Найдите неопределенный интеграл

Задания по математике
для подготовки и проведения письменного экзамена
Оглавление.
Найдите неопределенный интеграл .................................................................................................................... 2
Вычислите определённый интеграл ................................................................................................................... 2
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями ..................................................................................... 2
Решить неравенство ............................................................................................................................................. 3
Решите систему уравнений.................................................................................................................................. 5
Вычислить ............................................................................................................................................................. 6
Решить уравнение ................................................................................................................................................. 6
Решить уравнение ................................................................................................................................................. 7
Найдите производную функции.......................................................................................................................... 8
Упростить выражение .......................................................................................................................................... 9
Доказать тождество ............................................................................................................................................ 10
Геометрия ............................................................................................................................................................ 11
Цилиндр ........................................................................................................................................................... 19
Конус ............................................................................................................................................................... 19
Сфера и шар .................................................................................................................................................... 20
Многогранники ............................................................................................................................................... 20
Тела вращения ................................................................................................................................................ 20
7
3

5
x
Найдите неопределенный 23.   5 x  2 cos x  x  2 dx


интеграл
24.
3
1. (7  3 х  х )dx
25.

2
(
x

2
)
х
dx

 (2  3sin х)dx
46.
47.
48.
26.
49.
27.
50.
2 x 3  3x  7
dx
4. 
x
 3 x 
5.   3 dx
 x 
28.
51.
29.
Вычислить площадь фигуры,
ограниченной линиями


1
 2 dx
6.   x 
3 1 x2


31.
2.
3.
30.
 1

 3x 2  3 dx
7.  
2
 5 cos x

8.
x 3
x
x
  3  x  5e  8 dx
9.

x
x3
dx
3
10.  (3 sin x  4 х  1)dx
11.
3
3
 (5  cos 2 x  2 х  1)dx
x
5
)dx
3 1  x2
x 5
13.  (2   )dx
5 x
1
14.  (10 х 4 
 2)dx
2 sin 2 x
1
x 2
15.  (
  )dx
2
5 cos x 2 x
12.  (2  
7
16.  ( х  3 sin x  2)dx
17.  (9 х  3e  5)dx
8
32.
33.
22.
 7 x
36.
37.
57. y  x 2 ; x  3; x  2; y  0
38.
58. y  ( x  2)2 ; y  0; x  1; x  3
59.
y=0; x=1; x=2.
1
2
39.



6
6
60. y  cos x ; y  0; x   ; x 
Вычислите определённый
61.
интеграл

62.
2
40.  (cos x  sin x)dx
63.
0
2
41. 
1
3
4
42.
dx
x3
3dx
2
3
4
4
44.

1
45.
dx
4 x
x 1
x
y=0; x=2; x=3
64.
65.
y=0; x=2; x=3
67.
68.
69.
70.
2
dx
; y=0; x=-1 ; x=2
y=0; x=-3; x=1
y=0; x=-1; x=1
66.
 9  16 x
0
 sin x  3 dx
y  x 2 ; x  4; y  0
2
43. 
 4 1

21.   5 x   4 dx
3x


x
55. y  2 x ; x  3; y  0
56. y  x2  1 ; x  2; x  2; y  0
1
20.  arctgxdx
6
54.
35.
x
19.  cos 3 xdx
y  ( x  2) 2 ; y 
34.
x
18.  (5  3 sin x  4)dx
52. y  ( x  3) 2 ; y  0 ; x  5; x  0
53. y  2 x 2  2 ; x  1; x  2; y  0
71.
y=0; x=2; x=1
;
92. log 9 ( x  10 x  40)  log 9 (4 x  8)
2
Решить неравенство
72. log 0,7 (9 x  4 x
2
)  log 0,7 ( x 3  4x 2 )
x
x 1
0
73. 2  8
2
x 1 x
74. 2 5
x 1  x
 2 5  2,8
75. ( x  5)
x 1  0
76. ( x  3) log 1 x  0
7
77.
e
1
0
x 8
2
9
x2  4  0
x
79. (2 x  4)
2
2 x 1
1
x 2 4 x 7
 81
81. (2  x) log 0,5 ( x  3)  0
80. 3
96.
97.
98.
99.
100.
3 x 1
x
78. 3
93. (4  x) log 0, 2 (3  x)  0
94.
95.
82. (4  x) log 0, 2 (3  x)  0
101.
102.
103.
104.
105.
106.
x
1
  4
2  0
83. x
2  16
2 8
0
lg x
2x  8
0
85.
lg( 1  x)
x
107.
108.
84.
3 x 1  8
0
86.
log 5 x
87. (2
2 x 1
 1) log( x  1)  0
88. x  1( x  4)  0
109.
110.
111.
112.
113.
2
x
89.
1
  3
3
0
3x  3
1
2 0
90.
lg( 3  x)
2x 
1 x 1 x
91. 3
2
 3x 2 x  10,5
114.
115.
116.
117.
118.
119.
log 5 x  4  1
log 3 x  7  1
log 6 x  2  1
log 5 x  3  1
log 8 x  2  1
log 2 x  2  1
log 5 2 x  4  log 5 x  3
log 0,5  x  3  1
log  3x  2  log  x  1
log 10 1  1,4 x   1
3
120.
log 3 2 x  5  log 3 x
4
4
1
16
10 x 5

121. 2
140.
1 4 x
123.
126.
1
1
5
5
4
 
 11 
6 x 3
1
5 x 12
5 x 6
8 2
3x
1
 
8
1
 
4
7x
2x
4 x 15
log 1 7 x  21  log 1 6 x 
133.
134.
log 3
135.
136.
137.
3
log 0,5 1  0,5 x   3
log 1 6  0,3x   1
9
138.
2
x7
0
2x  5
log 1 2 x   log 1 5  8 x 
3
x  3  1
146.
x  3  1 x
147.
x2 3
150.
x2 3
x  2  1
x2  6 x
151.
x  2  1
149.
log 4 x  1  1
log 8 x  5  1
log 0,5 x  1  2
132.
145.
148.
2
131.
144.
x3  2
x3  2
143.
log 1, 25 0,8 x  0,4  1
2
log 5 2 x  9  log 5 x
6
2  16
1
128.  
4
130.
142.
3
log 3 5  x   log 3 2 x  12
2
x2
1
127.  
8
129.
141.
6 x 3
x 1
124. 5 
125.
log 7 6 x   log 7 8  4 x 
log 5 2 x  5  log 5 7  2 x 
3
122. 81  9
4
 
 11 
139.
6
Решите систему уравнений
152.
153.
154.
x

y
343

 49

 7 x y

x

y
5

1

 25 x  y
3
2

( x  2 y ) ( x  2 y )  9

3
2

( x  2 y ) ( x  2 y )  27
2 X  y  5

 x  log 2 y  2
157.
170.
5
4

 3 x  2 y  7 x  3 y  1


4
3


 7

 3x  2 y 7 x  3 y
171.
172.
y
2x

3  5  26
 x
0,5 y

5

3
4

3

 x 4 y 3
 3
4

3 x  5 y  1
x
y

5  2  20
168. log
( x  y)  2

3



2 x  y  19
158.
159.
167.
2  12

log 2 y  x  2
156. 
log 9 (2 x  1)  log 9 y  0,5
2y

 3 2 x  82
4
 x
y

3  4  8
 x  2 y  13
166. 
2 log x 4  log 4 (2 y  1)  0,5
169.
X
155.
165.
173.
x  2 y 2  3
160. 
2 log 2 ( y  1)  2  log 2 x
 y  x2  3
161. 
1  2 log 3 ( x  1)  log 3 y
174.
162.
177.
163.
178.
164.
179.
175.
176.
180.
181.
x  y 
2

sin 2 x  cos 2 y  1

0 , 3 1, 4
0 , 25
206. 25 5 625
Вычислить
5
8 5  4  6 (3) 6
207.
208. tg (675) : cos( 570)  ctg150
182. lg 10 log 1 125  31
log3 1 8
5
183.
184.
42 log4 3
6 2 log6 5
6
2
 log 4 6)  (log 3 4  log 3 36)  6 2 log6 5
3
81
3
 log 3
)  (log 15 5  log 15 3)  8log 7
186. (log 3
100
100
2
187. (2 log 6 2  log 6 9)  (log 5 100  2 log 5 2)  log 1 4
185. (log 4
210. ((3 3 )
212.
188. (lg 8  lg 125)  (log 0,3 9  2 log 0,3 10)  3
log3 7
2 lg 3
189. (log 12 2  log 12 72)  (log 1 28  log 1 7)  10
3
12  2 log
3
log7 8
2)  4log4 15
;
194.
198.
218.
;
 5 8 25 32 
3

5
3
;
4
625x 4  5 32 x5  36 x 2 ; x  0,25
;
219.
;
220.
;
221.
6 x  216
23 x 5  16
5 x 1  5 x  150
222. 5(0,3)  0,45
x
;
223. 2(2 )  17(2 )  8  0
2x
199.
200.
201.
202.
203.
;
224.
226.
205.
x
2(3 x 1 )  3 x  15
3x  9
225.
17 x
2
5 x  6
x
x
2
227.  
3
228.
204.
3 
 729
5
3
Решить уравнение
195.
196.
197.
2
215.
216.
217.
5 lg 2
192. (2 log 6 2  log 6 9)  (log 5 100  log 5 2)  10
193.
27 490,5
)
21
213.
214.
2
190. (log 12 4  log 12 36)  (2 lg 3  lg 90)  7
2
3
2
2
2
1

3


211. arccos( 1)  3 arcsin 1  3arcctg   3 
2
191. (lg 25  lg 4)  (log
6
5 17
7
209. ( 4 5 )( 4 5 )
1
27
9
  
64
8
0,5sin x cos x  1
229. 2
x 3

1
32
2
Решить уравнение
257.
230. log 3 ( x  10 x  40)  log 3 (4 x  8)
258.
2
231.
lg( x  2)  lg( x  2)  lg( 5 x  10) 259.
232. log 0,1 5x  6  log 0,1
x 2
233. ( x  3x) 14  5 x  x)  0
2
234. x  3x  18)  4 x  3x  6  0
2
2
x  8 x  12 x  0
x
x
236. 2 x  4 x  4  2  0
x 1
x
237. 3  29  18(3 )
235.
5
4
260.
2
261.
262.
263.
3
264.
265.
1
238.    x  4
3
266.
9
2
268.
x
239.
x 2
240.
2x  3  x
241.
x  5  4 x  17
242.
243.
244.
269. sin x  cos x  0,5
4
x4  x  9  x2  1
x2  4 x  3  3
273.
7 sin x  3 cos 2x  0
tg 2 x  3tgx  0
cos(  x)  1  0
sin x  sin x  2  0
2
4 sin 2 x  cos x  1  0
1
sin 2 x 
4
274.
275. 5 sin 2 x  4 cos x  8 cos x  0
3
 
 
sin
x


cos


 x    1  cos 2 x
276.
6
3


277.
250.
tgx  2ctgx  1  0
251.
tgx  3ctgx  2 3
280.
252.
tg 2 x  3
(1  cos x)(3  2 cos x)  0
254.
255.
256.
sin 2x  sin x  0
sin 7 x  sin 3x  3 cos 2x
cos 3x  cos 5x  sin 4x
3 cos 2x  7 sin x  4
278. sin x  3 cos x  3
279.
253.
4


tg
  x   tgx  2
271.
4

272. tgx sin 2 x  0
247.
249.
6 sin 2 x  4 sin x cos x  1
sin 2 x  sin 2 x  0
cos x  cos 3x
3 sin 2 x  cos 2 x  0
sin 3x  sin x  0
246.
248.
5 sin 2 x  3 cos 2 x  4 sin 2 x
2 cos 2 x  4 sin 2 x  3
2 sin x  3 cos x  0
3 sin x  cos x  0
2 sin x  cos x  2
4 sin x  3 cos x  3
(ctgx  4)(ctgx  3)  3
270.
2 cos 2 x  cos x  1  0
2 cos 2 x  5 sin x  1  0
245.
267.
3 sin 2 x  4 sin x cos x  cos 2 x  0
2 sin x  3  0
5  12 x  x2  x  7


281. tg   x   3  0
3

282. 6 cos x  7 sin x  8  0
283. 2 sin x  1
2
284.
x  1  2 x 2  3x  5
2
2
285. 4 sin x  5 sin x cos x  6 cos x  0
286.
287.
5  x  x 1
314.
sin x  cos x  1
288.
289.
340. y  3x 3 
315. y  3x 2  1 ln x 2  e
x
316. y  3 sin
2
3
317. y  5x  cos 7 x  
290.
291.
292.
293.
294.
295.

318.
y  ln tgx  cos
319.
y  ln cos x  2
320.
ye
321.
y  ln( x 2  1)  
x 1
297.
298.
323.
y  x  14 x  5
2
300. y  3 x  x  x
2
301.
y  3x  41  x 2
y  5 x 2 sin  x
1
2x
325. y  e  2  3
2x
302.
y  30 x 4  e x
303.
y  5x2 
log 3 (2 x  4)
x4
327. y 
ln( 3 x  2)
5x
1
x
y  2 cos x  x
328.
y  ln( x  1) cos x
329.
y  x 4 log 1 (2 x  7)
y  6 x ln( 3x  5)
305.
3
y 5 x  4
x
330.
331.
y  e cos x x 3
306.
y  tgx  x  e
304.
7
yx e
2 x
307.
308.
y  cos x  sin x
309.
y
310. y 
311.
x
3x  x 3
cos x
ex
y  ( x 2  3x  10)3
312.
y  2  x2
313.
y  sin 5 x
3
3
x
332. y 
333.
y
ln( 2 x  1)
3x
log 3 (2 x  4)
x4
346.
347.
348.
;
349.
;
350.
;
351.
352.
;
;
353.
354.
;
;
355.
356.
;
;
357.
x 1
y  10 x 
x2  3
359.
y  cos 3x 2
sin 2 x
e3x
y  5x tg 2 x
sin x
2
335. y  e  ln sin x  e
336. y  12 x  x
338.
339.
2
358.
2
334.
337.
343. y  x 2 log 1 (3x  1)
345. y 
y  esin x x 2
326. y 
342. y  ( x 2  2) x 2  1

2
 ln x  1 
11
 sin x
x
y  tg3x(4 x )
344. y 
324.
Найдите производную функции
341.
3
2
322. y  arcsin x  1  2 x
296.
299.
y  2(5 x )  3e x
y  e x  0,9 x 2
y  2 sin x  3 x
2
x
Упростить выражение
2
2
2
360. sin   cos   ctg 
361. 1  (sin  )(tg )(cos  )
sin 2   cos 2 
ctg
(1  sin  )tg 2 (1  sin  )
sin 2 
ctg 2
2
1  sin 
cos 2   sin 2 
sin  cos 
(1  ctg 2 ) cos 2 
sin 2  (1  tg 2 )
sin 2   cos 2   tg 2
1 : cos 
362.
363.
364.
365.
366.
367.
368. 2 sin 90  2 cos 0  3sin 270  10 cos180
2
2
369. a cos 270  b sin 0  2abctg90

3
2
370. a cos sin  2b cos ctg
2
2
sin   cos  2
371.
1  sin 2
cos 
372.
sin 2

2
 cos 2
cos 2
sin   cos 
373.
1  cos 2
374.
sin 
sin 
375.
1  sin 2 
1  cos 2 
tg 2
376.
sin 2
377.
cos 2 
sin

cos 2
2

2
 cos

2
 sin 2


2
379.
x
380.
1
y

1
1
x2  y2

1
x2  y2
2
3
1
2
 
3
4

1
a c 
381.  0,36ac  
125


 

1
3
1 5  4 6  2 5
382.
383. sin 2 xctgx  1
6
3 3
12
384. ( 2a )( 2a ) : 32a
2
1
1


2
2
385. 1  c   2c


4
2
3
3
386. 2a ( a ) 3( a )
387.
388.
389.
5
5m8 5 160n8
:
n7
m12
;
390.
391.
392.
393.
394.
395.
396.
397.
2
398.
378.
1  cos 2 
2 sin 
;
421.
Доказать тождество
399. (1  cos  )(1  cos  )  sin
4  5 cos  3  5 sin 

0
400.
3  5 sin  4  5 cos 
401.
2
422.

423.
424.
tg 2 1  ctg 2
 tg 2
402.
2
2
1  tg  ctg 
2 sin  cos   cos 
 ctg
1  sin   sin 2   cos 2 
426.
2
2
2
2
2
2
404. sin  cos   cos  sin   sin   sin  427.
2
2
2
2
2
2
405. sin   sin   sin  sin   cos  sin   1
428.
403.
2
2
2
2
406. (tg   sin  )ctg   sin 
407. (sin   cos  )  (sin   cos  )  2
2
2
2
408. (1  tg )  (1  tg ) 
cos 2 
2
2
409. 4 sin  cos  (cos   sin  )  sin 4

2

 cos 
2
2
411. sin(    ) cos(   )  cos(   ) sin(    )  sin 2
4
410. cos
 sin 4
412. 4 cos   1  1  2 cos 2
2
413. (sin   cos  )  (sin   cos  )  2 sin 2
2
2
2
414. (sin   cos  )  2 sin   sin 2  cos 2
415.
1
1
2


1  sin  1  sin  cos 2 
4
4
2
2
416. cos   sin   cos   sin 
sin 2 
cos 2 
1


 sin  : cos 
417.
1  ctg 1  tg
418.
tg ctg 2  1
1
1  tg 2 ctg
419.


2 cos   2 cos   
4
  tg


2 sin      2 sin 
4

(cos x  sin x) 2  1
 2tg 2 x
420. ctgx  sin x cos x


2tgx
2 cos 2 x  1  sin 2 x
2
1  tg x
1  ctgt
 ctgt
1  tgt
1  cos   cos 2
 ctg
sin 2  sin 
1  4 sin 2 t cos 2 t
 2 sin 2t cos t  1
425.
(sin t  cos t ) 2
tg 2  sin 2   tg 2 sin 2 
2
sin 2  sin 4
 ctg
cos 2  cos 4
429.
Геометрия
430. Через концы отрезка АВ и его середину М проведены параллельные прямые, пересекающие
некоторую плоскость в точках А1, В1 и М1. Найдите длину отрезка ММ1, если ВВ1= 3,6 дм, АА1= 4,8
дм.
431. Точки М, Н, К, Р–середины соответственно отрезков АD, DС, ВС, АВ. Найдите периметр
четырёхугольника МНКР, если МР = 8дм., АС =32дм.
432. Дан треугольник АВС. Плоскость, параллельная прямой АВ, пересекает сторону АС этого
треугольника в точке А1, а сторону ВС – в точке В1. Найдите длину отрезкаА1В1, если В1С = 10см.,
АВ/ВС = 4/5.
433. Точка С лежит на отрезке АВ. Через точку А проведена плоскость , а через точки В и С –
параллельные прямые, пересекающие плоскость соответственно в точках В1 и С1. Найти длину
отрезка СС1, если точка С – середина отрезка АВ иВВ1=7м.
434. Точка М, Н, Р и К – середины соответственно отрезков АD, DС, АВ и ВС; РК || МН. Найти
периметр четырехугольника МНКР, если АС=8дм., ВD=10дм.
435. На сторонах АВ и АС треугольника АВС взяты соответственно точки D и Е так, что DЕ = 5см., а
ВD / DА =2/3. Плоскость  проходит через точки В и С и параллельна отрезку ДЕ. Найдите длину
отрезка ВС.
436. Точка А - середина отрезка МР, а точки В, С, D лежат соответственно на отрезках КР, КН, МН.
ВС || РН, АD || РН, АВ || СD. Найдите РН, если АВ=4дм., а периметр четырехугольника АВСD равен
28 дм.
437. Плоскость, параллельная основаниям трапеции, пересекает стороны АВ и СD в точках М и К
соответственно, АD=10м., ВС=6м. Найти МК, если М-середина отрезка АВ.
438. Точки М, N, Q и Р - середины отрезков DВ и DС, АС и АВ. Найти периметр четырехугольника
MNQP, если АD=12мм., ВС=14мм.
439. Точка С лежит на отрезке АВ. Через точку А проведена плоскость, а через точки В и Спараллельные прямые, пересекающие эту плоскость соответственно в точках В1 и С1. Найдите длину
отрезка СС1, если АC/СВ=3/2 и ВВ1=20м.
440. Дан треугольник АВС. Плоскость, параллельная прямой АВ, пересекает сторону АС в точке К, а
сторону ВС - в точке М. Найти длину отрезка АВ, если длина КС =12дм., АС=24дм., КМ=9дм.
441. Параллельные плоскости  и  пересекают сторону АВ угла ВАС соответственно в точках А1
и А2 , а сторону АС этого угла – соответственно в точках В1 и В2. Найти АА2 и АВ2, если
А1А2=2А1А, А1А2=12м., АВ1=5м.
442. Точки D, С, В лежат соответственно на отрезках МК, МН, РН. Точка А – середина отрезка РК,
АВ||СD, ВС||АD, ВС||РМ, СD||НК. Найти РМ и НК, если СD=16мм., ВС=8мм.
443. Через концы отрезка АВ и его середину М проведены параллельные прямые, пересекающие
некоторую плоскость в точках А1, В1 и M1. Найдите длину отрезка MM1, если AA1=5 см, BB1=7 см.
444. Через точку К проведены две прямые a и b, пересекающие две параллельные плоскости  и
 : первую в точках А1 и А2, вторую в точках В1 и В2 соответственно. Вычислить КА1 и КВ2, если:
а) А1А2/В1В2=3/4, А1В1=7дм, КА2=12дм;
б) А1А2/ В1В2 =1/6, А2В2=3см., В1К=12см.
Точка К не лежит между плоскостями  и .
445. В треугольнике АВС АВ=15м., АС=24м. Через точку М на стороне АВ, находящейся на
расстоянии 10м от точки А, проведена плоскость, параллельная прямой АС и пересекающая
сторону ВС в точке К. Найдите длину отрезка МК.
446. Плоскость, параллельная стороне АВ треугольника АВС, пересекает его стороны в точках М и К.
Найти АВ, если М- середина стороны АС и МК=10мм.
447. Параллельные плоскости  и  пересекают стороны угла АВС в точках А1, С1, А2, С2
соответственно. Найти ВС1, если А1В/А1А2=1/3, ВС2=12мм.
448. Точка К лежит между параллельными плоскостями  и . Прямые а и b, проходящие через
точку К, пересекают плоскость  в точках А1 и В1, а плоскость  в точках А2 и В2
соответственно. Найти КВ1, если:
а) А1К/А1А2=1/3, В1В2=15м.;
б) В1А1/В2А2=4/6, КВ2=8дм;
в) А2К/А1А2=2/5, В1В2=20см;
г) КВ2/А2В2=6/5, А1В1=20мм.
449. Треугольник АРD и трапеция АВСD имеют общую сторону АD и лежат в разных плоскостях.
Через основание ВС трапеции и середину отрезка РD – точку К проведена плоскость, которая
пересекает прямую АР в точке М. Найти МК, если АД=10м.
450. Через точку А стороны КМ треугольника КМР проведена плоскость, параллельная прямой МР.
Вычислить длину отрезков, на которые делится эта плоскость сторону КР, если МК=10см., МА=6см,
КР=15дм.
451. Треугольники АВС и DВС не лежат в одной плоскости и имеют общую сторону; точки М, Н, Ксередины соответственно сторон ВD, DС, АС. Отрезок АВ пересекает плоскость МКН в точке Р.
Найти РК, если ВС=8м.
452. Параллельные плоскости  и  пересекают сторону АВ угла ВАС соответственно в точках А1 и
А2, и сторону АС этого угла - соответственно в точках В1 и В2. Найти А2В2 и АА2, если А1В1=18см.,
АА1=24см., АА2=3/2А1А2.
453. Верхние концы двух вертикально стоящих столбов, удалённых на расстоянии 12м, соединены
перекладиной. Высота одного столба 21м, а другого – 26м. Найдите длину перекладины.
454. Из вершины А прямоугольника АВСD восстановлен перпендикуляр АК к его плоскости.
Расстояние от точки К до других вершин равна 6м, 7м, 9м. Найдите длину перпендикуляра АК.
455. Точка L находится на расстоянии 10см. от вершин равностороннего треугольника АВС со
стороной АВ=8 3 см. Найдите: а) расстояние от точки L до плоскости треугольника LО; б)
площадь треугольника АОL; в) расстояние от точки L до сторон треугольника.
456. Из точек А и В, лежащих в двух перпендикулярных плоскостях, опущены перпендикуляры АС и
ВD на прямую пересечения плоскостей. Найдите длину отрезка АВ, если АС= 6м, ВD= 7м, CD=6м.
457. Из центра О квадрата АВСD со стороной 18 м. к его плоскости проведён перпендикуляр ОМ
длиной 12 м. Найдите: а) расстояние от точки М до стороны АВ; б) площадь треугольника АМВ.
458. Даны прямоугольник АВСD и точка F вне его плоскости. Прямая АF перпендикулярна прямым
АВ и АD. Известно, что стороны прямоугольника АВ = 4 см., АD = 3 см., а длина перпендикуляра
АF = 12 см. Найдите: а) длину отрезка FС; б) SFАС.
459. Прямые АВ и СD перпендикулярны некоторой плоскости и пересекают её в точках В и D
соответственно. Найдите АС, если АВ = 9дм., СD = 15дм., ВD = 8дм. и точки А и С лежат по одну
сторону плоскости.
460. Из центра О правильного треугольника АВС со стороной 3 3 м. проведён перпендикуляр ОD к
его плоскости длиной 4м. Найдите расстояние от точки D до вершины треугольника.
461. Из точек А и С, лежащих в двух перпендикулярных плоскостях, опущены перпендикуляры АС и
ВD на прямую пересечения плоскостей. Найдите длину отрезка АВ, если АВ = 3 м., СD = 4 м., ВD =
12 м..
462. Через концы отрезка МН проведены прямые, перпендикулярные некоторой плоскости и
пересекающие её в точках К и Т соответственно. Найдите МН, если КТ = 5 дм, МК =6 дм., НТ = 4
дм. и точки М и Н находятся по одну сторону от плоскости.
463. Дан прямоугольник АВСD и точка L вне его плоскости. Прямая LD перпендикулярна прямым
СD и AD. Длина отрезка LD=6см., а стороны прямоугольника - AB=4см, AD=3см. Найдите: а) длину
отрезка LB; б) SLBC.
464. Плоскости  и  перпендикулярны. В плоскости  взята точка S, расстояние от которой до
прямой с (линии пересечения плоскостей) равно 0,5 м. В плоскости  проведена прямая b,
параллельная прямой с и отстоящая на 1,2 м от нее. Найдите расстояние от точки S до прямой b.
465. Точка L находится на расстоянии 10см от вершины прямоугольника ABCD со сторонами 6 см и 8
см. Найдите:
466. а) расстояние от точки L до плоскости прямоугольника LO;
467. б) площадь треугольника ALC.
468. Точка S не принадлежит плоскости равностороннего треугольника. Найдите сторону
треугольника, если расстояние от точки S до вершин треугольника 13дм., а до плоскости
треугольника – 5дм.
469. Расстояние от точки S до сторон квадрата ABCD равно 10 дм, а до плоскости квадрата 6дм.
Найдите: а) сторону квадрата; б) площадь треугольника ASD.
470. Точка М находится на расстоянии 12 см и 5 см от двух перпендикулярных плоскостей. Найдите
расстояние от этой точки до линии пересечения плоскостей.
471. Отрезок MH не имеет общих точек с плоскостью. Прямые МР и НО, перпендикулярные этой
плоскости, пересекают её в точках Р и О соответственно. МР=12мм., МН=13мм., НО=24мм. Найдите
РО.
472. Точка L находится на расстоянии 10м. от вершины равностороннего треугольника со стороной
8 3 м. Найдите расстояние от точки L до плоскости треугольника.
473. Точка М не принадлежит плоскости квадрата ABCD. Прямая АМ перпендикулярна прямой АВ и
АD, причем АВ=8 м, АМ=6 м. Найдите:
а) длину отрезка МС; б) площадь треугольника MDB.
474. Прямая SA перпендикулярна плоскости прямоугольника ABCD. Стороны АВ и АС
прямоугольника равны 7 см и 5 см. соответственно, а отрезок SC=13 см. Найдите: а) длину отрезка
SB; б) площадь треугольника SDC.
475. Дан квадрат ABCD со стороной 8 2 м. Из точки N в центр квадрата опущен перпендикуляр.
Угол между отрезком NA и плоскостью квадрата равен 600. Найдите: а) расстояние от точки N до
вершин квадрата; б) площадь треугольника ANC.
476. Из точек К и L, лежащих в двух перпендикулярных плоскостях, опущены перпендикуляры KC и
LD на прямую пересечения плоскостей. Найдите длину отрезка KL, если KD=LC=5м, CD=1м.
477. Сторона равностороннего треугольника равна 12 3 дм. Найдите расстояние до сторон
треугольника от точки, которая находится на расстоянии 8 дм от плоскости треугольника.
478. Через точки А и В проведены прямые, перпендикулярные плоскости , пересекающие её в
точках С и D соответственно. Найдите расстояние между точками B и D, если АС=3 м, АВ=2,6 м,
CD=2,4 м и отрезок АВ не пересекает плоскость .
479. Из центра О квадрата ABCD восстановлен перпендикуляр ОК длиной 9 м. Расстояние от точки К
до вершин квадрата равно 15 м. Найдите: а) сторону квадрата; б) SАКС.
480. Стороны равностороннего треугольника равны 6 3 см. Найдите расстояние до плоскости
треугольника от точки, которая находится на расстоянии 8см от каждой стороны.
481. Дан квадрат АВСD и точка Н вне его плоскости, причем АН  ABCD. Длина отрезка НС=10 дм,
а сторона квадрата 5 дм. Найдите: а) длину отрезка НВ; б) SHАС.
482. Из точек А и В, лежащих в перпендикулярных плоскостях  и , опущены перпендикуляры АС и
BD на прямую пересечения плоскостей. Найдите длину отрезка АВ, если: AD= 4 м, ВС=3 м, CD=2 м.
483. Телефонная проволока длиной 15 м протянута от телефонного столба, где она прикреплена на
высоте 8 м от поверхности земли, к дому. Найдите, на какой высоте прикрепили к дому проволоку,
если расстояние между домом и столбом равно 9 м.
484. Из точки к плоскости проведены две наклонные. Найдите длины наклонных, если одна из них на
26 см больше другой, а проекции наклонных равны 12 см и 40 см.
485. Отрезок МН пересекает некоторую плоскость в точке К. Через концы отрезка проведены прямые
НР и МЕ, перпендикулярные плоскости и пересекающие её в точках Р и Е. Найти РЕ, если НР=4дм.,
НК=5дм., МЕ=12дм..
486. Прямые АВ и CD перпендикулярны некоторой плоскости и пересекают её в точках В и D
соответственно. Найти АС, если АВ=9м., СD=15м., ВD=8м. и точки А и С лежат по разные стороны
плоскости.
487. Из точки к плоскости проведены две наклонные, равные 23 см и 33 см. Найдите расстояние от
этой точки до плоскости, если проекции наклонных относятся как 23.
488. Отрезок МН пересекает некоторую плоскость в точке К. Через концы отрезка проведены прямые
НР и МЕ, перпендикулярные плоскости и пересекающие её в точках Р и Е. Найти РЕ, если НР=4дм.,
НК=5дм., МЕ=12дм.
489. Прямые АВ и CD перпендикулярны некоторой плоскости и пересекают её в точках В и D
соответственно. Найти АС, если АВ=9м., СD=15м., ВD=8м. и точки А и С лежат по разные стороны
плоскости.
490. Из точки к плоскости проведены две наклонные, равные 23 см и 33см. Найдите расстояние от
этой точки до плоскости, если проекции наклонных относятся как 23.
491. Точка Е не принадлежит плоскости прямоугольника АВСD, ВЕ  АВ, АЕ  АD. Найти площадь
треугольника ЕВD, если ВD=7м., ЕD=25м.
492. В треугольнике АВС АВ=АС=20мм., ВС=24мм. Отрезок АМ перпендикулярен плоскости АВС и
равен 12мм. Найти расстояние от точки М до прямой ВС.
493. Основанием прямой призмы служит прямоугольник со сторонами 4 см и 8см. Высота призмы
равна 5см. Найдите площадь диагонального сечения призмы и диагональ призмы.
494. В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 проведено сечение через вершину В1 и ребро АС.
Найдите периметр и площадь сечения, если сторона основания равна 12 м, а боковое ребро 9м.
495. В правильной четырехугольной призме со стороной основания 6 дм и высотой 15 дм проведено
диагональное сечение, которое разбивает ее на две треугольные призмы. Найдите площадь боковых
поверхностей треугольных призм.
496. Дан прямоугольный параллелепипед KLMNK1L1M1N1, сторона KL = 7м, а LM = 24 м.
Диагональ параллелепипеда наклонена к плоскости основания под углом 450. Найдите высоту
параллелепипеда.
497. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 12 см, а апофема боковой грани –15 см.
Найдите боковое ребро пирамиды.
498. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 12 м, а апофема боковой грани 8
м. Найдите боковое ребро пирамиды и высоту.
499. В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна 15 дм, а
один из катетов – 9 дм. Найдите площадь сечения, проведенного через середину высоты пирамиды,
параллельно ее основанию.
500. Дана прямая призма, в основании которой лежит прямоугольник. Высота призмы равна 9м., а
диагональ призмы 15м. Найдите площадь диагонального сечения.
501. В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 проведено сечение через вершину С1 и ребро АВ.
найдите периметр сечения, если сторона основания равна 24см., а боковое ребро-10см.
502. Диагональное сечение правильной четырёхугольной призмы, у которой сторона основания равна
10см. и высота 12см., разбивает её на две треугольные призмы. Найдите площади боковых
поверхностей треугольных призм.
503. В правильной четырёхугольной призме площадь основания равна 144дм2, а высота 14дм.
Найдите диагональ призмы.
504. Определите площадь диагонального сечения прямоугольного параллелепипеда по трём его
измерениям 1, 2, 2.
505. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны 9м. и 12м., а диагональ наклонена к
плоскости основания под углом 600. Найдите высоту параллелепипеда.
506. Высота прямой призмы равна 10см. Основанием призмы является прямоугольник со сторонами
6см. и 8см. Найдите площадь диагонального сечения.
507. В правильной четырёхугольной призме диагональ боковой грани 23м., а диагональ основания
20м. Найдите диагональ призмы.
508. Длины рёбер прямоугольного параллелепипеда равны 6см.. 8см. и 24см. Найдите длины его
диагоналей.
509. В основании прямой призмы лежит прямоугольник со сторонами 2м. и 2 8 м. Диагональ призмы
наклонена к плоскости основания под углом 450. Найдите длину бокового ребра.
510. В прямой призме основанием является прямоугольник со сторонами 2м. и 4м. Высота этой
призме равна 3м. Найдите площадь диагонального сечения.
511. АВСА1В1С1- прямая треугольная призма, в основании которой лежит равнобедренный
треугольник со сторонами 10см., 10см. и АС=16см. Найдите площадь сечения, проходящего через
вершину В и ребро А1С1, если высота призмы равна 2см.
512. В правильной четырёхугольной призме диагональ боковойграни 10м., а диагональ основания
8 2 м. Найдите площадь диагонального сечения.
513. Найдите диагональ прямоугольного параллелепипеда, если диагонали его боковых граней имеют
длины 19 и 20м., а высота – 11м.
514. В прямоугольном параллелепипеде стороны основания равны 5см. и 12см., а диагональ
параллелепипеда наклонена к плоскости основания под углом 450. Найдите высоту
параллелепипеда.
515. Основанием прямой призмы служит прямоугольник. Диагональ основания равна 6дм., а
диагональ призмы 8дм. Найдите площадь диагонального сечения.
516. Сторона основания правильной треугольной призмы равна 24м, а высота призмы 18см. Найдите
периметр сечения, проведённого через сторону нижнего основания и противолежащую вершину
верхнего основания.
517. Определите диагонали прямоугольного параллелепипеда по трём его измерениям 2, 3, 6.
518. Стороны прямоугольника, который лежит в основании прямой призмы, равны 4см и 6см.
Диагональ призмы - 8см. Найдите площадь диагонального сечения.
519. Найдите высоту правильной четырёхугольной призмы, если сторона основания равна 2м, а
диагональ составляет с плоскостью основания угол 450.
520. В правильной треугольной призме сторона основания равна 12м., а высота – 9м. Найдите
периметр сечения, проходящего через вершину С и ребро А1В1.
521. Сторона основания правильной четырёхугольной призмы равна 4м, а высота- 8м. Найдите
площади боковых поверхностей треугольной призмы, образованной диагональным сечением.
522. В основании прямоугольного параллелепипеда лежит квадрат со стороной 4см. Диагональ
параллелепипеда образует с плоскостью основания угол 600. Найдите высоту призмы.
523. В правильной треугольной призме сторона основания равна 8см., а высота 6см. Найдите площадь
сечения, проведенного через ребро А1С1 и вершину В.
524. Площадь основания правильной четырёхугольной призмы равна 81дм2, а высота-5дм. Найдите
площади боковых поверхностей треугольных призм, образованных диагональным сечением.
525. В правильной четырёхугольной призме расстояние от вершины верхнего основания до середины
диагонали нижнего основания равно 10см. Высота призмы 6см. Найдите длины сторон оснований
призмы.
526. В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 площадь основания равна 16см2.
Найдите расстояние между прямыми АА1 и В1D.
527. В правильной треугольной призме боковое ребро равно 3см., а расстояние от вершины верхнего
основания до середины противоположной стороны нижнего основания равно 6см. Найдите длины
остальных рёбер призмы.
528. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 12 3 см., а каждое боковое ребро
13см. Найдите высоту пирамиды.
529. В основании пирамиды лежит прямоугольник со сторонами 3м. и 3 3 м. Высота пирамиды равна
4м. Найдите длину бокового ребра.
530. Найдите сторону основания правильной треугольной пирамиды, если высота пирамиды равна
6м., а апофема 10м.
531. В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна 12мм., а апофема 8мм.
Найдите боковое ребро пирамиды.
532. В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна 13м., а
один из катетов-12м. Найдите площадь сечения, проведённого через середину высоты пирамиды,
параллельно её основанию.
533. Каждая боковая грань правильной треугольной пирамиды наклонена к плоскости основания под
углом 300. Найдите сторону основания, если высота пирамиды равна 10мм.
534. Найдите сторону основания правильной треугольной пирамиды, если известно, что высота
пирамиды равна 21м., а длина бокового ребра-29м.
535. Дана четырёхугольная пирамида в основании которой лежит прямоугольник со сторонами 6дм. и
2 7 дм. Каждое боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 60 0. Найдите длину
бокового ребра.
536. Найдите апофему правильной треугольной пирамиды, если сторона основания равна 4 7 см., а
длина каждого бокового ребра 6см.
537. Стороны оснований правильной усечённой треугольной пирамиды 4дм. и 1дм. Боковое ребро
2дм. Найдите высоту пирамиды.
538. Апофема правильной треугольной пирамиды равна 6дм., а сторона основания 6 3 дм. Найдите
высоту пирамиды.
539. Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна 4 2 м. Найдите апофему
данной пирамиды, если длина бокового ребра равна 5м.
540. Основание пирамиды- прямоугольник со сторонами 6см. и 8см. Каждое боковое ребро пирамиды
равно 10см. Найдите высоту пирамиды.
541. В правильной треугольной пирамиде боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом
300. Сторона основания равна 12м. Найдите высоту пирамиды.
542. Высота правильной треугольной пирамиды равна 12см., а апофема 13см. Найдите длину
бокового ребра пирамиды.
543. Высота правильной четырёхугольной усечённой пирамиды равна 4дм. Стороны оснований-2дм.
и 8дм. Найдите площади диагональных сечений.
544. Найдите сторону основания правильной четырёхугольной пирамиды, если высота пирамиды
равна 2 7 м., а апофема 8м.
545. Боковое ребро пирамиды разделено на четыре равные части и через точки деления проведены
плоскости, параллельные основанию. Площадь основания равна 400см2. Найдите площади сечений.
546. Основание пирамиды – прямоугольник со сторонами 8см. и 6см. Высота пирамиды равна 12см.
Найдите длину бокового ребра.
547. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 3 3 м. Высота пирамиды равна
4м. Найдите длину бокового ребра.
548. В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна 25м., а
катет 7м. Найдите площадь сечения, проведенного через середину высоты пирамиды параллельно её
основанию.
549. Найдите сторону основания правильной четырёхугольной пирамиды, если боковое ребро равно
6м., а высота 2м.
550. Найдите длину бокового ребра правильной треугольной пирамиды, если апофема пирамиды
равна 41мм., а высота 40мм.
551. Найдите высоту правильной четырёхугольной пирамиды, если сторона основания равна 7 2 м.,
а каждое боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 450.
552. Дана пирамида KLMNF, основание LMNF- прямоугольник со сторонами 2 11 м. и 10м. Каждое
боковое ребро пирамиды равно 10м. Найдите высоту пирамиды.
553. Все боковые грани треугольной пирамиды составляют с плоскостью основания угол 450. Найдите
высоту пирамиды, если стороны основания равны 20, 21 и 29см.
554. В основании пирамиды лежит равнобедренная трапеция, основания которой равны 16 и 4см.
Найдите высоту пирамиды, если каждая её боковая грань составляет с плоскостью основания угол
600.
555. Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник с углом 1200. Боковые рёбра
образуют с её высотой, равной 16см., углы в 450. Найдите площадь основания пирамиды.
556. Осевым сечением цилиндра является квадрат, диагональ которого равна 8 2 см. Найдите
площадь осевого сечения и площадь основания цилиндра.
557. Образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом 300. Найдите высоту конуса и
площадь осевого сечения, если образующая конуса равна 12мм.
558. На расстоянии 8дм от центра шара проведено сечение, площадь которого равна 36дм2. Найдите
радиус шара.
559. Радиус основания цилиндра равен 5см, а его образующая – 9см. Найдите: площадь основания
цилиндра, площадь осевого сечения, диагональ осевого сечения.
560. Высота цилиндра равна 8см, радиус равен 5см. Найдите площадь сечения цилиндра плоскостью,
параллельной его оси, если расстояние между этой плоскостью и осью цилиндра равно 3см.
561. Осевое сечение конуса – равносторонний треугольник со стороной 6дм. Найдите высоту конуса,
площадь осевого сечения и основания.
562. Найдите площадь основания и площадь осевого сечения тела, полученного при вращении
прямоугольного треугольника с катетом 3см и прилежащим углом 300 вокруг меньшего катета.
563. Радиусы оснований усечённого конуса равны 5дм и 11дм, а образующая равна 10дм. Найдите: а)
высоту усечённого конуса; б) площадь осевого сечения.
564. Радиус сферы равен 112см. Точка, лежащая на плоскости, касательной к сфере, удалена от точки
касания на 15см. Найдите расстояние от этой точки до ближайшей к ней точки сферы.
565. Угол между высотой цилиндра и диагональю осевого сечения равен 600. Найдите площадь
осевого сечения и площадь основания цилиндра, если длина диагонали осевого сечения – 24мм.
566. Высота цилиндра равна 12м. а радиус основания равен 10м. Цилиндр пересечён плоскостью,
параллельной его оси, так, что в сечении получился квадрат. Найдите расстояние от оси цилиндра до
секущей плоскости.
567. Осевое сечение конуса – прямоугольный треугольник. Найдите площадь этого сечения и высоту
конуса, если радиус основания конуса равен 5 2 см.
568. Найдите площадь основания и площадь осевого сечения тела, полученного при вращении
квадрата вокруг одной из сторон. Диагональ квадрата равна 6 2 см.
569. Радиус основания конуса равен 14м. Найдите площадь сечения, проведённого перпендикулярно
его высоте через её середину.
570. Найдите площадь сечения шара радиуса 41см, проведённого на расстоянии 9см от центра.
571. На расстоянии 6дм от центра шара проведено сечение, площадь которого равна 64дм2. Найдите
радиус шара.
572. Радиусы оснований усечённого конуса равны 1м и2м, высота – 3м. Найдите площадь осевого
сечения и образующую конуса.
573. Угол между высотой конуса и образующей равен 300. Найдите образующую и площадь осевого
сечения конуса, если радиус основания равен 5м.
574. Найдите площадь основания и площадь осевого сечения тела, полученного при вращении
равнобедренного прямоугольного треугольника с катетом 6см вокруг его оси симметрии.
575. Площадь основания цилиндра – 5м2, а площадь осевого сечения – 10м2. Найдите высоту
цилиндра и диагональ осевого сечения.
576. Высота цилиндра равна 10дм. Площадь сечения плоскостью параллельной оси цилиндра и
удалённой на 9дм от неё равна 240дм2. Найдите радиус цилиндра.
577. Образующая конуса равна 25м, а диаметр основания - -48м. Найдите площадь основания и
осевого сечения конуса.
578. Осевым сечением цилиндра является квадрат, диагональ которого равна 3 2 см. Найдите
площадь
осевого сечения и площадь основания цилиндра.
．．
．
．
579. Найдите площадь основания и площадь осевого сечения тела, полученного при вращении
прямоугольника со сторонами 34м и 6м вокруг прямой, проходящей через середины его больших
сторон.
580. Радиусы оснований усечённого конуса равны 10м и 8м, а образующая составляет с плоскостью
основания угол в 450. Найдите площадь осевого сечения.
581. Сферу на расстоянии 8м от центра пересекает плоскость. Радиус сечения равен 15м. Найдите
радиус сферы.
582. Диаметр основания цилиндра – 30см. Цилиндр пересечён плоскостью, параллельной его оси, так,
что в сечении получился квадрат. Расстояние от оси цилиндра до секущей плоскости – 12см.
Найдите площадь сечения.
583. Площадь основания цилиндра 16 см2. Угол между образующей цилиндра и диагональю его
осевого сечения равен 300. Найдите площадь и диагональ осевого сечения.
584. Цилиндр пересечён плоскостью, параллельной его оси, на расстоянии 5мм. Найдите высоту
цилиндра, если диаметр основания – 26мм, а площадь сечения – 240мм.
585. Образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом 600. Найдите высоту конуса и
площадь осевого сечения , если радиус основания равен 9мм..
586. Найдите площадь основания и площадь осевого сечения тела, полученного при вращении
прямоугольника со сторонами 14м и 6м вокруг меньшей стороны.
587. Найдите образующую усечённого конуса, если радиусы оснований равны 3см и 6см, а высота
равна 4см.
588. Вершины равностороннего треугольника лежат на сфере радиуса 13см. Найдите расстояние от
центра сферы до плоскости треугольника, если сторона треугольника равна 10 3 см.
589. Плоскость, параллельная оси цилиндра, отсекает от окружности основания дугу в 600.
Образующая цилиндра равна 10 3 см, расстояние от оси до секущей плоскости равно 2см. Найдите
площадь сечения.
590. Площадь основания цилиндра относится к площади осевого сечения как 3   4. Найдите угол
между диагоналями осевого сечения.
591. Найдите угол при вершине осевого сечения конуса, если развёрткой его боковой поверхности
является сектор с дугой, равной 1800.
592. Вычислите площадь основания и высоту конуса, если развёрткой его боковой поверхности
является сектор, радиус которого равен 9см, а дуга равна 1200.
593. Сфера касается граней двугранного угла в 1200. Найдите радиус сферы и расстояние между
точками касания, если расстояние от центра сферы до ребра двугранного угла равно а.
594. В основании прямоугольного параллелепипеда лежит ромб, диагонали которого равны 12см и
16см. Высота параллелепипеда 8см. Найдите площадь его полной поверхности.
595. Диагональ правильной четырёхугольной призмы наклонена к плоскости основания под углом
600. Найдите объём призмы, если диагональ основания равна 4 2 см.
596. В правильной четырёхугольной призме диагональ боковой грани 3,5м., а диагональ основания 2,5 2 м. Найдите объём призмы.
597. Через два противолежащих ребра куба проведено сечение, площадь которого равна 64 2 см2.
Найдите площадь полной поверхности куба.
598. В прямом параллелепипеде стороны основания равны 6м и 8м и образуют угол в 300; боковое
ребро равно 5м. Определите полную поверхность этого параллелепипеда.
599. В прямой треугольной призме все рёбра равны. Боковая поверхность равна 12м2. Найдите объём
призмы.
600. Расстояние между параллельными прямыми, содержащими боковые рёбра наклонной
треугольной призмы, равны 2см, 3см и 4см, а боковые рёбра 5см. Найдите боковую поверхность
призмы.
601. В прямом параллелепипеде стороны основания 3см и 8см, угол между ними 600. Боковая
поверхность равна 220см2. Найдите полную поверхность.
602. Основание прямой призмы – прямоугольный треугольник с катетом 6см и острым углом 450.
Объём призмы равен 108см3. Найдите площадь полной поверхности призмы.
603. Основание прямой призмы – равнобочная трапеция, одно из оснований которой в два раза
больше другого. Непараллельные боковые грани призмы – квадраты. Высота призмы равна 6см.
Площадь боковой поверхности призмы равна 144см2. Вычислите объём призмы.
604. Апофема правильной треугольной пирамиды равна 6дм., а сторона основания 6 3 дм. Найдите
площадь полной поверхности пирамиды.
605. В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна 10см, а высота – 12см.
Найдите площадь полной поверхности пирамиды.
606. В правильной четырёхугольной пирамиде высота равна 7м, а боковое ребро наклонено к
плоскости основания под углом 450. Найдите объём пирамиды.
607. Основание пирамиды – прямоугольник со сторонами 6см и 8см. Все боковые рёбра равны 13см.
Найдите объём пирамиды.
608. Основание пирамиды – ромб с диагоналями 6м 8м. Высота пирамиды опущена в точку
пересечения его диагоналей. Меньшие боковые рёбра пирамиды равны 5м. Найдите объём
пирамиды.
609. Каждая боковая грань правильной треугольной пирамиды наклонена к плоскости основания под
углом 300. Найдите площадь полной поверхности пирамиды, если её высота равна 10мм.
610. Дана четырёхугольная пирамида в основании которой лежит прямоугольник со сторонами 6дм. и
2 7 дм. Каждое боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 60 0. Найдите объём
пирамиды.
611. В правильной треугольной пирамиде боковое ребро равно 4см, а сторона основания – 6см.
Найдите площадь полной поверхности пирамиды.
612. Основанием пирамиды DABC является треугольник, в котором АВ = 20см, АС = 29см, ВС =
21см. Грани DAB и DAC перпендикулярны к плоскости основания, а грань DBC составляет с ней
угол в 600. Найдите объём пирамиды.
613. В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна 13м., а
один из катетов-12м.Через середину высоты пирамиды, параллельно её основанию проведёно
сечение. Найдите объём полученной усечённой пирамиды.
614. Стороны оснований правильной усечённой треугольной пирамиды 4дм. и 1дм. Боковое ребро
2дм. Найдите площадь полной поверхности усечённой пирамиды.
Цилиндр
696.
Осевым сечением цилиндра является квадрат, диагональ которого равна 3 2 см. Найдите
площадь поверхности цилиндра.
697.
Прямоугольник, стороны которого равны 6см и 4см, вращается около меньшей стороны.
Найдите площадь поверхности тела вращения.
698.
Найдите объём тела, полученного вращением прямоугольника со сторонами 6м и 10м
вокруг прямой, проходящей через середины его больших сторон.
699.
Площадь осевого сечения цилиндра равна 20см2. Найдите площадь его боковой
поверхности.
700.
Радиус основания цилиндра равен 2дм, площадь боковой поверхности вдвое больше
площади основания. Найдите объём цилиндра.
701.
Найдите объём тела, которое получено при вращении квадрата со стороной 7дм вокруг
прямой, соединяющей середины противоположных сторон.
702.
Высота цилиндра равна 6см, а площадь боковой поверхности вдвое меньше площади его
полной поверхности. Найдите объём цилиндра.
703.
Площадь осевого сечения цилиндра равна 108дм2, а его образующая в три раза меньше
диаметра основания. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.
704.
Радиус основания цилиндра равен 8м, площадь боковой поверхности вдвое меньше
площади основания. Найдите объём цилиндра.
Конус
705.
Образующая конуса равна 25м, а диаметр основания - -48м. Найдите объём конуса.
706.
Высота конуса равна 12дм, а его образующая равна 13дм. Найдите площадь полной
поверхности конуса.
707.
Угол между высотой конуса и образующей равен 300. Найдите площадь полной
поверхности конуса, если радиус основания равен 5м.
708.
Осевое сечение конуса – прямоугольный треугольник. Найдите объём конуса, если радиус
основания равен 5 2 см.
709.
Найдите объём тела, полученного при вращении прямоугольного треугольника с катетом
3дм и прилежащим углом 300 вокруг меньшего катета.
710.
Осевое сечение конуса – прямоугольный треугольник. Найдите полную поверхность
конуса, если радиус основания равен 5 2 см.
711.
Найдите полную поверхность тела, полученного при вращении прямоугольного
треугольника с катетом 3дм и противолежащим углом 300 вокруг меньшего катета.
712.
Высота конуса равна 12см, а угол при вершине осевого сечения равен 1200. Найдите
площадь полной поверхности конуса.
713.
Объём конуса с радиусом основания 6м равен 96 м3. Найдите площадь полной
поверхности конуса.
714.
Образующая конуса равна 5см, площадь его боковой поверхности равна 50 см2. Найдите
объём конуса.
715.
Высота конуса равна 8м, объём 24 м3. Найдите площадь полной поверхности конуса.
Сфера и шар
716.
Радиус сечения шара, проведённого на расстоянии 9см от центра, равен 40м. Найдите
объём шара.
717.
Сферу на расстоянии 8м от центра пересекает плоскость. Радиус сечения равен 15м.
Найдите площадь сферы.
718.
Шар с центром в точке О касается плоскости в точке А. Точка В лежит в плоскости
касания. Найдите объём шара, если АВ = 21см, ВО = 29см.
719.
Площадь сечения шара плоскостью, проходящей через его центр, равна 4 дм2. Найдите
объём шара.
Многогранники
720.
Сколько квадратных метров листовой жести пойдёт на изготовление трубы длиной 4м и
диаметром 20см, если на швы необходимо добавить 2,5 площади её боковой поверхности?
721.
Металлический куб имеет внешнее ребро 10,2см и массу 514,15г. Толщина стенок равна
0,1см. Найдите плотность металла, из которого сделан куб.
722.
Кирпич размером 25126,5см имеет массу 3,51кг. Найдите его плотность.
723.
Требуется установить резервуар для воды ёмкостью 10м3 на площадке размером
2,51,75м, служащей для него дном. Найдите высоту резервуара.
724.
Чугунная труба имеет квадратное сечение, её внешняя ширина 25см, толщина стенок 3см.
Какова масса одного погонного метра трубы (плотность чугуна 7,3 гсм3)?
725.
Деревянная плита в форме в форме правильного восьмиугольника со стороной 3,2см и
толщиной 0,7см имеет массу 17,3г, Найдите плотность дерева.
726.
Вычислите пропускную способность (в кубических метрах за 1ч) водосточной трубы,
сечение которой имеет вид равнобедренного треугольника с основанием 1,4м и высотой 1,2м.
Скорость течения 2мс.
727.
Сечение железнодорожной насыпи имеет вид трапеции с нижним основанием 14м,
верхним 8м и высотой 3,2м. Найдите, сколько кубических метров земли приходится на 1км
насыпи.
Тела вращения
728. Алюминиевый провод диаметром 4мм имеет массу 6,8кг. Найдите длину провода (плотность
алюминия 2,6 гсм3).
729.
Какое количество нефти (в тоннах) вмещает цилиндрическая цистерна диаметра 18м и
высотой 7м, если плотность нефти равна 0.85 гсм3?
730.
Свинцовая труба (плотность свинца 11,4 гсм3) с толщиной стенок 4мм имеет внутренний
диаметр 13мм. Какова масса трубы, если её длина равна 25м?
731.
25м медной проволоки имеют массу 100,7г. Найдите диаметр проволоки (плотность меди
8,94 гсм3).
732.
Насос, подающий воду в паровой котёл, имеет два водяных цилиндра. Диаметры
цилиндров 80мм, а ход поршня 150мм. Чему равна часовая производительность насоса, если
каждый поршень делает 50 рабочих ходов в минуту?
733.
Сколько бочек длиной 1,5м и диаметром 0,8м нужно, чтобы разлить в них содержимое
цистерны длиной 4,5м и диаметром 1,6м?
734.
Сколько листового железа требуется для изготовления цилиндрической цистерны
объёмом 20м3?
735.
Ведро имеет форму усечённого конуса, радиусы оснований которого равны 15см и 10 см,
а образующая равна 30см. Сколько килограммов краски нужно взять для того, чтобы покрасить с
обеих сторон 100 таких вёдер, если на 1м2 требуется 150г краски? (Толщину стенок вёдер в
расчёт не принимать.)
736.
Куча щебня имеет коническую форму, радиус основания которой 2м, а образующая 2,5м.
Найдите объём кучи щебня.
737.
Конусообразная палатка высотой 3,5м с диаметром основания 4м покрыта парусиной.
Сколько квадратных метров парусины пошло на палатку?
738.
Крыша силосной башни имеет форму конуса. Высота крыши 2м, диаметр башни 6м.
найдите поверхность крыши.
739.
Стог сена имеет форму цилиндра с коническим верхом. Радиус его основания 2,5м, высота
4м, причём цилиндрическая часть стога имеет высоту 2,2м. Плотность сена 0,03 гсм3.
Определите массу стога сена.
740.
Жидкость, налитая в конический сосуд высотой 0,18 м и диаметром основания 0,24 м,
переливается в цилиндрический сосуд, диаметр основания которого 0,1 м. Как высоко будет
стоять уровень жидкости в сосуде?
741.
Диаметр Луны составляет (приблизительно) четвёртую часть диаметра Земли. Сравните
объёмы Луны и Земли, считая их шарами.
742.
Стаканчик для мороженого конической формы имеет глубину 12см и диаметр верхней
части 5см. На него сверху положили две ложки мороженого в виде полушарий диаметром 5см.
Переполнит ли мороженое стаканчик, если оно растает?
743.
В цилиндрическую мензурку диаметром 2,5см, наполненную водой до некоторого уровня,
опускают 4 равных металлических шарика диаметром 1см. На сколько изменится уровень воды в
мензурке?
744.
Сколько кожи пойдёт на покрышку футбольного мяча радиуса 10см? (На швы добавить
8% от площади поверхности мяча.)