09-14-04

Тема 14. Элементы геометрии Лобачевского
09-14-03. Окружность и эквидистанта в плоскости
Лобачевского
Теория
4.1.** В плоскости Лобачевского окружность определяется точно так же, как и в
евклидовой геометрии. Окружность — это множество всех точек неевклидовой плоскости,
удаленных от фиксированной точки этой плоскости на одно и то же расстояние.
В евклидовой плоскости окружность можно получить следующим образом. Выберем
центр O и некоторую точку A этой окружности. Затем проведем через точку O
произвольную прямую a и отобразим точку A в симметричную ей относительно прямой
a точку A1 . При симметричном отражении точки A относительно всех прямых,
проходящих через O , множество точек A1 дает всю окружность с центром O и радиусом
OA .
В плоскости Лобачевского окружность можно получить таким же способом.
Действительно, рассмотрим центр O и точку A неевклидовой окружности. Проведем
через точку O произвольную неевклидову прямую m , например, полуокружность, как на
рисунке 1. Тогда при симметрии относительно евклидовой окружности m точка O
переходит в себя, точка A переходит в точку A1 , дуга OA окружности n переходит в дугу
OA1 окружности k . Из определения равенства неевклидовых фигур следует, что
неевклидовы отрезки OA и OA1 равны. Это значит, что точка A1 лежит на неевклидовой
окружности с центром O и радиусом, равным неевклидову отрезку OA . Можно доказать,
что указанным построением получается любая точка этой неевклидовой окружности.
4.2.** Докажем, что на модели Пуанкаре неевклидова окружность изображается
евклидовой окружностью, не пересекающей прямую p .
Пусть точка O — центр неевклидовой окружности, и A — точка этой окружности,
лежащая на неевклидовом луче OM , как изображено на рисунке 3.
Проведем евклидову окружность m с центром M и радиусом MO и построим точку
B , симметричную точке A относительно окружности m (рисунок 4).
Построим евклидову окружность s с диаметром AB (рисунок 5). Так как при
симметрии относительно окружности m точка A переходит в точку B и, наоборот, точка
B переходит в точку A , то при симметрии относительно окружности m окружность S
переходит в себя. Следовательно, окружность s ортогональная окружности m . Но тогда
при симметрии относительно окружности s окружность m переходит в себя. Поэтому
точка O при симметрии относительно окружности s переходит в точку P ,
симметричную точке O относительно прямой p .
Проведем теперь через точку O произвольную окружность n с центром на прямой p
(рисунок 6). Тогда окружность n пройдет и через точку P . Поэтому при симметрии
относительно окружности s окружность n перейдет в окружность, проходящую через
точки M , O , K , P , то есть сама в себя. Следовательно, любая такая окружность n
ортогональна окружности s .
Пусть F — центр окружности n (рисунок 7). Рассмотрим симметрию относительно
окружности n .
Так как окружность s ортогональна окружности n , то при симметрии относительно
окружности n точка A окружности s перейдет в некоторую точку A1 этой же
окружности. Поэтому точку A1 можно получить как вторую точку пересечения луча FA с
окружностью s . Так как при симметрии относительно окружности n прямая OP
переходит в окружность с диаметром FL (рисунок 7), то при этой симметрии неевклидов
отрезок OA переходит в равный ему неевклидов отрезок OA1 . Следовательно, точка A1
окружности s является точкой неевклидовой окружности с центром O и радиусом OA .
Можно показать, что при подходящем выборе окружности n после симметричного
отражения точки A относительно n получится любая точка окружности s .
4.3.** Возьмем неевклидову окружность s с неевклидовым центром O . Два ее
взаимно перпендикулярных неевклидовых диаметра AB и CD (рисунок 8) определяют
неевклидов квадрат ADBC — такой неевклидов четырехугольник, у которого все
стороны равны и все углы равны.
4.4.** Рассмотрим на модели Пуанкаре две непересекающиеся неевклидовы прямые
m и n . Точку A (рисунок 9) симметрично отразим относительно евклидовой окружности
m в точку B и относительно евклидовой окружности n в точку C .
Соединим точки A , B , C неевклидовыми отрезками и получим неевклидов
треугольник ABC . Так как неевклидова прямая m является серединным
перпендикуляром к стороне AB , а неевклидова прямая n является серединным
перпендикуляром к стороне AC , то серединные перпендикуляры к сторонам
построенного треугольника не имеют общей точки. Поэтому около построенного
треугольника ABC нельзя описать неевклидову окружность.
4.5.** Эквидистантой называется геометрическое место точек плоскости,
расположенных на одном и том же расстоянии от данной на этой плоскости прямой по
одну сторону от нее.
В эвклидовой плоскости эквидистанта есть прямая, параллельная данной прямой. В
плоскости Лобачевского эквидистанта не является неевклидовой прямой; она является
одной из простейших кривых.
Изобразим эквидистанту на модели Пуанкаре для неевклидовой прямой, имеющей
вид евклидова луча m , перпендикулярного прямой p .
Пусть a — евклидов луч с вершиной M , наклонный к p . Возьмем на нем две
произвольные точки A и B (рисунок 10). Дуги окружностей AA1 , BB1 с центром в точке
M и радиусами MA и MB изображают неевклидовы отрезки, перпендикулярные
неевклидовой прямой m . Проведем окружность с центром M и радиусом
MC  MA  MB . Точки A и B симметричны относительно этой окружности. Поэтому
дуга AA1 симметрична дуге BB1 . А это означает, что неевклидовы отрезки AA1 и BB1
равны. Таким образом, наклонный луч a изображает эквидистанту к неевклидовой прямой
m . Луч a , не является прямой на модели Пуанкаре, и поэтому эквидистанта на плоскости
Лобачевского — некоторая кривая.
Контрольные вопросы
1. Как изображается неевклидова окружность на модели Пуанкаре?
2. Как изображается эквидистанта на модели Пуанкаре?
Задачи и упражнения
1.** Через две точки, заданные внутри неевклидовой окружности на модели Пуанкаре
проведите неевклидову хорду.
2.** Постройте серединный перпендикуляр к неевклидовому отрезку.
3.** Дана неевклидова окружность на модели Пуанкаре. С помощью циркуля и
линейки постройте ее евклидов и неевклидов центры.
4.** Через данную точку проведите неевклидову касательную к неевклидовой
окружности на модели Пуанкаре. Рассмотрите два случая, когда точка лежит на
окружности и когда точка расположена вне окружности.
5. ** В заданную неевклидову окружность впишите равносторонний треугольник
Ответы и указания
Задача 1  . Через две точки, заданные внутри неевклидовой окружности на модели
Пуанкаре, проведите неевклидову хорду.
Указание. Через данные точки проведите полуокружность a с центром на прямой p .
Пусть она пересечет данную неевклидову окружность в точках A и B . Дуга AB
полуокружности a и будет изображать искомую неевклидову хорду.
Задача 2  . Постройте серединный перпендикуляр к неевклидову отрезку.
Указание. Если неевклидов отрезок AB лежит на евклидовом перпендикуляре к прямой
p в точке O , то серединный перпендикуляр к AB изобразится полуокружностью радиуса
OA  OB с центром O .
Пусть неевклидов отрезок AB лежит на полуокружности с центром на прямой p .
Проведите евклидову секущую AB до пересечения с прямой p в некоторой точке O .
Затем радиусом, равным длине касательной из точки O к полуокружности AB опишите
полуокружность. Она и будет изображать серединный неевклидов перпендикуляр к
неевклидову отрезку AB .
Задача 3  . Дана неевклидова окружность на модели Пуанкаре. С помощью циркуля и
линейки постройте ее евклидов и неевклидов центры.
Указание. Неевклидова окружность изображается на модели Пуанкаре евклидовой
окружностью. Ее евклидов центр O находится известным образом.
Для построения неевклидова центра надо из точки O опустить перпендикуляр OP на
прямую p и из его основания P провести евклидову касательную PT к данной
окружности. Затем радиусом PT провести полуокружность с центром P . Она пересечет
евклидов луч PO в неевклидовом центре N данной неевклидовой окружности (см. рис.
4).
Задача 4  . Через данную точку проведите неевклидову касательную к неевклидовой
окружности на модели Пуанкаре. Рассмотрите два случая, когда точка лежит на
окружности и когда точка расположена вне окружности.
Указание. Если данная точка A лежит на окружности с евклидовым центром O , то
следует провести евклидову прямую OA до пересечения с прямой p . Пусть F — точка
пересечения. Тогда проводим полуокружность с центром F и радиусом FA . Она и будет
неевклидовой касательной к данной неевклидовой окружности в точке A . Если же
OA p , то неевклидовой касательной будет евклидов перпендикуляр из точки A на
прямую p . Пусть теперь точка A лежит вне окружности. В этом случае мы имеем
разновидность известной задачи Аполлония о построении евклидовой окружности,
проходящей через точку A , касающейся заданной окружности и ортогональной другой
заданной окружности, роль которой играет прямая p .
Задача 5  . В заданную неевклидову окружность впишите равносторонний треугольник.
Указание. Из неевклидова центра N постройте три неевклидовых луча, попарно
образующие углы по 120 . Пусть они пересекут неевклидову окружность в точках A , B и
C . Тогда неевклидовы треугольники NAB , NBC и NAC будут равны, так неевклидовы
отрезки NA , NB и NC равны, как неевклидовы радиусы окружности, а углы при вершине
N по 120 . Следовательно, все стороны неевклидова треугольника ABC тоже равны.