Рассмотрим на этом же примере отбор корней уравнения с

СПОСОБЫ ОТБОРА КОРНЕЙ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ
УРАВНЕНИЙ
Попова Татьяна Сергеевна, учитель математики, информатики, физики
МКОУ БГО Петровская СОШ
В ЕГЭ по математике входят задания, связанные с решением уравнений.
Встречаются
уравнения
линейные,
квадратные,
рациональные,
иррациональные, показательные, логарифмические и тригонометрические. Эти
уравнения требуется: во-первых, решить, то есть найти их все решения, вовторых, осуществить отбор корней, принадлежащие тому или иному
промежутку. В этой статье рассмотрим пример решения тригонометрического
уравнения и отбор его корней различными способами. В зависимости от того
какие даны ограничения на полученные корни следует использовать различные
методы отбора корней, то есть нужно взять тот способ, который более наглядно
покажет правильный результат.
Рассмотрим три способа отбора корней:
- с помощью единичной окружности;
- с помощью неравенств;
- с помощью графика.
На конкретном примере разберем эти способы.
Пусть дано следующее задание:
а) Решите уравнение
𝜋
с𝑜𝑠2𝑥 + √2sin⁡( + 𝑥) + 1 = 0.
2
3π
б)Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−3π; − ].
2
Вначале решим данное уравнение:
𝜋
с𝑜𝑠2𝑥 + √2sin⁡( + 𝑥) + 1 = 0.
2
Используя формулу двойного угла и формулы привидения, получим:
2𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 − 1 + √2 cos 𝑥 + 1 = 0;
2𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 + √2 cos 𝑥 = 0;
cos 𝑥 ∙ (2 cos 𝑥 + √2) = 0.
Отсюда, cos 𝑥 = 0 или cos 𝑥 = −
𝜋
√2
. Решая
2
3𝜋
каждое уравнение, получим:
3𝜋
𝑥1 = + 𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍; или 𝑥2 = + 2𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍, или⁡⁡𝑥3 = − + 2𝜋𝑚,⁡
2
4
4
𝑚 ∈ 𝑍.
б) Производить отбор корней можно с помощью единичной окружности
(рис.1), но дети путаются, так как заданный промежуток может быть больше
длины окружности и его при нанесении на окружность трудно изобразить:
Рис.1
11𝜋
5𝜋
3𝜋
Получим числа: −
;⁡− ;⁡− .
4
2
2
Можно воспользоваться методом неравенств. Заметим, что если дан
отрезок, то неравенство нестрогое, а если интервал, то неравенство строгое.
Проверим каждый корень
𝜋
3π
−3𝜋 ≤ + 𝜋𝑛 ≤ − ; ⁡𝑛 ∈ 𝑍,
2
𝜋
−3𝜋 − ≤ 𝜋𝑛 ≤ −
2
7𝜋
−
2
≤ 𝜋𝑛 ≤ −
7
2
3π
2
4π
2
4
𝜋
− ; ⁡𝑛 ∈ 𝑍,
2
; 𝑛 ∈ 𝑍,
− ≤ 𝑛 ≤ − ; 𝑛 ∈ 𝑍.
2
2
С учетом того, что⁡𝑛 ∈ Z, получаем 𝑛 =-3,-2. Подставим n в формулу
𝜋
5𝜋
𝜋
3𝜋
корней, получим корни 𝑥 = − 3𝜋 = − ; x= − 2𝜋 = − .
2
2
Аналогично найдем корни для 𝑥2 =
3𝜋
−3𝜋 ≤
−3𝜋 −
−
4
3𝜋
4
15𝜋
4
−
k – целых нет,
−
3𝜋
4
9𝜋
4
4
2
8
2
3π
9
2
9𝜋
4
−
3𝜋
4
+ 2𝜋𝑚,
; ⁡𝑘 ∈ 𝑍,
3𝜋
4
; ⁡𝑘 ∈ 𝑍,
; ⁡𝑘 ∈ 𝑍,
≤ 𝑘 ≤ − ; ⁡𝑘 ∈ 𝑍,
8
3𝜋
4
+ 2𝜋𝑚 ≤ −
≤ 2𝜋𝑚 ≤ −
≤ 2𝜋𝑚 ≤ −
9
3π
+ 2𝜋𝑘 ≤ −
≤ 2𝜋𝑘 ≤ −
15
2
+ 2𝜋𝑘⁡и⁡𝑥3 = −
≤ 2𝜋𝑘 ≤ −
−3𝜋 ≤ −
−3𝜋 +
3𝜋
3
3π
2
3π
4
3π
; ⁡𝑚 ∈ 𝑍,
2
3𝜋
+
4
; ⁡𝑚 ∈ 𝑍,
; ⁡𝑚 ∈ 𝑍,
− ≤ 𝑚 ≤ − ; ⁡𝑚 ∈ 𝑍.
8
8
Отсюда, 𝑚 = −1, подставим в общий корень
3𝜋
3𝜋
11𝜋
𝑥=−
+ 2𝜋 ∙ (−1) = −
− 2𝜋 = −
.
4
4
4
Получили точно такие же корни как с помощью единичной окружности.
Пусть этот метод более громоздкий, но на собственном опыте, занимаясь
решением таких уравнений и отбором корней с учениками, мы заметили, что
методом неравенств школьники делают меньше ошибок.
Рассмотрим на этом же примере отбор корней уравнения с помощью
графика (рис.2)
Рис.2
11𝜋
5𝜋
3𝜋
Также получаем три корня: −
;⁡− ;⁡− .
4
2
2
Нужно научить детей пользоваться всеми тремя методами отбора корней,
а потом пусть сами решают как им проще и какой метод ближе. Также можно
проверять себя в правильности решения, используя разные способы.
Используемая литература:
1. http://yourtutor.info
2. http://www.ctege.info/zadaniya-ege-po-matematike