Лабораторная работа «Кривые второго порядка» Пусть кривая второго порядка задана уравнением Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0. Выясним, какие кривые соответствуют этому уравнению. Возможны следующие случаи: 2 B 1. АС - > 0 – эллиптический тип. 2 Канонические уравнения фигур эллиптического типа: x2 y2 1 - эллипс, a2 b2 x2 y2 0 - точка, a2 b2 x2 y2 1 - пустое множество точек (мнимый эллипс). a2 b2 2 B 2. АС - < 0 – гиперболический тип. 2 Канонические уравнения фигур гиперболического типа: x2 y2 1 - гиперболы, a2 b2 x2 y2 0 - пара пересекающихся прямых. a2 b2 2 B 3. АС - = 0 - параболический тип. 2 Канонические уравнения фигур параболического типа: у2 = 2рх (х2 = 2ру) (р 0) – парабола; у2 = а2 (х2 = а2) (а 0) – пара параллельных прямых; у2 = 0 (х2 = 0) – пара совпадающих прямых; у2 = -а2 (х2 = -а2) (а 0) – пустое множество точек. Применив преобразование поворота осей координат с использованием формул x = x΄cosα – y΄sinα y = x΄sinα + y΄cosα, следует при надлежащем выборе α освободиться в уравнении от члена с произведением координат. Дальнейшие преобразования рассмотрим для каждого типа кривых. 1. Эллиптический тип. Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 (1) Дополним до полного квадрата члены, содержащие х2 и х, а также y2 и y. После этого уравнение можно будет записать в виде A(x – x0)2 + C(y – y0)2 = F1 (2) Если F1 > 0, то уравнение (2) приводится к виду x x0 2 y y 0 a2 где a 2 b2 1, F1 F , b 2 1 , это уравнение определяет эллипс. A C Если F1 > 0, то уравнению (2) соответствует пустое множество. Если F1 = 0, то уравнение (2) принимает вид A(x – x0)2 + C(y – y0)2 = 0 и определяет точку М(х0, у0). При А = С эллипс превращается в окружность: (x – x0)2 + (y – y0)2 = R2, где R 2 2. Гиперболический тип. Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 (1) Как и в первом случае, уравнение (1) можно привести к виду (2). Если F1 > 0, то уравнение (2) можно записать в виде x x0 2 y y 0 a2 b2 1. Действительная ось этой гиперболы параллельна оси Оу. Если F1 = 0, то уравнение (2) принимает вид A(x – x0)2 + C(y – y0)2 = 0 Ему соответствует пара пересекающихся прямых. Докажем. Введем обозначения: A = m2, C = -n2 и запишем уравнение в виде: m2(x – x0)2 - n2(y – y0)2 = 0 или (m(x – x0) - n(y – y0))(m(x – x0) + n(y – y0)) = 0. Это уравнение равносильно следующим двум: m(x – x0) - n(y – y0) = 0, m(x – x0) + n(y – y0) = 0, каждое из которых определяет прямую, проходящую через точку М(х0, у0). F1 . A 3. Параболический тип. Ax2 + Dx + Ey + F = 0. Можно считать, что A > 0. Дополнив члены, содержащие x2 и х, до полного квадрата, получим A(x – x0)2 + Ey = F1. Если E ≠ 0, то уравнение можно записать в виде y – y0 = a(x – x0)2. Этому уравнению соответствует парабола с осью симметрии, параллельной оси Оу. Если Е = 0 и F1 > 0, то уравнение A(x – x0)2 = =F1 равносильно уравнениям A ( x x0 ) F1 0 , A ( x x0 ) F1 0 , которые определяют пару параллельных прямых. Если Е = 0 и F1 < 0, то получим также уравнение A(x – x0)2 = F1, которому соответствует пустое множество. Если Е = 0 и F1 = 0, то A(x – x0)2 = 0. Оно определяет пару совпадающих прямых x – x0 = 0. Если предположить, что С ≠ 0, А = 0, то уравнение (1) будет иметь вид: Cy2 + Dx + Ey + F = 0. Аналогично предыдущему можно показать, что при D 0 это уравнение определяет параболу с осью симметрии, параллельной оси Ох, и может быть приведено к виду x – x0 = а(y – y0)2. Если D = 0, то уравнение определяет пару параллельных прямых или пустое множество. При переходе основной системы координат хОу к новой х΄О1у΄ направление осей координат остается прежним, за новое начало координат принимается точка О1(a; b). Связь между старыми и новыми координатами некоторой точки плоскости определяется следующими формулами: x = x΄ + a, y = y΄ + b; x΄ = x – a, y΄ = y – b. Пример: х2 – 2ху + у2 – 10х – 6у + 25 = 0. 1) Определим тип кривой: А =1, В/2 = -1, С = 1, АС – (В/2)2 = 0 – кривая параболического типа. 2) Приведем уравнение кривой к каноническому уравнению. Освободимся от слагаемого содержащего ху. Преобразуем уравнение с помощью формул поворота осей координат: (x΄cosα – y΄sinα)2 – 2(x΄cosα – y΄sinα)(x΄sinα + y΄cosα) + (x΄sinα + y΄cosα)2 – 10(x΄cosα – y΄sinα) – 6(x΄sinα + +y΄cosα) + 25 = 0, раскроим скобки и сгруппируем слагаемые с одинаковыми переменными (cos2α – 2cosαsinα + sin2α)x΄2 + (sin2α + 2sinαcosα + +cos2α)y΄2 + 2(-cos2α + sin2α – - cosαsinα +cosαsinα)x΄y΄ – (10cosα + 6sinα)x΄ + (10sinα -6cosα)y΄ + 25 = 0. Множитель при слагаемом содержащем х у приравняем к нулю: sin2α - cos2α = 0, sin2α = cos2α, tg2α = 1, tgα1 = 1, tgα2 = -1. Возьмем tgα1 = 1; α = 1 sinα = 1 ; cosα = 2 . 4 . 2 Подставим найденные значения sinα и cosα : 1 1 1 2 y΄2 2 2 2 2 2 5 x΄ + 3 2 2 1 1 5 y΄ + 25 = 0, 3 2 2 2 y΄2 - 8 2 x΄ + 2 2 y΄ + 25 = 0. Выделим полный квадрат: 2 y΄) - 8 2 x΄ + 25 = 0, 2(y΄2 + 2 2 ) = 8 2 x΄ + 24. 2 2(y΄ + Получим уравнение 3 2 2 ) =4 2 ( x΄ ). 2 2 (y΄ + Перейдем к новой системе координат. За новое начало координат возьмем точку О΄ 3 2 2 , новые координаты выразим через старые : ; 2 2 2 2 = y΄΄; y΄ = y΄΄ . 2 2 y΄ + х΄ - 3 2 = х΄΄; х΄ = х΄΄ + 3 . 2 y΄΄2 = 4 2 х΄΄ - уравнение параболы в новой системе координат. 3) Определим параметры параболы: р 2 2 ; х 2 - уравнение директрисы; F( 2 ;0) – фокус. 4) Построим параболу. В прямоугольной системе координат хОу выполним поворот осей координат на угол α= 3 2 2 . . Получим систему координат х Оу и построим в ней точку О΄ ; 4 2 2 Осуществим параллельный перенос осей координат х и у в новый центр О΄, получили систему координат х О у , строим в ней параболу y΄΄2 = 4 2 х΄΄, директрису х 2 , фокус F( 2 ;0). Набор заданий Определить тип кривой, привести уравнение к каноническому, найти параметры и построить кривую 1. 9х2+9у2+42х-54у-95=0 2. 3х2+3у2+6х-4у-2=0 3. 4х2+3у2-8х+12у-32=0 4. 2х2+у-8х+5=0 5. 4х2-у+8х+7=0 6. 5у2-10у-х+6=0 7. х2-4х-у+5=0 8. 5х2+у2-20х+2у-4=0 9. 108х2+72у2-108х-48у-397=0 10. 196х2+49у2+56х-98у-143=0 11. 9х2+10у2-54х+60у+81=0 12. 4х2+16у2+4х+64у+1=0 13. 144х2+16у2-72х-128у+121=0 14. у2-6х-2у-2=0 15. 3х2-2у2 -6х-8у-17=0 16. 25х2-9у2 +50х+18у+241=0 17. 4х2-2у2 -4х-12у-25=0 18. х2-6у2 +2х+72у-209=0 19. 5х2-2у2 +40х+4у+28=0 20. 49х2-196у2 +56у+780=0 21. 11х2-4у2 +44х=0 22. 9х2-8у2 -6х-16у+65=0 23. 4х2+8х+у=0 24. 4х2-4х-32у-63=0 25. 4у2+32у+х+60=0 26. 81х2+64у2-162х+128у-5039=0 27. 256х2+64у2-512х+16у+1=0 28. 4х2+4у2-32х+4у-35=0 29. 2x2-3y2+8x-6y+3=0 30. -16x2+25y2-32x+100y-316=0 31. 4х2+у2-8х+4у=0 32. 2х2+3у2+12х-6у+21=0 33. 4х2-у2+8х-2у+3=0 34. 9х2+16у2+36х-64у-44=0 35. 5х2+3у2+-10х+12у+17=0