ЗанФондКосы

Фонд контрольно оценочных средств для студентов,
обучающихся по специальности «Информационная
безопасность автоматизированных систем»
Раздел 1 Элементы линейной алгебры
Тема 1.1 Матрицы и определители
Определители
№1
Вычислите определители методом треугольников:
2
2
3
а) ∆= 2
1
2 0
1 3 2
б) ∆= 5 4 1
0 3 0
5
7
№2
Вычислите определители методом разложения по элементам второго
столбца:
1 2 1
а) ∆= 3 0  1
4 1
6
4
2
3
б) ∆= 1
4 2
7 1 5
№3
Вычислите определители методом разложения по элементам третьей строки:
2
5
3
1 2
б) ∆=  1 7
а) ∆= 3
2 0
1 1 5
3
3
2
3 1
№4
Вычислите определители четвертого порядка:
1 2 3 4
2 4 5 1
а)
3 3 1 2
6 1 0 3
4 3 2 1
б)
0 1 4 2
4 1 1 3
7 2 8 5
3 4 2 4
3 1 2 4
в)
1 5  3 2
Матрицы
2
2 5
3
Задание 1. Дана матрица
5 8

А  3 2
7 6

4

5 . Какую матрицу В нужно прибавить к
0 
матрице А, чтобы получить единичную матрицу?
2 1 1 


Задание 2. Дана матрица А  1 2 1 . Найдите сумму матриц А2  А  Е .
1 1 2 


Задание 3. Выполните действия над матрицами:
 2 3 1  1 3 6    6 1 2

 
 

а)  4  1 2     1 3 4    3 4 0 ;
 2 1 6   2 1  1   1 2 1 

 
 

 1 2 6   0  4 1 

 

б)  3 1 4    1 2  6 ;
 0 5 7 1 1
2 

 
2
1 2 
   6 2
 6 8  1 
   6 4   

в) 
 2 4 3   0  1  4 3 


10 20  30 


Задание 4. Дана матрица А   0 10 20  . Найти обратную матрицу.
 0 0 10 


Тема 1.2 Системы линейных уравнений
Решить системы методами Крамера и Гаусса:
 5 x  y  3z  2,
1. 4 x  3 y  2 z  16,
 2 x  3 y  z  17

3.
 3x  2 y  z  10,

 x  5 y  2 z  15,
 2x  2 y  z  3

5.
5 x  3 y  3z  48,

2 x  6 y  3z  18,
 8 x  3 y  2 z  21

2.
5 x  3 y  4 z  11,

 2 x  y  2 z  6,
 3x  2 y  z  2

4.
5 x  3 y  4 z  6,

 2 x  y  z  0,
 x  2y  z  0

6.
 x  2 y  3z  6,

2 x  3 y  4 z  20,
 3x  2 y  5 z  6

Раздел 2 Основы теории множеств
Пример 1. Задать с помощью характеристического свойства
элементов множество всех положительных чисел.
Ответ:
.
Пример 2. Задать перечислением элементов множества,
заданные указанием характеристического свойства элементов:
. Ответ: М = {1; 2; 3; 4}.
Пример 3. Указать стандартное обозначение множества М и
изобразить его на числовой прямой:
Упражнения
1. Приведите примеры множеств, составленных из объектов
следующих видов:
а) неодушевленных предметов;
б) животных;
в) растений;
г) геометрических фигур;
д) населенных пунктов;
е) водоемов;
ж) политических деятелей.
2. Назовите элементы, принадлежащие множеству:
а) студентов вашей группы;
б) предметов, изучаемых в I семестре вашей специальности;
в) всех частей света;
г) субъектов федерации, входящих в Российскую Федерацию.
3. Пусть А – множество многоугольников. Принадлежат ли этому
множеству:
а) восьмиугольник;
б) параллелограмм;
в) отрезок;
г) параллелепипед;
д) круг;
е) полукруг?
4. Множество С состоит из квадрата, круга и треугольника.
Принадлежит ли этому множеству диагональ квадрата?
5. Прочитайте запись и укажите, какие из указанных высказываний
истина, а какие ложь:
а) 270
N;
ж) -3
Z;
б) 0
N;
з)
Q;
в) –3
N;
и)
R;
г) 1
Q;
к) sin 2,3
д) –7
N;
л) tg
R;
R.
е) 22
N;
6. Пусть Е – множество европейских государств, А – множество
азиатских государств. Какие из следующих высказываний истина, а
какие – ложь?
а) Франция
Е;
з) Волга
Е;
б) Испания Е;
и) Нигерия А;
в) Монголия А;
к) Гималаи
А;
г) Индия
А;
л) Япония
А;
д) Ирак Е;
м) Альпы Е;
е) Турция
А;
н) Швеция А.
ж) Байкал
А;
7. Запишите перечислением элементов следующие множества:
а) А – множество нечетных чисел на отрезке [1; 15];
б) В – множество натуральных чисел, меньших 8;
в) С – множество натуральных чисел, больших 10, но меньших 12;
г) D – множество двузначных чисел, делящихся на 10;
д) Е – множество натуральных делителей числа 18;
е) F – множество чисел, модуль которых равен .
8. Запишите перечислением элементов следующие множества:
а) множество различных букв в слове «головоломка»;
б) множества цифр числа 134433154.
9. Изобразите на числовой прямой множество решений неравенства
с одним неизвестным x:
а) x > 5,3;
б) x ≤ –3,8;
в) – 4,5 ≤ x < 4;
г) 2,7 ≤ x ≤ 9.
10. Выясните, множество решений какого неравенства изображено
на числовой прямой в каждом случае:
Индивидуальное задание
1. Прочитайте следующие записи и перечислите элементы
каждого из множеств:
1. а) А = {x | x
N , -2 ≤ x ≤ 5};
б) В = {х | x
Z , | x | < 3};
в) С = {х | x
N , 2х2 + 5х –3 = 0}.
2. а) А = {х | x
б) В = {х | x
в) С = {х | x
Q , 3х2 = 9};
Z, x – 3 = (х + 2) · 4х};
N ,–3 ≤ х < 1}.
3. а) А = {х | x
б) В = {х | x
в) С = {х | x
Z, | x | = 4};
N , –2 < х ≤ 5};
Q , x 2 + 3х + 4 = 0}.
4. а) А = {х | x
б) В = {х | x
в) С = {х | x
Z, –2 ≤ x ≤ 3};
N , (5х + 6)(х – 4) ≤ 0};
N , |x| = 7}.
5. а) А = {х | x
б) В = {х | х
в) С = {х | х
N , | х | ≤ 5};
Z , 2х – 3 = 5х + 7};
Z, –1 ≤ х ≤ 3}.
6. а) А = {х | х
б) В = {х | х
в) С = {х | х
N, х ≤ 4};
Z, (х + 1)(–х – 3) > 0};
N, | х | = 5}.
7. а) А = {х | х
б) В = {х | х
в) С = {х | х
N , -3 ≤ x ≤ 2};
Z , | х | < 3};
N, 3х2 + 5х – 2 = 0}.
8. а) А = {х | х
б) В = {х | х
в) С = {х | х
Z, | х | ≤ 4};
N , (х + 1)(2х + 5) < 0};
N , –7 ≤ х ≤ 4}.
9. а) А = {х | х
б) В = {х | х
в) С = {х | х
N , 3 = (5х + 2) х};
Z , | х | < 2};
N, –5 ≤ х < 4}.
10. а) А = {х | х
б) В = {х | х
Z , –1 ≤ х < 3};
Z , | х | ≤ 3},
в) С = {х | х
N, 4х 2+ 4х – 3 = 0}.
Раздел 3.Элементы аналитической геометрии
Тема 3.1 Векторы. Операции над векторами




1. Векторы а и b образуют угол 120º. Зная, что а  3, b  5, вычислить



(а  b)  3 а .




2. Найти координаты вектора: 1) a  AB , если A(3;7) , B(3;1) ; 2) b  BC ,
если B(1;3) , C (3;5) .



3. Даны векторы а  (4;3) , b (5;1) , c  (3;4) . Найти координаты













векторов: 1) a  b ; 2) a  c ; 3) a  b  c ; 4) 2 a; 5) 3 a  c ; 6) a  2 b  2 c .



4. Найти длины векторов АВ , BС и CA , если A(7;4) , B (5;3) , C (3;0).
5. Вычислите периметр треугольника, вершинами которого служат
точки: 1) A(3;1) , B (6;4) , C (4;2) ; 2) A(1;3) , B(0;3) , C (1;5).


6. Найти скалярное произведение векторов: 1) а (2;7) и b (4;1); 2)

 2 1
1 1
с ( ; ) и d ( ; ).
2 5
3 6
7. Даны точки A(2;4) , B(2;6) , C (6;2) и D(1;3). Вычислите скалярное


произведение AB CD .


8. Вычислите угол между векторами АВ и BС , если A(2;1) , B (7;4) ,
C (3;2) и D (5;6).





9.* Найдите косинус угла между векторами a  b и a  b , если a  (1;3) и

b  (3;3) .


10.* Проверить, перпендикулярны ли векторы: 1) а (2;5) и b (5;3); 2)






с (2;4) и d (4;2); 3) p (3;4) и q (5;1); 4) а (1;3) и b (1;4).
Тема 3.2 Прямая на плоскости. Кривые второго порядка
Прямая
1. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку М под углом α
к положительному направлению оси Ох, если: а) М(0;7), α=135º; б) М(0;4),
α=150º.
2. Известно, что точки М(х;4) и Р(–1;y) лежат на прямой y=3x. Найдите
неизвестные координаты этих точек. Дайте аналитическое и графическое
решения.
3. Составить уравнение прямой, проходящей через точки: 1) M1 (–1;–1)
и M2 (–2;–2); 2) M1 (3;0) и M2 (0;4);
4. Составьте уравнение прямой, проходящей через: 1) точку М(2;–5)

параллельно вектору q  (3;1) ; 2) точку М(–1;4) параллельно вектору

q  (5;1) .
5. Составьте параметрические уравнения прямой, проходящей через: 1)

точку М(–11;0) параллельно вектору q  (7;9) ; 2) точку М(9;–15) параллельно

вектору q  (8;2) .
6. Определите угол между прямыми: 1) 2x–5y–20=0 и 5x+2y–10=0;
2) 5x–12y–16=0 и 3x+4y–12=0.
7. Найти расстояние: 1) от точки (6;3) до прямой 4x+3y–8=0; 2) от
точки (2;0) до прямой 4x+3y–33=0
Кривые второго порядка
1. Составьте уравнение окружности, если: а) ее центр совпадает с
началом координат, а диаметр равен 20; б) ее центр находится в точке (–4;–3),
а диаметр равен 14. Постройте окружность.
2. Составьте уравнение эллипса: 1) с фокусами на оси Ох, если 2а=10 и
2b=8; 2) с фокусами на оси Оy, если 2а=12, 2b=6. Постройте эллипс.
3. Составьте уравнение эллипса: 1) если две его вершины находятся в
точках (–6;0) и (6;0), а фокусы – в точках (–5;0) и (5;0); 2) если две его
вершины находятся в точках (0;–6) и (0;6), а фокусы – в точках (–3;0) и (3;0).
4. Составить уравнение гиперболы с фокусами на оси Ох, если ее
действительная ось равна 18, а мнимая ось равна 36. Постройте гиперболу.
5. Составить уравнение гиперболы, если ее вершины находятся в точках
А1 (7;0) и А2 (7;0), и фокусы – в точках F1 (8;0) и F2 (8;0).
6. Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат, если
ее фокус находится в точке: 1) F(6;0); 2) F(–2;0);
3) F(0;3); 4) F(0;–4). Постройте параболу.
7. Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат, если
ее директрисой служит прямая: 1) х = –3; 2) х = 2;
3) y = –5; 4) y=2.
8. Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат,
симметричной относительно оси Оx и проходящей через точку:
1) (2;–3); 2) (–3;2); 3) (–5;–5).
Раздел 4 Основы математического анализа
Тема 4.1 Теория пределов. Непрерывность.
Теория пределов
Вычислите lim (3x  2 x  1)
2
x  1
a) -1; б) 13; в) 15; г) 2.
2. Чему равен lim
x 5
2
x5
a) 0; б)  ; в) не существует; г) 2.
3. Укажите формулу первого замечательного предела:
a) lim
x 1
sin x
sin x
 0 ; б) lim
1 ;
x

0
x
x
в) lim
x 1
sin x
 1;
x
г) lim
x 0
sin x
0 .
x
4. Какой вид неопределенности раскрывается при вычислении предела
2 x 3  3x  4
.
x 
x2  6
0
а)   ; б)   ; в)
0
lim
1 


г)  
 
5. Укажите неверное равенство:
а)
1
1
0
1
  ; б)
 0 ; в)  0 ; г)
.
0

1

6. Чему равен lim
x2
x2  4
:
x2
a) 4; б) 2; в) 0; г) a) -1; б) 13; в) 15; г)  .
Непрерывность функций. Точки разрыва
1.
Укажите условие непрерывности функции f(x) в точке x = a:
а) lim f ( x) не существует; б) lim
f ( x)  f (a ) ; в) lim f ( x)  1 ; г) lim f ( x)  a .
xa
xa
xa
x a
2. Функция y=4x-3 в точке x=1
a) непрерывна; б) возрастает; в) терпит разрыв I рода; г) терпит разрыв II
рода.
3. Функция y 
x
точке x=5:
x5
a) непрерывна; б) убывает; в) терпит разрыв I рода; г) терпит разрыв II рода.
4. Выберите функцию, которая в точке х=3 терпит разрыв II рода:
а) y 
x3
x
x3
; б) y 
; в) y 
; г) y= x+3
2
x3
x3
5. Точки устранимого разрыва относятся к точкам:
а) разрыва I рода; б) разрыва II рода; в) непрерывности; г) однозначно
ответить нельзя.
Тема 4.2 Дифференциальное исчисление функции одной
действительной переменной
1. Вычисление производных элементарных функций
1.
Укажите производную функции y  3x 2  2 x  1
а) y   6 x  2 ; б) y   6 x  1 ; в) y   3x  2 ; г) y   x  1
2. Производная какой функции равна 8cos x ?
а) y  sin 8 x ; б) y  8 sin x ; в) y  8 cos x г) y  cos 8 x
3. Вычислите y (0) , если y  (2 x  1)e x
а) 2е; б) 1; в) 2; г)е
4. Вычислите y (1) , если y 
3x  2
x2
а) 3; б) 2; в) 1; г) -2
5. Укажите производную функции y=2lnx-5
а)
2
2
 5 ; б) 2; в) -5; г) .
х
х
2. Вычисление производных сложных функций
1Укажите производную функции y  (2 x  1) 3
а) y   3(2 х  1) 2 ; б) y  6(2 х  1) 2 ; в) y   2(2 х  1) 3 ; г) y   2 х  1
2. Производная какой функции равна cos 2x ?
1
2
1
2
а) y  sin 2 x  3 ; б) y  sin 2 x ; в) y  2 cos x г) y  cos 2 x
3. Вычислите y (1) , если y  e x 4
а) 2е5; б) е4; в) 2е; г)е5
4. Вычислите y (0) , если y  4  2 х
2
1
4
а) 2; б)  ; в) 4; г) 
1
2
5. Укажите производную функции y=2ln(4x-5)
8
2
8
2
; б)
; в) ; г) .
4х  5
4х  5
4х  5
х
а)
3. Применение производной к исследованию функций
1. Укажите промежуток возрастания функции y  ( x  1) 2
а)  ; ; б)  1; ; в) 1; ; г)  ;1 .
2. Точкой максимума функции y  x 3  3x 2 является точка:
а) х = 2; б) х = 0; в) х = 3; г) х = 1.
3. Укажите монотонную функцию:
а) y  x 2  3 ; б) y  x 3  x ; в) y  x  5 ; г) y 
x
.
2 x
Промежутком
выпуклости
вверх
y  x  2 x  6 x  4 является:
а)  ;0 ; б) 1; ; в)  ; ; г)  1;
5. Укажите точки перегиба функции y  xe x :
а) х = 2; б) х = е; в) х = -1; г) х = 0.
4.
4
для
функции
3
Тема 4.3 Интегральное исчисление функции одной действительной
переменной
I. Вычисление неопределенного интеграла
1.
Вычислите неопределенный интеграл  x 5 dx :
x4
x6
 C ; б)
 C ; в) 5 x 4  C ; г) 5 x  C :
а)
4
6
2. Неопределенный интеграл  3dx равен:
а) 3х+С; б) 3+С; в) х+С; г) 3.
3. Вычислите неопределенный интеграл  (2 x 3  2 х  1)dx :
х4
х4
 х 2  С ; в) х4+2; г)
 х2  х  С .
4
2
4. Неопределенный интеграл  3х  1dx равен:
а) 6х2+2; б)
2
2
2
2
(3 x  1) 3 x  1  C ; б) (3 x  1) 3 x  1  C ; в)
3 x 1  C ; г)
3 x 1  C .
9
3
9
3
5. Вычислите неопределенный интеграл  x sin xdx :
а)
а) x sin x  cos x  C ; б)  x cos x  sin x  C ; в) cos x  C ; г)
6. Вычислите интеграл
x2
 x( x  3) dx .
Ответ:__________
7. Вычислите интеграл
Ответ:__________

dx
x  x 1
2
.
x2
cos x  C .
2
8. Вычислите интеграл
dx
 1  sin x .
Ответ:__________
II. Вычисление определенного интеграла
1. Какой из определенных интегралов равен 1?
3
2
1
4
2
0
0
3
а)  x 2 dx ; б)  x 3 dx ; в)  2 x dx ; г)  5dx .
2
2. Вычислите определенный интеграл  ( x 2  2 x  1)dx :
1
а) 9; б) 5; в) 6; г) 0.

3
3

3. Определенный интеграл
dx
sin2 x
равен:
4
а) 3 ; б) 3  3 ; в) 3 ; г) 3  3 .
4. Каким способом можно вычислить определенный интеграл

2
 x cos xdx ?
0
а) подстановкой; б) по частям; в) по таблице интегралов; г) не
выражается через элементарные функции.
1
5. Вычислите определенный интеграл  (2 x 3  1) 4 х 2 dx :
0
а)
1
1
1
1
; б) ; в) 8 ; г) 5 .
15
15
30
30
III. Применение определенного интеграла
1.Вычислите
площадь
фигуры,
ограниченной
3
y  x , x  1, x  3, y  0 .
а) 40; б) 20; в) 10; г) 5.
2. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
y   x 2  1, x  1, x  2, y  0 .
а) 2; б) 2
линиями:
2
1
; в) 1 ; г) 3.
3
3
3. Чему равна площадь фигуры, ограниченной линиями:
1
, y  x , x  4.
x
16
14
14
18
a)  ln 4 ; б)  ln 4 ; в)  ln 4 ; г)  ln 4 .
3
3
3
3
y
Несобственные интегралы
Вычислите несобственные интегралы или покажите, что они расходятся:

1 х2
а)  3 dx ; б)
х
1

2
dx
1 (1  cos x)dx ; в)  x 2 ;
0

dx
г) 
; д)
2
0 9 x
3

0
dx
.
x
Тема 4.4 Дифференциальное исчисление функции нескольких
действительных переменных
1). Найти частные производные первого и второго порядков:
а) z  2 x 3  5x 2 y  7 xy2  y 3 ;
б) z  xy  cos( x  y);
в) z  sin( x  y );
г) z  y 2  x 3 ;
д) z  y 2  x 2  2 xy  x  y  6;
е) z  x ln y .
2)Найти полные дифференциалы для функций:
а) z  ln( x 2  y 2 ) ;
б) z  cos( x 2  y 2 ) ;
в) u  2 xyz .
Тема 4.5 Теория рядов
№1. Написать первые четыре члена ряда:
n
9
а ) an 
;
б) a n 
;
n
n
10  n
100  1
№2. Установите, выполняется ли для заданных рядов необходимый признак
сходимости :
n
n2 1
а ) an 
;
б) an 
.
3
4n  5
n
№3. Исследуйте ряд на сходимость, пользуясь признаком сравнения:
1
1
1
1


 ... 
 ...;
1 2 2  2 2 3  23
n  2n
1
1
1
б) 1 

 ... 
 ... .
2
n

1
3

3
n

3
23
а)
№4. Исследуйте ряд на сходимость, пользуясь признаком Даламбера:
( 2)n
1
nn
n!
а ) an 
;
б) a n 
;
в) a n 
;
г) an 
.
2n  1
3n n!
10 n
3n  1
№5. Исследуйте ряд на сходимость, пользуясь признаком Коши:
2
n
1  n n
 n 
а ) an 

 ;
б) an  
 .
 2n  1 
8n  n  1 
№6. Исследуйте знакочередующийся ряд на сходимость:
2 3 4
n
а ) 1     ...  (1) n  1 
 ...;
3 5 7
2n  1
1
1
1
1
б) 1 


 ...  (1) n  1 
 ... .
n
2
3
4
№7. Исследуйте ряд на сходимость, пользуясь интегральным признаком
сходимости рядов:
1
а ) an 
;
(10n  1)  ln(10n  1)
№8. Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряды:
n2
(

1
)
;
а) 
n3  1
n 1

n
(1) n1
.

2n
n 1

б)
№9. Найдите области сходимости заданных степенных рядов:
 (n!) 2 n
 n!
а) 
x ;
б) 
( x  2) n ;
n
n  1 (2n)!
n 1n

n!
xn
в)  (1) n
( x  1) n ;
г) 
.
n
2
n  1 (ln( n  1))
3n
№10. Разложите в ряды по степеням х следующие функции:
x
а ) f ( x)  e 4 x ;
б) f ( x)  cos ;
в) f ( x )  e  2 x ;
г) f ( x)  ln(1  2 x).
5
Тема 4.6 Обыкновенные дифференциальные уравнения
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
№ 1. Найдите общее решение уравнений:
а) ydx  xdy  0;
б) (1  y)dx  (1  x)dy;
2
в) y dx  ( x  2)dy  0; г) x 2 dx  3 y 2 dy.
№ 2. Найдите частные решения уравнений:
dy
dx

, если y  4 при x  0;
x 1 y  2
б) ydy  xdx, если y  4 при x  2;
в) ( y  1)dx  (1  x)dy  0, если y  3 при x  2;
а)
г) xdy  ydx, если y  6 при x  2;
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
№ 3. Найдите общее решение уравнений:
dy
x y

;
dx
x
dy
в) y   x 2 y  x 2 ; г) x 2  2 xy  3.
dx
а)
dy
 y  x;
dx
б)
№ 4. Найдите частные решения уравнений:
xy  2
 0 если y  0 при x  0;
1 x2
3y
б) y    e x x 3 если y  e при x  1;
x
2y
1
в) y    2 , если y  1 при x  2;
x
x
2
г) y  cos x  tgx  y, если y  0 при x  0;
а) y ,
Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка
с постоянными коэффициентами
№ 5. Найдите общее решение уравнений:
а) y   49 y  0;
б) y   5 y   6 y  0;
в) y   4 y   13 y  0; г) y   25 y  0;
№ 6. Найдите частные решения уравнений:
а) y   5 y   0, y(0)  1, y (0)  1;
б) y   y  0, y0  2, y0  0;
в) y   10 y   25 y  0, y (0)  2, y (0)  8;
г) y   4 y   5 y  0, y(0)  1, y (0)  1;
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго
порядка с постоянными коэффициентами и со специальной правой частью
№ 7. Найдите общее решение уравнений:
а) y   5 y   30 x  11;
б) y   4 y   3 y  10e 3x ;
в) y   25 y  40 cos 5 x; г) y   9 y  9 cos 3x  16 sin 3x;
Дифференциальные уравнения, требующие понижение степени
№ 8. Решить уравнения:
1
1
, y (0)  0, y (0)  , y (0)  0
32
8
б) y   x cos x; y(0)  0, y (0)  0, y (0)  2;
в) y  sin 2 x  sin 2 x;
а) y IV  sin 2 x, y (0) 
г) y   2 xe x ; y(0)  0, y (0)  0, y (0)  2.
Раздел 5 Основы теории комплексных чисел
1. Действия над комплексными числами в алгебраической форме
№1. Найдите действительные числа x и y из условия равенства двух
комплексных чисел:
а ) 9  2ix  4iy  10i  5x  6 y;
б) 2ix  3iy  17  3x  2 y  18i.
№2. Найдите модуль и главное значение аргумента комплексных чисел:
а) z  i;
б) z  3i;
в) z  1  i;
г) z  2  2i;
д) 3  i.
№3. Вычислите:
а ) i16 ;
б) i 25 ;
в) i15 ;
г ) (i)8 ;
д) (i) 7 .
№4. Выполните действия:
а ) 2i  3i;
б) (2  3i)(2  3i);
в) (5  4i)(3  2i).
№5. Выполните действия:
2
1
1 i
а) ;
б)
;
в)
;
3i
1 i
1 i
г)
2  3i
.
4  5i
2. Действия над комплексными числами в тригонометрической форме
№6. Найдите произведение

 



2 cos  i sin   3 cos  i sin .
6
6   12
12 

№7. Выполните деление:
3
3  



10 cos  i sin  : 2 cos  i sin .
4
4  
4
4


 



6 cos  i sin  : 2 cos  i sin ;
2
2 
6
6

3
3  



3 cos
 i sin
 :  cos  i sin .
4
4  
2
2

№8. Возведите в степень



 cos  i sin  .
6
6

3. Переход от одной формы комплексного числа к другой
6
№9. Представьте в тригонометрической форме следующие числа:
а ) 2; б) 6i; в) 3  3i; г) - 2  2 3i; д) 2 - 2i е) - 3  i.
№10. Представьте в алгебраической форме числа:
3
3 

а ) z  2(cos 2  i sin 2 ); б) z  2  cos  i sin .
4
4 

№11. Возведите в степень
10
3
3 
 
i  .
2
2


№12. Извлеките корни из комплексных чисел:
а ) i ; б) 3 1; в) 6 1.
№13. Найдите:
а ) ei / 4 ; б) ee
i / 2
; в) e 2  i .
№14. Представьте в показательной форме числа:
а ) z  2i; б) z  1  i.
№15. Представив числа z1  1  i и z 2  1  i 3 в показательной форме,
вычислите следующие выражения:
а ) z1  z2 ; б) z1 / z2 ; в) z16 ; г) 4 z1 .
Раздел
статистики
6.
Основы
теории
вероятностей
и
математической
1. Двое поочередно бросают монету. Выигрывает тот, у кого раньше вы- падет герб.
Найдите вероятность выигрыша для каждого игрока. Опишите вероятностное
пространство этой задачи.
2. Рассмотрим четыре кубика A (на гранях изображены три единицы и три пятерки), B
(четыре двойки и две шестёрки), C (шесть троек) и D (два нуля и четыре четверки). Будем
считать, что один кубик сильнее другого, если первый кубик чаще выигрывает у второго
(на верхней грани выпадает боль- шее количество очков). Докажите, что кубик B имеет
вдвое большие шансы на выигрыш по сравнению с кубиком A, кубик C вдвое сильнее
кубика B, игральная кость D побеждает C с таким же преимуществом и, наконец, A
оказывается еще в два раза сильнее, чем D!
3. Бросаются две игральные кости. Пусть A — событие, состоящее в том, что сумма очков
нечётная, B — событие, что хотя бы на одной из костей выпала единица. Постройте
вероятностное пространство, считая, что все 36 элементарных событий равновероятны.
4. Первый игрок бросает одну, а второй — две симметричные монеты. Вы- игрывает тот, у
кого выпадет больше гербов. В случае ничьей игра повторяется. Найдите вероятность
выигрыша для каждого игрока.
5. Симметричная монета бросается до тех пор, пока она два раза подряд не выпадет одной
стороной. Опишите пространство элементарных событий. Найдите вероятности
следующих событий: а) опыт кончится до шестого бросания; б) потребуется чётное число
бросаний.
6. Контроль изделий состоит из двух независимых проверок. В результате каждой
проверки изделие, удовлетворяющее стандарту, может быть отбраковано с вероятностью
0.05, а бракованное изделие может быть принято с вероятностью 0.1. Изделие считается
исправным, если оно прошло обе проверки. Найдите вероятности событий: а) бракованное
изделие признано исправным; б) изделие, удовлетворяющее стандарту, забраковано.
7. В одном маленьком городке полиция разыскивает бродягу. Можно считать, что есть
четыре шанса из пяти, что он находится в одном из восьми баров городка, безразлично в
каком — он не отдает предпочтения ни одному из них. Двое полицейских посетили семь
баров, но бродягу не обнаружили. Каковы шансы найти его в восьмом баре? Указание.
Это задача на определение условной вероятности.
8. Группа студентов, сдающая экзамен, состоит из 5 отличников, 10 хороших студентов и
15 слабых студентов. Отличник всегда получает оценку «отлично», хороший студент —
«отлично» и «хорошо» с равными вероятностями, слабый студент — «хорошо»,
«удовлетворительно» и «неудовлетворительно» с равными вероятностями. Определите
вероятности того, что наугад вызванный студент получит оценку «отлично», «хорошо»,
«удовлетворительно», «неудовлетворительно».
9. В коробке лежат 3 новых и 3 уже использованных теннисных мяча. Для первой игры
наудачу берут из коробки 2 мяча и затем их возвращают в коробку. Какова вероятность
для второй игры из этой коробки наудачу вынуть 2 новых мяча?
10. В урне лежало 8 белых и 4 чёрных шара. Один шар потерян, и цвет его неизвестен. Из
урны без возвращения извлекли два шара, и оба оказались белыми. Какова вероятность
того, что был потерян чёрный шар? Каков будет ответ задачи, если результат извлечения
двух шаров неизвестен?
11. Стрелок A поражает мишень с вероятностью 0.6, стрелок B — с вероят- ностью 0.5,
стрелок C — с вероятностью 0.4. Стрелки дали залп по мишени, и две пули попали в цель.
Что вероятнее: попал стрелок C в мишень или нет? Найдите соответствующие
вероятности.
12. Петя и Маша приглашены на день рождения в компанию из десяти чело- век, включая
их, но приходят на него порознь, причём, как и остальные гости, в случайное время.
Найти вероятность того, что они будут сидеть за праздничным столом рядом, если хозяин
рассаживает гостей случайным образом, а стол, имеющий прямоугольную форму: а) стоит
в середине комнаты; б) придвинут к стене.
13. Во время грозы на участке между 40-м и 70-м километрами телефонной линии
произошёл обрыв провода. Считая, что обрыв одинаково возможен в любой точке, найти
вероятность того, что обрыв расположен между 40-м и 45-м километрами.
14. На 200-километровом участке газопровода между компрессорными станциями A и B
происходит утечка газа, которая одинаково возможна в любой точке газопровода. Найти
вероятности следующих событий: а) утечка расположена не далее 20 км от A или B; б)
утечка расположена ближе к A, чем к B.
15. Радар автоинспектора имеет точность 10 км ч и округляет свои показания в
ближайшую сторону. Определить, что происходит чаще — радар округляет ско- рость «в
пользу водителя» или «в пользу ГИБДД»?
16. Дана выборка объема 30. Сделать интервальнуюn группировку этой выборки. 20.3;
15,4; 17,2; 19,2; 23,1; 18,1; 21,9; 15,3; 16,8; 13,2; 20,4; 16,5; 19,7; 20,5; 14,3; 20,1; 16,8; 14,7;
20,8; 19,5; 15,4; 19,3; 17,8; 16,2; 15,7; 22,8; 21,9; 12,5; 10,1; 21,1.
17. Построить полигон частот и эмпирическую функцию распределения для
распределения 45 пар мужской обуви, проданных магазином за день:
39, 41, 40, 42, 41, 40, 42, 44, 40, 43, 42, 41, 43, 39, 42, 41, 42, 39, 41, 37, 43, 41, 38, 43, 42,
41, 40, 41, 38, 44, 40, 39, 41, 40, 42, 40, 41, 42, 40, 43, 38, 39, 41, 41, 42. Оценить по
эмпирической функции распределения медиану.
18. В пакете лежат 3 зеленых и 2 красных яблока. Пусть ξ — число яблок, вынутых
наудачу из пакета, пока не попалось красное яблоко. Найдите распределение случайной
величины ξ и постройте график функции распределения Fξ, если а) вынутые яблоки
съедаются; б) вынутые яблоки возвращаются обратно в пакет.
19. Большое число N людей сдают анализ крови. Исследование может быть организовано
двумя способами. 1) Кровь каждого человека исследуется отдельно. Требуется провести N
анализов. 2) Кровь k человек смешивается и анализируется полученная смесь. Если
результат отрицателен, то достаточно одного анализа для этих k человек. Если результат
положителен, то кровь каждого исследуется отдельно, и всего нужно провести k + 1
анализ. Считая, что вероятность положительного результата равна p, найдите: а)
вероятность положительного результата в группе из k человек; б) математическое
ожидание числа анализов при втором способе исследования;
20. При бросании трех игральных костей игрок выигрывает • 1800 у. е., если на всех трех
костях выпадает по 6 очков; • 140 у. е., если на двух костях выпадает по 6 очков; • 20 у. е.,
если только на одной кости выпадает 6 очков. Математическое ожидание выигрыша в
безобидной игре равно нулю. Какова должна быть ставка за участие в этой игре, чтобы
она была безобидной?