Основы финансовых вычислений

Основы финансовых вычислений
1. Начисление процентов и дисконтирование
1.1. Фактор времени
Концепция временной стоимости денег (принцип неравноценности
денег, относящихся к разным моментам времени), заключается в том, что теоретически любая сумма денег может быть инвестирована и принести доход.
Поэтому сегодняшние деньги имеют большую стоимость, чем будущие.
Следствие: недопустимо обычным образом суммировать или сравнивать
денежные суммы, относящиеся к разным моментам времени, для этого они обязательно должны быть приведены к одному моменту времени.
Для учета фактора времени в финансовых моделях используют 2 метода:
 наращение или начисление процентов
 дисконтирование.
1.2. Основные понятия
Начальная сумма P .
Процентные деньги (проценты) – это абсолютная величина дохода от
предоставления денег в долг в любой форме (выдача денежной ссуды, продажа
в кредит, помещение денег на сберегательный счет). I
Процентная ставка – отношение суммы процентных денег, выплачиваемых за фиксированный отрезок времени, к величине начальной суммы. i
Период начисления – интервал времени, к которому относится процентная ставка.
Количество периодов начисления n (срок операции)
Наращенная сумма долга – это начальная сумма вместе с начисленными
на нее процентами к концу срока. S
Наращение (капитализация) – это процесс увеличения суммы денег в
связи с начислением на нее процентов.
Ставка процентов называется простой, если она применяется к одной и
той же начальной сумме на протяжении всего срока операции (т.е. база для
начисления процентов постоянна).
Начисление простых процентов обычно используется в двух случаях: а)
при заключении краткосрочных контрактов, срок которых не превышает года;
б) когда проценты по мере начисления выплачиваются кредитору.
Ставка процентов называется сложной, если она применяется к начальной сумме долга с начисленными в предыдущих периодах процентами (т.е. база
для начисления процентов увеличивается за счет капитализации процентов).
Сложные проценты применяются: а) в долгосрочных финансовокредитных операциях, б) если проценты по мере начисления присоединяются к
начальной сумме.
1
1.3. Простые проценты
1.3.1. Формула наращения
1.3.2. Дробный срок
Срок операции в годах (n) вычисляется так:
n=t/K,
(7)
К – число дней в году (временная база);
t – срок операции в днях.
Число дней в году можно считать
 точно 365 или 366 – точные проценты;
 приближенно 360 = 12 • 30 – обыкновенные (коммерческие) проценты.
Срок операции в днях можно считать
 точно – фактическое число дней (спец. таблицы)
 приближенно – число полных месяцев • 30 + число оставшихся дней
Дата начала и дата окончания операции во всех случаях считаются за
один день.
В связи с этими различиями существуют три метода расчета процентов:
1. Точные проценты с точным числом дней операции (Британская практика,
обозначается 365/365). Этот вариант дает самые точные результаты.
2. Обыкновенные проценты с точным числом дней операции (Французская
практика, обозначается 365/360).
3. Обыкновенные проценты с приближенным числом дней операции (Германская практика, обозначается 360/360).
1.3.3. Простые переменные ставки
Процентные ставки могут изменяться во времени. В этом случае формула
для наращенной суммы имеет вид:
S = P • (1 + n1i1 + n2i2 + … + nmim) ,
(8)
где
i1, i2,…, im – ставки простых процентов;
n1, n2,…, nm – соответствующие им сроки (количества периодов начисления по соотв. ставке)
Задача 1. Ссуда в размере 7 000 руб. выдана на полгода под простую
процентную ставку 12 % годовых. Определите проценты и наращенную сумму
долга.
Задача 2. Вклад в размере 200 тыс. руб. был открыт 20 мая 2013 года под
простую процентную ставку 5 % годовых. С 1 сентября 2013 года банк снизил
ставку по данному виду вкладов до 4 % годовых. 24 октября 2013 года вклад
был закрыт. Определите сумму выплаченных процентов (проценты точные с
точным числом дней).
Задача 3. Вклад в размере 400 000 рублей был открыт под простую процентную ставку 4 % годовых 4 марта 2013 года. 24 апреля 2013 года на счет
было дополнительно внесено 50 000 рублей. 20 мая 2013 года со счета была
снята сумма 80 000 рублей. 17 июня 2013 года счет был закрыт. Определите
2
общую сумму, полученную вкладчиком при закрытии счета (проценты точные
с точным числом дней).
1.4. Сложные проценты
1.4.1. Формула наращения
Задача 4. Определите, в какую сумму обратится вклад в 10 000 рублей
через 5 лет при начислении сложных процентов по ставке 7,5 % годовых.
1.4.2. Сравнение простых и сложных процентов
…



при сроке менее года простые проценты более выгодны кредитору, т.к.
Sпр > Sсл;
при сроке в 1 год использование простых и сложных процентов приводит к
одинаковым результатам, т.к. Sпр = Sсл;
при сроке более года сложные проценты более выгодны кредитору, т.к.
Sпр < Sсл;
1.4.3. Дробный срок
Методы:
3
1) по формуле сложных процентов (9) с дробным показателем;
2) комбинированный метод: по формуле
S = P (1 + i) [n] (1 + {n} • i)
(13)
где [n] – целое число лет, {n} – дробная часть года, n = [n] + {n};
т.е. за целое число лет начисляются сложные проценты, а за дробное – простые,
3) по формуле
S = P (1 + i) [n]
(14)
т.е. за целое число лет начисляются сложные проценты, а за дробное – не
начисляются вообще
Задача 5. Вклад в сумме 20 000 рублей внесен в банк под 7 % годовых с
ежегодной капитализацией. Определите сумму вклада через 2,5 года: а) по
формуле сложных процентов; б) с использованием комбинированного метода.
1.4.4. Наращение по сложным процентам при изменении ставки
во времени
S  P(1  i1 ) n (1  i2 ) n ...(1  ik ) n
(15)
1
2
m
где
i1, i2,…, im – ставки сложных процентов;
n1, n2,…, nm – соответствующие им сроки (количества периодов начисления по соотв. ставке)
Задача 6. Фирма взяла в банке кредит на сумму 6 млн. руб. сроком на 4 года. Согласно договору за первые два года процентная ставка составила 14 % годовых и с учетом инфляции каждый последующий год повышалась на 0,5 %.
Определите наращенную сумму при ежегодной капитализации процентов.
1.4.5. Номинальная ставка
Номинальной называется объявленная годовая ставка сложных процентов, если начисление происходит несколько раз в год.
Введем обозначения:
j – номинальная ставка;
m – число начислений процентов в год;
n – срок операции в годах.
…
Задача 7. Ссуда в размере 10 000 рублей выдана на 5 лет. Определите
наращенную сумму ссуды при ежеквартальном начислении сложных процентов
по номинальной ставке 16 % годовых.
1.4.6. Эффективная ставка
Вообще эффективной называют годовую ставку сложных процентов,
оценивающую доходность финансовой операции в целом.
В данном разделе эффективной будем называть годовую ставку сложных
процентов при начислении 1 раз в год, которая дает тот же финансовый результат, что и m-разовое начисление в год по номинальной ставке j.
Задача 8. Вкладчик планирует вложить денежные средства в банк на год.
Первый банк предлагает начисление процентов ежемесячно по ставке 12 % го4
довых. Второй банк – начисление процентов поквартально по ставке 12,1 % годовых. В какой банк выгоднее вложить денежные средства?
Задача 9. Банк предлагает депозит на 3 месяца и 1 день. Какую ставку
следует объявить в договоре, чтобы эффективная ставка данного предложения
составила 8% годовых.
1.5. Математическое дисконтирование
Дисконтированием называют процесс определения современной стоимости денежной величины по ее известному значению в будущем, т.е. дисконтирование – это процесс, обратный наращению.
Величина Р, найденная дисконтированием, называется современной величиной, или текущей стоимостью, суммы S.
Приведение – это определение стоимости денежной величины на некоторый момент времени. Если сумма приводится к более ранней дате (чем та, к
которой она относится), то применяется дисконтирование, если к более поздней, то – наращение.
1.5.1. Дисконтирование по простым процентам
1.5.2. Дисконтирование по сложным процентам
1.6. Банковский учет
Операция учета платежного обязательства заключается в том, что его
покупают у владельца (являющегося кредитором) до момента погашения по
цене Р ниже той суммы S, которая должна быть выплачена по нему в конце
срока, т. е. приобретают его с дисконтом D = S – P.
Ставка, применяемая для расчета дисконта при учете платежного обязательства, называется учетной (дисконтной).
Итак, обозначения: S – сумма, получаемая при погашении платежного
обязательства, Р – сумма, получаемая при учете платежного обязательства, n –
срок от момента учета до момента погашения, d –учетная ставка, D – дисконт.
1.6.1. Учет по простым процентам
…
Задача 10. Вексель номинальной стоимостью 100 000 рублей с уплатой 16
ноября 2007 года учтен в банке 27 сентября 2007 года по простой учетной ставке 8 % годовых. Определите сумму, полученную владельцем векселя при его
учете (К = 365).
1.6.2. Учет по сложным процентам
P=S(1–d)n
(25)
1.7. Влияние инфляции на ставку процентов
Обозначения: i – годовая процентная ставка, объявленная в договоре
(брутто-ставка), h – годовой темп инфляции, r – реальная процентная ставка с
учетом инфляции.
5
Задача 11. Предполагается, что темп инфляции составит 8 % в год. Определите, какую ставку сложных процентов следует поставить в договоре, чтобы
обеспечить реальную доходность в 10 % годовых. Оцените размер инфляционной премии.
Задача 12. Фирма договорилась с банком о выделении кредита в
6 000 000 рублей на год под 12 % годовых. Ожидаемый темп инфляции составляет 10 % годовых. Определите реальную ставку для случая сложных процентов
1.8. Изменение условий контракта
Под изменением условий контракта будем понимать изменение срока и
размера платежа.
Изменение условий контракта осуществляется на основе принципа финансовой эквивалентности, который гарантирует безубыточность изменений
финансовых отношений для каждой из сторон.
Составляется уравнение эквивалентности: суммы заменяющих и заменяемых платежей, приведенных к одному моменту времени, должны быть равны.
1.8.1. Простые проценты
Рассмотрим следующий контракт. В момент времени n заемщик должен
выплатить сумму S. Стороны договорились изменить срок возврата на n1. Возникает вопрос: какая сумма S1 должна быть возвращена, если стороны договорились о простой годовой ставке i?
…
Задача 13. 15 августа 2008 года заемщик должен выплатить сумму 50 000
рублей. Стороны договорились изменить срок возврата на 26 июня 2008 года по
простой ставке 8% годовых (К = 366). Какая сумма должна быть возвращена?
Задача 14. Два платежа в размере 100 тыс. руб. и 50 тыс. руб., которые
требуется выплатить через 150 и 210 дней после некоторой даты соответственно, решено заменить одним со сроком выплаты через 180 дней после той же даты. Определите размер консолидированного платежа, если стороны согласились на замену при использовании простой годовой ставки 6 % (K = 360).
1.8.2. Сложные проценты
Рассмотрим следующий контракт. В момент времени n заемщик должен
выплатить сумму S. Стороны договорились изменить срок возврата на n1. Возникает вопрос: какая сумма S1 должна быть возвращена, если стороны договорились о сложной годовой ставке i?
2. Потоки платежей
Потоком платежей называют последовательность распределенных во
времени денежных выплат и поступлений. Выплаты представляются отрицательными величинами, а поступления – положительными (рис. 1).
Финансовой рентой называют поток платежей, в котором все платежи
положительны и поступают через равные периоды времени, (рис. 2).
6
Рис. 1
Рис. 2
2.1. Параметры финансовой ренты

член ренты – величина каждого отдельного платежа; Rt

период ренты – временной интервал между соседними платежами;

срок ренты – время от момента начала первого периода ренты до момента
окончания ее последнего периода; n

процентная ставка – ставка, используемая при наращении или дисконтировании платежей, образующих ренту; i или j

число платежей в году; p

число начислений процентов в год; m

момент выплаты (в начале или в конце периода).
2.2. Классификация финансовых рент
По размеру платежей:

постоянные (с равными платежами);

переменные.
По продолжительности периода:

годовые (рента называется годовой, если ее период равен году);

р-срочные (рента называется р-срочной, если ее период меньше года и
количество платежей в год равно р).
По частоте начисления процентов:

один раз в году;

m раз в году.
По моменту поступления платежей:

обычные (постнумерандо) – платежи производятся в конце каждого периода;

авансированные (пренумерандо) – платежи производятся в начале каждого периода.
По сроку:

Ограниченные (срок ренты известен заранее);

Вечные (срок продолжителен и заранее не оговаривается).
7
2.3. Обобщающие характеристики ренты
Наращенная сумма ренты – сумма всех
платежей с начисленными на них процентами
к концу срока ренты. S
0
n
Современная величина ренты – сумма
всех платежей, дисконтированных на момент
начала ренты. A
n
S
A
0
В общем случае для произвольного потока платежей наращенная сумма S
и современная величина A рассчитываются по формулам:
k
S   Rt (1  i) n  nt ,
(31)
A   Rt /(1  i ) nt ,
(32)
t 1
k
t 1
где
t – номер платежа, всего k платежей,
Rt – размеры платежей,
nt – моменты их выплат (в годах), nk = n – общий срок платежей,
i – сложная годовая процентная ставка.
Задача 15. Согласно кредитному соглашению между коммерческой фирмой и банком ссуды фирме выдаются по следующему графику:
1 января 2012 г. – 200 тыс. руб.,
1 июля 2012 г. – 300 тыс. руб.,
1 января 2013 г. – 100 тыс. руб.,
1 января 2014 г. – 400 тыс. руб.
Определите общую сумму обязательств фирмы перед банком на 1 июля
2014 г. и ее современную стоимость на момент выдачи первой ссуды при условии, что проценты начисляются по сложной годовой ставке 15 % (K = 360).
2.3.1. Обычная постоянная годовая рента с начислением процентов 1 раз в год
Наращенная сумма
Алгоритм расчета наращенной суммы ренты:
1. для каждого платежа:
а) определяем момент выплаты;
б) находим срок, в течение которого на него будут начисляться проценты;
в) определяем размер платежа с начисленными на него к концу срока
процентами (наращенную сумму платежа);
2. суммируем наращенные суммы всех платежей.
…
Задача 16. В течение 3 лет на специальный расчетный счет АО в коммерческом банке в конце каждого года поступает по 10 млн. р., на которые начисляются проценты по сложной годовой ставке 10 %. Требуется определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.
8
Современная величина
Алгоритм расчета современной величины ренты:
1. для каждого платежа:
а) определяем момент выплаты;
б) находим срок от начала ренты до момента выплаты;
в) определяем размер платежа, дисконтированный на момент начала ренты (современную величину платежа);
2. суммируем современные величины всех платежей.
2.3.2. Обычная постоянная p-срочная рента с начислением процентов m раз в год
Это самый общий случай постоянной дискретной ренты. Пусть платежи
поступают p раз в год (p ≥ 1) в конце каждого периода равными суммами в размере R/p (тогда R – сумма платежей за год), а проценты начисляются m раз в
год (m ≥ 1) по ставке j/m (j – номинальная ставка процентов), при этом, возможно, что m ≠ p. Срок ренты – n лет.
Наращенная сумма
( p)
(39)
S  R s nm
,j/m
где коэффициент наращения обычной постоянной p-срочной ренты с начислением процентов m раз в год
nm
( p)
s nm
,j/m
j

1    1
m


m/ p


j
p 1  
 1
m


(40)
Современная величина
( p)
A  R anm
, j/m
(41)
где коэффициент приведения обычной постоянной p-срочной ренты с начислением процентов m раз в год
 nm
( p)
anm
, j/m
j

1  1  
 m

m/ p


j
p 1    1

 m 
(42)
2.3.3. Авансированная постоянная p-срочная рента с начислением процентов m раз в год
Наращенная сумма
( p)
m/p
Sаванс = R snm
(55)
, j / m (1 + j / m)
Современная величина
( p)
m/p
Aаванс = R anm
(56)
, j / m (1 + j / m)
Задача 17. Ежегодно в течение 7 лет на расчетный счет поступает по
200 000 рублей, на которые начисляются проценты по сложной годовой ставке
8 %, причем деньги поступают ежемесячно (в конце месяца), а проценты
9
начисляются поквартально. Определить сумму на расчетном счете к концу срока.
Задача 18. Ежеквартально (в начале квартала) в течение 6 лет на расчетный счет поступает по 30 000 рублей, на которые начисляются проценты по
сложной годовой ставке 9 %, причем начисление происходит раз в полгода.
Определить сумму на расчетном счете к концу срока.
Задача 19. Вкладчик желает открыть банковский счет на такую сумму,
чтобы его сын, студент первого курса, мог снимать со счета в конце каждого
месяца по 7 000 руб. все пять лет обучения. Определите минимально необходимый размер вклада при ежемесячной капитализации процентов по ставке 10 %
годовых.
2.3.4. Вечная рента
Ренты, срок которых очень большой или конкретно не оговаривается,
называют вечными. При этом полагают, что срок ренты n → ∞. Формулы расчета современной величины вечной ренты получают в результате предельного перехода в соответствующих формулах конечных рент.
Для вечной p-срочной ренты постнумерандо с начислением процентов m
раз в год современная величина будет равна
A 
R
.
p [(1  j / m) m / p  1]
Для вечной годовой ренты с начислением процентов 1 раз в год
A 
R
.
i
2.4. Определение параметров финансовой ренты
2.4.1. размер платежа
Решение этой задачи рассмотрим на примере общего случая постоянной
обычной ренты p ≠ m ≠ 1. В этом случае, чтобы найти размер рентного платежа
R требуется знать срок ренты n, величину процентной ставки j, количество платежей в год р, количество начислений процентов в год m и одну из ее обобщающих характеристик: наращенную сумму S или современную величину A.
…
Задача 20. Какую сумму необходимо ежемесячно (в конце месяца) вносить на расчетный счет, чтобы через 5 лет на нем оказалось 2 000 000 рублей?
Ставка банка 9% годовых, начисление процентов происходит 1 раз в год.
2.4.2. срок ренты
Решение этой задачи рассмотрим на примере постоянной годовой ренты
постнумерандо с начислением процентов 1 раз в год. В этом случае, чтобы
найти срок ренты n, требуется знать размер рентного платежа R, величину процентной ставки i и одну из ее обобщающих характеристик: наращенную сумму
S или современную величину A.
10
2.4.3. ставка процентов
Расчетная величина ставки имеет важное значение в финансовом анализе
при выяснении доходности финансовых и коммерческих операций.
Решение этой задачи рассмотрим на примере постоянной годовой ренты
постнумерандо с начислением процентов 1 раз в год. В этом случае, чтобы
найти ставку процентов i, требуется знать срок ренты n, размер рентного платежа R и одну из ее обобщающих характеристик: наращенную сумму S или современную величину A. Пусть известна наращенная сумма, тогда, чтобы найти
ставку процентов, необходимо решить нелинейное уравнение (33)
(1  i) n  1
.
SR
i
Точное решение этого уравнение в виде расчетной формулы для i получить невозможно. Это уравнение допускает только приближенное решение. В
Microsoft Excel его можно найти с помощью команды Подбор параметра из
меню Сервис.
Аналогично, если известна современная величина, тогда, чтобы найти
ставку процентов, необходимо решить нелинейное уравнение (36)
1  (1  i)  n
.
AR
i
2.5. Изменение условий ренты
Изменение условий ренты осуществляется на основе принципа финансовой эквивалентности. Новые параметры находятся из уравнения эквивалентности, в котором современные величины заменяемой и заменяющей ренты равны.
Выкуп ренты – замена ренты единовременным платежом.
Задача 21. Заемщик решил погасить кредит за 5 лет до конца срока. Кредитный договор предусматривает следующие периодические платежи в счет
погашения оставшегося долга и уплаты процентов: в ближайшие 3 года выплачивается по 100 тыс. руб. в конце каждого полугодия, в следующие 2 года – по
60 тыс. руб. в конце каждого квартала. Какая сумма должна быть выплачена
при погашении кредита за 5 лет до конца срока, если используется сложная
ставка 6% годовых?
Рассрочка платежа – замена единовременного платежа рентой.
Задача 22. Стороны договорились о рассрочке платежа в 100 000 рублей,
который должен быть выплачен через 6 месяцев. Новый договор предусматривает равные ежемесячные (в конце каждого месяца) платежи в течение года,
начиная с момента заключения договора. Найдите размер ежемесячного платежа, используя сложную ставку 8% годовых. Считаем, что договор заключен в
начале месяца.
Замена одной ренты на другую – изменение параметров ренты (срок
ренты, член ренты, период ренты, число платежей в году).
Задача 23. Договор предусматривает ежеквартальные (в конце квартала)
платежи в размере 50 000р. в течение 5 лет. Стороны договорились изменить
срок на 6 лет и производить выплаты каждый месяц (в конце месяца). Опреде11
лите, каким должен быть ежемесячный платеж по новому договору, используя
сложную годовую ставку 9% с ежемесячным начислением процентов.
Задача 24. Обычную годовую ренту с начислением процентов один раз в
год по ставке 4 % годовых, размером платежа 3 000 руб. и сроком 7 лет отложили на три года. Требуется определить: а) размер годового платежа, если заменяющую ренту выбрали сроком на 4 года; б) размер годового платежа, если
продолжительность ренты не изменилась; в) продолжительность заменяющей
ренты, если размер платежа не изменился, и сбалансировать результат.
Объединение рент – замена нескольких рент (возможно с разными параметрами) одной.
Задача 25. Требуется объединить две ренты:
1. Ежеквартальные платежи в размере 12 т.р. в течение 4 лет
2. Ежемесячные платежи в размере 20 т.р. в течение 7 лет
Новая рента выплачивается в течение 5 лет равными ежеквартальными
платежами. Определите размер ежеквартального платежа по новой ренте, используя сложную годовую ставку 9,5% с ежемесячным начислением процентов.
Задача 26. Имеются три обычные годовые ренты:
1) R1 = 500 руб., n1 = 10 лет;
2) R2 = 1 500 руб., n2 = 5 лет;
3) R3 = 1 000 руб., n3 = 12 лет.
Требуется объединить их в одну ренту с размером платежа R = R1 + R2 +
R3, используя сложную годовую ставку 11 %. Определите срок выплаты новой
ренты, сбалансируйте результат.
3. Планирование и анализ финансово-кредитных операций
3.1. Баланс финансово-кредитной операции
Пусть кредит в размере D0 выдан на n лет под i процентов годовых с ежегодной капитализацией процентов. Погашение процентов по кредиту и основного долга происходит по следующему графику:
 в момент времени n1 выплачивается сумма Y1;
 в момент времени n2 выплачивается сумма Y2;
 в конце срока, в момент времени n3 = n, выплачивается оставшаяся сумма
задолженности Y3.
Получается, что весь срок кредита разбит на 3 периода длительностью n1,
n2 – n1 и n – n2:
1) за 1-й период сумма долга D0 в результате начисления процентов возрастает до величины S1, в момент времени n1 выплачивается сумма Y1 и задолженность становится равной сумме D1;
2) за 2-й период сумма долга D1 возрастает до величины S2, в момент времени n2 выплачивается сумма Y2 и задолженность становится равной сумме D2;
3) за 3-й период сумма долга D2 возрастает до величины S3, в момент времени n выплачивается сумма Y3 и задолженность становится равной сумме 0.
Представим процесс погашения задолженности в виде следующей диаграммы:
12
размер долга
S1
S2
Y1
D0=D
D1
Y2
S3
D2
Y3
время
0
n1
n2
n3=n
Рис. 1. Контур финансово-кредитной операции
Этот график называется контуром кредитной операции. Сбалансированная операция должна иметь замкнутый контур, т.е. последний платеж R3
должен полностью покрыть остаток задолженности S3.
…
Таким образом, можно сделать следующий вывод: Кредитная операция
считается сбалансированной, если сумма кредита равна современной величине
погашающих платежей.
Для произвольного числа платежей уравнение баланса имеет следующий
вид:
k
D   Yt v nt ,
t 1
(64)
где
D – сумма кредита,
Yt – погашающие платежи (всего k платежей),
nt – моменты их выплат , nk = n – срок операции,
v = 1/(1 + i), i – кредитная ставка.
3.2. Планирование погашения долга
Для достижения баланса финансово-кредитной операции составляют
план погашения задолженности, который представляет собой график периодических платежей по обслуживанию долга.
Периодический платеж (срочный платеж, срочная уплата) – сумма, выплачиваемая кредитору в конце каждого периода.
Принцип погашения долга. Периодический платеж идет в первую очередь на погашение процентов, начисленных на дату платежа, а оставшаяся
часть идет на погашение основного долга. Непогашенный остаток долга служит
базой для начисления процентов за следующий период.
Введем обозначения:
Yt – периодический платеж в конце периода t
It – платеж процентов в конце периода t
dt – платеж в счет погашения основного долга в конце периода t
nt – продолжительность периода t (в годах)
13
Dt – долг в конце периода t (после платежа)
n – срок кредита (в годах)
р – количество платежей в год.
1)
Основные соотношения:
Непогашенный остаток долга
служит базой для начисления
процентов за следующий период.
Dt-1
It = Dt – 1 * i * nt
t-1
2)
Периодический платеж состоит
из 2х частей: платеж процентов и
платеж в счет погашения основного долга.
It
Dt-1
dt
t-1
3)
t
Yt
Yt = It + dt
t
По определению dt и Dt
It
Dt-1
Dt
dt
t-1
4)
Уравнение баланса в другом виде
Dt = Dt – 1 – dt
t
t d t  D
Рассмотрим наиболее распространенные методы погашения долга.
3.2.1. Погашение основного долга в один срок
Основной долг выплачивается одним платежом в конце срока, проценты
– (а) вместе с основным долгом, либо (б) периодически в течение всего срока.
а) Пусть кредит в размере D выдан на n лет, проценты выплачиваются
вместе с основным долгом в конце срока.
…
б) Пусть кредит в размере D выдан на n лет, проценты начисляются и выплачивается p раз в год, основной долг выплачивается одним платежом в конце
срока.
…
Задача 27. Кредит на покупку товара стоимостью 10 тыс. руб. открыт на
три года под 15 % годовых. По условиям договора проценты за пользование
кредитом погашаются ежемесячно, а основной долг выплачивается в конце
срока. Определите величину ежемесячных выплат по кредиту и размер последнего погашающего платежа.
3.2.2. Погашение основного долга равными платежами
Основной долг погашается равными долями в течение всего срока. Проценты, начисляемые на остаток долга, уплачиваются одновременно с платежа14
ми по основному долгу. В этом случае говорят, что долг погашается дифференцированными (уменьшающимися) периодическими платежами.
Требование: платежи в счет погашения основного долга равны, т.е. dt =
const = d.
Пусть кредит в размере D выдан на n лет, периодические платежи выплачиваются p раз в год, % начисляются p раз в год перед платежами.
…
Задача 28. Кредит в размере 30 000 рублей выдан на 3 месяца под 12%
годовых. Суммы, погашающие кредит, выплачиваются в конце каждого месяца.
Составьте график ежемесячных дифференцированных платежей по кредиту
(равные выплаты по основному долгу + проценты за пользование кредитом).
3.2.3. Погашение долга равными периодическими платежами
Долг погашается равными периодическими платежами, включающими
платежи в погашение основного долга и проценты, начисленные на остаток задолженности. В этом случае говорят, что долг погашается аннуитетными платежами.
Требование: периодические платежи равны, т.е. Yt = const = Y
Пусть кредит в размере D выдан на n лет. Периодические платежи выплачиваются p раз в год, % начисляются p раз в год перед платежами.
…
Задача 29. Кредит в размере 30 000 рублей выдан на 3 месяца под 12%
годовых. Суммы, погашающие кредит, выплачиваются в конце каждого месяца.
Составьте график ежемесячных равных (аннуитетных) платежей по кредиту.
3.2.4. Погашение потребительского кредита
В потребительском кредите проценты начисляются в момент открытия
кредита сразу за весь срок. Общая сумма задолженности выплачивается периодическими платежами.
Пусть потребительский кредит в размере D выдан на n лет под i % годовых.
Задача 30. Телевизор стоимостью 6 000 руб. продается в кредит на два
года под простую процентную ставку 10 % годовых. Проценты начисляются в
момент открытия кредита и присоединяются к основной сумме долга. Общая
сумма задолженности (основной долг + проценты) погашается равными ежеквартальными выплатами в течение срока пользования кредитом. Определите
величину этих выплат.
3.3. Определение максимального размера суммы кредита
Задача 31. Какую максимальную сумму кредита может позволить себе
человек, если он не может выплачивать более 18 000 рублей в месяц, а банк выдает кредит максимум на 15 лет под 14% годовых (суммы, погашающие кредит,
выплачиваются ежемесячно, проценты начисляются ежемесячно).
15
3.4. Определение срока возврата кредита
Задача 32. Сколько лет потребуется для погашения кредита в размере
650 000 рублей, выданного под 14% годовых (суммы, погашающие кредит, выплачиваются ежемесячно, проценты начисляются ежемесячно), если заемщик
не может выплачивать более 12 000 рублей в месяц.
3.5. Ставка полной доходности финансово-кредитной операции
Доходы от финансово-кредитных операций могут иметь разную форму и
поступать из разных источников. Это могут быть проценты по долгу, комиссионные сборы, доходы от ценных бумаг и т.д. Как правило, в одной операции
предусмотрено несколько источников дохода, например, в кредитной операции
кредитор получает проценты и комиссию, владелец облигации – купонный доход и разницу между ценой покупки и продажи облигации и т.д. Поэтому возникает необходимость измерения финансовой эффективности операции с учетом всех источников ее дохода.
Мерой финансовой эффективности операции с учетом всех источников ее
дохода является ставка полной доходности. Она определяется в виде годовой
ставки сложных процентов из уравнения, в котором все предусмотренные операцией доходы, дисконтированные по этой ставке на один момент времени,
равны расходам, приведенным по этой же ставке и на тот же момент времени.
Ставка полной доходности в зависимости от вида операции носит разные
наименования: в кредитных расчетах ее называют эффективной ставкой (в литературе по данной дисциплине) или полной стоимостью кредита (в действующем законодательстве), в анализе доходности облигаций – доходностью к погашению, в анализе производственных инвестиций – внутренней нормой доходности.
Полная стоимость кредита
Полная стоимость кредита является показателем полной доходности кредитной операции. При ее расчете принимают во внимание только те доходы,
которые известны на данный момент. Например, в момент заключения кредитного договора банк не может знать совершенно точно, будут ли у заемщика
просрочки платежей, то есть, штрафы и пени, будет ли заемщик рассчитываться
точно по графику или с опережением выплат.
Полная стоимость кредита, как показатель полной доходности, определяется в виде годовой ставки сложных процентов из уравнения, где современная
стоимость потока доходов от кредитной операции приравнивается сумме кредита.
Цитата из Указания Банка России от 13.05.2008 N 2008-У
"О порядке расчета и доведения до заемщика - физического лица полной стоимости кредита":
1. Полная стоимость кредита определяется в процентах годовых по
формуле:
16
n

i 0
ДП i
(1+ПСК)
(di -d 0 )
365
0
,
где:
d i - дата i-го денежного потока (платежа);
d 0 - дата начального денежного потока (платежа) (совпадает с датой
перечисления денежных средств заемщику);
n - количество денежных потоков (платежей);
ДП i - сумма i-го денежного потока (платежа) по кредитному договору.
Разнонаправленные денежные потоки (платежи) (приток и отток денежных средств) включаются в расчет с противоположными математическими знаками, а именно: предоставление заемщику кредита на дату его
выдачи включается в расчет со знаком "минус", возврат заемщиком кредита, уплата процентов по кредиту включаются в расчет со знаком
"плюс";
ПСК - полная стоимость кредита, в % годовых.
…
ПРИМЕР
…
Максимальный кредитный лимит (в рублях)
30 000
Процентная ставка по кредиту (в % годовых)
19
Разовая комиссия за оформление кредита (в рублях)
500
Ежемесячная комиссия за обслуживание кредита
1,5
(в % от лимита)
Дата начала кредитования
1 января 2007 года
Максимальный срок кредитования (в месяцах)
12
Дата
Платеж за расчетный период
Остаток
платежа
задолженноденежв том числе
сти по креный попогашепогашение комис- диту
ток
ние про- основного
сии и
(расхоцентов
долга по
другие
ды) покредиту
платежи
лучателя
равномеркредита
ными платежами
1
2
3
4
5
6
01.01.2007 -29500
500
30000
01.02.2007 3434
484
2500
450
27500
01.03.2007 3351
401
2500
450
25000
01.04.2007 3353
403
2500
450
22500
01.05.2007 3301
351
2500
450
20000
01.06.2007 3273
323
2500
450
17500
01.07.2007 3223
273
2500
450
15000
01.08.2007 3192
242
2500
450
12500
01.09.2007 3152
202
2500
450
10000
01.10.2007 3106
156
2500
450
7500
17
01.11.2007 3071
121
2500
01.12.2007 3028
78
2500
01.01.2008 2990
40
2500
ИТОГО:
8975
3075
30000
Полная стоимость кредита (% годовых): 69,08%
450
450
450
5900
5000
2500
0
Конец цитаты
Цитата из <Письма> Банка России от 29.12.2006 N 175-Т
"Об определении эффективной процентной ставки по ссудам, предоставленным
физическим лицам"
ПРИМЕРЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЭФФЕКТИВНОЙ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ
…
Условия:
Дата выдачи кредита: 17.04.2004
Сумма кредита: 12660 руб.
Срок кредита: 12 месяцев
Процентная ставка по кредиту: 29% годовых
Дополнительные расходы потребителя за пользование кредитом и иные платежи по нему:
1,9% от суммы кредита ежемесячно
Таблица определения эффективной процентной ставки
Дата
платежа
1
Платеж за расчетный период, руб.
сумма
платежа
2
в том числе
процен- погаше- дополниты
ние остельные
новной
расходы
суммы потребитессуды
ля и иные
платежи
3
4
17.04.2004
-12660
17.05.2004
1470
300,93
928,53
17.06.2004
1470
288,16
17.07.2004
1470
17.08.2004
5
-12660
Остаток
Денежный
задолжен- поток (расности по ходы) полуссуде,
чателя ссуруб.
ды, руб.
6
7
12660
-12660
240,54
11731,47
1470
941,30
240,54
10790,17
1470
256,49
972,97
240,54
9817,20
1470
1470
241,14
988,32
240,54
8828,88
1470
17.09.2004
1470
216,86
1012,60
240,54
7816,28
1470
17.10.2004
1470
185,80
1043,66
240,54
6772,62
1470
17.11.2004
1470
166,35
1063,11
240,54
5709,51
1470
17.12.2004
1470
135,72
1093,74
240,54
4615,77
1470
17.01.2005
1470
113,55
1115,91
240,54
3499,86
1470
17.02.2005
1470
86,20
1143,26
240,54
2356,60
1470
18
17.03.2005
1470
52,43
1177,03
240,54
1179,57
1470
17.04.2005
1449,16
29,05
1179,57
240,54
0
1449,16
4959 2072,68
0
2886,48
0
4959
ИТОГО:
Эффективная процентная ставка
89,78%
Конец цитаты
В большинстве случаев решение этого уравнения в виде расчетной формулы для ПСК получить нельзя. Оно допускает только численное решение. В
Microsoft Excel его можно найти с помощью команды Подбор параметра из меню Сервис следующим образом.
В ячейку В2 поместить некоторое значение ПСК, например 10%. Составить столбец дисконтированных денежных потоков, где дисконтирование
происходит по ставке из ячейки В2. В ячейку В1 вносим сумму дисконтированных денежных потоков. Запустить команду Подбор параметра из меню Сервис.
Задача 33. Для кредита из задачи 30 определите полную стоимость.
Задача 34. Кредит в сумме 30 000 руб. выдан 20 января 2015г. на 3 месяца под 12 % годовых (проценты точные с точным числом дней). При выдаче
кредита взимается комиссия за обналичивание денежных средств – 3 % от суммы кредита. Погашение кредита производится 20 числа каждого месяца в течение всего срока ежемесячными равными (аннуитетными) платежами, одновременно с которыми уплачивается комиссия за ведение ссудного счета в размере
1 % от суммы кредита. Составьте график платежей по обслуживанию долга и
определите полную стоимость кредита.
3.6. Льготный период
В течение льготного периода выплачиваются только проценты, а погашение основного долга не происходит, т.е. dt = 0 и Yt = It.
4. Количественный анализ инвестиционных проектов
Под инвестиционным проектом мы будем понимать любое вложение денежных средств с целью получения доходов в будущем. Различают два вида
инвестиций:
 реальные инвестиции (их еще называют производственными) – это вложения в материальные активы (например, приобретение земли, оборудования, недвижимости, транспортных средств и т.д.);
 финансовые инвестиции – вложения в контракты, зафиксированные на
бумаге (например, покупка ценных бумаг).
В этом разделе мы будем рассматривать методы анализа реальных инвестиций.
В основном анализ инвестиций заключается в оценивании и сравнении
альтернативных инвестиционных проектов или вариантов реализации одного и
того же проекта. Для этого используют следующие основные критерии эффективности инвестиций: чистый приведенный доход, внутренняя норма доходно19
сти, срок окупаемости, индекс рентабельности. Все они основаны на приведении инвестиционных доходов и расходов к одному моменту времени, поэтому
их называют дисконтными методами анализа инвестиций.
Задача 35. В таблице приведены данные по двум проектам. Оцените целесообразность выбора одного из проектов при ставке дисконтирования 10 %
годовых.
Денежный поток по годам, тыс. руб.
Проект
0
1
2
3
4
5
А
-1200 300
450
500
600
700
В
-1200 300
900
500
250
100
4.1. Чистый приведенный доход
Чистый приведенный доход (Net Present Value – NPV) – разность современной величины доходов от проекта и современной величины инвестиций.
Современные величины вычисляются на момент начала реализации инвестиционного проекта.
NPV = PV – PC
где PV – современная величина доходов на момент начала реализации инвестиционного проекта, PC – современная величина инвестиций на момент начала
реализации инвестиционного проекта.
Замечание. Недостатком чистого приведенного дохода является эффект
масштаба, т.к. этот показатель оценивает абсолютный результат проекта.
Например, при ставке дисконтирования 10% годовых NPV(C) = 5.85,
NPV(D) = 58.49
Денежный поток по годам, руб.
Проект
0
1
2
3
4
C
-10
5
5
5
5
D
-100
50
50
50
50
Правила принятия решения.
1. Если NPV < 0, то проект убыточен и его не стоит рассматривать.
2. При сравнении нескольких альтернативных проектов с положительными
NPV, при прочих равных условиях предпочтение отдается проекту с большим
NPV.
4.2. Индекс рентабельности
Индекс рентабельности (Profitability Index – PI) – отношение современной величины доходов от проекта и современной величины инвестиций.
PI = PV / PC,
где PV – современная величина доходов, PC – современная величина инвестиций.
Замечание. Индекс рентабельности – величина относительная и она лишена эффекта масштаба.
Замечание. Здесь безразлично, к какому моменту времени приводить потоки доходов и инвестиций.
Правила принятия решения.
20
1. Если PI < 1, то проект убыточен и его не стоит рассматривать.
2. При сравнении нескольких альтернативных проектов с PI > 1, при прочих
равных условиях предпочтение отдается проекту с большим PI.
4.3. Срок окупаемости
Срок окупаемости (Payback Period – PP) – это период времени, за который можно возвратить инвестированные в проект денежные средства. Для его
расчета все платежи по проекту приводят к моменту завершения инвестиций, а
затем определяют минимальный срок, за который современная величина доходов становится больше или равной современной величине инвестиций.
Замечание. Срок окупаемости не учитывает доходы, которые поступают
после полного возмещения инвестиций. Например, при ставке дисконтирования
10% годовых PP(C) = PP(E) = 3.
Денежный поток по годам, руб.
Проект
0
1
2
3
4
C
-10
5
5
5
5
E
-10
5
5
5
50
Правила принятия решения.
1. Некорректно утверждать, что чем меньше срок окупаемости, тем лучше
проект, т.к. он не учитывает доходы, которые поступают после полного возмещения инвестиций.
2. Срок окупаемости используют только как ограничение: рассматривают
лишь те проекты, срок окупаемости которых удовлетворяет инвестора.
4.4. Внутренняя норма доходности
Все предыдущие показатели эффективности существенно зависят от
ставки дисконтирования, которая выбирается инвестором на основе своих
субъективных соображений. Поэтому все расчеты с использованием этой ставки носят условный характер. Внутренняя норма доходности лишена этого недостатка.
Пример про NPV. При ставке дисконтирования 12% годовых наиболее выгодным по показателю NPV оказывается проект G, т.к. NPV(F) = 183.68,
NPV(G) = 186.13. При ставке дисконтирования 14% годовых наиболее выгодным
по показателю NPV оказывается проект F, т.к. NPV(F) = 162.69, NPV(G) = 160.59.
Денежный поток по годам, руб.
Проект
0
1
2
3
4
5
F
-250
50
150
200
200
0
G
-250
50
100
100
200 200
Пример про PI. При ставке дисконтирования 12% годовых наиболее выгодным по показателю PI оказывается проект G, т.к. PI(F) = 1.73, PI(G) = 1.74. При
ставке дисконтирования 14% годовых наиболее выгодным по показателю PI оказывается проект F, т.к. PI(F) = 1.65, PI(G) = 1.64.
Пример про PP. При ставке дисконтирования 14% годовых PP(H) = 3, а при
ставке дисконтирования 16% годовых PP(H) = 4.
Проект
Денежный поток по годам, руб.
21
H
0
-10
1
5
2
4
3
4
4
5
Внутренняя норма доходности (Internal Rate of Return – IRR) – годовая
ставка сложных процентов, при которой современная величина доходов от проекта равна современной величине инвестиций.
То есть
V
C
t (1  it *) t  t (1  it*) t
(75)
Замечание. Решение можно получить чаще всего только численно.
Найти IRR можно в программе Microsoft Excel
следующим образом. В ячейку В1 поместить некоторое
значение IRR, например 10%. В ячейке В2 рассчитать
NPV, используя значение IRR из ячейки В1. Запустить
команду Подбор параметра из меню Сервис.
Замечание. Здесь безразлично, к какому моменту времени приводить потоки доходов и инвестиций.
Правила принятия решения.
1. Проект считается экономически выгодным и заслуживает внимание инвестора, если IRR превышает заданную инвестором ставку дисконтирования.
2. При сравнении нескольких альтернативных проектов при прочих равных
условиях предпочтение отдается проекту с большей внутренней нормой доходности.
Замечание. Если расходы сменяются (во времени) доходами более одного раза, то уравнение (75) имеет неединственное решение, и использование показателя IRR становится некорректным.
Задача 36. Инвестиции производятся в конце каждого квартала по 0,25
млн руб. в течение трех лет. Процесс отдачи от вложений начинается сразу после завершения инвестиций, продолжительность периода отдачи 10 лет по 1
млн в год, поступления ежемесячные, в конце месяца. Определите чистый приведенный доход и индекс рентабельности проекта при ставке дисконтирования
10 % годовых. Как изменятся значения критериев, если процесс отдачи начинается не сразу, а через год после завершения вложений?
5. Анализ ценных бумаг
Облигация – это ценная бумага, удостоверяющая то, что ее держатель
предоставил заем эмитенту. Общий доход от облигации складывается из выкупной (номинальной) цены и купонного дохода в виде процентов от номинала.
Облигации с нулевым купоном обеспечивают один вид дохода, определяемый ценой выкупа облигации.
Облигации без обязательного погашения имеют один вид дохода – периодически выплачиваемый купонный доход.
Облигации с периодической выплатой процентов и погашением в
конце срока обеспечивают два источника дохода – периодически выплачиваемый купонный доход и цена выкупа облигации.
22
Внутренняя стоимость – современная величина ожидаемых доходов от
облигации с момента ее покупки до погашения.
Внутренняя стоимость является оценкой справедливой стоимости облигации.
Доходность к погашению – годовая ставка сложных процентов, которую
получают из равенства цены облигации всем дисконтированным (на момент покупки) доходам от нее с момента покупки до погашения. Ее также называют
внутренней доходностью, обещанной доходностью или ставкой помещения.
Для выявления неверно оцененных рынком облигаций с целью принятия
обоснованных решений относительно их покупки или продажи используют
следующее правило. Считают, что облигация
недооценена рынком (ее следует купить), если
V > P или YTM > i*,
переоценена рынком (ее следует продать), если
V < P или YTM < i*,
верно оценена рынком, если
V = P или YTM = i*,
где P – цена облигации, V – ее внутренняя стоимость, YTM –доходность к погашению, i* – справедливая ставка (ставка дисконтирования).
Задача 37. По условиям займа облигация с номиналом в 1000 рублей выкупается через 10 лет по номинальной стоимости. Облигация предусматривает
выплату купонного дохода два раза в год по ставке 6 % годовых. Определите,
следует ли покупать эту облигацию по цене 750 руб. при средней рыночной
норме прибыли 10 % годовых.
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Домбровский В.В. Методы количественного анализа финансово-кредитных операций. –
Томск: Изд.-во НТЛ, 2005.
2. Четыркин Е.М. Финансовая математика: Учеб.  М.: Дело, 2000. – 400с.
3. Кузнецов Б.Т. Финансовая математика: Учебное пособие для вузов. – М.: Изд-во «Экзамен», 2005. – (Учебное пособие для вузов).
4. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике:
Учебник / Под общ. ред. д.э.н., проф. А.В. Сидоровича. – 4-е изд., стереотип. – М.: Изд-во
«Дело и Сервис», 2004. – (Учебники МГУ им. М.В. Ломоносова).
5. Колемаев В.А. Математическая экономика: Учебник для вузов. – М.: ЮНИТИ-ДАНА,
2005.
6. Кундышева Е.С. Математическое моделирование в экономике: Учебное пособие / Под
науч. ред. проф. Б.А. Суслакова. – М.: Издательско-торговая корпорация «Дашков и К»,
2004.
7. Орлова И.В. Экономико-математическое моделирование: Практическое пособие по решению задач. – М.: Вузовский учебник, 2005.
8. Кочетыгов А.А. Финансовая математика. – Ростов на Дону: Изд-во «Феникс», 2004. –
(Учебники, учебные пособия).
9. Экономико-математические методы и прикладные модели: Учебное пособие для вузов /
В.В. Федосеев, А.Н. Гармаш, Д.М. Дайитбегов и др.; Под ред. В.В. Федосеева. – М.:
ЮНИТИ, 2001.
10. Колемаев В.А. Экономико-математическое моделирование. Моделирование макроэкономических процессов и систем. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2005.
11. Краас М.С., Чупрынов Б.П. Математика для экономистов. – Спб.:Питер, 2005. – (Учебное
пособие).
23