Молекулярная структура вещества

Молекулярная структура вещества
1.
Атомная единица массы (а.е.м.) составляет 1/12 массы атома m0C изотопа
углерода
12
6
C:
1 а.е.м.=
1
m0C =1,6605710 –27 кг.
12
2.
Относительная молекулярная (атомная) масса Mr – это масса молекулы (атома),
выраженная в атомных единицах массы:
Mr =
m0
1
m0 C
12
,
где m0 – масса молекулы (атома).
3.
Моль – это количество вещества, содержащее столько же молекул (атомов),
сколько их содержится в 12 г изотопа углерода
12
6
C.
Число NA молекул (атомов) в одном моле называют числом Авогадро.
4.
Молярная масса М – это масса одного моля вещества.
Молярная масса в граммах численно равна относительной молекулярной массе Mr.
5.
Количество вещества ( в молях)

m
,
M
где m – масса вещества.
Идеальный газ
1. Уравнения изопроцессов для постоянной массы газа:
при постоянной температуре pV  const (закон Бойля-Мариотта);
при постоянном объеме p  p0 (1   (t  t 0 )) , или p T  const (закон Гей-Люссака);
при постоянном давлении V  V0 (1   (t  t 0 )) , или V T  const (закон Шарля);
здесь
t  температура по шкале Цельсия, р0 и V0  давление и объем при
t  t0 ;
  1 (273,15 0 C ) ; T  t  1   t  273 - температура по шкале Кельвина (абсолютная
температура).
2. Уравнение состояния идеального газа (уравнение Клапейрона–Менделеева):
pV  RT ,
где R — молярная газовая постоянная.
3. Давление смеси газов (закон Дальтона)
p=р1+р2+р3+…+рN,
где р1, р2, р3,…рN — парциальные давления компонентов смеси.
4. Основное уравнение кинетической теории идеальных газов:
p
1
2
nm0 v 2  n пост ,
3
3
v 2  средняя квадратичная скорость,  пост 
где n  концентрация газа, m0  масса молекулы,
средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы.
5. Связь между  пост и абсолютной температурой:
3
2
 пост = kT ,
где k  R N A  постоянная Больцмана.
6. Уравнение состояния идеального газа может быть представлено также в виде:
p  nkT .
Элементы статистики идеального газа
1. Относительная флуктуация числа молекул газа в некоторой части объема газа
 
N 2
1

,
N
N
где N  среднее число молекул газа в этой части объема
2. Распределение Больцмана для концентрации частиц во внешнем потенциальном поле:
n  n0 exp( 
U
),
kT
где U  потенциальная энергия частицы, n0  концентрация в точке, где U  0 .
3. Барометрическая формула для зависимости атмосферного давления от высоты z :
 Mgz 
p  p 0 exp  
,
 RT 
где p0 — давление при z=0.
4. Функции распределения Максвелла для скоростей молекул:
 m 
f v x   

 2kT 
1
2
 mv x2 
 .
exp  
 2kT 
 m 
f v   4v 

 2kT 
2
3
2
 mv 2 
 ,
exp  
 2kT 
где m — масса молекулы.
5. Наиболее вероятная, средняя и средняя квадратичная скорости молекулы:
vн.в. 
2kT
2 RT
,

m
M
8kT
8RT
.

m
M
v
3kT
3RT
.

m
M
vкв  v 2 
6. Среднее число ударов молекул газа о единицу поверхности стенки:
Z
nv
.
4
7. Распределение Ферми-Дирака для газа невзаимодействующих ферми-частиц: среднее
число частиц с энергией  при температуре Т
n
1
, где  F - энергия Ферми;
 F 
exp 
 1
 kT 
8. Энергия Ферми при T  0 :
2
h 2  3n  3
F 
  ,
8m   
где n  концентрация ферми-частиц, h  постоянная Планка.
9. Распределение Бозе-Эйнштейна для систем с переменным числом бозонов: среднее
число частиц с энергией  при температуре Т
1
n
  
exp    1
 kT 
.
10. Число фазовых ячеек в единице объема для частиц с импульсами в интервале
( p; p  dp ) :
dZ 
4p 2 dp
.
h3
Первое начало термодинамики
1. Первое начало термодинамики:
Q=dU+A
(1)
где Q — количество теплоты, полученное или отданное системой, dU — изменение внутренней
энергии, A — работа, совершенная системой.
2. Работа, совершаемая системой, при переходе из состояния 1 в состояние 2:
2
A   pdV .
1
Чтобы взять этот интеграл, надо знать зависимость p (V ) в процессе 1 – 2.
3. Внутренняя энергия идеального газа массы m при температуре Т:
U
m
m i
CV T 
RT ,
M
M 2
где CV — молярная теплоемкость при постоянном объеме, i - число степеней свободы молекулы.
4. Соотношение Майера для идеального газа:
Cp=CV+R,
(2)
где CV и Cp — молярные теплоемкости при постоянном объеме и постоянном давлении,
соответственно.
5. Уравнение Пуассона для равновесного адиабатического процесса:
PV=const,
(3)
где = Cp/СV — постоянная адиабаты.
6. Скорость звука в газе
v зв. 
dp
RT

(  - плотность газа).
d
M
(4)
7. Уравнение политропического процесса, т.е. процесса, протекающего с постоянной
теплоемкостью С:
PVn=const,
где
n
C  Cp
C  CV
(5)
— показатель политропы.
Второе начало термодинамики
1. Коэффициент полезного действия (КПД) тепловой машины:

A Q1  Q2

  max ,
Q1
Q1
где А — работа, совершенная тепловой машиной за один цикл, Q1 — количество теплоты,
полученное рабочим телом от нагревателя, Q2 — количество теплоты, отданное рабочим телом
холодильнику.
2. КПД идеальной тепловой машины, работающей по циклу Карно:
  max  1 
T2
,
T1
где Т1 и Т2 —температуры нагревателя и холодильника, соответственно.
3. Изменение энтропии системы
2
S  S 2  S1 
dQ
T
,
1
причем интеграл берется по любому обратимому пути (процессу), переводящему систему из
состояния 1 в состояние 2.
4. Изменение энтропии моля идеального газа в координатах (V,T), (p,T) и (p,V):
dSV , T  
RdV
dT
 CV
,
V
T
dS  p,V   CV
dS T , p   CV
dp
dV
 Cp
,
p
V
dT
dp
R .
T
p
5. Изменение энтропии жидкости или твердого тела массы т при изменении температуры
dS  cm
dT
,
T
где с – удельная теплоемкость.
Процессы переноса в газах
1. Число столкновений, испытываемых одной молекулой газа в 1 секунду
Z   nv 2 ,
где d2 — сечение рассеяния молекул, d — эффективный диаметр молекулы, n —
концентрация, v — средняя скорость молекулы.
2. Среднее время свободного пробега молекулы:
1
1

.
Z  nv 2

3. Средняя длина свободного пробега:
  v 
1
n 2
.
4. Коэффициент диффузии в газе:
1
D  v .
3
5. Коэффициент теплопроводности газа:
1
3
  v cV ,
где  — плотность газа, сV — его удельная теплоемкость при постоянном объеме.
6. Коэффициент вязкости газа:
1
3
1
3
  nmv  v  .
7. Сила F внутреннего трения между двумя слоями газа или жидкости
F 
u
S,
x
где S - площадь соприкосновения слоев,
u
- градиент скорости движения газа или жидкости в
x
направлении оси Х, перпендикулярной направлению движения слоев.
8. Уравнение Фурье для теплового потока dФ через площадку dS в направлении оси Х:
dФ =  
dT
dS .
dx
Реальные газы и жидкости.
1. Уравнение состояния Ван–дер–Ваальса:

a 2 
 p  2 V  b   RT  ,
V 

где а и b —постоянные Ван-дер-Ваальса для данного реального газа,  — количество вещества
(молей).
2. Внутренняя энергия реального газа:
U  CV T 
a 2
.
V
3. Связь критических параметров с постоянными Ван–дер–Ваальса а и b:
Vк=3b; Tк 
8a
a
; pк 
.
27bR
27b 2
4. Критические параметры состояния Vк , р к ,Т к связаны соотношением:
3
pкVк  RTк .
8
5. Уравнение Ван–дер–Ваальса в приведенных параметрах (закон соответственных
состояний) для одного моля газа:
3 
1 8

  2      ,
3 3
 

где  
T
p
V
,
, .
pк
Tк
Vк
Поверхностные и капиллярные явления в жидкости
1.
Сила поверхностного натяжения, действующая на линию, ограничивающую
поверхность:
F  l ,
где l - длина границы,  — коэффициент поверхностного натяжения.
2.
Добавочная (свободная) энергия поверхности площади S :
E  S .
3. Добавочное (лапласовское) давление под искривленной поверхностью жидкости:
1
1 
p      ,
 R1 R2 
где R1 и R2 — радиусы кривизны двух взаимно перпендикулярных нормальных сечений
поверхности жидкости. R  0, если центр кривизны сечения находится внутри жидкости.
4. Высота подъема жидкости в капилляре:
h
2 cos
,
gR
где  — краевой угол на границе твердое тело–жидкость, R — радиус капилляра.
. Равновесие фаз. Фазовые переходы
1. Уравнение Клапейрона–Клаузиуса, определяющее наклон кривой p (T ) равновесия
двух фаз:
12
dp
,

dT T v2  v1 
где 12 — удельная теплота фазового перехода 12, v1 и v2 — удельные объемы вещества в фазах
1 и 2.
Тепловые свойства твердых тел
1. Линейный размер тела при температуре t:
l=l0(1+t),
где l0 — линейный размер при t0=0 С,  — температурный коэффициент линейного расширения.
2. Уравнение Фурье для теплового потока dФ через площадку dS в направлении оси х:
dФ =  
dT
dS ,
dx
где k — коэффициент теплопроводности.
3. Закон Дюлонга–Пти для теплоемкости твердых тел:
С=3R.
4. Средняя энергия, приходящаяся на одну степень свободы квантового осциллятора:
h

e
h
kT
1
.
5. Формула Дебая для молярной теплоемкости кристаллов:
  T  3  T x 3 dx
3 T 
CV  3R 12    x
 T
,
    0 e  1 e  1
где   h max k - температура Дебая,  max - максимальная частота собственных колебаний
атомов.
6. При Т   молярная теплоемкость диэлектрического кристалла (по Дебаю)
C
12 4
 RT  3 .
5