Государственная итоговая аттестация 2013

Государственная итоговая аттестация 2013-2014 учебный год пробный экзамен по
математике.
Ответы:
Часть 1
Номер задания
Модуль «Алгебра»
1
2
3
4
5
6
7
8
Модуль «Геометрия»
9
10
11
12
13
Модуль «Реальная
математика»
14
15
16
17
18
19
20
Вариант 1
Вариант 2
-4
3
2
-2;0
124
-21,5
66
4
-3
3
1
-9;0
342
-19,2
48
3
2,4
65
18; 18
0,8
23
20
100
5;5
1,5
23
3
120
В конце сентября на 5%
3
0,6
2
74170
1
140
В конце сентября на 12%
3,5
1,8
3
74360
Часть 2.
Вариант 1.
1
(𝑎−1)2
𝑎−1
21. Упростите выражение 𝑎+1 − 2𝑎2 +3𝑎+1 : 2𝑎+1 −
3𝑎+6
𝑎+1
.
Решение: 1) Разложим на множители 2𝑎2 + 3𝑎 + 1 =, 𝐷 = 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 = 9 − 8 = 1 >
0, уравнение имеет два корня.
𝑎1 =
−𝑏 + √𝐷 −3 + 1
1
−𝑏 − √𝐷 −3 − 1
=
= − ; 𝑎1 =
=
= −1
2𝑎
4
2
2𝑎
4
1
2𝑎2 + 3𝑎 + 1 = 2 (𝑎 + ) (𝑎 + 1) = (2𝑎 + 1)(𝑎 + 1)
2
(𝑎−1)2
𝑎−1
(𝑎−1)2
2) (2𝑎+1)(𝑎+1) : 2𝑎+1 = (2𝑎+1)(𝑎+1) ∙
2𝑎+1
𝑎−1
𝑎−1
= 𝑎+1
1
𝑎−1
3) 𝑎+1 − 𝑎+1 −
3𝑎+6
𝑎+1
=
1−𝑎+1−3𝑎−6
𝑎+1
=
−4𝑎−4
𝑎+1
=
−4(𝑎+1)
𝑎+1
= −4Ответ: -4
22. Найдите сумму всех отрицательных членов арифметической прогрессии -17,2; -16,9;
….
Решение: дана арифметическая прогрессия 𝑎𝑛 , в которой 𝑎1 = −17,2 , 𝑑 = −16,9 + 17,2 =
0,3. Найдём последний отрицательный член прогрессии с помощью формулы 𝑛 −
го члена прогрессии 𝑎𝑛 = 𝑎1 + 𝑑(𝑛 − 1) < 0, −17,2 + 0,3(𝑛 − 1) < 0, −17,2 + 0,3𝑛 −
0,3 < 0, 0,3𝑛 < 17,5, 𝑛 < 58, (3)
Значит, последним отрицательным числом будет 58-й член данной арифметической
прогрессии, т.е. 𝑎58 = −17,2 + 0,3 + 57 =
−0,1 Найдём сумму первых 58 членов данной арифметической прогрессии 𝑆58 =
(−17,2−0,1)
2
∙ 58 = −17,3 ∙ 29 = −501,7
Ответ: -501,7
23. Постройте график функции 𝑦 =
𝑥 4 −13𝑥 2 +36
𝑥 2 −𝑥−6
. Определите, при каких значениях
параметра c прямая y=c имеет с графиком ровно одну общую точку.
Решение:
1)
Упростим выражение
𝑥 4 −13𝑥 2 +36
𝑥 2 −𝑥−6
.
𝑥 4 − 13𝑥 2 + 36 = 0, пусть 𝑥 2 = 𝑡, 𝑡 > 0;
𝑡 2 − 13𝑡 + 36 = 0
по теореме Виета 𝑡1 + 𝑡2 = 13, 𝑡1 ∙ 𝑡2 = 36, значит 𝑡1 = 9, 𝑡2 = 4.
Следовательно 𝑥1 = −3, 𝑥2 = 3, 𝑥3 = −2, 𝑥4 = 2.
𝑥 4 − 13𝑥 2 + 36 = (𝑥 − 3)(𝑥 + 3)(𝑥 − 2)(𝑥 + 2).
𝑥 2 − 𝑥 − 6 = 0 применив теорему Виета находим корни 𝑥1 = 3,
𝑥2 = −2. 𝑥 2 − 𝑥 − 6 = (𝑥 + 2)(𝑥 − 3)
𝑥 4 − 13𝑥 2 + 36 (𝑥 − 3)(𝑥 + 3)(𝑥 − 2)(𝑥 + 2)
=
= (𝑥 + 3)(𝑥 − 2) = 𝑥 2 + 𝑥 − 6.
(𝑥 + 2)(𝑥 − 3)
𝑥2 − 𝑥 − 6
2)
Построим график функции 𝑦 = 𝑥 2 + 𝑥 − 6- квадратичная функция, графиком
которой является парабола, ветви которой направлены вверх. Координаты вершины
−𝑏
параболы: x= 2𝑎 =
3)
−1
2
−1 2
1
1
−1
, 𝑦 = ( 2 ) − 2 − 6 = −6 4
Нули функции (−3; 0), (2; 0)
x
-4
-2
-1
y
6
-4
-6
0
-6
1
( 2 ; −6 4)
1
-4
3
6
1
Прямая y=c имеет ровно одну общую точку с графиком функции при с=−6 4
24. Из вершины угла С треугольника АВС проведена высота СР. радиус окружности,
4
вписанной в треугольник ВСР равен 8, тангенс угла ВАС равен 3. Найдите радиус
окружности, вписанной в треугольник АВС.
Решение:
4
Поскольку 𝑡𝑔 < 𝐵𝐴𝐶 = , то
3
∆АВС египетский и его стороны пропорциональны числам 3,4,5.
∆ВСР~∆АВС (по двум углам), следовательно ∆ВСР также египетский и
его стороны пропорциональны числам 3,4,5. ВС = 5х, СР = 3х, ВР
= 4х. Радиус вписанной окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы,
3𝑥 + 4𝑥 − 5𝑥
= 𝑥 = 8 и ВС = 40, тогда АС = 40: 4 ∙ 3 = 30, АВ
2
40 + 30 − 50
= 50 . Тогда 𝑂1 𝑁 =
= 10.
2
следовательно 𝑂𝑁 =
Ответ: 10
25. Дан правильный восьмиугольник. Докажите, что если последовательно соединить
отрезками середины сторон, то получится правильный восьмиугольник.
Решение:
Обозначим вершины данного восьмиугольника
А1 , А2, А3 , А4 , А5 , А6 , А7 , А8 и середины сторон В1 , В2 , В3 , В4 , В5 , В6 , В7 , В8 . Соединим
вершины данного восьмиугольника через одну. Рассмотрим ∆А1 А2 А8 , который
является равнобедренным. В1 В8 является средней линией треугольника и
равна половине А2 А8 . ∆А1 А2 А8 = ∆А2 А3 А4 = ∆А4 А5 А6
= ∆А6 А7 А8 по первому признаку,
значит, средние линии треугольников также будут равны и восьмиугольник
В1 В2 В3 В4 В5 В6 В7 В8 будет правильным.
26. Стороны прямоугольника равны а=8см, в=6см. На стороне а, как на диаметре,
построена окружность. На какие отрезки окружность делит диагональ прямоугольника?
Решение: По свойству секущей и касательной, проведённых из одной точки получаем, что
𝑏2
𝐶𝐷2 = 𝐶𝑃 ∙ 𝐴𝐶, 𝐶𝑃 ∙ √𝑎2 + 𝑏 2 = 𝑏 2 𝐶𝑃 = √𝑎2
+𝑏 2
=
36
√36+64
36
= 10 = 3,6см 𝐴𝑃 = 𝐴𝐶 − 𝐶𝑃 =
10 − 3,6 = 6,4см
Ответ: СР=3,6см, АР=6,4см
Вариант 2.
10
2𝑐−1
𝑐−2
𝑐+4
21. Упростите выражение 𝑐−2 − 2𝑐 2 +3𝑐−2 : (𝑐+2)2 − 𝑐−2
Решение:
1)
Разложим на множители 2𝑐 2 + 3𝑐 − 2 = 0, 𝐷 = 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 = 9 + 16 = 25 > 0 =>
уравнение имеет два корня.
с1 =
−𝑏 + √𝐷 −3 + 5 1
−𝑏 − √𝐷 −3 − 5
=
= ; с2 =
=
= −2
2𝑎
4
2
2𝑎
4
1
2𝑐 2 + 3𝑐 − 2 = 2 (с − ) (с + 2) = (2с − 1)(с + 2)
2
2с−1
𝑐−2
2с−1
:
= (2с−1)(с+2) ∙
(2с−1)(с+2) (𝑐+2)2
2)
10
3)
𝑐−2
𝑐+2
𝑐+4
− 𝑐−2 − 𝑐−2 =
10−𝑐−2−𝑐−4
𝑐−2
(𝑐+2)2
=
𝑐+2
= 𝑐−2
𝑐−2
−2𝑐+4
𝑐−2
=
−2(𝑐−2)
𝑐−2
= −2
Ответ: -2
22. Какое наименьшее число последовательных натуральных чисел, начиная с 1, нужно
сложить, чтобы получившаяся сумма была больше 1176?
Решение: Последовательность натуральных чисел образует арифметическую прогрессию
𝑎𝑛 , в которой первый член равен 𝑎1 = 1 и разность d=1. Выясним, сумма скольких членов
прогрессии равна 1176.
2𝑎1 + 𝑑(𝑛 − 1)
2∙1+𝑛−1
𝑆𝑛 =
∙ 𝑛,
∙ 𝑛 = 1176, 𝑛2 + 𝑛 = 2352, 𝑛2 + 𝑛 − 2352
2
2
−1 + 73,54
−1 − 73,54
= 0, 𝐷 = 1 + 5408 = 5409 𝑛1 =
= 36,27; 𝑛2 =
2
2
<0
− не удовлетворяет условию, т. к. номер члена прогрессии является числом натуральным.
Значит, чтобы сумма последовательности натуральных чисел была больше 1176 нужно
сложить 37 натуральных чисел.
23. . Постройте график функции 𝑦 =
𝑥 4 −17𝑥 2 +16
𝑥 2 +3𝑥−4
. Определите, при каких значениях
параметра c прямая y=c имеет с графиком ровно одну общую точку.
Решение:
1) Упростим выражение
𝑥 4 −17𝑥 2 +16
𝑥 2 +3𝑥−4
.
𝑥 4 − 17𝑥 2 + 16 = 0, пусть 𝑥 2 = 𝑡, 𝑡 > 0;
𝑡 2 − 17𝑡 + 16 = 0
по теореме Виета 𝑡1 + 𝑡2 = 17, 𝑡1 ∙ 𝑡2 = 16, значит 𝑡1 = 16, 𝑡2 = 1.
Следовательно 𝑥1 = −4, 𝑥2 = 4, 𝑥3 = −1, 𝑥4 = 1.
𝑥 4 − 17𝑥 2 + 16 = (𝑥 − 4)(𝑥 + 1)(𝑥 − 2)(𝑥 + 1).
𝑥 2 + 3𝑥 − 4 = 0 применив теорему Виета находим корни 𝑥1 = 1,
𝑥2 = −4. 𝑥 2 + 3𝑥 − 4 = (𝑥 + 4)(𝑥 − 1)
𝑥 4 − 17𝑥 2 + 16 (𝑥 − 4)(𝑥 + 4)(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)
=
= (𝑥 + 1)(𝑥 − 4) = 𝑥 2 − 3𝑥 − 4.
(𝑥 + 4)(𝑥 − 1)
𝑥 2 + 3𝑥 − 4
2)
Построим график функции 𝑦 = 𝑥 2 − 3𝑥 − 4- квадратичная функция, графиком
которой является парабола, ветви которой направлены вверх.
Координаты вершины параболы:
1
−6 4
−1
1
( 2 ; −6 4)
−𝑏
3
3 2
9
x= 2𝑎 = 2 = 1,5, 𝑦 = (2) − 2 − 4 =
График функции симметричен относительно прямой х=1,5
Нули функции (−1; 0), (4; 0)
x
y
2
-6
3
-4
5
6
1
Прямая y=c имеет ровно одну общую точку с графиком функции при с=−6 4
24. Из вершины угла С треугольника АВС проведена высота СР. радиус окружности,
4
вписанной в треугольник ВСР равен 12, тангенс угла ВАС равен 3. Найдите радиус
окружности, вписанной в треугольник АВС.
Решение:
4
Поскольку 𝑡𝑔 < 𝐵𝐴𝐶 = 3 , то
∆АВС египетский и его стороны пропорциональны числам 3,4,5.
∆ВСР~∆АВС (по двум углам), следовательно ∆ВСР также египетский и
его стороны пропорциональны числам 3,4,5. ВС = 5х, СР = 3х, ВР = 4х.
Радиус вписанной окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы,
3𝑥 + 4𝑥 − 5𝑥
= 𝑥 = 12 и ВС = 60, тогда АС = 60: 4 ∙ 3 = 36, АВ
2
60 + 36 − 75
= 75 . Тогда 𝑂1 𝑁 =
= 15.
2
следовательно 𝑂𝑁 =
Ответ: 15
25. Дан правильный шестиугольник. Докажите, что если его вершины последовательно
соединить отрезками через одну, то получится равносторонний треугольник.
Решение:
Обозначим вершины шестиугольника
А1 , А2, А3 , А4 , А5 , А6 . ∆А1 А2 А6 = ∆А2 А3 А4 =
∆А4 А5 А6 равны по первому признаку, следовательно А2 А6 = А2 А4 =
А4 А6 и треугольник А2 А4 А6 равносторонний. Что и требовалось доказать.
26. Стороны прямоугольника равны а=6см, в=6√3см. На стороне AD, как на диаметре,
построена окружность. Найдите длину дуги PD окружности, заключённой между
стороной AD и диагональю АС.
Решение: АС=√𝑎2 + 𝑏 2 = √36 + 108 = √144 =
12см. Опираясь на свойство прямоугольного треугольника, получаем, что
< АС𝐷 = 30° , следовательно < 𝐷𝐴𝐶 = 60° и дуга Р𝐷 = 120° .
Найдём длину дуги Р𝐷 по формуле 𝑙 =
Ответ: длина дуги Р𝐷 равна 4𝜋.
2𝜋𝑅𝜑 2𝜋 ∙ 6 ∙ 120°
=
= 2𝜋 ∙ 2 = 4𝜋
360°
360°