Раздел определителей

Определители второго и третьего порядков. Правило Крамера для СЛУ 2 – го и 3 – го
порядков.
Рассмотрим квадратную СЛУ с n = 2.
 a11 x1  a12 x 2  b1
*a
(1.4) 22

* a12
a 21 x1  a 22 x 2  b2
Ia 22  IIa12 : (a11a12  a 21a12 ) x1  (a12 a 22  a 22 a12 ) x 2  b1 a 22  b2 a12
Считаем, что выражение
a11a22  a12 a21  0 , тогда x1 
b1a22  b2 a12
a11a22  a12 a21
x 2 рассмотрим уравнение вида: Ia21  IIa11
0x1  (a12 a21  a22 a11 ) x2  b1a21  b2 a11
a b  a 21b1
(a22 a11  a12 a21 ) x2  a11b2  a21b1 , тогда x2  11 2
a11a 22  a12 a 21
Вывод: Если a11a22  a12 a21  0 , то СЛУ (1.4) – определённая.
Чтобы выразить
Введём обозначения:
a11
a12
a 21
a 22
 a11a 22  a12 a 21
Произведение элементов по главной диагонали с «+», по побочной с «-».
Тогда
b1a22  b2 a12 
b1
a12
b2
a22
; a11b2  a 21b1 
Решение СЛУ (1.4) может быть записано в виде:
Выражение вида
a b
 ad  bc
c d
a11
b1
a 21 b2
b1 a12
a11 b1
b a 22
a
b
x1  2
; x 2  21 2 (1.5) . (Формула Крамера).
a11 a12
a11 a12
a 21 a 22
a 21 a 22
называется определителем второго порядка.
Крамер для СЛУ 2 – го порядка.
Решим квадратную СЛУ с n = 3.
 a11 x1  a12 x2  a13 x3  b1

a 21 x1  a 22 x 2  a 23 x3  b2
a x  a x  a x  b
32 2
33 3
3
 31 1
x1 из 2 – го и 3 – го уравнений и решить СЛУ 2 – го порядка относительно x 2
Задача: Исключить
например
Множитель перед
(a11a22 a33  a12 a23 a31  a21a32 a13  a13a22 a31  a12 a21a33  a23 a32 a11 ) x1  (...) .
x1 - определитель 3 – го порядка (состоит из 6 – и слагаемых) и обозначается:
a11
a 21
a12
a 22
a13
a 23
a31
a32
a33

x3 , используя предыдущий результат, найти x1 , исключив,
x2 .
После выражения, получим:
Пусть
и
Правило треугольников и правило дополнения.
Перестановки и подстановки. Их чётность.
  {1,2,..., n}
- множество из n – элементов (занумерованных).
.
n! 1* 2 * ... * n.
Определение: Перестановкой степени n назовём любой упорядоченный набор элементов из
Лемма: Количество переменных множества
  {1,2,..., n}
равно
 , т.е. на первом шаге n способов выбора.
На второе место можно поставить (n - 1) оставшихся элементов из  , т.е. на втором шаге (n - 1) способов.
Док-во: На первое место можно поставить любой из n элементов
На третьем шаге (n - 2) способа. На n – ном шаге – 1 способ.
По правилу произведения, общее число способов составить перестановку: n*(n - 1)*(n - 2)*…*1 = n! ЧТД.
1  i  j  n . Говорят, что в перестановке есть инверсия, если больший элемент j
Пусть  - перестановка, тогда N ( ) - количество инверсий в  .
Определение: Пусть
идёт раньше меньшего элемента
i.
Если в перестановке чётное (нечётное) число инверсий, то перестановка называется чётной (нечётной).
  {1,2,..., n} элементам этого же множества.
Взаимнооднозначное соответствие (биекция) – это отображения  :    , такое, что  (i )   ( j ) , если i  j , т.е. образы, при отображении 
Определение: Подстановка – взаимнооднозначное соответствие элементов множества
элементов, различны.
Любую подстановку можно задать таблицей. 1 – я строка – аргументы, 2 – я строка – образы.
различных
Запись
1
2
...
n
 . Читается: «один переходит
  
 1  2 ...  n 
в альфа один» и т. д.
Замечание: Строка аргументов может быть записана в любом порядке. Одна и та же подстановка может иметь несколько различных записей. Главное – сохранность
столбца.
Подстановка называется чётной, если сумма инверсий в первой строке её записи – чётное число и наоборот.
Изменение чётности при транспозиции.
Определение: Если в некоторой перестановке два элемента поменять местами, а остальные не трогать, то говорят, что новая инверсия, получена из исходной
транспозицией.
Лемма: Транспозиция меняет чётность перестановки.
Док-во:
1 – ый шаг: Считаем, что переставляемые элементы
i
и
j
стоят рядом друг с другом.
(i  j )
для определения.
  ....ij ...
   .... ji...
 и   . Для всех элементов, отличных от i и j , число инверсий будет одно и то же, как в  , так и в   .
Число инверсий, даваемое числом i пусть в  N (i )  k , тогда в   N (i )  k  1 , так как перед i стоит ещё и элемент j .
N ( j ) в  и N ( j ) в   равны, так как, когда считаем число инверсий для j , элемент i уже зачёркнут, и его место неважно.
N ( )  N (1)  N (2)  ...  N (i )  ...  N (n)
N ( )  N (1)  N (2)  ...  N (i )  ...  N (n)  N (1)  N (2)  ...  ( N (i )  1)  ...  N (n)  N ( )  1
То есть чётности чисел N ( ) и N ( ) различны,  и   различны по чётности.
2 – ой шаг: Пусть теперь   ...ik1 k 2 ...k s j...(i  j ) . Транспозиция:    ... jk1 k 2 ...k s i... Эту транспозицию можно заменить последовательным
Считаем число инверсий в
выполнением транспозиции, рассматриваемой на 1 – ом шаге:
I. (перегонка i )
i  k1 , i  k 2 , и т. д.
 1  ...k1ik 2 ...k s j...
 2  ...k1 k 2 i...k s j...
Чётность сменилась (s + 1).
 s  ...k1 k 2 ...k s ij ...
 s 1  ...k1 k 2 ...k s ji...
II. (перегонка j )
j  k s , и т. д.
 s  2  ...k1k 2 ...k s 1 jk s i...
На II – ом этапе s – изменила чётность суммарно.    1  ...   2 s 1    . Это нч число, чётность изменилась.
 s 1 s     ... jk1k 2 ...k s i...
То есть чётности  и   разные. ЧТД.
Возникает вопрос о корректности определения, зависит ли чётность суммарного числа инверсий от выбора записи подстановки.
Любую перестановку можно получить из другой перестановки за конечное число транспозиций (продумать алгоритм).
Этот переход осуществляется за k транспозиций, значит и во второй строке записи
осуществляется k транспозиций.
В верхней строке чётность изменится k раз. Аналогично и в нижней строке записи k раз, т.е. суммарная чётность не изменится, т.к. чётности строк либо одновременно
меняются, либо нет. Определение чётности подстановки корректно.

Обозначение:
Пусть

1
  
1
 
  1,  ч
sgn(  )  
 1,  нч
Операции с подстановками: произведение подстановок, обратная подстановка. Чётность
произведения подстановок.
2 ... n 
 1 2 ... n 
 ;   

 2 ...  n 


...

2
3
 1
- подстановка,  ( ) - чётность. Тогда можно определить знак подстановки:
- произведение двух подстановок, т.е. подстановка из
S n , рассматриваемая как сложная функция: внутренняя -  , внешняя - 
вторую строки и получаем обратную подстановку. Знак её не меняется.
Лемма:

 .
1 2 ... n 
. Свойства:   S n :          .
  
1 2 ... n 
1
1
      1  
Обратная подстановка: Пусть   S n , тогда 
- такая подстановка степени n, что 
Тождественная подстановка:

, т.е.
sgn(    )  sgn(  )  sgn(  )
Это равносильно правилу умножения:
0
Ч
Нч
Ч
Ч
Нч
нч
нч
Ч
. В любой подстановке меняем местами первую и
1
2
...
n

  
1  2 ...  3 
Док-во:
Выберем записи для

следующим образом:
  2 ...  n 

   1
 1  2 ...  n 
  2 ...  n   1 2 ... n   1 2 ... n 
  
  

     1
 1  2 ...  n  1  2 ...  n   1  2 ...  n 
Чётность подстановки  совпадает с чётностью перестановки  1 2 ... n , т.к. в первой строке записи  инверсий нет.
Если известны чётность подстановки  и чётность первой строки  1 2 ... n её записи, то однозначно вычисляется чётность второй строки её записи
1  2 ... n . И чётность этой перестановки совпадает с чётностью произведения    . Приходим к таблице вариантов:
  1 2 ... n  1  2 ... n   
1
ч
ч
ч
ч
ч
2
ч
ч
нч
нч
нч
3 нч
нч
ч
нч
нч
4 нч
нч
нч
ч
ч
Замечание: Для подстановок степени n  3 , произведение, вообще говоря, не является коммутативным, т.е.        .
Определение детерминанта 1 – го порядка.
Будем говорить, что матрица A имеет размеры m n , если в этой матрице m строк и n столбцов. A  Mat ( m  n) . Если m = n, то A – квадратная матрица
порядка n. A  Mat (n) .
 a11

a
A   21
...

a
 n1
... a1n 

... a 2 n 
(3.1)
... ... 

... a nn 
a12
a 22
...
an2
Определение: Определителем порядка n, соответствующим квадратной матрице A(3.1) (или определителем матрицы A) называется алгебраическая сумма n!
слагаемых, каждое из которых есть произведение n элементов матрицы A, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца; знак слагаемого совпадает со знаком
подстановки, составленной из номеров строк и столбцов выбранных элементов.
Обозначение:
A  det A 

 1
 1

A


2
2
...
...
a11
a 21
a12
a 22
... a1n
... a 2 n
...
a n1
...
an2
... ...
... a nn

sgn  1
1
n
S n
n 

2
1

 1  2

2
1
sgn 
n 
1  n
S n
...
...  n 
n
  a11  a 2 2  ...  a n n 
...  n 
...
 2 ...  n 
2
...
  a 11  a  2 2  ...  a  n n
n 
Свойства определителя: неизменность при транспонировании, транспозиция двух строк
определителя и следствие об определителе с двумя одинаковыми строками, умножение
строки на число и следствие об определителе с двумя пропорциональными строками,
сумма определителей, линейная комбинация строк и элементарные преобразования строк
определителя.
a12 ... a1n
b11 b12 ... b1n
a11
a 21
a 22
...
a n1
...
an 2
Определение: Пусть
... a 2 n
(3.2)
B 
b21
b22
... b2 n
(3.3) - преобразованный определитель.
... ...
... ... ... ...
... a nn
bn1 bn 2 ... bnn
A  Mat (m  n) . Говорят, что матрица B получена из A транспонированием, если i  й столбец матрицы B совпадает с i  й строкой
- исходный определитель.
матрицы A.
B  Mat (n  m) . Обозначение: B  t A .
Если квадратная матрица
B  t A , то говорят, что определитель B
10 : Определитель не меняется при транспонировании.
t
Док-во: A : B  A
(3.2) : A ; (3.3) : B
Свойство
получен из определителя
A
транспонированием.
bij
- элемент матрицы B, то
bij  a ji (3.4)
A (по
... n 
 1 2 ... n 
  a11  a 2 2  ...  an n  [ai i  bii ]   sgn 
  b11  b 2 2  ...  b n n 
 1  2 ...  n 
1  2 ...  n 
 1 2 ... n  1  2 ...  n 
= [Вообще говоря, 
  ...     1 2 ... n  , но знаки этих подстановок совпадают] =
2
n


 1
 1  2 ...  n 
=  sgn 
 1 2 ... n   b11  b 2 2  ...  b n n  B ЧТД.


опр) 
1
2
 sgn 
Замечание: Свойство показывает, что строки и столбцы в определителе равнозначны. Все утверждения для строк будут справедливы для столбцов.
2 0 : Если в определителе поменять местами 2 строки, то определитель изменит знак.
Док-во: Определитель (3.3) B получен из (3.2) A транспонированием i  й и j  й строк.
Свойство


ai1






ai 2
... ain
a j1
a j2
... a jn
*
A
a j1
*
a j2
* *
... a jn
*
B 
ai1
*
ai 2
* *
... ain
...
...
...
...
...
...
...
...








, тогда
a kl , k  i, k  j

bkl   ail , k  j (3.5)
 a ,k  i
jl

 a1  b1 
1
n
 1

  a11  ...  ai i  ...  a j j  ...  a n n   ai i  b j i  

...  j ...  n 
a  b 
i j 
 j j
 1 ... i ... j ... n 
  b11  ...  bi j  ...  b j i  ...  bn n 
  sgn 


...

...

...

1
i
j
n


 1 ... i ... j ... n 

= [подстановка 
 ...  ...  ...   не соответствует индексам выбранных элементов. Она имеет вид:
i
j
n
 1
 1 ... i
A   sgn 
  1 ...  i
...
j
...
 1 ... j ... i ... n 


 ...  ...  ...   . Вторые строки совпадают, а в первой – транспозиция, значит чётности различны, т.е.
1
i
j
n


 1 ... i ... j ... n 
 1 ... j ... i ... n 
   sgn 

sgn 

 ...  ...  ...   ] =
i
j
n
1 ...  i ...  j ...  n 
 1


 1 ... j ... i ... n 
  b11  ...  b j i  ...  bi j  ...  bn n    B Итак, A   B , ЧТД.
    sgn 



  1 ...  i ...  j ...  n 


0
Свойство 3 : (Следствие) Если в определителе 2 одинаковые строки, то этот определитель равен 0.
Док-во: i  я и j  я строки равны.
   
x1 x 2 ... x n  i  я
A  ... ... ... ...
x1 x 2 ... x n  j  я
   
   
x1 x 2 ... x n  j  я
Получим B , поменяв местами 2 строки, т.е. B  ...
, т.е. с одной стороны A и B (*) совпадают, с другой стороны по второму
... ... ...
x1 x 2 ... x n  i  я
   
свойству
B   A (**) .
(*), (**)  A   A
2 A  0.
Свойство 4 : Если в определителе все элементы i  й строки умножены на некоторое число k, то определитель равен исходному, умноженному на k, т.е. говорят,
что общий множитель из строки можно вынести за знак определителя.
0
A исходный
Док-во:



A  ai1
*
ai 2
*



... ain ; (3.3) B  kai1
* *
*
kai 2
*

ka , m  i
... kain ; bml   ml
(3.6)
a ml , m  i

*
*
 b11  a11 
n
 1 ... i


  b11  ...  bi i  ...  bn n  bi i  kai i    sgn 
...  n 
  1 ...  i
bn  a n 
n 
 n
 k  sgn(...)  a11  ...  aii  ...  an n  k A . Итак B  k A . ЧТД.
 1 ... i
B   sgn 
  1 ...  i
...  (kaii )  ...  an n

...
n
  a11  ...
...  n 
...
5 0 : Если в определителе есть две пропорциональные строчки, то определитель равен 0.
Док-во: Пусть j  я строка пропорциональна i  й, значит существует k, такое что a jm  kaim . Вынесем множитель k за знак определителя (4 – е свойство),
тогда в полученном определителе будут 2 одинаковые строки: i  я и j  я. По 3 – му свойству он равен 0, а исходный k * 0 = 0.
Свойство
Свойство
6 0 : Если в определителе элементы i  й строки представлены в виде aij  b j  c j (4.1).j  1, n , то определитель равен сумме двух
определителей, все строки кроме
*
*
...
b1  c1 b2  c2


i  й, в которых такие же, как в исходном определителе, i  я строка в 1 – м слагаемом состоит из b j , а во втором из c j , т.е.
*
*
*
...
... bn  cn  b1 b2
...

 
*
*
*
...
*
... bn  c1
... 

c2

... cn
... 
Док-во:
*
ai1
*
ai 2




...
 sgn  [a 
1
 S n

... *
... ain
1
 sgn   a 
1
 S n
(по опр) 
 sgn   a 
 S n
1
1
 ...  aii  ...  an n  [(4.1)] 
 ...  b i  ...a n n  a11  ...  c i  ...  a n n ] 
1
 ...  c i  ...  a n n
 sgn   a 
1
 S n
*
 b1
*
b2
... *
*
... bn  c1
*
c2
... *
... c n


...


...

 sgn   a 
1
 S n
1
1
 ...  (bi  ci )  ...  an n 
 ...  b i  ...  a n n 
ЧТД

Замечание: Шестое свойство справедливо для 2 – х слагаемых, а значит для любого m натурального числа слагаемых.
Говорят, что
i  я строка определителя является линейной комбинацией других строк, если найдутся числа: k1 , k 2 ,..., k i 1 , k i 1 ,..., k n , такие что
aij  k1a1 j  k 2 a2 j  ...  k i 1ai 1 j  k i 1ai 1 j  ...  k n anj , j  1, n . Или i  я строка получена поэлементным сложением 1 – й, умноженной на
k1 , 2 – й на k 2 , (i  1)  й на k i 1 , (i  1)  й на k i 1 ,..., n  й на k n .
Символическое обозначение: (i )  k1 (1)  k 2 (2)  ...  k i 1 (i  1)  k i 1 (i  1)  ...  k n (n) .
Свойство
Док-во:
7 0 : Если в определителе i  я строка является линейной комбинацией остальных строк, то определитель равен 0.
(1)
*
...
*
*
...
*
*
... *
(2)

...
...
...

...

...
...
...

...

...
...   ... 
... ... ... ... ...
A
(i ) k1 (1)  ...  k i 1 (i  1)  k i 1 (i  1)  ...  k n (n)
...
\
( n)

...
...
...
\
*

... *
... 
...
... ... ... ... ...
...
...
...
* ... *
 ... 
k 2 (2)
...
... ... ... ... ...
\
...
\
\
\
...
[(i  1)  я, i  я ]  ... 
[2  я, i  я ]  ... 
 [6 0 ] 
...
\
k1 (1)
...
\
*

... *
... 
...
... ... ... ... ...
\
*
... *
* ... *

... 
 ... 
...
\
[1  я, i  я ] 
... ... ... ... ...
... \ \ ... \
* ... *
 ... 
k i 1 (i  1)
...
... ... ... ... ...
\
* ... *
\
...
[(i  1)  я, i  я ] 
*

... *
... 
* ...
 ...
...
... ... ... ...
k i 1 (i  1)
...
... ... ... ...
\
\
...
\
\
...
...
... ... ... ... ...
[n  я, i  я ]  [5 0 ]  0  0  ...  0  0[n  1слаг ]
k n ( n)
...
\
... ... ... ... ...
... \ \ ... \
8 0 (следствие): Если к i  й строке прибавить линейную комбинацию остальных строк, то определитель не изменится.
B (3.3); A (3.2)
Свойство
Док-во:
B
A
получен из
прибавлением к
i  й строке линейной комбинации остальных, т.е.
(1)
(1)
(1)
(1)
(2)
(2)
(2)
(2)
...
...
...
...
 B 
 [6 0 ] 
 0  A 0 A
(i )
(i  [k1 (1)  k 2 (2)  ...  k i 1 (i  1)  k i 1 (i  1)  ...  k n (n)])
(i ) [7 ]
A
( n)
Пусть
...
...
...
( n)
( n)
( n)
ЧТД.
Миноры и алгебраические дополнения.
A  Mat (m  n) , пусть 1  k  min{ m, n} , выберем произвольно k строк и k столбцов в матрице A. На их пересечении получим квадратную
матрицу порядка k.
Определитель полученной матрицы называется минором порядка k матрицы A.
Если
A  Mat (n) , т.е. квадратная, то любой её минор является минором её определителя.
Определение: Пусть M – минор k – го порядка в определителе n – ного порядка
A , k  n. Вычеркнем из определителя строки и столбцы, выбранные при
построении минора M, тогда останется квадратная матрица порядка ( n – k ). Определитель этой матрицы называется дополнительным минором к минору M.
Обозначается
M
. Очевидно, что дополнительным к дополнительному минору является исходный минор.
Пусть минор M стоит на пересечении строк с номерами i1 , i 2 ,..., i k со столбцами с номерами
j1 , j 2 ,..., j k . S M
- сумма номеров выбранных строк и столбцов.
S M  (i1  i2  ...  ik )  ( j1  j 2  ...  j k ) .
AM  (1) S M M .
Теорема о разложении определителя по строке.
A равен сумме произведений элементов i  й строки на их алгебраические дополнения, т.е. A  ai1 Ai1  ai 2 Ai 2  ...  ain Ain .
Определение: Алгебраическим дополнением минора M называется число
Определитель
n
A   aij Aij (4.2)
j 1
Док-во:
1 – й шаг (частный случай):
Пусть в
n  ной строке A
все элементы
a nj  0
для
j  1,2,..., (n  1)
и
a nn
может быть отлично от 0.
A
a11

a12

a( n 1)1
0
a( n 1) 2
0
только тогда, когда
1
 a nn  
1
...
...
a1n

... a( n 1) n
0
a nn
1 2
  sgn 
1  2
... n  1
...  n 1
n
  a  a  ...  a( n 1) n 1  a n n  [ненулевые слагаемые
 n  11 2 2
 1 ... n  1
a nj  0 , если j  n ]   sgn 
1 ...  n1
... n  1 n 
 1 ...
  a11  ...  a( n1) n 1  [подстановки 
...  n1 n 
1 ...
 n  n,
т.е.
n
  a11  ...  a( n1) n 1  a nn 
n 
n  1  1 ... n  1 n 
; 

 n1  1 ...  n1  n 
 1 ... n  1
  a11  ...  a( n1) n 1  a nn M , где M
 ann  sgn 
1 ...  n1 
последних строки и столбца, т.е. M - дополнительный минор к a nn .
знаки их совпадают]
Итак,
имеют разные степени, но
- определитель, полученный из
A
вычёркиванием
A  a nn M
Сравним с (4.2) для
i  n : A  an1 An1  an 2 An 2  ...  ann1 Ann1  ann Ann  ann (1) n n M  ann (1) 2 n M  ann M
. Чтд.
2 – й шаг:
*
Пусть в
*
*
... *
i  й строке только a ij , возможно, не равен 0, а остальные элементы нулевые. A  0
I этап: Меняем
i  ю строку с (i  1) - й, затем
0 aij ... 0
   ... 
(i  1)  ю с (i  2)  й, и т. д., до тех пор, пока (n  1)  ю не поменяем с n – й строкой.
При каждой транспозиции определитель меняет знак. Всего произведено (n - i) транспозиций, значит
II этап: Меняем местами столбцы до
(n  1)  го с n – ным. Всего (n  j )
A  (1)
транспозиций столбцов.
n i
* * *
  
0 0 aij
A  (1) n i (1) n  j
... *
... 
... 0
M
...
0
0 0 aij
описанных преобразованиях, порядок и расположение всех элементов в дополнительном миноре не изменился, значит в верхнем левом углу стоит
A  (1) ( n i )  ( n  j )
M
...
0
0 aij
 (1) 2 n (i  j ) B  (1) ( i  j ) B
= [чётность
i j
и
 ( j  j)
совпадают]
M
. При
.
 (1) i  j B  [шаг первый]
 (1) i  j aij M  aij (( 1) i  j M )  aij Aij .
Сравнивая с (4.2),
n
 0, k  j
A   aik Aik  [aik  
]  aij Aij , получим, что (4.2) доказано и в этом частном случае. Чтд.
k 1
aij , k  j
3 – й шаг (общий случай):



...

 ai1  ai1  0  ...  0 


A  ai1 ai 2 ... ain  ai 2  0  ai 2  ...  0  ai1  0  ...  0 0  ai 2  ...  0 ... 0  0  ...  ain  [6 0 ] 
 ain  0  0  ...  ain 
\
\ ... \
\
\
...
\
ЧТД.
  ...    ... 
  ... 
a i1 0 ... 0  0 ai 2 ... 0  ...  0 0 ... ain  [2  й _ шаг ]  ai1 Ai1  ai 2 Ai 2  ...  ain Ain
\
\ ... \
\
\ ... \
\ \ ... \
Разложение нуля с помощью двух строк определителя.
Сумма произведения элементов i  й строки на алгебраические дополнения элементов другой строки равно 0, т.е. ai1 Ak 1  ai 2 Ak 2  ...  ain Akn  0
a
ij


Akj  0, i  k.
Док-во: Пусть дан
т.е. в
...
B
A . Рассмотрим новый определитель B
i – я и k – я строки равны.
. Все строки в
B
, кроме k – й такие же, как в
A , а k – я строка в B
совпадает с i – й строкой в
A,

ai1
B  *
ai1
\
... 
... ain
... *  [По 3 – му свойству B
... ain
... \
n
n
j 1
j 1
= 0. Разложим
B
по k – й строке ]
 bkj  akj 
 bk1 Bk1  bk 2 Bk 2  ...  bkn Bkn  

 Bkj  Akj 
  aij Akj   aij Akj  0 ЧТД.
 A,i  k
ai1 Ak1  ai 2 Ak 2  ...  ain Akn  
(5.1)
 0, i  k
Теорема Лапласа (без док-ва).
Обобщением теоремы о разложении определителя по строке является теорема Лапласа:
Пусть в определителе n – ного порядка выбраны произвольно k строк
(1  k  n) . Тогда определитель равен сумме произведений миноров, построенных на
A   M k Ak
Вычисление треугольных и клеточно-диагональных определителей.
выбранных строках, на их алгебраические дополнения, т.е.
Определитель имеет порядок k + n. Считаем, что на пересечении первых k строк и первых k столбцов стоит матрица A. На пересечении последних n строк и n столбцов
стоит матрица B. На пересечении последних n строк и первых k столбцов стоит матрица, состоящая из нулей.
k A C
n0
B
- блочно-треугольный определитель.
Применяем теорему Лапласа: Выбираем последние n строк, т.е.
in  k  n 
in 1  k  n  1

...

i1  k  1 
т.к.
- номера выбранных строк. На последних n строках стоит единственный ненулевой определитель, соответствующий номеру:
j1  k  1
j2  k  2
,
...
jn  k  n
j  k , то выбранный столбец равен 0,  M k  0 .
Итак
Итак,
M n  B . Найдём An  (1)[( k n)( k n1)... ( k 1)][( k 1)( k 2)... ( k n)]  A  A .
A C
 AB
0 B
Вывод формул Крамера для решения квадратных систем линейных уравнений.
Рассмотрим СЛУ n – ного порядка. Определитель основной матрицы не равен 0.
a11 a12 ... a1n
 a11 x1  a12 x 2  ...  a1n x n  b1
a x  a x  ...  a x  b
a
a 22 ... a 2 n
 21 1
22 2
2n n
2
;   21
0

...
...
...
...
...

a n1 x1  a n 2 x 2  ...  a nn x n  bn
a n1 a n 22 ... a nn
Рассмотрим уравнение, полученное по правилу IA11  IIA21  ...  (n) An1
x1 (a11 A11  a 21 A21  ...  a n1 An1 )  x2 (a12 A11  a 22 A21  ...  a n 2 An1 )  ...  xn (a1n A11  a 2 n A21  ...  a nn An1 ) 
 b1 A11  b2 A21  ...  bn An1
Если ( x1 ,..., x n ) являлись решением (5.2), то они являются решениями выписанного уравнения.
Коэффициенты при:
n
x1 :  a i1 Ai1 = [разложение дельта по первому столбцу] = 
i 1
n
x 2 :  ai 2 Ai1  0 , т.к. элементы второго столбца умножаются на алгебраическое дополнение первого столбца.
i 1
n
x3 :  a i 3 Ai1  0 . Смотри (5.1) для столбцов.
i 1
n
x n :  ain Ain  0
i 1
Т.е. левая часть нового уравнения имеет вид
x1 . Правая часть (обозначим её 1 ): 1  b1 A11  b2 A21  ...  bn An1 = [разложим по столбцам] =

b1
b2
a12
a 22
... a1n
... a 2 n
...
bn
...
an2
... ...
... a nn
. Вместо I – го столбца дельта подставляем столбец свободных членов.
x1  1 ,   0
Окончательно уравнение имеет вид:
x1 
xj
Аналогично для любой переменной
1

- определена однозначно.
получаем из уравнений (5.2) новое уравнение по правилу: IA1 j
 IIA2 j  ...  (n) Anj . Множители – алгебраические
дополнения первого столбца.
n
n
n
n
n
i 1
i 1
i 1
x1 ( ai1 Aij )[  0]  x 2 ( ai 2 Aij )[  0]  ...  x j ( aij Aij )[  ]  ...  x n ( ain Aij )[  0]   bi Aij [  j ]
i 1
j
i 1
получается из

заменой
j
- ого столбца на столбец свободных членов.
x j   j
Окончательно:
xj 
j
.

Итак, все компоненты решения
x1 , x2 ,..., x n определяются однозначно, значит система является определённой.. Доказана теорема (Метод Крамера).
Система n – ного порядка (5.2), определитель основной матрицы которой не равен 0, является определённой и решение находится по формулам Крамера:
xj 
j

(5.3); j  1, n , где  j
получается из

заменой
j  ого столбца столбцом свободных членов.