ~__________, так как ______________, следовательно, 1 : 1 = 1 2 : _______,
1 2 =_____________ = ______________
Ответ. __________
5.Перпендикулярность прямой и плоскости. Признак перпендикулярности
прямой и плоскости.
Теорема (признак перпендикулярности прямой и плоскости): Если прямая
перпендикулярна к двум _________________________ прямым, ________________________
__________________________________________, то она ________________________________
__________________________________
Дано:  ⊥ ,  ⊥ , прямые p и q лежат в плоскости α и пересекаются в точке O (рис. а).
Доказать:  ⊥ .
Доказательство. Для доказательства перпендикулярности прямой a и плоскости α надо
доказать, что  ⊥ , где m - __________________________________________________________
Рассмотрим два случая.
1)Пусть  ∈ ,  ∥  и  ∈ , прямая n пересекает прямые p, q и l в точках P, Q, L, OA = OB
(рис.б). Так как прямые p и q – серединные __________________________________________
____________________________, то AP = __________ и AQ = _________, и, следовательно,
∆ = ∆ по ____________________________________. Поэтому ∠ =____________.
Далее ∆ = ∆ по ____________________________________________________________
________________________________________________________________________, поэтому
AL= ______, а это означает, что ∆ −___________________________________ и его медиана
LO является __________________, т.е.  ⊥  или  ⊥____. Так как  ∥  и  ⊥  , то по лемме
_________________________________________________________________________________
 ⊥ ______. Таким образом, прямая a перпендикулярна к любой прямой плоскости α, а это
означает, что ____________
2)Пусть  ∉  (рис.в). Проведем 1 ∥ ,  ∈ 1. Тогда 1 ⊥  и 1 ⊥  по лемме _________
_________________________________________________________________________________
__________________________________________ и, следовательно, 1 ⊥  согласно _________
_________________________________. Итак, одна из параллельных прямых a и a1
перпендикулярна ____________________________, поэтому и вторая прямая _______________
_________________________________________________, т.е.  ⊥ _______. Теорема доказана.
№12. Через точку O пересечения диагоналей ромба ABCD проведена прямая OM,
перпендикулярная к плоскости ромба, причем OM = 6 см, AC = 16 см, BD = 4√3 см. Найдите:
а) расстояние от точки M до вершин ромба;
б) расстояние от точки M до стороны DC.
Решение. а) Четырехугольник ABCD – ромб, а отрезки AC и BD – его диагонали,
пересекающиеся в точке O, поэтому OA = _____, OB = _____. Так
как  ⊥ , то  ⊥____ и  ⊥_____. В треугольниках AMC
и BMD медиана MO является и _______________, поэтому эти
треугольники __________________________, т.е.
____________________________________. Из прямоугольного
треугольника AOM с катетами 6 см и 8 см имеем: MA = _______. Из
прямоугольного треугольника BOM находим: MB =
________________________ см.
Итак, MA = MC = ________, MB = MD = ________
б) В треугольнике DMC проведем  ⊥  и рассмотрим плоскость MOP. Прямая DC
перпендикулярна к двум пересекающимся прямым _______ и _______ этой плоскости,
следовательно, по _________________________________________________________________
________________  ⊥ _________, а потому перпендикулярна к любой прямой, лежащей в
этой плоскости, в частности  ⊥ . ∆ прямоугольный, так как ______________________,
OP – его высота, поэтому  =
∙

=_______________ = _______________
Ответ. а) _______________; б) ______________
№13. На рисунке  ⊥ ,  ⊥ . Докажите, что линия пересечения плоскостей AFC и
BMC параллельна прямым AF и BM.
Доказательство. Так как  ⊥  и  ⊥ , то AF║________, и, следовательно,
AF║BMC по _______________________________________
_________________ . Плоскость AFC проходит через прямую
AF, параллельную плоскости ________, и пересекает эту
плоскость. Следовательно, линия пересечения плоскостей
_______________ параллельна прямой _______. А так как
AF║BM, то по ___________________________________
___________________________ прямая BM также параллельна
_______________________________________________________
____________________.
№14. Четырехугольник ABCD – квадрат, O – точка пересечения его диагоналей,  ⊥ .
Докажите, что:
а)  ⊥  и  ⊥ ;
б)  ⊥  и  ⊥ .
Доказательство. Четырехугольник ABCD – квадрат, поэтому
 ⊥________. По условию  ⊥ , следовательно,
 ⊥________ и  ⊥________
а) Рассмотрим плоскость AMC. Прямая BD перпендикулярна к
двум пересекающимся прямым ________________ этой
плоскости, следовательно по ____________________________
________________________________________________ BD⊥_______, а потому прямая BD
перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости, в частности BD⊥______ и
BD⊥_____
б) Рассмотрим плоскость BMD. ___________________________________________________
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________
№15. В тетраэдре MABC AB = AC, MB = MC. Докажите, что  ⊥ .
Доказательство. По условию треугольники BAC и BMC - _______________________ с общим
___________________________, поэтому их медианы AH и MH,
проведенные к _____________ __________________, являются
________________________, т.е.  ⊥______ и _____________
Рассмотрим плоскость AMH. Так как  ⊥  и  ⊥______, то
по _________________________________________________
______________  ⊥ , а потому прямая BC перпендикулярна
к любой _______________________________________________
_______, в частности  ⊥ _______
№16. Дан куб ABCDA1B1C1D1. Докажите, что диагональ куба
B1D перпендикулярна к диагонали AC его основания.
Доказательство. Так как грани AA1B1B и BB1C1C – квадраты, то
1  ⊥  и 1  ⊥ . Следовательно, 1  ⊥  по
______________________________________________________.
Рассмотрим плоскость 1 . Поскольку  ⊥ , так как
_______________________________, и  ⊥ 1 , так как
_______________________, то  ⊥ __________ по
_____________________________________________________
__________________________, а потому  ⊥_____________
6.Перпендикуляр и наклонная. Теорема о трех перпендикулярах.
№17. Концы отрезка отстоят от плоскости α на расстояниях 1 см и 4 см. Найдите расстояние
от середины отрезка до плоскости α (задача 142 учебника).
Решение. Рассмотрим два случая:
1) концы отрезка находятся по одну сторону от плоскости α;
2) концы отрезка находятся по разные стороны от плоскости α.
1) Пусть отрезок AB расположен по одну сторону от плоскости α (см.рис.a), 1 ⊥ , 1 =
1 см, 1 ⊥ , 1 = 4 см. Так как 1 ⊥  и 1 ⊥ , то 1 ∥ ______, и поэтому
четырехугольник A1ABB1 - ____________. Проведем в ней среднюю линию PP1, тогда
PP1║_______, PP1║_______, и так как 1 ⊥ , то и PP1 ⊥ _______. Следовательно, длина
1
отрезка PP1 и есть искомое расстояние от середины отрезка AB до плоскости α, 1 = 2
____________________ = ____________________=________ см.
2) Пусть концы отрезка AB расположены по разные стороны от плоскости α (см.рис.б) и
пусть AA1 и BB1 – перпендикулярны к плоскости α, 1 = 1 см, 1 = 4 см. Так как 1 ⊥  и
1 ⊥ , то 1 ∥ ______, и прямые AA1, BB1, A1B1 лежат в одной ____________________.
Проведем через точку P – середину отрезка AB – прямую, параллельную B1B. Тогда по _____
_____________________________________________ точки P1 и F пересечения этой прямой с
прямыми A1B1 и A1B будут серединами отрезков ________ и _________, а отрезки P1F и PF –
средними _______________________________________________________________________.
P1P = P1F - ________ = ____________________=________ см.
Ответ. _________ см или ________ см.
№18. Расстояние от точки M до каждой вершин правильного треугольника ABC равно 4 см.
Найдите расстояние от точки M до плоскости ABC, если AB = 6 см (задача 143 учебника).
Решение. Пусть MO – перпендикуляр к плоскости ABC, тогда расстояние от точки M до
плоскости α равно ______. Так как  ⊥ , то  ⊥ ,  ⊥
______,  ⊥_____. ∆ =
=_______________=_______________ по _____________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
___________________________________________________
____ _________________________________, следовательно,
OA = OB = OC, т.е. точка O равноудалена от
______________________________ ___________________ и,
значит, является центром этого треугольника. Поэтому AO = ________ =
____________________= ____________(см), и из прямоугольного треугольника AMO находим:
MO = _______________ = _______________(см) = ______ см.
Ответ. ______ см.
№19. Через вершину A прямоугольного треугольника ABC с
прямым углом C проведена прямая AD, перпендикулярная к
плоскости треугольника. Докажите, что треугольник CBD
прямоугольный (задача 145 а учебника).
Доказательство. Из точки D к плоскости ABC проведены
перпендикуляр _____ и наклонная ______. Прямая BC лежит в
плоскости ABC и перпендикулярна к проекции ______
наклонной ______ на эту плоскость, поэтому, согласно
______________________________________________________________,  ⊥ , т.е.
треугольник CBD ____________________________________
№20. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1 основанием которого является ромб ABCD, а
боковое ребро перпендикулярно к плоскости основания. Докажите, что диагональ B1D
параллелепипеда перпендикулярна к диагонали AC его основания.
Доказательство. 1 ⊥  _______________________,
диагональ AC лежит в плоскости ABC,  ⊥ , так как
_________________________________________________
__________________________________. Следовательно,
согласно теореме ___________________________,  ⊥
_________
7.Угол между прямой и плоскостью.
№21. Из точки M к плоскости α проведены перпендикуляр MO и две наклонные MA и MB,
которые образуют со своими проекциями на эту плоскость ∠ = 450 , ∠ = 300 , угол
между наклонными равен 900.
Найдите расстояние между основаниями наклонных, если проекция наклонной MA равна √3
см.
Решение.  ⊥ , поэтому  ⊥_______ и  ⊥ _______. ∆
прямоугольный и равнобедренный: ∠ =______, ∠ =
∠____=______, AO = ______, следовательно, MO = _____, AM =
_______. ∆ прямоугольный: ∠ =_____, ∠ =____, MO = ____,
поэтому MB=2___= ____ см.
∆ прямоугольный: ∠ =_______, AM = ________, BM =
________, поэтому AB = _________________ = ______________=
________ см.
Ответ. ________ см.
№22. Через точку A, удаленную от плоскости α на расстояние
√3 см, проведена прямая, пересекающая плоскость α в точке B.
Найдите угол между прямой AB и плоскостью α, если AB = 2 см.
Решение. Пусть отрезок AO – перпендикуляр к плоскости α.
Тогда AO = ____________, прямая OB – проекция ____________
________________________, а угол между прямой AB и
плоскостью α равен ∠________. Из прямоугольного
треугольника AOB находим: ∠ = ________=________,
следовательно, ∠ =________
Ответ. ________
№23. В прямоугольном треугольнике ABC ∠ = 900 ,  = 4√3 см. Точка P не лежит в
плоскости ABC и удалена от каждой вершины треугольника на расстояние 4√3 см. Найдите
угол между прямой PC и плоскостью ABC.
Решение. Пусть PO – перпендикуляр к плоскости ABC. Поскольку отрезки PA, PB, PC –
равные наклонные, проведенные из _______________ к _________________________________,
то их проекции тоже ____________, т.е. OA = _________=_________, а потому точка O – центр
окружности, ______________________________________________________________________.
Следовательно, точка O – середина ________________________. Так как AB = ____________, то
1
 = 2 ______=______ см.
Искомый угол  между прямой ______ и плоскостью
______ есть угол между ________________________________
___________________________________, т.е.  = ∠ ________.
∆ прямоугольный, так как _____________________, PC =
____________, CO = __________ см, поэтому  =________
= __________ = _________. Отсюда получаем, что  =______
Ответ. ______
8.Двугранный угол. Угол между плоскостями. Перпендикулярность двух
плоскостей.
№24. К плоскости равнобедренного прямоугольного треугольника ABC с гипотенузой  =
12√3 см проведен перпендикуляр DC, равный 18 см. Найдите угол между плоскостями DAB и
CAB.
Решение. Треугольники ABC и ADB равнобедренные:
∆_______________________, а в ∆ DA = _______,
так как эти стороны - ______________________________
_____________ __________________________. Поэтому
медианы CF и DF этих треугольников, проведенные из
вершин C и D к общему основанию ________, являются
__________________, и, следовательно, ∠ - линейный
угол _____________________________________________,
а значит, угол между плоскостями DAB и CAB равен
1
∠______. ∆ прямоугольный, DC=_____,  = 2
______=______ см и поэтому ∠ =______ = ______ = ______, откуда ∠ = ____
Ответ. ______
№25. Катет AC прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C лежит в плоскости α, а
угол между плоскостями α и ABC равен 600. Найдите расстояние от точки B до плоскости α,
если AC = 5 см, AB = 13 см (задача 172 учебника).
Решение. Проведем перпендикуляр BO к плоскости α. Отрезок BC – наклонная к _________
________________________, отрезок OC – проекция наклонной ______ на __________________,
а прямая AC, лежащая в плоскости α, перпендикулярна к
наклонной BC. Следовательно, согласно _____________
________________________________________________
_____________,  ⊥ . Таким образом, ∠ линейный угол двугранного угла между плоскостями α и
ABC, и, значит, ∠ =________
∆ прямоугольный: ∠ =______, AC = ________,
AB = _________, поэтому BC = _________
∆ прямоугольный: ∠ =______, ∠ = ______,
BC = _________, следовательно BO = _____________ см
= ____________ см = ______ см.
Ответ. ______ см.
№26. Через сторону AD ромба ABCD проведена плоскость ADM так, что двугранный угол
BADM равен 600. Найдите сторону ромба, если ∠ = 450 и расстояние от точки B до
плоскости ADM равно 4√3 (задача 176 учебника).
Решение. Проведем перпендикуляр BP к плоскости ADM.
Искомое расстояние от точки B до плоскости ADM равно BP.
Проведем высоту ромба BE . Тогда получим, что из точки B к
плоскости ADM проведены перпендикуляр ______ и
наклонная ______
Следовательно, отрезок PE – проекция _________________
__________ на ________________
Прямая AD, лежащая в плоскости ADM, перпендикулярна
к наклонной BE, а потому, согласно _____________________
_____________________________________________________,  ⊥______, и ∠ - линейный
угол ________________________________________________, т.е. ∠ =________
∆ прямоугольный, так как _______________________________, причем ∠ =_____ ,
BP = _________, поэтому BE = _________________________ = _________________ = _________
∆ прямоугольный: ∠ = _______, ∠ =______, BE = __________, следовательно, AB =
________________ = __________
Ответ. ____________
№27. Найдите измерения прямоугольного параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 если его диагональ
ВD1 =24 см и составляет с плоскостью грани DAA 1 , угол в 450 , а с ребром DD1, — угол в 600 .
Р е ш е н и е. Все грани прямоугольного параллелепипеда — ____________________,
п оэтому BA ⊥ _______ , ВА ⊥ ______, и, следовательно, BA ⊥
DAA 1 . Прямая BD 1 пересекает плоскость DAA 1 в точке
________ , а прямая AD 1 — проекция____ на эту плоскость,
поэтому ∠1  =____. Из прямоугольного треугольника
1 , в котором ∠ =_________, D 1 B = __________ и
∠1 =______, находим: AB = AD 1 = _______=________
см. Из прямоугольного треугольника BD 1 D, в котором
∠ =_______, BD 1 = ____, ∠1 =___ по условию,
1
получаем 1  = 2______= ______ см. Из треугольника
AD 1 D, в котором ∠ =______, AD 1 =__________,
DD 1 =______, находим: AD = ______ см.
О т в е т . _______________
Геометрические тела и поверхности.
1.Тело и его поверхность. Многогранники. Призма. Параллелепипед и его
свойства.
№28. Сколько граней, ребер, вершин и диагоналей у каждого из изображенных на рисунке
многогранников?
Решение.
а)Тетраэдр DABC составлен из ___________ граней. Он имеет ___________ ребер и _______
вершины. Диагональю многогранника называется ______________, соединяющий две _______
_______, не принадлежащие _____________________. У тетраэдра любые две вершины _______
_____________________ одной грани, следовательно, у него ______________ диагоналей.
б) ________________________________ ABCDA1B1C1D1 составлен из ____________ граней.
Он имеет __________ ребер, _______ вершин и _______ диагонали (AC1, _________________).
в) __________________________ NABCDS имеет ___________________________________
_____________ и _____________ диагонали (AC, ________________ ).
№29. Заполните пропуски в предположении:
В выпуклом многограннике сумма всех __________________ углов при __________________
его вершине __________________ 3600.
№30. Какой из данных многогранников является призмой?
Решение. а) Грани ABCD и A1B1C1D1 многогранника ____________________________ равны
и расположены в параллельных ______________________________. Остальные ________ грани
– параллелограммы. Следовательно, __________________________ ABCDA1B1C1D1 __________
____________ призмой.
б) Грань KK1M1M многогранника ________________________ не является _______________
________________________. Следовательно, этот многогранник _________________________
призмой.
в) У многогранника ABCD нет граней, расположенных в ______________________________
плоскостях. Следовательно, этот многогранник _________________________________ призмой.
г) Грани ABC и A1B1C1 ________________________ ABCA1B1C1 – равные ________________,
расположенные в ________________________ плоскостях. Остальные ________ грани являются
________________________________________. Следовательно, многогранник ABCA1B1C1 _____
_______________________________ призмой.
№31. Высота призмы равна 5 см. Чему равно расстояние между плоскостями оснований
призмы?
Решение. Основания призмы расположены в _____________________________ плоскостях, а
расстоянием между параллельными плоскостями называется ____________________ от
произвольной _____________________ одной из параллельных ___________________ до другой
плоскости.
Расстоянием от данной точки до плоскости называется длина ____________________,
проведенного из этой ____________ к данной _________________
Поскольку высота призмы называется ______________________, проведенный из какойнибудь точки одного _______________________ к плоскости другого _________________, то
длина высоты и есть искомое _________________________ между плоскостями оснований
________________
Ответ. ____ см.
№32.
Докажите, что все боковые грани прямой призмы являются прямоугольниками.
Доказательство.
1) Прямой призмой называется ____________ , боковые ребра которой ______________
к основаниям. Но если прямая перпендикулярна к плоскости, то по определению она
_____________ к любой прямой, лежащей в этой _________________. Следовательно, боковые
ребра прямой призмы ________________________________ к сторонам основания.
2)Каждая боковая грань призмы является _________________________,
а параллелограмм, смежные стороны которого взаимно перпендикулярны, является
____________________. Следовательно, все боковые грани прямой призмы — ____, что
и требовалось доказать.
№33.
№34. Диагональ AC основания прямой призмы ABCDA1B1C1D1 равна 6 см, а высота призмы
равна 6√3 см. Найдите угол наклона диагонали A1C к плоскости основания.
Решение. 1) Из определения прямой призмы следует, что ее боковое ребро ______________
_______________________ к плоскости _______________________ и равно высоте __________,
т.е. AA1 = 6√3 см.
2)Поскольку прямая AA1 ____________________________ к
плоскости ABC, то прямая AC является ____________________
прямой A1C на плоскость ABC, и, следовательно, угол наклона
________________ A1C к плоскости ABC равен углу ___________
3)Поскольку прямая AA1 ________________________ к плоскости
ABC, то AA1________ AC (по определению прямой,
___________________________ к плоскости). Из прямоугольного
треугольника A1AC получаем: ∠1  = 1 :
_________=_________:________=_______. Следовательно, ∠1  =__________
Ответ. __________
2.Пирамида. Усеченная пирамида.
№35. Основание пирамиды – прямоугольник ABCD, AB = 18 м, BC = 10 м, высота пирамиды
проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 12 м. Найдите площадь
полной поверхности пирамиды.
Решение. 1) Площадь полной поверхности пирамиды вычисляется по формуле
полн =__________+__________. Так как основание пирамиды - _________________________ со
сторонами 10 м и __________, то осн =_____*_____=_________ (м2 ).
2)Чтобы найти площадь боковой ____________________ пирамиды, вычислим площади ее
_______________ граней.
В прямоугольнике ABCD AC ____BD, диагонали
___________________ в точке O, поэтому AO = BO =_____=_____.
Отрезок MO – высота пирамиды, значит, MO ____________________ к плоскости основания, и отрезки AO, BO,
_____, DO – проекция наклонных AM, _____, _____, _____ и
_____ на плоскость основания. Следовательно, AM = BM = _____
= _____ и ∆ = ∆_____, а ∆ =_______ (по трем
____________________ ), поэтому
 _____SCDM и  _____SADM.
3)Пусть  ⊥ , тогда OK_____AB (обратная теорема о __________ перпендикулярах) и
OK = _____ BC = 0,5*_____=_____ (м). Аналогично если  ⊥ , то ON = _____AB =
0,5*_____ = _____ (м).
Поскольку  ⊥ , то MO_____OK, а значит,  = √2 + _____ = √_____ + 52 =
√_____ = _____ (м).
Аналогично  = √_____ + ON2 = √122 + _____ = √_____ = _____(м).
Итак,  = 0,5 ∗ _____ = _____ ∗ 18 ∗ _____ = _____ (м2 ),  =_______________________
_________________. Отсюда получаем: бок = 2( + _________) = _____ ∗ (_________ + _________)
=__________ (м2 ), полн = __________ + __________ = __________ (м2 ).
Ответ. _________________________
№36. Основание пирамиды – параллелограмм со сторонами 6 см и 8 см, высота пирамиды
равна 12 см, а все боковые ребра равны между собой. Найдите длину бокового ребра.
Решение. 1) Пусть отрезок MO – высота _______________. Так как MA=MB=_____=_____, то
OA =_____=_____=_____, поэтому точка O – центр
_______________, _______________ около параллелограмма
является ______________________________, диагонали которого
пересекаются в точке _____ и равны друг другу.
2)По теореме Пифагора  = √ 2 + _____ = √62 + _____ =
√_____ = _____(см), следовательно, OA = _____ см.
3) ⊥ , поэтому MO _____OA. В треугольнике AMO  =
√2 + _____ = √52 + _____ = √_____ = _____(см).
Ответ. _________
№37. Плоскость параллельная основанию треугольной пирамиды, делит ее высоту в
отношении 1:2, считая от вершины пирамиды. Докажите, что эта
плоскость делит боковые ребра в том же отношении.
Доказательство. Так как плоскости A1B1C1 и __________
параллельны, то A1B1_____AB (____________________
параллельных плоскостей). Аналогично B1C1_____BC,
A1C1_____AC и A1O1 _____AO. Поэтому
1
_____
;
1
1 
Итак,
1
1 
=
1
____
1 1
= 2; 
1
=

= ______1 .
1
1 
=
1
_____
=
_______
_____
=
1
_____
1
= 2, что и требовалось доказать.
3.Правильные многогранники.
№38. Заполните пропуски.
Точки M и M1 называются симметричными относительно:
точки A
_________________ a
__________________ a
№39. Заполните пропуски:
а) Точка называется ____________________ симметрии фигуры, если _______________ точка
фигуры _________________________ относительно нее некоторой точке той же _____________
б) Прямая называется осью ____________________ фигуры, если каждая точка фигуры
симметрична _________________________ нее некоторой _______________ той же фигуры.
в) Плоскость называется ____________________ симметрии фигуры, если _______________
_________________________________________________________________ относительно нее
_____________________________________________ фигуры.
№40. Заполните пропуски в определении правильного многогранника:
Выпуклый ________________________ называется правильным, если __________ его грани _________________________ многоугольники, и в ___________________ его _____________
сходится одно и то же число _______________
№41. Докажите, что куб является правильным многогранником.
Доказательство. Проверим, обладает ли куб всеми признаками правильного
____________________, указанными в определении.
1)Куб ____________________ выпуклым многогранником.
2) Каждая грань куба - _______________, т.е.
_____________ _________ многоугольник, и все грани
_______________ между собой.
3) В ____________________ вершине куба сходится
________________________ число ребер, а именно _____ ребра.
Итак, у куба ______________ все признаки, указанные в
определении ______________ многогранника. Следовательно, куб
____________________ правильным
__________________, что и требовалось доказать.
№42. Вершины A, C, B1 и D1 куба соединены попарно отрезками.
Докажите, что многогранник ACB1D1 является правильным.
Доказательство. 1) Получившийся многогранник ACB1D1 – тетраэдр,
а известно, что тетраэдр ______________________ выпуклым
многогранником.
2)Все ребра многогранника ACB1D1 являются __________________
граней куба, следовательно, они ________________ между собой, а потому все грани
многогранника ACB1D1 являются правильными ________________________________
3)В каждой вершине ____________________ ACB1D1 сходится ____________________
количество ________________, а именно ____ ребра.
Итак, у тетраэдра ACB1D1 _______________ все признаки правильного многогранника,
следовательно, этот тетраэдр - ____________________ многогранник.
№43. Запишите в таблицу значения параметров: n – число сторон грани правильного
многогранника; k – число ребер, сходящихся в одной вершине; B – число вершин
многогранника; P – число ребер; Г – число граней. Напишите названия многогранников.
Вычислите для каждого из них величину В +Г – Р.
4.Поверхность тел вращения. Цилиндр.
№44. Диагональ осевого сечения цилиндра равна 48 см. Угол между этой диагональю и
образующей цилиндра равен 600. Найдите:
а) высоту цилиндра;
б) радиус цилиндра;
в) площадь боковой поверхности цилиндра.
Решение.
Осевое сечение цилиндра представляет собой _
, стороны
ВС и AD которого являются
_
цилиндра, а две другие стороны –
оснований цилиндра.
По условию задачи BD = _ см. ∠ DBC= _
а) Высота цилиндра равна его
, а BС = BD *соs
=
1
=
*2 =
(см), т.е. высота
равна
см.
1
б) Радиус цилиндра — это
1
1
основания цилиндра:  = 2  = 2  ∗
√3
______________ = 2 ∗ ________ ∗ − =
(см).
в) Площадь боковой
_ цилиндра равна произведению
_ окружности
цилиндра на
цилиндра, т.е. бок = 2______ ∗ ℎ = ______ ∗ 2√3 ∗ =√3 (см2 ).
Ответ.
а)
см;
б)
см; в)
см2.
№45. Площадь боковой поверхности цилиндра равна S. Найдите площадь осевого сечения
цилиндра. (Задача 538 учебника.)
Решение. Пусть h – высота цилиндра, r – его радиус. По условию задачи бок = _____, т.е.
2πr____ = S.
(1)
Осевым сечением цилиндра является _________________________ со сторонами 2r и _____.

Поэтому площадь осевого сечения равна _____ * h. Учитывая равенство (1), получаем 2ℎ = __.
Ответ. __________
№46. Найдите площадь поверхности (внешней и внутренней) шляпы, размеры которой (в см)
указаны на рисунке.
Решение.
Если дно шляпы опустить на плоскость ее полей, то
получим круг радиуса r = ____ см.
Площадь бок боковой поверхности цилиндрической
части вычисляем по формуле бок =___ ______r1h, где r1 =
____________ см, _________ = 10 см. Следовательно,
бок =_______10*10 = ________ (см2).
Итак, шляпы = 2(кр + ________) =____________см2.
Ответ. ____________ см2.
№47. Цилиндр получен вращением прямоугольника со сторонами a
и 2a вокруг большей стороны. Найдите площадь:
а) осевого сечения цилиндра;
б) боковой поверхности цилиндра.
Решение. Пусть r – радиус цилиндра, h – его высота. По условию r =
____, h = ____
а) сеч = 2 ∗ ________ = 4________
б) бок = 2____ℎ = ________ ∗ a ∗ ________ = ________π___________
Ответ. а) ________; б) __________
5.Конус. Усеченный конус.
№48. Радиус основания конуса равен 2 м, а осевое сечение - прямоугольный треугольник.
Найдите площадь сечения, проведенного через две образующие, угол между которыми равен
300.
Решение. По условию задачи треугольник АРВ____________________, а так как PA = ____, то ∠ = 450 . В

прямоугольном треугольнике PAO катет  = _______ = ____√2 м.
Пусть ∠ = 300 , тогда сечение, проведенное через
образующие PA и ____, является ____
_______________________________ треугольником, в котором PC
1
= ______ = 2 ______ м. Поэтому  = 2 2 ∗ ____________ =
1
2
1
(____________)2 ∗ 2 = ________ (м2).
Ответ. ________
№49. Осевое сечение конуса — треугольник со стороной 8 см и прилежащим углом 120°.
Найдите площадь полной поверхности конуса.
Решение. Осевым сечением конуса является
____________________ треугольник. По условию задачи
один из углов этого треугольника равен __________, следовательно, это угол, противолежащий _______________
стороне треугольника, а потому боковые стороны
треугольника равны _____ см, т. е. образующая l конуса
равна ______ см. Из прямоугольного треугольника РОА
находим радиус основания конуса:  =  ∗ __________ =
_____
√3
2
= __________ (см). Таким образом, бок =
_________ = _____ ∗ 4 ∗ √3 ∗ _____ = ____________________ (см2 ), кон = бок + _______________ =
_______________ + (__________)2 π = 16(_______________) π (см2).
Ответ. ____________________
№50. В трапеции ABCD ∠A = 90°, ∠=450. ВС = 4 см, CD = 3√2 см. Вычислите площади
боковой и полной поверхностей усеченного конуса, образованного вращением данной трапеции
вокруг стороны АВ. (Задача 571 учебника.)
Решение. При вращении данной трапеции получается
_____________________ конус.
1)Проведем  ⊥___________. Тогда  = ___________ ∗
cos450 = 3√2 ∗ ___________ = ______см, AD = AH +______ =
______ + HD = ______ см.
2)бок = ( + ___________) ∗ ____________ = ______(______ + 7) ∗
3√2 = ____________π√______ (см2).
3)полн = бок +  2 + ____________ = ____________ +
____________ + 49π = (__________ + 65)π (см2).
Ответ. ____________ см2 и __________________
6. Шар и сфера.
№51. Точки A и B лежат на сфере с центром  ∉ , а точка M лежит на отрезке AB.
Докажите, что:
А) если M – середина отрезка AB, то  ⊥ ;
Б) если  ⊥ , то M – середина отрезка AB.
(задача 573 учебника)
Доказательство. а) Пусть точка M – середина отрезка AB, R –
радиус сферы. △  равнобедренный, так как ________________ =
R, поэтому медиана OM является также ________ ________________,
т.е. ________________AB.
Б) Пусть  ⊥ . Треугольник AOB равнобедренный, и OM –
его высота по ___________, следовательно, OM – его
____________________, т.е. M - _________________________
№52. Шар радиуса 17 см пересечен плоскостью, находящейся на
расстоянии 8 см от центра. Найдите площадь сечения.
Решение. Пусть точка O – центр шара радиуса R = 17 см, α –
секущая плоскость и 1 ⊥ . По условию задачи расстояние
OO1 от центра шара до секущей плоскости меньше радиуса шара,
поэтому сечением шара плоскостью α является ____________,
площадь которого  = ____r 2 , где ____ - радиус сечения. Возьмем
точку M на линии пересечения сферы и плоскости α, тогда
треугольник OO1M ________________ (∠1 = ______________, OM =
R = ____________, OO1 = ____ см), откуда находим: O1M = r
=________, сеч =____________
Ответ. ____________ см2.
Скачать

Рабочая тетрадь по геометрии для студентов 1 курса