Инженерные расчеты в электротехнике - Северо

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
СЕВЕРО-КАВКАЗСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГУМАНИТАРНОТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ
Кафедра электрических и информационных технологий
ИНЖЕНЕРНЫЕ РАСЧЁТЫ
В ЭЛЕКТРОТЕХНИКЕ
Методические указания
к выполнению контрольных работ
для студентов специальности 140211
Черкесск, 2013
2
Рукопись одобрена на заседании кафедры «Электрические и информационные технологии».
Рекомендована
к
изданию
редакционно-издательским
советом
Северо-
Кавказской государственной гуманитарно-технологической академии.
Составители:
доцент кафедры «Электрические и информационные технологии» И.А. Гурина,
Рецензент:
Зав. кафедрой «Электрические и информационные технологии» доцент В.А. Шелест
3
1. Методические указания к выполнению контрольных работ
1.1. Структура индивидуального задания
В ходе выполнения контрольных работ каждый студент выполняет индивидуальное задание, которое состоит из трех разделов:
1. Теоретический вопрос.
2. Отделение корней нелинейного уравнения различными методами.
3. Методы расчета СЛАУ.
4. Расчет ОДУ различными методами
1.2. Методика выполнения индивидуального задания
Номера индивидуальных заданий по каждому из разделов определяются по порядковому номеру студента в списке группы и выдаются преподавателем.
Изучив необходимые литературные источники и техническую документацию,
необходимо осветить вопрос первого раздела, определенный номером задания. Не
следует ограничиваться литературой, приведенной в данном методическом указании, рекомендуется обращаться к другим литературным источникам, журналам,
сборникам и электронным информационным ресурсам.
Во втором разделе необходимо отделить корни заданного нелинейного уравнения аналитическим и графическим методами.
В третьем разделе выполняется расчет коэффициентов систем линейных алгебраических уравнений, к решению которых сводится большинство задач электротехники.
В четвертом разделе различными методами решается обыкновенное дифференциальное уравнение.
Краткие теоретические сведения
2. Решение нелинейных уравнений
Задача нахождения корней нелинейных уравнений вида F(x)=0 встречается в
различных областях научных и инженерных исследований.
Методы решения нелинейных уравнений делят на прямые (точные) и итерационные (приближенные).
Прямые методы позволяют найти решение непосредственно с помощью формул и всегда обеспечивают получение точного решения. Например, корни квадратного уравнения.
Однако на практике чаще встречаются уравнения, которые не удается решить
такими простыми методами. Для их решения используются итерационные методы,
т.е. методы последовательных приближений. Здесь процедура решения задается в
виде многократного применения некоторого алгоритма. Полученное решение всегда
является приближенным, хотя может быть сколь угодно близким к точному.
4
Алгоритм нахождения корня уравнения с помощью итерационного метода состоит из двух этапов:
1) отыскание приближенного значения корня или содержащего его отрезка;
2) уточнение приближенного значения корня до некоторой заданной степени точности.
Корень  уравнения f(x)=0 считается отдельным на отрезке [a, b], если на этом
отрезке уравнение f(x)=0 не имеет других корней.
Отделить корни - это значит разбить всю область допустимых значений на
отрезки, в каждом из которых содержится один корень. Отделение корней можно
произвести двумя способами – графическим и аналитическим.
При графическом методе поступают следующим образом: строят график
функции y=f(x) для уравнения f(x)=0 или представляют уравнения в виде  (x)= g(x)
и строят графики функций y(x)= (x) и у(x)=g(x). Значения действительных корней
уравнения являются абсциссами точек пересечения графиков функций y(x)= (x) и
у(x)=g(x). Отрезки, в которых заключаются только по одному корню, легко находятся.
Пример. Пусть кривая графика функции y=f(x) трижды пересекает ось абсцисс
 уравнение имеет три простых корня (рис. 1).
x3
x3
x1
x1=x2
x2
Рис. 1.
Рис. 2.
Если же кривая касается оси абсцисс, то уравнение имеет двукратный корень
(рис.2). Например, уравнение x3  3x  2  0 имеет три корня: x1  2, x2  x3  1
y
y=x3-3x+2
-2
0
1
x
Если же уравнение имеет трехкратный действительный корень, то в месте касания с осью кривая график y=f(x) имеет точку перегиба (рис.3).
5
y
x1=x2=x3
x
Рис. 3.
Графический метод отделения корней не обладает большой точностью. Он дает возможность грубо определить интервалы изоляции корня. Далее корни уточняются другими способами.
Аналитический метод отделения корней.
Аналитически корни уравнения f(x)=0 можно отделить, используя свойства
функции из курса математики.
Теорема 1. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и принимает на
концах этого отрезка значения разных знаков, то внутри отрезка [a, b] существует,
по крайней мере, один корень уравнения f(x)=0.
Теорема 2. Если функция f(x) непрерывна и монотонна на отрезке [a, b] и принимает на концах этого отрезка значения разных знаков, то внутри отрезка [a, b], содержится корень уравнения f(x)=0, и этом корень единственный.
Теорема 3. Если функция f(x) непрерывна на [a, b] и принимает на концах отрезка значения разных знаков, а производная f '(x) сохраняет постоянный знак внутри отрезка, то внутри отрезка существует корень уравнения f(x)=0 и притом единственный.
Точки, в которых производная функции равна нулю, а также те, в которых она
не существует (например, обращается в бесконечность), но функция сохраняет непрерывность, называются критическими (признак экстремума)
Если функция f(x) непрерывна на [a, b], то на этом отрезке всегда имеются
точки, в которых она принимает наибольшее и наименьшее значения. Этих значений
функция достигает или в критических точках, или на концах отрезка.
Следовательно, чтобы определить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке, надо:
1) определить критические точки функции;
2) вычислить значения функции в них и на концах отрезка [a, b];
3) наибольшее из значений, найденных в п. 2) будет наибольшим, наименьшее
– наименьшим значением функции на отрезке.
В связи с вышеизложенным рекомендуется следующий порядок действий для
отделения корней аналитическим способом.
1.
Найти первую производную - f(x).
2.
Составить таблицу знаков функции f(x), полагая x равным:
6
а) критическим значениям (корням) производной или ближайшим к ним;
б) граничным значениям (исходя из области допустимых значений неизвестного).
3.
Определить интервалы, на концах которых функция принимает значения противоположных знаков. Внутри этих интервалов содержится по одному и
только по одному корню.
Пример: Отделить корни уравнения 2 x  5x  3  0 аналитическим методом.
Решение: Обозначим f(x)= 2 x  5x  3 . Область определения функции f(x)- вся
числовая ось.
Найдем f(x)= 2 x ln 2  5 . Приравниваем эту производную нулю и вычисляем
корень: 2 x ln 2  5 =0; прологарифмируем
2 x ln 2  5  0;
2 x ln 2  5;
2x 
5
;
ln 2
x lg 2  lg 5  lg ln 2 ;
lg 5  lg ln 2 0,6990  0,1592 0,8582
x


 2,35
lg 2
0,3010
0,3010
Составляем таблицу знаков функции f(x), полагая x равным:
а) критическим значениям (корням производной) или ближайшим к ним;
б) граничным значениям (исходя из области допустимых значений неизвестного)
x
2
3
+
- 
sign f(x) знак
+
-
-
+
Уравнение имеет два корня, т.к. происходят две перемены знака функции.
Составим новую таблицу, с более мелкими интервалами изоляции корня:
x
- 1
0
1
2
3
4
5
sign f(x)
+
-
-
-
-
-
+
Корни уравнения заключены в промежутках (-1,0) и (4,5).
3. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ
АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ (СЛАУ).
3.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.
Успешное решение большинства инженерно-технических задач в значительной степени зависит от умения быстро и точно получать решение систем линейных
алгебраических уравнений (СЛАУ). С решением систем уравнений инженер чаще
всего встречается на практике. В некоторых случаях решение чисто практических
задач приводит к рассмотрению СЛАУ, в других случаях задача сводится к ним.
7
Ниже мы рассмотрим систему из n уравнений с n неизвестными. Каждый член
такого уравнения содержит одно неизвестное в первой степени. Такие системы
уравнений называются линейными. Имеет смысл рассмотреть систему двух уравнений с двумя неизвестными. Как известно каждое уравнений в этом случае изображает прямую линию. Возможны следующие положения прямых относительно друг
друга:
1. Прямые пересекаются в одной точке. В этом случае говорят, что система
имеет единственное решение. Например,
2 x  y  4
 x  y  1

(3.1)
Решение этой системы х=1 и у=2. Никакие другие значения не могут одновременно удовлетворить двум уравнениям этой системы.
Геометрическое представление этой ситуации выглядит таким образом:
у
х-у= -1
5
4
3
2
(х=1, у=2)
1
2х+у=4
1
2
3
4
х
Рис. 3.1
Далее будем рассматривать именно такие системы уравнений, т.е. имеющие
единственное решение.
Как видно из рисунка две прямые линии, соответствующие двум уравнениям
пересекаются в одной и только в одной точке. Координаты этой точки как раз и являются искомым решением.
2. Прямые линии, описываемые уравнениями системы параллельны.
Рассмотрим пример
4 x  6 y  10
2 x  3 y  6

Геометрическое представление этой системы таково:
(3.2)
8
у
2
2х+3у=6
1
4х+6у=10
1
2
х
3
Рис. 3.2
На рис. 3.2 явно видно, что система не имеет решения.
3. Две прямые совпадают. Это соответствует геометрически тому, что прямые
сливаются, система имеет бесчисленное множество решений.
Например, система
4 x  6 y  12
2 x  3 y  6

(3.3)
Геометрическое представление этой системы следующее
у
2
2х+3у=6
1 4х+6у=12
1
2
3
4
х
Рис. 3.3
Оба уравнения изображаются одной и той же прямой линией. Системы уравнений типа (3.1), (3.2) называются вырожденными.
С математической точки зрения системы линейных уравнений всегда являются или вырожденными, или невырожденными. В реальных практических задачах
могут существовать почти вырожденные. В практических же вычислениях могут
быть почти вырожденные системы, при решении которых получаются недостоверные значения неизвестных.
5 х  7 у  12

7 х  10 у  17
Пример. Рассмотрим систему уравнений:
(3.4)
9
Она имеет единственное решение х=1, у=1. Теперь рассмотрим пару значений
неизвестных х=2,415, у=0. Если подставить эти значения в исходные уравнения, то
получим
5 * 2,415 + 7 * 0 = 12,075
(3.5)
6 * 2,415 + 10 * 0 = 16,905
После округления до двух значащих цифр правые части (3.4) и (3.5) совпадут. Таким образом, решение (3.5) так же хорошо отвечает условиям поставленной задачи,
как и решение х=1, у=1. В чем же тут дело? А дело в том, что две прямые линии,
описываемые двумя уравнениями системы, почти параллельны (рис. 3.4).
у
2
5х+7у=12
1
7х+10у=17
(1;1)
(2,415;0)
1
2
3
х
Рис.3.4. Геометрическая интерпретация почти вырожденных систем двух уравнений.
Системы типа (3.4) называются плохо обусловленными. Для таких систем
нахождение решения становится весьма трудоемким процессом.
3.2.
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СЛАУ.
Методы решения СЛАУ делятся на прямые и итерационные. Прямые методы
позволяют получить решение за конечное число арифметических действий, просты
и наиболее универсальны. К ним можно отнести метод Гаусса, некоторые его модификации, метод Крамера и т.д. Последний метод практически редко применяется
для систем порядка n>3. Для систем порядка n<200 на практике часто применяются
прямые методы. Но при n>200 дают о себе знать ошибки округления, возникает
необходимость увеличения разрядности данных.
Итерационные методы, как самоуточняющиеся (имеется в виду ненакопляемость ошибок округления), применимы для больших систем. Они позволяют для
больших n разбить матрицу системы на квадратные блоки и проводить вычисления
корней системы. Особенно эффективно их применение для систем со слабо заполненной матрицей (т.е. где много нулевых элементов). Что касается плохо обусловленных систем, то для них применяются методы регуляризации.
10
Метод простой итерации (метод Якоби).
Простейшим итерационным методом решение систем линейных уравнений
является метод простой итерации. Итак, пусть дана СЛАУ
a11x1  a12 x2  a13 x3 ...  a1n xn  b1
a21x1  a22 x2  a23 x3 ...  a2 n xn  b2
a31x1  a32 x2  a33 x3 ...  a3n xn  b3
(3.6)
.....................................................
an1 x1  an 2 x2  an 3 x3 ...  ann xn  bn
Систему (3.6) можно записать в матрично-векторном виде, если ввести следующие
обозначения:
 a11 a12 a13 ...а1n 
 x1 
 b1 
a
x 
b 
a 22 a 23 ...a 2 n 
21
2




 2
A   a31 a32 a33 ...a3n  ,
X   x3  ,
B   b3 
............................ 
..... 
.....
a



b 
 xn 
 n
 n1 a n 2 a n 3 ...a nn 
Т. е. с их учетом система (3.6) запишется так: АХ=В
.
Предположим, что диагональные элементы aii  0 ( i  0, n) и выразим из
первого уравнения x1 , из второго - x 2 и т.д. В результате получим следующую равносильную (3.6) систему:
1
x1 
(b1  a12 x2  a13 x3 ...  a1n xn )
a11
1
x2 
(b2  a21x1  a23 x3  ...  a2 n xn )
a22
(3.7)
.............................................................
1
xn 
(bn  an1 x1  an 2 x2  ...  an ( n 1) xn 1
ann
bi
 i ;
Введем следующие обозначения:
aii

aij
aii
  ij ,
где i  1, n;
j  1, n
Используя эти обозначения, запишем систему (3.7) следующим образом:
x1  1  12 x2  13 x3  ...  1n xn
x2   2   21x1   23 x3  ...   2 n xn
.............................................................
xn   n   n1 x1   n 2 x2  ...   n , n 1 xn 1
(3.7)
11
Эта система называется системой, приведенной к нормальному виду. Её можно записать в таком виде:
Х=+Х
(3.8)
где
12 13 ....1n 
11

 22  23 .... 2 n 
 21

    31  32  33 .... 3n  ,
............................



 n1  n 2  n 3 .... nn 
 x1 
x 
 2 
X   x3  ,
..... 
x 
 n 
 1 
 
 2
   3 
..... 
 
 n
Координатная запись (3.8) выглядит так:
12 13 ....1n   x1 
11
 x1   1 

 x   
 21  22  23 .... 2 n   x 2 
2
2

 

  

 x3     3     31  32  33 .... 3n  *  x3 
............................
 ..... 
.....  ..... 

 
 x   

 n   n
 n1  n 2  n 3 .... nn   x n 
(3.9)
Решим систему (3.9) методом итерации. Для этого за нулевое приближение
примем столбец свободных членов:
 x 1(10)
 (0)
 x2
 x3( 0)

.....
 xn( 0)



  1

2 

   3 
  
 ..... 
   n 

- нулевое приближение
Следующие приближения «строят» в такой последовательности:
 x1(1)
 (1)
 x2
 x (1)
: 3
.....
 (1)
 x n
 x1( 2)
 ( 2)
 x2
 x3( 2)
.....
 ( 2)
 xn
  
11 12 13 ....1n 
  1

 22  23 .... 2 n 
  2 
 21

    3     31  32  33 .... 3n 
 ..... 
............................

  


   n 
  n1  n 2  n3 .... nn 
 x1( 0) 
 (0) 
 x2 
*  x3( 0) 
.....  - первое приближение
 (0) 
 x n 
(1)
  
11 12 13 ....1n   x1 
1
  
 (1) 

 22  23 .... 2 n   x2 
21
  2 


    3     31  32  33 .... 3n  *  x3(1) 
- второе приближение
 ..... 
............................
 ..... 
  

  (1) 


....

   n 
n
1
n
2
n
3
nn

  xn 
12
Пример. Методом простой итерации решить систему
8 x1  x 2  x 3  26

 x1  5 x 2  x 3  7
 x1  x 2  5 x 3  7
Решение: 1) Приведем систему к нормальному виду:
 x1  3,25  0,125 x 2  0,125 x3

 x 2  1,4  0,2 x1  0,2 x3
 x3  1,4  0,2 x1  0,2 x 2
 0 - 0,125 - 0,125
  - 0,2 0
0,2 


0
- 0,2 0,2

2) Строим последовательные приближения
X (0)
3,25
  1,4 


1,4 
 x1(10 )  3,25


  x2( 0 )   1,4 


 x3( 0 ) .  1,4 n 


Первое приближение:
 x1(1)
 (1)
 x2
 x (1)
 3
  3,25
 0 - 0,125 - 0,125  3,25
2,9 
 


0,2  * 1,4   1,03
  1,4   - 0,2 0
 1,4 
- 0,2 0,2
 1,4 
1,03
0

 
Второе приближение:
 x1( 2)
 ( 2)
 x2
 x( 2)
 3
  3,25
 0 - 0,125 - 0,125  2,9  2,992
 


0,2  * 1,03  1,026 
  1,4   - 0,2 0
 1,4 
- 0,2 0,2
 1,03 1,026 
0
  n 
Третье приближение:
 x1(3)
 ( 3)
 x2
 x ( 3)
 3
  3,25
 0 - 0,125 - 0,125  2,992 2,9935
 


0,2  * 1,026   1,0068 
  1,4   - 0,2 0
 1,4 
- 0,2 0,2
 1,026  1,0068 
0
  n 
( 3)
Таким образом x1  2,9935;
Определим
x2(3)  1,0068;
x3(3)  1,0068 .
 i  max x i( 2 )  x i( 3)
 1  2,992  2,9935  0,0015
 2  1,026  1,0068  0,0192
3  2
13
Максимальное отклонение меньше между 2-й и 3-й итерацией   0,0192 . Если требуемая точность выполнения   10 , то можно в данном случае ограничиться тремя итерациями.
Условия сходимости итерационного процесса.
Сходимость итерационного процесса зависит от величины элементов матрицы
 следующим образом: если сумма модулей элементов строк или элементов столбцов меньше единицы, то процесс итерации для данной системы сходится к единственному решению независимо от выбора начального приближения.
Сказанное записывается в виде неравенств:
2
n
(*)
  ij  1
n
(i  1, n)

или
j 1
i 1
ij
1
( j  1, n)
Пример. Для рассмотренной системы
0 - 0,125 - 0,125
   0,2 0
0,2 
 0,2 0,2
0 
11  12  13  0  0,125  0,125  0,25  1
и
 21   22   32  0,2  0  0,2  0,4  1
,
 31   32   33  0,2  0,2  0  0,4  1
следовательно, сформулированные достаточные условия выполняются. Итерационный процесс сходится.
Блок-схема метода простой итерации.
начало
ввод данных
выбор начальных
приближений
xi = x i( 0 )
вычисление
новых значений
xi = x i(1)
малы
ли изменения
xi ?
нет
да
вывод результатов
замена значений
x i( 0 )
на
x i(1)
14
Исходными данными для алгоритма являются: массив коэффициентов А; В - массив
свободных членов системы,    i( 0)
( i  1,..., n) - начальное приближенное реше-
ние, Е - заданная погрешность уточнения решения.
4. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
В практике инженерных расчетов часто возникает необходимость решения
дифференциальных уравнений. Дифференциальными уравнениями называются такие уравнения, в которых неизвестными являются функции одного или нескольких
переменных, причем в уравнения входят не только сами функции, но и их производные. Если производные, входящие в уравнения, берутся только по одной переменной, то дифференциальные уравнения называются обыкновенными. Если в уравнениях встречаются производные по нескольким переменным, то уравнения называются уравнениями в частных производных.
Далее мы будем рассматривать обыкновенные дифференциальные уравнения
первого порядка вида y '  f ( x , y ) .
Пример: Возьмем уравнение
Ему удовлетворяет функция
y '  2x
(2.1)
y  x 2 , которой соответствует парабола с вершиной
в начале координат, но ему удовлетворяет также и всякая функция y  x + С, где
С – произвольная постоянная. Таким образом, интегральные кривые составляют целое семейство (интегральная кривая называется решением).
2
3
2
1
Рис. 2.1
Если в дополнение к дифференциальному уравнению задать значение y для
некоторого значения х, то можно определить постоянную С. Например, предполо-
15
жим, что решение (1) должно проходить через точку х=0; у=1, что обычно записывается в следующем виде:
у(0) = 1
(2.2)
При этом легко найти, что постоянная С равна 1 и что из всего семейства интегральных кривых, приведенных на рис.2.1, только одна удовлетворяет одновремен-
y  x + 1.
но (2.1) и (2.2):
Существует множество приемов для нахождения решений дифференциальных уравнений через элементарные или специальные функции. Однако очень часто
в практических задачах такие методы или вообще не приемлемы, или приводят к таким сложным решениям, что затраты труда на их получение или на соответствующе
расчеты превосходят все допустимые пределы. Например, внешне простое уравне2
2
2
ние y'  x  y не имеет элементарного решения.
В большинстве практических задач коэффициенты или функции в дифференциальном уравнении могут содержать существенные нелинейности или даже задаваться в виде таблиц экспериментальных данных. Для таких уравнений единственно эффективным методом решения становятся численные методы.
2.2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Итак, дано дифференциальное уравнение первого порядка y '  f ( x , y ) , где
y '  dy / dx при начальном условии y( x0 )  y0
f(x,y) - заданная функция двух переменных x и y; x0 , y 0 - известные числа.
Требуется найти решение y=y(x) этого уравнения, удовлетворяющее началь-
y( x0 )  y0
ному условию
(2.3)
Такая задача называется задачей Коши. Геометрический смысл решения этой задачи
состоит в нахождении кривой y=y(x), проходящей через заданную точку
A0 ( x0 , y0 ) (Рис. 2.2).
y
y=y(x)
у
A0 ( x0 , y0 )
y0
0
х0
х
х
Рис. 2.2. График интегральной кривой y=y(x), проходящей через точку A0 ( x0 , y0 )
16
Методы численного решения задачи Коши формулируются так: найти значения y1 , y 2 ,.... y n в точках (узлах) x1  x0  h, x 2  x0  2h,....x n  x0  nh отрезка
[a,b] (рис.2.3), где h – шаг интегрирования, x0  a, xn  b .
x 0  h x 0  2h x 0  3h
x0
а
x 0  ih
xn
h
b
Рис.2.3. Расположение узлов на отрезке [a,b].
Нанеся точки ( x0 , y( x0 )), ( x1 , y( x0  h)),...., ( xn , y( x0  nh)) на координатную
плоскость и соединив их отрезками, получим ломанную Эйлера – приближенное
изображение истинного решения (Рис.2.4). Таким образом искомое решение у=у(х)
заменяется приближенно ломаной линией. Получим погрешность такого подхода
чисто геометрически.
у
( x3 , y 3 )
( xn , y n )
( x2 , y 2 )
( x1 , y1 )
( x0 , y 0 )
0
x0
x1
x2
x3
xn
Рис. 2.4. Ломанная Эйлера.
2.3. МЕТОД ЭЙЛЕРА (МЕТОД ЛОМАННЫХ)
xk , yk на искомой интегральной кривой. Тогда мы можем провести касательную к этой кривой в точке xk , yk с тангенсами угла наклона y '  f ( xk , yk ) . Это построение показано на рис. 2.5, где кривая
Предположим, что нам известна точка
представляет собой точное, но, конечно неизвестное решение уравнения, а прямая
L1 - касательная в точке xk , yk . Тогда следующей точкой решения можно считать
L1 пересечет ординату, проведенную через точку
ту, где прямая
x  xk 1  xk  h .
Уравнение касательной L1 выглядит так:
17
y  yk  yk' ( x  xk ) ,
но yk  f ( xk , yk ) , и, кроме того, xk 1 
С учетом этих соотношений, имеем:
'
хk  h .
yk 1  yk  hf ( xk , yk )
(2.4)
Полученное соотношение (2.4) есть расчетная формула метода Эйлера. Погрешность при
х  xк1 показана в виде отрезка r рис. 2.5.
L1
r
y=y(x)
yk 1
yk
xk
h
xk 1
Рис. 2.5. Геометрическое представление метода Эйлера.
Формула (2.4) описывает метод Эйлера, один из самых старых и широко известных методов численного решения дифференциальных уравнений. Этот метод
имеет довольно большую погрешность, кроме того, он очень часто оказывается неустойчивым – малая ошибка (возникающая в результате округления или заложенная
в исходных данных) увеличивается с ростом х.
Применяется метод Эйлера в основном тогда, когда не требуется очень большой точности и нужно иметь представление о поведении решения рассматриваемой
задачи Коши.
2.4. ИСПРАВЛЕННЫЙ МЕТОД ЭЙЛЕРА.
Увеличение точности метода Эйлера сводится геометрически к уменьшению
длины отрезка r (рис.2.5). Для выяснения пути достижения этого, выполним следующее геометрическое построение.
18
L1 - касательная к у=у(х) в точке xk , yk
( x k  h, y k  hy k' )
L2 - касательная в точке ( xk 1 , y k  hy k' )
С.
В
L
то же самое, что в методе Эйлера
обозначается ( xk , y k ).
y=y(x) – искомая интегральная кривая
L
L – усредненный тангенс L1
xк , y к
и L2
дает эту прямую.
А
xк
Х
xk 1
h
Рис. 2.6. Геометрическое представление исправленного метода Эйлера.
Как видно из рисунка, нам нужно найти точку пересечения прямой L с отрезком ВС. Эта задача решается следующим образом. С помощью метода Эйлера
'
находим точку С ( x k 1 , y k  hy k ) , лежащей на прямой
L1 . В этой точке снова вычислим тангенс угла наклона прямой L2 . Усреднив тангенсы наклона L1 и L2 ,
получаем тангенс угла наклона L . И, наконец через точку ( xk , y k ) проводим параллельно L прямую L. Точка, в которой прямая L пересечется с ординатой, восстановленной из x  xk 1  xk  h и будет искомой точкой.
Тангенс угла наклона прямой L и прямой L равен
1
F ( x k , y k , h)  f ( x k , y k )  f ( x k  h, y k  hy k' )
2

где
yk'  f ( xk , yk )

(2.5)
(2.6)
Уравнение линии L, как уравнение прямой , проходящей через точку ( xk , y k )
в направлении (2.5) запишем так:
y  y k  F ( x k , y k , h)( x  x k )
(2.7)
Отсюда
y  y k  F ( x k , y k , h)( x  x k )
19
или полагая здесь x  xk 1 , получаем:
yk 1  yk  hF ( xk , yk , h)
(2.8)
Окончательный вариант формулы с учетом (2.5), (2.6), (2.8) запишется следующим
образом:
h
yk 1  yk  [ f ( xk , yk )  f ( xk  h, yk  hyk' )]
(2.9)
2
Оценка погрешности в точке x i может быть получена с помощью «двойного
просчета». Сначала расчет выполняется с шагом h . Затем с шагом
более точного значения y
*
разом: y i  y ( xi ) 
*
i
при шаге
h
и погрешность
2
h
оценивается приближенно следующим об2
1 *
yi  yi
3
Введем следующие обозначения:
~
yk 1  yk  hyk' ,
~
y 'k 1  f ( xk 1 , ~
yk 1 )
и приведем последовательность действий при работе с формулой (2.9):
1. Разобьем отрезок [a,b] на n равных частей точками
ba
x k  x0  kh (k  1, N) ; h 
, x0  a,
xn  b
n
2. Найдем вспомогательную величину
~
yk 1 .
h
2
~
3. Определим y k 1  y k  [ f ( xk , y k )  y ' k 1 ] .
4. Пункты 2-4 повторяем до тех пор, пока не будут найдены значения yk во всех
точках xk , k  1, N отрезка [a,b].
Пример: Используя метод Эйлера, найти значения функции у, определяемой
дифференциальным уравнением
y x
'
y 
y x
при начальном условии y(0)=1; шаг h=0,1. Ограничиться отысканием первых четырех значений у.
Решение. Находим последовательные значения аргумента: x0  0 , x0  0,1 ,
x0  0,2 , x0  0,3 . Вычислим соответствующие значения искомой функции:
y1  y0  hf ( x0 , y0 )  1  0,1 * (1  0) /(1  0)  1,1
y2  y1  hf ( x1 , y1 )  1,1  0,1 * (1,1  0,1) /(1,1  0,1)  1,183
y3  y2  hf ( x2 , y2 )  1,183  0,1 * (1,183  0,2) /(1,183  0,2)  1,254
y4  y 3  hf ( x3 , y3 )  1,254  0,1 * (1,254  0,3) /(1,254  0,3)  1,315
20
Таким образом, получаем таблицу:
Х
0
0,2
0,1
0,3
0,4
1,18
1,25
1,31
У
1
1,1
Рассмотрим теперь пример, для которого известно точное решение, что дает
возможность в рассматриваемом частном случае непосредственно определить точность рассмотренных приближенных методов.
2x
y ' y 
Дано уравнение
(2.10)
y
у(0)=1
(2.11)
Точное решение задачи (10), (11):
y  2 x 1
(2.12)
Расчетные формулы (2.4), (2.9) настолько просты в употреблении, что техническую сторону работы с ними можно непосредственно усвоить из приведенных
ниже схем. В первой схеме приведем вычисления по методу Эйлера (ломанных) при
длине шага h=0,2. При этом для удобства восприятия, отдельные выражения, стоящие в заголовке таблицы, обозначим символами {1}, {2}, {3} …. С помощью этих
обозначений последовательные операции запишем так, что дальнейшие вычисления
можно будет проводить, не обращаясь к формулам.
Благодаря этому весь процесс счета настолько упрощается, что оказывается
доступным для студентов со слабым «математическим фундаментом».
Итак, составим следующим следующую таблицу для метода ломанных
yn
xn

2xn
yn
hf n
yn1
{1}
{2}
(из {5})
{3}
{4}
({3}+{2})/{5}
{5} =
{2}+{4}
0
0,2
0,4
0,6
1
1,2
1,37333
1,53149
0
-0,33333
-0,582524
-0,78355
0,2
0,17333
0,15816
0,141588
1,2
1,37333
1,53149
1,681078
Точное решение
y  2x  1
1
1,18321
1,34164
1,48324
Выполним теперь вычисления по исправленному методу Эйлера-Коши с длиной шага h=0,2. Для этого составим следующую таблицу:
xn
{1}
yn

{2}
(из {10}) {3}=
{2} * {1}

0
2xn
yn
1
{2}
0
h
fn
2
{4}=
{2}  {3}
{10}
~
yn 1
x n 1
{5}= {6}
{2}+
{2}*{4}

2 x n 1
y n 1
{2} *{6}
{5}
{8}=
{5}+
{7}
{7}=

~
f n1
h
~
( f n  f nn )
2
{9}=
{4} 
{8}
{10}
y n 1
{10}=
{2}+
{9}
0,1
1,2
0,2
-0,33333
0,8667
0,18667
1,18667
0,2
1,18667 -0,3371
0,08496
1,35658
0,4
-0,58972
0,7669
0,16165
1,34832
0,4
1,34832 -0,5933
0,07549
1,49932
0,6
-0,80036
0,6990
0,24540
1,49372
0,6
1,49372 -0,8034
0,06904
1,63179
0,8
-0,98052
0,6513
0,23416
1,62788
21
В приведенной ниже таблице произведено сравнение с точным решением
y  2 x  1 , причем представлены и результаты, полученные с помощью более точ-
ного метода Рунге-Кутта, расчетные формулы которого приводятся далее. В скобках
приведены разности между приближенным и точным решением.
Х
Точное решение
y  2x 1
0,2
1,183216
0,4
1б3416407
0,6
1б4832397
Методы
Эйлера-Коши
ломаных
h=0,2
h=0,2
1,18667
(0,00345)
1,34832
(0,00668)
1,49372
(0,0105)
1,2
(0,01678)
1,37333
(0,00317)
1,53149
(0,04825)
Метод Рунге-Кутта
h=0,4
h=0,2
1,342066
(0,000425)
1,83229
(0,0000132)
1,341669
(0,0000261)
1,4832847
(0,000045)
Анализ таблицы показывает, что метод ломаных и исправленный метод Эйлера-Коши дают умеренную точность на коротком промежутке. При этом исправленный метод ощутимо точнее первого. Метод Рунге-Кутта как видно из полученных погрешностей обладает гораздо большей точностью.
2.5. РЕШЕНИЕ ОДУ МЕТОДОМ РУНГЕ-КУТТА
Метод Рунге-Кутта – один из наиболее употребляемых методов повышенной
точности. Приведем последовательность вычислений и расчетные формулы для
дифференциального уравнения первого порядка.
1. Отрезок [a,b] разбивают на n равных частей точками (узлами)
xi  x0  ih (i  1, N) ;
h
ba
,
n
x0  a,
xn  b
2. Находят для каждого узла (для каждого i ) (i  0, N) значения
q1(i)  hf ( xi , yi ),

h
hq1(i) 

,
q (i)

hf
x

,
y

2
 i 2 i
2


(i)

h
hq 2 
,
q 3(i)  hf  xi  , yi 
2
2 

(i)
q (i)
4  hf xi  h, yi  hq 3

3. Вычисляют
y i 

1 (i)
(i)
(i)
( q 1  q (i)
2  q3  q4 )
6
4. Определяют последовательные приближенные значения
yi (i  1, N) искомой
yi 1  yi  yi
функции у=у(х)
Метод Рунге-Кутта имеет четвертый порядок точности решения. Для большинства задач он дает хорошие результаты, причем точность существенно возрастает с уменьшением шага h .
22
5. ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ
5.1. Индивидуальные задания по первому разделу
1. Точные и приближенные числа.
2. Источники погрешностей. Основные виды погрешностей.
3. Классификация уравнений в зависимости от количества уравнений и предполагаемого характера решения.
4. Отделение корней нелинейных уравнений аналитическим и графическим
способами.
5. Прямые и итерационные методы решения.
6. Уточнение корней нелинейных уравнений методом половинного деления.
Основные расчетные формулы, блок-схема, достоинства и недостатки.
7. Уточнение корней нелинейных уравнений методом простой итерации.
8. Уточнение корней нелинейных уравнений методом Ньютона.
9. Решение систем линейных алгебраических уравнений. Основные понятия.
10. Прямые и итерационные методы решения СЛАУ (общая характеристика).
11. Итерационные методы решения СЛАУ.
12. Метод простой итерации. Метод Зейделя. Сравнительная характеристика методов.
13. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ).
Основные понятия.
14. Одношаговые методы решения ОДУ.
15. Решение ОДУ методами Эйлера и Рунге-Кутта.
16. Постановка задачи о приближении функции.
17. Понятие о точечной и непрерывной аппроксимации.
18. Интерполирование функции.
19. Линейная и квадратичная интерполяция.
20. Эмпирические формулы. Выбор вида эмпирической формулы.
21. Определение наилучших параметров эмпирической формулы методом выбранных точек.
22. Определение наилучших параметров эмпирической формулы методом средних
23. Определение наилучших параметров эмпирической формулы методом
наименьших квадратов.
24. Численное интегрирование. Основные понятия.
25. Метод прямоугольников.
26. Метод трапеций.
27. Метод Симпсона.
28. Общие сведения о задачах линейного программирования.
23
5.2. Индивидуальные задания по второму разделу.
Отделить корни заданного уравнения аналитическим и графическим методами.
заданное уравнение
точность вычислений 
3
1
0.0001
0,25x  x  1,25  0
2
3x + cosx + 1 = 0
0.0001
3
2 - x + ln x = 0
0.01
4
2sin(x-0,6)-1,5-x=0
0.01
2
5
0.1
x  4 sin x  0
6
5x - 8 ln x = 0
0.001
7
cos x - x + 10 = 0
0.0001
x
3x  14 e  0
8
0.001
9
3 x - 4 ln x = 0
0.0001
10
x + cos x = 0
0.001
11
3x 4  4 x 3  12 x  5  0
0.01
12
x 4  x 1  0
0.01
13
2 x 3  9 x 2  60 x  0
0.1
14
x 4  18 x 2  6  0
0.01
15
2 x 4  x 2  10  0
0.01
16
x 3  18 x 2  6  0
0.01
17
x 4  x 1  0
0.01
18
(0,2 x) 3  cos x
0.01
19
20
21
x - 10sin x  0
sin x - 0,2 x  0
8cos x - x  6
22
1,2x 4  2 x 3  24,1  13x 2  14,2 x
23
24
10cos x - 0,1x 2  0
4 cos x  0,3x  0
25
2x 2  5  2 x
0.01
0.01
0.01
0.001
0.01
0.001
0.01
5.3. Индивидуальные задания по третьему разделу
Систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными
a11 x1  a12 x 2  a13 x 3  b1
a 21 x1  a 22 x 2  a 23 x 3  b2
a 31 x1  a 32 x 2  a 33 x 3  b3
24
решить методом простой итерации с точностью Е=0.0001, приведя ее к виду, удобному для итераций. Коэффициенты и свободные члены заданной системы уравнений по вариантам приведены в таблице.
№
i
1
1
2
3
a i 1 ai 2
ai 3
3,3
2,7
1,3
-1,7
3,5
2,8
4,1
-1,7
5,8
№
i
2,1
1,7
0,8
16
1
2
3
ai 1
2,8
2,1
1,3
2
1
2
3
3,1
1,9
3,8
2,8
3,1
4,8
1,9
2,1
7,5
0,2
2,1
5,6
17
1
2
3
9,1
3,8
4,1
5,6
5,1
1,2
7,8
2,8
5,7
9,8
6,7
5,8
3
1
2
3
3,3
3,7
1,8
2,1
4,8
1,1
2,8
4,1
2,7
0,8
5,7
3,2
18
1
2
3
7,6
3,8
2,9
5,8
4,1
2,1
4,7
2,7
3,8
10,1
9,7
7,8
4
1
2
3
3,7
0,5
1,6
-2,5
1,7
-1,5
3,2
0,34
2,3
6,5
-0,24
4,3
19
1
2
3
5,4
1,7
3,4
-2,3
4,2
2,4
3,4
-2,3
7,4
-3,5
2,7
1,9
5
1
2
3
3,6
-3,6
1,5
1,8
2,7
3,3
-4,7
1,9
4,5
3,8
0,4
-1,6
20
1
2
3
5,6
-3,6
0,8
2,7
3,4
1,3
-1,7
-6,7
3,7
1,9
-2,4
1,2
6
1
2
3
1
2
3
2,7
4,5
3,7
6,7
1,3
2,4
0,9
6,7
-1,4
3,8
6,4
-4,5
-1,5
-2,8
5,1
-1,2
-2,7
3,5
3,5
2,6
-0,14
5,2
3,8
-0,6
21
1
2
3
1
2
3
7,4
-0,6
0,8
5,4
2,3
2,4
-3,5
3,1
-0,5
-6,2
3,4
-1,1
4,5
-2,3
7,4
-0,5
0,8
3,8
2,5
-1,5
6,4
0,52
-0,8
1,8
8
1
2
3
7,8
1,1
3,3
5,3
3,3
2,8
4,8
1,8
4,5
1,8
2,3
3,4
23
1
2
3
4,1
-2,1
1,1
3,8
3,9
-2,1
-2,3
-5,8
1,8
4,8
3,3
5,8
9
1
2
3
3,0
2,1
3,9
-2,2
1,9
-3,1
1,7
-2,3
4,2
1,8
2,8
5,1
24
1
2
3
3,8
2,5
4,8
2,8
3,3
-7,1
-3,2
-2,8
6,5
4,5
7,1
6,3
10
1
2
3
4,2
2,3
4,1
3,3
2,7
-4,8
3,7
-2,9
5,0
5,8
6,1
7,0
25
1
2
3
7,1
4,8
7,1
6,8
5,0
7,8
6,1
4,3
8,2
7,0
6,1
5,8
11
1
2
3
4,0
4,1
-2,1
3,7
4,5
-3,7
3,1
-4,8
1,8
5,0
4,9
2,7
26
1
2
3
5,2
4,0
-7,8
4,1
4,8
5,3
-5,8
-3,1
6,3
7,0
5,3
5,8
12
1
2
4,5
2,5
-2,3
4,7
3,7
-7,8
2,4
3,5
27
1
2
6,3
3,4
5,2
5,3
-0,6
3,4
1,5
2,7
7
bi
22
ai 3
ai 2
1,7
1,9
3,4
1,8
-1,7
4.2
bi
0,7
1,1
2,8
25
3
1,6
1,3
5,3
-2,4
3
0,8
1,4
3,5
-2,3
13
1
2
3
2,3
2,8
1,2
1,5
5,8
-2,3
-3,7
3,4
7,3
4,5
-3,2
5,6
28
1
2
3
2,7
2,5
3,2
0,9
5,8
-2,1
-3,8
-0,5
4,5
2,4
3,5
-1,2
14
1
2
3
2,4
0,8
1,5
2,3
3,5
-2,3
-2,9
-1,4
8,6
4,5
3,2
-5,5
29
1
2
3
5,4
2,5
1,5
-2,5
6,8
-0,6
3,8
-1,1
2,7
5,5
4,3
-3,5
15
1
2
3
3,7
1,8
3,4
2,4
4,3
-2,3
-8,3
1,2
5,2
2,3
-1,2
3,5
30
1
2
3
3,8
0,8
2,4
11,5
1,3
-1,2
3,2
-6,4
7,2
2,8
-6,5
4,5
5.4. Индивидуальные задания по четвертому разделу.
Решить задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка y '  f  x, y на отрезке [a,b] при заданном начальном условии y(a)=c и
шаге интегрирования h, используя метод Эйлера и метод Рунге-Кутта (исходные
данные задания содержатся в таблице):
Вариант
1
2
Уравнение
xy 3  x 2
4x2  1  3 y 2

a
4
b
5
c
0,7
h
0,1
2,6
4,6
1,8
0,2
3
cos 1,5x  y 2

-1
1
0,2
0,2
4
x 2  xy  y 2
2
3
1,2
5
e  ( y 1)  2 x
0
0,5
0,3
0,1
0,05
6
cos(1,5y  x ) 2
1
2
0,9
7
8
4,1x  y 2  0,6
1 / (1  x y )  2 y
0,6
1,5
2,6
2
3,4
2,1
9
x  cos( y 11 )
2,1
3,1
2,5
10
2xy/(x+4)-0,4
3
5
1,7
11
2x+cos(y+0,6)
1
3
1,5
12
x  2,5y 2  2
1
2
0,9
13
2  sin( x  y ) 2
2
3
2,3
14
2y/(x+2)+x+1
0,1
0,5
1,25
15
x+cos(y/2)
-2
-1
3
16
x 2  0,5y 2
0
2
2,9
3
0,1
0,2
0,05
0,1
0,2
0,2
0,1
0,1
0,05
0,1
0,2
26
0,1
17
Sin(x+y)+1,5
1,5
2,5
0,5
18
0,3x 2  0,1y 2
2,5
4,5
2
19
x  cos( y 5)
1,8
2,8
2,6
20
x+cos(y/3)
1,6
2,6
4,6
21
cos y / x  3y 2
0
1
0
22
cos(x+y)+0,5x
0
1
0
23
cos x / 0,5y 2
0
2
0
24
0,6sinx-1,25y
0
1
0
25
1+0,8y sin x-2y
0
2
0,2
26
0,133x 2  0,8 y
0,2
1,2
0,25
0,1
0,6
1,6
0,8
0,1
1,4
2,4
2,2
0,1
0,8
1,8
1,3
0,1
27
28
29
x  cos
y
10
y
x  cos
2,25
y
x  sin
2
0,1
0,1
0,1
0,05
0,1
0,1
0,1
0,1
6.РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
6.1.ОСНОВНАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Алямовский, А.А. Инженерные расчеты в SolidWorks Simulation [Электронное издание]:
учеб.пособие / Алямовский А.А. - Электронные текстовые данные.-М.: ДМК Пресс, 2010- Режим
доступа: http://iprbookshop.ru/7967.- ЭБС «IPRbooks», по паролю.
2. Лапчик, М.П. Численные методы [Текст]: учеб. пособие для студ. высш. учеб. заведений
/ М.П. Лапчик, М.И. Рагулина, Е.К. Хеннер; под ред. М.П. Лапчика. – М.: Академия, 2009. – 384 с.
3. Зеньковский, В.А.Применение Excel в экономических и инженерных расчетах [Электронное издание]: учеб.пособие / Зеньковский В.А. Электронные текстовые данные.-М.: СОЛОНПРЕСС, 2009- Режим доступа: http://iprbookshop.ru/8678.- ЭБС «IPRbooks», по паролю.
6.2.ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
1.
Численные методы: учебное пособие для студ. высш. учеб. заведений / М.П. Лапчик, М.И. Рагулина, Е.К. Хеннер; под ред. М.П. Лапчика. – М.: Издательский центр «Академия»,
2009. – 384 с.
2.
Турчак Л.И. Основы численных методов. М: Наука, 1987