Перечень вопросов к экзамену по дисциплине «Высшая

Перечень вопросов к экзамену
по дисциплине «Высшая математика»
для специальности
1-26 01 03 Государственное управление и экономика
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
Числа и числовые множества. Счетность множеств. Границы и
грани.
Отображения.
Перестановки, сочетания. Бином Ньютона.
Комплексные числа. Алгебраическая форма, геометрическое
представление, тригонометрическая форма.
Формулы Муавра, Извлечение корня из комплексного числа.
Многочлены. Корни многочлена. Разложение многочлена на
множители.
Рациональные функции. Представление в виде суммы
простейших.
Метод неопределенных коэффициентов.
Матрицы.
Операции над матрицами. Обратная матрица.
Определители, их вычисление и свойства.
Системы линейных уравнений. Матричная запись. Метод
Крамера.
Метод Гаусса.
Векторы. Базис. Скалярное произведение.
Векторное произведение.
Прямая на плоскости. Способы задания прямой.
Общее уравнение прямой. Линейные неравенства.
Нормальное уравнение прямой. Отклонение точки от прямой.
Плоскость. Способы задания плоскости.
Общее уравнение плоскости. Нормальное уравнение. Отклонение
точки от плоскости.
Эллипс. Гипербола. Парабола.
Параллельный перенос и поворот системы координат.
Упрощение уравнения второй степени.
Последовательности. Ограниченные последовательности. БМП и
их свойства.
Сходящиеся последовательности. Предел. Свойства пределов.
26.
27.
28.
29.
Критерий Коши сходимости последовательности. Монотонные
последовательности, их сходимость.
Предел функции. Теорема Гейне.
Пределы
на
бесконечности.
Бесконечные
пределы.
Односторонние пределы.
sin x
Замечательные пределы lim
x 0 x
и
lim (1 
x 0
1
x) x
.
45.
Непрерывность. Непрерывность на множестве. Односторонняя
непрерывность.
Точки разрыва.
Дифференцируемость функции. Производная, ее геометрический
и экономический смысл. Правила дифференцирования.
Производная сложной функции. Производная обратной функции.
Эластичность функции.
Производные высших порядков. Экономический смысл второй
производной.
Дифференциалы.
Приращение функции. Приближенные вычисления. Теорема
Лагранжа.
Формула Тейлора. Основные разложения.
Правила Лопиталя. Раскрытие неопределенностей различных
видов.
Монотонность функции. Критерии монотонности.
Экстремумы. Необходимое условие, достаточные условия.
Острый экстремум, глобальный экстремум.
Выпуклость. Критерий выпуклости. Перегибы. Экономический
смысл выпуклости.
Асимптоты. План исследования функции.
Неопределенный интеграл, его свойства. Замена переменных.
Интегрирование по частям.
Интегрирование рациональных функций. Метод рационализации.
46.
Вычисление
 R( x, m cx  d )dx,  R( x,
47.
Вычисление
 R(cos x, sin x)dx,  x
48.
Определенный интеграл, Геометрический смысл, экономический
смысл.
Классы интегрируемых функций.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
49.
ax  b
m
ax 2  bx  c)dx.
(a  bx n ) p dx.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.
61.
62.
63.
64.
65.
66.
67.
68.
69.
70.
71.
Свойства определенного интеграла.
Интеграл с переменным верхним пределом. Теорема Барроу.
Формула Ньютона-Лейбница.
Замена переменных в определенном интеграле. Интегрирование
по частям.
Несобственные интегралы.
Приложения интеграла.
Пространство Rn. Точки, расстояние. Множества в Rn.
Функции в Rn. Предел. Теорема Гейне.
Непрерывность функции в Rn. Непрерывность по одной
переменной.
Непрерывность на множестве. Теоремы о непрерывности.
Дифференцируемость функций в Rn. Частные производные.
Необходимые условия дифференцируемости. Достаточные
условия.
Дифференцирование композиции. Частные производные высших
порядков Теорема Шварца.
Дифференциал функции нескольких переменных. Оператор d.
Формула Тейлора.
Локальный экстремум функции нескольких переменных.
Необходимое условие. Исследование стационарных точек.
Условный экстремум функций нескольких переменных.
Глобальный экстремум.
Числовой ряд. Сходимость, сумма ряда. Необходимое условие
сходимости. Геометрический и гармонический ряды. Остаток
ряда.
Критерий сходимости положительного ряда. Признаки
сравнения.
Признаки Даламбера, Коши. Степенной признак сходимости
ряда.
Знакопеременные ряды. Абсолютная сходимость. Признак
Лейбница.
Степенные ряды. Радиус сходимости.
Разложение функций в степенные ряды.
ОДУ. Решение ОДУ. Задача Коши. Линейное ОДУ первого
порядка.
Линейное ОДУ второго порядка.
72.
73.
74.
75.
76.
77.
78.
79.
80.
81.
82.
83.
84.
85.
86.
87.
88.
89.
90.
91.
92.
93.
94.
95.
96.
97.
98.
99.
Понятие случайного эксперимента. Пространство элементарных
событий. Достоверное и невозможное событие.
Операции над событиями (сумма, разность, произведение).
Совместные и несовместные
события. Противоположное
событие.
Свойства операций над событиями.
Алгебра и  - алгебра событий.
Классическое определение вероятности события.
Статистическое определение вероятности события.
Геометрические вероятности.
Понятие о полной группе событий.
Формулы сложения вероятностей для несовместных и
совместных событий.
Условная вероятность. Формула умножения вероятностей.
Независимость событий.
Формула полной вероятности.
Формула Байеса.
Основные понятия комбинаторики. Правила суммы и
произведения. Перестановки, размещения, сочетания и формулы
для их вычисления.
Схема независимых испытаний Бернулли. Наивероятнейшее
число наступления событий в схеме Бернулли.
Теорема Пуассона.
Локальная теорема Муавра – Лапласа.
Интегральная теорема Муавра – Лапласа.
Случайная величина и ее функция распределения. Свойства
функции распределения.
Непрерывные и дискретные случайные величины.
Математическое ожидание случайной величины и его свойства.
Дисперсия
случайной
величины
и
ее
свойства.
Среднеквадратическое отклонение.
Примеры распределений случайной величины: биномиальное,
Пуассона, равномерное, показательное.
Биномиальное распределение, его математическое ожидание и
дисперсия.
Распределение Пуассона, его математическое ожидание и
дисперсия.
Равномерное распределение, его математическое ожидание и
дисперсия.
Показательное распределение, его математическое ожидание и
дисперсия.
Нормальное распределение. Свойства функции Гаусса.
Функция Лапласа и ее свойства. Вероятность попадания
нормальной случайной величины в заданный интервал.
100. Отклонение нормальной случайной величины от ее
математического ожидания. Правило ”трех сигм”
101. Совместная функция распределения двух случайных величин.
Независимые случайные величины. Математическое ожидание и
дисперсия независимых случайных величин.
102. Плотность
совместного
распределения
вероятностей
непрерывной двумерной случайной величины и ее свойства.
103. Корреляционный момент и коэффициент корреляции.
104. Выборочный метод и его основные понятия. Случайная выборка,
объем выборки.
105. Вариационный ряд для дискретных и непрерывных случайных
величин. Полигон и гистограмма.
106. Эмпирическая функция распределения и ее свойства.
107. Статистические
оценки
параметров
распределения.
Состоятельность и несмещенность статистических оценок.
108. Выборочные среднее и дисперсия и их свойства.
109. Надежность и доверительный интервал.
110. Доверительный интервал для математического ожидания
нормального распределения при известной дисперсии.
111. Доверительный интервал для математического ожидания
нормального распределения при неизвестной дисперсии
112. Доверительный интервал для оценки среднего квадратического
отклонения  нормального распределения
113. Проверка статистических гипотез. Нулевая и альтернативная
гипотезы, статистический критерий. Ошибки первого и второго
рода.
114. Этапы проверки статистической гипотезы.
115. Критерий согласия Пирсона о виде распределения.
116. Понятие о регрессионной зависимости случайных величин.
Парная и множественная регрессии.
117. Выборочные уравнения регрессии.
118. Линейная регрессия. Нахождение коэффициентов линейной
регрессии методом наименьших квадратов.
119. Понятие о множественной линейной регрессии.
120. Корреляционная матрица.
121. Понятие о парной линейной корреляции.
122. Понятие о парной нелинейной корреляции. Индекс корреляции.
123. Оценка значимости параметров парной линейной регрессии.
124. Понятие о множественной корреляции.
125. Нелинейная регрессия. Логарифмическая, обратная, степенная, и
показательные модели нелинейной регрессии.
126. Понятие о цепях Маркова. Однородные цепи Маркова.
Переходные вероятности. Матрица перехода.
127. Равенство Маркова. Расчет вероятностей состояния системы с
использованием матрицы перехода.
128. Понятие о цепях Маркова с непрерывным временем.
129. Уравнения Колмогорова. Финальные вероятности цепей Маркова
с непрерывным временем.
130. Понятие о схеме гибели и размножения. Расчет вероятностей
состояний.
131. Понятие о системах массового обслуживания.
132. Одноканальная система массового обслуживания с отказами.
133. Одноканальная система массового обслуживания с ожиданием.
134. Понятие о многоканальных системах массового обслуживания.
Многоканальная модель с отказами.