1. Показать, что оператор A, действующий на векторы пространства 2

 x1 
1. Показать, что оператор A, действующий на векторы пространства x   x2 
x 
 3
 x2  2 x3 
следующим образом: Ax   2 x1  , линеен, и найти матрицы оператора в
 2x  x 
 1 2
базисах  {i, j , k},  '{i  2 j  k , 2i, k}
Решение.
Проверим два свойства линейности оператора
1) A( x  y )  Ax  Ay
 x2  y2  2 x3  2 y3   x2  2 x3   y2  2 y3 

 
 

A( x  y )  
2 x1  2 y1
   2 x1    2 y1   Ax  Ay
 2x  2 y  x  y   2x  x   2 y  y 
1
2
2 
 1
 1 2  1 2
2) A( x)   Ax
  x2  2 x3 
 x2  2 x3 




A( x)   2 x1     2 x1    Ax
 2 x   x 
 2x  x 
1
2 

 1 2
Так как эти два свойства выполняются, то оператор А линеен.
Базис  : i(1, 0, 0), j (0,1, 0), k (0, 0,1)
Найдем, как действует оператор на каждый базисный вектор.
1  0
   
A 0    2  ,
0  2
   
0  1 
   
A 1    0  ,
 0   1
   
0  2
   
A 0    0 
1  0
   
0 1 2


Тогда матрица оператора А в базисе  имеет вид A   2 0 0 
 2 1 0 


Базис  : i '(1, 2,1), j '(2, 0, 0), k '(0, 0,1)
Матрица перехода от базиса 
 1 2 0 


к базису  ' имеет вид S   2 0 0 
 1 0 1


2 0

1 0 
2 4 
0
1
Обратная матрица S   2
4
0
Матрица оператора A в базисе  ' вычисляется по формуле:
1
 0 2 0   0 1 2   1 2 0 
1
 
 

A '  S AS   2 1 0    2 0 0    2 0 0  
4
 
 

 0 2 4   2 1 0   1 0 1 
 1
 4 0 0   1 2 0 
 4 8 0  
1
3
 
 1

  2 2 4    2 0 0    6 4 4    
4
 
 4  12 8 0   2
 4 4 0   1 0 1 

  3

1
2
0

1 1

2 0 
2. Построить в естественном базисе квадрики
А) 15x 2  16 xy  15 y 2  62 x  44 y  13  0
Решение. Приведем уравнение квадрики к каноническому виду в другом
ортонормированном базисе.
Квадратичная форма уравнения квадрики имеет вид (отбросили линейную часть)
15x 2  16 xy  15 y 2
Выписываем ее матрицу
 15 8 
A

 8 15 
Находим собственные числа матрицы. Для этого запишем характеристическое
уравнение
15  
8
0
8
15  
15  
8
8
 (15   )(15   )  64   2  289
15  
Получим
 2  289  0
Находим два корня характеристического уравнения 1  17, 2  17 .
Находим собственные векторы.
Для собственного числа 1  17 для координат собственного вектора
уравнений
получим систему
21  8 2  0,

81  32 2  0.
Решим систему методом Гаусса, запишем коэффициенты системы в матрицу и приведем
ее к ступенчатому виду.
 2 8   2 8 

 

 8 32   0 0 
Получаем общее решение системы 1  4 2
Находим, что фундаментальная система решений содержит только одно решение, и в
 4 
качестве собственного вектора можно взять     .
1
Для собственного числа 1  17 для координат собственного вектора
систему уравнений
321  8 2  0,

81  2 2  0.
получим
1
Аналогично первой системе отсюда находим собственный вектор     .
 4
Легко проверить, что скалярное произведение ( ,  )  0 , то есть собственные векторы
ортогональны.
Их длины равны соответственно   16  1  17,   1  16  17 .
Поэтому векторы нового ортонормированного базиса будут иметь координаты


i'  



4 



17 
, j'
1 



17 

1 
17 
4 

17 
Матрица перехода имеет вид


S 



4
17
1
17
1 
17 
4 

17 
Старые координаты связаны с новыми уравнением
4
1
x
x '
y ',
17
17
(*)
1
4
y
x '
y'
17
17
, то есть
Подставим эти выражения в исходное уравнение. Квадратичная форма примет вид, в
котором произведения переменных будут отсутствовать, а коэффициентами при квадратах
будут служить собственные числа 17 и -17.
4
1
1
4
x '
y ')  44(
x '
y ')  13  0,
17
17
17
17
204
238
17 x '2  17 y '2 
x '
y ' 13  0
17
17
17 x '2  17 y '2  62(
Выделим полные квадраты.
12
36
14
49
17( x '2 
x ' )  36  17( y '2 
y ' )  49  13  0,
17
17
17
17
6 2
7 2
17( x '
)  17( y '
) 0
17
17
Разделим на 17
6 2
7 2
( x '
)  ( y '
) 0
17
17
Выполняем параллельный перенос осей координат
6
7
x  x '
, y  y '
17
17
Новое начало системы координат
имеет координаты
6
7
x'  
, y'  
17
17
Найдем координаты нового начала
в исходной системе координат, подставим
6
7
значения x '  
в формулы перехода (*).
, y'  
17
17
4

17
1
y

17
x
6

17
6

17
1

17
4

17
7
1
17
7
 2
17
x  1, y  2
В новой системе координат уравнение принимает канонический вид
2
2
x y 0
Это уравнение является каноническим уравнением двух пересекающихся прямых. Точка
пересечения прямых находится в точке
, Изображение прямых приведено на рисунке.
Б)
Решение. Приведем уравнение квадрики к каноническому виду в другом
ортонормированном базисе.
Квадратичная форма уравнения квадрики имеет вид (отбросили линейную часть)
Выписываем ее матрицу
Находим собственные числа матрицы. Для этого запишем характеристическое
уравнение
1 
1
3
1
5
1  (1   )(5   )(1   )  3  3  9(5   )  (1   )  (1   ) 
3
1
1 
  3  7 2  36
Получим
Подбором находим один корень
. Преобразуем уравнение, выделяя множитель
или
откуда
Находим два других корня характеристического уравнения
и
.
Находим собственные векторы.
Для собственного числа
уравнений
для координат собственного вектора
получим систему
Решим систему методом Гаусса, запишем коэффициенты системы в матрицу и приведем
ее к ступенчатому виду.
 2 1 3   2 1 3   2 1 3 

 
 

 1 2 1   0 5 5  0 5 5
 3 1 2   0 5 5   0 0 0 

 
 

1   3 ,
Получаем общее решение системы 
 2   3
Находим, что фундаментальная система решений содержит только одно решение, и в
качестве собственного вектора можно взять
Для собственного числа
уравнений
.
для координат собственного вектора
Аналогично первой системе отсюда находим собственный вектор
получим систему
.
Для собственного числа
систему уравнений
для координат собственного вектора
Отсюда находим собственный вектор
получим
.
Легко проверить, что скалярные произведения
собственные векторы попарно ортогональны.
, то есть
Их длины равны соответственно
  1  1  1  3,   1  4  1  6,   1  0  1  2 .
Поэтому векторы нового ортонормированного базиса будут иметь координаты
Матрица перехода имеет вид
Старые координаты связаны с новыми уравнением
, то есть
(*)
Подставим эти выражения в исходное уравнение. Квадратичная форма примет вид, в
котором произведения переменных будут отсутствовать, а коэффициентами при квадратах
будут служить собственные числа
Приводим подобные члены
Выделим полные квадраты
или
Выполняем параллельный перенос осей координат
Новое начало системы координат
Найдем координаты нового начала
имеет координаты
в исходной системе координат, подставим
значения
1 1
1 1
1 1
1






3
3 3
6 6
2 2
1 1
2 1
2
y




3
3 3
6 6
1 1
1 1
1 1
2
z






3 3
6 6
2 2 3
x
На рисунке представлены исходная и новая
системы координат
в формулы перехода (*).
В новой системе координат
уравнение принимает канонический вид
Это уравнение является каноническим уравнением однополостного гиперболоида. Его
центр находится в точке
, две вещественные оси параллельны векторам
вещественные полуоси равны
полуось равна
,
. Мнимая ось параллельна вектору
. Изображение гиперболоида приведено на рисунке.
,
,
, мнимая