Яшин А.В. Автономные задачи динамической устойчивости

Министерство образования и науки Российской Федерации
КАЗАНСКИЙ (ПРИВОЛЖСКИЙ) ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ
КАФЕДРА ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
Специальность: 010800.62 — механика и математическое моделирование
ВЫПУСКНАЯ КВАЛИФИКАЦИОННАЯ РАБОТА
(Бакалаврская работа)
Автономные задачи динамической устойчивости панелей
Работа завершена:
"___"________2015 г. _________________________________(А.В. Яшин)
Работа допущена к защите:
Научный руководитель
кандидат физ.-мат. наук (доцент)
"___"___________2015 г. ______________________________(Ф.Х. Тазюков)
Заведующий кафедрой
доктор физ.-мат. наук (профессор)
"___"___________2015 г. ______________________________(Ю.Г. Коноплев)
Казань — 2015
2
Содержание
Введение.........................................................................................................3
Теория устойчивости удлиненной панели.................................................4
Решение
задачи
устойчивости
удлиненной
панели…………………………………..6
1) Устойчивость при импульсном нагружении......................................6
а) Шарнирное закрепление.................................................................6
б)
Жесткое
закрепление.....................................................................11
2)
Устойчивость
панели
при
ступенчатой
нагрузке..............................12
а)
Шарнирное
закрепление................................................................12
б)
Жесткое
закрепление.....................................................................14
Выводы............................................................................................................
16
Список
используемой
литературы.................................................................17
Приложение.....................................................................................................
18
3
Введение
Панели, как элементы конструкции, применяются во многих
отраслях
промышленности,
в
частности,
в
строительстве,
машиностроении, авиации, ракетостроении. Это объясняется такими
качествами, как: относительная простота изготовления, легкость и
достаточная устойчивость.
При потере устойчивости конструкции или ее элементов происходит
разрушение. Важно произвести расчет на потерю устойчивости при
соответствующих нагрузках.
Эксплуатация конструкций из панелей чаще всего подразумевает
относительно длительный период эксплуатации, на протяжении которого
конструкция
подвергается
различным
воздействиям,
как
по
продолжительности, так и по величине нагрузки. Однако конструкции так
же испытывают короткие по времени и достаточно сильные нагрузки.
В
данной
работе
рассматривается
устойчивость
панелей
при
импульсном нагрузке и статическом нагружении в динамической
постановке при различных условиях закрепления.
4
Глава 1. Теория устойчивости панели
Рассмотрим панель, на которую действует некая импульсная
нагрузка q в течение короткого отрезка времени.
q(t , x, y )  J (t ) ( x, y )
(1.1)
δ(t) – дельта функция, J – импульс силы q, ψ(x,y) –
функция
распределения нагрузки вдоль панели.
Из принципа Остроградского-Гамильтона определяем начальные
условия:
tk
tk
0
0
S    Ldt    ( K  П )dt  0
(1.2)
L – функция Лагранжа, K – кинетическая энергия, П – потенциальная
энергия, W – потенциальная энергия деформации, A – работа внешних
сил.
Из (1.2) следует:
K
1
h  w 2 dt
2
П W  A
A   (qw)dxdy ,
(1.3)
где ρ – плотность, h – толщина панели.
Получаем уравнение Лагранжа второго рода:
d  L  L
0


dt  w  w
при t=0,tk
L
w  0
w
(1.4)
(1.5)
5
L
Варьируя
 Adt , получим:
0
L
t
0
0
  Adt  J   (t ) wdxdy
(1.6)
Учитывая фильтрующие свойства δ(t):   (t  t 0 ) f (t )dt  f (t 0 )
L
получаем: при t=0
  Adt  J wdxdy
(1.7)
0
Из уравнений (1.5) и (1.7) получаем:
L
w  J wdxdy  0
w
Представим, что w 
при t=0
(1.8)
 c f (t ) ( x, y) .
i
i
i
Тогда между начальной скоростью и импульсом нагрузки следует
связь:
𝐽 ∬ 𝜓𝜑𝑖 𝑑𝑥𝑑𝑦
𝑓𝑖̇ (0) = 𝑝ℎ
∬ 𝜑𝑖2 𝑑𝑥𝑑𝑦
(1.9)
Зная начальную критическую скорость, с помощью (1.9) можно
найти критический импульс.
В итоге, с помощью принципа Остроградского-Гамильтона можно
получить уравнение движения в форме уравнения Лагранжа второго
рода и начальные условия импульсного нагружения.
6
Глава 2. Удлиненная панель при импульсном нагружении
x
b
1
h
R
y
Рис. 1. Общая схема пологой панели
На рис.1 представлена общая схема пологой панели. Размер ее
вдоль оси Х больше, чем размер вдоль дуги b. Импульсная нагрузка
направлена по нормали. Пренебрежем напряжениями в координатах y.
Будем рассматривать полосу панели шириной 1.
Запишем уравнение движения (2.1):
D 4w
2w 
2w
 2    2  0
h y 4
R
y
t
D – изгибная жесткость;
w – прогиб панели;
h – толщина панели;
σ –напряжение;
ρ – коэффициент Пуассона.
(2.1)
7
Шарнирное опирание
2w
При условии шарнирного опирания: w  2  0
y
(2.2)
y=0, y=b
В этом случае, уравнение прогиба имеет вид:
w( y, t )  f (t ) sin
y
(2.3)
b
Величину σ найдем из условия закрепления.
Взаимное сближения Δ граней равно нулю:
V
dy  0

y
0
b
  
(2.4)
Деформация срединной поверхности:
x  0
Из
закона
V w 1  w 
y 
   
y R 2  y 
Гука
найдем
2
соотношения
(2.5)
между
деформациями
напряжениями:
x 
 x   y
E
E
y 
y
1  2
y 
 y   x
(2.6)
E
1  2
y 
y
E
σx,σy – нормальные напряжения.
Подставив (2.6) в (2.5), получим:
2
V

1  w 
w
  (1   2 )    
y
E
2  y 
R
Далее интегрируем
V
 y dy  0 :
(2.7)
и
8
2

b
b
1  w 
w
 dy   dy
b(1   )    
E
2 0  y 
R
0
2
(2.8)
Добавляем выражение прогиба (2.4) и получаем
E
 
1  2
 2 f 2 2 f 



2
4

R
b


(2.9)
Далее применяем метод Бубнова-Галеркина для (2.1):
 D 4w
  4 f 2 2 f    2 w  y
E   2 f 2 2 f  2w
E
0  h y 4  1   2  4 b 2   R  y 2  R(1   2 )  4 b 2   R   g t 2  sin b dy  0


b
Получим:
d 2
  02    2   3  0 ,
2
dt


(2.10)
f
- безразмерная толщина
h
где  
4
с2h2
 
12(1   2 ) b 2
2
0
96 2 

1  6 k 
 

(2.11)
- квадрат частоты при малых колебаниях.
b2
k
- параметр кривизны,
Rh
c
Eg

- скорость звука,
γ – удельный вес материала.

3k
1


1 32 2 - геометрические параметры.
3 8 2 ,

k
 3k
3 6
12 
Далее умножим (2.10) на
02
2

k2
(2.12)
d
и проинтегрируем dt от 0 до tk:
dt
1
1
1

 02   k2  k3   k4 
2
3
4
2

(2.13)
9
V  f  h
Соотношение (2.13) соответствует уравнению изменения кинетической
энергии:
1 2 1 2
V0  Vk  П
2
2
(2.14)

 
1
П   02   k2   k3   k4  – потенциальная энергия
3
4 
2
(2.15)
F
dП
- условие стационарного положения.
d
𝜉0̇ , 𝜉𝑘̇ – скорость точки панели в начальный и конечный моменты
времени, 𝜉𝑘 – критический прогиб (при t=tk).
Начальную критическую скорость определим с помощью критерия
А.В.Саченкова.
Vk  0
(2.16)
Следовательно, потенциальный барьер 𝜉𝑘 преодолевается с нулевой
скоростью:

2
1

02   02  k2   k3   k4 
3
4


При
малом
увеличении
(2.17)
начальной
скорости
сверх
критической
происходит скачкообразный переход. Происходит прощелкивание.
Найдем
𝜉𝑘 , используя условие минимума начальной скорости по
критическому прогибу:
𝜕(𝜉02 )
𝜕𝜉𝑘
= 0 ⇒ 𝜉𝑘 − 𝛽𝜉𝑘2 + 𝜂𝜉𝑘3 = 0
(2.18)
Определив 𝜉𝑘 , подставим ее в (2.17). Определим безразмерную
начальную критическую скорость:
1
V R  4
96 2  2
~
V0 kp  0  
(
1

k )
ch 12(1   2 )
6

c2 
E

- скорость света.
1
2
1

2
*  k2   k3   k4 
3
2


(2.19)
10
Далее в табл.1 представлены значения критических прогибов и
критических начальных скоростей для разных значений кривизны.
Табл. 1. Значения критических прогибов и критических начальных
скоростей
k
9
12
15
18
21
24
27
30
𝜉𝑘 =
𝑓
ℎ
𝑉0 ∗ 𝑐ℎ2⁄
𝑏2
1.68
1.81
2.13
2.47
2.84
3.21
3.58
3.96
47.59
97.83
179.44
299.73
466.32
686.91
969.17
1320.83
При кривизне k=9 начинается возникать такой эффект как
прохлопвание.
Оболочка
резко
прогибается
под
нагрузкой,
это
сопровождается громким звуком, «хлопком». Чаще всего это чревато
разрушением и потерей несущих свойств оболочки.
Построим графики зависимости прогибов от времени и фазовые
портреты для разных начальных скоростей.
1) V0 <Vкр
Рис. 2. Фазовый портрет колебаний
Рис. 3. Зависимость прогибов от времени
Как видно из графика (рис. 3), при скорости меньше критической,
колебания периодические, график в виде синусоиды. В фазовой
11
плоскости (рис. 2) получим систему эллипсов, расположенных вокруг
центров.
2) V0 =Vкр
Рис. 4. Фазовый портрет колебаний
Рис. 5. Зависимость прогибов от времени
При скорости, равной критической, в фазовой плоскости графики в виде
петли с «седлом» в точке с неустойчивым положением. Панель
прогибается, переходит к новому положению равновесия, а затем
возвращается к исходному.
3) V0 >Vкр
Рис. 4. Фазовый портрет колебаний
При
скорости
больше
Рис. 5. Зависимость прогибов от времени
критической,
происходит
прохлопывание.
Происходит скачкообразный переход при увеличении скорости сверх
критической. Колебания происходят вокруг старого и нового положений
12
равновесий.
При
значительных
прогибах
происходит
разрушение
конструкции.
Панель с жестким закреплением
Рассмотрим случай, когда края панели закреплены жестко. При
таких
начальных
условиях,
выражение
для
прогиба
принимает
следующий вид:
w  f sin 2
y
b
(2.20)
Выражения для σ находим аналогично пунктам (2.4) - (2.9):
E  f 1 2 f 2 




1   2  2R 4 b2 
(2.21)
Уравнение движение будет иметь вид:
d 2
  02    2   3  0
2
dt


(2.22)
Величина квадрата частоты будет равняться:
4
c 2 h 2  16 8 2 
 
k 
 
12(1   2 ) b 4  3  4 
2
0
(2.23)
Параметры α и β, зависящие от геометрии панели примут вид:

12k
8k 2 
2  16
   4 
 3  

4
 16 8k 2 
 3  2 


(2.24)
Аналогично случаю с шарнирным закреплением, получаем значения
безразмерного прогиба и безразмерной начальной скорости. Эти
значения представлены в табл. 2.
13
Табл. 2. Значения критических прогибов и критических начальных
скоростей
k
23
25
30
35
40
45
50
𝜉𝑘 =
𝑓
ℎ
3.27
3.33
3.57
3.97
4.41
4.87
5.34
𝑉0 ∗ 𝑐ℎ2⁄
753.77 618.06 1200.29 1816.41 2628.45 3663.76 4949.94
𝑏2
Как видно из таблицы, прохлопывание начинается с кривизны
равной 23. Начальные скорости сравнительно больше, чем в случае с
шарнирным опиранием, при примерно равных прогибах.
Графики зависимости прогибов от времени, как и фазовые портреты,
аналогичны случаю с шарнирным опиранием.
14
Глава 3. Статическое нагружение в динамической
постановке
Рис. 6. Поперечная нагрузка
Шарнирное опирание
Рассмотрим устойчивость панели при поперечной нагрузке. В
уравнении движения учтем q и проинтегрируем по y:
d 2
2
2
3







 qˆ  0
0
dt 2


q b
qˆ   
E h

(3.1)
4
f
- безразмерная толщина;
h
4
с2h2 
96 2 
 
1

k  - квадрат частоты.

12(1   2 ) b 2   6 
2
0
Далее, умножим (3.1) на
02
2

k2
d
и проинтегрируем от 0 до tk.
dt
1
1
1

 02   k2  k3   k4  q 
2
3
4
2

(3.2)
15
Примем V  f  h .
Принимая во внимания начальные условия и учитывая критерий
Саченкова А.В., получаем обнуленную левую часть этого равенства.
Связь между критической нагрузкой и прогибом:
qˆ 

4
3 

3
1
2
2  
(3.3)
Минимизируем q по ξ и получаем уравнение, решив которое, находим
значения критического прогиба ξ. Подставив их в уравнение (3.3),
получим значения верхней и нижней критических нагрузок (табл. 3).
Табл. 3. Значения критических прогибов и критических нагрузок при
статическом и импульсном нагружениях
k
15
25
35
40
ξ1
1.38
0.87
2.20
1.39
3.05
1.93
3.51
2.17
ξ2
3.78
3.00
6.4
5.06
8.99
7.10
10.29
8.15
100qн
8.2
-22.8
5.1
-53.1
3.64
-80.5
3.3
-93.8
100qв
30.3
39.2
48.7
63.3
67.7
87.6
77.12
102.2
Для каждой кривизны представлены результаты с учетом ступенчатой
нагрузки и результаты решения задачи импульсного нагружения.
Судя по полученным данным, можно сделать вывод, что при ступенчатом
нагружении прогиб увеличивается почти в два раза. В то же время верхняя
критическая нагрузка уменьшается, а нижняя увеличивается. Это связано
с инерционностью оболочки.
При увеличении кривизны прогиб увеличивается, верхняя критическая
нагрузка растет, а нижняя - уменьшается.
16
Рассмотрим фазовый портрет и график зависимости  (t ) для уравнения
(3.1).
Рис. 6. Фазовый портрет колебаний
Рис. 7. Зависимость прогибов от времени
При изменении нагрузки, меняется положение равновесия, вокруг
которого происходят колебания. При увеличении
q̂ увеличивается
частота колебаний и смещается вверх положение равновесия. В
фазовой плоскости получаем систему вложенных эллипсов, смещенных
относительно центра.
Жесткое закрепление
Выражение для прогиба имеет вид:
w  f sin 2
y
b
Уравнение движение будет иметь вид:
d 2
  02    2   3  qˆ  0
2
dt


q b
qˆ   
E h
4
17
Величина квадрата частоты будет равняться:
4
c 2 h 2  16 8 2 
 
 4k 
2
4 
12(1   ) b  3 

2
0
Параметры β и η, зависящие от геометрии панели примут вид:

12k
8k 2 
2  16
   4 
 3  
Умножаем на
02

2

d
dt
4
 16 8k 2 
 3  2 


и интегрируем
dt от 0 до t k :
k2
1
1
1

 02   k2  k3   k4  q 
2
3
4
2

V  f  h
Зависимость между критической нагрузкой и прогибом:
qˆ 

4
3 
Минимизируем

3
1
2
2  
по  , получаем уравнение, находим численное
q̂
значение критического прогиба  . Подставляем в уравнение для q̂ ,
находим
нижнюю
и
верхнюю
получившиеся значения в табл. 4.
критическую
нагрузку.
Запишем
18
Табл. 4. Значения критических прогибов и критических нагрузок при
статическом и импульсном нагружениях
k
15
25
35
40
ξ1
17.19
2.13
32.8
3.33
47.9
4.6
55.38
5.23
ξ2
18.75
3.68
35.8
6.34
52.3
8.95
60.41
10.25
10qн
1112
22.6
2781
37.2
4421
52.1
5217
59.6
10qв
1342
56
3374
108.6
5359
159.3
6322
184.2
При жесткой заделке увеличивается критический прогиб и верхняя
и нижняя критическая нагрузка. То есть, в случае жесткого закрепления
прохлопывание произойдет при более сильных нагрузках, чем в случае
шарнирного закрепления.
19
Заключение
1.
Рассмотрена
нелинейная
задача
устойчивости
элемента
оболочки (удлиненной панели) при импульсной нагрузке и
статической нагрузке в динамической постановке.
2.
Получена
зависимость
импульса
нагрузки
(начальной
критической скорости) от кривизны панели. Построены графики
зависимости прогибов от времени при различных значениях
начальной скорости.
3.
Получена зависимость критической нагрузки от кривизны панели
в случае ступенчатого нагружения.
4.
Для решения задачи использован метод Бубнова-Галеркина и
критерий Саченкова.
5.
Получена зависимость критичеких безразмерных начальных
скоростей и прогиба от геометрии панели.
6.
Получены
нагружения.
фазовые
портреты
для
различных
траекторий
20
Список используемой литературы
1)
А. С. Вольмир «Нелинейная динамика пластин и оболочек»,
Главная редакция физико-математической литературы изд.
«Наука», 1972 г., 432 с.
2)
Ю.Г. Коноплев, Ф.Х.Тазюков «Устойчивость упругих пластин и
оболочек при нестационарном нагружении», Казань, Изд. КГУ,
1994 г., 124 с.
3)
«Нелинейная теория пластин
и оболочек»,
издательство
Казанского Университета, Казань, 1962 г., с. 27.
4)
Э.И.Григолюк «Нелинейные колебания и устойчивость пологих
оболочек и стержней», Изд. АН СССР, Отдел техн. наук, №3
(1955), с. 33-68.
21
Приложение
Нахождение критической скорости при заданной кривизне k в пакете
электронных таблиц EXCEL.
k
E
V
a
b
d
x1
x2
1
#ЧИСЛО!
#ЧИСЛО!
1,055643
2,727631
-1,31669
#ЧИСЛО!
#ЧИСЛО!
2
#ЧИСЛО!
#ЧИСЛО!
1,659335
2,143742
-1,26676
#ЧИСЛО!
#ЧИСЛО!
3
#ЧИСЛО!
#ЧИСЛО!
1,834501
1,580029
-1,18355
#ЧИСЛО!
#ЧИСЛО!
4
#ЧИСЛО!
#ЧИСЛО!
1,787829
1,154873
-1,06705
#ЧИСЛО!
#ЧИСЛО!
5
#ЧИСЛО!
#ЧИСЛО!
1,660364
0,858028
-0,91727
#ЧИСЛО!
#ЧИСЛО!
6
#ЧИСЛО!
#ЧИСЛО!
1,516134
0,652912
-0,7342
#ЧИСЛО!
#ЧИСЛО!
7
#ЧИСЛО!
#ЧИСЛО!
1,379178
0,509086
-0,51785
#ЧИСЛО!
#ЧИСЛО!
8
#ЧИСЛО!
#ЧИСЛО!
1,256765
0,405913
-0,26821
#ЧИСЛО!
#ЧИСЛО!
9
1,680928
47,59496
1,149775
0,330095
0,014716
1,802237
1,680928
10
1,647462
61,23519
1,056893
0,273086
0,330925
2,222722
1,647462
11
1,716164
77,92554
0,976235
0,229314
0,680419
2,541039
1,716164
12
1,806553
97,83058
0,905942
0,195069
1,063199
2,837668
1,806553
13
1,907495
121,2033
0,844376
0,167827
1,479263
3,123745
1,907495
14
2,014756
148,3142
0,790153
0,145832
1,928613
3,403501
2,014756
15
2,126228
179,4408
0,742126
0,127836
2,411248
3,679048
2,126228
16
2,240699
214,8633
0,699352
0,112939
2,927168
3,951596
2,240699
17
2,357405
254,8641
0,661055
0,100475
3,476373
4,221908
2,357405
18
2,475835
299,7262
0,626597
0,089946
4,058864
4,490497
2,475835
19
2,595629
349,7335
0,595448
0,080976
4,674639
4,757721
2,595629
20
2,716527
405,1702
0,567168
0,073274
5,3237
5,023841
2,716527
21
2,838332
466,3209
0,541389
0,066613
6,006046
5,289055
2,838332
22
2,960893
533,4702
0,517802
0,060815
6,721677
5,553512
2,960893
23
3,084092
606,9032
0,496145
0,055738
7,470593
5,817331
3,084092
24
3,207837
686,9049
0,476194
0,051267
8,252795
6,080605
3,207837
25
3,332051
773,7602
0,457759
0,047311
9,068281
6,34341
3,332051
26
3,456672
867,7544
0,440678
0,043794
9,917053
6,605807
3,456672
27
3,581649
969,1727
0,424807
0,040653
10,79911
6,867849
3,581649
28
3,706939
1078,3
0,410025
0,037837
11,71445
7,129577
3,706939
29
3,832506
1195,423
0,396225
0,035303
12,66308
7,391028
3,832506
30
3,95832
1320,825
0,383313
0,033014
13,64499
7,652233
3,95832
31
4,084354
1454,793
0,371208
0,03094
14,66019
7,913217
4,084354
32
4,210586
1597,611
0,359836
0,029055
15,70867
8,174003
4,210586
33
4,336997
1749,565
0,349133
0,027337
16,79044
8,434611
4,336997
34
4,463569
1910,941
0,339044
0,025766
17,90549
8,695057
4,463569
35
4,590287
2082,023
0,329516
0,024326
19,05383
8,955357
4,590287
36
4,71714
2263,098
0,320505
0,023004
20,23545
9,215523
4,71714
37
4,844114
2454,45
0,311971
0,021786
21,45036
9,475568
4,844114
38
4,9712
2656,365
0,303876
0,020662
22,69856
9,7355
4,9712
39
5,098388
2869,129
0,296187
0,019623
23,98004
9,99533
5,098388
40
5,225671
3093,027
0,288876
0,01866
25,2948
10,25507
5,225671
22