ЧерновикТестовПрактЭВМx

ПЛАНИРУЕТСЯ составить 120 элементарных тестов по 12 темам Практикума для ЭВМ (по каждой
теме – 10 однотипных вопросов). ПОКА (25.02.2014) составлены только 80 тестов.
ПРИМЕРНЫЙ перечень тем:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
*Ошибки, совершаемые компьютером в рамках пакета EXCEL
*Действия с матрицами
*Простые задачи ЛП
*Построение правильного n-угольника с единичным периметром
*Графики поверхностей
ПОКА НЕТ: Площади фигур, ограниченных несколькими кривыми
РЕЗЕРВ (соприкасающиеся окружности)
ПОКА НЕТ: Решение систем типа {x*x+y=31, x+y*y=41} с графической иллюстрацией
РЕЗЕРВ
*Задачи на максимум функций: y=f(x) на отрезке или z = f(x,y) в области
*Действия с модулями
*Арифметика остатков от деления на простое число
Тема 11. Действия с модулями
ТЕСТ 1. Можно ли указать ненулевые числа a,b,c такие, что |a+b+c| = (|a| + |b| +|c|)/13 ?
ОТВЕТЫ (из них надо найти «самый правильный»): А) Нельзя Б) Такие числа можно найти даже
среди натуральных чисел В) Можно. Но для этого все три числа надо брать отрицательными
Г) Можно. Но одно из чисел должно быть иррациональным Д) Если взять с=-6, то можно найти
остальные два числа даже среди натуральных чисел Е) Чтобы это равенство было верным, можно
взять а=корень из 10, b=число π, с= –5,4 .
ТЕСТ 2. Может ли выполняться равенство | a+b+c| = (|a| + |b| – |c|)13 , если a,b – натуральные
числа, а |c| <1 ?
ОТВЕТЫ (найти самый правильный!): А) Конечно, может: ведь неизвестных три, а уравнение
одно! Б) Может: например, a=b=13, c= -0,5 В) Не может, так как правая часть значительно больше левой
Г) Такое равенство быть не может; но если вместо «13» взять «3», то может. Д) Конечно, может. Пусть
a=b=1. Перебирая значения с= 0,01; 0,02; 0,03 и так далее, мы найдём графически точку пересечения
левой части с правой.
ТЕСТ 3. Может ли выполняться равенство | a+b+c| = (|a| + |b| - 13 |c|) , если a,b –
натуральные числа, а 0,5 < |c| <1 ?
ОТВЕТЫ (найти самый правильный!): А) Конечно, может: ведь неизвестных три, а уравнение
одно! Б) Может: например, a=b=13, c= -0,5 В) Возьмём любые a,b и подберем «с» так, чтобы было c=
-13|c|. Вот и получим то, что требуется. Г) Равенство не может выполняться
ТЕСТ 4. Пусть каждое из чисел a,b,c равно либо 2, либо -2. Что больше:
|a+b+c| (|a| + |b| +|c|) или (|a| + |b| +|c|)|a+b+c| ?
ОТВЕТЫ: А) Эти два выражения всегда равны (даже если a,b,c принимают значения не только 2
и -2).
Б) Каждое из этих выражений принимает только два разных значения, причём в одном из них
имеется три шестёрки. Легко убедиться, что левое значение всегда равно правому. В) Легко видеть, что
если знаки всех трёх чисел одинаковы, то левая часть равна правой. В остальных случаях эти части могут
быть равны (например, 24 = 42), а могут быть и не равны (например, 26 не равно 62). Г) Легко видеть, что
если знаки всех трёх чисел одинаковы, то левая часть равна правой. В остальных случаях эти части не
равны (но в значении каждой части обязательно есть цифра «6»).
ТЕСТ 5. Может ли выполняться равенство | a+|b+c|| = (|a| +| |b| - 13 |c||), если c не равно 0 ?
ОТВЕТЫ (найти правильный ответ): А) Эти два выражения всегда равны (даже если a,b,c равны
друг другу и равны -1/13)
Б) Может. Возьмём с=1, a=b и попытаемся подобрать «х» таким образом,
чтобы пересекались функции y=|x+|x+1|| и y=|x|+||x|-13|. Графики функций построим на отрезке [-15, 15]
и увидим точку их пересечения. В) Не может ни при c<0, ни при c>0. В обоих случаях левая часть больше
правой. Г) Возьмём очень малое «с» (например, с=1/1000000). Тогда дело сведётся к равенству |a+|b|| =
|a| + |b|. Но это равенство неверно. Значит, и исходное равенство не может выполняться. Д) Все ответы,
указанные выше, неверны
ТЕСТ 6. Что является графиком уравнения y2 + |xy| =1 на плоскости?
ОТВЕТЫ (указать правильный): А) Прямая
Б) Точка В) Две точки Г) Парабола Д) Все
предыдущие ответы неверны
ТЕСТ 7. Что можно сказать про уравнение y2 + |xy| =2 на плоскости?
ОТВЕТЫ (указать правильный): А) Оно задаёт кривую, симметричную относительно оси иксов
и относительно оси игреков и составленную из четырёх кусков гиперболы, лежащих в 1-м, 2-м, 3-м и 4-м
квадранте
Б) Оно задаёт кривую, симметричную относительно оси иксов и относительно оси игреков и
составленную из четырёх кусков окружности, лежащих в 1-м, 2-м, 3-м и 4-м квадранте В) Оно задаёт пару
параллельных прямых на плоскости Г) Кривая с таким уравнением проходит через точку (2; 2)
ТЕСТ 8. Что можно сказать про уравнение y2 + |xy| = у на плоскости?
ОТВЕТЫ: А) Что график этого уравнения состоит из периметра равнобедренного треугольника
и двух отрезков, выходящих из вершин этого треугольника Б) Что график этого уравнения состоит из
периметра равнобедренного треугольника и двух лучей, выходящих из вершин этого треугольника В)
График этой кривой состоит из точек оси иксов и точек верхней полуокружности с центром в точке (0; 0)
Г) Графиком этой кривой является ромб с проведённой в нём диагональю
ТЕСТ 9. Что можно сказать про уравнение х2 + |xy| = у на плоскости?
ОТВЕТЫ: А) Уравнение задаёт кривую, симметричную относительно оси игреков и
состоящую из трёх непрерывных кусков Б) Уравнение задаёт кривую в форме ромба В) Уравнение
задаёт кривую, проходящую через точки (0; 0), (2; -4), (-2; -4) Г) График этой кривой лежит в верхней
полуплоскости, касается оси иксов, симметричен относительно оси игреков, находится в полосе
-1 <= x <= 1 и состоит из двух кусков гипербол, плавно переходящих одна в другую Д) Если в уравнении
отбросить знак модуля, то график кривой не изменится. А если вместо отбрасывания модуля в левой части
добавить модуль в правой части, график превратится в окружность.
ТЕСТ 10. Можно ли сказать, что уравнение |x-2y| + |2x + y| = 5 задаёт кривую в форме
а)параллелограмма, б)ромба, в)квадрата ?
ОТВЕТЫ: А) Так как под знаком модуля в обоих случаях записана линейная функция, то
графиком этого уравнения будет не параллелограмм, а просто прямая Б) Рассмотрим отдельно уравнения
x-2y=0 и 2x+y=0 и нарисуем на плоскости обе эти прямые. Они разобьют плоскость на четыре части. В
каждой из этих частей каждый из модулей раскрывается вполне определённым образом (либо с плюсом,
либо с минусом). Например, если первый модуль раскрыть с плюсом, а второй – с минусом, уравнение
примет вид (x-2y)-(2x+y) = 5, то есть -х-3у = 5. Так как это уравнение действует только в одной из четырёх
частей, то оно задаёт в этой части не всю прямую -х-3у = 5, а только отрезок этой прямой. Чтобы найти
концы отрезка, подставим вместо «у» «х/2» (получим х= 2, у= 1), а затем подставим вместо «у» «-2х»
(получим х=1, у=-2). Нарисовав этим способом все четыре отрезка, лежащие в каждой из четырёх частей,
мы увидим, что их концы совпадают, а сами отрезки попарно параллельны. Значит, график кривой имеет
форму параллелограмма. Так как прямые x-2y=0 и 2x+y=0 перпендикулярны, то это ромб. А так как длины
диагоналей ромба равны, то это – квадрат. В) Если обе части заданного уравнения возвести в квадрат, то
получится кривая второго порядка. А среди кривых второго порядка не может быть параллелограммов. Г)
Эта кривая является ромбом, но не является квадратом Д) Все приведённые выше ответы верны
Тема 1. Ошибки, совершаемые компьютером в рамках пакета EXCEL
ТЕСТ 11. Вычисление в EXCEL числа 254 – 227 даёт результат 18014398375264300. Он
неверен. Как его надо исправить?
ОТВЕТЫ: А) Надо взять последние четыре цифры не …4300, а …4222
Б) Последние две цифры
должны быть равны 9 В) Последние цифры не 00, а 32 Г) Последние три цифры надо заменить на 256
Д) Один из ответов «А» и «Б» - верный
ТЕСТ 12. Вычисление в EXCEL числа 253 – 226 даёт результат 9007199187632130. Он
неверен. Как его надо исправить?
ОТВЕТЫ: А) Надо взять последние четыре цифры не …2130, а …3021
Б) Последние две цифры
должны быть равны 3 В) Последние цифры не 30, а 28 Г) Последние три цифры надо заменить на 254
Д) Один из ответов «А» и «Б» - верный
ТЕСТ 13. Вычисление в EXCEL числа 253 – 227 даёт результат 9007199120523260. Он
неверен. Как его надо исправить?
ОТВЕТЫ: А) Надо взять первые четыре цифры не 9007, а 9137
Б) Последние две цифры должны
быть равны 88 В) Последние цифры не 60, а 32 Г) Последние три цифры надо заменить на 206
Д) Последнюю цифру надо поменять на «4»
ТЕСТ 14. Вычисление в EXCEL числа 333 – 250 даёт результат 4433160659712900. Он,
скорее всего, неверен. Как его надо исправить?
ОТВЕТЫ: А) Последние три цифры надо заменить на 899 Б) Последние две цифры надо
заменить на 88
В) В этом числе есть две цифры «3». Их надо заменить на две цифры «4» Г)
Компьютер сделал две ошибки – при вычислении 333 и при вычислении 250 , но при вычитании они
погасили друг друга, и ничего изменять не надо Д) Ответ «Г» верен
ТЕСТ 15. Вычисление в EXCEL числа 1310 – 849*10001 даёт результат 137850001000.
Он, возможно, неверен. Как его надо исправить, если это действительно так?
ОТВЕТЫ: А) Последние четыре цифры надо заменить на 1111. Б) Ответ «А» верен В) Ответ
«Б» неверен Г) Исправлять не надо. Ответ верен. Д) В этом ответе надо цифру 7 заменить на цифру 8
ТЕСТ 16. Пусть «К» означает извлечение корня. Составим последовательность К(8,75),
К(8,75-К(8,75)), К(8,75-К(8,75-К(8,75))) и так далее до бесконечности. Можно показать, что предел этой
последовательности равен 2,5. С какой ошибкой (в процентах от истинного значения) вычислит компьютер
значение предела этой последовательности, если оборвать её на члене, содержащем 7 корней?
ОТВЕТЫ: А) Уже начиная с 5-го члена будут получаться значения точные (то есть 2,5)
Б) Начиная с 7-го члена ошибка будет не менее 11% и уменьшаться не будет
В) С ошибкой завышения,
которая меньше 0,0012% В) С ошибкой занижения ровно в 0,01% Г) С ошибкой завышения, которая
больше 0.02%, но меньше 0,03% Д) Ответы «Г» и «В» оба верные
ТЕСТ 17. Пусть «К» означает извлечение корня. Составим последовательность К(2),
К(2+К(2)), К(2+К(2+К(2))) и так далее до бесконечности. Можно показать, что предел этой последовательности равен 2. С какой ошибкой (в процентах от истинного значения) вычислит компьютер значение
предела этой последовательности, если оборвать её на члене, содержащем 7 корней?
ОТВЕТЫ: А) Уже начиная с 5-го члена будут получаться значения точные (то есть 2)
Б) Начиная с 7-го члена ошибка будет не менее 1% и уменьшаться не будет
В) С ошибкой завышения,
которая меньше 0,0012% В) С ошибкой занижения, модуль которой менее 0,00753% Г) С ошибкой
завышения, которая больше 0.02%, но меньше 0,03% Д) Ответ «Г» неверен
ТЕСТ 18. Пусть «К» означает извлечение корня. Составим последовательность К(2),
К(2-К(2)), К(2-К(2-К(2))) и так далее до бесконечности. Можно показать, что предел этой последовательности равен 1. С какой ошибкой (в процентах от истинного значения) вычислит компьютер значение
предела этой последовательности, если оборвать её на члене, содержащем 7 корней?
ОТВЕТЫ: А) Ошибка завышения менее 0,708% Б) Ошибка занижения; модуль её не более
0,807%
В) Ошибка завышения; в точности равна К(2)-1 Г) Ответ равен полусумме ответов «А» и «В»
ТЕСТ 19. Пусть «К» означает извлечение корня. Составим последовательность К(1),
К(1+К(1)), К(1+К(1+К(1))) и так далее до бесконечности. Можно показать, что предел этой последовательности равен 0,5+К(1,25). С какой ошибкой (в процентах от истинного значения) вычислит компьютер
значение предела этой последовательности, если оборвать её на члене, содержащем 7 корней?
ОТВЕТЫ:(указать ответ, наиболее близкий к верному) А) Ошибка в -0,03456% Б) Ошибка в
0,03456% В) Ошибка в 0,03654%
Г) Ошибка в -0,03654% Д) Ошибка в 0,03564%
ТЕСТ 20. Пусть «К» означает извлечение корня. Составим последовательность К(1),
К(1+К(1)), К(1+К(1+К(1))) и так далее до бесконечности. Можно показать, что предел этой последовательности равен 0,5+К(1,25). С какой ошибкой (в процентах от истинного значения) вычислит компьютер
значение предела этой последовательности, если оборвать её на члене, содержащем 10 корней?
ОТВЕТЫ:(указать ответ, наиболее близкий к верному) А) Ошибка в -0,00108% Б) Ошибка в
0,034% В) Ошибка в 0,036%
Г) Ошибка в -0,0308% Д) Ошибка в 0,0357%
Тема 2. Действия с матрицами
ТЕСТ 21. При каком значении «А» указанные ниже две матрицы 4х4 будут взаимно обратными?
А А
А 2
А 2
А 2
А
2
3
3
А
2
3
4
2
-А
0
0
-1
2
-А
0
0
-1
2
-А
0
0
-1
А
ОТВЕТЫ к тесту 21: А) Ни при каких «А» Б) При значении «А», при котором сумма всех
элементов второй матрицы = 0 В) При значении «А», при котором сумма всех элементов первой матрицы
равна 0 Г) При А=0 Д) При А=1
ТЕСТ 22. При каком «А» определитель левой матрицы теста 21 равен «А»?
ОТВЕТЫ: А) При А=7 Б) При А=5 В) При А=3 Г) При А=1 Д) При А=-1
ТЕСТ 23. При каком «А» определитель правой матрицы теста 21 равен 1?
ОТВЕТЫ: А) При А=7 Б) При А=11 В) При А=3 Г) При А=1 Д) Ни при каких «А»
ТЕСТ 24. Являются ли указанные ниже две матрицы 4х4 взаимно транспонированными? Являются
ли они взаимно-обратными? На какое число надо умножить каждую из этих матриц, чтобы они
стали взаимно-обратными?
1
1
1
1
1
1
-1
-1
1
-1
1
-1
1
-1
-1
1
1
1
1
1
1
1
-1
-1
1
-1
1
-1
1
-1
-1
1
ОТВЕТЫ к тесту 24: А) Поскольку эти две матрицы одинаковы, то они являются и взаимно
транспонированными, и взаимно-обратными. Б) Поскольку матрицы совпадают и симметричны
относительно диагонали, то транспонирование одной из них ничего не изменит. Взаимно-обратными они
тоже являются. В) На первый вопрос ответ ДА, на второй вопрос ответ НЕТ. Каждую из матриц надо
умножить на число ½ или (-1/2). Г) На оба вопроса ответ НЕТ. Матрицы надо умножать на число 2.
Д) Ответ «А» верный
ТЕСТ 25. Верно ли, что определители указанных ниже матриц 4х4 и 2х2 тождественно равны?
a
m
r
b
b
n
s
x
c
p
t
y
d
q
u
z
A
C
B
D
При этом под A, B, C, D понимаются определители четырёх матриц, идущих ниже:
A:
a b
m n
B:
c
p
d
q
C:
r
b
s
x
D:
t
u
y z
ОТВЕТЫ: (если Вам кажутся правильными более одного ответа, укажите «самый уместный для
данного вопроса») А) Это верно, так как и в правой, и в левой части слагаемые являются произведениями
четырёх элементов, взятых из разных строк и столбцов матрицы 4х4 (причём половина слагаемых взяты с
плюсом, и половина – с минусом)
Б) Эта формула верна только при целых значениях элементов матрицы
4х4 В) Это неверно, так как если бы имела место такая простая формула, то именно по ней вычислялись
бы все определители 4-го порядка Г) Формула неверна. Для доказательства легко подобрать A, B, C, D
так: A=B=C составляются из единичных матриц размера 2х2, а D составляется из диагональной матрицы,
подобранной надлежащим образом
Д) Это неверно, так как ни при каких значениях a, b, c, … , z эти
определители не могут давать одно и то же число
ТЕСТ 26. Верно ли, что при любых a,b,c,d,e,f,g,h,i,k определители идущих ниже матриц равны?
a
0 0 0
0 b c d
0 e f
g
0 h i
k
a b c
0
d e f
0
g h i
0
0 0 0 k
ОТВЕТЫ: А) Если взять a,b,c,d,e,f,g,h,i,k равными 1,2,3,4,4,9,16,8,27,64, то определители не
равны, ибо левый не делится на 3, а правый делится. Значит, и при других целых значениях a,b,c,d,e,f,g,h,i,k
они будут неравны Б) Проверка показывает, что если все числа a,b,c,d,e,f,g,h,i,k взять одинаковыми, то
это равенство выполняется. А так как это - тождество, то и для других значений этих чисел равенство будет
выполняться. В) Указанное в условии утверждение верно Г) Указанное утверждение легче опровергнуть (если оно неверно), чем доказать (если оно верно). К счастью, оно неверно для определителей матриц
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
1
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
ТЕСТ 27. При каком значении «А» квадрат левой матрицы равен правой матрице? (см. ниже)
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
А
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
5
5
1
5
5
ОТВЕТЫ: А) При А= -3
5
1
5
1
1 А+16
5
1
5
1
5
5
1
5
5
Б) При А= -33
5
5
1
5
5
В) При А= -333
Г) При А= 666 Д) Ни при каком!
ТЕСТ 28. При каком значении «А» квадрат квадрата левой матрицы равен правой матрице? (см. ниже)
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
А
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
101
101
33
101
101
101 33 101 101
101 33 101 101
33 173 33 33
101 33 101 101
101 33 101 101
ОТВЕТЫ: А) При А=101 Б) При А=-3
В) При А=0
Г) При А=1
Д) При А=33
ТЕСТ 29. Можно ли подобрать такие две матрицы А, В размера 2х2, что все их элементы
положительны, |A| и |B| ненулевые, и при этом |A+B| = |A|+|B| и одновременно |AB| = |A||B| ? (| | - знак
определителя)
ОТВЕТЫ: А) Так как |AB| = |A||B|, второе равенство не может выполняться.
Б) Так как |A+B| =
|A|+|B|, первое равенство не может выполняться В) Можно. Например, Если взять А=В и заполнить А
так: в левом верхнем углу поставить 1, а остальные элементы равны 2
Г) Ответы «А» и «В» неверны
Д) Надо обеспечить только равенство |A+B| = |A|+|B| , а второе будет выполняться автоматически. Первое
равенство иногда может выполняться. Например, если в А записаны по строкам числа 12, 10, 10, 10; во
второй же можно записать (по строкам) числа 6, 5, 7, 5.
ТЕСТ 30. В матрице А размером 8х8 ниже диагонали записаны нулевые числа. На диагонали
записаны нули, над нулями записаны единицы, над единицами записаны двойки. Последовательно
вычисляются степени этой матрицы: А2, А4, А8, А16 и так далее. Верно ли, что с какого-то момента у нас
получится нулевая матрица?
ОТВЕТЫ: А) Да. Уже А8 будет нулевой.
Б) Нет. Так как, начиная с А16 , матрица станет
единичной, то и дальше будут следовать единичные матрицы.
В) Нет. Но если исходную матрицу
предварительно транспонировать, то верно.
Г) Для матрицы такого типа размером 8х8 это неверно, а для
матрицы 16х16 было бы верно
Д) Уже А2 будет нулевой.
Тема 12. Арифметика остатков от деления на простое число
ТЕСТ 31. Составим таблицу умножения для остатков от деления на 289. Можно ли в ней найти два
ненулевых остатка, которые после перемножения их дают НУЛЕВОЙ остаток?
ОТВЕТЫ: А) Нет, потому что это обозначало бы, что число 0 удалось разложить на произведение
двух ненулевых сомножителей, а это противоречит здравому смыслу. Б) Да. Например, остатки, равные
280 и 9 соответственно.
В) Да. Например, остатки 28 и 9.
Г) Да. Например, остатки 17 и 17.
ТЕСТ 32. Можно ли найти такой остаток от деления на 23, для которого корень 8-й степени равен
13?
ОТВЕТЫ: А) Легко проверить, что корень из остатка 8 равен остатку 13. Значит, и корень 8-й
степени из 8 тоже будет равен 13.
Б) Можно. Все остатки от деления на 23, начиная с 14, обладают этим
свойством
В) Можно. Например, остаток 2.
Г) Можно. Например, остаток от деления 2014 на 23 или
остаток от деления 2013 на 23.
Д) Нельзя, так как из 9 основных свойств чисел не следует существование корней произвольной степени из любого числа.
ТЕСТ 33. На сколько простых множителей раскладывается число 289289?
ОТВЕТЫ: А) На один, т.к. это число простое Б) На пять, причём два из них одинаковы В) На
четыре, и все они одинаковы Г) На 89 и 2891 Д) Все эти множители равны трём
ТЕСТ 34. На сколько простых множителей раскладывается число 361361?
ОТВЕТЫ: А) На один, т.к. это число простое Б) На пять, причём два из них одинаковы В) На
четыре, и все они одинаковы Г) На 61 и 2891 Д) Все эти множители равны 33
ТЕСТ 35. На сколько простых множителей раскладывается число 163163?
ОТВЕТЫ: А) На один, т.к. это число простое Б) На пять, причём два из них одинаковы В) На
четыре, и все они одинаковы Г) На 89 и 2891 Д) Один из этих множителей равен 163
ТЕСТ 36. На сколько простых множителей раскладывается число 777777?
ОТВЕТЫ: А) На один, т.к. это число простое Б) На пять, причём два из них одинаковы В) На
четыре, и все они одинаковы Г) На 89 и 2891 Д) Самый большой множитель равен 37, а самый
маленький равен 3.
ТЕСТ 37. Пусть А, В – две произвольные десятичные цифры. Рассмотрим сто различных чисел вида
7АВ7АВ (указаны их десятичные цифры в количестве шести штук). Сколько различных остатков от деления
на 13 мы обнаружим среди этих ста чисел?
ОТВЕТЫ: А) Такие числа никогда не делятся на 13 Б) Такие числа всегда делятся на 13 В)
Тринадцать остатков, равных 1, восемьдесят семь остатков, равных нулю. Г) Все остатки равны 7
ТЕСТ 37. Пусть А, В – две произвольные десятичные цифры. Рассмотрим 81 различных чисел вида
7АВ7АВ (указаны их десятичные цифры в количестве шести штук). Сколько различных остатков от деления
на 11 мы обнаружим среди этих ста чисел?
ОТВЕТЫ: А) Такие числа никогда не делятся на 11 Б) Такие числа всегда делятся на 11 В)
Одиннадцать остатков, равных 1, прочие равны нулю. Г) Все остатки равны 7.
ТЕСТ 39. Пусть А, В – две произвольные десятичные цифры. Рассмотрим сто различных чисел
вида 7АВ7АВ (указаны их десятичные цифры в количестве шести штук). Сколько различных остатков от
деления на 37 мы обнаружим среди этих ста чисел?
ОТВЕТЫ: А) Такие числа никогда не делятся на 37 Б) Такие числа всегда делятся на 37 В)
Тринадцать остатков, равных 1, восемьдесят семь остатков, равных 13. Г) Все остатки равны 13
ТЕСТ 40. Рассматриваются всевозможные остатки от деления на 7. Чему равна сумма 8-х степеней
этих остатков? Чему равен остаток от деления этой суммы на 7?
ОТВЕТЫ: А) Сумма равна 462979, остаток равен 6 Б) Сумма равна 979264, остаток равен 7
В) Сумма равна 492979, остаток равен её последней цифре Г) Сумма равна 123456, остаток равен сумме
её цифр.
Тема 3. Простые задачи линейного программирования
ТЕСТ 41. Дана замкнутая область в форме квадрата ABCD, лежащего в первом квадранте. А и В соседние вершины с координатами А(19, 0), В(0, 19). Задана целевая функция L(x,y) = 2014x + 2014y –
2014. Чему равен максимум и минимум этой функции в этой области? В каких точках они достигаются?
ОТВЕТЫ: А) Максимум равен 0 (достигается в точке (19, 19)). Минимум равен (-2014),
достигается в точке (0, 0). Б) У этой функции много точек, где достигается минимум, но только одна
точка, где достигается максимум. В) Значения этой функции неограниченны сверху в этой области, но
ограничены снизу числом 0. Г) И максимум, и минимум находятся во внутренних точках этой области; обе
этих точки лежат на биссектрисе первого квадранта. Д) Минимум равен 36252 и достигается во многих
точках (например, в точке (18,5; 0,5); максимум равен 112784 и достигается во многих точках.
ТЕСТ 42. Дана замкнутая область в форме квадрата ABCD, лежащего во втором квадранте. А и В соседние вершины с координатами А(0, 19), В(-19, 0). Задана целевая функция L(x,y) = 2014x + 2014y –
2013. Чему равен максимум и минимум этой функции в этой области? В каких точках они достигаются?
ОТВЕТЫ: А) Максимум равен 0 (достигается в точке (-19, 19)). Минимум равен (-2013),
достигается в точке (0, 0). Б) У этой функции много точек, где достигается минимум (равный (-40279))
и много точек, где достигается максимум (равный 36253)). В) Значения этой функции неограниченны снизу
в этой области, но ограничены сверху числом 0. Г) И максимум, и минимум находятся во внутренних
точках этой области; обе этих точки лежат на биссектрисе второго квадранта. Д) Минимум равен 36252 и
достигается во многих точках (например, в точке (-18,5; 0,5); максимум равен 112784 и достигается во
многих точках.
ТЕСТ 43. Дана замкнутая область в форме куба ABCDA1B1C1D1, лежащего в первом октанте. А и В
-соседние вершины с координатами А(19, 0, 0), В(0, 19, 0). Задана целевая функция L(x,y,z) =
19x+17y+1917z. Чему равен максимум и минимум этой функции в этой области? В каких точках они
достигаются?
ОТВЕТЫ: А) На одной из граней куба целевая функция постоянна и равна 1917 (минимум). В
одной из вершин достигается максимум, равный 1937. Б) В вершине (0, 19, 0) достигается минимум,
равный 323. В вершине со значением z=19*корень(2) достигается максимум, примерно равный 52554,9.
В) Максимум достигается в центре куба и равен 1937. Минимум не существует. Г) Максимум равен 52555,
а минимум равен 555. Д) Максимум равен 555, а минимум равен -52555. Для каждого из них z=19.
ТЕСТ 44. Дана замкнутая область в форме куба ABCDA1B1C1D1, лежащего в первом октанте. А и В
-соседние вершины с координатами А(19, 0, 0), В(0, 19, 0). Задана целевая функция L(x,y,z) =
19x+1917y+17z. Чему равен максимум и минимум этой функции в этой области? В каких точках они
достигаются?
ОТВЕТЫ: А) Максимум близок к числу 73666 и достигается в точке, где «у» в два раза больше «х».
Минимум равен 361 (находится в точке, у которой последние две координаты =0). Б) Максимум ровно в 10
раз больше минимума и находится в точке (20, 20, 20). Минимум находится в точке (19, 0, 0). В) Максимум
равен примерно 73664, минимум равен -333. Расстояние от точки максимума до точки минимума равно 19.
Г) И минимум, и максимум достигаются при z=0. Их сумма (округляя до целых) равна 74025.
ТЕСТ 45. В 3-мерном пространстве задана замкнутая заузленная ломаная линия с шестью
прямолинейными звеньями (известны координаты её вершин). Задана также функция L(x,y,z) = 7x + 11y+
13z. Можно ли, решая 6 раз задачу линейного программирования, узнать, чему равен максимум и минимум
этой функции при движении по точкам заузленной ломаной?
ОТВЕТЫ: А) Нельзя, так как заузленная ломаная является нелинейным объектом. Б) Заузленную
ломаную с шестью прямолинейными звеньями построить невозможно. В) Можно. Пусть даны координаты
вершин ломаной: A(6, 0, 2), B(14, 12, 0), C(7, 13, 6), D(8, 1, 0), E(14, 1, 4), F(0, 15, 0). В этих точках L = 68,
230, 270, 67, 161, 165 соответственно. Значит, максимум L равен 270, а минимум равен 67. Г)
Можно. Пусть даны координаты вершин ломаной: A(6, 0, 2), B(14, 12, 0), C(7, 13, 6), D(8, 1, 0), E(14, 1, 4),
F(0, 15, 20). Такая ломаная является заузленной. В этих точках L = 68, 230, 720, 67, 161, 165
соответственно. Значит, максимум L равен 720, а минимум равен 67. Д) И ответ Г, и ответ В
неверны.
ТЕСТ 46. Из четырёх кубиков со стороной 6 склеена трёхмерная замкнутая область в
форме буквы «Г». Область размещена в первом октанте в слое 0 <= z <= 6 так, как указано на рис. 1.
Решая две задачи ЛП, найти максимум и минимум функции L = -33x-44y-55z (и точки, где они
достигаются).
ОТВЕТЫ: А) Так как L в первом октанте отрицательна, то максимум ею не достигается.
Значит, тест не имеет решения. Б) Так как область невыпуклая, то задачу ЛП решать нельзя. В)
Хотя эта область и невыпуклая, но её можно разбить на две равные выпуклые подобласти, и в
каждой из них решать задачу ЛП. Получим max1, max2, min1, min2. Из двух максимумов возьмём
наибольший, а из двух минимумов – наименьший.
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
0
5
10
15
Рис. 1. Область в форме буквы «Г» (вид сверху).
Г) Хотя эта область и невыпуклая, но её можно разбить на неравные выпуклые подобласти,
и в каждой из них решать задачу ЛП. Получим max1 = 11, max2 = 13, min1 = 0, min2 = 7. Из двух
максимумов возьмём наибольший, а из двух минимумов – наименьший.
ТЕСТ 47. Из четырёх кубиков со стороной 6 склеена трёхмерная замкнутая область в
форме буквы «Г». Область размещена в первом октанте в слое 0 <= z <= 6 так, как указано на рис. 1.
Решая две задачи ЛП в двух равных выпуклых подобластях, найти максимум и минимум функции
L = -33x-44y-55z (и точки, где они достигаются).
ОТВЕТЫ: А) Максимум = 0, достигается в точке (0, 0, 0). Минимум = -1518, достигается в
точке (12, 18, 6). Б) Максимум = 1518, достигается в точке (12, 18, 6). Минимум = 0, достигается
в точке (0, 0, 0). В) Так как область невыпуклая, то минимума в ней нет. Максимум равен 1518.
Г) Максимум и минимум лежат на отрезке, соединяющем точки (6, 12, 0) и (6, 12, 6). Максимум =
–891, минимум = –981.
ТЕСТ 48. Найти максимум функции четырёх переменных L= (π2 – 10)x + π2/4 y + z + π u в
замкнутой области, отвечающей условиям { x >= 0, y >= 0, z >= 0, u >= 0, x+y+z+u = 2014, x+z=14}
ОТВЕТЫ: (как всегда, выбирается ответ, наиболее близкий к правильному) А) Максимум
равен числу «пи», достигается в точке (10, 1000, 4, 1000). В) Максимум равен числу 6297,
достигается в точке (10, 1000, 4, 1000). Г) Максимум равен 2000π + 14, достигается в точке (0, 0,
14, 2000). Д) Максимум равен 4933 в точке (14, 2000, 0, 0).
ТЕСТ 49. Найти максимум функции четырёх переменных L= x+2y+3z+4u в замкнутой
области, отвечающей условиям { x >= 0, y >= 0, z >= 0, u >= 0, x+y+z+u = 1, x+y+z=1}
ОВЕТЫ: А) Максимум=3, достигается в точке (0, 1, 0, 0); минимум=1, достигается в точке
(1, 0, 0, 0). Б) Все ответы, кроме ответа Б, неверные. В) Максимум=3, достигается в точке (0, 0, 1, 0).
Г) Так как условия записаны симметрично относительно x, y, z, то можно взять x=y=z. Тогда
обязательно будет x=y=z= 1/3. Значит, минимум равен максимуму (и его легко найти из формулы
для L.
ТЕСТ 50. Найти максимум функции пяти переменных L= x+2y+3z+4u+5v в замкнутой
области, отвечающей условиям { x >= 0, y >= 0, z >= 0, u >= 0, v >= 0, x+y+z+u+v = 1, x+y+z+u = 1}
ОВЕТЫ: А) Максимум=3, достигается в точке (0, 1, 0, 0, 0); минимум=2, достигается в
точке (1, 0, 0, 0, 0). Б) Минимум равен 13, а максимум в два раза больше. В) Максимум=3,
достигается в точке (0, 0, 1, 0, 0). Г) Так как условия записаны симметрично относительно x, y, z, u,
то можно взять x=y=z=u. Тогда обязательно будет x=y=z= 1/4. Значит, минимум равен максимуму
(и их легко найти из формулы для L). Д) Максимум равен 4, достигается в точке (0, 0, 0, 1, 0).
Тема 4. Построение правильного n-угольника с единичным периметром
ТЕСТ 51. Построить правильный треугольник с единичным периметром, симметричный
относительно прямой y=x, с центром в начале координат. (См. рис.2). Найти максимум линейной
функции L = x+y в замкнутой области, ограниченной этим треугольником.
0.2
0.15
0.1
0.05
0
-0.25
-0.2
-0.15
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
-0.05
-0.1
-0.15
-0.2
-0.25
Рис. 2. Правильный 3-угольник с периметром=1.
ОТВЕТЫ: А) Сторона равна 1/3, две трети высоты равно 1/(3*корень(3)), координаты
исходной вершины равны x=y= корень(2)/(6*корень(3)), вторая и третья вершина вычисляются по
формуле { x1 = x*cos(2*пи()/3)–y*sin(2*пи()/3), y1 = x*sin(2*пи()/3)+y*cos(2*пи()/3) }, применённой дважды (угол поворота (2*пи()/3), применённый дважды, даёт в итоге (4*пи()/3) ). Максимум
L достигается в исходной вершине. Б) Сторона равна 1/3, две трети высоты равно 1/(3*корень(3)),
координаты исходной вершины равны x=y= корень(2)/(6*корень(3)), вторая и третья вершина
вычисляются по формуле { x1 = x*cos(2*пи()/3)+y*sin(2*пи()/3), y1 = x*sin(2*пи()/3)–
y*cos(2*пи()/3) }, применённой дважды (угол поворота (2*пи()/3), применённый дважды, даёт в
итоге (4*пи()/3) ). Максимум L достигается в исходной вершине и равен 0,2722. В) Сторона равна
1/3, площадь треугольника равна 1/корень(3), L = корень(3). Г) Один из ответов Б, В верный.
ТЕСТ 52. Построить правильный четырёхугольник с единичным периметром, одна из
диагоналей которого идёт под углом 30о к оси иксов, с центром в начале координат. (См. рис.3).
Найти максимум линейной функции L = x+y в замкнутой области, ограниченной этим 4угольником.
ОТВЕТЫ: А) Достаточно найти координаты вершины, лежащей в 1 квадранте,
координаты остальных вершин получаются изменением порядка следования «х» и «у» и нужным
изменением знака. Максимум L = x+y достигается в вершине из первого квадранта и равен 0,1524.
Б) Достаточно найти координаты вершины, лежащей в 1 квадранте, координаты остальных
вершин получаются изменением порядка следования «х» и «у» и нужным изменением знака.
Максимум L = x+y достигается в вершине из первого квадранта и равен 0,2415. Координаты этой
вершины равны (0,1531; 0,0884). В) Максимум L=x+y достигается в центре квадрата. Г)
Площадь квадрата равна 0,5. Максимум L равен 0,6868.
0.2
0.15
0.1
0.05
0
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
-0.05
-0.1
-0.15
-0.2
Рис. 3. Правильный 4-угольник (периметр=1)
ТЕСТ 53. Квадрат, изображённый на рис. 3, отражается в оси игреков как в зеркале. Чему
равна площадь пересечения этих двух квадратов? (См. рис. 4).
0.2
0.15
0.1
0.05
0
-0.2
-0.1
-0.05
0
0.1
0.2
-0.1
-0.15
-0.2
Рис. 4. Общая часть двух квадратов периметра 1.
ОТВЕТЫ: А) Обозначим через w расстояние от центра квадрата до его вершины. Если
периметр равен 1, то w = 0,25/корень(2). Очевидно, что пересечение двух квадратов является
многоугольником, все стороны которого равны, и что он симметричен относительно оси иксов,
оси игреков и относительно прямых y=x и y= –x. Это не означает, что он правильный, так как
расстояние от его центра до верхней вершины не равно расстоянию от центра до вершины,
лежащей на прямой у=х. Первое расстояние равно w корень(3)/(корень(3) + 1), а второе
w/корень(2). Эти два отрезка образуют между собой угол 45o. Отсюда находим, что вся площадь
8-угольника равна 2 w2 корень(3)/(корень(3) + 1), то есть 63,4% от площади исходного квадрата.
Б) Первое расстояние равно w корень(2)/(корень(2)+ 1), а второе w/корень(3). Эти два отрезка
образуют между собой угол 45o. Отсюда находим, что вся площадь 8-угольника равна 2 w2
корень(2)/(корень(2) + 1), то есть 58,6% от площади исходного квадрата. В) Их пересечение
является правильным 8-угольником, и длины всех отрезков, идущих от центра до вершин, равны
2w/(корень(2)+корень(3)). Отсюда легко находится его площадь. Г) Отрезок, соединяющий центр
с вершиной, имеет длину 0,1 корень(2), а отрезок, идущий по вертикали, равен 0,13. Отсюда легко
находится площадь 8-угольника.
ТЕСТ 54. Как построить на одном чертеже правильный 5-угольник с периметром 1 и
окружность с тем же центром и с такой же площадью? (См. рис. 5).
0.2
0.15
0.1
0.05
0
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
-0.05
-0.1
-0.15
-0.2
Рис. 5. Две фигуры равной площади.
ОТВЕТЫ: (следует учесть, что в каждом из ответов – и в правильном, и в неправильном, можно найти информацию, полезную для решения данной задачи; в связи с этим ответ
может содержать более одного утверждения, и ответ считается НЕПРАВИЛЬНЫМ, если
хотя бы одно из этих утверждений неверно) А) Боковые вершины 5-угольника лежат на высоте
0,05 и –0,14 (что позволяет легко построить его). Квадрат радиуса окружности равен S/π, где S=
площади правильного 5-угольника. Обозначая через R, r радиус описанной и вписанной
окружности 5-угольника, можно разбить его на 10 равных прямоугольных треугольников с
катетами r и 0,1 и гипотенузой R и углом π/5. Площадь каждого из этих треугольников равна ½
* 0,12/tg(π/5), а площадь всего 5-угольника в 10 раз больше, то есть S = 0,06882. Значит, радиус
окружности, изображённой на рис. 5, должен равняться 0,14800. Б) Эта задача не имеет решения,
так как она равносильна квадратуре круга (прочитать в интернете, что это такое). В) Так как
периметр 5-угольника равен 1, то и длина окружности тоже равна 1 (поскольку площади этих
фигур равны). Отсюда легко найти радиус окружности. Так как верхняя вершина находится на
высоте 0,17, а прочие вершины лежат на высоте 0,05 и –0,14 , то легко построить 5-угольник.
Г) Так как радиус окружности на рис. 5 равен 0,15 , то окружность легко построить, опираясь на
её уравнение: x2 + y2 = 0,152. Пятиугольник же строим так: сначала заносим координаты первой
вершины (верхней): (0, R), где R = 0,17013 (см. ответ А). Затем несколько раз делаем поворот на
угол 2π/5 против часовой стрелки, что сводится к умножению первой и второй координаты
исходной вершины на выражения B1*COS(2*ПИ()/5) – C1*SIN(2*ПИ()/5) и B1*SIN(2*ПИ()/5) +
C1*COS(2*ПИ()/5) соответственно (где в В1 находится 0, а в С1 находится R). Получаем координаты второй вершины в ячейках В2 и С2. Копируем формулы в этих соседних ячейках вниз до
тех пор, пока снова появятся координаты 0 и R (в ячейках В6 и С6). По этим точкам строим
контур 5-угольника.
Д) Так как радиус окружности на рис. 5 равен корень(0,6882/π) = 0,14800,
то окружность легко построить в полярной системе координат. Пятиугольник же строим так, как
объяснено в ответе Г.
ТЕСТ 55. Построить правильный 6-угольник периметра 1 с центром в точке (0, 0) и с двумя
вершинами на оси игреков. Начиная с верхней вершины и двигаясь против часовой стрелки, на
каждой стороне 6-угольника отсекают одну треть этой стороны и соединяют точки отсечения
между собой. Убедиться, что снова получается правильный 6-угольник. Как построить его? Как
найти его периметр? (См. рис. 6).
0.2
0.15
0.1
0.05
0
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
-0.05
-0.1
-0.15
-0.2
Рис. 6. Шестиугольник в шестиугольнике.
ОТВЕТЫ: (изучите ВСЕ ответы; даже в неправильных может встретиться правильная
и нужная для решения теста информация!) А) У внешнего 6-угольника все стороны равны 1/6.
Внутренний 6-угольник окаймлён треугольниками, которые равны по двум сторонам и углу между
ними. Все стороны внутреннего 6-угольника равны 1/7. Следовательно, его периметр равен 6/7.
Б) Шестиугольник строится так, как и 5-угольник в предыд. тесте, только поворачивать надо не на
угол 2*ПИ()/5, а на угол 2*ПИ()/6. Отсекание одной третьей части стороны делается по формулам деления отрезка в данном отношении; в нашем случае они имеют вид (2*x1+x2)/3 и (2*y1+
y2)/3. Эти формулы позволяют найти самую верхнюю вершину внутреннего 6-угольника, а
дальше он, как и внешний, строится путём копирования двух формул, указанных в тесте 55.
Квадрат большей стороны каждого из окаймляющих 6-угольников равен (по теореме косинусов)
(1/18)2 + (2/18)2 – 2*(1/18)*(2/18)*cos(120o) = 0,021605. Извлекая из этого числа корень и деля на
(1/6), получим, что длина стороны внутреннего 6-угольника составляет 0,881917 от длины
стороны внешнего. В) Площадь внутреннего 6-угольника составляет 0,881917 от площади
внешнего. Г) Сумма периметров внутреннего и внешнего 6-угольника является целым числом.
Д) Сумма периметров внутреннего и внешнего 6-угольника меньше, чем 1,88.
ТЕСТ 56. Построить правильный 7-угольник периметра 1 с центром в точке (0, 0) и с
вершиной на оси игреков. (См. рис.7). Какое из утверждений о нём неверно?
ОТВЕТЫ: (указать, какой из ответов НЕВЕРНЫЙ!) А) Взяв две вершины и добавив
точку, лежащую на границе, можно получить вершины правильного треугольника. Б) Выбирая
вершины по три, можно получить ровно 14 несовпадающих правильных треугольников. В) Выбирая вершины по четыре, можно получить ровно 21 несовпадающих равнобочных трапеций.
Г) Выбирая вершины по 4, никогда не удастся получить параллелограмм. Д) Ответ В верен.
ТЕСТ 57. Как построить невыпуклый правильный семиугольник периметра 1? (См. для
наглядного представления рис. 8).
ОТВЕТЫ: А) Так же, как и выпуклый в тесте 56, но исходную вершину поворачивать не
на угол 2π/7, а на угол 6π/7. Б) На рис. 8 изображена фигура, которую нельзя называть правильным многоугольником, так как на этой фигуре стороны могут пересекаться во внутренних точках.
Значит, поставленная задача не имеет решения. В) Так же, как и выпуклый в тесте 56, но исходную вершину поворачивать не на угол 2π/7, а на угол 4π/7. Г) Воспользоваться тем, что одна из
сторон на рис. 8 горизонтальна и лежит на высоте (-0,04). Длина этой стороны равна 1/7, так как
периметр равен 1. Значит, координаты вершин горизонтальной стороны таковы: А(-1/14; -0,04) и
В(1/14; -0,04). Далее надо проводить стороны такой же длины под углом 30о к предыдущей
стороне. Д) И ответ А неверный, и ответ Г неверный. А именно: в ответе А должен быть угол
поворота 8π/7. А ответ Г неверен потому, что сумма всех семи сторон на рис. 8 (то есть периметр
7-угольника) явно больше, чем 1.
0.2
0.15
0.1
0.05
0
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
-0.05
-0.1
-0.15
-0.2
Рис. 7. Правильный 7-угольник.
0.2
0.15
0.1
0.05
0
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
-0.05
-0.1
-0.15
-0.2
Рис. 8. Правильный невыпуклый 7-угольник.
ТЕСТ 58. Построен ещё один невыпуклый правильный семиугольник. (См. для наглядного
представления рис. 9). Какое утверждение о нём верно?
А) Это не семиугольник, потому что он невыпуклый. Б) Если приглядеться к рис. 8, то на
нём можно увидеть (в изменённом масштабе, но той же самой формы) и фигуру на рис. 7, и
фигуру на рис.9. В) Длина каждой стороны на рис. 7 равна 1/7. Г) Длина каждой стороны на рис.
9 в точности равна 0,24. Д) Угол при каждой внешней вершине на рис. 9 равен 70o.
0.2
0.15
0.1
0.05
0
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
-0.05
-0.1
-0.15
-0.2
Рис. 9. Ещё один правильный невыпуклый 7-угольник.
ТЕСТ 59. На надгробии математика К.Ф. Гаусса изображён правильный (выпуклый) 17угольник. Почему число 17 удостоилось такой чести, можно посмотреть в интернете
<необязательное задание>. Построить правильный 17-угольник (см. рис. 10) и ответить на вопрос: на
сколько процентов его площадь отличается от площади описанного вокруг него круга?
<обязательное задание>.
ОТВЕТЫ: А) 17-угольник строится так же, как и выпуклый правильный 7-угольник; а
радиус описанного круга равен cos(2*пи()/7). Далее задача легко решается. Б) 17-угольник
строится так же, как и любой выпуклый правильный N-угольник; а радиус описанного круга равен
1. Его площадь составляет 98,7% от площади описанного круга. В) В отличие от 7-угольника,
правильный 17-угольник может быть только выпуклым. Отличие его площади от площади круга
радиуса 1 (в процентах) такое же, как и отличие его периметра от длины окружности радиуса 1.
Далее задача легко решается. Г) Длина периметра многоугольника на рис. 10 в точности равна
длине описанной около него окружности, так как если разбить окружность на 17 равных дуг, а
затем повернуть каждую из дуг выпуклостью внутрь многоугольника, то мы и
1.5
1
0.5
0
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
-0.5
-1
-1.5
Рис. 10. Правильный 17-угольник.
1
1.5
получим рис. 10. Значит, и величина площади круга равна площади фигуры на рис. 10. Д) Все
предыдущие ответы неверны (например, в ответе Б вместо 98,7% должно быть 97,7%).
ТЕСТ 60. Некий студент решил построить невыпуклый правильный 16-угольник, и у него
получилось то, что представлено на рис. 11. Верно ли он его строил, и верный ли получился ответ?
1.5
1
0.5
0
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
-0.5
-1
-1.5
Рис. 11. Как студент построил 16-угольник.
ОТВЕТЫ: А) Строил правильно, то есть по обычным формулам вида
A63*COS(10*ПИ()/16)-B63*SIN(10*ПИ()/16) и A63*SIN(10*ПИ()/16) +B63 *COS(10*ПИ()/16). И
получил то, что хотел. Б) Строил правильно, но вместо замкнутого 16-угольника получил четыре
отдельных квадрата. В) Строил неправильно, но случайно получил правильный ответ. Г) И
строил неправильно, и ответ неправильный: получилось два отдельных невыпуклых 8-угольника!
Д) Строил правильно, но по рассеянности он построил невыпуклый правильный 17-угольник.
Тема 5. Графики поверхностей
ТЕСТ 61. На рис.12 представлены графики четырёх поверхностей, отвечающим четырём
уравнениям:
1 . z = x3 – 16/(|x|y2+1) ,
2 . z = sin (1,5x) sin(2,5y),
3 . z = 2x4y + x3y2 – 2x2y3 – x5 – xy4 + 2x,
4 . z = 3x4y + x3y2 – 2x2y3 – x5 + 2x,
построенных в квадратной замкнутой области {-3 <= x <= 3, -3 <= y <= 3} (порядок
следования уравнений не совпадает с порядком следования графиков). Графики пронумерованы
так: верхние два 1. и 2. , нижние два 3. и 4. Выбрать ответ, устанавливающий правильное
соответствие между номерами уравнений и номерами графиков.
ОТВЕТЫ: А) 1  1. , 2  4. , 3  3. , 4  2.
Б) 1  4. , 2  3. , 3  1. , 4  2.
В) 1  4. , 2  3. , 3  2. , 4  1.
Г) 1  1. , 2  4. , 3  2. , 4  3.
Д) 1  1. , 2  3. , 3  2. , 4  4.
Название диаграммы:
ТЕСТ 61, график 1.
-60--40
-40--20
-20-0
0-20
20-40
40
20
3
1,5
-3
3
2.5
2
-1,5
0.5
1
1.5
-20
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
-40
-60
Многочлен-перечислитель чисел Фибоначчи
(ТЕСТ 61, график 2.)
-400--200
-200-0
0-200
200-400
400
200
1,2
-0,9
-3
3
2
2.5
-400
1.5
-200
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
0
500
0-500
1,2
-500
-3
-2.3
-1.6
-0.9
-0.2
0.5
1.2
1.9
2.6
0
(график 3.)
-0,9
-3
-500-0
1
0.5-1
0.5
1,2
-0,9
-3
0-0.5
-0.5-0
-1--0.5
3
2.5
-0.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
0
-1
(график 4.)
Рисунок 12. Четыре графика поверхностей.
ТЕСТ 62. На рис.13 (см. ниже) представлены графики четырёх поверхностей, отвечающим
четырём уравнениям:
1 . z = 1/(|tg(xy/600)| + 1)
2 . z = 1/(|ctg(xy/600)| + 1)
3 . z = 1/(|2 sin(xy/60)| + 1)
4 . z = 1/(|cos(xy/60)| + 1),
построенных в квадратной замкнутой области {-10 <= x <= 10, -10 <= y <= 10 } (порядок
следования уравнений не совпадает с порядком следования графиков). Графики пронумерованы
так: верхние два 1. и 2. , нижние два 3. и 4. Выбрать ответ, устанавливающий правильное
соответствие между номерами уравнений и номерами графиков.
ОТВЕТЫ: А) 1  1. , 2  2. , 3  3. , 4  4.
Б) 1  4. , 2  3. , 3  1. , 4  2.
В) 1  4. , 2  3. , 3  2. , 4  1.
Г) 1  3. , 2  4. , 3  2. , 4  1.
Д) 1  1. , 2  3. , 3  2. , 4  4.
1
0.95
0.95-1
0.9-0.95
0.9
0.85-0.9
0.85
6,5
0.8
1
(чертеж 1.)
-10
10
8
6
4
2
0
-2
-4,5
-4
-6
-8
-10
0.75
0.8-0.85
0.75-0.8
1
0.8
0.8-1
0.6
0.6-0.8
0.4-0.6
0.4
0.2-0.4
6,5
0.2
1
0
0-0.2
-10
-8.5
-7
-5.5
-4
-2.5
-1
0.5
2
3.5
5
6.5
8
9.5
-4,5
-10
(чертеж 2.)
0.16
0.14-0.16
0.14
0.12-0.14
0.12
0.1-0.12
0.1
0.08
0.08-0.1
0.06
0.06-0.08
0.04
6,5
0.02
0.02-0.04
1
0-0.02
-10
10
8
6
4
2
0
-2
-4,5
-4
-6
-8
-10
0
0.04-0.06
(чертеж 3.)
1
0.8
0.8-1
0.6
0.6-0.8
0.4
0.4-0.6
6,5
0.2
1
(чертеж 4.)
Рис. 13. Чертежи к ТЕСТУ 62.
-10
10
8
6
4
2
0
-2
-4,5
-4
-6
-8
-10
0
0.2-0.4
0-0.2
ТЕСТ 63. Даны 5 уравнений:
1.. z= arcsin(sin(у)) + 0,5*x
2.. z= arcsin(sin(x))+arccos(cos(y))
3.. z= arctg(tg(x))*y
4.. z= arctg(ctg(x)+tg(y))
5.. z= arctg(tg(x)+arcctg(ctg(y)). Ниже (рис. 14) приведены графики 1., 2., 3., 4. , изображающие четыре из этих пяти уравнений в квадратной области {-3 <= x <= 3; -3 <= y <= 3}. Какие
именно и в каком порядке?
ОТВЕТЫ: А) чертеж 1. это 4.. , 2. это 2.. , 3. это 5.. , 4. это 1..
Б) 1. это 5.. , 2. это 4.. , 3. это 3.. , 4. это 2..
В) 1. это 4.. , 2. это 3.. , 3. это 5.. , 4. это 1..
Г) 1. это 4.. , 2. это 3.. , 3. это 2.. , 4. это 1..
2
1-2
1
1,8
0,2
-1,4
0-1
-1-0
-3
-2--1
3
2.5
2
1.5
1
0.5
-1
0
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
-2
(чертеж 1.)
6
4-6
4
2-4
2
1,8
0,2
-1,4
-4
-3
0-2
-2-0
-4--2
3
2.5
2
1.5
1
-2
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
0
-6--4
-6
(чертеж 2.)
4-6
6
4
1,2
-0,9
(чертеж 3.)
2.5
2
1.5
1
0.5
0
-2
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
-3
3
2
2-4
0-2
-2-0
4
2-4
2
1,8
0,2
-1,4
-3
0-2
-2-0
-4--2
3
2.5
2
1.5
1
0.5
-2
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0
-4
(чертеж 4.)
Рис. 14. Состоит из чертежей (1. 2. 3. 4.)
ТЕСТ 64. На рис. 15 представлен график функции двух переменных. Какая из
перечисленных ниже шести функций ему соответствует? <из приведённых ниже четырёх ответов указать
НЕПРАВИЛЬНЫЙ> :
1.. arcsin(cos(π/2 – x)) + arccos(cos(y + 2π)) ; 2.. arctg(tg(x)) + π/2 – arctg(1/tg(x))
3.. z= xy – (xy)3 ; 4.. z= arcsin(sin(x)) + arccos(cos(y)) ; 5.. z= xy – yx 6.. arccos(tg(x))
ОТВЕТЫ: А) Рисунку 15 соответствует либо первая, либо 4-я функция.
Б) График 1-й функции совпадает с графиком 4-й. В) Рис. 15 является кусочноплоскостным. Г) Рис. 15 только кажется кусочно-плоскостным, а на самом деле в нём не
изломы, а плавные закругления.
5
4-5
4
3-4
3
2-3
2
1,8
0,2
-1,4
1
-3
3
2
2.5
-2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-1
-3
-2.5
-2
0
1-2
0-1
-1-0
-2--1
Рис. 15. Что-то вроде пюпитра.
ТЕСТ 65. На рис. 16 изображена часть поверхности z = ecos x + esin y (вид сверху). Как
уточнить расположение точки максимума и величину максимума?
ОТВЕТЫ: А) Из чертежа видно, что максимум находится в точке (0; 1,5). Он равен е +
е3/2. Б) Из чертежа видно, что в пределах квадрата {-3 <= x <= 3; -3 <= y <= 3} имеется шесть
точек экстремума. В точке (0; 4π/9) находится максимум (легко вычислить, чему он равен), а в
прочих точках находятся минимумы. В) Максимум находится на левой границе. Он равен 6.
Г) Максимум находится на верхней и нижней границе. Оба они равны 6.
Д) В точке, подозрительной по экстремуму, обязательно х=0 и обязательно у=π/2 либо у= -π/2,
так как остальные подозрительные точки лежат за пределами квадрата {-3 <= x <= 3; -3 <= y <= 3}.
В точке (0; -π/2) находится «седло», то есть нет экстремума. В точке (0; π/2) находится максимум,
равный 2е.
3
2,5
2
1,5
1
0,5
0
-0,5
-1
-1,5
-2
-2,5
-3
4-6
2-4
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
0-2
Рис. 16. Вид сверху на поверхность z = ecos x + esin y.
ТЕСТ 66. Каким уравнением описывается поверхность, изображённая в пределах квадрата
{-3 <= x <= 3; -3 <= y <= 3} на рис. 17 ?
ОТВЕТЫ: А) z = x4 – y4 + 3xy
Б) z = xy – (xy)3 В) z = x*cos y – y*cos x
Г) Ни одним из вышеуказанных уравнений Д) z = |xy| – |x| – |y|
800
600-800
600
400-600
400
200-400
200
1,8
0,2
-1,4
-600
-800
-3
3
2
2.5
-400
1.5
-200
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
0
0-200
-200-0
-400--200
-600--400
-800--600
Рис. 17. «Летящая птица».
ТЕСТ 67. Каким уравнением описывается поверхность, изображённая в пределах квадрата
{-3 <= x <= 3; -3 <= y <= 3} на рис. 18 ?
ОТВЕТЫ: А) z = x4 – y4 + 3(sin x)-cos y
Б) z = xy – xy3 В) z = x*cos y – cos x
Г) Ни одним из уравнений пунктов А и Б Д) z = arccos(tg(x/y))
3.5
3
3-3.5
2.5
2.5-3
2
2-2.5
1.5
1.5-2
1-1.5
1
1,8
0,2
0.5
0-0.5
-3
3
2.5
2
1.5
1
-1,4
0.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0
0.5-1
Рис. 18. «Готический храм в строительных лесах»
ТЕСТ 68. Какие из поверхностей, описываемых нижеидущими четырьмя уравнениями,
лежат внутри какой-нибудь из трёх оставшихся поверхностей:
1) 3x + 4y + 5z = 60 2) x2 + z2 = 1 3) x2 + y2 + z2 = 1000 4) x2 + y2 + (z–7)2 = 16
ОТВЕТЫ: А) Все более поздние уравнения дают поверхность, лежащую внутри всех
предыдущих Б) Никакая не лежит внутри другой поверхности В) 4-я поверхность лежит внутри
3-й Г) 2-я лежит внутри 3-й и 4-й Д) Если заменить 1000 на 10000, то 3-я поверхность будет
содержать внутри себя каждую из остальных.
ТЕСТ 69. На рис. 19 представлена поверхность z = xyyx , где 0 <= x <= 2, 0 <= y <= 2.
Какое из 4-х утверждений А, Б, В, Г неверно?
16
14-16
14
12-14
12
10-12
10
8
8-10
6
6-8
4
1,8
2
0
1,2
0 0.2
0.4 0.6 0.8
1
0,6
1.2 1.4
1.6 1.8
4-6
2-4
0-2
0
2
Рис. 19. «Памятник героям космоса»
УТВЕРЖДЕНИЯ: А) Правый край этого куска поверхности является степенной функцией,
а задний край – показательной функцией. Б) Кривая, образующая верхний край синей области, не
является четвертью окружности. В) z(1, 2) = z(2, 1) = 2 Г) Линия уровня z(x,y) = 0 состоит из
двух прямолинейных отрезков.
ТЕСТ 70. Как построена поверхность, представленная на рис. 20? Указать правильный
ответ. (Область определения: 0 <= x <= 2, 0 <= y <= 2).
ОТВЕТЫ: А) По формуле z = arcsin(|sin 7x|) + arccos(|cos 7x|). Б) По формуле z = max
(x+2y, 3). В) Сначала была построена поверхность z = x + 2y, а затем вручную были занесены
точки на высоте 3 вдоль спиралевидной траектории. Г) Все точки были занесены вручную.
6
5
5-6
4
4-5
3
3-4
2-3
2
Series34
Series23
1
0
1 4 7
10 13 16
1-2
0-1
Series12
19 22 25
28 31 34
37 40
Series1
Рис. 20. «Лабиринт».
Тема 10. Задачи на максимум функций: y=f(x) на отрезке или z = f(x,y) в области
ТЕСТ 71. Планируется изготовить из дерева цилиндр радиуса R и высоты Н, а также два
одинаковых конуса с теми же радиусом и высотой. Конусы затем будут приклеены основаниями к
верхнему и нижнему основанию цилиндра. Полученное тело должно иметь полную поверхность
S0 кв.метров. При каких R, H это тело будет иметь наибольший объём?
ОТВЕТЫ: (если несколько ответов кажутся правильными, надо выбрать «самый правильный», то есть либо
несущий самую полную информацию, либо самый точный). А) При R = H. Б) При R = 0,5 H. В) Ни при
каких. Объём может быть как угодно большим. Г) Если взять S0=π, то максимальный объём будет
достигаться при R = 20–0,25. Он равен 20–0,25 *π/3. Он близок к объёму сферы, поверхность которой
равна π, но всё же немного больше объёма сферы. Д) При R = 5–0,25 КОРЕНЬ(S0/(2π)). Максимальный объём Vmax равен 5π/6*(R*S0/(2π) – R5/( S0/(2π))).
Примечание. Ниже приведён рис. 21, поясняющий, чему равны объёмы всех возможных
тел указанной в тесте формы, если у каждого из них поверхность одинакова и равна S0. Но
ничего не сказано о том, чему равно S0, к какому ответу относится рисунок, и правилен ли этот
ответ.
0.6
0.4
0.2
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
Рис. 21. Общий вид изменения объёма тела по мере нарастания R. (К тесту 71).
ТЕСТ 72. В полукруг радиуса 1 вписан квадрат. В криволинейные треугольники слева и
справа от этого квадрата вписаны окружности. Сколько процентов составляет суммарная площадь
квадрата и двух окружностей по отношению к площади полукруга радиуса 1 ?
ОТВЕТЫ: А) Сторона квадрата равна корень(0,2) = 0,4472. Радиус окружности равен
0,2541. Ответ: 76,76%. Б) Сторона квадрата равна корень(0,3) = 0,5477. Радиус окружности равен
0,2541. Ответ: 76,56%. В) Сторона квадрата равна корень(0,2) = 0,4472. Радиус окружности равен
0,2514. Ответ: 75%. Г) Сторона квадрата равна 0,4444. Радиус окружности равен 0,2444. Ответ:
67,67%. Д) Сторона квадрата равна 0,4472. Радиус окружности равен 0,25. Ответ: 75%.
ТЕСТ 73. В полукруг радиуса 1 вписан прямоугольник. В криволинейные треугольники
слева и справа от этого прямоугольника вписаны окружности. Известно, что для этого прямоугольника сумма его площади и площадей обеих окружностей максимальна. Верно ли, что прямоугольник является квадратом?
ОТВЕТЫ: А) Верно, так как квадрат – более симметричная фигура, чем прямоугольник.
Б) Для полукруга радиуса 1 это верно, а для других радиусов – нет. В) Это неверно, так как
максимальная сумма получается тогда, когда прямоугольник сложен из ДВУХ квадратов Г)
Неверно.
ТЕСТ 74. В полукруг радиуса 1 вписан прямоугольник. В криволинейные треугольники
слева и справа от этого прямоугольника вписаны окружности. Известно, что для этого прямоугольника сумма его площади и площадей обеих окружностей максимальна. Сколько процентов
составляет суммарная площадь прямоугольника и двух окружностей по отношению к площади
полукруга радиуса 1?
ОТВЕТЫ: <обозначим основание прямоугольника через 2а, высоту его через b, радиус окружности –
через r> А) Прямоугольник должен быть квадратом со стороной 0,20,5, максимальная площадь
равна 1,25 Б) a= 0,461 , b= 0,887 , r= 0,248 , максимум суммы площадей равен 1,2058.
В) Прямоугольник должен быть составлен из двух одинаковых квадратов (один лежит слева от оси
игреков, второй – справа). Максимальная площадь равна 80% от площади полукруга. Г) В ответе
А неточно указана сторона квадрата. На самом деле a= 0,461 , b= 0,922 , r= 0,25 , максимум
равен 1,3 (то есть ответ равен 1,3/1,5708*100%).
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-1.5
-1
-0.5
-0.2
0
0.5
1
1.5
Рис. 22. Схема конфигурации, описанной в тесте 74.
ТЕСТ 75. В полукруг радиуса 1 вписан равнобедренный треугольник, симметричный
относительно оси игреков и с вершиной, лежащей в центре основания полукруга. В криволинейные треугольники слева и справа от этого треугольника вписаны окружности. Известно, что
для этого равнобедренного треугольника сумма его площади и площадей обоих кругов, ограниченных окружностями, максимальна. Верно ли, что треугольник обязан быть правильным?
ОТВЕТЫ: А) Да, он обязан быть правильным. Б) Нет, он не обязан быть правильным. Но
его периметр обязан быть вдвое меньше, чем периметр полукруга. В) Нет, он не обязан быть
правильным. Но он обязан состоять из двух равнобедренных прямоугольных треугольников. Г)
Либо ответ В, либо ответ Б верен. Д) Для решения этого вопроса обозначим через 2δ угол при
вершине вписанного треугольника и выразим через него радиус каждой из вписанных окружностей. Для этого обозначим через 2b угол при вершине правого (и левого) сектора, в которые
вписаны окружности. Очевидно, что b = π/4 – δ/2. Обозначим через r радиус вписанного в сектор
круга. Тогда r = sin(b)/(1+sin(b)). Обозначим через F сумму площадей треугольника и двух
вписанных кругов, тогда F = 0,5*sin(2 δ) + 2π*r^2. Находя максимум этой функции с помощью
ПОИСКА РЕШЕНИЯ, Получаем, что Fmax = 1,1562 (и достигается он при δ= 20,30o и b= 34,85o).
<Напоминаем, что ответ Д, несмотря на свой «научный» вид, может быть и неверным!>
ТЕСТ 76. Треугольник со сторонами 3, 4, 5 разбит на три треугольника лучами, выходящими из прямого угла этого тр-ка. При этом оказалось, что произведение площадей этих новых
треугольников максимально. На части какой длины разбита сторона длины 5?
ОТВЕТЫ: А) Ну конечно, это части равной длины. Б) Эти части образуют арифметическую прогрессию (убывающую). В) Эти части образуют арифметическую прогрессию
(возрастающую). Г) Ответ А верен. Д) Все предыдущие ответы неверны.
ТЕСТ 77. Треугольник со сторонами 3, 4, 5 разбит на три треугольника лучами, выходящими из прямого угла этого тр-ка. При этом оказалось, что квадратный корень из произведения
площадей этих новых треугольников минус произведение этих площадей принял максимально
возможное значение. На части какой длины разбита сторона длины 5?
ОТВЕТЫ: А) На части длины 2, 1, 2 (1=длина средней части). Б) Максимум равен
2,828427. В) На части длины 1, 2, 2 (1=длина части, отложенной от конца катета, равного 3).
Г) Максимум равен 2,724828. Д) Максимум равен 5, и достигается он в точке (5/2, 5/2, 5/2).
ТЕСТ 78. В правильном треугольнике единичной площади в углы вписаны три одинаковых
круга радиуса r. Затем в середину треугольника вписан круг с центром в центре треугольника,
касающийся каждого из трёх кругов радиуса r. При каком r сумма площадей всех четырёх кругов
будет минимальна? (Центральному кругу запрещается пересекать контур треугольника).
ОТВЕТЫ: А) Во-первых, a = 2/3^0,25 (где а – сторона треугольника). Так как 2/3^0,25 =
(2/3)^0,25, то а = 0,9036. Во-вторых, R=2r (где r – радиус трёх первых кругов, R – радиус
четвёртого круга). Б) Максимально возможное значение r равно 1/(корень(корень(3))*(1+корень(3))).
Максимально возможное значение R равно 1/(корень(корень(3))*корень(3)). Целевая функция F =
3π r2 + π R2 . Минимум достигается при R = r = 0,25 a/корень(3). В) Целевая функция F = 3π r2 +
π R2 . Минимум достигается при R = r = a/корень(3). Г) Целевая функция F = 3π r2 + π R2 .
Максимум достигается при R = r , а минимум – при r=0. Д) Минимум равен максимуму, так как
целевая функция F постоянна.
ТЕСТ 79. В правильном треугольнике единичной площади в углы вписаны три одинаковых
круга радиуса r. Затем в середину треугольника вписан круг с центром в центре треугольника,
касающийся каждого из трёх кругов радиуса r. При каком r сумма площадей всех четырёх кругов
будет максимальна? (Центральному кругу запрещается пересекать контур треугольника).
ОТВЕТЫ: А) Так как радиус среднего круга равен R = a/корень(3) – 3r, то легко взять
производную по переменной «r» от целевой функции F (см. предыд. тест) и приравнять её нулю.
Получим r = 0,25 a/корень(3). Это и будет точка максимума. Б) Так как целевая функция F
является постоянной, то в той же точке, что указана в ответе А, находится и минимум. В) Так как
производная от функции F по переменной r обращается в нуль в двух точках, то в одной из них
(равной 0,27) получается минимум, а в другой (равной 0,72) получается максимум. Г) Все
предыдущие ответы неверны.
ТЕСТ 80. В правильном треугольнике единичной площади в углы вписаны три одинаковых
круга радиуса r. Затем в середину треугольника вписан круг с центром в центре треугольника,
касающийся каждого из трёх кругов радиуса r. (Центральному кругу запрещается пересекать контур
треугольника). В каком случае суммарная площадь четырёх кругов больше: когда r принимает
максимально большое значение, то есть все три равных круга соприкасаются (а четвёртый круг
вписывается в узкий зазор между ними), – или когда центральный круг максимально велик и
касается сторон треугольника (а первые три круга его касаются)?
ОТВЕТЫ: А) В обоих случаях суммарные площади четырёх кругов равны. Б) Во втором
случае суммарная площадь четырёх кругов в 2 раза больше. В) Когда три равных круга соприкасаются, r = 1/(корень(корень(3))*(1+корень(3))). Поскольку радиус 4-го круга R = a/корень(3) – 3r,
где «а» - сторона тр-ка, то минимальное значение R равно 0,043026. Г) Число 0,043026, указанное
в ответе В, должно быть заменено на число 0,026043. В остальном ответ В верен. Д) Нет, в ответе
В число 0,043026 надо заменить на рациональную дробь 14342/333333.