Частное образовательное учреждение высшего образования «Ростовский институт защиты предпринимателя» (РИЗП)
advertisement
Частное образовательное учреждение высшего образования «Ростовский институт защиты предпринимателя» (РИЗП) Экономический факультет РАССМОТРЕНО И СОГЛАСОВАНО на заседании кафедры Гуманитарных и социально-экономических дисциплин протокол № 9 от 23.04.15г. Зав.кафедрой Гайломазова Е.С. ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ по дисциплине Б2.Б.3 «Теория вероятностей и математическая статистика» Направление подготовки 080100 (38.03.01) Экономика Профиль подготовки «Бухгалтерский учет, анализ и аудит» Квалификация (степень) Бакалавр очной, заочной формы обучения Разработчик(и): к.э.н., доц. Кокина Е.П. Ростов-на-Дону 2015 г. СОДЕРЖАНИЕ Стр. Раздел 1. Перечень компетенций с указанием этапов их формирования в процессе освоения образовательной программы 4 Раздел 2. Показатели, критерии и шкала оценивания компетенций учебной дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика» 7 2.1. Показатели, критерии и шкала оценивания компетенций текущего контроля знаний по учебной дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика» 2.2. Показатели, критерии и шкала оценивания компетенций промежуточного контроля знаний по учебной дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика» Раздел 3. Типовые контрольные задания и иные материалы, необходимые для оценки знаний, умений, навыков и (или) опыта деятельности, характеризующих этапы формирования компетенций 3.1. Задания для проведения текущей аттестации по итогам освоения дисциплины. 3.1.1. Планы семинарских занятий по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика» 3.1.2. Примерные темы рефератов по разделам дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика» 3.2. Контрольные задания для проведения промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины. 3.2.1. Вопросы к экзамену 3.2.2. Тестовые задания 2 9 ПАСПОРТ ФОНДА ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ Фонд оценочных средств (ФОС) для текущего контроля успеваемости и промежуточной аттестации по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика» разработан в соответствии с рабочей программой, входящей в ООП направление подготовки 080100 (38.03.01) Экономика профиль подготовки «Бухгалтерский учет, анализ и аудит». Фонд оценочных средств по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика» предназначен для аттестации обучающихся на соответствие их персональных достижений поэтапным требованиям образовательной программы, в том числе рабочей программы дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика», для оценивания результатов обучения: знаний, умений, владений и уровня приобретенных компетенций. Фонд оценочных средств по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика» включает: 1) оценочные средства для проведения текущего контроля успеваемости: устный и письменный опрос, комплект разноуровневых задач (заданий), контрольная работа, коллоквиум расчетно-графическая работа 2) оценочные средства для проведения промежуточной аттестации в форме: контрольных вопросов и заданий для экзамена. 3 Раздел 1. Перечень компетенций с указанием этапов их формирования в процессе освоения образовательной программы по направлению подготовки 080100 (38.03.01) Экономика В ходе освоения учебной дисциплины Б2.Б.3 «Теория вероятностей и математическая статистика» у студента должны сформироваться элементы следующих общекультурных и профессиональных компетенций в соответствии с ФГОС ВПО по данному направлению: Начальный этап формирования компетенции Итоги сформированности элементов компетенции Знать 1 Уметь 2 Владеть 3 4 Заключительный этап формирования компетенции 5 «ОК-1: Владеет культурой мышления, способностью к обобщению, анализу, восприятию информации, постановке цели и выбору путей ее достижения» осуществляется в осуществляется в Основные понятия, методы Собирать, анализировать и Методами, способами и период освоения период и теоремы теории обобщать статистическую средствами переработки и учебных дисциплин: прохождения вероятностей и информацию анализа информации, методами Математический производственной математической статистики, теории вероятностей и анализ, Линейная практики необходимые для решения математической статистики для алгебра, поставленных формулировки цели Теория статистики и экономических задач исследования и способов ее др. достижения «ПК-1: Способен собрать и проанализировать исходные данные, необходимые для расчета экономических и социальноэкономических показателей, характеризующих деятельность хозяйствующих субъектов» осуществляется в осуществляется в Основные понятия, методы и Собирать и анализировать Навыками сбора и анализа исходные данные, период освоения период теоремы теории исходных данных, необходимые для применения необходимых для математикоучебных дисциплин: прохождения вероятностей и методов теории вероятностей Математический производственной математической статистики, статистического исследования и математической статистики анализ, Линейная практики необходимые для решения в процессе решения алгебра, 4 Начальный этап формирования компетенции Итоги сформированности элементов компетенции Знать 1 поставленных экономических задач Уметь 2 поставленных экономических задач Владеть 3 4 Теория статистики и др. Заключительный этап формирования компетенции 5 «ПК-5: Способен выбрать инструментальные средства для обработки экономических данных в соответствии с поставленной задачей, проанализировать результаты расчетов и обосновать полученные выводы» осуществляется в осуществляется в Основные понятия, методы и Выбирать, обосновывать и Способами и методами период освоения период теоремы теории применить различные методы решения поставленных учебных дисциплин: прохождения вероятностей и теории вероятностей для экономических задач с Математический производственной математической статистики, решения поставленных применением системами анализ, Линейная практики необходимые для решения экономических задач, теоретико-вероятностного и алгебра, поставленных проанализировать математико-статистического Теория статистики и экономических задач полученные результаты и подхода др. сделать обоснованные выводы «ПК-6: Способен на основе описания экономических процессов и явлений строить стандартные теоретические и эконометрические модели, анализировать и содержательно интерпретировать полученные результаты» Основные понятия, методы и Выбирать, обосновывать и осуществляется в осуществляется в Способами и методами теоремы теории применить различные методы решения поставленных период освоения период вероятностей и теории вероятностей для учебных дисциплин: прохождения экономических задач с математической статистики, решения поставленных Линейная алгебра, производственной применением системами необходимые для решения экономических задач, Теория вероятностей практики поставленных проанализировать полученные теоретико-вероятностного и и математическая математико-статистического экономических задач результаты и сделать статистика, подхода обоснованные выводы Теория статистики и 5 Начальный этап формирования компетенции Итоги сформированности элементов компетенции Знать 1 Уметь 2 Владеть 3 . 6 4 др. Заключительный этап формирования компетенции 5 РАЗДЕЛ 2. Показатели, критерии и шкала оценивания компетенций по учебной дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика» 2.1. Показатели, критерии и шкала оценивания компетенций текущего контроля знаний по учебной дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика» Таблица 2 Показатели Знание теории вероятностей Критерии Знать: предмет теории вероятностей, основные понятия теории вероятностей, способы задания случайных величин, их числовые характеристики, законы распределения, понятие о законе больших чисел и о «центральной предельной теореме» Уметь: рассчитывать вероятность событий, используя элементы комбинаторики, классическое и статистическое определение вероятности, теоремы сложения и умножения вероятностей, формулы полной вероятности и Байеса для расчета вероятности событий; задать и определить закон распределения случайных величин в табличном, аналитическом и графическом виде, рассчитать параметры распределения и числовые характеристики; определять вероятность попадания случайной величины в заданный интервал; использовать неравенства Маркова Чебышева, теоремы Чебышева, Бернулли, Пуассона. 7 Шкала оценивания 2 балла незначительное знание понятийного аппарата; затруднения при решении практической задачи 3 балла знание основных понятий, свойств, в целом правильное, но недостаточно аргументированное решение практической задачи. 4 балла проявление знаний и умений по показателям темы с возможностью неглубокого раскрытия каждого из критериев показателя 5 баллов полное и глубокое проявление знаний и умений по всем показателям темы Знание математической статистики Владеть: методами теории вероятностей в конкретных исследованиях социальноэкономических процессов и явлений. Знать: понятие дискретного и непрерывного вариационного рядов, их основные характеристики; понятие выборочного метода, теории оценивания; понятие статистических гипотезы, их виды. Уметь: строить вариационные ряды и рассчитывать их числовые характеристики; задавать эмпирическую функцию распределения; находить точечные и интервальные оценки неизвестных параметров генеральной совокупности; формулировать нулевую и альтернативную гипотезы, выбрать критерий проверки статистической гипотезы и осуществить проверку. Владеть: методами математической статистики в конкретных исследованиях социальноэкономических процессов и явлений. 2 балла незначительное знание понятийного аппарата; затруднения при решении практической задачи 3 балла знание основных понятий, свойств, в целом правильное, но недостаточно аргументированное решение практической задачи. 4 балла проявление знаний и умений по показателям темы с возможностью неглубокого раскрытия каждого из критериев показателя 5 баллов полное и глубокое проявление знаний и умений по всем показателям темы Регламент проведения устного опроса 1. Предел длительности ответа на каждый вопрос 2. Внесение студентами уточнений и дополнений 3. Комментарии преподавателя до 5-7 мин. до 1 мин. до 1-2 мин. 2.2. Показатели, критерии и шкала оценивания компетенций промежуточного контроля знаний по учебной дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика» Результат зачета Критерии оценивания компетенций 8 не зачтено зачтено Студент не знает значительной части программного материала (менее 50% правильно выполненных заданий от общего объема работы), допускает существенные ошибки, неуверенно, с большими затруднениями выполняет практические работы, не подтверждает освоение компетенций, предусмотренных программой экзамена. Студент показывает знания только основного материала, но не усвоил его деталей, допускает неточности, недостаточно правильные формулировки, в целом, не препятствует усвоению последующего программного материала, нарушения логической последовательности в изложении программного материала, испытывает затруднения при выполнении практических работ, подтверждает освоение компетенций, предусмотренных программой экзамена на минимально допустимом уровне. Студент показывает твердо знает материал, грамотно и по существу излагает его, не допуская существенных неточностей в ответе на вопрос, правильно применяет теоретические положения при решении практических вопросов и задач, владеет необходимыми навыками и приемами их выполнения, допуская некоторые неточности; демонстрирует хороший уровень освоения материала, информационной и коммуникативной культуры и в целом подтверждает освоение компетенций, предусмотренных программой. Студент глубоко и прочно усвоил программный материал, исчерпывающе, последовательно, четко и логически стройно его излагает, умеет тесно увязывать теорию с практикой, свободно справляется с задачами, вопросами и другими видами применения знаний, причем не затрудняется с ответом при видоизменении заданий, использует в ответе материал монографической литературы, правильно обосновывает принятое решение, владеет разносторонними навыками и приемами выполнения практических задач, подтверждает полное освоение компетенций, предусмотренных программой . РАЗДЕЛ 3. Типовые контрольные задания и иные материалы, необходимые для оценки знаний, умений, навыков и (или) опыта деятельности, характеризующих этапы формирования компетенций 3.1. Задания для проведения текущей аттестации по итогам освоения дисциплины. 9 3.1.1. Планы практических занятий по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика» Методические рекомендации: На практическом занятии закрепляется обучение студентов самостоятельной работе с литературой и вспомогательным материалом. Студенты вырабатывают навык решения задач по текущей теме математического анализа. Целью практического занятия является проверка усвоения программного материала по дисциплине, осуществление контроля и помощи в организации самостоятельной работы студента. Практические занятия призваны дополнить и углубить знания студентов, полученные на лекциях, при изучении рекомендуемой учебной и научной литературы. Во время занятий проводятся повторение и обсуждение важнейших теоретических вопросов, решение задач, самостоятельная работа студентов. Главное условие успешности в освоении учебной дисциплины - систематические занятия. Работа студента над любой темой должна быть целеустремленной. Для этого нужно ясно представлять себе цель конкретного занятия и план его проведения. Важное значение имеет изучение соответствующих положений программы дисциплины и конспекта лекций. Занятие проводиться после прочитанной лекции по теме учебной программы. При подготовке к практическим занятиям рекомендуется использовать лекции и учебную литературу по изучаемой теме. Практическое занятие включает доклады студентов по вопросам для самостоятельного изучения. Не следует ограничивать подготовку только ознакомлением с лекциями. При всем их совершенстве и полноте конспектирования лекции не могут исчерпать относящийся к теме материал. Лектор всегда оставляет немало вопросов для самостоятельного изучения студентами специальной литературы. Изучение специальной литературы целесообразно начинать с чтения учебника и учебного пособия. После их изучения легче понимаются рекомендованные монографии, журнальные статьи. Активное участие в работе семинара является необходимым условием для получения студентом положительной оценки за весь пройденный общий курс. Также рекомендуется использовать инновационные формы подготовки к семинарам, в том числе использование средств мультимедийной техники, подготовка электронных презентаций. Темы практических занятий ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Тема 1. Комбинаторика. Классификация событий. Классическое и статистическое определение вероятности Решение комбинаторных задач различного типа. Обсуждение классификации событий с примерами. Решение задач на определение классической вероятности, практическое рассмотрение свойств классической вероятности. Критерии оценивания знания теории и решения задач: глубокое знание теоретического материала и умение правильно «Отлично» и логично применить его при решении задачи любой сложности; свободное решение задач; полное усвоение темы занятия. знание теоретического материала и умение применить его при «Хорошо» решении задач; умение решать задачи, однако допускать 10 неточности и ошибки в решении; недостаточно полное усвоение темы занятия. «Удовлетворительно» «Неудовлетворительно» Недостаточные знания теоретического материала, что влечет за собой слабое понимание методов решения задач; умение решать только простейшие задачи. неглубокие знания теоретического материала или их отсутствие, неумение решать элементарные задачи. Тема 2. Теоремы сложения вероятностей. Теоремы умножения вероятностей. Совместное применение теорем сложения и умножения Определение суммы событий. Решение задач с использованием теорем сложения вероятностей совместных и несовместных событий. Расчет вероятностей для зависимых и независимых событий. Решение задач с использованием теорем умножения вероятностей. Расчет вероятностей для событий зависимых и независимых в совокупности. Решение задач с определением вероятности наступления хотя бы одного из n независимых (зависимых) в совокупности событий. Практика совместного применения теорем сложения и умножения. Критерии оценивания знания теории и решения задач: глубокое знание теоретического материала и умение правильно «Отлично» и логично применить его при решении задачи любой сложности; свободное решение задач; полное усвоение темы занятия. знание теоретического материала и умение применить его при «Хорошо» решении задач; умение решать задачи, однако допускать неточности и ошибки в решении; недостаточно полное усвоение темы занятия. «Удовлетворительно» «Неудовлетворительно» Недостаточные знания теоретического материала, что влечет за собой слабое понимание методов решения задач; умение решать только простейшие задачи. неглубокие знания теоретического материала или их отсутствие, неумение решать элементарные задачи. Тема 3. Формулы полной вероятности и Байеса Решение задач на применение формул полной вероятности и Байеса. Обсуждение практики применения формулы Байеса при принятии управленческих решений. Критерии оценивания знания теории и решения задач: глубокое знание теоретического материала и умение правильно «Отлично» и логично применить его при решении задачи любой сложности; свободное решение задач; полное усвоение темы занятия. 11 «Хорошо» «Удовлетворительно» «Неудовлетворительно» знание теоретического материала и умение применить его при решении задач; умение решать задачи, однако допускать неточности и ошибки в решении; недостаточно полное усвоение темы занятия. Недостаточные знания теоретического материала, что влечет за собой слабое понимание методов решения задач; умение решать только простейшие задачи. неглубокие знания теоретического материала или их отсутствие, неумение решать элементарные задачи. Тема 4. Случайные величины и их числовые характеристики Построение ряда распределения, функции и расчет числовых характеристик дискретных СВ. «Отлично» «Хорошо» «Удовлетворительно» «Неудовлетворительно» Критерии оценивания знания теории и решения задач: глубокое знание теоретического материала и умение правильно и логично применить его при решении задачи любой сложности; свободное решение задач; полное усвоение темы занятия. знание теоретического материала и умение применить его при решении задач; умение решать задачи, однако допускать неточности и ошибки в решении; недостаточно полное усвоение темы занятия. Недостаточные знания теоретического материала, что влечет за собой слабое понимание методов решения задач; умение решать только простейшие задачи. неглубокие знания теоретического материала или их отсутствие, неумение решать элементарные задачи. Тема 5. Биномиальное распределение Решение задач на биномиальное распределение (ряд распределения, функция, график функции, математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение, наивероятнейшее число появления событий) Критерии оценивания знания теории и решения задач: глубокое знание теоретического материала и умение правильно «Отлично» и логично применить его при решении задачи любой сложности; свободное решение задач; полное усвоение темы занятия. знание теоретического материала и умение применить его при «Хорошо» решении задач; умение решать задачи, однако допускать неточности и ошибки в решении; недостаточно полное усвоение темы занятия. 12 «Удовлетворительно» «Неудовлетворительно» Недостаточные знания теоретического материала, что влечет за собой слабое понимание методов решения задач; умение решать только простейшие задачи. неглубокие знания теоретического материала или их отсутствие, неумение решать элементарные задачи. Тема 6. Распределение Пуассона Решение задач на распределение Пуассона (ряд распределения, функция, график функции, математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение, практика использования таблиц распределения функции Пуассона) Критерии оценивания знания теории и решения задач: глубокое знание теоретического материала и умение правильно «Отлично» и логично применить его при решении задачи любой сложности; свободное решение задач; полное усвоение темы занятия. знание теоретического материала и умение применить его при «Хорошо» решении задач; умение решать задачи, однако допускать неточности и ошибки в решении; недостаточно полное усвоение темы занятия. «Удовлетворительно» «Неудовлетворительно» Недостаточные знания теоретического материала, что влечет за собой слабое понимание методов решения задач; умение решать только простейшие задачи. неглубокие знания теоретического материала или их отсутствие, неумение решать элементарные задачи. Тема 7. Гипергеометрическое распределение. Производящая функция Решение задач на гипергеометрическое распределение и производящую функцию (ряд распределения, функция, график функции, математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение). Итоговое обсуждение признаков, позволяющих классифицировать распределение ДСВ. Критерии оценивания знания теории и решения задач: глубокое знание теоретического материала и умение правильно «Отлично» и логично применить его при решении задачи любой сложности; свободное решение задач; полное усвоение темы занятия. знание теоретического материала и умение применить его при «Хорошо» решении задач; умение решать задачи, однако допускать неточности и ошибки в решении; недостаточно полное усвоение темы занятия. «Удовлетворительно» Недостаточные знания теоретического материала, что влечет за собой слабое понимание методов решения задач; умение решать 13 только простейшие задачи. «Неудовлетворительно» неглубокие знания теоретического материала или их отсутствие, неумение решать элементарные задачи. Тема 8. Непрерывные случайные величины Связь между дифференциальной и интегральной функциями распределения непрерывной СВ. Числовые характеристики непрерывной случайной величины. Расчет моментов распределения. Расчет показателей асимметрии и эксцесса. Критерии оценивания знания теории и решения задач: глубокое знание теоретического материала и умение правильно «Отлично» и логично применить его при решении задачи любой сложности; свободное решение задач; полное усвоение темы занятия. знание теоретического материала и умение применить его при «Хорошо» решении задач; умение решать задачи, однако допускать неточности и ошибки в решении; недостаточно полное усвоение темы занятия. «Удовлетворительно» «Неудовлетворительно» Недостаточные знания теоретического материала, что влечет за собой слабое понимание методов решения задач; умение решать только простейшие задачи. неглубокие знания теоретического материала или их отсутствие, неумение решать элементарные задачи. Тема 9. Нормальное и нормированное нормальное распределение Обсуждение особенностей нормального и нормированного нормального распределений. Алгоритмы использования таблиц значений функций нормального закона распределения для определения значений функций нормального распределения с любыми параметрами. Решение задач на расчет вероятности попадания в заданный интервал нормально распределенной случайной величины, вероятности заданного отклонения нормально распределенной случайной величины от своего математического ожидания, правило трех сигм. Критерии оценивания знания теории и решения задач: глубокое знание теоретического материала и умение правильно «Отлично» и логично применить его при решении задачи любой сложности; свободное решение задач; полное усвоение темы занятия. знание теоретического материала и умение применить его при «Хорошо» решении задач; умение решать задачи, однако допускать неточности и ошибки в решении; недостаточно полное усвоение темы занятия. 14 «Удовлетворительно» «Неудовлетворительно» Недостаточные знания теоретического материала, что влечет за собой слабое понимание методов решения задач; умение решать только простейшие задачи. неглубокие знания теоретического материала или их отсутствие, неумение решать элементарные задачи. Тема 10. Нормальное распределение как аппроксимация дискретных распределений Решение задач на оценку отклонения частоты от своего наивероятнейшего числа, вероятности заданного отклонения частости от вероятности наступления события в каждом отдельном испытании. Решение задач с применением локальной и интегральной теорем Лапласа. Критерии оценивания знания теории и решения задач: глубокое знание теоретического материала и умение правильно «Отлично» и логично применить его при решении задачи любой сложности; свободное решение задач; полное усвоение темы занятия. знание теоретического материала и умение применить его при «Хорошо» решении задач; умение решать задачи, однако допускать неточности и ошибки в решении; недостаточно полное усвоение темы занятия. «Удовлетворительно» «Неудовлетворительно» Недостаточные знания теоретического материала, что влечет за собой слабое понимание методов решения задач; умение решать только простейшие задачи. неглубокие знания теоретического материала или их отсутствие, неумение решать элементарные задачи. Тема 11. Показательное и равномерное распределения Плотность вероятности и функция распределения. Числовые характеристики. Критерии оценивания знания теории и решения задач: глубокое знание теоретического материала и умение правильно «Отлично» и логично применить его при решении задачи любой сложности; свободное решение задач; полное усвоение темы занятия. знание теоретического материала и умение применить его при «Хорошо» решении задач; умение решать задачи, однако допускать неточности и ошибки в решении; недостаточно полное усвоение темы занятия. «Удовлетворительно» Недостаточные знания теоретического материала, что влечет за собой слабое понимание методов решения задач; умение решать только простейшие задачи. 15 «Неудовлетворительно» неглубокие знания теоретического материала или их отсутствие, неумение решать элементарные задачи. Тема 12. Закон больших чисел Решение задач с применением неравенств Маркова и Чебышева. Решение задач с применением теорем Чебышева, Бернулли и Пуассона. Понятие о «центральной предельной теореме» Ляпунова. Критерии оценивания знания теории и решения задач: глубокое знание теоретического материала и умение правильно «Отлично» и логично применить его при решении задачи любой сложности; свободное решение задач; полное усвоение темы занятия. знание теоретического материала и умение применить его при «Хорошо» решении задач; умение решать задачи, однако допускать неточности и ошибки в решении; недостаточно полное усвоение темы занятия. «Удовлетворительно» «Неудовлетворительно» Недостаточные знания теоретического материала, что влечет за собой слабое понимание методов решения задач; умение решать только простейшие задачи. неглубокие знания теоретического материала или их отсутствие, неумение решать элементарные задачи. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Тема 13. Вариационный ряд Построение дискретного и интервального вариационных рядов. Расчет частот, частостей, накопленных частот и частостей. Графическая интерпретация (изображение) вариационного ряда. Критерии оценивания знания теории и решения задач: глубокое знание теоретического материала и умение правильно «Отлично» и логично применить его при решении задачи любой сложности; свободное решение задач; полное усвоение темы занятия. знание теоретического материала и умение применить его при «Хорошо» решении задач; умение решать задачи, однако допускать неточности и ошибки в решении; недостаточно полное усвоение темы занятия. «Удовлетворительно» Недостаточные знания теоретического материала, что влечет за собой слабое понимание методов решения задач; умение решать только простейшие задачи. «Неудовлетворительно» неглубокие знания теоретического материала или их 16 отсутствие, неумение решать элементарные задачи. Тема 14. Числовые характеристики вариационного ряда Расчет средней арифметической. Расчет перцентилей, квартилей и децилей. Показатели колеблемости: вариационный размах, среднее линейное отклонение, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации. Расчет показателей колеблемости. Проверка правила сложения дисперсии. Расчет моментов распределения. Расчет показателей асимметрии и эксцесса. Построение эмпирической функции и её графическое представление. Расчет дисперсии альтернативного признака. Критерии оценивания знания теории и решения задач: глубокое знание теоретического материала и умение правильно «Отлично» и логично применить его при решении задачи любой сложности; свободное решение задач; полное усвоение темы занятия. знание теоретического материала и умение применить его при «Хорошо» решении задач; умение решать задачи, однако допускать неточности и ошибки в решении; недостаточно полное усвоение темы занятия. «Удовлетворительно» «Неудовлетворительно» Недостаточные знания теоретического материала, что влечет за собой слабое понимание методов решения задач; умение решать только простейшие задачи. неглубокие знания теоретического материала или их отсутствие, неумение решать элементарные задачи. Тема 15. Выборочный метод и его значение в экономических исследованиях Нахождение точечных оценок генеральной средней и генеральной дисперсии. Расчет предельной и средней ошибок выборки для средней и доли. Построение доверительного интервала для оценки генеральной средней нормально распределенной совокупности при известном и неизвестном средних квадратических отклонениях. Определение доверительного интервала для оценки генеральной доли. Расчет необходимой численности выборки. Критерии оценивания знания теории и решения задач: глубокое знание теоретического материала и умение правильно «Отлично» и логично применить его при решении задачи любой сложности; свободное решение задач; полное усвоение темы занятия. «Хорошо» знание теоретического материала и умение применить его при решении задач; умение решать задачи, однако допускать неточности и ошибки в решении; недостаточно полное 17 усвоение темы занятия. «Удовлетворительно» «Неудовлетворительно» Недостаточные знания теоретического материала, что влечет за собой слабое понимание методов решения задач; умение решать только простейшие задачи. неглубокие знания теоретического материала или их отсутствие, неумение решать элементарные задачи. Тема 16. Статистическая проверка гипотезы Проверка гипотезы о числовом значении дисперсии генеральной совокупности. Проверка гипотезы о равенстве двух дисперсий нормально распределенных генеральных совокупностей. Проверка гипотезы о равенстве двух средних нормально распределенных генеральных совокупностей с известными дисперсиями. Проверка гипотезы о равенстве двух средних нормально распределенных генеральных совокупностей при неизвестных равных дисперсиях. Проверка гипотезы о числовом значении генеральной доли (о параметре биномиального закона распределения). Проверка гипотезы о равенстве двух долей нормально распределенных генеральных совокупностей. Проверка гипотезы о числовом значении генеральной средней нормально распределенной генеральной совокупности при известной и неизвестной генеральных дисперсиях. Проверка гипотезы о виде распределения. Критерий согласия Пирсона. Критерий Колмогорова. Проверка гипотез об однородности выборок. Решение задач на применение ранговых критериев. Критерии оценивания знания теории и решения задач: глубокое знание теоретического материала и умение правильно «Отлично» и логично применить его при решении задачи любой сложности; свободное решение задач; полное усвоение темы занятия. знание теоретического материала и умение применить его при «Хорошо» решении задач; умение решать задачи, однако допускать неточности и ошибки в решении; недостаточно полное усвоение темы занятия. «Удовлетворительно» «Неудовлетворительно» Недостаточные знания теоретического материала, что влечет за собой слабое понимание методов решения задач; умение решать только простейшие задачи. неглубокие знания теоретического материала или их отсутствие, неумение решать элементарные задачи. 18 3.1.2. Примерные темы рефератов и научно-исследовательской работы студентов по разделам дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика» 1. Диаграммы Вьенна. Понятие вероятности реализации события. Различные подходы к описанию вероятностей. Парадокс Бертрана. Связь с результатами эксперимента. 2. Булева алгебра. Подход Колмогорова. Аксиоматическое определение. Связь с реальными измерениями. Сходимость по вероятности. "Теоремы сложения". Формула полной вероятности. формула Байеса. 3. Распределения. Интегральное распределение. Плотность распределения. Моменты. центральные моменты. Факториальные моменты. смешанные моменты. Условные моменты. Интеграл стилтьеса. Производящая функция. Коэффициент кореляции. Характеристические функции. Теорема Леви-Крамера. 4. Лемма Маркова. Неравенство Чебышева. Теорема Маркова. Закон больших чисел. 5. Распределение Бернулли. Свойства распределения Бернулли. Суперпозиция распределений Бернулли. 6. Распределение Пуассона. Нормальное распределение. Получение нормального распределения из распределения Пуассона. Поправочные члены. 7. Ряды Грама-Шарлье типа А и типа В. Разложение Эджворта. Поправленное разложение Эджворта. 8. Кривые Пирсона. Случайные процессы, приводящие к ним. Задача Маркова. 9. Методы оценки, нулевая гипотеза, ошибки первого и второго рода. Мощность критерия. 10. Оценки, несмещенная оценка, состоятельная оценка, оценка Маркова, примеры. 11. Оценки для математического ожидания для дисперсии. 12. Хи-квадрат статистика. Упрощенный метод Романовского. 3. Распределение Стьюдента. Упрощенный метод Романовского. 14. Распределение Фишера. Упрощенный метод Романовского. Коэффициент взаимной корреляции Чупрова. Преобразование Фишера. 15. Дисперсионный анализ. Дисперсия по факторам. Остаточная дисперсия. Оценка влияния отельных факторов. Двойная группировка. 16. Последовательный анализ. Метод максимального правдоподобия. Метод моментов 17. Критерий согласия Колмогорова-Смирнова. Порядковые критерии. 18. Корреляции. Оценка по выборке. Частные коэффициенты корреляции 19. Поправки Шеппарда. 20. Использование цепей Маркова в моделировании социально-экономических процессов 21. Комбинаторика 22. Кластерный анализ 23. Принятие решений в условиях неопределенности 24. Распределение Гаусса. Центральная предельная теорема теории вероятностей. 25. Распределения Пирсона и Стьюдента Максимальное время выступления: до 7 мин «Отлично» Критерии оценивания реферата: выполнены все требования к написанию и защите реферата: обозначена проблема и обоснована её актуальность, сделан краткий анализ 19 «Хорошо» «Удовлетворите льно» «Неудовлетвори тельно» различных точек зрения на рассматриваемую проблему и логично изложена собственная позиция, сформулированы выводы, тема раскрыта полностью, выдержан объём, соблюдены требования к внешнему оформлению, даны правильные ответы на дополнительные вопросы. основные требования к реферату и его защите выполнены, но при этом допущены недочёты. В частности, имеются неточности в изложении материала; отсутствует логическая последовательность в суждениях; не выдержан объём реферата; имеются упущения в оформлении; на дополнительные вопросы при защите даны неполные ответы. имеются существенные отступления от требований к реферированию. В частности: тема освещена лишь частично; допущены фактические ошибки в содержании реферата или при ответе на дополнительные вопросы; во время защиты отсутствует вывод. тема реферата не раскрыта, обнаруживается существенное непонимание проблемы. 3.2. Контрольные задания для проведения промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины (экзамен, зачет, контрольная (курсовая) работа, тестовые задания). 3.2.1. Перечень вопросов к зачету по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика». Раздел 1. Элементы теории вероятностей 1. Предмет и основные определения теории вероятностей. 2. Классическое определение вероятности. Свойства вероятности, вытекающие из классического определения. Примеры. 3. Статистическое определение вероятности, его особенности и связь с классическим определением. 4. Полная группа несовместных событий, противоположные события, свойства их вероятностей. 5. Зависимые и независимые события. Условные и безусловные вероятности. 6. Теоремы умножения вероятностей. 7. Теоремы сложения вероятностей. 8. Формула полной вероятности. Формулы Байеса. 9. Комбинаторика: размещение, сочетания, перестановки и перестановки с повторениями. 10. Дискретные и непрерывные случайные величины. Закон распределения случайной величины и способы его задания. 11. Формула Бернулли. Биномиальное распределение. Наивероятнейшее число наступления событий. 12. Формула Пуассона. Закон распределения редких событий. 13. Числовые характеристики случайных величин. Начальные и центральные моменты. Асимметрия и эксцесс. 14. Математическое ожидание случайной величины. Его смысл и примеры. 15. Свойства математического ожидания. 16. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение случайной величины. Их смысл и примеры вычисления. 17. Свойства дисперсии и среднего квадратического отклонения. 20 18. Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение частоты и частости. 19. Непрерывные случайные величины. Дифференциальная и интегральная функции их распределения, их смысл и связь между ними. 20. Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал. Вероятность того что непрерывная случайная величина примет точное наперед заданное значение. 21. Равномерный закон распределения. 22. Нормальное распределение. Плотность нормального распределения и ее свойства. 23. Нормированное (стандартное) нормальное распределение. Функция Лапласа: график, свойства, таблицы. 24. Функция нормального распределения случайной величины. 25. Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал. 26. Вероятность заданного отклонения нормальной случайной величины от своего математического ожидания. Правило трех сигм. 27. Понятие о центральной предельной теореме Ляпунова. 28. Закон больших чисел. Понятие о теореме Чебышева. Значение теоремы Чебышева. 29. Закон больших чисел. Теорема Бернулли. Раздел 2. Математическая статистика 1. Предмет и основные задачи математической статистики. 2. Генеральная совокупность и выборка. Сущность выборочного метода. 3. Вариационные ряды. Виды вариаций. Величина интервала. Накопленные частоты (частости). 4. Графическое изображение вариационного ряда. Эмпирическая функция распределения. 5. Числовые характеристики вариационного ряда. Средняя арифметическая и ее свойства, мода и медиана. Квантили. 6. Показатели колеблемости: вариационный размах, среднее линейное отклонение, дисперсия, коэффициент вариации. Свойства дисперсии. 7. Моменты (начальные и центральные). Показатели асимметрии и эксцесса. 8. Повторная и бесповторная выборка. Ошибки регистрации и репрезентативности, предельная ошибка выборки. 9. Средняя ошибка выборки, для средней и для доли. 10. Необходимая численность выборки. 11. Статистические оценки параметров распределения (сущность теории оценивания): несмещенность, состоятельность, эффективность оценок. 12. Точечная оценка генеральной средней по выборочной средней. 13. Точечная оценка генеральной дисперсии. “Исправленные” выборочная дисперсия и среднее квадратическое отклонение. 14. Интервальные оценки. Точность оценки. Доверительная вероятность. 15. Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения при известном среднем квадратическом отклонении. 16. Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения при неизвестном среднем квадратическом отклонении. 17. Оценка вероятности по частости: точечная и интервальная. 18. Законы распределения Стьюдента, Пирсона, Фишера. 19. Статистическая проверка гипотезы. Статистическая гипотеза: нулевая и альтернативная, параметрическая и непараметрическая. Ошибки I и II рода. 20. Статистический критерий проверки нулевой гипотезы. Наблюдаемое значение критерия. Критическая область. Область принятия гипотезы. Критические точки. Отыскание правосторонней, левосторонней, двусторонней критических областей. Понятие мощности критерия. 21 21. Проверка гипотезы о нормальном распределении. Критерий согласия Пирсона. 22. Проверка гипотезы о числовом значении дисперсии генеральной совокупности. Проверка гипотезы о равенстве двух дисперсий нормально распределенных генеральных совокупностей. 23. Проверка гипотезы о равенстве двух средних нормально распределенных генеральных совокупностей с известными дисперсиями. 24. Проверка гипотезы о числовом значении генеральной средней нормально распределенной генеральной совокупности при известной и неизвестной генеральных дисперсиях. 25. Проверка гипотезы о равенстве двух средних нормально распределенных генеральных совокупностей при неизвестных равных дисперсиях. 26. Проверка гипотезы о числовом значении генеральной доли (о параметре биномиального закона распределения). Проверка гипотезы о равенстве двух долей нормально распределенных генеральных совокупностей. 27. Построение теоретического закона распределения по данному вариационному ряду. 28. Сравнение нескольких средних при помощи однофакторного дисперсионного анализа. 3.2.2. Варианты тестов к зачету по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика» 1. Достоверным называется событие, a) которое может произойти или не произойти в результате испытания b) наступление которого можно достоверно исключить c) которое обязательно произойдет в результате испытания d) достоверность которого надо проверить с помощью статистических критериев 2. Вероятностью наступления события А называют отношение числа исходов (шансов), благоприятствующих противоположному событию, к общему числу всех равновозможных, несовместных элементарных исходов, образующих полную группу b) числа исходов (шансов), благоприятствующих этому событию, к общему числу всех равновозможных, несовместных элементарных исходов без благоприятных этому событию шансов (исходов) c) числа исходов (шансов), благоприятствующих этому событию, к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу d) числа испытаний, в которых событие появилось, к общему числу фактически произведенных испытаний a) 3. Правило сложения вероятностей совместных событий: a) Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий b)Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного наступления c) Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме противоположных вероятностей этих событий d)Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме противоположных вероятностей этих событий без вероятности их совместного наступления 4. Формулы Байеса позволяют 22 a) переоценить условные вероятности события А после того, как становится известным результат испытания, в итоге которого появилось событие А b)переоценить вероятности гипотезы после того, как становится известным результат испытания, в итоге которого появилось событие А c) вычислить полную вероятность события А d)переоценить полную вероятность события А a) b) c) d) 5. Случайной называется величина, которая a) может изменять свое значение от испытания к испытанию в силу случайных обстоятельств, так что предугадать, какое именно значение примет случайная величина в ходе испытания заранее невозможно b) в результате опыта может принять то или иное возможное значение, известное заранее и обязательно одно c) в результате эксперимента может принять одно из двух возможных значений d) в результате эксперимента может принять только одно, заранее определенное значение из некоторого конечного или бесконечного интервала 6. Функция распределения F(x) a) есть убывающая функция своего аргумента b) есть положительная функция c) есть отрицательная функция d) есть неубывающая функция своего аргумент 7. Основными числовыми характеристиками случайных величин являются: a) математическое ожидание, мода, медиана b) математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение c) мода, медиана, стандартное отклонение, дисперсия d) математическое ожидание, среднее линейное отклонение 8. Схемой испытаний Бернулли называется последовательность независимых испытаний, в которых результатом каждого из испытаний может быть один из двух исходов (например, успех и неудача), и вероятность “успеха” (или “неудачи”) в каждом из испытаний одна и та же последовательность зависимых испытаний, в которых результатом каждого из испытаний может быть один из двух исходов (например, успех и неудача), и вероятность “успеха” (или “неудачи”) в каждом из испытаний одна и та же последовательность независимых испытаний, в которых результатом каждого из испытаний может быть один из двух исходов (например, успех и неудача), и вероятность “успеха” (или “неудачи”) меняется от опыта к опыту последовательность зависимых испытаний, в которых результатом каждого из испытаний может быть один из двух исходов (например, успех и неудача), и вероятность “успеха” (или “неудачи”) меняется от опыта к опыту 9. Распределение Пуассона - это a) распределение вероятностей времени до первого наступления события b) распределение вероятностей числа наступлений события в течение промежутка времени c) распределение вероятностей числа испытаний до первого появления события d) распределение вероятностей числа наступлений события в n зависимых испытаниях. 10. Закон больших чисел в “узком смысле” – это a) совокупность теорем, доказывающих сходимость выборочных характеристик к характеристикам генеральной совокупности при достаточно большом числе наблюдений b) один общий закон, связанный с большими по величине числами c) “Золотая теорема” Я. Бернулли d) теорема П.Л. Чебышева 23 11. Теорема Бернулли позволяет a) используя среднее арифметическое значение, получить представление о величине математического ожидания, и наоборот b) оценить вероятность отклонения частости от постоянной вероятности для любого события c) оценить только верхнюю границ у вероятности отклонения относительной частоты от постоянной вероятности для любого события d) оценить вероятность отклонения частоты появления события в n независимых испытаниях от своего математического ожидания n p 12. Что характеризуют показатели вариации? a) динамику явления b) колеблемость признака c) типичный уровень признака d) сопоставимость данных e) всех значений вариационного ряда в виде сектора соответствующей площади 13. Средняя величина вариационного ряда рассчитывается как a) разность между максимальным и минимальным значениями признака b) отношение суммы произведений значений признака на соответствующие частоты к сумме частот c) отношение суммы произведений значений признака на соответствующие частоты к сумме значений признака d) значение признака, относительно которого вариационный ряд делится на две равные части a) b) c) d) 14. Дисперсия вариационного ряда рассчитывается как сумма квадратов отклонения признака от средней арифметической средний квадрат отклонения значений признака от средней арифметической средняя арифметическая из абсолютных значений отклонений значений признака от средней средняя квадратическая величина разностей значений признака для произвольно составленной пары элементов совокупности 15. Общая дисперсия равна a) отношению средней из частных дисперсий к межгрупповой дисперсии b) отношению межгрупповой дисперсии к средней из частных дисперсий c) разности двух величин: средней из частных дисперсий и межгрупповой дисперсии d) сумме средней из частных дисперсий и межгрупповой дисперсии 16. Суть выборочного метода состоит в том, что: a) параметры генеральной совокупности оцениваются по выборочным характеристикам, рассчитанным по части единиц генеральной совокупности, отобранных в выборку по принципу случайности b) для исследования все элементы изучаемой совокупности группируются по определённым правилам c) элементы изучаемой совокупности отбираются через определённый интервал d) сначала обследуются все элементы изучаемой совокупности, а затем по определённым правилам отбирается их некоторая часть 24 17. Предельная ошибка выборки позволяет определять: a) надёжность результатов, полученных по данным выборки b) предельные значения характеристик генеральной совокупности при заданной доверительной вероятности c) вероятность расхождения выборочных и генеральных характеристик d) минимально возможные расхождения выборочных и генеральных характеристик 18. Стандартная ошибка выборки представляет собой a) среднее квадратическое отклонение возможных значений выборочной характеристики от характеристики генеральной совокупности, взвешенных по вероятностям их наступления b) сумму отклонений возможных значений выборочной средней от генеральной средней, взвешенных по вероятностям их наступления c) отклонение генеральной средней от предельной ошибки выборки d) отклонение выборочной средней от предельной ошибки выборки 19. Статистическим критерием называют a) любую непрерывную случайную величину b) случайную величину, которая служит для проверки статистической гипотезы c) случайную величину, подчиняющуюся нормальному закону распределения d) любую дискретную случайную величину 20. В чем состоит ошибка первого рода? a) в том, что нулевая гипотеза будет отличаться от конкурирующей b) в том, что будет принята неправильная нулевая гипотеза c) в том, что будет отвергнута правильная нулевая гипотеза d) в том, что выборочные характеристики будут отличаться от истинных характеристик генеральной совокупности 21. Гипотеза о равенстве двух дисперсий нормально распределенных генеральных совокупностей относится: a) к гипотезам о форме распределения b) к гипотезам о долях c) к параметрическим гипотезам d) к непараметрическим гипотезам 22. Проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности осуществляется с помощью критерия a) F - Фишера-Снедекора b) U - нормально распределенной случайной величины c) T - Стьюдента d) 2 – Пирсона 3.2.3. Варианты заданий на зачете по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика» Задача 1 Монета подбрасывается 5 раз составьте закон распределения вероятностей для числа выпадения герба. Задача 2 25 Производитель пальчиковых батареек желает оценить среднюю продолжительность их работы. Случайная выборка 12 батареек показала, что выборочная средняя равна 34,2 часа, а выборочное среднее квадратическое отклонение составило 5,9 часа. Найдите 95%ный доверительный интервал средней продолжительности работы батареек. Задача 3. Вероятность того, что клиент банка не вернет заем в период экономического роста, равна 0,04 и 0,13 - в период экономического кризиса. Предположим, что вероятность того, что начнется период экономического роста, равна 0,65. Чему равна вероятность того, что случайно выбранный клиент банка не вернет полученный кредит? Задача 4. Проверка, проведенная в отделе фасованных продуктов, показала, что средний вес 121 штуки случайно отобранных 60-граммовых пакетов с изюмом, составил 59 граммов со средним квадратическим отклонением в 5 граммов. Проверьте на уровне значимости α=0,05 гипотезу о том, является ли полученная разница в весе случайной или в действительности вес пакетиков с маком меньше 60 граммов? Оценка тестового задания % правильных ответов «зачтено» 50-100 % «не зачтено» менее 50% Результат зачета не зачтено зачтено Критерии оценивания компетенций Студент не знает значительной части программного материала (менее 50% правильно выполненных заданий от общего объема работы), допускает существенные ошибки, неуверенно, с большими затруднениями выполняет практические работы, не подтверждает освоение компетенций, предусмотренных программой дисциплины. Студент показывает знания только основного материала, но не усвоил его деталей, допускает неточности, недостаточно правильные формулировки, в целом, не препятствует усвоению последующего программного материала, нарушения логической последовательности в изложении программного материала, испытывает затруднения при выполнении практических работ, подтверждает освоение компетенций, предусмотренных программой экзамена на минимально допустимом уровне. Студент показывает твердо знает материал, грамотно и по существу излагает его, не допуская существенных неточностей в ответе на вопрос, правильно применяет теоретические положения при решении практических вопросов и задач, владеет необходимыми навыками и приемами их выполнения, допуская некоторые 26 неточности; демонстрирует хороший уровень освоения материала, информационной и коммуникативной культуры и в целом подтверждает освоение компетенций, предусмотренных программой дисциплины. Студент глубоко и прочно усвоил программный материал, исчерпывающе, последовательно, четко и логически стройно его излагает, умеет тесно увязывать теорию с практикой, свободно справляется с задачами, вопросами и другими видами применения знаний, причем не затрудняется с ответом при видоизменении заданий, использует в ответе материал монографической литературы, правильно обосновывает принятое решение, владеет разносторонними навыками и приемами выполнения практических задач, подтверждает полное освоение компетенций, предусмотренных программой дисциплины. 27
