Углы. Треугольники

4. Углы. Треугольники.
На этом занятии рассматриваются задачи, связанные с углами. Первые
две алгебраические. Далее следуют задачи на построение. Заключают задачи на
вычисление и доказательство.
Задачи взяты из: [16], [17], [4], [10], [5], [13].
Литература
Задача 1. Минутная и часовая стрелки часов совпадают ровно в 12 часов. В
какой момент времени они совпадут впервые после 12 часов.
12
x
М
Решение. Пусть М  точка первой встречи минутной и часовой
стрелки. Конец минутной стрелки проходит по окружности
расстояние в полный оборот + x , за то же время часовая стрелка 
дугу в x . Но так как скорость минутной стрелки в 12 раз быстрее
1 x
1
1
 x . Значит, x  . Через 1
скорости часовой, то
часа
12
11
11
произойдет первая встреча стрелок.
Задача 2. Сколько раз в сутки часовая и минутная стрелки образуют прямой
угол?
Решение.
Задача3. Отсечь с помощью циркуля и линейки от угла в 7 угол в 3.
Решение. Достаточно отложить угол в 7 51 раз последовательно по часовой
(против часовой) стрелки. В сумме получится угол в 357, тем самым получим
угол в 3. Теперь достаточно от угла в 7 отсечь угол в 3 откладывая
соответствующие дуги.
Можно было предварительно построить прямой угол (или даже угол в 30) и
затем отсечь угол в 7.
Задача 4. Можно ли построить угол в 1, имея шаблон угла величиной: а) 17; б)
19; в) 27?
Решение.
Задача 5. Как построить биссектрису угла, вершина которого недоступна?
Указание: Точка (или отрезок) считается недоступной, если она находится за пределами той
части плоскости (доски, листа бумаги), на которой выполняется построение.
Решение.
В задачах на подсчет углов часто пользуются следующим приёмом:
обозначают какие-нибудь углы через … и выражают все углы через них,
затем используют известные из геометрии факты и теоремы. Обычно выбор
самих исходных углов составляет одну из важнейших частей решения.
В
С
D
F
А
Решение. 180 = EBD +BED +BDE =E +B +D +FED +
FDE. Но FED +FDE = 180  FDE = 180 CFA = A+
C. Значит, 180 = E +B+D+A+C, ч.т.д.
E
Задача 6. Докажите, что сумма углов в вершинах пятиугольной звезды равна
180.
Задача 7. В АВС A= 90. Проведены медиана АМ, биссектриса АК, и высота
АН. Докажите, что  MAK= KAH.
Решение.
Задача 8. В АВС угол В между равными сторонами равен 80. Внутри
треугольника взята такая точка М, что  MAC=30. Найдите величину
угла АМВ.
Решение.
Задача 9. Внутри равнобедренного АВС, у которого  ABC =  , отмечена
такая точка М, что  MAB = ,  MBA = . Найдите  BMC, если , ,
 соответственно равны: а)100, 10, 20; б)96, 12, 18.
Решение.
Задача 10. Треугольник АВС обладает следующим свойством. Биссектриса ВВ1
делит его на два равнобедренных треугольника, причем АВ
=ВВ1=В1С. Найти углы АВС.
Решение.
Содержание