Решение олимпиады по алгебре 11 класс(2 тур)x

Решение олимпиады по алгебре 11 класс
№1
Найти действительные решения уравнения (x+2)4+x4=82
(x+2)4+x4=82
(x+2)2*(x+2)2+x4=82
(x2+4x+4)*(x2+4x+4)+x4=82
X4+4x3+4x2+4x3+16x2+16x+4x2+16x+16+x4=82
2x4+8x3+24x2+32x-66=0
Разделим данное выражение на 2,то:
X4+4x3+12x2+16x-33=0
X4-x3+5x3-5x2+17x2-17x+33x-33=0
X3*(x-1)+5x2*(x-1)+17x*(x-1)+33*(x-1)=0
(x-1)*(x3+5x2+17x+33)=0
1)x1=1
X3+5x2+17x+33=0
X3+3x2+2x2+6x+11x+33=0
X2*(x+3)+2x*(x+3)+11*(x+3)=0
(x+3)*(x2+2x+11)=0
2)X2=-3
X2+2x+11=0
D<0
X1=1
X2=-3
Ответ:x1=1;x2=-3
№2
Если a  b  c делится на 6, то a 3  b3  c3 делится на 6 (a, b, c – целые числа).
А3+в3+c3+3*(А2*(В+С)+В2*(A+C)+C2*(A+B)))+6ABC –делится на 6
3*(a2*(в+c)+в2 * (A+C)+c2*(A+B) –делится на 3
Если а + в+ с делится на 6,то делится на 2.
Допустимы комбинации
Все четные или двое нечет., одно чётное
Если все чёт, но на 2 делится
Если двое нечёт
Допустим, А-чёт ,В, С-нечёт
А2*(B+C)-чёт
B2*(A+C)-нечёт
C2*(A+B)-нечёт
Сумма будет чётной
Тогда имеем в кубе кратном 6 три слагаемых, двое из которых кратны 6,тогда а 3+ в3+ с3 –кратно 6.
№3
1) Найти все действительные решения уравнения
.
1 способ
X2+2x*sin(xy)+1=0
Решим уравнение относительно x:
X=- sinxy ±sqrt(sin2xy-1)
При sin xy=1 и при sin xy=-1
Ответ: X=-1; y=пи/2+2Пиk
X=1; y=3пи/2+2Пиk
2 способ
X2+2x*sin(xy)+1=0
X2+2x*sin(xy)+sin(xy)2-sin(xy)2+1=0
x 2  2 x sin( xy)  1  0
(x+sin(xy))2=sin(xy)2-1
≥0
≤0 ,так как sin ≠>1
X+sin(xy)=0
Sin(xy)2=1
Sin(xy)=-x
(sin(xy))=1
Sinxy=1 sinxy=-1
X=-1
x=1
Ответ: При x=-1 y=-Пи/2+2Пик; K∑Z
При х=1 y= Пи/2+2Пик ; K∑Z
№4
Найти четырехзначное число, которые в 4 раза меньше числа, записанного
теми же цифрами, но в обратном порядке.
2178
8712
Ответ:2178
№5
Доказать, что сечение параллелепипеда плоскостью не может быть
правильным пятиугольником.
Среди сторон многоугольника в сечении параллелепипеда плоскостью найдутся параллельные , а
у правильного пятиугольника никакие две стороны не параллельны→сечение параллелепипеда
плоскостью не может быть правильным пятиугольником.
№7
Доказать,
что
при
любом
натуральном
4n  15n  1 делится на 9.
(х+1)n=x2A+nx+1
4n+15n-1=(3+1)n+15n-1=9A+3n+1+15n-1=9A+18n
значении
n( n  1) число
A-положительное число, зависящее от n.
№8
Решить систему уравнений:
xy = 1
x + y + cos 2 z = 2.
y=1/x
x+y+cos2z=2
{
x+1/x+cos2x=2
Умножим на х,то:
X2+x*cos2z=x
Cos2x=1-x
Cosz=sqrt(1-x)
№10
Найти скорость и длину поезда, если известно, что он проходил мимо
неподвижного наблюдателя в течение 7 с и затратил 25 с, чтобы проехать вдоль
платформы длиной в 378 м.
Дано:
Решение:
t1=7c
Скорость =L2/7
t2=25c
Скорость =(378+L2)/25
L1=378м
L2=7*скорость
Найти: скорость?L2=?
25*скорость=378+7*скорость
(25-7)*скорость=378
Скорость=378/18=21м/c
2 способ
Пусть l-длина состава, где q-его скорость
l/q=7
(378+l)/q=25
378=18q
L2=7*21=147м
Q=21м/c
L=7*21=147 м
Ответ:21м/c;147м