Document 1019360

Оглавление:
Введение, актуальность, проблемно –ориентировочный анализ стр. 2
Обратные функции ........................................................................ …стр.2
I.Функция у = arcsinx ..................................................................... …стр.4
II.Функция у = arccosx ................................................................... …стр.9
III.Функция у = arctgx ................................................................... …стр. 13
IV.Функция у = arcctgx ................................................................. …стр. 14
V.Тригонометрические тождества .............................................. …стр. 19
Задачи на вычисление ................................................................... ..стр.22
Уравнения с обратными функциями ........................................... ..стр.32
Неравенства с обратными функциями...........................................стр.37
Заключение ................................................................................... ..стр.41
Список литературы..........................................................................стр.41
2
Введение.
Наверное, сколько бы ни существовало человечество, и какая бы жизнь ему ни
была уготована в дальнейшем, оно всегда интересовалось тремя вопросами: ко
го учить, чему учить и главное - как учить. На наш взгляд из триады этих вопро
сов последний наиболее интересен. На данный момент существует большое ко
личество различных методик, теорий обучения. Среди них можно выделить наи
более известные, причем, не только в учительских кругах, например, теория раз
вивающего обучения, теория проблемного обучения.
Актуальность. Теоретический материал, связанный с изучением свойств функ
ций, имеют достаточно большой понятийный аппарат, для освоения которого
учащимся необходимо овладеть приемами умственных операций. Важной сто
роной изучения данного раздела математики является умении е учащихся ис
пользовать графы и таблицы.
Проблемно – ориентировочный анализ. Обратным тригонометрическим фун
кциям в стандартных школьных учебниках, к сожалению, должного внимания
не уделяется. Изучают определение арксинуса, арккосинуса, арктангенса и ко
тангенса только лишь для того, что бы затем перейти к решению тригонометри
ческих уравнений и неравенств. Однако немаловажную роль играют и понятия
аркфункций и их свойства. Материал не изложен в учебниках, но содержится в
программе ЕГЭ. Поэтому для успешной сдачи экзаменов необходимо расши
рить количество часов и круг вопросов, связанных с понятием обратимости и
обратных тригонометрических функций — одному их наиболее тонких и труд
ных понятий школьной математики.
Кроме этого, изучая вопросы тригонометрии, мы преследует цель — сформиро
вать основы графической культуры, способствует активизации умений и навы
ков в построении графических образов, связанных с тригонометрическими фун
кциями. Практика показывает, что умение решать уравнения, неравенства и их
системы, с обратными тригонометрическими функциями является необходимым
условием успешной сдачи вступительных экзаменов. Поэтому эти вопросы тре
буют дополнительного освещения в этом спецкурсе. Кроме того, иногда необхо
димо применить некоторые оригинальные приемы решения задач, которые так
же рассматриваются в данном спецкурсе.
Во многих задачах встречается необходимость находить не только значения
тригонометрических функций по данному углу, но и обратно, угол или дугу по
заданному значению какой-нибудь тригонометрической функции.
Задачи с обратными тригонометрическими функциями содержатся в заданиях
ЕГЭ, в том числе отбор корней, принадлежащих данному промежутку, если
значения обратных тригонометрических функций не вычисляются точными
значениями. Таких заданий в школьных учебниках недостаточно для формиро
вания универсальных учебных действий в данной области.
Таким образом, целью данной методической разработки является рассмотрение
обратных тригонометрических функций и их свойств, составить достаточное
количество
задач,
чтобы
старшеклассники
могли
отработать
свойства
тригонометрических функций и свободно применять теоретические знания на
практике.
Обратные функции
Пусть задана функция у = f(x), то есть пусть каждому значению переменной х
соответствует определенное значение функции у из ее области определения.
Если принять зависимую переменную у за аргумент, а ее независимую
переменную х за функцию, то получится функция х = g(y), которую называют
обратной по отношению к функции у = f(x). Если обратную функцию (х)
обозначить у, а ее аргумент (у) обозначить х, то получим у = g(x). При таком
обозначении область определения функции у = f(x) есть область изменения
обратной ей функции у = g(x) и наоборот.
Встает вопрос: а всякая ли функция имеет обратную? Здесь необходима
теорема: всякая строго монотонная и непрерывная на [а; Ь] функция имеет
обратную функцию, которая строго монотонна и непрерывна.
Графики прямой и обратной функций симметричны относительно прямой у - х.
Функции, обратные для функций у = sinx, у = cosx, у = tgx, у = ctgx, называются
обратными тригонометрическими функциями.
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
Заключение.
Данная курсовая работа содержит не только теоретический материал, но и
практическое применение понятия обратных функций. В работе рассмотрены
основные обратные тригонометрические функции, их свойства и графики,
основные соотношения для обратных тригонометрических функций, задачи:
вычисление значений обратных тригонометрических функций, решение
уравнений и систем уравнений, содержащих обратные тригонометрические
функции. Данные задачи помогут учащимся сознательно решать
тригонометрические уравнения и уверенно производить отбор корней.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Список литературы.
Яремчук Ф.П., Рудченко П.А. " Алгебра и элементарные функции ", Наукова
Думка, Киев, 1971.
Бородуля И.Т. " Тригонометрические уравнения и неравенства ",
Просвещение, Москва, 1989.
Шарыгин И.Ф., Голубев В.И. " Факультативный курс по математике ",
Просвещение, Москва, 1991.
Гурский И.П. " Функции и построение графиков ", Просвещение, Москва,
1968.
Ткачук В.В. " Математика абитуриенту ", ТЕИС, Москва, 1995.
Соловьева М.С. " Роль и значение графического метода в школьном курсе
математики ", Тверь, 1992.
Журнал " Первое сентября. Математика"; №37, 38; 2000.
41
42
43