Задачи (будут на экзамене) Предприниматель получил на полтора года

1
Задачи (будут на экзамене)
1.
Предприниматель получил на полтора года кредит в размере 20 тыс. руб. с условием
возврата 25 тыс. руб. Определите процентную и учетную ставки за полтора года.
Решение:
Процентная ставка (норма прибыли, доходность, рост за время t) – отношение результативности сделки к исходной
сумме.
𝐹𝑣−𝑃𝑣
Базовая формула 𝑟𝑡 =
, где
𝑃𝑣
PV – исходная сумма (20 тыс. рублей);
FV – возвращаемая сумма (25 тыс. рублей).
1.
25−20
5
Получаем 𝑟𝑡 =
= = 0,25 = 𝟐𝟓 %
20
20
2. Учетная ставка (дисконтная ставка, дисконт за время t) – отношение результативности сделки к возвращаемой
сумме.
𝐹𝑣−𝑃𝑣
Базовая формула 𝑑𝑡 =
, где
𝐹𝑣
PV – исходная сумма (20 тыс. рублей);
FV – возвращаемая сумма (25 тыс. рублей).
25−20
5
Получаем 𝑑𝑡 =
= = 0,2 = 𝟐𝟎 %
25
25
Проверка.
При rt > 0, 0 < dt < 1, rt > dt справедливы соотношения:
𝑑
0,2
0,2
𝑟𝑡 = 𝑡 =
= = 0,25 = 𝟐𝟓 %
𝑑𝑡 =
1−𝑑𝑡
𝑟𝑡
1+𝑟𝑡
=
1−0,2
0,25
1+0,25
0,8
0,25
=
1,25
= 0,20 = 𝟐𝟎 %
2.
Определите доходность в виде процентной ставки за предоставление потребительского
кредита на следующих условиях: 45% стоимости покупок оплачивается сразу, а через год вносится
оставшаяся часть стоимости покупок и 10% от стоимости покупок в качестве платы за кредит.
Решение:
Процентная ставка (норма прибыли, доходность, рост за время t) – отношение результативности сделки к исходной
сумме.
𝐹𝑣−𝑃𝑣
Базовая формула 𝑟𝑡 =
, где
𝑃𝑣
PV – исходная сумма (0,55x = x -0,45x);
FV – возвращаемая сумма (0,65x = 0,55x +0,10x).
Получаем 𝑑𝑡 =
0,65𝑥−0,55𝑥
0,55𝑥
=
10
55
= 0,1818 = 𝟏𝟖, 𝟏𝟖 %
3.
Предпринимателю 14 февраля предоставлена ссуда в размере 20 тыс. руб. с погашением 14
июля того же года под процентную ставку 30% годовых. Рассчитайте различными способами сумму к
погашению, если начисляются простые проценты и год невисокосный.
Решение:
Предпринимателю предоставлена краткосрочная ссуда.
𝑡
Базовая формула 𝑅𝑛 = 𝑃 × (1 + × 𝑟) , где
𝑇
Rn – возвращаемая сумма, сумма погашения (искомое);
P – исходная сумма, размер ссуды (20 тыс. рублей);
t – срок предоставления ссуды, в днях (определяется 3-мя способами, причем день выдачи и день погашения, считаются за
один день);
T – количество дней в году (определяется двумя способами);
r – годовая процентная ставка (30 %).
1) Английская практика. Используется точное количество дней в году (T = 365 дней), с точным числом дней ссуды (t =
195 – 45 = 150 дней – по таблице)
Получаем 𝑅𝑛 = 20 × (1 +
2)
150
365
× 0,3) = 𝟐𝟐, 𝟒𝟔𝟔 тыс. рублей
Французская практика. Используется коммерческий год (T = 360 дней), с точным числом дней ссуды (t = 195 – 45 = 150
дней – по таблице)
150
Получаем 𝑅𝑛 = 20 × (1 +
× 0,3) = 𝟐𝟐, 𝟓𝟎𝟎 тыс. рублей
360
3) Немецкая практика. Используется коммерческий год (T = 360 дней), с приближенным числом дней ссуды – месяц
считается равным 30 дням (t = 30 дней*5 месяцев = 150 дней)
Получаем 𝑅𝑛 = 20 × (1 +
150
360
× 0,3) = 𝟐𝟐, 𝟓𝟎𝟎 тыс. рублей
4.
На какой срок необходимо поместить денежную сумму под простую процентную ставку
28% годовых, чтобы она увеличилась в 1,5 раза?
Решение:
2
Используем расчет наращения простыми процентами.
Базовая формула 𝑅𝑛 = 𝑃 × (1 + 𝑛 × 𝑟), где
Rn – возвращаемая сумма (1);
P – исходная сумма (1,5);
n – число лет начисления процентов (искомое);
r – годовая процентная ставка (28 %).
Преобразуем исходную формулу для вычисления неизвестного (n).
Получаем 𝑛 =
𝑅𝑛
−1
𝑃
𝑟
=
1,5
−1
1
0,28
=
0,5
0,28
=1,786 года
5.
В финансовом договоре клиента с банком предусмотрено погашение долга в размере 8,9
тыс. руб. через 120 дней при взятом кредите в 8 тыс. руб. Определить доходность такой сделки для банка в
виде годовой процентной ставки. При начислении банк использует простые обыкновенные проценты.
Решение:
Используем расчет наращения при краткосрочной ссуде.
𝑡
Базовая формула 𝑅𝑛 = 𝑃 × (1 + × 𝑟) , где
𝑇
Rn – возвращаемая сумма, сумма погашения (8,9 тыс. рублей);
P – исходная сумма, размер ссуды (8 тыс. рублей);
t – срок предоставления ссуды, в днях (120 дней);
T – количество дней в году (поскольку год не определен используем длительность коммерческого года - 360 дней);
r – годовая процентная ставка (искомое).
Преобразуем исходную формулу для вычисления неизвестного (r).
𝑅
𝑇
8,9
360
Получаем 𝑟 = ( 𝑛 − 1) ∗ = ( − 1) ∗
= 0,3375 = 33,75%
𝑃
𝑡
8
120
6.
Из какого капитала можно получить 24 тыс. руб. через два года наращением по простым
процентам по процентной ставке 25%? Чему равен дисконт?
Решение:
Используем расчет наращения простыми процентами.
Базовая формула 𝑅𝑛 = 𝑃 × (1 + 𝑛 × 𝑟), где
Rn – возвращаемая сумма (24 тыс. рублей);
P – исходная сумма (искомое);
n – число лет начисления процентов (2 года);
r – годовая процентная ставка (25 %).
Преобразуем исходную формулу для вычисления неизвестного (P).
𝑅
24
24
Получаем 𝑃 = 𝑛 =
= = 16 тыс. рублей
1+𝑛∗𝑟
1+2∗.25
1,5
Дисконт, это разность между возвращаемой и исходной суммами.
Используем формулу 𝐷 = 𝑅𝑛 − 𝑃 = 24 − 16 = 𝟖 тыс. рублей
Примечание: Обращая внимание на решение задачи 1 (выполнено по лекциям) дисконтом также может называться
учетная ставка. Тогда расчет будет следующим:
𝐹𝑣−𝑃𝑣
24−16
𝑑𝑡 =
=
=0,3333=33,33%
𝐹𝑣
24
7.
В банк 6 мая предъявлен для учета вексель на сумму 14 тыс. руб. со сроком погашения 10
июля того же года. Банк учитывает вексель по учетной ставке 40% годовых, используя способ 365/360.
Определите сумму, которую получит векселедержатель от банка и комиссионные, удерживаемые банком в
свою пользу за предоставленную услугу. За какое время до срока платежа операция учета векселя по
учетной ставке 40% годовых имеет смысл?
Решение:
Способ 365/360 – французская практика – точное количество дней ссуды, при использовании длительности коммерческого
года (360 дней). Год не високосный.
Используем расчет для коммерческого (банковского)дисконтирования.
𝑡
Базовая формула 𝑃𝑉 = 𝐹𝑉 × (1 − × 𝑑) , где
𝑇
FV – возвращаемая сумма, сумма к погашению, номинальная стоимость (14 тыс. рублей);
PV – сумма покупки векселя банком (искомое);
t – количество дней до момента предъявления векселя (при точном расчете дней 191 – 126 =65 дней, с использованием
таблицы порядковых номеров дней в году);
T – количество дней в году (360 дней);
d – учетная ставка (30 %).
𝑡
65
Получаем сумму выплаты векселедержателю 𝑃𝑉 = 𝐹𝑉 × (1 − × 𝑑) = 14 × (1 −
× 0,4) = 𝟏𝟐, 𝟗𝟖𝟗 тыс. рублей
𝑇
360
Комиссионные удерживаемые банком (дисконт) составят разницу между суммой к погашению и суммой покупки векселя
банком, а именно:
D = FV – PV = 14 – 12,898 = 1,011 тыс. рублей
Операция учета имеет смысл пока сумма покупки векселя банком P больше нуля. Определим, в какой момент P станет
равным нулю. Анализируя формулу банковского дисконтирования делаем вывод, что этот момент настанет, когда
𝑡
𝑡
множитель дисконтирования (1 − × 𝑑) станет равным нулю или при каком значении t будет верно равенство 1 = × 𝑑.
𝑇
𝑇
360
𝑑
0,4
Получаем путем преобразования искомое 𝑡 = =
𝑇
= 900 дней = 𝟐, 𝟓 года
3
8.
Банк 7 июня учел три векселя со сроками погашения в этом же году соответственно 8
августа, 30 августа и 21 сентября. Применяя учетную ставку 25% годовых, банк удержал комиссионные в
размере 2750 руб. Определите номинальную стоимость первых двух векселей, если номинальная стоимость
второго векселя в два раза больше первого и третий вексель предъявлен на сумму 20 тыс. руб.
Решение:
Поскольку не определена длительность года, считаем ее равной 360 дням (коммерческий год).
Используем расчет для коммерческого (банковского)дисконтирования.
𝑡
Базовая формула 𝑃𝑉 = 𝐹𝑉 × (1 − × 𝑑) , где
𝑇
FV – возвращаемая сумма, сумма к погашению, номинальная стоимость (FV2 = 2*FV1 (найти оба значения), FV3 = 20 тыс.
рублей);
PV – сумма покупки векселя банком (неизвестно);
Комиссионные банка составили D = D1 + D2+ D3 = 2750 рублей;
t – количество дней до момента предъявления векселя (при точном расчете дней: первый вексель 220 – 158 = 62 дня, второй
вексель 242 – 158 = 84 дня, третий вексель264 – 158 = 106 дней, с использованием таблицы порядковых номеров дней в
году);
T – количество дней в году (360 дней);
d – учетная ставка (25 %).
𝑡
106
Найдем D3 = FV3 - 𝑃𝑉3 = 𝐹𝑉3 − 𝐹𝑉3 × (1 − 3 × 𝑑) = 20000 − 20000 × (1 −
× 0,25) = 1472,22 рубля.
𝑇
360
Получаем D1+2 = D1+D2 = D – D3 = 2750 – 1472,22 = 1277,78 рубля.
Учитывая соотношение номинальной стоимости первого и второго векселя получаем тождество:
𝑡
𝑡
D1+2 = D1 + D2 = FV1 - 𝑃𝑉1 + 𝐹𝑉2 − 𝑃𝑉2 = 𝐹𝑉1 − 𝐹𝑉1 × (1 − 1 × 𝑑) + 2 × 𝐹𝑉1 − 2 × 𝐹𝑉1 × (1 − 2 × 𝑑)
𝑇
𝑇
Выполнив математические преобразования получаем:
𝐷1+2
1277,78
𝐹𝑉1 =
0,25 = 8000 рублей
𝑑 =
(62+2×84)∗
(𝑡1 +2×𝑡2 )∗
𝑇
360
𝐹𝑉2 = 𝐹𝑉1 × 2 = 8000 × 2 =16000 рублей
9.
В банк 15 февраля предъявлен для учета вексель на сумму 40 тыс. руб. со сроком
погашения 30 июня того же года. Банк учитывает вексель по простой процентной ставке 30% годовых.
Определите сумму, полученную векселедержателем и величину дисконта банка, если при учете
использовался способ 365/365 и год високосный. Каковы будут определяемые величины при учете по
простой учетной ставке 30% и использовании способа 365/360?
Решение:
1) Английская практика.
𝑡
Базовая формула 𝐹𝑉 = 𝑃𝑉 × (1 + × 𝑟) , где
𝑇
FV – возвращаемая сумма, сумма к погашению, номинальная стоимость (40 тыс. рублей);
PV – сумма покупки векселя банком (искомое);
t – количество дней до момента предъявления векселя (при точном расчете дней 182 – 46 =136 дней, с использованием
таблицы порядковых номеров дней в високосном году);
T – количество дней в году (вариант 1 - 366);
r – процентная ставка (30 %).
Используем формулу расчета наращения простыми процентами
𝑡
𝐹𝑉 = 𝑃𝑉 × (1 + × 𝑟)
𝑇
Преобразовываем для вычисления даты покупки
𝐹𝑉
40
𝑃𝑉 =
=
= 𝟑𝟓, 𝟗𝟖𝟖 тыс. рублей
𝑡
136
(1+ ×𝑟)
𝑇
(1+
×0,3)
366
Комиссионные удерживаемые банком (дисконт) составят разницу между суммой к погашению и суммой покупки векселя
банком, а именно:
D = FV – PV = 40 – 35,988 = 4,002 тыс. рублей
2) Французская практика
𝑡
Базовая формула 𝑃𝑉 = 𝐹𝑉 × (1 − × 𝑑) , где
𝑇
FV – возвращаемая сумма, сумма к погашению, номинальная стоимость (40 тыс. рублей);
PV – сумма покупки векселя банком (искомое);
t – количество дней до момента предъявления векселя (при точном расчете дней 182 – 46 =136 дней, с использованием
таблицы порядковых номеров дней в високосном году);
T – количество дней в году (вариант 2 - 360 дней);
d – учетная ставка (30 %).
𝑡
136
Получаем сумму выплаты векселедержателю 𝑃𝑉 = 𝐹𝑉 × (1 − × 𝑑) = 40 × (1 −
× 0,3) = 𝟑𝟓, 𝟒𝟔𝟕 тыс. рублей
𝑇
360
Комиссионные удерживаемые банком (дисконт) составят разницу между суммой к погашению и суммой покупки векселя
банком, а именно:
D = FV – PV = 40 – 35,467 = 4,533 тыс. рублей
10.
За вексель, учтенный за 5 лет по учетной ставке 14% годовых, заплачено 4 тыс. руб.
Определите номинальную величину векселя.
Решение:
Базовая формула 𝑃𝑉 = 𝐹𝑉 × (1 − 𝑛 × 𝑑) , где
FV – возвращаемая сумма, сумма к погашению, номинальная стоимость (искомое);
PV – сумма покупки векселя банком (4 тыс. рублей);
n – количество лет до момента предъявления векселя;
d – учетная ставка (14 %).
Преобразуем формулу 𝑃𝑉 = 𝐹𝑉 × (1 − 𝑛 × 𝑑)для поиска искомого.
4
𝑃𝑉
Получаем 𝐹𝑉 =
1−𝑛×𝑑
=
4
1−5×0.14
= 13,333 тыс. рублей
11.
Найдите учетную ставку, эквивалентную простой процентной ставке 30% годовых при
наращении капитала: а) за год; б) за 150 дней. Временные базы ставок одинаковы.
Решение:
Процентная ставка (норма прибыли, доходность, рост за время t) – отношение результативности сделки к исходной сумме
rt = 30%.
Учетная ставка (дисконтная ставка, дисконт за время t) – отношение результативности сделки к возвращаемой сумме.
а) При rt > 0, 0 < dt < 1, rt > dt справедливы соотношения:
𝑟
0,3
0,3
𝑑𝑡 = 𝑡 =
= = 0,2308 = 𝟐𝟑, 𝟎𝟖 %
1+𝑟𝑡
1+0,3
1,3
б) Анализируем методы расчета с использованием учетной и процентной ставок для простых процентов (краткосрочные)
𝑡
Базовая формула 𝑃𝑉 = 𝐹𝑉 × (1 − × 𝑑),
𝑇
𝑡
Базовая формула 𝐹𝑉 = 𝑃𝑉 × (1 + × 𝑟) , где
𝑇
FV – возвращаемая сумма;
PV – сумма покупки векселя банком (примем равной 1);
t – количество дней (150 дней);
T – количество дней в году (360, 365, 366 дней);
d – учетная ставка (искомое);
r –процентная ставка (30%).
Получаем следующее тождество:
𝑡
𝑡
𝑃𝑉 = 𝑃𝑉 × (1 + × 𝑟) × (1 − × 𝑑)
𝑇
𝑇
Поскольку PV = 1 получаем:
𝑡
𝑡
1 = (1 + × 𝑟) × (1 − × 𝑑)
𝑇
𝑇
Откуда получаем
𝑇
1
𝑡
1+𝑇×𝑟
𝑑 = × (1 −
360
𝑡
𝑇
1
𝑡
1+𝑇×𝑟
𝑑 = × (1 −
1
150
1+360×0,3
365
𝑡
𝑇
1
𝑡
1+𝑇×𝑟
𝑑 = × (1 −
) = 150 × (1 −
) = 150 × (1 −
1
150
1+365×0,3
366
𝑡
) = 150 × (1 −
1
150
1+366×0,3
) =0,2667 = 26.67%
) =0,2671 = 26,71%
) =0,2672 = 26,72%
12.
Предприниматель получил в банке ссуду в размере 50 тыс. руб. на 39 месяцев под
процентную ставку 27% годовых на условиях ежегодного начисления процентов. Какую сумму
предприниматель должен будет вернуть банку по истечении срока при использовании схемы сложных
процентов и при использовании смешанной схемы?
Решение:
а) Наращения сложными процентами можно рассчитать, используя базовую формулу:
𝐹𝑛 = 𝑃 × (1 + 𝑟)𝑤+𝑓 , где
P – размер ссуды (50 тыс. рублей);
r - годовая ставка (27%);
w – число целых лет (3 года);
f – дробная часть года (0,25 года).
Получаем
𝐹𝑛 = 𝑃 × (1 + 𝑟)𝑤+𝑓 = 50 × (1 + 0,27)3+0,25 = 108,726 тыс. рублей.
б) Наращения по смешанной схеме можно рассчитать, используя базовую формулу:
𝐹𝑛 = 𝑃 × (1 + 𝑟)𝑤 × (1 + 𝑟 × 𝑓) = 50 × (1 + 0,27)3 × (1 + 0,27 × 0,25) = 109,332 тыс. рублей.
13.
Господин N инвестирует 40 тыс. руб. на 33 месяца под процентную ставку 26% годовых на
условиях единовременного возврата основной суммы долга и начисленных сложных процентов.
Проанализируйте, какую сумму предстоит вернуть банку при различных вариантах и схемах начисления
процентов: а) полугодовое; б) квартальное.
Решение:
а) Наращения сложными процентами можно рассчитать, используя базовую формулу:
𝑟 𝑤+𝑓
𝐹𝑛 = 𝑃 × (1 + )
, где
𝑚
P – размер ссуды (40 тыс. рублей);
r – годовая ставка (26%);
m – количество начисления процентов в год (2;4)
w – число целых периодов начисления (5; 11);
f – дробная часть периода начисления (0,5; 0).
Получаем
𝑟 𝑤+𝑓
𝐹𝑛 = 𝑃 × (1 + )
𝑚
𝐹𝑛 = 𝑃 × (1 + 𝑟)
𝑤+𝑓
= 40 × (1 +
= 40 × (1 +
0,26 5+0,5
)
2
0,26 11
4
)
= 78,431 тыс. рублей.
= 79,966 тыс. рублей.
б) Наращения по смешанной схеме можно рассчитать, используя базовую формулу:
5
𝐹𝑛 = 𝑃 × (1 + 𝑟)𝑤 × (1 + 𝑟 × 𝑓) = 40 × (1 +
𝐹𝑛 = 𝑃 × (1 + 𝑟)𝑤 × (1 + 𝑟 × 𝑓) = 40 × (1 +
0,26 5
) ×
2
0,26 11
4
)
(1 +
× (1 +
0,26
4
0,26
2
× 0,5) = 78,488 тыс. рублей.
× 0) = 79,966 тыс. рублей.
14.
Предлагается оформить вклад под следующие процентные ставки: 110% годовых или 22%
за квартал, причем во обоих случаях используется смешанная схема начисления процентов. Какой вариант
выгоднее, если срок хранения вклада составляет: а) 9 месяцев; б) один год? Финансовый год принять
равным 360 дней (месяц - 30 дней).
Решение:
Наращение по смешанной схеме можно рассчитать, используя базовую формулу:
𝐹𝑛 = 𝑃 × (1 + 𝑟)𝑤 × (1 + 𝑟 × 𝑓), где
P – размер вклада (1);
r – годовая ставка (110%);
r4 – номинальная квартальная ставка (22%)
m – количество начисления процентов в год (1;4)
w – число целых периодов начисления (1, 3; 1; 4);
f – дробная часть периода начисления (-0,25, 0; 0; 0).
Получаем:
а)
110% годовых, 9 месяцев
𝑟
𝐹𝑛 = 𝑃 × (1 + 𝑟)𝑤 × (1 −
× 𝑓) = 1 × (1 +
1+𝑟
22% квартальных, 9 месяцев
1,1 1
1
) × (1 −
1,1
1+1,1
× 0,25) = 1,825
0,22 3
𝐹𝑛 = 𝑃 × (1 + 𝑟)𝑤 × (1 + 𝑟 × 𝑓) = 1 × (1 +
) = 1,816
1
Выгоднее вариант с годовым начислением процентов.
б)
110% годовых, 1 год
𝐹𝑛 = 𝑃 × (1 + 𝑟)𝑤 × (1 + 𝑟 × 𝑓) = 1 × (1 +
22% квартальных, 1 год
1,1 1
1
) = 2,1
0,22 4
𝐹𝑛 = 𝑃 × (1 + 𝑟)𝑤 × (1 + 𝑟 × 𝑓) = 1 × (1 +
) = 2,22.
1
Выгоднее вариант с квартальным начислением процентов.
15.
Некоторая сумма инвестируется под процентную ставку 30% годовых. Определите время,
необходимое для увеличения первоначальной суммы: а) в 4 раза, б) в 2 раза при начислении в конце года
сложных и простых процентов.
Решение:
Расчет наращения простыми процентами.
Базовая формула 𝑅𝑛 = 𝑃 × (1 + 𝑛 × 𝑟), где
Rn – возвращаемая сумма (4, 2);
P – исходная сумма (1);
n – число лет начисления процентов (искомое);
r – годовая процентная ставка (30 %).
Преобразуем исходную формулу для вычисления неизвестного (n).
𝑅𝑛
−1
Получаем 𝑛 = 𝑃 .
𝑟
Расчет наращения сложными процентами.
Базовая формула 𝑅𝑛 = 𝑃 × (1 + 𝑟)𝑛 , где
Rn – возвращаемая сумма (4, 2);
P – исходная сумма (1);
n – число лет начисления процентов (искомое);
r – годовая процентная ставка (30 %).
Преобразуем исходную формулу для вычисления неизвестного (n).
𝑅𝑛
Получаем 𝑛 = log1+𝑟
𝑃
а) Простые проценты при 4-х кратном увеличении капитала
𝑛=
𝑅𝑛
−1
𝑃
𝑟
=
4
1
( −1)
0,3
= 𝟏𝟎 лет.
Сложные проценты при 4-х кратном увеличении капитала
𝑅𝑛
4
𝑛 = log1+𝑟 = log1+0,3 = ln 4/ ln 1,3 = 𝟓, 𝟐𝟖𝟒 года
𝑃
1
б) Простые проценты при 2-х кратном увеличении капитала
𝑛=
𝑅𝑛
−1
𝑃
𝑟
2
=
( −1)
1
0,3
= 𝟑, 𝟑𝟑𝟑 года.
Сложные проценты при 4-х кратном увеличении капитала
𝑅𝑛
2
𝑛 = log1+𝑟 = log1+0,3 = ln 2/ ln 1,3 = 𝟐, 𝟔𝟒𝟐 года
𝑃
1
16.
Вкладчик хотел бы за 7 лет утроить сумму, помещаемую в банк на депозит. Какова должна
быть годовая номинальная процентная ставка при начислении сложных процентов: а) каждые полгода, б)
каждый месяц.
Решение:
Расчет наращения сложными процентами при внутригодовом начислении процентов.
𝑟 (𝑚)
6
𝑚𝑛
Базовая формула 𝑅𝑛 = 𝑃 × (1 +
) , где
𝑚
Rn – возвращаемая сумма (3);
P – исходная сумма (1);
m – число начислений сложных процентов в год (2, 12);
n – число лет начисления процентов (7 лет);
r(m) – номинальная процентная ставка, такая ставка при которой за период 1/m года, проценты начисляются по ставке
rm/m (искомое).
Преобразуем исходную формулу для вычисления неизвестного (r(m)).
Получаем 𝑟 (𝑚) = (
𝑅
𝑚×𝑛
3
2×7
√ 𝑃𝑛 − 1) × 𝑚 = ( √1 − 1) × 2 = 0,1633 = 16,33 %
для полугодового начисления сложных процентов и
Получаем 𝑟 (𝑚) = (
𝑅
𝑚×𝑛
√ 𝑃𝑛 − 1) × 𝑚 = (
12×7
3
√1 − 1) × 12 = 0,158 = 15,80 %
для ежемесячного начисления сложных процентов.
17.
В долг на 28 месяцев предоставлена сумма в 50 тыс. руб. с условием возврата 85 тыс. руб.
Найдите эффективную ставку в этой финансовой сделке.
Решение:
Годовая эффективная ставка при однократном начислении сложных процентов за год обеспечивает результат как и
номинальная процентная ставка. Расчет осуществляется по базовой формуле:
𝑚
𝑟 (𝑚)
𝑟𝑒𝑓 = (1 +
) −1
𝑚
Номинальная процентная ставка - ставка, при которой за период 1/m года, проценты начисляются по ставке rm/m.
𝑟 (𝑚)
𝑚𝑛
Базовая формула 𝑅𝑛 = 𝑃 × (1 +
) , где
𝑚
Rn – возвращаемая сумма (85 тыс. рублей);
P – исходная сумма (50 тыс. рублей);
m – число начислений сложных процентов (1);
n – число лет начисления процентов (28 месяцев/12 месяцев = 2,(3) года);
r(m) – номинальная процентная ставка, такая ставка при которой за период 1/m года, проценты начисляются по ставке
rm/m.
Получаем
(1 +
𝑟 (𝑚)
𝑚
𝑚
𝑛
𝑅
𝑛
𝑅
) = √ 𝑛, или 𝑟𝑒𝑓 + 1 = √ 𝑛 ,
𝑃
𝑃
Откуда вычисляем искомое значение
𝑅
𝑛
𝑟𝑒𝑓 = √ 𝑛 − 1 =
𝑃
2,33
85
√
50
− 1 = 0,2553 = 𝟐𝟓, 𝟓𝟑%
18.
Из какого капитала можно получить 45 тыс. руб. через 6 лет наращением сложными
процентами по процентной ставке 36%, если наращение осуществлять: а) ежегодно; б) ежеквартально?
Решение:
Расчет наращения сложными процентами при внутригодовом начислении процентов.
𝑟 (𝑚)
𝑚𝑛
Базовая формула 𝑅𝑛 = 𝑃 × (1 +
) , где
𝑚
Rn – возвращаемая сумма (45 тыс. рублей);
P – исходная сумма (искомое);
m – число начислений сложных процентов в год (1, 4);
n – число лет начисления процентов (6 лет);
r(m) – номинальная процентная ставка, такая ставка при которой за период 1/m года, проценты начисляются по ставке
rm/m (36 %).
Преобразуем исходную формулу для нахождения искомого:
𝑅𝑛
45
𝑃=
=
= 𝟕, 𝟏𝟏𝟐 тыс. рублей
(𝑚) 𝑚𝑛
0,36 1×6
𝑟
(1+ 𝑚 )
(1+
1
)
при годовом начислении.
45
𝑃=
= 𝟓, 𝟔𝟖𝟖 тыс. рублей
0,36 4×6
(1+
4
)
при ежеквартальном начислении.
19.
Какую сумму необходимо поместить на банковский депозит, чтобы при непрерывном
начислении процентов по ставке 25% получить 30 тыс. руб. через: а) 4 года; б) 9 лет?
Решение:
Расчет при непрерывном начислении процентов ведется по базовой формуле
𝐹𝑛 = 𝑃 × 𝑒 𝛿×𝑛 , где
Fn – возвращаемая сумма (30 тыс. рублей);
P – исходная сумма (искомое);
e - математическая константа, основание натурального логарифма, трансцендентное число. Иногда число e называют
числом Эйлера или числом Непера. (e = 2,718281828)
n – число лет начисления процентов (4, 9 лет);
δ – непрерывная ставка (сила роста) (25 %).
Преобразуем исходную формулу для нахождения искомого:
𝑃 = 𝐹𝑛 /𝑒 𝛿×𝑛
а) 𝑃 =
30
𝑒 0,25×4
= 𝟏𝟏, 𝟎𝟑𝟔 тыс. рублей
7
б) 𝑃 =
30
𝑒 0,25×9
= 𝟑, 𝟏𝟔𝟐 тыс. рублей
20.
Банк выдает ссуду на 7 лет под сложную процентную ставку 36% годовых с начислением
процентов каждые полгода. Какую непрерывную ставку должен установить банк, чтобы за 7 лет получить
тот же доход?
Решение:
Расчет наращения сложными процентами при внутригодовом начислении процентов.
𝑟 (𝑚)
𝑚𝑛
Базовая формула 𝑅𝑛 = 𝑃 × (1 +
) , где
𝑚
Rn – возвращаемая сумма (искомое);
P – исходная сумма (1);
m – число начислений сложных процентов в год (2);
n – число лет начисления процентов (7 лет);
r(m) – номинальная процентная ставка, такая ставка при которой за период 1/m года, проценты начисляются по ставке
rm/m (36 %).
Определяем доход для начисления сложными процентами каждые полгода:
𝑟 (𝑚)
𝑚𝑛
0,36 2×7
𝑅𝑛 = 𝑃 × (1 +
) = 1 × (1 +
)
= 10,147 тыс. рублей
𝑚
2
Расчет при непрерывном начислении процентов ведется по базовой формуле
𝐹𝑛 = 𝑃 × 𝑒 𝛿×𝑛 , где
Fn – возвращаемая сумма (10,147 тыс. рублей);
P – исходная сумма (1);
e - математическая константа, основание натурального логарифма, трансцендентное число. Иногда число e называют
числом Эйлера или числом Непера. (e = 2,718281828)
n – число лет начисления процентов (7 лет);
δ – непрерывная ставка (искомое).
Преобразуем исходную формулу для нахождения искомого:
1
1
𝛿 = ln(𝐹𝑛 /𝑃)𝑛 = ln(10,147/1)7 = 0,3310 = 𝟑𝟑. 𝟏𝟎%
21.
На вклад в 16 тыс. руб. начисляются непрерывные проценты. Определите наращенную
сумму за 6 лет, если интенсивность наращения изменяется следующим образом: в первые два года равна
20%, следующие три года - 24% и в последний год - 26%. Какую постоянную силу роста необходимо взять,
чтобы за 6 лет получить такую же наращенную сумму?
Решение:
Расчет при непрерывном начислении процентов ведется по базовой формуле
𝐹𝑛 = 𝑃 × 𝑒 𝛿×𝑛 , где
Fn – возвращаемая сумма (рассчитываем);
P – исходная сумма (16 тыс. рублей);
e - математическая константа, основание натурального логарифма, трансцендентное число. Иногда число e называют
числом Эйлера или числом Непера. (e = 2,718281828)
n – число лет начисления процентов (2, 3, 1);
δ – непрерывная ставка (20 %,24 %,26 %).
Рассчитаем наращенную сумму за три периода начисления:
𝐹𝑛 = 𝑃 × 𝑒 𝛿×𝑛 × 𝑒 𝛿×𝑛 × 𝑒 𝛿×𝑛 = 16 × 𝑒 0,20×2 × 𝑒 0,24×3 × 𝑒 0,26×1 = 𝟔𝟑, 𝟓𝟗𝟖 тыс. рублей
Преобразуем исходную формулу для нахождения решения задачи:
1
1
𝛿 = ln(𝐹𝑛 /𝑃)𝑛 = ln(63,598/1)6 = 0,2300 = 𝟐𝟑. 𝟎𝟎%
Более простое решение (без вычисления натурального логарифма)
𝐹𝑛 = 𝑃 × 𝑒 𝛿1 ×𝑛1 × 𝑒 𝛿2 ×𝑛2 × 𝑒 𝛿3 ×𝑛3 = 𝑃 × 𝑒 𝛿×𝑛
Путем преобразований получаем
𝛿1 × 𝑛1 + 𝛿2 × 𝑛2 + 𝛿3 × 𝑛3 = 𝛿 × 𝑛
Искомое
(𝛿 ×𝑛 +𝛿 ×𝑛 +𝛿 ×𝑛 )
(0.2×2+0.24×3+0.26×1)
1,38
𝛿= 1 1 2 2 3 3 =
=
= 0,23 = 𝟐𝟑, 𝟎𝟎%
𝑛
6
6
22.
Господин N собирается поместить на некоторый срок свободные денежные средства либо
под сложную процентную ставку 30% годовых с ежеквартальным начислением процентов, либо под
простую процентную ставку 48% годовых. Выясните как выгоднее поступить при сроке: а) 3 года; б) 4 года.
Решение:
Расчет наращения сложными процентами при внутригодовом начислении процентов.
𝑟 (𝑚)
𝑚𝑛
Базовая формула 𝑅𝑛 = 𝑃 × (1 +
) , где
𝑚
Rn – возвращаемая сумма (искомое);
P – исходная сумма (1);
m – число начислений сложных процентов в год (4);
n – число лет начисления процентов (3, 4 года);
r(m) – номинальная процентная ставка, такая ставка при которой за период 1/m года, проценты начисляются по ставке
rm/m (30 %).
Расчет наращения простыми процентами.
Базовая формула 𝑅𝑛 = 𝑃 × (1 + 𝑛 × 𝑟), где
Rn – возвращаемая сумма (искомое);
P – исходная сумма (1);
n – число лет начисления процентов (3, 4 года);
r – годовая процентная ставка (48 %).
𝑟 (𝑚)
8
𝑚𝑛
0,30 4×3
а)
𝑅𝑛 = 𝑃 × (1 +
) = 1 × (1 +
)
= 𝟐, 𝟑𝟖𝟐 тыс. рублей,
𝑚
4
𝑅𝑛 = 𝑃 × (1 + 𝑛 × 𝑟) = 1 × (1 + 3 × 0,48) = 𝟐, 𝟒𝟒𝟎 тыс. рублей
Выгоднее размещать денежные средства под простой процент.
𝑟 (𝑚)
𝑚𝑛
0,30 4×4
б) 𝑅𝑛 = 𝑃 × (1 +
) = 1 × (1 +
)
= 𝟑, 𝟏𝟖𝟏 тыс. рублей,
𝑚
4
𝑅𝑛 = 𝑃 × (1 + 𝑛 × 𝑟) = 1 × (1 + 4 × 0,48) = 𝟐, 𝟗𝟐𝟎 тыс. рублей
Выгоднее размещать денежные средства под сложный процент с ежеквартальным начислением процентов.
23.
Банк принимает вклады до востребования под сложную процентную ставку 20% годовых
при временной базе 365 дней. Какую простую годовую учетную ставку должен применить банк при учете
векселя за 250 дней до срока его погашения, чтобы обеспечить себе такую же доходность, как и по вкладам
до востребования? При учете используется временная база 360 дней.
Решение:
Расчет наращения сложными процентами.
Базовая формула 𝑅𝑛 = 𝑃 × (1 + 𝑟)𝑡/𝑇1 , где
Rn – возвращаемая сумма (неизвестно);
P – исходная сумма (1);
t – число дней начислений сложных процентов (250);
T1 – количество дней в году (365 дней);
r – годовая процентная ставка (20 %).
Базовая формула 𝑃𝑉 = 𝐹𝑉 × (1 −
𝑡
𝑇2
× 𝑑) , где
FV – возвращаемая сумма, сумма к погашению, номинальная стоимость (неизвестно);
PV – сумма покупки векселя банком (1);
t – количество дней до момента предъявления векселя (250 дней);
T2 – количество дней в году (360 дней);
d – учетная ставка (искомое).
По условиям задачи доходность от обеих операций должна быть одинаковой, следовательно используем тождество,
которое преобразуем для нахождения искомого значения.
𝑃
𝑃𝑉
.
𝑡
𝑡 =
(1+𝑟)𝑇1
1−𝑇 ×𝑑
2
Получаем путем преобразований
1
𝑑 = (1 −
)×
𝑡
(1−𝑟)𝑇1
𝑇2
𝑡
= (1 −
1
360
250
(1−0.2)365
) × 250 = 0,169 = 𝟏𝟔, 𝟗𝟎%
24.
Вы заняли на четыре года 10 тыс. руб. под процентную ставку 14% годовых, начисляемых
по схеме сложных процентов на непогашенный остаток. Возвращать нужно равными суммами в конце
каждого года. Определите величину годового платежа.
Решение:
Имеется постоянный аннуитет постнумерандо с периодом один год и равным ему периодом начисления процентов.
1−(1+𝑟)−𝑛
𝑎
Базовая формула 𝑃𝑉𝑝𝑠𝑡
=𝐴×(
), где
𝑟
𝑎
𝑃𝑉𝑝𝑠𝑡 – исходная (приведенная) стоимость аннуитета (10 тыс. рублей);
A – исходная (приведенная) стоимость (искомое);
n – число периодов начисления процентов (4 года);
r –процентная ставка (14 %).
Преобразуем исходную формулу для нахождения решения задачи:
𝐴=
𝑎
𝑃𝑉𝑝𝑠𝑡
1−(1+𝑟)−𝑛
𝑟
=
10
1−(1+0,14)−4
0,14
= 𝟑, 𝟒𝟑𝟐 тыс. рублей
25.
Вы заняли на пять лет 12 тыс. руб. под процентную ставку 12% годовых, начисляемых по
схеме сложных процентов на непогашенный остаток. Возвращать нужно равными суммами в конце каждого
года. Определите какая часть основной суммы кредита будет погашена за первые два года.
Решение:
Имеется постоянный аннуитет постнумерандо с периодом один год и равным ему периодом начисления процентов.
1−(1+𝑟)−𝑛
𝑎
Базовая формула 𝑃𝑉𝑝𝑠𝑡
=𝐴×(
), где
𝑟
𝑎
𝑃𝑉𝑝𝑠𝑡 – исходная (приведенная) стоимость аннуитета (12 тыс. рублей);
A – размер аннуитета, сумма ежегодного платежа (искомое);
n – число периодов начисления процентов (5 лет);
r – процентная ставка (12 %).
Преобразуем исходную формулу для нахождения решения задачи:
𝐴=
Год
1
2
3
4
5
𝑎
𝑃𝑉𝑝𝑠𝑡
1−(1+𝑟)−𝑛
𝑟
=
12
1−(1+0,12)−5
0,12
= 𝟑, 𝟑𝟐𝟗 тыс. рублей
Остаток
основного долга на
начало года, рублей
12000
10111
7995
5626
2972
Величина годового
платежа, рублей
3329
3329
3329
3329
3329
В том числе, рублей
Погашаемая часть
Проценты за год
долга
1440
1889
1213
2116
959
2370
675
2654
357
2972
Остаток
основного долга на
конец года, рублей
10111
7995
5626
2972
0
9
∑
16 645
4645
12000
Остаток основного долга на начало первого года 12000 рублей.
Начисленные проценты за первый год 12000*0,12 = 1440 рублей.
Выплачена часть основного долга 3329-1440 = 1889 рублей.
Остаток основного долга на начало первого года 12000-1889 = 10111 рубль.
Начисленные проценты за второй год 10111*0,12 = 1213 рублей.
Выплачена часть основного долга 3329-1213 = 2116 рубля.
Итого за первые два года выплачено 1889+2116 = 4005 рубля
Или 33,4%
26.
Вы заняли на пять лет 10 тыс. долл. под процентную ставку 8% годовых, начисляемых по
схеме сложных процентов на непогашенный остаток. Возвращать нужно равными суммами в конце каждого
года. Определите общую сумму процентов к выплате.
Решение:
Имеется постоянный аннуитет постнумерандо с периодом один год и равным ему периодом начисления процентов.
1−(1+𝑟)−𝑛
𝑎
Базовая формула 𝑃𝑉𝑝𝑠𝑡
=𝐴×(
), где
𝑟
𝑎
𝑃𝑉𝑝𝑠𝑡 – исходная (приведенная) стоимость аннуитета (10 тыс. долларов);
A – размер аннуитета, сумма ежегодного платежа (искомое);
n – число периодов начисления процентов (5 лет);
r – процентная ставка (8 %).
Преобразуем исходную формулу для нахождения ежемесячного платежа:
𝐴=
𝑎
𝑃𝑉𝑝𝑠𝑡
1−(1+𝑟)−𝑛
𝑟
=
10
1−(1+0,08)−5
0,08
= 2,505 тыс. долларов
Общая сумма процентов равна
𝑎
𝐴 × 𝑛 − 𝑃𝑉𝑝𝑠𝑡
= 2,505 × 5 − 10 = 𝟐, 𝟓𝟐𝟑 тыс. долларов
27.
Предприниматель занял на шесть лет 45 тыс. руб. под 20%, начисляемых по схеме сложных
процентов на непогашенный остаток. Возвращать нужно равными суммами в конце каждого года.
Определите величину процентов, которые будут уплачены предпринимателем в четвертом году.
Решение:
Имеется постоянный аннуитет постнумерандо с периодом один год и равным ему периодом начисления процентов.
1−(1+𝑟)−𝑛
𝑎
Базовая формула 𝑃𝑉𝑝𝑠𝑡
=𝐴×(
), где
𝑟
𝑎
𝑃𝑉𝑝𝑠𝑡
– исходная (приведенная) стоимость аннуитета (45 тыс. рублей);
A – размер аннуитета, сумма ежегодного платежа (искомое);
n – число периодов начисления процентов (6 лет);
r – процентная ставка (20 %).
Преобразуем исходную формулу для нахождения решения задачи:
𝐴=
𝑎
𝑃𝑉𝑝𝑠𝑡
1−(1+𝑟)−𝑛
𝑟
Год
1
2
3
4
5
6
∑
=
12
1−(1+0,12)−5
0,12
= 𝟏𝟑, 𝟓𝟑𝟐 тыс. рублей
Остаток
основного долга на
начало года, рублей
45000
40468
35030
28504
20672
11274
Величина годового
платежа, рублей
13532
13532
13532
13532
13533
13532
81193
В том числе, рублей
Погашаемая часть
Проценты за год
долга
9000
4532
8094
5438
7006
6526
7831
5701
4134
9399
2258
11274
36189
45000
Остаток
основного долга на
конец года, рублей
40468
35030
28504
20672
11274
0
Остаток основного долга на начало первого года 45000 рублей.
Начисленные проценты за первый год 45000*0,2 = 9000 рублей.
Выплачена часть основного долга 13532-9000 = 4532 рубля.
Остаток основного долга на начало первого года 45000 - 4532 = 40468 рублей. И так далее.
Начисленные проценты за четвертый год – 5701 рубль.
28.
На взносы в банк каждые полгода в течение 5 лет по 1000 долл. по схеме пренумерандо
банк начисляет ежеквартально проценты по сложной процентной ставке 12% годовых. Какая сумма будет на
счете в конце срока?
Решение:
Имеется постоянный аннуитет постнумерандо с периодом один раз в полгода и квартальным периодом начисления
процентов.
𝑟 𝑛
𝑎
𝑎
𝐹𝑉𝑝𝑟𝑒
= 𝐹𝑉𝑝𝑠𝑡
× (1 + ) , где
𝑚
𝑎
𝐹𝑉𝑝𝑠𝑡
=𝐴×(
𝑎
𝐹𝑉𝑝𝑟𝑒
𝑟 𝑛×𝑚
−1
𝑚
𝑟
𝑚
(1+ )
)
– будущая стоимость аннуитета пренумерандо (искомое);
A – размер аннуитета, сумма ежегодного платежа (1000);
n – период аннуитета (2);
m – число периодов начисления процентов, в году (4);
10
l – срок аннуитета (5);
r – сложная процентная ставка за период начисления (12 %).
Получаем искомое:
𝑎
𝐹𝑉𝑝𝑟𝑒
=𝐴×(
𝑟 𝑛×𝑙
−1
𝑚
𝑚
𝑟
(1+ ) 𝑛 −1
𝑚
(1+ )
𝑟
𝑚
𝑛
) × (1 + 𝑚) = 1000 × (
0,12 2×5
)
−1
4
4
0,12 2
(1+
) −1
4
(1+
4
) × (1 +
0,12 2
4
) =14042,75 долларов
Формулу вывожу следующим образом – строим геометрическую последовательность для каждого элемента аннуитета,
рассчитывая наращение сложными процентами. Используя формулу суммы первых т членов геометрической
последовательности получаем формулу для расчета искомого.
qn − 1
q−1
Где b1 первый элемент прогрессии, а q – знаменатель прогрессии.
𝑆𝑛 = b1
29.
Г-н N инвестировал 70 тыс. руб. в пенсионный контракт. На основе анализа таблиц
смертности страховая компания предложила условия, согласно которым определенная сумма будет
выплачиваться ежегодно в течение 20 лет исходя из ставки 15% годовых. Какую сумму будет получать
ежегодно г-н N?
Решение:
Имеется постоянный аннуитет постнумерандо с периодом один год и равным ему периодом начисления процентов.
1−(1+𝑟)−𝑛
𝑎
Базовая формула 𝑃𝑉𝑝𝑠𝑡
=𝐴×(
), где
𝑟
𝑎
𝑃𝑉𝑝𝑠𝑡 – исходная (приведенная) стоимость аннуитета (70 тыс. рублей);
A – размер аннуитета, сумма ежегодного платежа (искомое);
n – число периодов начисления процентов (20 лет);
r – процентная ставка (15 %).
Преобразуем исходную формулу для нахождения решения задачи:
𝐴=
𝑎
𝑃𝑉𝑝𝑠𝑡
1−(1+𝑟)−𝑛
𝑟
=
70
1−(1+0,15)−20
0,15
= 𝟏𝟏, 𝟏𝟖𝟑 тыс. рублей
30.
К моменту выхода на пенсию, т.е. через 8 лет, г-н N хочет иметь на счете 30 тыс. руб. Для
этого он намерен делать ежегодный взнос в банк по схеме пренумерандо. Определить размер взноса, если
банк предлагает 7% годовых.
Решение:
Имеется постоянный аннуитет пренумерандо с периодом один год и равным ему периодом начисления процентов.
𝑎
𝑎
𝐹𝑉𝑝𝑟𝑒
= 𝐹𝑉𝑝𝑠𝑡
× (1 + 𝑟), где
(1+𝑟)𝑛 −1
𝑎
𝐹𝑉𝑝𝑠𝑡
=𝐴×(
)
𝑟
𝑎
𝐹𝑉𝑝𝑟𝑒
– будущая стоимость аннуитета пренумерандо (30 тыс. рублей);
A – размер аннуитета, сумма ежегодного платежа (искомое);
n – число периодов аннуитета, равное числу периодов начисления сложных процентов (8 лет);
r – сложная процентная ставка за период начисления (7 %).
(1+𝑟)𝑛 −1
𝑎
𝐹𝑉𝑝𝑟𝑒
=𝐴×(
) × (1 + 𝑟),
𝑟
Преобразуем исходную формулу для нахождения искомого:
𝐴=
(
𝑎
𝐹𝑉𝑝𝑟𝑒
(1+𝑟)𝑛−1
)×(1+𝑟)
𝑟
=
30
(
(1+0,07)8 −1
)×(1+0,07)
0,07
= 2,733 тыс. рублей
31.
Стоит ли покупать за 5500 руб. ценную бумагу, генерирующую ежегодный доход в размере
1000 руб. в течение семи лет, если банк предлагает процентную ставку 8% годовых?
Решение:
Имеется постоянный аннуитет постнумерандо с периодом один год и равным ему периодом начисления процентов.
1−(1+𝑟)−𝑛
𝑎
Базовая формула 𝑃𝑉𝑝𝑠𝑡
=𝐴×(
), где
𝑟
𝑎
𝑃𝑉𝑝𝑠𝑡
– исходная (приведенная) стоимость аннуитета (искомое тыс. рублей);
A – размер аннуитета, сумма ежегодного платежа (1000 рублей);
n – число периодов начисления процентов (7 лет);
r – процентная ставка (8 %).
𝑎
𝑃𝑉𝑝𝑠𝑡
=𝐴×(
1−(1+𝑟)−𝑛
𝑟
) = 1000 × (
1−(1+0,08)−7
0,08
) = 𝟓𝟐𝟎𝟔, 𝟑𝟕 рублей
- это меньше цены бумаги (5500 рублей), следовательно приобретать ее не стоит.
32.
Предприятие приобрело здание за 20 тыс. долл. на следующих условиях: а) 25% стоимости
оплачиваются немедленно; б) оставшаяся часть погашается равными годовыми платежами в течение 10 лет
с начислением 12% годовых на непогашенную часть кредита по схеме сложных процентов. Определите
величину годового платежа.
Решение:
Имеется постоянный аннуитет постнумерандо с периодом один год и равным ему периодом начисления процентов.
1−(1+𝑟)−𝑛
𝑎
Базовая формула 𝑃𝑉𝑝𝑠𝑡
=𝐴×(
), где
𝑟
𝑎
𝑃𝑉𝑝𝑠𝑡
– исходная (приведенная) стоимость аннуитета (75% от 20 тыс. долларов = 15 тыс. долларов);
A – размер аннуитета, сумма ежегодного платежа (искомое);
11
n – число периодов начисления процентов (10 лет);
r – процентная ставка (12 %).
Преобразуем исходную формулу для нахождения решения задачи:
𝐴=
𝑎
𝑃𝑉𝑝𝑠𝑡
1−(1+𝑟)−𝑛
𝑟
=
15
1−(1+0,12)−10
0,12
= 𝟐, 𝟔𝟓𝟓 тыс. долларов
33.
Г-н N хочет приобрести пенсионный контракт, по которому он мог бы получать ежегодно
по 7000 руб. в течение оставшейся жизни. Страховая компания, используя таблицы смертности, оценила,
что клиент сможет прожить 20 лет, и установила 6% годовых. Сколько нужно заплатить за контракт? А если
установлено 8% годовых?
Решение:
Имеется постоянный аннуитет постнумерандо с периодом один год и равным ему периодом начисления процентов.
1−(1+𝑟)−𝑛
𝑎
Базовая формула 𝑃𝑉𝑝𝑠𝑡
=𝐴×(
), где
𝑟
𝑎
𝑃𝑉𝑝𝑠𝑡
– исходная (приведенная) стоимость аннуитета (искомое);
A – размер аннуитета, сумма ежегодного платежа (7000);
n – число периодов начисления процентов (20 лет);
r – процентная ставка (6 % ,8 %).
Стоимость контракта при ставке в 6 %:
𝑎
𝑃𝑉𝑝𝑠𝑡
= 𝐴×(
1−(1+𝑟)−𝑛
𝑟
) = 7000 × (
1−(1+0,06)−20
0,06
) = 80289,45 рублей
Стоимость контракта при ставке равной 8 % годовых:
𝑎
𝑃𝑉𝑝𝑠𝑡
= 𝐴×(
1−(1+𝑟)−𝑛
𝑟
) = 7000 × (
1−(1+0,08)−20
0,08
) = 68727,03 рублей
34.
Раз в полгода делается взнос в банк по схеме пренумерандо в размере 500 долл. на условии
8% годовых, начисляемых каждые 6 месяцев. Какая сумма будет на счете через 5 лет? Как изменится эта
сумма, если проценты будут начисляться раз в год?
Решение:
Имеется постоянный аннуитет постнумерандо с периодом один раз в полгода и полугодовым периодом начисления
процентов.
𝑟 𝑛
𝑎
𝑎
𝐹𝑉𝑝𝑟𝑒
= 𝐹𝑉𝑝𝑠𝑡
× (1 + ) , где
𝑚
𝑎
𝐹𝑉𝑝𝑠𝑡
=𝐴×(
𝑟 𝑛×𝑚
−1
𝑚
𝑟
𝑚
(1+ )
)
𝑎
𝐹𝑉𝑝𝑟𝑒
– будущая стоимость аннуитета пренумерандо (искомое);
A – размер аннуитета, сумма ежегодного платежа (1000);
n – период аннуитета (2);
m – число периодов начисления процентов, в году (2, 1);
l – срок аннуитета (5);
r – сложная процентная ставка за период начисления (8 %).
Получаем искомое:
𝑎
𝐹𝑉𝑝𝑟𝑒
=𝐴×(
𝑟 𝑛×𝑙
−1
𝑚
𝑚
𝑟 𝑛
(1+ ) −1
𝑚
(1+ )
𝑟
𝑚
𝑛
) × (1 + 𝑚) = 500 × (
0,08 2×5
)
−1
2
2
0,08 2
(1+
) −1
2
) × (1 +
0,08 2
0,08 1×5
)
−1
1
1
0,08 2
(1+
) −1
1
) × (1 +
0,08 2
(1+
2
2
) =6243,18 долларов
При начислении процентов один раз в год:
𝑎
𝐹𝑉𝑝𝑟𝑒
=𝐴×(
𝑟 𝑛×𝑙
−1
𝑚
𝑚
𝑟
(1+ ) 𝑛 −1
𝑚
(1+ )
𝑟
𝑚
𝑛
) × (1 + 𝑚) = 500 × (
(1+
1
1
) =6216,34 долларов
Формулу вывожу следующим образом – строим геометрическую последовательность для каждого элемента аннуитета,
рассчитывая наращение сложными процентами. Используя формулу суммы первых т членов геометрической
последовательности получаем формулу для расчета искомого.
qn − 1
q−1
Где b1 первый элемент прогрессии, а q – знаменатель прогрессии.
𝑆𝑛 = b1
12
Ответы
1. 25%; 20%.
2. 18,18%.
3. 22,466 тыс. руб.; 22,5 тыс. руб.; 22,5 тыс. руб.
4. 1,786 года.
5. 33,75%
6. 16 тыс. руб.; 8 тыс. руб.
7. 12,989 тыс. руб.; 1,011 тыс. руб.; менее 2,5 лет.
8. 8 тыс. руб.; 16 тыс. руб.
9. 35,988 тыс. руб. и 4,012 тыс. руб.; 35,467 тыс. руб. и 4,533 тыс. руб.
10. 13,333 тыс. руб.
11. а) 23,08%; б) 26,67% (360 дней); 26,71% (365 дней); 26,72% (366 дней).
12. 108,726 тыс. руб.; 109.332 тыс. руб.
13. а) 78,341 тыс. руб.; 78,488 тыс. руб.; б) 79, 966 тыс. руб.; 79, 966 тыс. руб.
14. а) первый вариант выгоднее; б) второй вариант выгоднее
15. а) 5,284 года; 10 лет; б) 3,333 года; 2,642 года.
16. а) 16,33%; б) 15,80%.
17. 25,53%.
18. а) 7,112 тыс. руб.; б) 5,688 тыс. руб.
19. а) 11,036 тыс. руб.; б) 3,162 тыс. руб.
20. 33,10%.
21. 63,598 тыс. руб.; 23%.
22. а) под простую ставку; б) под сложную ставку.
23. 16,90%.
24. 3432 руб.
25. 4005 руб. или 33,4%.
26. 2520 долл.
27. 5701 руб.
28. 14042,76 долл.
29. 11,183 тыс. руб.
30. 2733 руб.
31. нет.
32. 2655 долл.
33. 80,290 тыс. руб. при 6%; 68,726 тыс. руб. при 8%.
34. 6243 долл.; 6216 долл.