Диаграммы сжатия. - сопротивление материалов

Лекция №3
В лекции №3 продолжается тема «Растяжение-сжатие стержней»,
начатая в лекции №2. Поэтому нумерация формул и рисунков
продолжается с индексом 2 .
2.5 Напряжения в сечениях, наклонных к оси стержня, при растяжении и
сжатии.
2.6 Определение перемещений в общем случае растяжения и сжатия.
3.1 Испытания материалов на растяжение и сжатие.
Основные понятия.
Предел пропорциональности, предел упругости, предел текучести,
временное сопротивление, предел прочности, истинное напряжение разрыву,
относительное удлинение после разрыва, относительное сужение после
разрыва, упрочнение материала (наклеп), диаграмма напряжений, диаграмма
истинных напряжений, секущий модуль.
2.5 Напряжения в сечениях, наклонных к оси стержня, при растяжении
и сжатии.
Рассмотрим стержень, растянутый равномерно распределенной
нагрузкой интенсивностью σ ( рис.2.10 а) Рассечем стержень по
наклонному сечению и отбросим правую часть ( рис.2.10 б)
Рис. 2.10 Напряжения на наклонных площадках растянутого стержня.
На наклонной площадке полные напряжения pα будут направлены вдоль
продольной оси и распределены равномерно (все волокна растянуты
одинаково (ЧЦР)). Оставшаяся левая часть стержня находится в равновесии:
   p sin(  ) .
p   cos( ) ,
   p cos( ) ,
A
,
cos( )
Нормальные и касательные напряжения в наклонном сечении:
A  p 
sin( 2 )
2
На площадках совпадающих с поперечным сечение (α=0)
    cos2 ( )
  
  0
N
A
На площадках наклоненных под углом α= 450
(2.9)
    x   max 
 
x
2

N
2A
    max 
(2.8)
N
2A
(2.10)
На продольных площадках ( вдоль оси стержня) (α=

)
2
    min  0
  0
Варианты действия напряжений показаны на рис. 2.11
Рис. 2.11 Варианты действия напряжений 
(2.11)

,  .
На двух взаимно перпендикулярных площадках касательные
напряжения равны по абсолютной величине
Рис. 2.12 Нормальные и касательные напряжения на гранях выделенных
элементов.
2.6 Определение перемещений в общем случае растяжения и сжатия.
Рассмотрим стержень, нагруженный на правом конце равномерно
распределенной нагрузкой, которая вызывает его растяжение
Рис. 2.13 Перемещения сечений а-а и b-b в растянутом стержне
Перемещение сечение а-а равно w(x). Сечение b-b отстоит от сечения a-a на
dx, следовательно, его перемещение равно: w(x)+dw. Таким образом,
абсолютное удлинение участка dx равно: dx  dw . Относительная
деформация участка длиной dx равна:

dx dw
dw N
(2.12)
N
N
/


x  x 

w
dx
dx
dx EA
EA
E EA
Продифференцируем по x обе части последнего из уравнений (2.12) и с
x 
учетом
dN
dx
 t x (см. формулу (2.2)) получим:
EA w//  t x
Интегрируя последнее из уравнений (2.12), определим перемещение
произвольного сечения
(2.13)
(2.14)
N
dx  C
0 EA
Постоянную интегрирования C найдем из условий закрепления стержня: при
x=0, w(0)=w0 . Здесь w0- перемещение левого сечения стержня.
x
w( x)  
Таким образом, перемещение произвольного сечения стержня определяется
по формуле
(2.15)
N
dx
0 EA
Величина EA называется жесткостью стержня при растяжении (сжатии).
x
w( x)  w0  
Если на некотором участке стержня
N
=const, то
EA
N
x
EA
Полное удлинение стержня определяется по формуле
w( x)  w0 
(2.16)
l  w(l )  w(0)
(2.17)
Правило знаков для продольных перемещений: положительным
перемещениям
соответствуют
перемещения,
совпадающие
с
положительным направлением оси х.
Пример 2.3 Для стержня, нагруженного как показано на рис. 2.14 а,
построить эпюру продольных перемещений w(x) (самостоятельно)
Рис.2.14 К примеру 2.3
3.1 Испытания материалов на растяжение и сжатие.
При проектировании строительных конструкций инженеру необходимо
знать значения величин, характеризующие прочностные и деформативные
свойства материала. Их можно получить путем механических испытаний,
проводимых в экспериментальных лабораториях на соответствующих
испытательных машинах.
Испытания на растяжение. Испытания проводятся в соответствии с
ГОСТ 1497-84. Используются цилиндрические или плоские образцы (рис 3.1)
Р
Рис. 3.1 Образцы для испытаний на растяжение
Длиные образцы
l0
l
 10 ,короткие образцы 0  5 .
d0
d0
Рис. 3.2 Диаграмма растяжения малоуглеродистой стали
Предел пропорциональности  пц 
Предел упругости,  уп 
Предел текучести  Т 
Fуп
A0
Fпц
A0
, (  pr 
F pr
A0
) (Ст3 195..200 МПа)
(Ст3 205..210 МПа)
Fy
FT
, ( y 
) (Ст3 220..250 МПа)
A0
A0
Предел прочности (временное сопротивление)  В 
Fmax
F
, ( u  u )
A0
A0
(Ст3 370..470 МПа)
Истинное напряжение разрыву S k 
Fk
F
, (  d  d ) (Ст3 900..1000 МПа)
Aш
Ar
Рис. 3.3 Закон разгрузки. Явление наклепа
l  l уп  l ост ,  r 
(lr  l0 )100 %
( A  Ar )100%
, r  0
l0
A0
 r ( Ст3 5..27%), r ,(Ст3 60..70%)
Рис 3.4 Условная и истинные диаграммы напряжений низкоуглеродистой
стали ( E  tg ( ) )
Рис. 3.4 Диаграмма растяжения чугуна
Диаграмма не имеет прямолинейного участка, так как упругие деформации
не пропорциональны нагрузкам даже при небольших напряжениях.
Предел прочности (временное сопротивление)  В 
Fmax
F
, ( u  u )
A0
A0
A
. В расчетах принимается некоторое среднее
A
значение секущего модуля, соответствующего диапазону рабочих
напряжений.
Секущий модуль Es 
Диаграммы сжатия.
Рис. 3.6 Диаграмма сжатия чугуна
Рис. 3.5 Диаграмма сжатия
низкоуглеродистой стали
У серого чугуна предел прочности на сжатие равен 560..900 МПа, а на
растяжение 120..190 МПа. Относительные остаточные деформации менее
0,1..1%.
Рис.3.7 Вид стального и чугунного образцов до и после испытания
Диаграмма сжатия древесины.
Рис. 3.8 Диаграмма сжатия древесины вдоль и поперек волокон и вид
образцов после испытаний