Основные методы решения тригонометрических уравнений

Муниципальное общеобразовательное учреждение
«Сарсинская средняя общеобразовательная школа»
Учитель математики Зайцева Г.И., урок алгебры, 10 класс
Тема урока: «Основные методы решения тригонометрических уравнений»
(применение технологии уровневой дифференциации обучения)
Цели:
1) повторить основные методы решения тригонометрических уравнений;
2) углубить знания учащихся по теме, разобрав метод введения вспомогательного
аргумента;
3) проверить навыки учащихся по решению тригонометрических уравнений основными
методами;
4) развитие коммуникативных компетенций учащихся;
5) развитие логического мышления, аналитической и информационной культуры.
Ход урока:
I. Организация класса. Постановка цели.
II. Проверка домашнего задания (самоконтроль в парах)
1) Домашнее задание: решить по 6 уравнений каждому варианту.
1 вариант.
1. cos²(π - x) + 8cos(π + x) +7 = 0. Ответ: x = 2πn, n ∈ Z
𝜋
2. tg² x + 2tg x = 3. Ответ: x = 4 + πn, n ∈ Z;
х = arctg 2 + πn, n ∈ Z.
𝜋
3. 3cos x - 2sin 2x = 0. Ответ: x = 2 + πn, n ∈ Z;
3
х = (-1)кarcsin 4 + πк, n ∈ Z.
4. Найти произведение корней уравнения sin 3x +sin x = 0, удовлетворяющих неравенству
𝜋𝑛
cos x ≥ 0. Ответ: произведение равно 0 [x = 2 , n∈ Z, (- π/2, 0, π/2)].
𝜋
5. 4sin²x - sinx·cosx - 3cos²x = 0. Ответ: x = 4 + πn, n ∈ Z;
3
х = arctg(− 4)+ πn, n ∈ Z.
6. Найти сумму корней уравнения sinx·cosx + cos²x = 0, принадлежащих отрезку [-π;0].
𝜋
x = 2 + πn, n ∈ Z;
𝜋
x = 4 + πn, n ∈ 𝑍.
𝜋
х = -2 ;
𝜋
x = 4.
Ответ: сумма равна −
3𝜋
4
2 вариант.
𝜋
1. 2sin²(π - x) - 5sin(π + x) – 3 = 0. Ответ: х = (-1)к 6 + πк, к ∈ Z.
2. 2 tg x + 2сtg x = 5. Ответ: х = arctg 2 + πn, n ∈ Z;
1
х = arctg 2 + πn, n ∈ Z.
3. 5sin x + 3sin 2x = 0. Ответ:
x = πn, n ∈ Z;
5
х = ± arccos(-6)+2πn, n ∈ Z.
4. Найдите сумму корней уравнения cos 5x +cos x = 0, удовлетворяющих неравенству
𝜋
sin x >0. x = 6 +
𝜋
x=4+
𝜋𝑛
, n ∈ Z; 0 < x < π.
3
𝜋𝑛
2
, n ∈ Z.
Ответ: сумма равна
5𝜋
2
5. 3sin² x + 4sin x·cos x + cos² x = 0. Ответ:
𝜋
x = - 4 + πn, n ∈ Z;
1
х = arctg (-3)+ πn, n ∈ Z.
6. Найдите произведение корней уравнения √3 sin x·cos x + sin² x = 0, принадлежащих
отрезку [0; π]. x = πn, n ∈ Z
𝜋
x = - 3 + πn, n ∈ Z; (0; π; 2π/3). Ответ: произведение равно 0.
2) Во время проверки домашнего задания и устной работы 3 ученика у доски решают
уравнения:
1. cos x + 2cos 2x = 1. (замена переменной, приведение к квадратному).
Ответ: х = π + 2πn, n ∈ Z;
х = ± arccos
3
4
+ 2πn n ∈ Z.
2. sin x + sin 2x + sin 3x = 0 (применение формулы суммы синусов и разложение на
множители)
𝜋𝑛
Ответ: x = 2 , n ∈ Z;
х=±
2𝜋
3
+2πn, n ∈ Z.
3. cos2 x + 4sin2 x = 2sin 2x (однородное)
1
Ответ: х = arctg 2 + πn, n ∈ Z.
III. Устная работа.
1) работа по карточке устного счета (простейшие тригонометрические уравнения)
2) на доске написаны уравнения:
1. 8cos2 x + 6sin x – 3 = 0;
2. sin x – sin 2x + sin 3x – sin 4x = 0;
3. 3sin2 x - 4sin x·cos x + 5cos2 x = 2;
4. cos 2x· cos 4x = cos 6x.
5. cos 2x - 5 sin x – 3 = 0;
6. 4cos2 x – sin 2x = 3;
7. cos 2x + sin 2x – sin 4x = 0;
8. √3 sin x + cos x = 2;
х
3х
9. cos2 2+ cos2 2 - sin2 2x - sin2 4x = 0.
Вопросы к уравнениям:
а) какие из данных уравнений решают заменой переменной и приведением к
квадратному? Какое ограничение накладывается на новую переменную?
б) какие формулы необходимо использовать при решении уравнения 4? Есть ли в списке
уравнений еще уравнение, решаемое также?
в) назовите номера однородных уравнений.
г) назовите формулы, применяемые при решении уравнений 2 и 7.
3) Проверка решения уравнений учащимися у доски.
IV. Решение уравнений.
1) Решим уравнение 8 на доске и в тетрадях: 1 ученик решает с помощью универсальной
подстановки. В это же время 2-й ученик готовит сообщение о решении этого уравнения
способом введения вспомогательного аргумента (теория + решение).
Решение с помощью универсальной подстановки: √3 sinx + cosx = 2;
Воспользуемся формулами: sin 𝑥 =
𝑥
2
𝑥
1+ 𝑡𝑔2
2
2𝑡𝑔
, cos =
𝑥
2
𝑥
1+ 𝑡𝑔2
2
1−𝑡𝑔2
.
Получим √3
𝑥
2
𝑥
1+ 𝑡𝑔2
2
2𝑡𝑔
𝑥
2
𝑥
1+ 𝑡𝑔2
2
1−𝑡𝑔2
+
= 2,
𝑥
𝑥
𝑥
2
2
2
2√3 tg + 1 - 𝑡𝑔2 - 2 - 2𝑡𝑔2 = 0,
x ≠ 𝜋 + 2𝜋𝑛, n ∈ Z
𝑥
Пусть tg 2 = t, имеем -3 t2 +2√3 𝑡 - 1 = 0,
√3
,
3
𝑥
√3
=
,
2
3
t=
tg
х
2
х
2
√3
3
= arctg
𝜋
+ 𝜋𝑛, n ∈ Z,
= 6 + 𝜋𝑛, n ∈ Z,
𝜋
x = 3 + 2𝜋𝑛, n ∈ Z.
𝜋
Ответ: 3 + 2𝜋𝑛, n ∈ Z
Способ введения вспомогательного аргумента (теория): а cos x +b sin x = c. Стандартным
𝑎
является следующий прием: пусть φ – угол, задаваемый равенствами cos φ = √𝑎2 2 ,
+𝑏
𝑏
sin φ = √𝑎2 2 . Для любых а и b такой угол φ существует. Это следует из того, что любые
+𝑏
числа m и n, такие что m2 + n2 = 1, можно рассматривать как косинус и синус некоторого
𝑎
𝑏
угла. Таким образом, а cos x +b sin х = √𝑎2 + 𝑏 2 (√𝑎2 2 cos x + √𝑎2 2 sin x) =
+𝑏
+𝑏
√𝑎2 + 𝑏 2 (cos φ · cos x + sin φ · sin x) = √𝑎2 + 𝑏 2 cos (x – φ). Итак, получим формулу
𝑎
а cos x +b sin х =√𝑎2 + 𝑏 2 cos (x – φ), где cos φ = √𝑎2
𝑏
+𝑏 2
𝑏
, sin φ = √𝑎2
𝑏
+𝑏2
. В зависимости от
знаков а и b можно взять угол φ равным arctg 𝑎 или π + arctg 𝑎 . (Если а > 0, b > 0 или а > 0,
𝑏
𝑏
b < 0, φ = arctg 𝑎 , в других случаях φ = π + arctg 𝑎).
Решение способом введения вспомогательного аргумента: √3 sinx + cosx = 2;
Разделим уравнение на 2, получим
√3
2
1
2
= cos
√3
sin
2
2
1
𝑥 +2 cos 𝑥 = 1, √(√3) + 12 = 2,
𝜋
6
𝜋
= sin 6 .
𝜋
𝜋
сos 6 · sin х + · sin 6 ·cos x = 1,
𝜋
sin (6 + x) = 1,
𝜋
𝜋
+ x = 2 + 2πn, n ∈ Z,
6
𝜋
x = 3 +2πn, n ∈ Z.
𝜋
Ответ: 3 +2πn, n ∈ Z.
1
2) Найдите число корней уравнения cos2 x - sin2 2x + cos2 3x = 2 принадлежащих отрезку
[0;2π]. (С комментарием). Преобразовать данное уравнение до вида cos 4x·(2cos 2x + 1) =
0, оставшееся решение выполнить дома.
1+cos 2𝑥
1−cos 2𝑥
Применим формулы понижения степени cos2 x =
, sin2 x =
.
2
2
Получим
1+cos 2𝑥
2
-
1−cos 4𝑥
2
1+cos 6𝑥
+
2
1
= 2. Умножим данное уравнение на 2.
Имеем 1 + cos 2x – 1 + cos 4x + 1 + cos 6x = 1,
cos 2x + cos 4x + cos 6x = 0,
2сos
2𝑥+6𝑥
2
·cos
2𝑥−6𝑥
2
+ cos 4x = 0,
2cos 4x·cos 2x + cos 4x = 0,
cos 4x·(2cos 2x + 1) = 0,
cos 4x = 0,
2cos 2x + 1 = 0;
𝜋
𝜋𝑛
х = 8 + 4 , 𝑛 ∈ 𝑍,
5𝜋
x = ± 12 + 𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍.
Для нахождения числа корней, принадлежащих отрезку [0;2π], решим двойные
𝜋
𝜋𝑛
5𝜋
5𝜋
неравенства 0 ≤ 8 + 4 ≤ 𝜋, 0 ≤ 12 + 𝜋𝑛 ≤ 𝜋, 0 ≤ − 12 + 𝜋𝑛 ≤ 𝜋 получим: число корней
уравнения – 12.
Ответ: 12.
V. Домашнее задание
1) из данного списка уравнений: обязательный уровень – 3, 6
для любителей математики – 2, 4, 5
2) рассмотреть пример 8 пункта 11 (учебника) и решить № 175 (в)
VI. Дифференцированная самостоятельная работа с самоконтролем.
Решите уравнения:
I вариант
II вариант
2 cos ²x-cosx-1=0
6 cos ²x+cosx-1=0
2 cos ²x+2sinx=2,5
5 cos ²x+6sinx=6
√3 tg²x-3 tgx=0
3 tg²x-2 tgx=0
sinx=-√3 cosx
sinx = cosx
sin²x-4 sinx cosx+3 cos²x=0
3sin²x+ sinx cosx-2 cos²x=0
VII. Итоги урока.