РАЗДЕЛ 7 ВРЕМЕННОЕ РЕЗЕРВИРОВАНИЕ

РАЗДЕЛ 7 ВРЕМЕННОЕ РЕЗЕРВИРОВАНИЕ
7.1 Временная избыточность
Данный термин был введен в 1967-68 годах, появление данного вида резервирования
связано с изучением процессов накопления в теории восстановления, с планированием
запасов и анализом надежности систем массового обслуживания.1
О временной избыточности говорят только в тех случаях, когда системе в процессе
функционирования предоставляется возможность израсходовать некоторое время для
восстановления ее технических характеристик.
Данный термин применим только для восстанавливаемых систем.
Дадим несколько определений понятий временного резервирования (ВР):

Оперативное время (время функционирования) – время, выделяемое системе
для выполнения возложенных на нее функций tОП;

Полезное время – (TП(t)) интервал времени внутри оперативного времени,
которое тратится только на выполнение функций, предписанных системе;

Минимальное время функционирования – время, минимально необходимое
системе для выполнения возложенных на нее функций Tфmin;

Резерв времени - TР= tОП-Tфmin - дополнительное время, которое выделяется
системе сверх минимально необходимого для повышения уровня ее надежности.
За счет чего могут возникать источники резерва времени? Временной резерв может
создаваться за счет:
 увеличения времени, выделяемого системе для выполнения порученного ей задания
(возрастает оперативное время);
 запаса по производительности, который позволяет уменьшить минимальное время
выполнения задания (резерв создается без увеличения оперативного времени системы).
Запас производительности можно образовать, увеличивая быстродействие системы;
 за счет внутренних запасов выходной продукции (например, в АСОИУ – это
обработанная информация), которая поступает на выход системы, таким образом,
смежные с ней системы «не замечают» частичного прекращения ее функционирования;
 из-за функциональной инерционности системы, когда временной резерв (перерыв в
работе), используемой для проведения, например, ремонта, не влияет на своевременность
выполнения возложенных на нее функций или отказ отдельных частей системы не влияет
1
Черкасский
на отказ всей системы в целом.
В системах без временной избыточности отказом считается событие, состоящее в
потере работоспособности. При этом система не может выполнить задание. В системе с
резервом времени нарушение работоспособности не означает не выполнения задания, так как
в течение резервного времени допускается восстановление.
Отказ – событие, после возникновения которого система уже не способна выполнить
задание при заданных условия эксплуатации.
7.2 Классификация отказов
В
таблице
7.1
приведен
перечень
отказов,
возникающих
при
временном
резервировании.
Таблица 7.1
Признак
Название
1. Скорость расходования резервного
1.1 Внезапный
времени
1.2 Постепенный
2. Устойчивость отказа
2.1 Устойчивый
2.2 Самоустраняющийся (сбой)
3. Характер последствий
3.1 Необесценивающий
3.2 Частично обесценивающий
3.3 Полностью обесценивающий
1.1 Если при нарушении работоспособности системы происходит обесценивание такого
объема проделанной работы, что для ее повторения уже не достаточно оставшегося резерва
времени.
1.2 Резерв времени расходуется постепенно и с момента нарушения работоспособности
до момента, когда резерв окажется исчерпанным, может пройти значительное время
(постепенный отказ системы с временной может произойти как вследствие постепенного
ухудшения
технических
характеристик,
так
и
из-за
внезапного
нарушения
работоспособности).
2.1 Если после окончания резерва времени на восстановление работоспособности
необходимо еще некоторое время.
2.2 Потери рабочего времени в точности равны выделенному резерву (встречается
редко). Характерны для систем с постоянным контролем работоспособности.
3.1 Если система после восстановления работоспособности может возобновить работу с
того же самого места, на котором она была прервана (в данном случае не требуется
повторного выполнения работ и вся наработка на отказ является полезной).
3.2 Характерны для систем с периодическим контролем работоспособности, а также
для некоторых систем с непрерывным контролем, у которых периодически фиксируются и
сохраняются промежуточные результаты работы. Поэтому после наступления отказа система
начинает свою работу не с начала, а с точки последнего сохранения промежуточных
результатов.
3.3 Когда система начинает свою работу заново, повторяя работу, проделанную до
момента отказа. Вся наработка до наступления отказа оказывается бесполезной, если она
меньше заданной величины, и должна быть включена в потери рабочего времени (могу
возникнуть и все три типа отказов в определенной пропорции)
Понятие отказа является субъективным, так как объективно невозможно установить
признаки отказа, не всегда удается четко установить границы потерь времени, при
нарушении которых теряется качество.
Все зависит от того, каким образом выделяется (назначается) и расходуется резерв
времени.
7.3 Классификация методов временного резервирования
При временном резервировании различают следующие виды резервирования, они
приведены в таблице 7.2.
Таблица 7.2
Признак
Название
1. Способ расходования
резерва времени
1.1 общее
1.2 раздельное
1.3 частичное (групповое)
2. Способ
резерва
2.1 непополняемый резерв (заранее фиксированный)
2.2 мгновенно пополняемый резерв
2.3 комбинированный
2.4 пополняемый резерв с конечным временем
назначения
1.1 При общем резервировании выделяемый резерв времени можно израсходовать на
восстановление работоспособности любых устройств (элементов) системы.
1.2 Раздельное резервирование характерно для последовательно соединенных
многофазных систем, когда резерв времени выделяется для каждого элемента системы
отдельно и не может быть использован на восстановление работоспособности других
элементов системы.
1.3 Резерв времени выделяется на группу последовательно соединенных элементов,
который может расходоваться на восстановление элементов только этой группы.
2.1 Резерв времени устанавливается заранее до начала работы и предназначен для
компенсации любых потерь рабочего времени (см. рисунок 7.1). При нарушении
работоспособности он используется для устранения отказа и его последствий.
tп
1
2
Момент
наступления
отказа
3
1
Т1
2
Т2
Т3
3
Т4
4
t
Рисунок 7.1 – Временная диаграмма при непополняемом резерве времени
2.2 Для восстановления работоспособности любого отказавшего элемента всегда
выделяется одно и тоже время, не зависящее от количества предшествующих отказов и
времени, затраченного на их устранение (см. рисунок 7.2). В момент окончания ремонта
резерв времени немедленно пополняется до начального уровня (ограничение существует
только на i – время проведения каждого ремонта).
TД
1
Т1
1
Т2
2
2
4
3
Т3
3
Т4
4
t
Рисунок 7.2 – Временная диаграмма при мгновенно пополняемом резерве времени
2.3. Резерв времени содержит (см. рисунок 7.3) две составляющие: 1) непополняемая,
которая по мере простоев уменьшается до нуля; 2) мгновенно пополняемая tмп в момент
восстановления работоспособности. В таких системах на каждый ремонт резерв времени
выделяется небольшими порциями tд.
tп
1
tмп
2
tд
tмп
tд
3
tд
tмп
1
Т1
2
Т2
Т3
3
tд
Т4
tмп
4
t
Рисунок 7.3 – Временная диаграмма при комбинированном резерве времени
2.4 если система не подходит ни под один из рассмотренных классов, то она считается
системой со сложными ограничениями (с конечным временем пополнения резерва).
tД
Т1
1
Т2
2
Т3
3
Т4
4
t
Рисунок 7.4 – Временная диаграмма при пополняемом резерве с конечным временем
7.4 Количественные характеристики надежности систем с временной
избыточностью
Дадим определения основных показателей надежности, которые используются при
временном резервировании.
Вероятность безотказного функционирования равна вероятности того, что в течение
оперативного времени tОП не наступит отказ.
PБФ  PT  t ОП   PT  t B 3 ,
(7.1)
где T -время работы до отказа (общее определение);
tОП -оперативное время.
Для кумулятивных систем
PБФ  Pt B 3  T  - вероятность того, что время
выполнения задания не превысит заданного (допустимого).
Вероятность невыполнения задания равна вероятности того, что в течение
оперативного времени tОП наступит отказ
Q  1  PБФ .
(7.2)
В системе без временной избыточности под KГ(t) понимают вероятность застать
систему в состоянии работоспособности в произвольный момент времени t.
Однако в условиях временной избыточности этого показателя недостаточно.
Необходимо знать и вероятность того, что система сможет начать работу либо немедленно,
либо с некоторой задержкой, не превосходящей допустимого значения, зависящего от
назначенного резерва.
Коэффициент готовности на заданное время KГ(t,) - вероятность того, что система
находится в работоспособном состоянии или сможет начать свою работу немедленно или с
некоторой допустимой задержкой, зависящей от назначенного резерва времени.
K Г ( t , )  K Г ( t )  ( 1  K Г ( t ))  P  t 3 ,
(7.3)
где K Г ( t ) - вероятность того, что система находится в работоспособном состоянии в
заданный момент времени t;
 - длительность временной задержки от t до момента наступления работоспособности;
t 3 - предельно допустимое время задержки.
Можно получить статистическую оценку K Г
K r (t ) 
N
N
i 1
N
i 1
N
 Ti   i'
 T  
i 1
i
i 1
,
(7.4)
i
где
Ti - время работы до i-го отказа
 i - время восстановления после i-го отказа
N - количество отказов, происшедших за время (0,t),
 i'
- часть интервала времени восстановления, зависящая от величины резерва и
условий функционирования системы.
7.5 Надежность
кумулятивной
системы
с
необесценивающими
отказами
Системы с непополняемым резервом времени называется кумулятивными.
Приведем примеры кумулятивных систем с необесценивающими отказами (КСНО):
1) система передачи данных, в которых передаваемое сообщение делится на небольшие
части (слова). При нарушении работоспособности обесценивается работа только по передаче
1 слова – это время бесконечно мало по сравнению с временем передачи и его можно не
учитывать.
2) ЭВМ с развитой системой контроля и диспетчеризацией вычислений (не всегда
выгодно).
Т1
1
2
Т2
Т3
tВЗ
Т
t
Тп(t)
tВЗ
Т0
t
t
Время простоя
ТР
1
Временная диаграмма работы КСНО
Т
0
Рассмотрим постановку задачи. Системе выделяется Тр – резерв времени, который
используется только на восстановление
ее работоспособности. Тогда вероятность
безотказного функционирования будет зависеть от
t


PБФ ( TФ min )  PT0  ton   P To  TФ min  T p ,
(7.5)
где Т0 – время работы до 1-го отказа в системе с временной избыточностью;
Tоп – оперативное время.
Так как To  T  T p , то формулу (7.5) можно записать в виде
PБФ ( T p , ton )  PБФ ( T p , tФ min )  PT  TФ min 
Запишем PБФ ( Tp , tФ min ) в интегральном виде. Для этого сделаем следующие допущения:
1. Система в начальный момент времени всегда работоспособна.
2. Наработка
на
отказ
системы
без
резерва
времени
(время
безотказного
функционирования) T – независимая случайная величина с функцией распределения
FT ( t ) .
3. После устранения отказа система полностью восстанавливает все свои свойства,
следовательно, функция распределения FT ( t ) одинакова на любом участке работы.
4. Время восстановления  (то есть времена от момента обнаружения отказа до
восстановления работоспособности системы) - независимая случайная величина,
имеющая одинаковую функцию распределения F ( t ) .
5. Количество восстановлений на оперативном участке времени TОП не ограничивается.
Введем следующие обозначения:
A - событие, состоящее в том, что задание выполнено;
An - событие, состоящее в том, что произошло n нарушений работоспособности.
По формуле полной вероятности получаем

   n
n 1
n

PБФ ( Т Ф min ,T p )  P ( A )   P ( A / An )  P ( An )    P    i  T p ,  Ti  TФ min /  Ti TФ min  
n 0
n 0   i  1
i 1
i 1

n
    n
 n
    n

 P   Ti TФ min     P    i  T p ,Tn 1  TФ min   P   Ti TФ min     P    i  T p  
i 1
  n 0   i  1
 i 1
  n 0   i  1

n
 
 PTn 1  TФ min  P   Ti TФ min    F n ( T p )  FT ( TФ min )  FT n ( TФ min )
i 1
  n 0

F n ( T p )  FTo ( TФ min )  1;
При n=0
PБФ ( TФ min , T p )  1  FT ( TФ min )  PБФ ( TФ min )
Где FTN () - n-ая свертка по Стильтиесу.
При n=1
PБФ ( TФ min ,T p )  ( 1  FT ( TФ min )  F ( T p )  FT ( TФ min )
При экспоненциальном законе распределения временных интервалов
n 1
Fn (Tp )  1  
i 0
( Tp )i
i
e
  T p
- неполная гамма-функция
Fo (t )  1  e t
FT (t )  1  e  t
n 1
FTn (TÔ min )  1  
(  Tô )i
i
i 0

Páô  1   e
 T Tô min
k 0
e
  Tô
 n 1 ( T )i   T   n 1 ( T

)i
 1   o p e o p  1   T Ô min e  oTá 
i!
 i  0 i!
  i  0

Если допущение №5 неверно, то есть существует ограничение на число восстановлений
(например, при отказе элемента он заменяется на новый, а число запасных элементов
ограничено), то полученные формулы неверны и это необходимо учитывать (не всегда
удается получить формулу для Рбф простой заменой в сумме  на n). При неограниченном
резерве
времени
такое
резервирование
становится
аналогичным
ненагруженному
скользящему резервированию с абсолютно надежными переключателями (при однофазном
составе элементов).
7.6 Надежность кумулятивной системы с обесценивающими отказами
Приведем примеры кумулятивных систем с обесценивающими отказами:
1) системы с полным отсутствием контроля работоспособности системы;
2) системы, в которых трудно обнаружить причины возникновения отказа (например,
ошибки в исходных данных);
3) возникший отказ вызвал разрушение или «порчу» уже обработанного продукта
(например, в АСОИУ - невозможность доступа к рабочей области памяти).
Справедливы все допущения, сделанные в § 7.5.
Исходя из временной диаграммы (см. рисунок 7.7) время выполнения задания TВЗ
можно представить как сумму полезного времени (Tфmin) и суммарного времени простоя
tпростоя
N
N
i 1
i 1
TВЗ= Tфmin+tпростоя+Tфmin+  Ti +  i , где N  1
Ti  Tф min
n

Páô (Òô min , Òð )  1  FT (Tô min )   P  i  T p , Tn 1  Tô min   PTi  Tô min , i  1, n
n 1  i 1



 1  FT (Tô min )   FN (T p )  1  FT (Tô min )FTN (Tô min )
n 1
Т
1
Т
1
Т
2
2
2
Т
Т
3
n
n
з
tВЗ
Т
Т
1
3
отка
х
t
Время простоя
Т
Р
Тn
Т
х
Время простоя
3
Т
2
Т
Т
1
tвз
При n  0 PБФ ( Т ф min ,Т р )  1  FT ( Tф min )  PT ( Tф min )
При n  1 PБФ ( Т ф min ,Т р )  1  FT ( Tф min )  F ( T p )  1  FT ( Tф min ) 
1  FT ( Tф min )1  F ( T p )  FT ( Tф min )
0
х
t