Случайные величины

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ПО КУРСУ
1. Случайные события. Предмет теории вероятностей.
2. Статистическое определение вероятности.
3. Виды случайных событий.
4. Операции над событиями.
5. Основные теоремы теории вероятностей.
6. Условная вероятность.
7. Вероятность произведения зависимых событий.
8. Формула полной вероятности.
9. Формула Байеса.
10. Числовые характеристики случайной величины. Математическое ожидание.
11. Числовые характеристики случайной величины. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение.
12. Функция распределения случайной величины и её свойства.
13. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины и её
свойства.
14. Нормальное распределение непрерывной случайной величины, и её свойства.
15. Числовые характеристики нормально распределённой случайной величины.
16. Вероятность попадания нормально распределённой случайной величины на заданный интервал.
17. Вычисление вероятности заданного отклонения для нормально распределённой
случайной величины.
18. Нормальное распределение. Правило трёх сигм.
19. Локальная теорема Муавра – Лапласа.
20. Интегральная теорема Лапласа.
21. Распределение Пуассона.
22. Закон больших чисел. Неравенство Чебышева.
23. Закон больших чисел. Теорема Чебышева.
24. Закон больших чисел. Теорема Бернулли.
25. Повторные испытания. Формула Бернулли.
26. Биномиальное распределение.
27. Предмет и метод математической статистики. Генеральная и выборочная совокупность.
28. Вариационные ряды и их характеристики.
29. Оценка параметров генеральной совокупности по выборочной совокупности: точечные оценки и их свойства. Несмещённость, состоятельность и эффективность
оценки.
30. Оценка параметров генеральной совокупности по выборочной совокупности: точечные оценки и их свойства. Оценка генеральной средней по выборочной средней.
31. Оценка параметров генеральной совокупности по выборочной совокупности: точечные оценки и их свойства. Оценка генеральной средней по выборочной средней.
32. Оценка параметров генеральной совокупности по выборочной совокупности: точечные оценки и их свойства. Оценка генерального среднего квадратичного отклонения по выборочному среднему квадратичному отклонению.
33. Оценка параметров генеральной совокупности по выборочной совокупности: интервальные оценки параметров генеральной совокупности. Доверительный интервал и доверительная вероятность.
34. Построение доверительного интервала для центра доверительного распределения.
35. Доверительный интервал для математического ожидания при неизвестном среднем квадратическом отклонении.
36. Проверка статистических гипотез. Основные понятия и постановка задачи.
37. Проверка статистических гипотез. Ошибки 1 и 2 рода.
38. Проверка статистических гипотез. Проверка гипотезы о среднем значении.
39. Проверка статистических гипотез. Сравнение двух выборочных средних.
40. Проверка статистических гипотез. Сравнение двух выборочных дисперсий.
41. Понятие о корреляционном анализе: корреляционный момент.
42. Понятие о корреляционном анализе: коэффициент корреляции.
43. Понятие о корреляционном анализе: корреляционный момент.
44. Понятие о корреляционном анализе: коэффициент корреляции.
45. Основы факторного анализа: понятие об однофакторном анализе.
46. Понятие о корреляционном анализе: общая факторная и остаточная сумма квадратов отклонений.
47. Понятие о корреляционном анализе: связь между суммами.
48. Понятие о корреляционном анализе: общая, факторная и остаточная дисперсии.
ПРИМЕРНЫЕ ВАРИАНТЫ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ
Задания для текущего контроля успеваемости
Контрольная работа № 1 «Случайные события»
Тип: аудиторная,4-я неделя семестра. Количество часов:2 час.
Содержание: решение задач по темам № 1–2. Максимальная оценка: 10 баллов.
Задание № 1. Комбинаторика. Классическая формула определения вероятности.
Максимальная оценка: 2 балла.
Задание № 2. Теорема сложения и ее следствия. Максимальная оценка: 2 балла.
Задание № 3. Теорема умножения и ее следствия. Максимальная оценка: 2 балла.
Задание № 4. Формула полной вероятности. Теорема Байеса. Максимальная
оценка: 2 балла.
Задание № 5.. Последовательность случайных испытаний. Формула Бернулли.
Максимальная оценка: 2 балла.
Типовой вариант
1. Каждую пятницу бронированный автомобиль доставляет заработную плату из
местного отделения банка в пять фирм. В качестве меры предосторожности
стараются использовать различные маршруты. Водитель выбирает из
предложенных диспетчером вариантов. Какова вероятность того, что нынешний
маршрут не повторит предыдущий? Какова вероятность того, что маршрут не
повторится ни разу в течение месяца?
2. Три исследователя, независимо один от другого, производят измерения некоторой
физической величины. Вероятность того, что первый исследователь допустит
ошибку, равна 0,1, второй - 0,15, третий - 0,2. Найти вероятность того, что при
однократном измерении будет допущена ошибка хотя бы одним исследователем.
3. Среди десяти документов три оформлены не по стандарту. Документы проверяют
один за другим до выявления всех нестандартных. Какова вероятность того, что
проверка закончится на 5 документе.
4. Фирма собирается выпускать новый товар на рынок. Подсчитано, что вероятность
хорошего сбыта продукции равна 0,6; плохого - 0,4. Компания собирается провести
маркетинговое исследование, вероятность правильности которого 0,8. Как изменятся
первоначальные вероятности уровня реализации, если это исследование
предскажет плохой сбыт?
5. Два равносильных шахматиста играют в шахматы. Что вероятнее выиграть две
партии из четырех или три партии из шести (ничьи во внимание не принимаются).
Рекомендуемая литература: Гл. 1 – Гл.5.[1], Гл. 1 - Гл.3 [2], § 1 -§ 4 [3].
Контрольная работа № 2 «Случайные величины»
Тип: аудиторная,9-я неделя семестра. Количество часов:3 час.
Содержание: решение задач по темам № 3–4. Максимальная оценка: 15 баллов.
Задание № 1. Способы задания случайных величин: ряд распределения, функция
распределения, плотность распределения. Максимальная оценка: 3 балла.
Задание № 2. Биномиальный закон распределения. Максимальная оценка: 3 балла.
Задание № 3. Закон распределения Пуассона. Максимальная оценка: 3 балла.
Задание № 4. Нормальный закон распределения. Теорема Байеса. Максимальная
оценка: 3 балла.
Задание № 5. Закон равномерной плотности. Максимальная оценка: 3 балла.
Типовой вариант
1. Плотность вероятности непрерывной случайной величины задана в виде
f (x) C sin 4x на интервале (0, / 4) . Найти параметр С и функцию распределения
F(x).
2. Оптовая база снабжает 10 магазинов, от каждого из которых может поступить
заявка на очередной день с вероятностью 0.4, независимо от других магазинов.
Найти вероятность того, что число заявок в день не превысит двух. Найти среднее
число заявок в день.
3. Заряд охотничьего пороха отвешивается на весах, имеющих среднюю
квадратическую ошибку взвешивания 150 мг. Номинальный вес порохового заряда
2.3 г. Определить вероятность повреждения ружья, если максимально допустимый
вес порохового заряда 2.5 г.
4. При наборе книги на 300 страницах делают в среднем 6 опечаток. Найти
вероятность того, что на 50 прочитанных страницах будет обнаружено не более
трех опечаток.
5. Время ожидания поезда метро 0 – 2 мин. Любое время ожидания поезда в этих
пределах равновероятно. Подсчитать вероятность того, что в очередной раз
18
придется ждать от 1,25 до 1,75 минут. Сколько в среднем уходит на ожидание
поезда метро за 30 дней у человека, пользующегося метро 2 раза в день?
Рекомендуемая литература: . Гл. 6 – Гл.12.[1], Гл. 4 - Гл.6 [2], § 6 -§ 10 [3].__
Контрольная работа № 1
1.
В урне 6 белых и 4 черных шара. Извлекается 5 шаров. Найти вероятность того,
что извлечены 2 белых и 3 черных шара.
2.
Брошены 3 игральные кости. Найти вероятность того, что количество выпавших очков на всех трех костях одинаковой четности.
3.
Две перфораторщицы набили по одинаковому количеству перфокарт. Вероятность того, что первая допустила ошибку равна 0,05, для второй эта вероятность равна 0,1. При сверке перфокарт была обнаружена ошибка. Найти вероятность того, что
ошиблась первая перфораторщица.
4.
В группе 20 человек. Найти вероятность того, что хотя бы у двоих дни рождения совпадают.
5.
Четыре элемента вычислительного устройства работают независимо. Вероятность отказа первого элемента за некоторое время равна 0,2; второго – 0,25; третьего
– 0,3; четвертого – 0,4.
Найти вероятность того, что за это время откажут:
а) 4 элемента;
б) 3 элемента;
в) 2 элемента;
г) не боле двух элементов.
6.
Батарея произвела 6 выстрелов по объекту. Вероятность попадания в объект
при одном выстреле равна 0,3.
Найти:
а) наивероятнейшее число попаданий;
б) вероятность этого числа попаданий;
в) вероятность того, что объект будет разрушен, если для этого достаточно хотя
бы двух попаданий.
7.
Вероятность появления события в каждом из 2100 независимых испытаний
равна 0,7.
Найти вероятность появления события:
а) не менее 1470 и не более 1500 раз;
б) не менее 1470 раз;
в) не более 1469 раз.
8.
Завод отправил на базу 500 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути
равна 0,002. Найти вероятность того, что в пути будет повреждено:
а) 3 изделия;
б) менее трех изделий;
в) более трех изделий;
г) хотя бы одно.
9.
Дана случайная величина.
x
2
3
5
p
½
1/3
1/12
Найти функцию распределения случайной величины.
10.
Дана функция распределения случайной величины Х:
8
1/12
0, õ  1

1 2
 ( x  1),1  õ  2

F(x)   3
1, õ  2



Найти математическое ожидание, плотность распределения х и вероятность того, что
{a<x<b}, a= - 3, b=1,5.
Контрольная работа № 2
1. Наудачу выбрано трёхзначное число. Найти вероятность того, что все числа этого
числа различны.
2. В партии из N деталей имеется n стандартных. Найти вероятность того, что среди
отобранных деталей ровно k стандартных.
3. Для разрушения моста достаточно попадания одной авиационной бомбы. Найти
вероятность того, что мост будет разрушен, если на него сброшены 4 бомбы, вероятность попадания которых 0,3, 0,4, 0,6, 0,7.
4. Имеется 10 одинаковых урн, из которых в девяти по 2 чёрных и 2 белых шара, а в
одной-5 белых и 1 чёрный. Из урны, взятой наудачу, извлечён белый шар. Какова вероятность того, что шар извлечён из урны, содержащей 5 белых шаров.
5. Учебник издан тиражом 100 000 экземпляров. Вероятность брака для одного учебника составляет 0,001. Найти вероятность того, что тираж содержит бракованных
книг: а) 5, б) не более 2, в) более 2, г) хотя бы 1.
6. Батарея произвела 6 выстрелов по объекту. Вероятность попадания при одном выстреле -0,3. Найти: а) наивероятнейшее число попаданий, б) вероятность этого числа
попаданий, в) вероятность того, что объект будет разрушен, если для этого достаточно хотя бы двух попаданий.
7. Вероятность появления события в каждом испытании равна 0,8. Сколько нужно
провести испытаний, чтобы с вероятностью 0,9 можно было бы ожидать, что событие
появится не менее 75 раз.
8. Из трёх орудий произведён залп по цели. Вероятность попадания в цель для первого орудия равна 0,8, для второго-0,85, для третьего-0,9. Найти вероятность события:
а) 3 попадания, б) 2 попадания, в) 1 попадание, г) ни одного попадания, д) хотя бы
одного попадания.
9. Дана случайная величина:
X
2
4
6
10
P
0,1
0,1
0,6
0,2
Найти функцию распределения случайной величины.
Контрольная работа № 3
1. Построить полигон относительных частот по данному распределению выборки:
xi 2 4 5 7 10
wi
0,15
0,2
0,1
0,1
0,45
2. Построить гистограмму частот по данному распределению выборки объёма n=100:
Номер интерЧастичный
Сумма частот вариант Плотность чавала
интервал
стоты
частичного интервала
i
Xi - Xi+1
ni
1
1-5
10
2,5
2
5-9
20
5
3
9-13
50
12,5
4
13-17
12
3
5
17-21
8
2
3. Найти выборочную среднюю по данному распределению выборки объёма n= 10:
1250
1270
1280
xi
ni
2
5
3
4. Случайная величина X распределена по нормальному закону со с.к.о. σ =2. Найти
минимальный объём выборки, при которой с надёжностью β = 0,95 точность оценки
м.о. εβ = 0,25.
5. Проведено 20 измерений случайной величины x, распределённой по нормальному
закону, результаты которых приведены в таблице:
xi, мм
7
10
12
18
22
25
mi
2
3
5
6
3
1
Построить с надёжностью β = 0,99 доверительный интервал для м.о.